E STRUTURAS DED ADOSE A LGORITMOS C

ESTRUTURAS DE DADOS E

ALGORITMOS

COMPLEXIDADE E NOTAÇÃO

ASSINTÓTICA

Adalberto Cajueiro

(adalberto@computacao.ufcg.edu.br) Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande 1

R

…

É importante não só ter uma

máquina

boa, mas também um

P

 Como representar e estudar o tempo de execução

dos algoritmos?

 Como classificar os diversos algoritmos de acordo

com seus tempos de execução?

 O quão eficiente é um algoritmo?

3

P

 Intruções sequenciais

 Uso de abstração (identificar termos mais

significantes nas fórmulas)

P

 Tempo de execução = número de passos

executados

 Cada linha é executada em um tempo constante

 O número de repeticoes de cada linha é que será relevante na complexidade!!!

5

C

C

 Pior Caso

 É um limite superior do tempo de execucao de um algoritmo

 Ocorre frequentemente

 O caso médio é frequentemente tao ruim quanto o pior caso

7

C

F

 O tempo de execucao é uma função da entrada

 Cada funcao tem uma taxa de crescimento

 Uso de agrupamento de funcoes. Funcoes de

C

F

9 polinomial (quadrática, cúbica,...)

linear

constante

logarítmica exponencial

Cada classe é caracterizada por uma família diferente de curva

E

 Ordene as funções por ordem de crescimento

 n5_+132n2

 3n+12

 8900

 45log(n)

 45log(n).n

 132n2

11

E

 Se tivermos dois algoritmos que ordenam elementos. O

Alg 1 pertence a classe n2 _{e Alg 2 pertence a classe}

C

: I

P

 Ignore constantes relacionadas ao hardware

 Foco

 Crescimento da função quando n → infinito

 Análise Assintótica

 Exemplo

13

O tempo de execução cresce proporcionalmente

(polinomialmente, exponencialmente, logaritmicamente, etc.) a n

Foco!!!

A

A

É uma ferramenta para ajudar a estruturar nosso pensamento

Eficiência assintótica:

entradas grandes

N

A

 Descreve o tempo de execução assintótica de um

algoritmo

15

N



 Intuição

n

T(n) c₂g(n)

f(n)

c₁g(n)

n

g(n) é um limite

N



 Intuição

17

(g(n)) = {f(n) | c1>0, c2>0, n0>0,

0 ≤ c₁g(n) ≤ f(n) ≤ c₂g(n) n ≥ n₀} n

T(n) c₂g(n)

f(n)

c₁g(n)

n₀

g(n) é um limite

assintoticamente restrito para f(n)

- Se f(n) (g(n)) então dizemos que f(n) cresce tão rapidamente quanto g(n)!

- g(n) é um limitante assintótico justo (apertado) para f(n)

N



 Intuição

(g(n)) = {f(n) | c₁>0, c₂>0, n₀>0,

0 ≤ c₁g(n) ≤ f(n) ≤ c₂g(n) n ≥ n₀} n

T(n) c₂g(n)

f(n)

c₁g(n)

n₀

g(n) é um limite

E

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}4  c1 = 7 > 0

 c₂ = 22 > 0

 0 ≤ 7n4 ≤ _7n4_+5n2₊₁₀ ≤ _22n4

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ _(n4₎

19

Θ(g(n)) = {f(n) |  c₁>0, c₂>0, n₀>0,

0 ≤ c₁g(n) ≤ f(n) ≤ c₂g(n) n ≥ n₀}

c1g(n) f(n) c2g(n)

L

N



 Remova os termos de ordem mais baixa

 Ignore as constantes da ordem mais alta

 Exemplo

 7n4_+5n2₊₈₉₀ ∈ _(n4₎

E

1

 Qual o  das funções abaixo?

 8

 5n2₊₈

 7n7_+5n2₊₈

 7n.logn + 5n

21

E

2

E

3

 Justifique:

 5n2_+8n ∈ _{(n) ?}

 7n7_+5n2₊₈ ∈_(n7_{) ?}

 7log n ∈(n) ?

23

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

long potencia(int n) { long r = 1;

for (int i=1; i<=n; i++) r=2*r;

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

25

long potencia(int n) {

c1 +

for (int i=1; i<=n; i++) r=2*r;

return r; }

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + i<=n; i++)

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

27

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + n*c2 + i++)

r=2*r; return r; }

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + n*c2 + c3*(n-1)+)

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

29

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + n*c2 + c3*(n-1)+)

n*c4 +

return r; }

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + n*c2 + c3*(n-1)+)

n*c4 +

c5

R

 Algoritmo do cálculo de potência de 2

31

f(n) = n

f(n) =



(n)

simplificando... Complexidade do algoritmo

long potencia(int n) {

c1 +

for (c1 + n*c2 + c3*(n-1)+)

n*c4 +

c5

}

f(n) = 2*c1 + c2*n + c3*(n-1) + n*c4 + c5

E

4

 Qual a complexidade  do algoritmo abaixo?

public static int soma(int[] A) { int soma = 0;

for(int i=0;i<A.length;i++) soma+=A[i]

E

4

 Qual a complexidade  do algoritmo abaixo?

33

public static int soma(int[] A) { int soma = 0;

for(int i=0;i<A.length;i++) soma+=A[i] return soma; } c c n*c

E

4

 Qual a complexidade  do algoritmo abaixo?

public static int soma(int[] A) { int soma = 0;

for(int i=0;i<A.length;i++) soma+=A[i]

return soma; }

f(n) = n

f(n) =



(n)

c

N

A

E

 Abusos da notação matemática que podem facilitar o entendimento em alguns casos

35

n

_{+2n =}



_(n

₎

∈

n

_{+2n =}



_(n

_)+n

função anônima, significando qualquer função em (n2₎

E

1

E

2

 A afirmação n = Θ(2n+5) é verdadeira?

Justifique.

37

E

3

 Qual a interpretação de Θ(n)+Θ(n)=Θ(n)?

E

4

 A afirmação Θ(n) = Θ(n2_{) é verdadeira ou falsa?}

39

N

O (

)

 Intuição

n

T(n) c_.g(n)

f(n)

n

g(n) é um limite

N

O (

)

 Intuição

41

O(g(n)) = {f(n) | c>0, n0>0,

0 ≤ f(n) ≤ c g(n) n ≥ n₀} n

T(n) c_.g(n)

f(n)

n₀

g(n) é um limite

assintótico superior para f(n)

I

B

-O

0 20 40 60 80 100 120 140

1 2 3 4 5

tamanho da entrada

T(

n

)

n

f(n) = n

₊₁₀

5.g(n) =

5.

n

E

 Comparar f(n) = 7n4_+5n2_{+10 com g(n) = n}4

 0 ≤ 7n4_+5n2₊₁₀ ≤_22n4_{, c = 22 > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ _O(n4₎

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 com g(n) = n}5

 0 ≤ 7n4_+5n2₊₁₀ ≤_22n5_{, c = 22 > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ _O(n5_{) 43}

O(g(n)) = {f(n) | c>0, n₀>0,

0 ≤ f(n) ≤ c g(n)  n ≥ n₀}

E

1

 Qual o O das funções abaixo?

 890

 5n2₊₈₉₀

 7n7_+5n2₊₈₉₀

E

2

 Indique pelo menos 5 funções que ∈ O(n3_).

45

E

3

 log₂n ∈ O(n)?

 log₂n ∈Θ(n)?

 n2 ∈ _O(2n_)?

 n2 ∈Θ₍₂n_)?

 3n+1 ∈ O(5n+10)?

E

4

 Qual a complexidade O do algoritmo abaixo?

47

public static int soma(int[] A) { int soma = 0;

for(int i=0;i<A.length;i++) soma+=A[i]

return soma; }

E

4

 Qual a complexidade O do algoritmo abaixo?

public static int soma(int[] A) { int soma = 0;

for(int i=0;i<A.length;i++) soma+=A[i]

return soma; }

c

E

5

 Qual a complexidade

O dos algoritmos ao

lado no pior caso?

 Vocês conhecem

algum algoritmo assintoticamente mais eficiente?

49

boolean primo(int n) { if (n==2) return true; for (int i=2; i<n; i++) if (n%i==0) return false; return true; }

boolean primo(int n) { if (n==2) return true; for (int i=2; i<=n/2; i++) if (n%i==0)

return false; return true; }

N



(

)

 Intuição

(g(n)) = {f(n) | c>0, n₀>0,

0 ≤ cg(n) ≤ f(n) n ≥ n₀} n T(n)

f(n)

cg(n)

n₀

g(n) é um limite

assintótico inferior para f(n)

N



(

)

 Intuição

51

(g(n)) = {f(n) | c>0, n0>0,

0 ≤ cg(n) ≤ f(n) n ≥ n₀} n T(n)

f(n)

cg(n)

n₀

g(n) é um limite

assintótico inferior para f(n)

E

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}4

 0 ≤7n4≤ _7n4_+5n2_{+10, c = 7 > 0}

 Logo, concluímos que:

4 2 ∈  4

(g(n)) = {f(n) | c>0, n₀>0,

E

1

 Qual o ordem  das funções abaixo?

 890

 5n2₊₈₉₀

 7n5_+5n2₊₈₉₀

 7nlogn+5n

53

E

2

E

3

 log n ∈(n)?

 logn ∈(n)?

 logn ∈ O(n)?

 n2 ∈₍₂n_)?

 n2 ∈₍₂n_)?

 n2 ∈O₍₂n_)?

55

g(n)

h(n)

f(n)

N

 Intuição

57

o(g(n)) = {f(n) | para qualquer c>0, existe n0>0,

0 ≤ f(n) < c g(n) para todo n ≥ n₀} n

T(n) c_.g(n)

f(n)

n₀

g(n) é um limite

superior que não é assintoticamente

restrito para f(n)

- Se f(n)  o(g(n)) então dizemos que f(n) cresce mais lentamente que g(n)!

N

 Intuição

o(g(n)) = {f(n) | para qualquer c>0, existe n₀>0, 0 ≤ f(n) < c g(n) para todo n ≥ n₀}

n

T(n) c_.g(n)

f(n)

n₀

g(n) é um limite

superior que não é assintoticamente

E

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}5

 0 ≤ 7n4_+5n2_{+10 < cn}5_{, c > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ _o(n5₎

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}6

 0 ≤ 7n4_+5n2_{+10 < cn}6_{, c > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ _o(n6₎

59

o(g(n)) = {f(n) | para qualquer c>0, existe n₀>0, 0 ≤ f(n) < c g(n) para todo n ≥ n₀}

E

1

 Qual o o das funções abaixo?

 890

 5n2₊₈₉₀

 7n7_+5n2₊₈₉₀

E

2

 Indique pelo menos 5 funções que ∈ o(n3_).

61

E

3

 log2n ∈ o(n)?

N

ω

 Intuição

63

ω(g(n)) = {f(n) | para qualquer c>0, existe n₀>0, 0 ≤ cg(n) < f(n) para todo n ≥ n₀}

n T(n)

f(n)

cg(n)

n₀

g(n) é um limite

inferior que não é assintoticamente restrito para f(n)

- Se f(n) ω(g(n)) então dizemos que f(n) cresce mais rapidamente que g(n)!

N

ω

 Intuição n T(n) f(n) cg(n) n

g(n) é um limite

E

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}3

 0 ≤ cn3_{< 7n}4_+5n2_{+10, c > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ ω_(n3₎

 f(n) = 7n4_+5n2_{+10 e g(n) = n}

 0 ≤ cn ≤ 7n4_+5n2_{+10, c > 0}

 Logo, concluímos que:

 7n4_+5n2₊₁₀ ∈ ω_(n)

65

ω(g(n)) = {f(n) | para qualquer c>0, existe n₀>0, 0 ≤ cg(n) < f(n) para todo n ≥ n₀}

E

1

 Qual o ω das funções abaixo?

 5n2₊₈₉₀

 7n5_+5n2₊₈₉₀

E

2

 Indique pelo menos 5 funções que ∈ ω(n3_).

67

E

3

R

N

69



(

g(n)) = O(g(n)) ∩



(g(n))

Upper bound Lower bound Tight bound ou

Prova: exercício pra casa!

R

T(n) c_.g(n)

f(n)

n

T(n) c₂g(n)

f(n)

c₁g(n)

n₀



P

C

F

71

T

73

E

1

 O o  ω

5n2₊₈

7n4_+5n2 ₊₈

E

3



Faça a análise do algoritmo a seguir.

75

public int fatorial(int n) { int fat = 1;

for (int i = 1; i <= n; i++) fat = fat * i;

return fat; }

E

4

 Os algoritmos fazem

a mesma coisa?

 Qual deles é mais

eficiente? Por que?

float [] result = new float[x.length]; for(int i=0;i<x.length; i++) {

float a=0;

for(int j=0;j<=i;j++) a = a + x[j];

result[i] = (a)/(i+1); }