Ensaio de Hipóteses. Luísa Pereira. Universidade da Beira Interior

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Ensaio de Hip´

oteses

Lu´ısa Pereira

Universidade da Beira Interior

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Fases num ensaio de hip´

oteses

1a Formular as Hip´oteses

H0: Hip´otese nula

HA: Hip´otese alternativa

Ao estabelecer as hipóteses nula e alternativa deve ter-se em aten¸cão o que realmente se tenta provar. Uma condi¸cão a respeitar é a de quea hipótese nula deve ser sempre de tipo simplesporque é mais fácil julgar uma afirma¸cão simples do que uma mais vaga.

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Fases num ensaio de hip´

oteses

2a Estabelecer o n´ıvel de significˆancia

Todo o racioc´ınio que vai do particular (amostra) para o geral (popula¸cão) é fal´ıvel, isto é, pode conduzir a erros. Ao procedermos ao ensaio de uma hipótese podem cometer-se dois tipos de erros:

Decis˜ao tomada Situa¸c˜ao real

H0 verdadeira H0 falsa

N˜ao rejeitar H0 ——— Erro de 2a esp´ecie

Rejeitar H0 Erro de 1a esp´ecie ——–

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Fases num ensaio de hip´

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2a Estabelecer o n´ıvel de significˆancia

O aspecto fundamental da teoria de Ensaio de Hip´oteses prende-se com o controlo das probabilidades de cometer os dois tipos de erro:

α = P (erro 1a esp´ecie) = P (rejeitar H0|H0 verdadeira)

β = P (erro 2a esp´ecie) = P (n˜ao rejeitar H0|H0 f alsa)

As probabilidades de cometer os erros de 1a e 2a espécies crescem em sentidos opostos. Quanto mais nos protegemos do risco de cometer o erro de 1a espécie, maior a probabili-dade de cometermos o erro de 2a espécie. Os valores mais convencionais para on´ıvel de significância, α, são 0.01 e 0.05.

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Fases num ensaio de hip´

oteses

3a Escolher a Estat´ıstica de Teste

Depois de formuladas as hipóteses e definido o n´ıvel de significância, devemos escolher a estat´ıstica de teste que se adapte à hipótese que pretendemos ensaiar.

A estat´ıstica de teste é uma fun¸cão da amostra e deve per-mitir condensar a informa¸cão desta e confrontá-la com a hipótese nula.

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Fases num ensaio de hip´

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4a Estabelecer a regi˜ao cr´ıtica

Regi˜ao Cr´ıtica ´e o conjunto dos valores assumidos pela es-tat´ıstica do teste para os quais rejeitamos H0.

Valores cr´ıticos s˜ao os valores assumidos pela estat´ıstica de teste a partir dos quais rejeitamos H0. O c´alculo dos valores

cr´ıticos ´e sempre feito a partir da defini¸c˜ao de α.

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Fases num ensaio de hip´

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Tomada de decis˜ao

1 Calcular o valor da estat´ıstica do teste, com base nos valores

observados na amostra.

2 Se o valor da estat´ıstica do teste pertencer `a regi˜ao cr´ıtica,

a decis˜ao final ser´a rejeitar H0 e aceitar HA.

3 _{Caso contr´}_{ario, a decis˜}_{ao final ser´}_{a n˜}_{ao rejeitar H}₀_.

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Fases num ensaio de hip´

oteses

Tomada de decis˜ao

2 _{Se o valor da estat´ıstica do teste pertencer `}_{a regi˜}_{ao cr´ıtica,}

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Fases num ensaio de hip´

oteses

Tomada de decis˜ao

2 _{Se o valor da estat´ıstica do teste pertencer `}_{a regi˜}_{ao cr´ıtica,}

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Testes param´

etricos

Ensaiar hip´oteses sobre

A m´edia de uma popula¸c˜ao normal;

A m´edia de uma popula¸c˜ao qualquer, no caso da amostra ser grande;

O parˆametro de uma popula¸c˜ao de Bernoulli, no caso da amos-tra ser grande;

A variˆancia de uma popula¸c˜ao normal;

A diferen¸ca das m´edias de duas popula¸c˜oes normais;

A diferen¸ca das m´edias de duas popula¸c˜oes quaisquer, no caso de amostras grandes;

A diferen¸ca entre os parˆametros de duas popula¸c˜oes de Ber-noulli;

O quociente entre as variˆancias de duas popula¸c˜oes normais.

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Testes param´

etricos

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Testes param´

etricos

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Testes param´

etricos

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Testes param´

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Testes param´

etricos

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Testes param´

etricos

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Testes param´

etricos

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Testes param´

etricos

Formula¸c˜ao das hip´oteses

Neste tipo de testes a hipótese nula deve ter sempre uma igual-dade. Assim, se pretendermos ensaiar uma hipótese relativamente a um parâmetro θ da popula¸cão podem ocorrer as seguintes situa¸cões:

1. H0 : θ = k 2. H0 : θ = k (θ ≥ k) 3. H0: θ = k (θ ≤ k)

HA: θ 6= k HA: θ < k HA: θ > k

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Testes param´

etricos

Estat´ıstica de Teste

Estat´ıstica do teste

Deve apenas conter como parˆametro desconhecido, o parˆametro que pretendemos ensaiar;

´

E uma fun¸cão da amostra e deve permitir condensar a informa¸cão desta e confrontá-la com a hipótese nula. A pesquisa da que serve de base ao ensaio tem muito em comum com a pesquisa da variável fulcral no dom´ınio dos intervalos de confian¸ca.

Determina¸c˜ao de uma estat´ıstica U tal que H0 verdadeira

→ U = U₀ com distribui¸c˜ao conhecida.

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Testes param´

etricos

Regi˜ao cr´ıtica

A regi˜ao cr´ıtica ser´a dos tipos bilateral,unilateral esquerda

ou unilateral direita consoante os valores na hipótese alternativa sejam diferentes,menoresou maioresdo que o valor do parâmetro especificado na hipótese nula.

Come¸ca-se por determinar os valores cr´ıticos de U0, isto ´e,

os valores de U0 que levam `a rejei¸c˜ao de H0.

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Testes param´

etricos

Regi˜ao cr´ıtica

No caso dadistribui¸c˜ao de U0 sersim´etricatrata-se de um valor a tal que

1. P (|U0| ≥ a) = α 2. P (U0≤ −a) = α 3. P (U0≥ a) = α R.C. = ] − ∞; −a ] ∪ [a, +∞ [ R.C. = ] − ∞; −a ] R.C. = [ a, +∞ [

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Testes param´

etricos

Regi˜ao cr´ıtica

No caso dadistribui¸c˜ao de U0 ser assim´etrica trata-se de calcular os valores a e b, ou apenas o valor a, tais que

1. P (U0≥ b) =α₂ ∧ P (U0≤ a) =α₂ 2. P (U0≤ a) = α 3. P (U0≥ a) = α

R.C. = ] 0; −a ] ∪ [b , +∞ [ R.C. = ] 0, a ] R.C. = [a , +∞ [

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Testes param´

etricos

De acordo com o procedimento anteriormente descrito para o teste de hipóteses, no final toma-se uma decisão de rejei¸cão ou não rejei¸cão da hipótese nula.O valor de prova (ou valor P) constitui uma medida do grau com que os dados amostrais contradizem a hipótese

nula. Ovalor de prova´e o menor valor de α para o qual rejeitamos a hip´otese nula.