Introdução. Incerteza: o básico. Perfil do tomador de risco: Teoria da Probabilidade. Prof: Sabino da Silva Porto Júnior

(1)

1

Incerteza: o básico

Prof: Sabino da Silva Porto Júnior

Sabino@ppge.ufrgs.br

2

Introdução

Até agora: conseqüências das escolhas dos consumidores são conhecidas com certeza.

Nova suposição: “consumidores e produtores tem apenas uma idéia aproximada dos resultados possíveis e atribuem probabilidades para distintos cenários possíveis.” ⇒ DECISÃO SOB INCERTEZA

Probabilidades (objetiva e subjetiva): permitem analisar decisão sob incerteza. Aplicações: Mercado de seguros – amplia-se o conjunto de commodities.

Leilões, situações envolvendo interações estratégicas (ação e reação)

Perfil do tomador de risco:

ÂA decisão por correr mais risco e maximizar ganhos (títulos na bolsa de valores) ou correr menos risco e minimizar os ganhos depende do perfil do tomador de risco e de suas preferências pessoais.

ÂA teoria da Utilidade esperada possibilita ao tomador de decisão incorporar ao processo decisório suas preferências em relação ao risco: aversão, neutralidade ou propensão ao risco e outros fatores subjetivos. ÂPara cada tomador de decisão uma função de utilidade

Teoria da Probabilidade

ÂMundo com certeza:

ÂAção ⇒ resultado certo = ocorre com certeza ÂAgora: Mundo com incerteza:

ÂAção ⇒ resultado incerto = diferentes resultados possíveis

ÂSe for possível atribuir probabilidade positiva para esses resultados incertos é possível analisar decisão de risco de forma semelhante a analise de decisões em jogos de azar.

(2)

5

Teoria da Probabilidade

Â

Probabilidade objetiva: observável via

experimento

Â

Ex: moeda não-viciada arremessada muitas

vezes (1000 a 10000 vezes)

Â

Moeda justa: p(ca)=p(co)= 50%. Obtém-se,

portanto, uma distribuição de probabilidades

sobre resultados que é objetiva e isso permite

fazer previsões.

6

Teoria da Probabilidade

ÂMoeda Justa:

ÂCara com probabilidade ½ ÂCoroa com probabilidade ½ ÂDado justo: Â1 ponto – pr 1/6 Â2 pontos – pr 1/6 Â3 pontos – pr 1/6 Â4 pontos – pr 1/6 Â5 pontos – pr 1/6 Â6 pontos – pr 1/6 7

Teoria da Probabilidade

ÂProbabilidade subjetiva: experiência; formação/pesquis (informações a priori); crença.

ÂEx: decidir entre dois ativos; Â decidir entre dois empregos;

Â decidir entre tratamentos médicos alternativos. ÂPalpite do Gerente do banco:

ÂUm Ativo para R$ 6 por ação com pr 1/3 e nada com pr zero. ÂOutro Ativo paga R$ 3 com pr ½ e R$ 1 com pr ½

ÂOutro Gerente: teria outro conjunto de palpites.

8

O que devemos saber sobre

probabilidades?

O que devemos saber sobre

probabilidades?

1.

Somam 1

2.

Valor esperado

3.

Variância

4.

Independência

(3)

9

O que devemos saber sobre

probabilidades?

O que devemos saber sobre

probabilidades?

Â

1. Probabilidades somam 1:

Â

Moeda: ½ + ½ = 1

Â

Dado: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Â

Ativos: 1/3 + 2/3 = 1

Â

Eventos são mutuamente exclusivos

Â

Exaurem todos os resultados possíveis

Â

Apenas um evento ocorrerá

10

O que devemos saber sobre

probabilidades?

O que devemos saber sobre

probabilidades?

Â

2. Valor esperado: valor médio dos resultados

possíveis. Num jogo jogado muitas vezes esse

resultado é o esperado.

Â

Multiplica-se cada resultado por sua

probabilidade e somam-se os produtos

Â

Aposta justa: o preço pago para participar do

jogo (gamble) é igual ao valor esperado do jogo.

Â

E[A

1

] = valor esperado do Ativo 1

Â

Se os ativos custam R$ 2, então, a aposta é

justa:

2 ) 1 ( 2 1 ) 3 ( 2 1 ] [ 2 ) 0 ( 3 2 ) 6 ( 3 1 ] [ 2 1 = + = = + = A E A E

Â

Proposição: o valor esperado de um resultado

certo (pr = 1) é o próprio valor do resultado.

Â

3. Variância: jogos diferentes com o mesmo

valor esperado podem diferir na dispersão em

relação a media

Â

Variância = é a soma da diferença ao quadrado

entre os resultados possíveis e o valor esperado

da loteria, cada uma, multiplicada por suas

respectivas probabilidades.

(4)

13 Â

Variância: dispersão média dos resultados em

relação à média.

[ ] ( ) ( ) [ ] [ ] 1,0 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 3 ( 8 3 8 3 16 3 2 2 0 3 1 2 6 2 2 2 1 2 2 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = A Var A Var A Var 14 Â4. Independência

ÂCada vez que o jogo é jogado a distribuição de probabilidades dos resultados é a mesma do jogo sendo uma única vez.

ÂResultados possíveis são independentes:

Â

“A ocorrência de um evento não tem

influência sobre a probabilidade de

ocorrência de outro evento.”

ÂToda vez que uma moeda justa é arremessada, a probabilidade de ocorrer cara continua sendo de ½ não importando quantas coroas tenha ocorrido ate então.

15 Â

Proposição:

Se dois eventos são

independentes então a probabilidade de que

ambos ocorram juntos é a multiplicação de

ambas as probabilidades.

Â

Probabilidade de obter cara e cara em dois

arremessos sucessivos é:

Â

Pr(ca, ca) = (1/2)(1/2) = ¼

Â

Pr(ca, co)= ¼

Â

Pr(co, ca)= ¼

Â

Pr(co, co)= ¼

16 Â

3 Arremessos: há 8 seqüências igualmente prováveis

Â

Pr(ca, ca, ca)= (1/2)(1/2)(1/2)= (1/8)

Â

n-Arremessos:

Â

Há 2

n

seqüências igualmente prováveis cada uma

ocorrendo com probabilidade (1/2)

n

_.

Â

Suposição: cada ação ⇒ n-resultados independentes e

diferentes.

ocorrerá.

resultado

ésimo

-i

do

ade

probabilid

resultado

ésimo

-i

do

valor

=

i i

p

x

(5)

17

Propriedades da probabilidade

Â

Resumo das propriedades:

[ ] [ ]

(

)

2 1 . 4 1 x E 3. 2. n ); )( ( ) , ( . 2 0 , 1 1 . 1 x i x n i i p x Var x i x n i i p j p i p j x i x pr n i i p − ∑ = = = ∑ ₌ = = = = ∑ = 18

Função Utilidade Esperada ou Funcao

Utilidade de von

Neumann-Morgenstern.

Função Utilidade Esperada ou Funcao

Utilidade de von

Neumann-Morgenstern.

Livro: Theory of Games and Economic

Behaviour

Autores: John(y) Von Neumann e Oskar

Morgenstern (1944; 1947)

Escolha o jogo:

Â

Você deve pagar R$ 100 para jogar um dos

seguintes jogos, qual você escolheria?

Â

Jogo 1: Você recebe de volta R$100.

Â

Jogo 2: arremessa-se uma Moeda justa e:

Â

Se sair Cara, você ganha R$ 200.

Â

Se sair Coroa, você ganha R$ 0.

Qual jogo, você escolheria?

ÂJogo 3: Arremesso de um dado Justo que paga os seguintes prêmios:

ÂSe sair 1, você ganha R$ 400 ÂSe sair 2, você ganha R$ 70 ÂSe sair 3, você ganha R$ 55 ÂSe sair 4, você ganha R$ 25 ÂSe sair 5, você ganha R$ 40 ÂSe sair 6, você ganha R$ 10

(6)

21

Usando o critério do Valor

Esperado:

Usando o critério do Valor

Esperado:

Â

Todos os jogos têm valor esperado idêntico e

igual a R$ 100.

Â

Nova questão: você escolheria igualmente todos

os jogos ou você é indiferente aos três jogos?

Â

Vamos calcular a variância dos jogos:

Â

Jogo 1: variância zero

Â

Jogo 2:

( ) (0 100) 10.000 2 1 100 200 2 1 ) 2 ( ₌ ₋ 2₊ ₋ 2₌ jogo Var 22 Â

Jogo 3:

Â

Portanto, você poderia optar pelo jogo 1 que é o

que apresenta a menor variância.

(300 30 45 75 60 90) 18.375 6 1 ) 3 ( ₌ 2₊ 2₊ 2₊ 2₊ 2₊ 2₌ jogo Var 23

Paradoxo de São Petersburgo

Â

Daniel Bernoulli (1738)– Matemático suíço do

século XVIII. Foi Introduzido pelo seu primo

Nicolaus Bernoulli em 1713.

Â

Historia do jogo: uma moeda justa é

arremessada até que cara aparece pela primeira

vez. O payoff do jogador depende do numero de

arremessos antes de cara aparecer pela

primeira vez.

24

Payoffs do jogo

ÂSe cara aparece na 1a tentativa: R$ 2 (p=1/2) ÂSe cara aparece na 2a tentativa: R$ 4 (p=1/4) ÂSe cara aparece na 3a tentativa: R$ 8 (p=1/8) ÂSe cara aparece na 4a tentativa: R$ 16 (p=1/16) Â ---ÂSe cara aparece na n-ésima tentativa: R$ 2n (p=1/ 2n)

(7)

25

Valor Esperado desse Jogo:

∞ = + + + + + = ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∑∞ = .... 1 1 1 1 1 ) ( 2 2 1 ) ( .... 8 8 1 4 4 1 2 2 1 ) ( 1 jogo VE jogo VE jogo VE n n n

Paradoxo: ninguém pagaria uma quantidade infinita para jogar esse jogo proposto,

mesmo esperando ganhar uma fortuna. Aliás, poucos pagariam pouco mais do que alguns reais para jogar esse jogo.

Motivos:

a variância também é infinita.

E muitos preferem menos incerteza a mais incerteza.

26

Motivação para Utilidade Esperada:

ÂParadoxo de São Petersburgo: sugere que precisamos de outro conceito além do valor esperado para tomar decisão num ambiente envolvendo Incerteza e Risco. ÂUsamos a Utilidade Esperada (EU): que se constitui

numa representação das preferências sob incerteza em termos de valor esperado de um conjunto de utilidades sobre os resultados ou conseqüências possíveis de uma ação ou escolha.

ÂA função utilidade associa aos prêmios monetários valores de uma quantidade abstrata chamada utilidade de modo a representar o comportamento do tomador de decisão em relação ao risco.

Utilidade Esperada

Â Linear em Probabilidades (p_i) Â Passos necessários: (opcional)

a. Definir um conjunto de suposições razoáveis que o índice de Utilidade Esperada deve satisfazer.

b. Construir um Índice de Utilidade Esperada.

{ }

(

)

1 i n i i M vN

E

U

p

U

x

U

∑

= −

=

Utilidade Esperada- Axiomas básicos

(suposições)

Utilidade Esperada- Axiomas básicos

(suposições)

1.

Completeza e Transitividade

2.

Consequencialista ou reducionista

3.

Continuidade

4.

Substitutibilidade

5.

Monotonicidade

6.

Independência

(8)

29

Utilidade Esperada- Axiomas básicos

(suposições)

Utilidade Esperada- Axiomas básicos

(suposições)

1.

Preferências sobre resultados possíveis são

completas, reflexivas e transitivas.

Supor rank de resultados: 1. X1 = pior resultado 2. Xn = melhor resultado

2. Loterias compostas podem ser reduzidas a loterias simples . A loteria composta tem a mesma probabilidade final sobre resultados que a loteria simples.

i x

~

Subscrito indica ordem de preferência

30

Exemplo de Loteria composta:

reducionismo

Exemplo de Loteria composta:

reducionismo

ÂPrimeiro jogo (gamble): ÂRegras ou história do jogo:

ÂArremesse uma moeda: se CARA aparece, você deve arremessar outra moeda, se CARA aparece novamente você ganha R$ 1,00. Se aparece COROA você ganha R$ 0,75. ÂSe aparece coroa no primeiro arremesso: você deve jogar

um dado. Seu prêmio agora é R$ 0,10 por ponto no dado, ou seja, você ganha:

ÂR$ 0,10 → 1 Ponto; ÂR$ 0,20 → 2 Pontos; Â (...); R$ 0,60 → 6 Pontos.

31

Figura ou representação gráfica do jogo

ÂGame 1: Pr (ca)= Pr(co)= 0,5

ÂP(ca,ca)= (1/2)(1/2) = (¼) chance de obter R$ 1,00 ÂP(ca,co)=(1/2)(1/2) = (1/4) chance do obter R$ 0,75 ÂGame 2: Coroa na primeira rodada:

ÂP(co, 1)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,10 ÂP(co, 2)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,20 ÂP(co, 3)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,30

ÂP(co, 4)= (1/2)(1/6) = (1/12) chance de obter R$ 0,40

32

Nova Loteria: reduzida

(9)

33

Loteria reduzida

ÂOferece: ÂR$ 1,00 com pr =1/4 ÂR$ 0,75 com pr= ¼ ÂR$ 0,60 com pr= 1/12 ÂR$ 0,50 com pr= 1/12 ÂR$ 0,40 com pr= 1/12 ÂR$ 0,30 com pr= 1/12 ÂR$ 0,20 com pr= 1/12 ÂR$ 0,10 com pr= 1/12 34

loteria reduzida – roda da

fortuna

loteria reduzida – roda da

fortuna

Â

Girar a RODA DA FORTUNA: ganha o prêmio

associado com a quantidade mostrada onde o

ponteiro para.

Â

Pedaços de pizza ⇔ Probabilidade da Loteria

simples.

Â

Axioma 2: diz que o consumidor é indiferente

entre jogar o primeiro ou segundo “jogo”. Os

dois jogos propiciam a mesma utilidade.

Figura do Segundo jogo: roda da fortuna

Loteria reduzida

Utilidade Esperada: axiomas básicos

3. Axioma da continuidade: para cada resultado x_ientre x₁e x_no consumidor pode atribuir uma probabilidade pi, tal que ele é indiferente entre obter xi com certeza e jogar uma loteria (que envolve obter x_ncom probabilidade p_i e xicom probabilidade (1-pi)). Vamos chama-la de loteria xi

~ n 1 1 1 1 i x resultado o obter de ade probabilid ) p -(1 x resultado o sair de ade probabilid p loteria. da possíveis resultados ) , ( x ~ : otação = = = = = n i x x x loteria N

(10)

37

Utilidade Esperada: axiomas básicos

4. Axioma da Substitutibilidade: a loteria sempre pode ser substituída por seu Equivalente certo (EC) xiem qualquer outra loteria, pois o consumidor é indiferente entre eles.

5. Preferências sobre loterias são transitivas

6. Axioma da monotonicidade: se duas loterias têm 2

alternativas idênticas, cada uma diferindo em probabilidades, então a loteria que dá maior probabilidade para a alternativa mais preferida é preferida à outra loteria.

[

pxn+(1−p)x1

] [

p′xn+(1−p′)x1

]

ssep p′

i x ~

38

Indivíduo racional: escolhe a alternativa de

risco que maximiza utilidade esperada

Indivíduo racional: escolhe a alternativa de

risco que maximiza utilidade esperada

Â

Proposição: se preferências sobre loterias

satisfazem os axiomas (1) a (6) então podemos

assinalar números U(x

i

) associados com x

i

, tal

que se compararmos 2 loterias L e L’ que

oferecem probabilidade (p

1

....p

n

) e (p

1

’....p

n

’) de

obter os mesmos resultados, L será preferível a

L’ sse:

) ( ) ( 1 1 i n i i i n i iUx pUx p

∑

= = ′ > 39

Interpretações:

I.

A ordem de classificação no ranking de Utilidades Esperadas, reflete a ordem no ranking de classificação sobre Loterias.

II.

Individuo racional: Maximiza Utilidade esperada ao escolher alternativas que envolvem risco ou incerteza.

40

O Índice de Utilidade de vN-M

:

(11)

41

Forma de construção

Â1) Construa o Ranking de todos os resultados possíveis:

ÂAtribua, ao resultado menos-preferido, valor utilidade zero: u(x1)= 0;

ÂAtribua, ao resultado mais-preferido, valor utilidade um: u(xn)= 1;

ÂAtribua, a todos os resultados intermediários possíveis x_ium valor utilidade p_i: n n x x x x x1≺ 2≺ 3.... −1≺ 42

Forma de construção

Â

Resumo:

i i n p x U x U x U ≡ ≡ ≡ ) ( 1 ) ( 0 ) ( 1

Onde: xi= é um Equivalente Certo de uma loteria que gera o premio xncom probabilidade pi e x1com probabilidade p₁.

Equivalente Certo: é a quantidade de dinheiro pela qual o individuo é indiferente entre a loteria e a quantidade certa.

Â

x

_i

é o Equivalente Certo (EC) de uma loteria

envolvendo x

n

com probabilidade p

i

e x

1

com

probabilidade (1-p

i

).

Â

Esse índice de utilidade equivale a tomar

valores esperados das utilidades de x

n

e x

1

usando as probabilidades p

i

e (1-p

i

) associadas

com a loteria para a qual x

i

é o EC:

(2) 0 ) ( ) 1 ( ) ( ) (xi piUxn piUx1 pi pi U = + − = + =

Reforçando:

ÂEsse índice de utilidade descrito em (1) e (2) é único em _{transformações lineares ou afins:} ÂUma transformação linear preserva o EC. Considere U(xi),

então:

ÂO valor de V(xi) é o mesmo da utilidade transformada de xi.

Portanto, (5) mostra que quando avaliamos a utilidade esperada de xi via transformação lineares das utilidades de

x1 e xnobtemos de volta a utilidade transformada de xi e isso

significa que transformações lineares preservam o EC.

(5) ) 1 ( ) ( ) ( : p dad , x de Esperada Utilidade a (4) De (4) 1 . ) ( 0 . ) ( : (3) em (1) do Substituin (3) ) ( ) ( i i 1 i i i i n dp c c p d c p x V o d c d c x V c d c x V x dU c x V + = − + + = + = + = = + = + =

(12)

45

Axioma da Independência:

". ) 1 ( ' )L" p -(1 L p , , ' L se : que temos ], 1 , 0 [ p resultados sobre ades Probabilid de ão distribuiç a se tomando e Loterias, de espaço ao e pertencent L" e L' L, distintas loterias três para se cia Independên da axioma o satisfaz simples loterias de espaço no as preferênci de relação a : cia Independên da i i i L p L p então L Axioma i i + − + ∈ ≈ ≈

Em palavras: Se combinarmos cada uma das duas loterias L e L’ com uma terceira loteria L”, então a ordem das duas misturas resultantes não depende (independência) da terceira loteria utilizada L”. Ou seja, a ordem de preferências entre loterias L e L’

não se altera. 46

Comportamento em relação ao risco

Â Comportamento dos indivíduos, que são definidos pela forma da UE:

1.

Risk averse

: para uma riqueza constante um resultado certo é sempre preferível a uma loteria com o mesmo valor esperado, mas com alguma variância positiva

2.

Risk neutro

: o individuo indiferente entre o resultado certo e a loteria de mesmo valor esperado. 3.

Risk lover

: individuo prefere a loteria ao resultado

certo.

47

Aversão ao risco

Â3 resultados possíveis

Â2 ações que podem ser tomadas e que rendem os resultados com probabilidades diferentes ÂResultado 1: R$ 50 ⇒ U(50) = 30 ÂResultado 2: R$ 100 ⇒ U(100) = 80 ÂResultado 3: R$ 150 ⇒ U(150) = 110 (6) ÂAção A: rende R$ 100 e tem uma EU de 80: ÂE{U(ação A)}= (1).U(100)= 80. (7)

ÂAção B: rende R$ 50 com pr. ½ e rende R$ 150 com pr. ½. 48

{

}

{

}

{

( çãoB)

} {

( çãoA)

}

(8) 70 ) 110 30 ( 2 1 B) ção ( ) 150 ( 2 1 ) 50 ( 2 1 B) ção ( a U E a U E a U E U U a U E < = + = + =

•Mesmo cada ação rendendo um payoff esperado de R$ 100, a Utilidade Esperada da ação B é menor que a Utilidade Esperada da ação A. Isso ocorre porque a função Utilidade desse individuo é côncava.

•R$ 100 ⇒ U(100) = 80 •R$ 50 ⇒ U(50) = 30 •R$ 150 ⇒ U(150) = 110

Questão: qual a forma funcional da função Utilidade de Bernoulli?

(13)

49

$50 $100 $150

•Individuo Avesso ao Risco: Função Utilidade U(x) côncava.

•A EU do gamble 50/50 em [100+50] e [100-50] está no ponto médio da combinação linear da utilidade de R$ 50 e R$ 150. Essa EU = 70, é menor do que recebe R$ 100 com certeza, EU = 80.

•Proposição: indivíduos que tem função utilidade côncava são avessos ao risco.

50

Aversão ao risco:

ÂEste individuo, que é avesso ao risco, estaria disposto a pagar a quantidade γ para evitar o risco:

ÂCom um payoff de [100- γ] o indivíduo obtém uma U(100- γ)= 70 e não tem que tomar qualquer risco. ÂDefinimos: γ = prêmio de risco: é a quantidade que um

individuo avesso ao risco está disposto a pagar para não correr riscos.

Â[100- γ]= Equivalente certo

•Atitudes em relação ao risco:

x — a x x + a

U

U (x) E{U(x)\

x — ã x x 4- a x-a x x + a x

Risk Neutro Risk Averse Risk Lover

Utilidade marginal diminui com aumento da renda

Prefere uma renda certa de 20 a uma

(14)

53

10,5

A loteria propicia mais utilidade que o resultado certo (20).