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NÁLOGO MACROSCÓPICO DA SEÇÃO DE CHOQUE DE COLISÃO A.C. F. Santos a[[email protected]]A. Fröhlich b[[email protected]]
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Instituto de Física - UFRJ
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University of Missouri-Rolla RESUMO
Uma questão importante em educação hoje em dia é como abordar alguns conceitos de física moderna para alunos do nível médio. Este artigo apresenta uma abordagem sobre colisões atômicas. Descrevemos uma maneira alternativa de medir a área de uma meda usando a analogia macroscópica do espalhamento de radiação por um átomo ou molécula, a seção de choque de colisão. Esperamos que este artigo venha a ajudar educadores como introduzir este conceito importante e como relaciná-lo com alguns fenômenos em física moderna.
INTRODUÇÃO
Quando um feixe de partículas atravessa um material, vários processos distintos podem acontecer. Algumas partículas atravessam o material sem que ocorra nenhum tipo de interação (veja Fig. 1), enquanto outras são defletidas devido a suas interações ou colisões com os átomos dos material
O espalhamento elástico da luz na atmosfera produz o azul o céu. Exemplos similares do esplhamento da luz são comuns na nossa experiência diária, o arco-íris por exemplo é formado devido à dispersão preferencial da luz num dado ângulo quando colide com gotas d´água. Nestes casos, os efeitos da colisão são observados nas partículas espalhadas.Como um produto da interação, o alvo também pode sofrer uma transformação. Estas transformações dão lugar par uma gama enorme de aplicações, as quais inclui o uso de radiação para o tratamento de câncer, utilização de radiação ionizante para a preservação de alimentos, ou para o estudo da composição dos materiais.
A interação ou colisão entre duas partículas é usualmente descrita em termos da seção de
choque de colisão, que é por definição “Uma medida da probabilidade que um encontro entre partículas resulte na ocorrência de uma determinada reação atômica ou nuclear” [2] .Esta
grandeza, basicamente, é a medida da interação efetiva entre o projétil e o alvo. Quanto maior a seção de choque, mais provável será a deflexão do projétil. Seção de choque tem dimensões de área (ou comprimento ao quadrado) e representa a área efetiva da região de colisão [3,4]. A seção de choque depende dos tipos de partículas envolvidas e usualmente depende da velocidade ou energia da partícula no feixe incidente. A definição formal da seção de choque microscópica é dada como segue:. Considere um feixe de partículas com intensidade I0, incidindo sobre um alvo de densidade
ρ, ou seja, partículas por unidade de área, como mostrado na Fig. 1. Agora, olhe para o número de
partículas absorvidas ou espalhadas pelo alvo, Is. Devido à aleatoriedade dos parâmetros de impacto, ou seja, a distância entre o projétil e o alvo, o número de partículas espalhadas flutuará
para medidas diferentes. No entanto, se tomarmos a média de colisões para várias medidas, este número tenderá para uma quantidade fixa. A seção de choqe , σ, é então definida como
o s I I × = ρ σ (1)
Ou seja, σ é a fração entre as partículas espalhadas e o número de partículas presentes n
alvo por unidade de área. A Equação 1 nos diz que, se a densidade de partículas presentes no alvo,
ρ, aumenta, também aumentará o número de colisões, Is,, uma vez que a seção de choque é um número fixo, devemos então divir pela densidade do alvo se desejamos que a seção de choque represente a área efetiva da interação entre uma partícula e o alvo.
Em física atômica ou nuclear, a seção de choque para uma determinada interação não necessáriamente depende do tamanho geométrico da partícula. Duas partículas podem ter a mesma área geométrica (conhecida como a seção de choque geométrica) e mesmo assim interagir de modos distintos com o projétil.
Descreveremos agora um método para a medida das seções de choque usando a equação 1. Este método é baseado no crescimento do número de projéteis espalhados em função da densidade do alvo ρ. A equação 1 pode ser escrita como
ρ σ× = o s I I (2)
A equação acima diz que a fração do número de projéteis, Is/Io, depende linearmente da
densidade do alvo. Então, a medida da seção de choque pode ser reduzida ao estudo da dependência da taxa de crescimento do número de projéteis espalhados com a densidade do alvo. Consequentemente, a seção de choque pode ser determinada a partir da parte linear da taxa de crescimento do número de projéteis, ou seja, da inclinação do gráfico de Is/Io vs. ρ. Numa situação real, no entanto, o alvo sempre terá algum tipo de contaminação, como por exemplo gases residuais. Uma vez que as impurezas são independentes da densidade do gás, e são aproximadamente constante ao longo da medida, elas não influenciam a inclinação da taxa de crescimento, a partir da qual a determina-se a seção de choque. De modo a levar em conta a contribuição das impurezas residuais, adicionamos um termo constante `a equção 2.
EXPERIMENTO
O experimento qual passamos a descrever é um análogo macroscópico da seção de choque de espalhamento. O alvo consiste de uma folha de papel de área S, contendo vários centros espalhadores, as moedas T,. Noss objetivo é medir a área de cada moeda alvo. Para tanto, um certo número de moedas é uniformemente distribuido sobre a folha de papel. De modo a simular as impurezas residuais, moedas R, de um tamanho diferente foram adicionadas.
Assim, o procedimento para o cálculo da seção de choque, ou área efetiva, de uma moeda numa colisão com um projétil (lápis ou caneta) é:
1. Prenda a folha de papel ao chão usando um fita adesiva. 2. Meça a área da folha de papel.
4. Deixe o projétil (lápis ou caneta) cair sobre a folha umas 100 vezes e conte o número de
colisões Is do projétil com as moedas residuais R. Não considere os lançamentos que
caem fora do papel. A densidade do alvo é ainda igual a zero. 5. coloque algumas moedas alvo (T).
6. Determine o número de partículas alvo por unidade de área ρ, ou seja, o número de
moedas dividido pela área do papel.
7. Deixe o projétil cair de uma altura h sobre a folha de papel por Io vezes, conforme mostrado na Fig. 2. Note que h deve ser suficientemente alta de modo que estatísticamente o projétil possa interagir com todas as moedas alvo.
8. Faça 100 lançamentos e meça o número de colisões Is do projétil com qualquer moeda alvo ( T or R.) Não considere os lançamentos que caiam fora do papel. Faça uma tabela com Is em função da densidade ρ .
9. Repita os itens 5 a 8 até que a sua tabela tenha um mínimo de 4 ou 5 linhas.
10. De modo a determinar a interação do projétil com as partículas alvo, utilize as equações básicas apresentadas acima.. Divida Is por Io. e faça um gráfico de Is / Io em função de ρ.
Este é o chamado método do crescimento para a determinação das seções de choque.
A figura 3 mostra dois casos distintos. No primeiro caso (círculos na figura 3), os dados foram tomados sem adicionar "impurezas" e o projétil utilizado foi um lápis de ponta fina. No segundo caso (quadrados na figura 3), seis moedas de tamanhos diferentes das moedas-alvo foram adicionadas com impurezas. e o projétil utilizado foi um lápis de 0.8 cm de diâmetro. As barras de incertezas representamas incertezas estatísticas para um dado número de colisões,
o s
I I
. Usando o
método dos mínimos quadrados, determinamos as inclinações como 3.45 ± 0.13 cm2 (círculos) e
7.01 ± 0.85 cm2 (quadrados).
ANÁLISE: O TAMANHO DO PROJÉTIL E O EFEITO DAS MOEDAS RESIDUAIS
Descreveremos agora como levar em cont o tamanho do projétil na medida do tamanho das
moedas. Para este cálculo consideremos as moedas como círculos de raio r1 e área transversal do
projétil também como um circulo de raio r2. Como pode ser visto na Fig. 4, a colisão não ocorrerá
se a distância entre os centros for maior do que a soma dos raios, r1 + r2. Neste caso, a área efetiva
do alvo será π(r1 + r2)2. Neste experimento, os projéteis foram um lápis apontado (diâmetro
desprezível comparado com as dimensões do alvo) e um outro lápis de diâmetro igual a 0.8 cm
(medido com um paquímetro) e o alvo foi uma moeda de 1.91 cm de diâmetro. No primeiro caso, r2
<< r1 e a área efetiva é com muito boa aproximação igual à área da moed. (2.86 cm2). Por outro
lado, no segundo exemplo dado acima, as dimensões do projétil têm que ser levadas em conta.Neste
caso, a área efetiva é 5.76 cm2. Comparando estas duas áreas efetivas com as inclinações medidas a
partir da Fig. 3, encontramos um erro de 21 %.
Legendas das Figuras: target INCIDENT FLUX TRANSMITED FLUX IO It SCATTERED FLUX
Fig. 1 – Um feixe de radiação de intensidade Io atravessa um alvo. . Uma fração do feixe incidente
é espalhado, enquanto que o restante do feixe é transmitido sem colidir com as partícula do alvo.
h
Fig. 2 – O projétil (cilindro vermelho) cai verticalmente de uma altura h sobre uma folha de papel contendo moedas.
Fig. 3 – O método do crescimento para moedas. Círculos: o projétil é um lápis apontado e nenhuma contaminação de fundo foi adicionada. Quadrados: o projétil usado foi um lápis cuja dimensões er comparavél com as dimensões do alvo. De modo a simular as impurezas presentes, foram adicionadas seis moedas de tamanho distinto das moedas-alvo.
0.00 0.02 0.04 0.06 0.0
0.2 0.4 0.6
percentual of Collisions in 100 throws
(
Is
/Io
)
r1
r2
r1+r2
r2
PROJECTILE
Fig. 4 – (Esquerda) o projétil é representado por um cilindro de diâmetro 2r1. (Direita) o projéctil de ráio r1 e o alvo de ráio r2, colidem se seus centros estão dentro de uma distância igual ou inferior a r1+r2
1 –R. A. Serway, Physics For Scientists & Engineers, 3rd edition, Saunders College Publishing, USA, 1982.
2 - http://www.yahooligans.com/reference/dictionary/entries/62/c0766200.html 3- http://www.jupiterscientific.org/sciinfo/crosssection.html
4 - http://www-ed.fnal.gov/painless/htmls/cross.html
5 - Aqui o professor pode não utilizar nenhuma moeda como contaminação de fundo. A análise torna-se mais fácil se utilizarmos somente moedas-alvo T. Neste caso , o termo fBG é nulo.
