CURSO DE CÁLCULO I

CURSO DE

CÁLCULO I

SUMÁRIO

Capítulo 1 – Limite e continuidade 3

1.1. Limites: Um conceito intuitivo 3

1.2. Limites: Técnicas para calcular 19

1.3. Limites: Uma definição matemática 39

1.4. Continuidade 52

1.5. Limites e continuidade das funções trigonométricas 65

Exercícios propostos (Capítulo 1) 76

Capítulo 2 – A derivada 79

2.1. A reta tangente e a derivada 79

2.2. Técnicas de diferenciação 89

2.3. Derivada de funções trigonométricas 101

2.4. Regra da cadeia 107

2.5. Diferenciais e aproximação linear local 110

Exercícios propostos (Capítulo 2) 117

Capítulo 3 – Funções Logarítmicas e Exponenciais 122

3.1. Funções inversas 122

3.2. Diferenciação implícita 134

3.3. Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 143 3.4. Derivada das funções inversas trigonométricas e a Regra

de L´Hopital 159

Exercícios propostos (Capítulo 3) 170

Capítulo 4 – Aplicações da derivada 175

4.1. Crescimento, decrescimento e concavidade 175

4.2. Extremos relativos 185

4.3. Extremos absolutos e gráficos 194

4.4. Problemas de otimização 211

Exercícios propostos (Capítulo 4) 226

Respostas dos exercícios propostos 230

CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE

1.1 Limites: Um conceito intuitivo

Dois problemas geométricos estimularam o desenvolvimento do Cálculo: achar a área de regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em ambos os casos se requerem um processo de limite para obter a solução. Porém, o processo de limite ocorre em várias situações, sendo o conceito de limite o alicerce sobre o qual todos os conceitos de cálculo estão baseados.

Em geral, pode-se dizer que o uso básico de limites é o de descrever o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima de certo valor. Por exemplo, seja a função;

( )

2 2

2 x x f x

x

− − =

−

Esta função não está definida para x=2, porém, pode-se analisar o

seu comportamento nas proximidades de x=2. Isto é, interessa-se o

comportamento de f para valores de x próximos a

2, porém não para

x=2.

A aproximação a 2 pode-se ocorrer de duas formas, por valores

menores do que 2, isto é pela esquerda, e por valores maiores do que 2, isto

é pela direita. Desde modo pode-se construir a tabela 1.1, apresentada logo a seguir.

Tabela 1.1

X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1

f(x) 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1

Figura 1.1

Analisando a tabela 1.1 e a figura 1.1 fica evidente que os valores de

( )

f x tornam-se cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver mais

próximo de 2, por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Pode-se

também, tornar os valores de f x

( )

o mais próximo que se deseje de 3,

fazendo x suficientemente próximo de 2.

Definição 1.1.1. Se os valores de f x

( )

puderem ser definidos tão próximos

quanto queira de um número L, fazendo x suficientemente próximo de p

(porém não igual a p), ou seja; f x

( )

→L quando x→p, então, escreve-se:

( )

lim

x p

f x L

→ = (1.1)

Neste caso, tem-se que

2 ₂

3 2

x x x

− − _→

− quando x→2, então, escreve-se:

2 2

2

lim 3

2

x

x x x

→

O que foi feito anteriormente foi simplesmente uma conjectura a

respeito do valor do limite

2 2

2 lim

2

x

x x x

→

− −

− , usando argumentos algébricos e gráficos, para verificar o valor deste limite.

Exemplo Resolvido 1.1.1. Faça uma conjectura sobre o valor do seguinte limite:

2 1

1 lim

1

x

x x

→ − −

Solução. Observe que esta função não está definida para x=1, então, fazendo

os valores de x se aproximarem de 1, tanto pela esquerda, quanto pela direita,

pode-se construir a tabela 1.2. Logo em seguida tem-se o gráfico cartesiano da função.

Tabela 1.2

x 0,9 0,99 0,999 0,9999 1 1,0001 1,001 1,01 1,1

Da análise da tabela 1.2 e do gráfico da pela figura 1.2, tem-se: 2 ₁

2 1 x

x

− _→

− quando x→1 (por ambos os lados) logo, pode-se escrever:

2 1

1

lim 2

1

x

x x

→ −

= −

Exemplo Resolvido 1.1.2. Faça uma conjectura sobre o valor limite:

0

lim

1 1

x

x x

→ + −

Solução. Esta função não está definida para x=0, então, fazendo os valores

de x se aproximarem de 0, tanto pela esquerda, quanto pela direita, pode-se construir a tabela 1.3.

Tabela 1.3

x −0,01 −0,001 −0,0001 −0,00001 0 0,00001 0,0001 0,001 0,01

f(x) 1,994987 1,9995 1,99995 1,999995 2,000005 2,00005 2,0005 2,004988

Para fazer o gráfico da função, pode-se simplificar algebricamente a expressão do limite. Para x≠0, tem-se:

(

1 1

) (

1 1

)

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

x x x x

x x x

x

x x

x x x

+ + + +

⎛ _{+ +} ⎞

⎛ ⎞

=_{⎜ ⎟⎜ ⎟}= = = + +

+ −

+ − ⎝ + − _⎠⎝ + + _⎠

Figura 1.3

Analisando os dados da tabela 1.3 e do gráfico dado pela figura 1.3, tem-se que:

2 1 1 x

x+ − → quando x→0 (por ambos os lados)

logo, pode-se escrever:

1

lim 2

1 1

x

x x

→ + − =

O limite dado pela equação 1.1 é chamado comumente de limite bilateral, porque requer que os valores de f x

( )

fiquem cada vez mais de L

quando x tende a p por qualquer lado. Porém algumas funções apresentam

comportamentos diferentes em cada um dos lados de um ponto p.

Em resumo, ao se procurar o limite de f x

( )

quando x tende a p

nunca se considera x=p. Na realidade, a função não precisa estar definida

Em muitas situações a função pode apresentar comportamentos diferentes nas proximidades de um ponto p. Por exemplo, considere a função:

( )

1 0

1 0

se x x

f x

se x x

> ⎧

= _{= ⎨}

− < ⎩

no qual o gráfico é apresentado na figura 1.4.

Figura 1.4

Quando x se aproxima de 0 pela esquerda os valores de f x

( )

tendem a −1 (na realidade são iguais a −1 para esses valores), e quando x se

aproxima de 0 pela direita os valores de f x

( )

tendem a 1 (na realidade são

iguais a 1 para esses valores).

Descrevem-se essas afirmações dizendo que o limite de

( )

f x = x x é 1 quando x tende a 0 pela direita e que o limite de f x

( )

= x x

Definição 1.1.2. Se os valores de f x

( )

podem se tornar tão próximo de L

quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém maior que p),

ou seja:

se f x

( )

→L quando x→ p+

pode-se escrever:

( )

lim

x p

f x L +

→ = (1.2)

Definição 1.1.3. Se os valores de f x

( )

podem se tornar tão próximo de L

quanto queira, fazendo x suficientemente próximo de p (porém menor que p),

ou seja:

se f x

( )

→L quando x→ p−

pode-se escrever:

( )

lim

x p

f x L −

→ = (1.3)

Para a função f x

( )

x x

= nas proximidades de 0, tem-se:

1 x

x → − quando x 0

−

→ e x 1

x → quando x 0

+ →

podendo escrever:

0

lim 1

x

x x

−

→ = − (limite lateral à esquerda) e 0

lim 1

x

x x

+

→ = (limite lateral à direita), logo se pode concluir que não existe o limite

0

lim

x

x x

Teorema 1.1.1. O limite bilateral de uma função existe em um ponto p se, e

somente se existirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é:

( )

( )

( )

lim lim lim

x p _{x p x p}

f x L f x L f x

− +

→ = ⇔ → = = → (1.4)

Exemplo Resolvido 1.1.3. Faça o gráfico da função e determine os limites laterais em x=1. Verifique se existe

( )

1

lim

x→ f x .

( )

2 1 1

2 1 1

x se x f x

x se x

⎧ + < ⎪

= ⎨

− > ⎪⎩

Solução. A função é definida por partes, isto é, a função tem duas leis de formação. Para o intervalo

(

−∞,1

)

é função se comporta como uma função

polinomial de expressão _{f x}

( )

_=x2_{+1 e para o intervalo}

(

_1,+∞

)

_{a função se} comporta como uma função linear de expressão f x

( )

=2x−1. Logo, o gráfico

da função é apresentado na figura 1.5.

De acordo com a figura 1.5, pode-se ver claramente que quando x

se aproxima de 1 pela esquerda f x

( )

é a parábola de equação x2+1 e se

aproxima de 2, isto é:

( )

2

f x → quando x→1−

daí pode-se escrever:

( )

1

lim 2

x

f x

−

→ = (limite lateral à esquerda)

Pode-se ver também que quando x se aproxima de 1 pela direita

( )

f x é a reta de equação 2x−1 e se aproxima de 1, isto é:

( )

1

f x → quando x→1+

daí pode-se escrever:

( )

1

lim 1

x

f x

+

→ = (limite lateral à direita)

Como os limites laterais são diferentes não existe o limite de f

quando x tende a 1, isto é:

( )

( )

( )

1

1 1

lim 2 1 lim lim

x

x x

f x f x f x

− + _→

→ = ≠ = → ⇒ ∃

Em muitas situações os limites laterais não existem devido ao fato de os valores da função crescer ou decrescer indefinidamente. Por exemplo, analisando o comportamento da função f x

( )

1

x

= nas proximidades de x=0,

pode-se construir a tabela 1.4.

Tabela 1.4

x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 0 0,0001 0,001 0,01 0,1

Figura 1.6

Analisando os dados apresentados na tabela 1.4 e através da figura 1.6 que mostra o gráfico da função fica evidente o seguinte: à medida que x

fica mais próximo de 0 pela esquerda, os valores de f x

( )

1 x

= são negativos e decrescem indefinidamente e à medida que x fica mais próximo de 0 pela

direita, os valores de f x

( )

1 x

= são positivos e crescem indefinidamente.

Definição 1.1.4. Se os valores de f x

( )

crescem indefinidamente quando x

tende a p, pela direita ou pela esquerda; ou seja:

( )

f x → +∞ quando x→ p+ ou f x

( )

→ +∞ quando x→ p−

então pode-se escrever:

( )

lim

x p

f x

+

→ = + ∞ ou xlimp

( )

f x

−

Definição 1.1.5. Se os valores de f x

( )

decrescem indefinidamente quando x

tende a p, pela direita ou pela esquerda; ou seja:

( )

f x → −∞ quando x→ p+ ou f x

( )

→ −∞ quando x→ p−

então, escreve-se:

( )

lim

x p

f x

+

→ = − ∞ ou xlimp

( )

f x

−

→ = − ∞

Logo o comportamento da função f x

( )

1 x

= nas proximidades de 0, pode ser resumido da seguinte forma:

1

x → −∞ quando x 0

− → e 1

x→ +∞ quando x 0

+ →

daí tem-se: lim 1

x→p− x

=− ∞ e lim 1

x→p+ x

=+ ∞

Figura 1.8

Solução (a). A função decresce indefinidamente quando x tende a p pela

esquerda e cresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então:

1 lim

x→p− x p

⎛ ⎞

=− ∞ ⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠ e

1 lim

x→p+ x p

⎛ ⎞

= + ∞ ⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Solução (b). A função cresce indefinidamente quando x tende a p pela

esquerda e decresce indefinidamente quando x tende a p pela direita. Então:

1 lim

x→p− x p

⎛ − ⎞_{=+ ∞} ⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠ e

1 lim

x→p+ x p

⎛ − ⎞_{=− ∞} ⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Solução (c). A função cresce indefinidamente quando x tende a p tanto pela

esquerda como pela direita. Então:

(

)

2

1 lim

x→p− _{x p}

⎛ ⎞

⎜ ⎟=+ ∞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

e

(

)

2

1 lim

x→p+ _{x p}

⎛ ⎞

⎜ ⎟=+ ∞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Neste caso pode-se escrever por comodidade:

(

)

2

1 lim

x→p _{x p}

⎛ ⎞

⎜ ⎟= + ∞

⎜ ₋ ⎟

Solução (d). A função decresce indefinidamente quando x tende a p tanto

pela esquerda como pela direita. Então:

(

)

2

1 lim

x→p− _{x p}

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟=− ∞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

e

(

)

2

1 lim

x→p+ _{x p}

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟= − ∞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Neste caso pode-se escrever por comodidade:

(

)

2

1 lim

x→p _{x p}

⎛ ₋ ⎞

⎜ ⎟=− ∞

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

Definição 1.1.6. Uma reta x=p é chamada de assíntota vertical do gráfico

de uma função f x

( )

se f x

( )

tende a +∞ ou −∞, quando x tende a p pela

esquerda ou pela direita.

Às vezes se está interessado em saber o comportamento da função não em torno de um ponto específico p, e sim quando a variável x cresce ou

decresce indefinidamente. Isto é chamado de comportamento final da função, pois descreve como a função se comporta para valores de x que estão longe

da origem.

Novamente considera-se a função f x

( )

1 x

= , mas agora para valores de x que estão bem distantes da origem. Fazendo x crescer e

decrescer sem limitação, pode-se construir a tabela 1.5.

Tabela 1.5

x -10000 -1000 -100 -10 10 100 1000 10000

É evidente a partir da tabela 1.5 e pelo gráfico da função (ver figura 1.6), que à medida que os valores de x decrescem sem limitação, os valores

de f x

( )

1 x

= são negativos, mas aproximam-se muitíssimo de 0; analogamente, à medida que os valores de x crescem sem limitação, os

valores de f x

( )

1 x

= são positivos, mas aproximam-se muitíssimo de 0.

Definição 1.1.7. Se os valores de f x

( )

subseqüentemente ficam cada vez

mais próximos de um número L, à medida que x cresce sem limitação; ou

seja:

( )

f x →L quando x→ +∞

então, escreve-se: lim

( )

x

f x L

→+∞ = .

Definição 1.1.8. Se os valores de f x

( )

subseqüentemente ficam cada vez

mais próximos de um número L, à medida que x decresce sem limitação; ou

seja:

( )

f x →L quando x→ −∞

então, escreve-se: lim

( )

x

f x L

→−∞ = .

Logo, podem-se descrever os comportamentos limitantes da função

( )

1 f x

x

= da seguinte forma:

1

lim 0

x→−∞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠x e

1

lim 0

x→+∞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠x

Definição 1.1.9. Uma reta y L= é chamada de assíntota horizontal do gráfico

Exemplo Resolvido 1.1.5. De acordo com o gráfico da função

( )

1 x f x

x

= − apresentado na figura 1.9 determine os limites no infinito.

Figura 1.9

Solução. De acordo com o gráfico da função (ver figura 1.9) tem-se que à medida que x cresce sem limitação f x

( )

se aproxima cada vez mais de 1,

isto é:

1 1 x

x− → quando x→+ ∞

concluindo que:

lim 1

1

x

x x

Analogamente, tem-se que à medida que x decresce sem limitação

( )

f x se aproxima cada vez mais de 1, isto é:

1 1 x

x− → quando x→− ∞

concluindo que:

lim 1

1

x

x x

→−∞ − =

A reta y=1 é a assíntota vertical do gráfico da função

( )

1 x f x

x

=

− .

Definição 1.1.10. Se os valores de f x

( )

crescem sem limitação quando x→ +∞ ou x→ −∞; ou seja:

( )

f x → +∞ quando x→ +∞ ou f x

( )

→ +∞ quando x→ −∞

então, escreve-se:

( )

lim

x

f x

→+∞ = + ∞ ou xlim

( )

f x

→−∞ = + ∞

Definição 1.1.11. Se os valores de f x

( )

decrescem sem limitação quando x→ +∞ ou x→ −∞; ou seja:

( )

f x → −∞ quando x→ +∞ ou f x

( )

→ −∞ quando x→ −∞

então, escreve-se:

( )

lim

x

f x

→+∞ = − ∞ ou xlim

( )

f x

1.2 Limites: Técnicas para calcular

Inicialmente estabelecem-se os limites básicos para algumas funções simples e em seguida desenvolvem-se um repertório de teoremas que possibilitará usar estes limites como blocos de construção para encontrar limites de funções mais complicadas.

Teorema 1.2.1 (Limites básicos).

(1) lim

( )

x→p k =k (2) xlim→+∞

( )

k =k (3) xlim→−∞

( )

k =k

(4) lim

( )

x p

x p

→ = (5) xlim

( )

x

→+∞ = + ∞ (6) xlim

( )

x

→−∞ = − ∞

(7) 0

1 lim

x→ + x

⎛ ⎞=+ ∞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (8) 0

1 lim

x→ − x

⎛ ⎞=−∞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(9) lim 1 0

x→+∞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠_x (10)

1

lim 0

x→−∞⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠_x

Figura 1.10

Esses limites dados pelo teorema 1.2.1 podem ser confirmados através do gráfico (ver figura 1.10) das funções y k= (função constante), y x=

Teorema 1.2.2. Suponha que lim representa um dos limites lim

x→p, _xlim_→p−, _xlim_→p+,

lim

x→+∞ ou

lim

x→−∞. Se existirem 1

( )

lim

L = f x e L₂=limg x

( )

, então:

(1) lim_⎣⎡f x

( )

±g x

( )

_⎦⎤=lim f x

( )

±limg x

( )

= ±L₁ L₂.

(2) lim_⎣⎡f x

( ) ( )

⋅g x _⎦⎤=lim f x

( )

⋅limg x

( )

= ⋅L L_{1 2}.

(3)

( )

( )

( )

( )

12

lim lim

lim

f x f x L

g x g x L

⎡ ⎤

= =

⎢ ⎥

⎣ ⎦ se L2≠0.

(4) limn _{f x}

( )

=nlim _{f x}

( )

=n _L1 desde que

1 0

L ≥ se n for par.

(5) lim⎡_⎣f x

( )

_⎦⎤n=_⎣⎡lim f x

( )

_⎦⎤n=

( )

L₁ n.

Corolário 1.2.2.1. Suponha que lim representa um dos limites lim

x→p,

lim

x→p−

,

lim

x→p+

, lim

x→+∞ ou xlim→−∞. Se existirem L1=lim f1

( )

x , L2=lim f2

( )

x ,...,

( )

lim

n n

L = f x , então:

(1) lim_⎣⎡f₁

( )

x ± f₂

( )

x ± ±... f_n

( )

x _⎦⎤=lim f₁

( )

x ±lim f₂

( )

x ± ±... lim f_n

( )

x

= ±L₁ L₂± ±... L_n

(2) lim_⎣⎡f₁

( ) ( )

x ⋅ f₂ x ⋅ ⋅... f_n

( )

x _⎦⎤=lim f₁

( )

x ⋅lim f₂

( )

x ⋅ ⋅... lim f_n

( )

x

=lim f₁

( )

x ⋅lim f₂

( )

x ⋅ ⋅... lim f_n

( )

x

Exemplo Resolvido 1.2.1. Sendo

( )

2

lim 3

x→ f x = − , limx→2g x

( )

=4 e limx→2h x

( )

=0. Determine:

(a)

( )

( )

2

lim

x

g x f x

→ ⎡⎣ − ⎤⎦ (b)

( )

( )

( )

2

lim

x

g x h x f x

(c)

( )

2

( )

2 2

lim

x

f x g x

→ ⎡⎣ ⎤⎦ +⎡⎣ ⎤⎦ (d)

( ) ( )

(

( )

)

2 2

lim

x

f x g x h x

→

⎡ ₊ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Solução (a). Aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2.

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

lim lim lim 4 3 4 3 7

x→ ⎣⎡g x − f x ⎤⎦=x→ ⎣⎡g x ⎤⎦−x→ ⎣⎡f x ⎦⎤= − − = + =

Solução (b). Inicialmente aplica-se a propriedade (3) do teorema 1.2.2 e em seguida aplicam-se as propriedades (4) no numerador e (1) no denominador, do referido teorema.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2

( )

( )

2 2

2 2 2

lim

lim _{4 2}

lim

lim lim lim 0 3 3

x x

x

x x x

g x g x

g x

h x f x h x f x h x f x

→ → → → → → = = = = − − − − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (c). Inicialmente aplica-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em seguida aplicam-se a propriedade (1) e logo depois, a propriedades (5) do referido teorema.

( )

2

( )

2

( )

2

( )

2

2 2

lim lim

x x

f x g x f x g x

→ →

⎡ ⎤

+ = +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎢⎣⎣ ⎦ ⎣ ⎦ _⎥⎦

( )

2

( )

2

2 2

lim lim

x→ f x x→ g x

= ⎡_⎣ ⎤_⎦ + ⎡_⎣ ⎤_⎦

( )

2

( )

2

( ) ( )

2 2

2 2

lim lim 4 3 5

x x

f x g x

→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= _{⎢ ⎥} +_{⎢ ⎥} = + − =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Solução (d). Inicialmente a aplica-se a propriedade (1) do teorema 1.2.2 e em seguida aplicam-se nas parcelas as propriedades (2) e (5), respectivamente, do referido teorema.

( ) ( )

(

( )

)

2

( ) ( )

( )

2

2 2 2

lim lim lim

x x x

f x g x h x f x g x h x

→ → → ⎡ ₊ ⎤_{= ⎡ ⎤+ ⎡ ⎤} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

( )

(

)

(

( )

)

( )

2

2 2 2

lim lim lim

x x x

f x g x h x

Exemplo Resolvido 1.2.2. Ache:

(a) lim 1_n

x→+∞_x (b)

1

lim _n

x→−∞_x

Solução (a). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se:

1 1 1

lim lim lim 0

n n

n

x→+∞_x x→+∞ _x x→+∞ _x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟} =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução (b). Aplicando a propriedade (5) do teorema 1.2.2, tem-se:

1 1 1

lim lim lim 0

n n

n

x→−∞_x x→−∞ _x x→−∞ _x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟} =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Do exemplo resolvido 1.2.2 podem-se escrever as seguintes fórmulas:

1

lim 0

n

x→+∞ _x = (1.5)

1

lim 0

n

x→−∞ _x = (1.6)

Corolário 1.2.2.2. Suponha que lim representa um dos limites lim

x→p, _xlim_→p−,

lim

x→p+

, lim

x→+∞ ou xlim→−∞. Se existirem L=lim f x

( )

e k um número real, então:

( )

( )

( )

lim⎡_⎣k f x⋅ ⎤_⎦=lim k ⋅lim f x = ⋅k L

Exemplo Resolvido 1.2.3. Sendo k uma constante real, então, ache:

(a) lim

n x

k x

→+∞ (b) _xlim n

k x

→−∞

Solução (a). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre

a constante k e a função 1 xn e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2.

( )

1 1

lim _n lim _n lim _n 0 0

x x x

k

k k k

x x x

→+∞ →+∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}= _{⎜ ⎟}= =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução (b). Inicialmente pode-se escrever o quociente como um produto entre

a constante k e a função 1 xn e em seguida aplica-se o corolário 1.2.2.2.

( )

1 1

lim lim lim 0 0

n n n

x x x

k

k k k

x x x

→−∞ →−∞ →−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}= _{⎜ ⎟}= =

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Dos exemplos resolvidos 1.2.2 e 1.2.3, podem-se escrever as seguintes fórmulas, sendo k uma constante real qualquer.

lim _n 0

x

k x

→+∞ = (1.7)

lim _n 0

x

k x

→−∞ = (1.8)

Exemplo Resolvido 1.2.4. Ache o valor do limite

(

3 2

)

2

lim 3 2 3 9

x→− − x − x + x− .

(

3 2

)

( )

3

( )

2

( )

( )

2 2 2 2 2

lim 3 2 3 9 lim 3 lim 2 lim 3 lim 9

x x x x x

x x x x x x

→− − − + − = − →− − →− + →− − →−

( )

3

( )

2

( )

( )

2 2 2 2

3 lim 2 lim 3 lim lim 9

x x x x

x x x

→− →− →− →−

=− − + −

( ) ( ) ( )

3 2

2 2 2

3 lim 2 lim 3 lim 9

x→− x x→− x x→− x

= − − + −

( )

3

( )

2

( )

3 2 2 2 3 2 9 1

= − − − − + − − =

Exemplo Resolvido 1.2.5. Ache o valor do limite

3 2

2

1 lim

3 2 3 9

x→− − _x − _x + _x−

.

Solução. Inicialmente usa-se a parte (3) do teorema 1.2.2 e em seguida a parte (4) do mesmo teorema.

( )

(

2

)

3 2 3 2

2

2

lim 1 1

lim

3 2 3 9 lim 3 2 3 9

x x

x

x x x x x x

→− →−

→− =

− − + − − − + −

(

3 2

)

2

1 1

1 1

lim 3 2 3 9

x

x x x

→−

= = =

− − + −

Teorema 1.2.3. Para qualquer polinômio:

( )

0 1 ...

n n

p x =a +a x+ +a x (1.9)

e qualquer número real c, então:

( )

(

0 1

)

( )

lim lim ... _n n

x c x c

p x a a x a x p c

→ = → + + + = (1.10)

Prova.

( )

(

0 1

)

lim lim ... _n n

x c x c

p x a a x a x

→ = → + + +

0 1

lim lim ... lim _n n

x c x c x c

a a x a x

→ → →

= + + +

0 1

lim lim ... _nlim n

x c x c x c

a a x a x

→ → →

= + + +

( )

0 1 ...

n n

a a c a c p c

= + + + =

Em outras palavras, o teorema 1.2.3 diz que: o limite de um polinômio em um ponto de seu domínio é a própria imagem deste ponto.

Exemplo Resolvido 1.2.6. Calcule

(

3 2

)

3

lim 3 2 4

x

x x x

→ − + − .

Solução. Como o limite de um polinômio em um ponto de seu domínio é própria imagem deste ponto. Isto é o limite é encontrado através da substituição direta.

(

3 2

)

( )

3

( )

2

( )

3

lim 3 2 4 3 3 3 2 3 4 27 27 6 4 2

x

x x x

Exemplo Resolvido 1.2.7. Calcule

2

3 2

1

2 3 4

lim

4 1

x

x x

x x

→−

− −

+ + .

Solução. Inicialmente usa-se a propriedade (4) do teorema 1.2.2 e em seguida a propriedade (3) do mesmo teorema, e, finalmente, o teorema 1.2.3.

(

)

(

)

2

2 2

1

3 2 3 2 3 2

1 1

1

lim 2 3 4

2 3 4 2 3 4 1 1

lim lim

4 2

4 1 4 1 lim 4 1

x

x x

x

x x

x x x x

x x x x x x

→−

→− →−

→−

− −

− − ₌ − − _{= = =}

+ + + + + +

O intuito agora é definir como se comporta a função polinomial da forma n

x para n=1, 2, 3, 4, ..., quando x→+ ∞ e x→− ∞. A figura 1.11

apresenta os gráficos para os casos particulares em que n=2, 3 e 4, respectivamente, e os seus limites no infinito.

Os resultados apresentados na figura 1.11 são os casos particulares do seguinte caso geral:

lim n

x

x

→+∞ = + ∞ (1.11)

lim n

x

se n par x

se n ímpar

→−∞

+∞ ⎧ = ⎨_−∞

⎩ (1.12)

Exemplo Resolvido 1.2.8. Calcule os limites no infinito.

(a) lim n

x

kx

→+∞ (b) lim

n x kx →−∞ Solução (a). 0 lim lim 0 n n x x se k kx k x

se k →+∞ →+∞ +∞ > ⎧ = _{= ⎨} −∞ < ⎩ Solução (b).

(i) lim lim 0

0

n n

x x

se k

kx k x n par

se k →−∞ →−∞ +∞ > ⎧ = _{= ⎨} −∞ < ⎩

(ii) lim lim 0

0

n n

x x

se k

kx k x n ímpar

se k →−∞ →−∞ −∞ > ⎧ = _{= ⎨} +∞ < ⎩

Teorema 1.2.4. Um polinômio se comporta como seu termo de maior grau quando x→ +∞ ou x→ −∞.

(

0 1

)

( )

lim ... _n n lim _n n

x x

a a x a x a x

→+∞ + + + = →+∞ (1.13)

(

0 1

)

( )

lim ... _n n lim _n n

Exemplo Resolvido 1.2.9. Calcule os limites.

(a) _{lim 5}

(

3 ₄ 2 ₁₂

)

x

x x x

→−∞ − + − (b)

(

)

3 4 5

lim 3 3

x

x x x

→+∞ + −

Solução (a). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau, tem-se:

(

3 2

)

( )

3

lim 5 4 12 lim 5

x x

x x x x

→−∞ − + − = →−∞ =− ∞

Solução (b). Como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau, tem-se:

3 4 5 5

1 3 3 3

lim lim

2 5 7 7

x→+∞ x x x x→+∞ x

−

⎛ _{+ −} ⎞₌ ⎛ ⎞_{= − ∞}

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uma função racional é uma razão entre dois polinômios, ou seja, é uma função do tipo

( )

( )

f x

g x com g x

( )

≠0. Neste caso, há três métodos para se

calcular o limite

( )

( )

lim

→

x p

f x

g x , dependendo se xlim→pg x

( )

converge para zero ou

não.

Se lim

( )

0

→ ≠

x p

g x , então, usa-se o fato de que o limite da razão é a

razão dos limites, ou seja:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

lim

lim

lim

→ →

→

=x p =

x p

x p

f x

f x f p

g x g x g p (1.15)

Em outras palavras se lim

( )

0

→ ≠

x pg x , o limite

( )

( )

lim

→

x p

f x

g x deve ser calculado por

Exemplo Resolvido 1.2.10. Ache 3 2 2 2 7 lim 3 → − − x x x .

Solução. Como

(

2

)

2

lim 3 1 0

→ − = ≠

x x , então o limite deve ser calculado por

substituição direta, logo:

( )

( )

3 3 2 2 2

2 2 7

2 7

lim 9

3 2 3

→ − − _{= =} − ₋ x x x

Exemplo Resolvido 1.2.11. Calcule 3 2 1 lim 2 4 x x x − →− + − .

Solução. Inicialmente tem que ser usado o fato de que o limite da raiz cúbica é a raiz cúbica do limite, ou seja:

3 3

2 2

1 1

lim lim

2 4 2 4

x x x x x x − − →− →− + ₌ + − −

Agora se calcula o limite da função racional e devido ao fato de que

(

)

2

lim 2 4 8 0

x

x −

→− − = − ≠ , então:

( )

2

1 2 1 1

lim

2 4 2 2 4 8

x x x − →− + − + = = − − − Logo,

3 3 3

2 2

1 1 1 1

lim lim

2 4 2 4 8 2

Se lim

( )

0

→ =

x p

g x e lim

( )

0

→ =

x p

f x , então o numerador e denominador

terão um fator comum

(

x− p

)

e o limite pode, freqüentemente, ser calculado

cancelando-se primeiro os fatores comuns. Se

(

x− p

)

é fator de f x

( )

então

( ) (

= −

) ( )

f x x p F x e se

(

x− p

)

é fator de g x

( )

então g x

( ) (

= −x p G x

) ( )

,

daí:

( )

( )

(

(

) ( )

) ( )

( )

( )

lim lim lim

→ → →

−

= =

−

x p x p x p

f x x p F x F x

g x x p G x G x (1.16)

Exemplo Resolvido 1.2.12. Calcule 2 3 9 lim 3 → − − x x x .

Solução. Como

(

)

3

lim 3 0

→ − =

x x e

(

)

2 3

lim 9 0

→ − =

x x , então, há um fator comum

(

x−3

)

, logo,

(

)(

)

₍

₎

2

3 3 3

3 3

9

lim lim lim 3 6

3 3

→ → →

− +

− _{= = + =}

− −

x x x

x x

x

x

x x

Exemplo Resolvido 1.2.13. Calcule

3 2 1 1 lim 2 1 + →− + + − x x

x x .

Solução. Como

(

2

)

1

lim 2 1 0

+

→− + − =

x

x x e

(

3

)

1

lim 1 0

x

x

+

→− + = , então, há um fator comum

(

x+1

)

, logo,

(

)

(

)

(

)(

)

2

3 2

2

1 1 1

1 1

1 1

lim lim lim

1 2 1 2 1

2 1 + + + →− →− →− + − + + − + = = + − − + −

x x x

x x x

x x x

x x x

Tem-se uma nova função racional, então, deve-se verificar se o limite do denominador é igual à zero ou não. Como

(

)

1

lim 2 1 3

x

x

+

→− − = − , então, o limite deve ser calculado por substituição direta.

( ) ( )

( )

2 2

1

1 1 1

1 3

lim 1

2 1 2 1 1 3

+ →− − − − − + _{= = =−} − − − − x x x x

Se lim

( )

0

→ =

x p

g x e lim

( )

0

→ ≠

x p

f x , então

( )

( )

lim

→

x p

f x

g x é +∞ ou −∞, ou

de um lado +∞ e do outro −∞, ou vice versa. Neste caso, devem-se calcular os limites laterais e para isso deve-se analisar o sinal da expressão

( )

( )

f x

g x nas

proximidades do ponto x=p.

Exemplo Resolvido 1.2.14. Calcule 2 lim 2 →− + x x x .

Solução. Como

(

)

2

lim 2 0

→− + =

x

x e

( )

2

lim 2 0

→− = − ≠

x

x , então, devem-se calcular os

limites laterais. Sabe-se que os limites laterais são do tipo ∞, então resta saber o sinal.

(i) Quando x se aproxima de −2 pela esquerda, x< −2 o que implica que 2 0

+ <

x e como nas proximidades de x= −2 tem-se x<0, então, tem-se que 0

2 x

x+ > . Daí pode-se concluir que:

(ii) Quando x se aproxima de −2 pela direita, x> −2 o que implica que 2 0

+ >

x e como nas proximidades de x= −2 tem-se x<0, então, tem-se que 0

2 x

x+ < . Daí pode-se concluir que:

2

lim 2

x

x x +

→− + = − ∞

Um modo mais prático de resolver estes limites é através da análise do sinal da expressão

2

+

x

x , que é dado pela figura 1.12:

Figura 1.12

Logo, pode-se concluir que:

2

lim 2 −

→− + = + ∞

x

x

x e 2

lim 2 −

→− + = − ∞

x

x

x .

Exemplo Resolvido 1.2.15. Calcule

2 0

3 lim

1 2 1

x

x

x x

+

→ _{+ − +} .

Solução. Como

(

2

)

0

lim 1 2 1 0

x

x x

+

→ + − + = e 0

( )

lim 3 0

x

x

+

→ = , então para resolver este limite deve-se simplificar a expressão do limite. Ou seja:

2

2 2 2

3 3 1 2 1

1 2 1 1 2 1 1 2 1

x x x x

x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ _{+ + +} ⎜ ⎟ =⎜_⎜ ⎟_{⎟⎜ ⎟} + − + ⎝ + − + _⎠⎝ + + + _⎠

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 ₂ 2

2

3 1 2 1 3 1 2 1

1 2 1

1 2 1

x x x x x x

x x x x + + + + + + = = + − − + − +

(

) (

)

(

)

2 2 2

3 1 2 1 3 1 2 1

2 2

x x x x x x

x x x x + + + + + + = = − −

(

2

)

3 1 2 1

2 x x x + + + = − Logo, tem-se:

(

2

)

2

0 0

3 1 2 1

3

lim lim

2

1 2 1

x x x x x x x x + + → → + + + = − + − +

Como

(

)

0

lim 2 2 0

x

x

+

→ − =− ≠ , pode-se calcular o limite através da substituição direta, isto é:

(

₂

)

( )

2

( )

_{( )}

0

3 0 1 2 0 1

3 1 2 1 _{3 2}

lim 3

2 0 2 2

x x x x + → ⎛ _{+ + +} ⎞ + + + ⎜_⎝ ⎟_⎠ = = = − − − − Daí tem-se: 3

Para se calcular os limites no infinito de uma função racional devem-se dividir numerador e denominador pela potência mais alta de x que aparece

no denominador, logo todas as potências de x tornam-se constantes ou

potências de 1

x.

Exemplo Resolvido 1.2.16. Calcule lim 3 5 4 6 →−∞ − − x x x.

Solução. Divide-se numerador e denominar por x, daí:

5

5 _{lim 3}

3

3 5 3 0 3 1

lim lim

4 4

4 6 ₆ 0 6 6 2

lim 6

x

x x

x

x _x x

x x x →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ ⎛ ₋ ⎞ − ⎜ ⎟ − _{= = ⎝ ⎠=} − _{= = −} − ₋ ⎛ ₋ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Exemplo Resolvido 1.2.17. Ache

2

3 2

3 2 5

lim

5 7 1

→+∞

+ −

− − +

x

x x

x x x .

Solução. Divide-se numerador e denominar por _x3_{, daí:}

2 _{2 3}

3 2

2 3

3 2 5

3 2 5

lim lim

7 1 1

5 7 1 ₅

x x

x x _{x x x}

x x x

x x x

→+∞ →+∞ + − + − ₌ − − + _{− − +} 2 3 2 3

3 2 5

lim

0 0 0 0

0

7 1 1 5 0 0 0 5

lim 5

x

x

x x x

x x x

Outra maneira de se resolver estes limites é considerando o fato de que como uma função racional é uma razão entre dois polinômios e como o polinômio se comporta como seu termo de maior grau no infinito, logo se

( )

0 1 ...

(

0

)

n

n n

f x = +a a x+ +a x a ≠ e g x

( )

= +b₀ b x₁ + +... b x_m m

(

b_m ≠0

)

, então:

( )

( )

₀0 ₁1 ...

lim lim lim

...

n n

n n

m m

x x x

m m

f x a a x a x a x

g x b b x b x b x

→−∞ →−∞ →−∞

+ + +

= =

+ + + (1.17)

e

( )

( )

00 11

...

lim lim lim

...

n n

n n

m m

x x x

m m

f x a a x a x a x

g x b b x b x b x

→+∞ →+∞ →+∞

+ + +

= =

+ + + (1.18)

Ou seja, uma função racional comporta-se quando x→ +∞ e x→ −∞, como a razão entre os termos de mais alto grau no numerador e no

denominador.

Exemplo Resolvido 1.2.18. Ache

4 3 2

3 2

7 2 5

lim

6 8 13

→−∞

+ −

− + − +

x

x x x

x x x .

Solução. Usando o fato anterior tem-se:

(

)

4 3 2 4

3 2 3

7 2 5 7

lim lim lim 7

6 8 13

→−∞ →−∞ →−∞

+ − _{= = − = + ∞}

− + − + −

x x x

x x x x

x

x x x x

Exemplo Resolvido 1.2.19. Calcule:

Em ambos os itens, seria mais prático manipular a função de forma que as potências de x se tornem potências de 1 x. Podem-se conseguir isto

em ambos os termos dividindo-se numerador e denominador por x e

lembrando do fato que 2

x= x .

Solução (a). Dividindo, então, numerador e denominador por x, tem-se

2 2 2 3 2 3 lim lim 1 1 →+∞ →+∞ − − ₌ + + x x x x x x x x

Como _{x = x}2 _{e para}

0

>

x tem-se x=x, daí:

2

2 2 2

2 3 _{2 2 2}

lim 3 lim 3

3

3

lim lim 3

1

1 1 1

1 _{1 lim 1 lim 1}

x x

x x

x x

x

x _{x x x}

x

x x x

x →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞ − _{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} − − − ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎜_⎝ ⎟_{⎠ −} = = = = = − ⎛ ⎞ _{⎛ ⎞} + _{+ ⎜ + ⎟ +} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Solução (b). Fazendo o mesmo procedimento adotado no item (a), então:

2 2 2 3 2 3 lim lim 1 1 →−∞ →−∞ − − ₌ + + x x x x x x x x

Como _{x = x}2 _{e para x<0 tem-se x= −x, daí:}

2

2 2 2

2 3 _{2 2 2}

lim 3 lim 3

3

3

lim lim 3

1

1 1 1

1 ₁

lim 1 lim 1

x x

x x

x x

x

x _{x x x}

x

x x x

No caso de limite de funções definidas por partes, devem-se calcular separadamente os limites laterais e verificar a existência do limite bilateral (ver teorema 1.1.1).

Exemplo Resolvido 1.2.20. Seja

( )

2

2 1 1

4 1

− > − ⎧⎪

= ⎨

+ < − ⎪⎩

x se x f x

x x se x , então calcule,

caso exista,

( )

1

lim

→−

x f x .

Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites laterais. Logo,

( )

(

₂

)

( )

2

( )

1 1

lim lim 4 1 4 1 3

x x

f x x x

− −

→− = →− + = − + − = −

e

( )

(

) ( )

1 1

lim lim 2 1 2 1 1 3

x x

f x x

+ +

→− = →− − = − − =−

Como

( )

( )

1 1

lim 3 lim

− +

→− = − = →−

x x

f x f x , implica que existe o limite e seu

valor é dado por:

( )

1

lim 3

→− = −

x

f x .

Exemplo Resolvido 1.2.21. Seja

( )

3 ₃ 2 _{1 2}

0 2

2 2

⎧ − + <

⎪

=_⎨ =

⎪ _{+ >}

⎩

x x se x

g x se x

x se x

, então calcule,

caso exista,

( )

2

lim

→

x g x .

Solução. Como a função é definida por parte devem-se calcular os limites laterais. Logo,

e

( )

(

)

(

)

2 2 2

lim lim 2 lim 2 2 2 2

x x x

g x x x

+ − −

→ = → + = → + = + =

Como

( )

( )

2 2

lim 3 2 lim

− +

→ = − ≠ = →

x x

g x g x , implica que não existe o limite

( )

2

lim

→

x

g x .

Exemplo Resolvido 1.2.22. Seja a função

( )

2 2

2 1 0

1 0 2

1 2

2

x se x

f x x se x

x

se x

⎧

⎪ − < ⎪⎪

=_⎨ − < < ⎪

⎪ _{+ >} ⎪⎩

.

Determine, caso existam,

( )

0

lim

x→ f x e limx→2 f x

( )

.

Solução. Inicialmente verifica-se a existência de

( )

0

lim

x→ f x através do cálculo

dos limites laterais. Isto é,

( )

(

)

0 0

lim lim 2 1 1

x x

f x x

− −

→ = → − = −

e

( )

(

2

)

0 0

lim lim 1 1

x x

f x x

+ +

→ = → − = −

Como

( )

( )

0 0

lim 1 lim

x x

f x f x

− +

→ = − = → , tem-se que limx→0 f x

( )

= −1. Faz-se o mesmo para verificar a existência de

( )

2

lim

x

f x

→ . Isto é,

( )

(

2

)

2 2

lim lim 1 3

x x

f x x

− −

→ = → − =

e

( )

2

2 2

lim lim 1 3

2 x x x f x + + → → ⎛ ⎞ = _⎜ + =_⎟ ⎝ ⎠

Como

( )

( )

2 2

lim 3 lim

x x

f x f x

− +

→ = = → , tem-se que xlim2

( )

f x

1.3 Limites: Uma definição matemática

A definição de limite dada na seção 1.1 deste módulo foi baseada na intuição de como o significado dos valores de uma função fica cada vez mais próximo de um valor limitante. Porém, esta definição é muito imprecisa e inadequada para alguns propósitos, logo se torna necessário uma definição mais precisa de um ponto de vista matemático.

Par isso considere a função f R: −

{ }

p →R cujo gráfico é dado é

apresentado na figura 1.13 e para o qual f x

( )

→ L quando x→ p.

Figura 1.13

Escolhe-se um número positivo,

ε

, e traçam-se duas retas horizontais que passam pelos pontos L−

ε

e L+

ε

, no eixo y, para a curva

( )

y=f x e, então, retas verticais daqueles pontos da curva para o eixo x (ver

figura 1.14) e sejam x₀ e x₁ os pontos onde as retas verticais interseccionam o

Figura 1.14

Fazendo x se aproximar cada vez mais de p, por qualquer um dos

lados, tem-se que logo x estará no intervalo

(

x x₀, ₁

)

; quando isto ocorre, o

valor de f x

( )

estará entre L−

ε

e L+

ε

(ver figura 1.15). Ou seja, se

( )

f x →L quando x→ p, então para qualquer

ε

>0 tem-se um intervalo

aberto

(

x x₀, ₁

)

no eixo x, com p∈

(

x x₀, ₁

)

e com a propriedade que para cada

(

0, 1

)

x∈ x x , exceto possivelmente x=p, tem-se f x

( ) (

∈ L−

ε

,L+

ε

)

.

Definição 1.3.1 (1ª versão preliminar). Seja f x

( )

uma função definida em

todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível

exceção de que f x

( )

não precisa ser definida em p. Escreve-se:

( )

lim

x→p f x =L (1.19)

se dado

ε

>0, pode-se encontrar um intervalo aberto

(

x x₀, ₁

)

que contenha p

de modo que f x

( )

satisfaça

( )

L− <

ε

f x < +L

ε

_(1.20)

para cada x∈

(

x x₀, ₁

)

, com a possível exceção de x=p.

Observa-se através da figura 1.15 que o intervalo

(

x x₀, ₁

)

amplia-se

mais à direita que à esquerda. Então, para muitos fins é preferível ter um intervalo com a mesma distância de p. Escolhe-se um número positivo

δ

menor do que x₁− p e p−x₀, e considere o intervalo

(

p−

δ

,p+

δ

)

que se

ampliam à mesma distância de p, em ambos os lados.

Uma vez que a condição L− <

ε

f x

( )

< +L

ε

é válida para o

intervalo

(

x x₀, ₁

)

e como

(

p−

δ

,p+

δ

) (

⊂ x x₀, ₁

)

, então esta condição também

Figura 1.16

Definição 1.3.2 (2ª versão preliminar). Seja f x

( )

uma função definida em

todo x de algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível

exceção de que f x

( )

não precisa ser definida em p. Escreve-se:

( )

lim

x→p f x =L (1.21)

se dado

ε

>0, pode-se achar um número

δ

>0 tal que f x

( )

satisfaça

( )

L− <

ε

f x < +L

ε

(1.22)

para cada x∈

(

p−

δ

,p+

δ

)

, com a possível exceção de x=p.

A condição L− <

ε

f x

( )

< +L

ε

pode ser expressa como

( )

f x − <L

ε

e a condição que x está situado no intervalo

(

p−

δ

,p+

δ

)

, mas x≠p, pode

ser expressa como:

Definição 1.3.3 (versão final). Seja f x

( )

uma função definida em todo x de

algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível exceção de

que f x

( )

não precisa ser definida em p. Escreve-se:

( )

lim

x→p f x =L (1.23)

se dado

ε

>0, pode-se achar um número

δ

>0 tal que

( )

f x − <L

ε

se 0< − <x p

δ

(1.24)

Exemplo Resolvido 1.3.1. Prove que

(

)

3

lim 2 5 1

x→ x− = .

Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo

ε

, pode-se encontrar um número positivo

δ

tal que:

(

2x− − <5

)

1

ε

se 0< − <x 3

δ

simplificando tem-se:

2x− <6

ε

se 0< − <x 3

δ

(

)

2 x 2

ε

− − < se 0< − <x 3

δ

2 x 3

ε

− − < se 0< − <x 3

δ

2 x− <3

ε

se 0< − <x 3

δ

3 2

x− <

ε

se 0< − <x 3

δ

, logo fica evidente que 2

Exemplo Resolvido 1.3.2. Prove que

(

)

2

lim 4 3 2

x

x

→ − = − .

Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo

ε

, pode-se encontrar um número positivo

δ

tal que:

(

4 3− x

) ( )

− − <2

ε

se 0< − <x 2

δ

6 3x− <

ε

se 0< − <x 2

δ

(

)

3 x 2

ε

− − < se 0< − <x 2

δ

3 x 2

ε

− − < se 0< − <x 2

δ

3x− <2

ε

se 0< − <x 2

δ

2 3

x− <

ε

se 0< − <x 2

δ

, logo fica evidente que 3

ε

δ

= .

Exemplo Resolvido 1.3.3. Prove que

(

)

1

lim 7 12 5

x→− x+ = .

Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo

ε

, pode-se encontrar um número positivo

δ

tal que:

(

7x+12

)

− <5

ε

se 0< − − <x

( )

1

δ

7x+ <7

ε

se 0< + <x 1

δ

(

)

7 x+ <1

ε

se 0< + <x 1

δ

7 x+ <1

ε

se 0< + <x 1

δ

2 7

x+ <

ε

se 0< + <x 1

δ

, logo fica evidente que 7

O valor de

δ

não é único, ou seja, uma vez achado um valor de

δ

que preenche as condições da definição 1.3.3, então, qualquer

δ

₁>0, menor

que

δ

, também satisfaz estas condições. Isto é, se é verdade que:

( )

f x − <L

ε

se 0< − <x p

δ

então também será verdade que

( )

f x − <L

ε

se 0< − <x p

δ

₁

Exemplo Resolvido 1.3.4. Prove que

(

2

)

1

lim 1 2

x

x

→ + = .

Solução. Deve-se mostrar que dado qualquer número positivo

ε

, pode-se encontrar um número positivo

δ

tal que:

(

_x2_{+ − <1}

)

₂

ε

_{se 0< − <x 1}

_δ

2 ₁

x − <

ε

se 0< − <x 1

δ

Como 2

(

)(

)

1 1 1

x − = +x x− , então:

1 1

x+ x− <

ε

se 0< − <x 1

δ

ou

1

1

− < +

x

x

ε

se 0< − <x 1

δ

Para garantir esta afirmação, necessita-se achar um

δ

que “controle” o tamanho de ambos os fatores do lado esquerdo, pois o lado direito dá um “controle” do tamanho de x−1, mas não de x+1.

Para contornar isto, pode-se fazer uma restrição quando ao valor de

o que implica:

1 3 x+ <

resultando

1 3

x− <

ε

se 0< − <x 1

δ

Assim pode-se tomar

3

ε

δ

= (ou menos), sujeito à restrição

δ

≤1. Ou

seja, pode-se obter isto tomando

δ

como o mínimo entre

3

ε

δ

= e 1, escrito

como min ,1 3

ε

δ

= ⎛_⎜ ⎞_⎟

⎝ ⎠.

Definição 1.3.4. Seja f x

( )

definida em todo x que pertence a algum intervalo

aberto infinito, o qual se estende na direção positiva do eixo x. Escreve-se:

( )

lim

x→+∞ f x =L (1.25)

se dado

ε

>0, há um correspondente N>0, tal que

( )