Processo auto-instrutivo - Matemática, 5ª série, 4ª edição, 1979.

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PROCESSO

>1UT0-INSTRUTIV0

_Historinhas O i s n e y ^ □ A vistaCM 695,00 o u

lb j I Sparctiud^*-_{5 I—I CftîijOo^ " tf r}

fClPIONE D| piERRO NEffO

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SCIPIONE Dl /PIERRO /NETTO

Matematicd

PROCESSO

CIP-Brasil. Cataiogaçâo-na-Fonte

Câmara Brasileira do Livre, SP

Di Pierre Neto, Scipione,

1926-D63p PAI matematica: processo auto-instrutivo; 5? série, 6? 1P grau/Scipione Di Pierre Nette. — 4. ed. — Sâo Paule:

4.ed. Saraiva, 1979.

Suplementado per manual do professor.

1. Matematica {IP grau) I. Tftulo: Matematica

PAI. II. Tftule: PAI matematica.

7 8 - 0 6 3 5 C D D - 3 7 2 . 7

Indice para catalege sistematice: 1. Matematica: Ensine de IP grau 372.7

4? ediçâe

\

Supervîsâo Editorial: José Lino Fruet

DIagramaçâo: Milton Takeda llustraçôes: Joâo Garglulli Capa: Eunice T. Toyota Leteraçâo: Sérgio Lorusso

SARAIVA S.A. — Livrelros Editores

S a o P a u l o — S P Av do Eoiiisaiio 1897 Tel 10111026 8422 Befo Horizonte — MG B CehadeSou/a^b7, Ba,r,oSaicadaFam,i.a Tels (0311461 9962 e 461 9995

Rio de Janeiro ~ RJ

f«"dc.n.2231 'e' '0211201 7149 e2614811 S % • »

J o v e m A l u n o

Este llvro de quinta série pretends ser para você um auxiliar seguro no aprendizado da Matemética. Repare que cada assunto tern très etapas:

• A primeira, a cargo de seu professor, consta das exposiçoes

n e c e s s à r i a s .

• A segunda estara sempre a seu cargo e chama-se FAÇA VOCÊ. É uma parte Importante, onde você deveri interiorizar o co-nheclmento através de uma conquista pessoal.

É provavel que surjam algumas dificuldades nesta etapa, mas,

ao supera-las, voce tera dado um grande passo na aprendizagem. • A terceira etapa é o FAÇA EM CASA. Esta é realmente uma etapa essencial e significa um compromisso que você deve as-sumlr. Lembre-se de que ninguém aprende a nadar, olhando

O S o u t r o s .

Estas etapas signlficam um modo eficiente para você crescer em Matematica. Nao se esqueça de que se você nao tiver segurança em Matematica, estara à margem dos principals fatos dos nossos dias. Veja que é facil. Muito mais fâcil do que você sempre imaginou. Tenha um bom trabalho e disponha da gente.

I n d i c e

CONJUNTOS, RELACÔES E FUNÇÔES ^

1Q PARTE - CONJUNTOS

7

1 - PRIMEIRAS IDÉIAS

1 - 1

-

F A Ç A

V O C É

7

2 - SUBCONJUNTOS

2 . 1

-

F A Ç A

V O C Ê

1 2

3 - IGUALDADE DOS CONJUNTOS

4 - OPERAÇÔES UNIÂO E INTERSECÇ^

4:2 :

5 — CONJUNTO DAS PARTfq nc

5 . 1 - F A Ç A V O C ^ ^ 2 5

6

-

F A Ç A

E M

C A S A

2 6

P

ARTE - REEAÇÔES E EUNÇÔES

7 - RELAÇÔES BINÂRIAS

7-1 - Pares ordenados

7.2 - Produto cartesiano

7-3 - FAÇA VOCE

8 - PRODUTO CARTESIANO: TABELArn" 35

8-1 - FAÇA VOCÊ DUPLA ENTRADA _ |

8-2 - Um iogo:

'

"

-p

^ ■ 4

-

:

F A Ç A

^

V O C E

:

4 1

S

l a i ' !

R E L A Ç Ô E S

«

10 2 ^ '"4 ® ....

1 0

3

I

®

4 3

1 0

A n t i - s i m é t r i c a

4 3

- s « ™ 2 L : ; : : ; ; ; ; ; ;

«

1 1 : ;

:

S t

' •

«

1 2 -

F A Ç A

E M

C A S A

5 2

N Ù M E R O S N A T U R A I S 5 7 ; a P A R T E - 0 C O N J U N T O D O S N Û M E R O S N A T U R A I S 5 7

1

-

0

C O N J U N T O

D O S

N Û M E R O S

N A T U R A I S

5 7

1 . 1 — C o n j u n t o s e q u i p o t e n t e s 5 7 1 . 2 — C a r d i n a l d e u m c o n j u n t o 5 5 2 - P R O P R I E D A D E S D O C O N J U N T O I N 5 9 2 . 1 — I N é i n f i n i t e 5 9 2 . 2 — I N é e s t r i t a m e n t e o r d e n a d o 5 9 2 . 3 — 0 c o n j u n t o ( N e a s e m i - r e t a n u m e r a d a 5 9

2 3

P A R T E

-

O P E R A Ç Ô E S

E M

I N

6 0

3 - P R E L I M I N A R E S 6 0

4 - A A D I Ç Â O E S U A I N V E R S A , A S U B T R A Ç Â O 0 2

5 - P R O P R I E D A D E S D A A D I Ç Â O 0 3 5 . 1 — C o m u t a t i v a © 0 3 5 . 2 — A s s o c i a t i v a @ 1 0 3 5 . 3 — E l e m e n t o n e u t r e © 0 4

6 - CÀLCULO DO VALOR DESCONHECIDO NUMA IGUALDADE @4

6 . 1

-

F A Ç A

V O C É

g g

7 - A M U LT I P L I C A Ç À O E S U A I N V E R S A , A D I V 1 S À 0 3 - 7

8

-

U M A

O B S E R V A Ç À O

I M P O R T A N T E

g g

9

-

P R O P R I E D A D E S

D A

M U L T I P L I C A Ç À O

g g

9 . 1

—

C o m u t a t i v a

©

g g

9 . 2

—

A s s o c i a t i v a

@

g g

9.3 — Distributiva da multiplicaçao em relaçâo à adiçao O

10 - CÀLCULO DO VALOR DESCONHECIDO NUMA IGUALDADE

10.1 - FAÇA VOCÊ

1 1

-

A

P O T E N C I A Ç À O

y ^

12 ~ PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÀO - POTËNCIAS DE MESMA BASE y^

1 2 . 1

—

O s

e x p o e n t e s

z e r o

e

u m

;

y ^

1 2 . 2

-

F A Ç A

V O C É

7 6

1 3 - P R O B L E M A S C O M N Ù M E R O S N A T U R A I S y y

1 3 . 1

—

P r e l i m i n a r e s

y y

1 3 . 2

—

A l g u n s

p r o b l è m e s

r e s o l v i d o s

'

. 7 0

13.3 - FAÇA VOCÉ

14 - FAÇA EM CASA

N Ù M E R O S

I N T E I R O S

q q

7? PARTE - O CONJUNTO DOS NÛMEROS INTEIROS

1 - INTRODUÇÀO

1.1 - FAÇA VOCÊ

2 - 0 C O N J U N T O D O S N Ù M E R O S I N T E I R O S

2.1 - FAÇA VOCÊ

2.2 — Numéros inteiros opostos ou simétricos

23 PARTE - OPERAÇÔES EM £

3 - A ADIÇÂO

3.1 - FAÇA VOCÊ

4 - PROPRIEDADES DA ADlÇÀO

4.1 - Comutativa © 4.2 — Associativa 4.3 - Elemento neutre ®

4.4 - Elemento Inverse 0

5 - A SUBTRAÇÂO

5.1 - FAÇA VOCÊ

6 - EXPRESSÔES

6.1 - FAÇA VOCÊ

7 - determinaçào de um nùmero dËscon'up7,'"

7-1 - FAÇA VOCÊ t^HECIDO NUMA IGUALDADE

8 - A MULTIPLICAÇÂO

9 - PROPRIEDADES DA

^•1 - Comutativa ©

9-2 - Associativa @

9.3 - Elemento neutro ©

9.4 - Distributiva da

9.5 - FAÇA VOCE ' à adiçio ■ ©

10 - A DIVISÀO

10.1 - FAÇA VOCÊ

11 - determinaçào DE um

11-1 -FAÇA VOCÊ . ^ESCONHECIDO

12 - A POTENCIAÇÀO

12.1 - FAÇA VOCÊ

13 - œERAçôEs COM

13.1 - FAÇA VOCÊ

14 - FAÇA EM CASA

GEOMETRIA INTUinvA

1 - PONTO, RETA E

1-1 - FAÇA VOCÊ

2 - SUBCONJUNTOS DA

2-1 - FAÇA VOCÊ

3

-

m e d i d a

d e

Z I

4 - CURVAS ABERTas

5 - CURVAS FECHADAS

5.1 - FAÇA VOCÊ

6 - REGIÔES CONVEXAS

6.1 - FAÇA VOCÊ

7 - PosiçôEs DE duas'ret^"!;-;;

7.1 - Posiçaes relativas de H '" :

8 - SEMIPLANOS _ ÀNGULOS

8.1 - FAÇA VOCÊ

g - medida de ÀNGULOS

tQ _ FAÇA EfW CASA

9 7 9 7 9 8 9 9 9 9 9 9 9 9 1 0 0 1 0 0 1 0 0 101 1 0 3 1 0 4 1 0 7 1 0 8 1 0 9 1 0 9 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 111 11 4 1 1 4 1 1 7 118 11 9 1 1 9 1 2 1 1 2 2 126 1 2 6 1 2 7 129 1 2 9 131 131 1 3 2 133 134 136 1 3 8 1 3 8 1 3 9 1 3 9 1 4 0

C 0 5 > y J U 5 M T C i

Î^ELAÇÔES E

i F U N C G E S

^ PRIMEIRAS idéias

V = . :

"an "coleçâo de selos", "coleçgo ^ iivros". "i*® ®®tDdantes'

N a M a t e t e r m e s " c o l e ç â o " e " g r u p o "

^ tiâtica substitulrerpo®

Dm aluno da 5?

i-ie, diz:

f^/STTO é

c o A / c r a A J T O \ ~ S < ^ L O S .

ISTO É tJM

DE estudantes

^'STO É UM

^OLINHAS.

E ISTO É UM CONJUNTO ug L - A _

dois conjuntos

.^^rentes Conjunti'

Observe o conjunto das estaçôes do ano:

V L i I L

Note que:

Para représentât um conjunto utilizaremos:

• uma letra maiùscula do nosso alfabeto para o seu nome

• letras minusculas para seus elementos, colocados entre chaves.

A s s i m :

0 c o n j u n t o d a s e s t a ç ô e s d o a n o f o r m a d o n e i n c n • ^

. . e l e m e n t o s : P r i m a v e r a , V e r a o , O u t o n o , I n v e r n o

pode ser representado por:

^ = {P' V,. 0, i}

o n d e :

p représenta Primavera, que é elemento de E

V représenta que é eleimento de f.

0

r e p r é s e n t a

q u e

é

g

1 r e p r é s e n t a q u e é £

Veja ainda:

Diz-se que; Representa-se

por-p por-p e r t e n c e a o c o n j u n t o E por-p e E

V p e r t e n c e a o c o n j u n t o E v e E_{^ r e p r é s e n t a}

o " p e r t e n c e a "

; > . . . . . . .

Ve j a :

Se um aiuno estuda: Português, Matematica, Geografia, Historia, Ciências, Artes e Inglês, entâo o conjunto D de suas disciplinas é:

D = {Português, Matematica, Geografia, Historia, Ciências, Artes, Inglês} D = {p, m, g, h, c, a, i}

Blologia

A r t e s ^ F r a n c è s

Latim Qui'mica

Diz-se que: _{Representa-se por:}

f nao pertence a D q a . H : . f ^ D

q d. .D...

A s s i m : Representa-se por:

c . . . £ D

g . . . £ D

a . . . . é , D

P ■■ £

D

h D i . . . . f e D m D f é D

q . . . £ D

e D

b . . d D

Diz-se que: c p e r t e n c e a D g a D a D p a D h a D i a D m a D f nao pertence a D q a D e a D r e p r é s e n t a 'nao pertence a' b „

/ P ^ c a c A O

p a ' / P T / A / ^ A / C / A S A / f / P e ^ o s Z O O S A O A j j z j A / r o s s O s T

-aaAJoz/A/rx^s^ j

8 9

1.1 - FAÇA VOCÊ

1. Représente os seguintes

a) 0 conjunto A das

A =

conjuntos:

^ogais do nosso alfabeto:

. s i . )

b) 0 conjunto B das ^ '

^onsoantes do nosso alfabeto:

B = {S.„ _ ,v., . D ^ _ _g_ ^

c) 0 conjunto C dos

C = ^ias da semana (escreva os elemen^®^ P'^'' extenso):

d) 0 conjunto D das ■^,enso)':

rv r da bandeira brasileira (por e

°

=

}

e ) 0 c o n j u n t o E d o s , •

. >. .^.'î'wC.ï»<7/;Ç

C _ r ^^'■'■itôrios brasileiros {por extens

S .

o)'

< '

}

f) 0 conjunto F das

p _ { jp ■' musicals (por extenso):

g) 0 conjunto G dos

■^£., .LA. .S.5.L. ...Uw ••

G - / A ^'^rneros naturals de 0 a 10: .

- 1

^

u

1

X .

_0...}

2. Observe os conjuntos

a) 1 pertence a A

^ ' B , C das figuras ao lado e

b )

3

A ,

^

c) 7 nâo pertence a a indica: 3 .S» i..;... .

d) 8 , ' ' --f- , q'Je se indica: 7 ^ ....7 J X e ) 0 D * s e i n d i c a : 8 . . 2 l A . . . •_{^ • ' C | .}

f) 6 ^ ^ indica: 0

g )

p

s e

i n d i c a :

6

£ . . .

•

q u e s e i n d i c a : p ; q u e s e i n d i c a : q • b) q i ) n * " V i ) r ® s e i n d i c a : n . . . ! que se indica: r r Q U E R O / Z E R Q U E R O / Z E R / \ £ ^ 0 3. Sejam os conjuntos: A = {a, b, c, d } B = {i, o, u } C = {f, e}

Complete as sentenças seguintes usando os sfmbolos

E o u d e m o d o q u e e l a s s e t o r n e m v e r d a d e i r a s :

S: RERTEAJCE __

a M O R E R T E A / C E

a ) b A b ) i A c) u ..6... B d ) e C

e) a £... C

f) d .i:... B

g) o h ) f i l u j ) c l ) d m) i e

i

f

'1

B B A C A C n ) f . o ) c . p) a . q) b . r ) e

s) a ..C.

C B A C B 8 4. Sejam os conjuntos: A = {G, 1 } B = {2. 3. 5} C = {4, 5, 6}

Preencha o cartao da Loteria Matemàtica, usando os conjuntos dados acima e seguindo as regras abaixo.

19) Se a sentença da esquerda for a verdadeira assinale a coluna 1. 29) Se a sentença da direita for a verdadeira assinale a coluna 2.

39) Se ambas forem verdadeiras assinale a coluna do meio.

L o t e r i a M a t e m à t i c a

X

x < r

X

X

X

X

: i 2

1 0 e A 2

X 3

C 3 e B 4 4 e C 5 1 e B 6

X ^

e A 7

X 3

₀ A 8 1 B 9 2 B 1 0 0 e C 1 1 6 A 1 2 B 1 3 5 A 2 G B 6 e

B 1

1 ^ A i 1 3 e 1 B 6 G

c X

5 ^ c 1 3 0 B 1 0 C 1 5 G

C X

4 ^

A X

0 ^ B 2 G C 0 ^ B F A Ç A E M C A S A - i t e m 6 SeqCiêncla 1, pàg. 27. 1 0 11

2 - SUBCONJUNTOS

Seja A o conjunto dos paises da

América do Sul banhados pelo Oceano

A t i a n t i c o .

A= {Colombia, Venezuela, Guia

na, Suriname, Guiana

Fran-cesa, Brasil, Uruguai, Argen

t i n a }

o u

A = {c, ..y;., g, ..S".., Qf .B vJ...

g — représenta Guiana

gf — représenta Guiana Francesa

' " I , a o 3f rao ces» o - >,\o<^ o o T

Agora separe os pai'ses do conjunto A de acordo com os idiomas neles falados, ou seja:

B = (pai'ses de idioma português} logo B = {b}

C = ( p a i ' s e s d e i d i o m a e s p a n h o l } o u C = ( c , } D = (pai'ses onde se falam outros idiomas} ou D = (g, }

Note que:

OS elementos de B, de G e de D sâo

também elementos de A.

o u

os conjuntos B, C, D sâo

subconjun-t o s d e A .

A s s i m :

Diz-se que: _{Representa se por:} Lê-se:

B é subconjunto de A C é A D é d e A B c A C c A D ...C... A B e s t a c o n t i d o e m A C o n s i d é r é :

M: conjunto dos numéros naturals menores ou Iguals a 6

ou M = ;0, ...j R..., ...r. 5...W 6}

P: conjunto dos numéros naturals pares menores ou iguais a 6

P - ;0, .9. , ...hl 6}

Q: conjunto dos nùmeros naturals pares menores ou iguais a Tq

Q = { . . . Q ; > Ç ï

Complete os diagramas

Você diz que: Você indica por: V o c ê l ê :

P é d e M P é d e Q P M P ...C.... Q P . V l P Q o u P é subconjunto de M P é d e Q D Q M c o n t é m P Q P Note que: P é subconjunto de M e n t a o P c M o u M D P r e p r é s e n t a ' e s t a c o n t i d o e r ^ r e p r é s e n t a " c o n t é m " . 1 2

Sejam os conjuntos: A = {a, b, c, d, e, f, g,

B = {a, e, i}

V = {a, e, i, 0, u}

A s s i m :

Diz-se que: , Representa-se por: Lê-se:

6 B c A o u A D B B ..T,... V B . v B é d e V o u V .P.... B V B M i k V n a o e s t é c o n t i d o e m A V n a o é A o u A V A n a o c o n t é m V c i n d i c e . . . . ^ ; J . ' . .

^ indice

D i n d i c e , . A V / i n d i c e . ^ r . . v > . A e S / M . V O C E a S T A B E

-. ^ C E c a c y a M A / p e c a ç a o

O E / A / C L O S A O E A / -T E E C O A / J U A / -TO S . ^

CONJUm^q

o u

CONJUm^ç^

C O N J U N T O C O N J U N T O

Sejam, agora, os conjuntos: B = {0, 2, 4, 6, 8}

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A

N o t e a s a f i r m a ç o e s : ,

^rn elemento de A.

ia) Todo elemento de B é tar^ 2a) B c A ou A D B.

a 2 . 9 .

• A la afirmaçâo nos iev^ ^a 1?.

• A 2a-afirmaçâo nos lev3 ^

TEMOS E>C/AS

O c j

o a T / 3 A .

U t i l i z a r e m o s = > para representar i m p l i c a . A s s i m :

/ Todo elemento de B

^ também é elemento de

e B c A / o u A D B T o d o B c A o u A D B

elemento de B ^

\ é elemento de A. y

Perceba, entao, que gg dues

afirmaçoes expressa^ ^

idéia: B é subconjunto de A

Entao, elas sao chamades équivalantes.

U t i l i z a r e m o s p a r a

r e p r é s e n t â t é q u i v a l e a .

Logo:

T o d o e l e m e n t o d e B t a m b é m é e l e m e n t o d e A B c A o u A D B .

2. - - -.CAVOCÉ

1. Dados os coniuntos A e B e sendo A = {a, b v> e B r .

a) a é elemento de A « a a. ' ''

b l b e B ^ b é B

elemento de A <=5. | ^

d) V .J.. elemento de B <=> v ....e b

e) n A <=, n na-Q é de A

f) Todo elensento de A .a.bé. ele.en.o de B

g) A e subconjunto de B <t=s. a ...ç; b

h) A é Avi-L^--i..^^Vde B <î=> e

i) A C B <=> todo elemento de A é J.r. 0-''

;) B D A ^ todo elemento de .xi. é tam'h' '

e tambem elemento de £

2. Coioque V eu F. conforme cada uma das s. ,

a) 2 é elemento de {2 3> v " ^^guintes seia verri x •

W {2} é subconiunto 1 L ■Y) ""dadeira ou falsa;

Preste atençao, pense e... bom divertimento!

a) 2 é elemento de {2, 3}

b) {2}é subconjunto de ^2 '^\

0 5 6 {1. 2. 5} ^

d) 3 6 {2. 4, 6}

e) 2 ^ {2, 4, 6}

{2, 3} e {2. 3, 4}

g) {2. 3} C {2, 3, 4}

h) {0}C {0. 1}

') {0, 1, 2}D {0, 1 21

i) {0. 1. 2}C {0, i;21

'^7 6 {0, 1, 2, 5, 8}

m) 6 6 {0, 2. 4, 6, 8}

n) (6}C {0, 2. 4, 6 81

o) {5. 7, 9} D {5, 71

P) {5, 7, 9} c {5,

•;Y) ';v) <Y) (P) ( P I ( V ) (VJ (V) (V) ( n ( V j (V) ( Y ) ( P I

^ COA7

_{^ COV/Tt^TO.}

^ l e m s a j t o

!^^AC/OAyAM

COAJ-iy COM coA/jri/Ay7x>.^ ■

3. Considerando os coniuntos seguintes m ,

.1

..i. , 4 -""'S^^i^a

0 con,unto B dos nûmeros natural -• ^

B = {0, ..J. . u "ignores ou'T

-0 coniunto C dos nùme^^;,;;

C = { . . / . V " " ® " O r e s n

O coniunto D dos nùmero:;;;-,;;";; ^

SI l..,i

O s n t r o

d B

c s d B

b a l i o

®

de gis existe uma sentença

matemàtica. Algumas delas

sac verdadeiras e outras

sao falsas. Pinte com um

lapis de cor verde os baiôes

que contêm as sentenças

verdadeiras e corn um lâpis vermelhn

os que possuem as sentenças fa^

1 6

b) Para os mesmos conjuntos A, B, C e D do exercicio anterior, complete as sentenças seguintes usando

bolos 6, C e D e suas negaçôes, de tal modo que se tornem verdadeiras:

sirn-a ) 2 A I ) B A b ) 2 B m ) A C

c )

2

. 1 . . .

C

n )

{ 1 ,

3 ,

C

d ) { 0 , B o ) { 0 { 0 , 2 }

e )

{ 0 ,

2 } . X . . .

A

p )

{ 0 } . . . 2 . . .

{ 0 }

f | { 0 , 2 C q ) { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 } . , . ? . . . B

g) {3, 5, 7}...r,.... {3, 5, 7} r) {1, 3, 5}...?.... {1, 3. 5, 7}

h ) { 3 , 5 , 7 1 . . . . Ç . . . . C s ) { 1 { 3 , 5 }

i) {3, 5, 7}....C,.. D t) {1, 3, 5, 7, g}...*;... A

i * ^ ^ u ) A C . . . . J . . . D 1 7

4. Domino de palavras

. Hp nalavras importantes para voce, fclas aparecem agrupadas conforme o

Neste problema aparece um ^ " „,„sporta-las para o quadro abaixo colocando em cada espaço

numéro de letras que as compo m p^rte de duas palavras ao mesmo tempo. No quadro jà esta'o escritas

v a z i o u m a l e t r a . A l g u m a s d a s l e t r a s t a z e m p d i i c ^ ^ t

palavra- - nue servem de ajuda para voce. ^

Para nâo se se no seu significado. v a z i o u m a l e t r a . A l g u m a s d a s l e t r a s -° i x » - - ' ^ ç a - o e . . . p a n . ç i f i n i f î r s r i n . 5 letras 7 l e t r a s I G U A L CONTIDO 6 letras CONTÉM 1 1 l e t r a s PERTINÉNCIA SUBCONJUNTO EQUIVALENTE 8 l e t r a s CONJUNTO PERTENCE ELEMENTO D I A G R A M A INCLUSÂO E Q U I V A L E 9 l e t r a s MAIÙSCULA MINÛSCULA I G U A L D A D E

3 - "UALDAl : »OS UNTOS

Considéré:

A: conjunto dos numéros naturals de um sô algarismo

'

s

s ,

,

B: conjunto dos numéros naturals menores que 10

B = { . . . 5 ? . 1 . M " ,

N o t e ;

(Todo elemento de A é também elemento de RI

ù ®

(Todo elemento de ...r... é tamfaém pi^

®'®"iento de .

1 8

'

^

B c

A

1 9 } < = s t ,

A -C....

E S P E / ^ e / U

EQUmLE,^/-Q U E A E .

/ G O A L B f

( c: lE-CXZé' /Ay£P/GAK/?^

/ ^ T Ï D O O A ^ t A = S l m b o l l c a m e n t e : A C B 0 B C A A = B C o m p l e t e : V: c o n j u n t o d a s

Qgals do nosso alfabeto V = {....g,...,

, * 4 : ' ' " F . . . . , . . . . A . . . .

L: conjunto forrh. ,

^do pela 1?, 5?, 99, 149 e 209 letras do nosso alfab

L = ,

...A...., ...fi...., ..AA....}

(V ....Q... L ^^ L . . . . ç . . . . V ) V . . . r. . . L e t c 4 - OPERAÇÔES

Uh,.-■^lAO E INTERSECÇAO

4 . 1 - U n i â o e i n t e r s t . . . ^çao de conjuntos Considéré o conj), n t o U d a s a l u n a s d e U = {Ana, Betty U = (a, b, c, d, Suponhamos que u m a é q u i p é .

• Claudia, Diana, Elza, Fatlma}

o u

X . . . }

^Xistam alunas altas, alunas baixas e alunas loiras e sejam'

A o subconjunto

das alunas altas ou A = {a, c,. f}

L o subconjunto

das alunas loiras ou L = {c, d)

B o subconjunto

das alunas baixas ou B = {b, d, e}

É claro que exlst^^

19} Alunas altas r-, , . l o i r a s . 20) Alunas altas

If

\n

. À

H

lï]

èêrji

_ÙJ-ÙJ

QUAL SEPP."

P / P E P E A / E A

y EAJTEE

3 9 ) A l u n a s b a i x a s l o i r a s .

49) Alunas baixas j ou I loiras.

Veja entao a diferença;

As altas |ou| loiras

f ^

L

V '

w

1 f \ e \

( ^ 1 1

_W

_b

_j

A o u U = {a, f, c, d} o u a i n d a : L f a f y .

V

^

v

_{V ' J}

A l o u l L

Neste caso realizamos a uniâo dos conjuntos

A e L . A s a l t a s l o i r a s

A 0 L = {c}

o u a i n d a : A fi l L 2 0

Neste caso realizamos

' i"tefsecçào dos conjuntos

A e L.

Examinemos a questâo em outre exemple: seja pois o mesme Universe, isto é, o mesmo con-junte A das alunas da ta! équipé, eu seja:

A = {a, b, c, d, e, f}

Fermâmes es subconjuntos determinados pelas sentenças:

"Alunas baixas [ou | loiras'

A s b a i x a s f ô û l o i r a s B e u L B [ e u I L = { c , d , b , e } N e s t e c a s o r e a l i z a m o s B u n i â o L . A l u n a s b a i x a s [ ë ] l o i r a s "

As baixas iël loiras

B m L

B @ L = {d}

c o A j ^ r o ' A y T C )

\ U A / / 7 > ^ / 0 / / '

P o d e m o s e n t a o d é f i n i r :

Dados dois conjuntos M e N, a uniâo de M e N é o cenjunto que contém os elementos que pertencem a M ou

a N.

I n d i c a - s e I V I u N .

Neste caso realizamos B intersecçâo L.

Dados dois conjuntos M e N, a inter secçâo de M e N é o conjunto que con tém os elementos que pertencem a M e

a N s i m u l t a n e a m e n t e . I n d i c a - s e I V i n N ,

N) D 2 0 (/» CD < 01 _•o o' s CD (/> CD O _•o tti o o c Û) TD (D O _{O) (/>} s _CD

i/n\

b

(U)

p|

it

CO cr C _re O " _ N J I c _ ■■

c

^

C

-

C o" C 3 - C O i-w II C 03 •— " : Œ c '■ ro CD Œ 3 0) o o > 2 O /■ ' t 3 c CD X CD P 03 03 W-' 03 P ■g_ CD CD NO W-' P C C H) C O C r-^ O _1-.-' c 03 a a-C _p (O V) CÇ 3 A o II o n o' 03 3 fh U, 1! •O o _{NO w ■t^} NO i -U U/ 3 o Q. O _n c 3 <D 3 < rt> n □ . 03 a <0 : c o r> (D> o cr (D < ft) > c CD c o II _o M _O) N œ c / 3 CO n o c a CD (B 3 s' fS > c CD c o o o £1. o 3 Q. O (C u 3 r> CL m « B g C 3 03 Q. _{03 O} O 2. c' 3 n 0 ) ^ m c 2. 031 C O 3

&

§'

V) > o S 3 s p û . o CD O o O O _{2. "c"} 3 3 Q. o" 03 □ . O n 03 Q. o 3" C —I O) a o o c _{"2. 3*} r& CD > n î> < O o

5. Coloque verdadeiro (V) ou false (F) nas sentenças; U

A v ' ^ / C

6 \

(

1 0 /

V 2 Vy

a) 2 G A u B = > 2 € A o u 2 G B (^1 b) 3 ^ A U B => 3

^ A e 3^8

iV) c)

2 G A e 2 ^ B

=> 2 G A U B _M d ) 4 G A e 4 G B

=> 4 ^ A U B

{^) e) 5 6 A e 5 ^ B => 5 ^ A U B (F) n 0 G A e 0 G B =î> 0 G A U B _(Y)

6. Faça urn hachurado ou pinte, em cada diagrama, A n B.

a) b ) u U

n

n

vjy y

AU WB

c) u

^ 0

V ' ■ '

9. Complete as sentenças abaixo de modo que se tornem verdadeiras:

a) {x, y} n {x} = b) {x, y} n {a, b} = c) {x, y} n 4" =

d) {a, b, c} n ..Sa..) =

e) {a} n {b} n {c} = f } { 1 , 2 , 3 } n n 4 } = { 2 } g) {0, 2, 4, 6} n {1, 3} n {1} =

h} {0, 2, 5} n {1. 3} n {1, 3} = .■ ^

i) {1, _ s > {2/....^....^ 4} n J. 4} = {2, 3}

10. Coloque V ou F conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas:

a ) X e A e X e B X G A n B ( V ) f ) X ^ A e X G B _{=>. X G A n B} b ) X e A e X G B => X G A u B { VO g) X G A U B - X G A ( V ) c) X G A e X ^ B => X G A u B ( V h ) X G A n B => X G B ( V ) d ) X 0 A e X G B => X G A u B ( V ) i) X G A n B => X G A ( V ) e ) X G A e X ^ B X G A n E ( T ) i) X G A u B X G B ( V ) ( F

FAÇA EM CASA - item 6 Sequência 2, pàgs. 28 a 30.

7. Determine A n B n C em cada um dos diagramas (faça um hachurado ou pinte).

g ) _U

Ù.

3

8. No exercicio anterior, em quais diagramas você obteve A H R n

A n P n C = 4» : {....Ç-..., 0 , H «nc =

- I 1

- J }

5 - CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO

Dado G conjunto A == {a, b, c}, vamos construir os possiveis subconjuntos de A:

a) com nenhum elemento: { } ou «f». b ) c o m u m e l e m e n t o : { a } / {

c) com dois elementos: {a, b}, ....S:...}»

d ) c o m t r è s e l e m e n t o s : { . . . ' . 7 . . . . , » C O / W A^S'AJ7~'C>Q é O

^ O O A X T U A / 7 X ^

V ^ • —

Agora, vamos construir um conjunto formado com todos eles.

{

< ) >

.

{ a } ,

{ 3 '

b } ,

{

,

} ,

{

Dizemos que d'(A); conjunto das partes de A.

Dado o conjunto B = {0, 1, 2}, construa os possiveis subconjuntos de B:

a) com nenhum elemento:

b ) c o m e l e m e n t o : { } , { . . . 1 { ) •

c } c o m e l e m e n t o s : { , } / { # } » } .

d } c o m

e l e m e n t o s :

{

,

} •

>. {a, b, c}} 2 4 2 5

Agora çonstrua J'IB):

^

} } .

J'(B) é 0 das partes de ...L.

}. { _{} . { ,} .}r

Dado 0 conjunto C - {x, y}, construa o conjunto das partes de C.

:P(C) = {J jK. V...

5.1 - FAÇA VOCÉ

1. Dado D: {2. 4, 6. 8}, complete:

a) Subconjuntos de D com nenhum elemento; J- ■

b) Subconjuntos de D com 1 elemento- { ^ .}■ {---J' ï-'-^

}, {...'ri..- -t >■ t.

}, {...i!

}, {..a...,

.}.

tom nenhum elemento:

b) Subconjuntos de D com 1 elemento- { ^ ..)- <•

c) Subconjuntos de D com 2 elementos: {

{....J...

d| Subconjuntos de D com 3 elementos:

Ld.-e) Subconjuntos de D corn 4 elementos: ^ 1"'

j'iDi = {tU.3,.i,:Mj; i f/i ■;

2. Wandâo tem no seu boiso: bcmhn • .litos e chiclets. Vannos fazer o conjunto de doces que

maremos esse conjunto de q P'™'""

E n t â o :

D -> conjunto de doces.

^(D) - conjunto das partes de D

^ ~ {b, p, c}

U

}.

■L

V 1

ele tem-

Cha-= tP}- {c>, (b,p,, (,p,cM}

i - nm

Com base nisso, responda se é ve .

aï {b, p, c} C D ,, ®^'^adei

b ) b G D ^ ^

c ) { b } G D '

à ) J ' ( D )

iro ou false:

eï 0 conjunto das partes h r^

fï (P, c) c D J® ° é iguai ao conjunto dos subconjuntos de D.

_{: v )}

FAÇA EM CASA - item 6 Seqiiêncla 3, pàg. 31.

rt l), -■ ^

6 - FAÇA EM CASA Seqùência 1

1. Escreva por extenso os elementos dos seguintes conjuntos:

a) A: conjunto das disciplinas da sua 5? série. \ < j- /

' W ~ d 1 1 1 H

E l e m e n t o s : s . — ' ? . - » • ^

b) B: conjun to do s p ai'se s d a Amé rica do SuL r 1 (

-r ' , , t , . - - i E l e m e n t o s : ' , q ' ç n C ..Sj.V.S; c ) C : c o n j u n t o d o s c o n t i n e n t e s d a T e r r a . _ ^ E l e m e n t o s : D : c o n j u n E l e m e n t o s :

d) D: conjunto dos Oceanos. _c

-e) E: conjunto dos planetas do Sistema Solar. /? . ■ "J

E l e m e n t o s :

-;.Li.rutKt...

f) F: conjunto dos meses do ano que têm 30 dias.

Elementos: ...1.:...^ --î.-'

0 ' ■ ■ , - - ■ _

2. Représente os seguintes conjuntos:

a) O conjunto D do exerciclo anterior.

D = ( ^ :

b) 0 conjunto dos numéros impares de 13 a 25.

I

=

i . i „ ,

■■

c) O conjunto das cores do seu uniforme escolar.

C

=

^

d) 0 conjunto dos satélites da "("erra.

S =

e) 0 conjunto dos professores que voce mais gosta.

P = {....\.r;;.r..v.xvr, ^

2. Preencha o quadro ao lado, considerando co

c o n j u n t o s . A = {animais vertebrados} B = (animais invertebrados} C = (animais ruminantes} D = {aves} E = (peixes}

Como o câo é vertebrado colocamos S na co

correspondante; todavia ele nâo é invertebra o, n

ruminante, nem ave, nem peixe; assim co oca

n e s s a s c o l u n a s .

Paça o mesmo com os outros.

BBOOeCAd

o s e C B M E A J T O Q y S A O / e S ' / ^ ^ S S S ' A / ' 7 A / X : i S C O / W

J r/2AS

Am/z^soù"-) o ^ s ^ A / a s s o

B I C H O S c a o b o i c o b r a m o r c e g o t u b a r â o g a t o galinha s a b i à b o r b o l e t a a v e s t r u z mosquito beija-flor v a c a b a l e i a c a r n e i r o A B O D E e ' S É è

e e .tR ;

: r

Πi

e ri . i , <C :

e . £:_£ C.l

_{■ £ -É.j}

i X%-X

r i ^

k. i d' j - ,t

e

X

'

'

2 7 i t

Sequência 2

1. Dado 0 conjunto A e os seus subcon}untos Ai, Aj, A3 e A4

faça um colorido dos conjuntos indicados:

Al U A2 A n A l Al U A3 A3 U A4

X

A3 n A4 A2 u A3 A n A 4 Al n Aj A2 u A3 u A4

2. Sejam: A = {0, 1, 2, 3}; B = {0, 2, 4} e C = {1, 3}.

Complete;

a )

A

U

B

=

' I j

b ) A U C = { „ 2 . . A }

c) A n B = {,,0 . )

d) (A n B) U C = { i ^ ...i }

e) (A U B) n C = 2;.J >.

f , ( A n C ) U B = { , J

g j { B n C ) u A = { J

h, (B u C) n (A u Cl = { 0 'Z!, .J.j

i, (AUB)n(AUCU( ^

i ) ( A n B ) u ( A ° . I _ J

p / e / M E / P O

-QQ p^PEA/TlEEES'

o :

3. Num dado universe U, sendo A e B os conjuntos indicados em cada caso, faça um hachurado ou pinte de uma

c o r a r e u n i â o d e A c o r n B :

4. Sendo A, B e C conjuntos do universo U, determine A u B u C cotorlndo as figuras;

a )

U ô/OAJir/CA

7 ^ £ : : o s o s s z . s y ^ s z - j ' T O ^ p S T O C X O S o s C O A J -^ U A / T O S . b ) _u

u

5)^

c) N u

t

y

_y

5. Preencha o "volante" da Loteria Matemàtica:

A regra é;

a) Sentença sempre verdadeira: coluna 1

b) Sentença sempre falsa; coluna 2

c) Sentença duvidosa, isto é, se puder ser verdadeira ou falsa,'dependendo do elemento de

c o l u n a d o m e i o . que se esteja tratando;

Sentenças: D a e A a G A U B 2 ) a € A - » • a G A H B 3 ) x € B - ^ x G A U B 4 ) x e B - j - x G A H B 5) V € A e V e B 6) y € A e y 0 B 7) t ^ A e t G B y e A n B y G A n B ^ t G A U B 8) t ^ A e t G B 9 ) m G A n B 1 0 ) m G A U B 11 ) m G A U B 12) m ^ A U B 13) m ^ A n B 1 4 } h G A U B 1 5 ) h G A n B t G A n B m G A m G B m G A m G A m G B h G A n B h G A U B V D F

Depois de ter feito o seu jogo verifique quantos pontes voce

f e z , d i s c u t i n d o c o m s e u s c o

-legas sobre os que vocè errou.

1 2 3 4 5

X

M

®

X

X

1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 9 2 8

6. Nos seguintes diagramas indique com lapis colorido o que se pede: A U B A H B A U C A O C B U C B H C Seqùêncla 3

1. Dado o conjunto A = {a, b, c}, faça o conjunto das de A a coloque V

J'tAÏ =

a) t() G J'(A) (' ) b ) { a } C A ( )

c ) a e A ( )

d) ^(A) tem 8 elementos. (V) e ) A ^ f f { A ) ( P )

f) A C J'(A) (Vï

g) A SZ: J'iA) ( 1 h) {b, c} € j>[A) (V'I i) {a. b. c} € ^(A) (' )

^^//WjSCXiO ,

( a m o d i a ,

%oajt/oo) SO

^ USAOO Dë:

^ A / J - C / A / T V

/ = > A / ^ A

^ A / J Z / A / T O '

7. Para os seguintes pares de conjuntos faça um grâfico (que se chama diagrama de Venn) que représente:

a) A = {pronomes pessoais do caso reto}

B = {eu, tu, Ihe}

b) M = {colegas que.mbram perte de sua casa}

N = {colegas que fazem parte de seu grupo de trabalho}

G) R - {Amazonas, Solimôes, Sao Francisco}

S = {Tietê, Parana, Amazonas}

d) P = {numéros pares} I = {numéros fmpares}

e) N = {numéros de um s6 algarismoj

M = {numéros (mparas menores que iqj

r

2 ? p a r t e

gfUNÇÔ^l

7 RELAÇOES BINARIAS

7.1 - Pares ordenados

. „„,™,o E * E.„,„

E„i,.i„,-^ E„i,.i„,-^ a la, Amazonas, Para, Cearé, Acre, Pernambuco] e o conjunto p

V a m o s

^

do a lei: ^ elementos, associando a um elements ^

^

^ m e n t o

d e

F

s e g ^

Obteremos:

I ^ ^ ' " "

Ao Estado corresponde a sua capital.

"tem como capital"

/V-F- O COA/'^,

^ c / A / r o

^

é

o

c o a j

'

< S 4 Z 3 4 .

Cada fecha indice "tem como capital"

Obtivemos os seguîntes pares;

{Bahia, Salvador), (Para, Beléml /r - c

(Pernambuco, Recife). (Ceara, Fortaleza),

A b r e v i a n d o - s e ( B a h i a , S a l v a d o r i / h t . . . c î

(b, s), (p, b), (c, f), (pe r) ^ assim por diante, obteremos os pares ordenado»

Dissemos | pares ordenadosl

ferente de (s, bT^: ' importante no par, uma vez que (b, s) é dr

(b, s) indica: Bahia tem corrjo es ' / <? /

(s, b) indica: Sa/vador tem r ^ que é verdadeiro, enquanto que;

capital Bahia, que é false! !l

C o n c f u s a o :

C a d a v e z q u e s e e s t a b e l e c e u m a r e i a c â o e n t r p ^

elementos sao pares ordenados. OtOS, forma-se um novQ COnjuntO CUjOS

Obtivemos entao o conjunto que chamaremos G. G = { (b, s) , (p, b) , (c, f) , (pe, r)}

Outre exemple:

Poden'amos proper os mesmos conjuntos noutra ordem, isto é: F = {Salvador, Beiém, Curitiba, Fortaleza, Recife, Natal}

E = {Bahia, Amazonas, Para, Cearâ, Acre, Pernambuco} e form^^

mente de F um elemento de E segundo a lei:

_{^Qres associando a um ^}

le-A cada capital o seu Estado

e obterfamos: S a l v a d o r B e l é m ♦ C u r i t i b a • Fortaleza R e c i f e ♦

(T AkC^O/SA ///

^ C COA/sriÀJTO \

B a h i a N . . A m a z o n a s P a r a C e a r à • A c r e • P e r n a m b u c o

,

„ S

- g a r a ) ,

P p r .

Os pares ordenados agora sao

(Salvador, Bahia), (Belem, P^ ^ qual

^®9uinte conjunto de pares ordena ^

^buco), que formarao

H = {(s,b), (b,p), (f,c), (--'P®

) } B

ESUIVl^

1 9 c a s o :

H = {(s, b)

G = {(b,s), (p,b), (c,f), (pe'

r ) } c a s o :

(b, p), (f, c), (r, Pe)}

E é o conjunto de partida. P é o conjunto de chegada. G é uma relaçao binàrla de E em F.

pjzemos

F é 0 conjunto de parti^^^.

E é 0 conjunto de chegada.

H é u m a r e l a ç â o b i n â r i a d e F e m E .

33

7 . 2 - P r o d u t o c a r t e s i a n o

Vamos formar uma relaçào binéria especial entre dois conjuntos A e B mas de ta! modo que

cada elemento de A se corresponda com todos os elementos de B.

Tomemos o exemple:

A = {Juca, Wander} b = {Diana, Graziela, Helena}

A = { J , w } B = { d , g , h }

Eles vac dançar uma quadriiha; a professera nupr

fnrmai-meiro elemento é menino e o segundo elemento é menina. Possiveis, onde o

pri-Veja o esquema:

v a j A / / / O C O A J

^ O A j To a s

Juca dança com Diana, indica-se (j, d).

Wander dança com Helena, indica-se (w, h).

Entao, todas as possibilidades formam o conjunto dos par

D = {(i, d}, (j, g), (j, h) , (w, d), (w, g) , (w, h)} ^''denados que indicaremos por:

Dizemos que D é o produto cartesiano de A nnr r o •

A X B l e - s e : " A c a r t e s i a n o B " . ^ = A X B .

Vejamos outro exempio:

Sejam: P = conjunto dos nûmeros pares menores que 5

! - conjunto dos nûmeros fmpares menores que 5

P = { 0 , 2 , 4 } I ^ 3 ^

Vamos formar o conjunto de todos os pares ordenados onde on

-s e g u n d o e l e m e n t o e i m p a r . ° p n m e i r o e l e m e n t o é

P91* e o

T s o C O A J

aUAJTO CS

Ç^eGADA.

£ntâo:

P X I = {(0, 1), (0, 3), (2, 1), (2, 3), (4. 1), (4^

3 ) } 3 4 I

1

Voce pode formar também o produto cartesiano I x P, ou seja:

I X P = {(1, 0), (1, 2), (1, 4), 3, 0), (3, 2), (3, 4)} e note que: P x I I x P.

Concluimos que:

Dados OS conjuntos A e B nao vazios, o produto cartesiano de A por B é o conjunto de todos OS pares ordenados onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

7 . 3 - FA Ç A V O C É

1. Forme o produto cartesiano de A por B em cada case, fazendo primeiro o grafico e depois A x B entre chaves.

a ) A = { 0 . 2 } B = { 2 , 4 } A = { 0 . D } B = { . }

c) A = { A } B = {n, A >

A x B =

d) A ={1,2,3} B = {a}

C Û 1 ^ — a - A 3 ^ _B A A x B = e) A = (a, b} B = {x, y, z}

AxB = {(.l„.ft..)'

B= {0,2,3,4}

f ) A = { 1 } A

Ax B = {(o (a^.y.), (A.-J. (Ayl- (.Jiyzt'

A X B =

.-RODUTO CARTESIANO : TABELAS DE DUPLA EIMTRADA - Jogos

Sejam A = {a, b, c, d} e B = {1, 2, 3}, que vamos dispor numa tabela como segue;

3 _{[ . 5 ^ le.} 2 (."l ; r . ^ - 1 -1 _{a . r} : : 1 ' ' a b c d 3 (a, 3) (b, 3) (c, 3) (d, 3) 2 _{(a, 2) (b, 2) (c, 2) (d, 2)} 1 (a, 1) (b, 1) (c, 1) (d, 1) a b c d Note que: 19) Os elementos de A e s t a o n u m a m e s m a l i n h a . 29) Os elementos de B e s t a o n u m a m e s m a c o l u n a . 3 9 ) O s e l e m e n t o s d e

A X B estao nos

cru-z a m e n t o s d e c a d a c o

l u n a c o m c a d a l i n h a .

Isto é o que se chama de tabela de dupla entrada.

Obtemos o produto cartesiano de Ax B, ou seja:

Ax B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 3)}

• ' ' O C É

1. Dados A = {a, e, 1, o, u} e B = {1, 2, 3}, obter AxB.

3 ! . . • i ; X , ■ • > , 2 1 a e 1 0 u

Os elementos de A x B estao nos

d e c a d a

c o m c a d a . . .

A x B = { ( . ^ 4 J . J , ( ) , ( I , ( . „ I , ( ; ) , I J

( . . , . . . . 1 . . ) , ) . ( . J / . ) }

2. Dados E = {4, 5, 6} e F = {a, b, c}, obter E x F e F x E. .

n . f . X : \ . M . ' ...' ..S4'.' l ^ , ... U c c «. 1 I2...LI _^ .. J L . ' « t f 1 . . . J L t . . . . X . E x F = ) , ( . 5 . , . 2 . . ) - ( . . 2 i . . . l . ) . F x E = ( . . . ( - J è : . . ; . ) . ( . ) , ( ) }

3. Dados G = {A,0,*} e H = {□, O }, obter G x H e H x G.

G X H = ( . . ; ( . . 1 2 1 . ) . U : i j . . . : , . . . . ; . . . . ) }

H X G = { ( - ■ J ' ( ( . ; » . ( ( J y

) }

4. Dados A = {0, 2, 4} e B = {7}, obter AxB e B x A.

A x B = { ( z . ) . ( : . » !

B x A = ) . { . . . ) , ( . . . . . ) }

FAÇA EM CASA - item 12

Sequência 1, pàg. 54.

8.2 - Urn jogo: BATALHA NAVAL

Voce conhece o jogo chamado Bataiha Naval? Se nâo conhece, vamos Ihe explicar e voce verâ que é uma aplicaçao do produto cartesiano entre dois conjuntos.

Participam dois jogadores; cada um dispora de duas tabeias de dupla entrada como as que

se-g u e m : 6 5 4 3 2 ' 1 1

®

a b c d e f 6 5 4 3 2 1

(D

a b c d e f

Cada jogador desenha as seguintes peças:

c r u z a d o r _{t o r p e d e i r o} s u b m a r i n o

no seu quadro (T) e o mantém em segredo! A condiçao é que dois navios nao podem se tocar

nem pelo contorno e nem por um ponto.

Cada qual escoihe a disposiçâo de sua esquadra. Assim, por exempio;

6 5 4 3 2 1

®

a b c d e f

Começa o jogo: o primeiro jogador lança um torpedo

di-zendo, por exempio, (f, 3) e o marca em sua tabela @

para ter seus disparos registrados.

O segundo jogador dira: àgua, se o disparo nao tocou em qualquer de seus navios; ou entao dira: cruzador ou torpedeiro, ou submarino conforme o caso de ter sido

atingido uma dessas peças.

0 jogo segue, alternando-se os tiros pelos jogadores. Um navio se considéra afundado quando todos os seus qua-drinhos forem atingidos; por exempio:

X X é u m c r u z a d o r a f u n d a d o .

Ganha o jogo quem afundar antes todos os barcos inimigos.

É fécil ver que os tirôs formam pares ordenados e que todos os tiros formam um produto

cartesiano do tipo AxB.

9 - RELAÇOES ENTRE DOIS CONJUNTOS

C o n s i c i s r B m o s o s c o n j u n t o s A 6 B c l 6 c r i s n p f l ç m i M t n . « y .

_{j AA c D ue tnanças muito amigas que estao ne escola de IP grau:}

A = {Ana, Beth} A = {a, b}

B - (Célio, Durval, Elza}

■B = {c, d, e}

A n a e B e t h s a c i r m â s .

Célio é primo de Ana e Beth.

• Durval é vizinho de Ana e Beth.

® Durval sâo colegas de classe de Beth.

Vamos representar o produto cartesiano de A nnr d •

_{^ i s t o e , A X B .}

p" (b.c), (b,d), (b,e)}

Podemos tomar subcon*

dos ao acaso ou produto cartesiano

escolhi-escolhidos por uma sentenca.

A B

Formemos os esquemas dos subconjuntos de A

c a s o :

a) "As crianças de A sao primas das crianças de B.'

x B, escolhidos pelas

sentenças que indicam

ca-das criangas"de B."

de A sâo

A B

{(a, c), (b, c)}, ou seja, (a, c)

indica: a é primo de c etc. c) "As crianças (ou elementos) de

A sao do sexo oposto às de B.'

A n B (b dh ' " d i c a : a é d ) de d etc.

elementos de a ~

'^«legas de cl»

_{«classe dos de B "}

{(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

(a, c) indica: a tem sexo oposto a c etc. >

e) "Os elementos de A sâo ' b é co|p„, ^

inimigos dos elementos de B." element

dos e°em^

_{^'^-d^ntos de B."}

{ } OP

^ c), (a ..

3 8

^•^•90 de

(b,dK (b, e)}

c e t c . Observe que: • C a d a s e n t e n c e r e l a c i o n a o s e l e m e n t o s d e A c o m o s e l e m e n t o s d e B .

• Cada sentença estabelece uma relaçâo entre os conjuntos A e B. • Cada sentença détermina subconjuntos de A x B.

Entâo, conclu l'mos:

Cada sentença define um subconjunto de A X B, que se chama relaçâo de A em B. Indicando-se essas relaçôes com a letra R, teremos:

R, = {(a, c), (b, c)} R2 = {(a, d), (b, d)}

Hj = {(a, c), (a, d), (b, c), (b, d)}

R4 = {(b, c), (b, d)}

R s = { } = ^

Rô = {(a, c), (a, d}, (a, e), (b, c), (b, d), (b, e)} ou Rô = A X B

9.1 - FAÇA VOCÉ

1. Considéré os conjuntos A={1,3}e B = {1,2, 5} que voce pode colocar em diagramas.

Determine a seguir as relaçôes pedidas; complete os diagramas e os con juntos de pares ordenados (isto é, as relaçôes de A em B).

a) R^: "Os elementos de A sâo mèneras que os elementos de B."

A B

R . = ( . . l , { , l ) }

c) R3; "A soma de um elemento de A

c o m u m e l e m e n t o d e B é u m

nûmero par."

A B

* ^ 3

=

( . 3 , ? . . ) }

Rs' "A soma de um elemento de A com um elemento de B é mener que 8."

Rs = iil.1

.). (..i,(..).,.s.)

(.5.,..L.). ijjj}

b) R2 : "Os elementos de A sao maiores que os elementos de B.

A B

R2 = [(X.U.

d) R4: "A soma de um elemento de A

c o m u m e l e m e n t o d e B é u m

n û m e r o î m p a r. "

A B

R 4 = ( . - M - » }

f) Rg: "O produto de um elemento de A

por um elemento de B é maior que 15.

2 . N e s t e e x e r c i ' c i o c h a m a r e m o s d e ;

X a qualquer elemento do conjunto A y a qualquer elemento do conjuntc B

Assim, por exemple:

• A adiçâo de urn elemento de A com um elemento de B indicar-se-â por x + y

• A subtraçâo de um elemento de A por um elemento de B indicar-se-a por x-y

• A multiplicaçâo de um elemento de A por um elemento de B Indicar-se-â por x - y.

D e s s e m o d o t e r e m o s :

X -t y = 10 Indice: a soma de um elemento de A com um elemento de B é 10

, X . y < 10 indice: a soma de um elemento de A com um elemento de B é manor que 10

X - y = 12 .ndica: o produto de um elemento de A com um elemento de B é 12.

Consideremos entao os conjuntos A = {0, 2, 3} e B s /i t

Ri. ^2/ Rsr R4, Rs, Rôr R7 8 Rs (x 6 A, y é B)* 'Ofmemos as relaçôes Indicadas por

a) Ri : X + y < 5 A 8 c) R3: X • y > 12 A B R 3 = { } = e) Rji X + y > 1 R s = { ( . 0 . . : . . . . ) . ( ( ) - ( ) , ( g} R7: X • y < 10

R 7 = { ( ^

( . ( . . . 4 0 b) Rj; X + y > 5

= { Q r . y . . ) . }

■^1 R4: X y

Rs: X = y R < =

b) Rg: X + y ^ 4

^8 =

3. Dados OS conjuntos A = (2, 4. 6, 8}, B = {1. 3. 5, 7} e a relaçao entre eles determinada pela sentença: "Ca-da elemento de A excede de uma uni"Ca-dade um elemento de B", verificar se as afirmaçôes abaixo sao ver"Ca-dadeiras

ou falsas.

R = {(2, 1), (4. 3). (6. 5}. (8. 7)}

a) R é formada por pares ordenados. (V)

b) A sentença acima détermina uma relaçâo que é um subconjunto de A x B. (V) c) A relaçao R é o conjunto A x B. (V)

d) A relaçao de A em B tern elementos so de A. (p)

e) Se o conjunto A for vazio, a sentença acima nao détermina uma relaçao de pares ordenados.

f) Se B for vazio, R sera vazio. (V)

g) Para A e B vazios nao se pode construit a relaçâo R. ( V)

( V )

FAÇA EM CASA - item 12 Seqùência 2, pâg. 54.

9.2 - Relaçâo de um conjunto nele mesmo

Quando A = B, a relaçâo de A em B reduz-se a uma relaçao de A em A, ou seja, na relaçâo

de um conjunto nele mesmo.

Tomemos a relaçâo x < y em A x A do exemple seguinte.

R = {(1, 2), (1, 5), {2, 5)}

_/secAÇÂo

O G

Podemos esquematizar essa relaçâo de outre modo, por exemple, dispondo os elementos 1, 2, 5

em posiçâo triangular.

^1 "fléchas" indicam os pares ordenados que pertencem à relaçâo:

{(1, 2), (1, 5), (2, 5)}.

9.3 — Uma observaçâo

Você sabe que Um numéro é menor ou igual a ele mesmo? Veja.

2 < 2 é verdadeiro, porque 2=2

2 < 2 é f a l s e

2> 2 é verdadeiro, porque 2=2

2 > 2 é f a l s o .

Assim, propomos a questâo:

Dado A = {1, 3, 5}, determinar a relaçâo R caracterizada pela sentença:

"Um elemento de A é menor ou igual a outro elemento de A ou x < y, onde x e A e y e A."

T e r e m o s : o —

( ^

3

15 ,J—

5 j

R = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5)}

Esta mesma relaçao pode ser esquematizada dispondo-se os

elementos 1, 3, 5 no piano em pontes nao alinhados.

Veja:

Ri = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 3), (3, 5), (5, 5)}

R é uma relaçao de A em A.

i n d i c a : 1 é m a n o r i ou igual a 1. i n d i c a : 1 é m a n o r ou igual a 5. 9.4. ~ FAÇA VOCÉ 1 . V a m o s d i s p o r o s e l e m e n t o s d o c o n j u n t o A = { 1 2 3 4 1 • - - > •

quematizar com fléchas os pares que formam as rplar?iL • de vértices de um retânguio. Você vai es

_{reiaçoes mdicadas em cada caso (x S A e y G A).}

a) Ri: "x é antecessor de y"

_{^) Rj: "x é sucessor de y".}

^ 3

Ri = {(.1>..^...Ï, (..1..1.)}

c) R3: "x é mener que y".

1

' {(.B.,?....), (..5,,.a,), (.5 )}

"x é maior que y".

■♦3 R 3 = { ( ) . ( I . ). e) Rg: "x + y é par". 1 2^^ _^^3

1.12J. {^JJ.

(.3^.1...). (..'f...:...),

'' Rs : "x + y é împar".

•V

R5 = (..iX-). (..jXJ, (..XX).

g) R,: "x = y

t

( • X - ' - i - ' ' • ' ' • ' ) }

-♦4 R7 = {^•

(..).,.VA.),

(I.-I..J-(..>.pi..l. (.>..!^j. (.V).,:!-)' (-M..^..ï>

e

"

J

^ ) , ( . . ) > .)' (..i.V.j) 4 2

2. No conjunto A = {2, 4, 6}, forme a relaçao definida pela sentença: "x + y < 10, onde x € A e y G A"

(des-cubra os sels pares ordenados da relaçao e faça os desenhos com as fléchas).

R = U I J . . . . ) . ( . . y . . » . ) . ( ) . ( >

« 4 6 - ^

3. No conjunto B = {5, 6, 7}, forme a relaçao definida por x > y, onde x G 8 e y G B.

R = {fX-5...). (.X.SeJ. Qf!...),

4. No conjunto C = {0, 1, 2, 3}, forme a relaçao definida pela sentença: "x + y < 3, onde x G C e y G C".

' R = {(.0^/....), (..U..), U,.%X (.Q^..3...), (.1.^...), ( )' ( ))

FAÇA EM CASA - item 12 Seqùência 3, pàg. 54.

10 - PROPRIEDADES DAS RELAÇÔES

1 0 . 1 — R e f l e x i v e

Primeiro exemple:

Seja o conjunto A = {2, 4, 5, 8} e a relaçao R de A em A definida pela sentença:

"x G A é mûltiplo de y G A"

Te r e m o s :

2 é mûltiplo de

2-4 é mûltiplo de 2 e 2-4 é mûltiplo de 2-4

5 é mûltiplo de 5

8 é mûltiplo de 2; 8 é mûltiplo de 4 e 8 é mûltiplo de 8. Ve-se que sempre ocorre:

um elemento é mûltiplo de si mesmo;

o a X é m û l t i p l o d e x ;

ou X esta relacionado consigo mesmo..

X é mûltiplo de x para qualquer x G A significa que a relaçao R se reflete sobre cada ele

m e n t o d e A .

Dizemos entâo que:

No conjunto A a relaçao "x é mûltiplo de y" é reflexiva.

Conclui'mos entâo que:

Segundo exempio:

Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4}ea relaçao definida pela sentençai "x G A é manor ou igual a y e A' Vê-se que: l e A e 1 < 2 ; 1 < 3 ; 1 < 4 e 1 = 1 2 e A e 2 < 3 ; 2 < 4 e 2 = 2 3 € A e 3 < 4 8 3 = 3 4 e A e 4 = 4

Como sempre ocorre: "Dm elemento de A é igual a si mesmo") entâo: "Dm elemento de A é mener ou igual a si mesmo'

C o n c l u i ' m o s ~

p o i s : No conjunto A, a relaçao "x G A é menor ou igual a y G A" é reflexiva.

Terceiro exemple:

Seja 0 conjunto A formado por figuras geométricas coloridas.

A = { O A [3 HB } 6 a relaçao R3 dada pela sentença:

"x e A é da mesma cor que y e A"

Te r e m o s :

O é da mesma cor que I 1 e O é da mesma cor que o

A é da mesma cor que e A é da mesma cor que A

n é da mesma cor que O e 0 é da mesma cor que 0

é da mesma cor que A e H é da mesma cor que

Entâo ocorre: "Um elemento é da mesma cor que 0 prôprio elemento" ou "x e A é da mes ma cor que x G A".

Conclui-se:

No conjunto A, a relaçao "x é da mesma cor que x" é reflexiva.

Qualquer que seja x G A, x (§) x.

Indica-se:

1 0 . 2 ~ S i m é t r i c a

Primeiro exempio;

Seja F 0 conjunto dos filhos do Sr. Joâo com D. Maria. F = {André, Brâulio, Carlos, Denise}

ou F = (a, b, c, d) e consideremos a relaçâo: "x G F é irmâo de y G F"

É claro que:

a é Irmâo de b =» b é irmâo de a ou (a, b) G R b é irmâo de c =» c é irmâo de b ou (b, c) G R c é irmâo de d => dé irmâo de c ou (c, d) G R

(b, a) e R

(c, b) e R,

(d, c) s R

R = {(a. b). (b.a), ,b,c), (c,b), (c,d), (d,c), (d,a), {a.d), (a,c), (c,a), (d,b), (b,a)}

Se para todo x G A e y 6 A ocorrer que se x esta relacionado com y entâo y esté relaciona-do com X, dizemos que a relaçâo R é simétrica.

o u

R é s i m é t r i c a ■=■ ( x R y = • y R x ) o u R é s i m é t r i c a ( x , y ) G R = » ( y, x ) G R .

Segundo exempio:

Seja o conjunto dos alunos desta 5? série que chamaremos 5? A e a relaçâo definida pela

s e n t e n ç a :

"x G A é colega de classe de y G A" É claro que ocorre:

Antonio é colega de classe de Wander ==> Wander é colega de classe de Antonio ou:

a R ^ w = > w R - . a o u (a, w) G R =» (w, a) G R

1 0 . 3 — A n t i - s i m é t r i c a

Consideremos o conjunto dos numéros naturals IN = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} e a relaçâo R:

"x G !N é menor ou igual a y G !N" É claro que: ( 1 , 2 ) G R p o i s 1 < 2 o u 1 < 2 (2, 3) G R pois 2 < 3 ou 2 < 3 (2, 2) G R pois 2 = 2 ou 2 < 2 ( 3 , 3 ) G R p o i s 3 = 3 o u 3 < 3 Jà ocorre que: (4, 3} G R pois 4 < 3 é false.

No entanto quando ocorrer simultaneamente

( 2 , x ) G R - 2 < X

= > X = ? ? ?

( x , 2 ) G R = X < 2

Assim, o numéro x sô pode ser 2, pois sex<2e2<xsô pode ocorrer que x e 2 sejam iguais.

E n t â o s e □ G I N e a ^ I N e a i n d a

O < A

e A < □

□ = A

De um modo gérai, chamando-se x a um elemento gérai de IN e y a outro elemento genérico de iN, se ocorrer

X y

e y < X

X = y

Quando esse fato ocorre dizemos que vale a propriedade anti-simétrica para a relaçao dada

4 5

10.4 - Transitiva@

Primeiro exemple:

Consideremos o conjunto A das figuras geométricas

Suponhamos que se queira saber a cor do □ e dispoe-se de algumas informaçôes como

se-g u e m :

é da mesma cor que A

A é da mesma cor que O

Logo, LJ é da mesma cor queOe conclui-se que Dé laranja.

Chamando-se de R a relaçao que indica

"x E A é da mesma cor que y E A'

t e m o s :

□ R A

e entao D R O e portante o D é D

A R O

De um modo gérai: X R y e = > X H z y R z

indica a propriedade transltiva da relaçâo R. Segundo exemple:

Seja B = {m, n, q} e a relaçao Ri que indica:

"x E 8 é major que y é B '

> :

E - y

o u A / ^

-J

E n t a o : q > n e n > m q > m

que indicaremos:

q R i n e q Ri. m n _{R i} m Observaçâo:

Nos conjuntos numéricos conhecidos, as relaçôes de igualdade ou maior que ou menor que

go-zam da transitlvldade, ou seja, da propriedade transltiva.

De fato, seja A = {a, b, c} um conjunto numérico qualquer que voce conhece.

E n t a o :

a) Para a relaçao ( = ) de "igualdade":

a = b e b — c

a = c

b) Para a relaçao {<) "menor que":

a < b e b < c

c) Para a relaçao {>) "maior que":

a > b

a < c e

b > c

a > c

10.5 - FAÇA VOCE

1. Seja 0 conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} e a relaçao definida pela sentença "x E A é mùltiplo de y E

A".-Verlfique se a relaçao é reflexiva em A.

2 é m û l t i p l o d e 2 8

4 1 0

6 1 2

A relaçao é

U m e l e m e n t o é d e m e s m o .

2. Dado B = {15, 16, 17, 18} e a relaçâo definida pela sentença "x E B é mener ou igual a y E B", veriflque

se a relaçâo é reflexiva. 1 5 < 1 5

16

A relaçâo é

1 7

3. Dado 0 conjunto F dos filhos do Sr. José

P = {Antonio, Bento, Célia, Denise} e a relaçâo definida por: "x E F é irmâo de y E F", verlfique se a rela

çâo é reflexiva.

A r e l a ç â o p o i s A n t o n i o A n t o n i o .

4. Seja D o conjunto formado pelas figuras geométricas coloridas D = { O - A - D . / \ . [ |} e a re

laçâo dada por: "x E D é da mesma cor que y E D". Verifique se é simétrica.

O é da mesma cor que D e D é da mesma cor que O

Z A

A

□

_O

O

D

A ^

□

A

_d

□

_{O ,}

_□

A relaçâo é 4 6 4 7

wTrirt!. ^ ° '' '^^'•^"^'•I'sticas: Lûcia tern urn metro e setenta de altura,

Veritique se a relaçao e simetrica ou anti-simétrica.

W a n d e r ;

e n t a o

W a n d e r

L ù c i a .

A u g u s t o ;

e n t a o

A u g u s t e

L û c i a .

A relaçâo é

6. Coloque V ou F nas seguintes aentenças, conforme elas sejam verdadeiras ou

falsas-a ) 8 > 4

8. Dados F = {André, Braulio, Cecilia} o conjunto dos filhos do Sr. Otàvio ou F = (a, b, c}, e a relaçâo R

de-finida por "x G F é irmâo de y G F", mostre que a relaçâo é transitiva, completando os pontilhados.

4 > a b ) 2 > b b > 0 c ) 5 < 1 0 1 0 < 1 6 d ) b < 1 0 1 0 < 2 0 e ) t < X X < z f ) d < a a < 5 7. Complete: a) a > b b > c b ) > b c ) X = 2 2 = t d) t < a a < z e) b < X X < c f) d < g g < f g ) a > t t > w = > 8 > a = > 2 < 0 5 < 1 6 b < 2 0 ( ) t < z = > d < 5 > a < c < < < > 4 8 g) a = b b = 6 h) c > d d > a i) t < 2 z < X iï a < t t < b I) 10<a a < 2 0 m) 8 > z z > 2 h) a > b b > c i) d < e e < f jJ g ~ h h = i ' M < i ' < m m) n > o ° > P n)q = r I- = s t > u u > V = > a = 6 c < a t < X a > b { ) 10 < 20 > 2 { } a é irmâo de b; indica-se a R b b é irmâo de c; indica-se b R c a é irmao de c; indica-se a R c c é irmao de b; indica-se c R b b é irmâo de a; indica-se a é irmâo de c; indica-se c é i r m â o d e a ; i n d i c a - s e a é i r m â o d e b ; i n d i c a - s e b é i r m â o d e c ; i n d i c a - s e c é i r m â o d e a ; i n d i c a - s e c é i r m â o d e b ; i n d i c a - s e b é i r m â o d e a ; i n d i c a - s e

n ;;ELAÇÔES PAr:^'CU'> TRES

11 . __ Relaçâo ie -^mival' a

Você jâ conhece o conceito de relaçâo entre dois conjuntos A e B ou o conceito de relaçao

de um conjunto A em A. Vamos mostrar-lhe agora uma relaçao particular.

Primeiro exemplo.

Dm professor de Matematica classificou os alunos da 5? A segundo o

aproveita-mento dos mesmos em cinco grupos: Superior: S

B o m : B

Regular: R

F r a c o : F I n s u fi c i e n t e : 1

Desse modo, existem alunos que têm a quallficaçâo S, aqueles que têm a

qua-lificaçâo B e assim por diante.

Consideremos a seguir a sentença que define a relaçâo R.

R: "Joâo tem a mesma qualificaçâo que Antonio".

É fâcil ver que:

a) R é reflexiva R

Joao tem a mesma qualificaçao que Joao ou Joao R Joao.

b) R é simétrica

Joao tem a mesma qualificaçao que Antonio => Antonio tem a mesma qualtficaçao que Joao

o u J o a o R A n t o n i o A n t o n i o R J o a o

c) R é transitiva (T)

Joao tem a mesma qualificaçao que Antonio

Antonio tem a mesma qualificaçao que Pedro

o u

J o a o R A n t o n i o

e = > J o a o R P e d r o A n t o n i o R P e d r o

Como a relaçâo R goza das propriedades reflexiva simétrica e transitiva. dizemos que R é uma relaçâo de equivalência no conjunto dos alunos da 59 série A.

4 9

Segundo exemplor

a mesma 5. série A, consideremos a relaçâo Ri deflnlda pela sentença;

Hi : X tern a mesma idade que y", onde x € 5? A e y G 5? A.

É claro que ocorre:

a) Rj é reflexiva @

X tern a mesma idade que x oyi x x

b) Ri é simétrica@

X tern a m.esma idade que y y tem a mesma idade que x

o u

/ Ri X

X tem a mesma idade que z

X R i / = c) R, é transitiva

X tem a mesma idade que y

e

y tem a mesma idade que z

o u X Ri K => X Ri / y Ri ^ 11.2 — Rel^Li^o de ordem PrimeifO exempio:

Vamos considerar outro tipo de relaça-o especial no mesmo conjunto da 5? série A que

supo-nhamos tenha 35 alunos na classe, que vamos numerar de 1 ate JO.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 34, 35}

Tomemos o subconjunto B dos alunos cujos nùmeros sa~o ,mpares.

B = {1, 3, 5 33, 35}

e o subconjunto C dos alunos cujos numéros sâo pares:

C = {2, 4, 6, ... , 32, 34}

e 0 subconjunto D das meninas, que supomos ser:

D = {1, 3, 9, 19, 31}

e a relaçâo R definida por: "esta contido em .

Vê-se que valem as propriedades:

a) Reflexiva @

A C A o u A R A c C C o u C R C B c B o u B R B D C D o u D R D b) Anti-simétrica As B c A ^ A B o u B R A = > A R B é falsojl! c A = > A C o u C R A = > A H B é falsolM D c B D R B

c) Transitiva (j)

= > D _{c A o u} ^ D _{R A} B c A B R A

Uma relaçâo como R que goza das propriedades reflexiva. anti-simétrica e transitiva chama-se relaçâo de ordem.

Segundo exemple:

Consideremos o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e a relaçâo Ri definida por:

Ri : "x é menor ou igual a y, onde x G A e y G A".

Vê-se que valem as propriedades:

a )

R e f l e x i v a

®

^

e x e m p i o

X < X X R X ou (para todo x G A) b ) A n t i - s i m é t r i c a A s x < y y < x é f a i s o l l ! o u j ^ R y = > y R x é f a l s o H l X R y y R x

c) Transitiva (j)

Para quaisquer x, y, z de A X < y y < z = > X < z

11.3 - Relaçôes que sac funçôes ou aplicaçôes

Primeiro exemple:

Vamos super uma corrida de Formula*- 1 onde disputam muitos corredores, mas que

somen-te completam a corrida aqueles do conjunto E:

E = {Emerson, Lauda, Hunt, Pace}

Qualquer um deles poderia chegar até o 69 lugar e contaria pontos, isto é, a classificaçâo dos

mesmos pertencem ao conjunto F.

F = (19, 29, 39, 49, 59, 69}.

Consideremos a relaçâo R: _

R: "A cada corredor correspondera sua classificaçao .. i COA/"

Suponhamos que tivesse ocorrido:

Nessa relaçâo:

(E, 19), (H, 29), (L, 39), (P, 49)

R = _{v e r i fi c a - s e :}

Todo elemento de E tem

seu correspondente em F.

e

Todo elemento de E tem

um ùnico correspondente

e m F .

Ou seja: qualquer elemento

d e E t e m u m ù n i c o c o r r e s

pondente em F.

Dizemos que a relaçâo R

d e E e m F é u m a

aplicaçâo ou funçâo

d e E e m F.