ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Exemplo
Utilizar tabelas de verdade para avaliar a validade do argumento Se 7 é menor que 4, então 7 não é um número primo.
7 não é menor que 4.
7 é um número primo.A formalização do argumento é a seguinte
s p s p
Sendo s=”7 é menor que 4” e p=”7 é um número primo”.
Vamos construir a tabela de verdade da proposição
s p
s
ps p
s p
s
p 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1A primeira e linha mostra que o argumento é falso. Neste exemplo a verdade da conclusão, “7 é um número primo”, não decorre da verdade das premissas. A conclusão é verdadeira apenas porque enuncia um facto sobre o número 7.
As tabelas de verdade constituem um processo rigoroso para testar a validade de argumentos. Constituem um algoritmo que pode ser facilmente implementado num computador. Têm no entanto um problema de baixa eficiência, devido às dimensões que as tabelas podem assumir quando o número n de variáveis proposicionais (letras) é elevado: a tabela tem 2n entradas.
O processo que a seguir se apresenta tem a vantagem de ser mais eficiente que as tabelas de verdade.
Árvores de refutação
ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Uma árvore de refutação é uma estrutura que se associa a um argumento, e de cuja análise se pode concluir se o argumento é ou não válido. Não se vai fazer uma descrição exaustiva do processo, optando-se antes pela sua apresentação com alguns exemplos.
Exercício
Utilizar árvores de refutação para averiguar da validade de cada um dos argumentos formais. 1.
a
a
b
b
2.b
a
b
a
Solução 1. Escrevemos cada fórmula na forma normal disjuntiva, i.e., como uma disjunção de conjunções
A
B
Z
, sendo A, B, …, Z conjunções ou então proposições que envolvem só uma letra – todas as fórmulas podem ser convertidas neste formato.No caso temos
a
a
b
b
a
a
b
b
Notar que as fórmulas da esquerda e da direita são logicamente equivalentes (em cada linha).
Negamos a conclusão.
a
a
b
b
ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Começamos por colocar em linha todas as fórmulas que tenham uma só letra, separando os literais com setas.
a
b
Para cada uma das restantes fórmulas, ramificamos a árvore já obtida acrescentando um novo ramo por cada disjunto [operando envolvido numa disjunção].
a
b
a
bConsideramos agora todos os caminhos possíveis do topo até ao fundo do esquema, seguindo as setas. Neste caso temos dois caminhos. Marcamos com X o término de um caminho se ele contém literais [proposições contendo uma só letra] contraditórios, como por exemplo
b
e
b
.a
b
a
b X XNote-se que o caminho da esquerda contém os literais contraditórios a e a , e o caminho da direita contém os literais contraditórios e b . b Caminhos terminados com X dizem-se caminhos fechados.
ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Se uma árvore de refutação tem todos os caminhos fechados, então ela refuta a possibilidade de serem as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, pelo que representa um argumento válido. É o caso.
Breve justificação do método.
Quando se representa uma proposição na árvore, o que estamos a fazer é a considerar todas as possibilidades de essa proposição ser verdadeira. Por exemplo, ao colocarmos
a
na árvore estamos a dizer que a única forma de tornara primeira premissa verdadeira é considerar
a
verdadeira; ao formarmos dois ramos com a proposição a b, estamos a dizer que a segunda premissa pode ser verdadeira se for falsaa
ou se for verdadeirab
. Os caminhos da árvore pretendem representar todas as maneiras de fazer verdadeiras as premissas e a negação da conclusão (por isso é que colocamos na árvore a negação da conclusão). Um X no término de todos os caminhos indica que esse objectivo falha. É o caso da árvore acima, em que não podemos considerar verdadeiros ‘ a ’ e ‘ a ’ ou ‘ b ’ e ‘ b ’.
Então, se todos os caminhos de uma árvore de refutação são fechados, o argumento representado é válido. Se houver algum caminho que não seja fechado, dito caminho aberto (sinalizado com O em vez de X), o argumento é inválido.
Vamos usar este método para resolver o exercício 2 que envolve uma estrutura que representa argumentos inválidos.
2.
b
a
b
a
Convertemos cada fórmula para a forma normal disjuntiva, apresentando já a negação da conclusão.
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b
a
b
a
Construímos a árvore de refutação:
b
a
a
b O OA marca ‘O’ indica que o ramo direito é um caminho aberto, i.e., um caminho sem contradições. Ficamos a saber que é possível as premissas serem verdadeiras e a conclusão ser falsa, bastando para isso tornar verdadeiros todos os literais que formam o caminho, ‘ b ’ e ‘ a ’, para o que basta fazer a 0, b 1 ( verificar que com estes valores lógicos a forma acima é instanciada como um argumento inválido).
Exercício
Considerar o seguinte argumento e a a sua formalização. Utilizar uma árvore de refutação para mostrar que o argumento é válido.
Se Locke tivesse negado a existência da substância espiritual, ele teria sido um
materialista.
Se Locke tivesse negado a existência da substância física, ele teria sido um
idealista.
Se ele tivesse sido um idealista ou um materialista, ele não teria sido um
dualista.
Mas Locke foi um dualista.
Então ele não negou a existência, quer da substância espiritual, quer da
substância física.
E
M
F
I
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I
M
D
D
E
F
Lógica de Predicados
O estudo da lógica que até agora fizemos incidiu sobre a chamada Lógica
Proposicional. Na lógica proposicional o conceito de validade é sustentado no
significado dos operadores lógicos. A linguagem desta lógica consiste nos símbolos
-letras proposicionais, que representam proposições;
-operadores lógicos,
, , ,
,
,
-parênteses, (, ),
e num conjunto de regras para construir fórmulas bem formadas (fbf), isto é fórmulas
correctas, que são as ‘frases’ da linguagem da lógica proposicional
-toda a letra é uma é uma fbf
-se
é uma fbf, então também
é uma fbf
-se
e
são
fbfs,
então
também
o
são
,
,
e
.
[estas regras permitem construir todas as fórmulas correctas]
Exemplos de fórmulas correctas:
a
b ,
a
b
c
; geralmente
subentendemos algumas regras de precedência entre operadores, que nos permitem
poupar parênteses; estas duas fórmulas podem ser escritas do modo
a
b,
a
b
c
.
Exemplos de fórmulas incorrectas:
a,
b
c
.
A lógica proposicional não é no entanto suficientemente expressiva para formalizar
certos tipos de argumentos.
Por exemplo, o argumento seguinte não pode ser formalizado na linguagem da lógica
proposicional, por esta não dispor de ferramentas para traduzir expressões do tipo
‘Alguns elementos de A’ e ‘Todos os elementos de A’.
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Todos os homens vivos são seres que respiram.
Alguns homens vivos são ginastas olímpicos.
Alguns seres que respiram são ginastas olímpicos.
Expressões que envolvem a palavra ‘Alguns’ podem ter significados distintos, mesmo quando são iguais. Por exemplo, nas afirmações
Alguns homens altos jogam basquetebol Alguns homens altos são nadadores
as expressões ‘Alguns homens altos’ não se referem, nas duas afirmações, ao mesmo subconjunto do conjunto dos homens.
Para podermos formalizar argumentos como o anterior precisamos das vantagens da chamada Lógica de Predicados. Esta lógica contém a lógica proposicional e permite-nos analisar uma gama mais vasta de argumentos, sendo adequada para exprimir uma parte significativa da matemática.
Um predicado é uma expressão do tipo ‘ x é um número par’, ou ‘se x e y são mãe e filho,
então x é mais velho que y’, que adquire valor lógico quando as variáveis são substituídas por
elementos de um dado conjunto. Geralmente os predicados representam-se no estilo de funções, por exemplo, p(x)= ‘x é um número par’. Neste caso p(2) é uma proposição verdadeira e p(3) uma proposição falsa. Não se pode chamar a p(x) uma proposição, da mesma maneira que não se diz que x+5 é um número. Pode dizer-se que p(x) é um predicado ou uma expressão proposicional.
Para se formalizarem proposições que envolvem expressões como ‘Todos’ e ‘Alguns’ introduzem-se os chamados quantificadores universal e existencial, respectivamente, da lógica de predicados.
Quantificação universal
Seja p(x) um predicado. A proposição
x
A, p(x)
lê-se “Para todo o elemento x do conjunto A a proposição p(x) é verdadeira”.
Esta proposição da lógica de predicados é verdadeira se e somente se p(x) é verdadeira para todos os elementos do conjunto A, e é falsa se p(x) é falsa para algum elemento de A.
ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar Exemplos
x
N, x
0
, é uma proposição verdadeira; neste casox
0
é o predicado.
x
N, x
2
, é uma proposição falsa, uma vez que existe um elemento de , o número 1, que substituído na variável do predicado o torna numa proposição falsa.Quantificação existencial
Seja p(x) um predicado. A proposição
x
A, p(x)
lê-se “Existe pelo menos um elemento x do conjunto A para o qual a proposição p(x) é verdadeira”.
Esta proposição é verdadeira se e somente se p(x) é verdadeira para pelo menos um dos elementos do conjunto A, e é falsa se p(x) é falsa para todos os elementos de A.
Exemplos
x N, x 5
, é uma proposição verdadeira.
x N, x 2 x 2
, é uma proposição falsa, uma vez que não existe nenhum elemento de
N
que seja simultaneamente maior que 2 e menor que 2.Negação de proposições envolvendo quantificações
x A, p(x) x A, p(x) x A, p(x) x A, p(x) As negações de expressões envolvendo quantificadores existenciais e universais, são uma extensão das leis de De Morgan da lógica proposicional a expressões com um número qualquer de operadores de disjunção ou conjunção, podendo este número ser infinito. São por isso designadas por Segundas Leis de De Morgan.
[Observação. Esboço de justificação de estas leis se chamarem Segundas Leis de De
Morgan.]
Se for
A
1, 2,3
e se
p(x)for uma propriedade sobre os elementos de A, então x A, p(x) significa p(1) p(2) p(3) ,ESTiG/IPB Departamento de Matemática Mário Abrantes http://www.ipb.pt/~mar
