O mercado de derivativos e o modelo de Heston

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FUNDAC

¸ ˜

AO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE MATEM ´

ATICA APLICADA

CURSO DE GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA APLICADA

O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston

por

Gabriel Mesquita

Rio de Janeiro 2016

FUNDAÇ ÃO GET ÚLIO VARGAS

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FUNDAC

¸ ˜

AO GETULIO VARGAS

ESCOLA DE MATEM ´

ATICA APLICADA

CURSO DE GRADUAC

¸ ˜

AO EM

MATEM ´

ATICA APLICADA

O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston

”Declaro ser o único autor do presente projeto de monografia que refere-se ao plano de trabalho a ser executado para continuidade da monografia e ressalto que não recorri a qualquer forma de colaboração ou aux´ılio de terceiros para realizá-lo

a n˜ao ser nos casos e para os fins autorizados pelo professor orientador”

Gabriel Mesquita

Orientador: Yuri Saporito

Rio de Janeiro 2015

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Gabriel Mesquita

O Mercado de Derivativos e o Modelo de Heston

“Monografia apresentada à Escola de Matemática Aplicada como requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel

em Matem´atica Aplicada”

Aprovado em de de .

Grau atribuido ao Projeto de Monografia: .

Professor Orientador: Yuri Saporito Escola de Matem´atica Aplicada

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Conte ´udo

1 Introduc¸˜ao ao mercado de derivativos 3

1.1 Call . . . 3

1.2 Put . . . 3

1.3 Forward . . . 4

2 Modelo Binomial de um per´ıodo 4 3 Modelo de Black-Scholes 6 3.1 Introduc¸˜ao . . . 6

3.2 EDP de Black-Scholes . . . 6

3.3 Equac¸˜ao do calor . . . 7

3.4 Solução da equação do calor . . . 8

3.5 F´ormula de Black-Scholes . . . 9

4 Volatilidade Impl´ıcita 10 4.1 Paridade Put Call . . . 10

4.2 Vega da Call . . . 11

4.3 Existˆencia e Unicidade da Volatilidade Impl´ıcita . . . 11

4.4 Volatility Smile . . . 12

5 Modelo de Heston 14 5.1 F´ormula de Heston . . . 14

5.2 Calibragem do modelo de Heston . . . 15

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1 Introduc¸˜ao ao mercado de derivativos

O mercado de derivativos é de extrema importancia, pois permite aos investidores se protegerem da variação de determinado ativo de forma a fixar o valor futuro da sua carteira ou remover parte de sua exposiçao ao tal ativo.

1.1 Call

Call ou Opção de Compra é um contrato entre duas partes na qual quem compra tal contrato tem o direito mas não obrigação de comprar determinado ativo por um preço K (strike ou preço de exerc´ıcio) em um tempo T (maturidade).

O payoff da posição comprada de uma call na sua maturidade é max{ST − K, 0},

pois, quando ST < K a opção não será exercida porque é mais barato comprar o ativo no

mercado, logo, o payoff será 0. Quando K < ST, a opção será exercida e o payoff será de

S_T− K.

1.2 Put

Put ou Opção de Venda é um contrato entre duas partes na qual quem compra tal contrato tem o direito mas não obrigação de vender determinado ativo por um preço K (strike ou preço de exerc´ıcio) em um tempo T (maturidade).

O payoff da posição comprada de uma put na sua maturidade é max{K − ST, 0},

pois, quando K < ST a opção não será exercida porque o ativo poderá ser vendido mais

caro no mercado, logo, o payoff será 0. Quando ST < K, a opção será exercida e o payoff

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1.3 Forward

Forward ou contrato a termo é um contrato na qual quem compra tem a obrigação de comprar certo ativo a um preço pré-fixado K na maturidade T .

O payoff da posição comprada do forward na maturidade é ST− K, já que

indepen-dentemente do prec¸o do ativo o contrato ser´a exercido.

2 Modelo Binomial de um per´ıodo

O modelo binomial assume que o preço do ativo subjacente com preço S0no próximo

instante de tempo pode assumir duas possibilidades, Head(S1(H)) ou Tail(S1(T )), sendo

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subida no preço é p e a de descida é 1 − p. S₀ S0d 1 − p S₀u p

Introduzimos agora a taxa livre de risco r , que ´e a mesma taxa para pegar dinheiro e para emprestar dinheiro em um banco.

O conceito essencial para a precificação de derivativos é a arbitragem, que é uma estratégia que começa sem dinheiro, tem probabilidade 0 de perder dinheiro e tem uma probabilidade positiva de ganhar dinheiro. Para precificar derivativos, temos que supor a ausência de arbitragem no mercado.

No modelo binomial, assumimos que:

0 < d < 1 + r < u.

A desigualdade 0 < d < u é a definição do movimento do preço do ativo, já a desi-gualdade d < 1 + r < u vem do princ´ıpio da não arbitragem. Supondo que 1 + r < d < u, alguém pode começar no tempo 0 sem dinheiro, pegar uma quantia emprestada do mer-cado a taxa de juros r, e com esse dinheiro comprar o ativo. Nesse caso em qualquer situação, o valor do ativo no tempo 1 vai ser suficiente para pagar pelo empréstimo e ainda sobra dinheiro, ou seja, essa estratégia é uma arbitragem. Agora no caso em que d< u < 1 + r, a estratégia é o contrário da anterior, no tempo 0 vende-se o ativo, e com o dinheiro empresta-se ao mercado a taxa de juros r, no tempo 1, pega o dinheiro no mercado e recompra o ativo e em qualquer possibilidade ainda sobra dinheiro, ou seja, outra arbitragem. Logo, vemos que para o modelo não permitir arbitragem é preciso que 0 < d < 1 + r < u.

Nesse mercado, definimos um derivativo como um contrato de custo V0 no tempo

0 e no tempo 1 paga V1(H) ou V1(T ), que são funções do preço do ativo subjacente. A

técnica usada para precificar derivativos é a sua replicação usando o ativo base e o ativo livre de risco.

Vamos montar um portf´olio X que comec¸a com X0 de dinheiro, e assume uma

posic¸˜ao ∆ de S0, sobrando X0− ∆S0 para investir no ativo livre de risco. No tempo 1

o valor desse portfólio é X1= ∆S1+ (1 + r)(X0− ∆S0), então escolhemos X0e ∆ de forma

que X1= V1, logo, temos:

∆ =V1(H) −V1(T ) S1(H) − S1(T )

.

X₀= qV1(H) + (1 − q)V1(T ) 1 + r .

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Com, q = 1+r−d_u−d , que é a probabilidade livre de risco. Podemos notar que o preço do ativo é um martingal na probabilidade livre de risco quando trazido a valor presente

S0=E_1+rq[S1]

.

Como o payoff do portfolio X e do derivativo V são iguais no tempo 1, o preço do derivativo tem que ser X0, caso contrário teremos uma arbitragem. Nota-se que o preço

do derivativo n˜ao depende da probabilidade p do ativo subjacente e sim da probabilidade livre de risco.

3 Modelo de Black-Scholes

3.1 Introduc¸˜ao

O modelo Binomial de precificação de derivativos converge para o modelo de Black-Scoles com o número de per´ıodos tendendo ao infinito e o tamanho dos pe´ıodos tendendo a 0. O modelo de Black-Sholes assume que:

• O prec¸o do ativo segue um movimento Browniano geom´etrico com arrasto e vola-tilidade constante.

• A taxa de empéstimo e investimento são iguais e não há limite para ambos • Não há restrições para venda a descoberto

• Não há limite para venda e compra do ativo, podendo ser fracionário. • O mercado não tem arbitragem.

• Não há custo de transação.

3.2 EDP de Black-Scholes

Seja Xtum processo de Itˆo, definido por:

dX_t= a(X ,t)dt + b(X ,t)dWt.

O lema afirma que uma func¸˜ao G de x e t satisfaz: dG(Xt,t) = ∂G ∂xa+ ∂G ∂t + 1 2 ∂2G ∂x2b 2 dt+∂G ∂xbdWt.

No modelo de Black-Scholes, o prec¸o do ativo ´e um processo lognormal na medida livre de risco:

dSt = rStdt+ σStdWt.

Seja V (t, S) o prec¸o do derivativo, aplicando o lema de Itˆo obtemos: dV = ∂V ∂SrSt+ ∂V ∂t + 1 2 ∂2V ∂S2_t σ 2_S2 dt+∂V ∂St σSdWt.

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Dado que V ´e o prec¸o de um derivativo qualquer com payoff V (T, ST) sendo T a

maturidade do derivativo, temos que fixar o drift sendo igual a rV (t, St) pois caso contr´ario

teremos um mercado com arbitragem. Sendo assim, chegamos na EDP de Black-Scholes: ∂V ∂S rS_t+∂V ∂t + 1 2 ∂2V ∂S2σ 2_S2 t = rV ⇒ . ∂V ∂t + rS ∂V ∂S + 1 2σ 2_S2∂2V ∂S2 − rV = 0.

3.3 Equac¸˜ao do calor

Para chegarmos a solução dessa EDP, faremos algumas tranformações de variáveis de forma a simplificar o modelo, chegando até a equanção do calor.

Primeiro definimos

u(τ, y) = erτV(T − τ, ey) e vamos provar que

∂u ∂τ− 1 2σ 2∂2u ∂y2− (r − 1 2σ 2₎∂u ∂y = 0.

Essa tranformação troca o tempo pelo tempo para a maturidade (Time to Maturity) e o preço pelo log(S).

• ∂u ∂τ = e rτ rV−∂V ∂t . • ∂u ∂y = e rτ_ey∂V ∂S. • ∂ 2_U ∂y2 = e rτ (ey)2∂ 2_V ∂S2 + e y∂V ∂S . Substituindo as derivadas de u na EDP:

∂u ∂τ− 1 2σ 2∂2u ∂y2 − (r − 1 2σ 2₎∂u ∂y = erτ(rV −∂V ∂t − 1 2σ 2_(ey₎₂∂2V ∂S2 − 1 2σ 2_ey∂V ∂S − re y∂V ∂S + 1 2σ 2_ey∂V ∂S) = erτ(rV −∂V ∂t − 1 2σ 2_(ey₎₂∂2V ∂S2 − re y∂V ∂S) = 0, pois ´e a EDP de Black-Scoles no ponto (T − τ, ey).

Agora definimos v(τ, x) = u(τ, x − (r −1₂σ2)τ) e vamos provar que v satisfaz a equac¸˜ao do calor ∂v ∂τ= 1 2σ 2∂2u ∂y2. Primeiro calculamos as derivadas de v:

• ∂v ∂τ = ∂u ∂τ− (r − 1 2σ 2₎∂u ∂y.

(11)

• ∂v ∂y = ∂u ∂y. • ∂ 2_v ∂y2 = ∂2u ∂y2.

Substituindo as derivadas na equac¸˜ao do calor chegamos a : ∂u ∂τ− (r − 1 2σ 2₎∂u ∂y = 1 2σ 2∂2u ∂y2.

que é a equação da primeira tranformação, assim provamos que v satisfaz a equação do calor.

3.4 Solução da equação do calor

A solução da equação do calor é dada pela convolução: v(τ, x) =

Z

R

φ(τ, x − z)v(0, z)dz, onde φ(τ, x − z) ´e dado por:

φ(τ, x − z) = 1 2π Z R e−12σ 2 τξ2+iξ(x−z)_dξ.

O próximo passo é calcular φ. Para isso vamos completar quadrados no expoente ficando com: −1 2σ 2 τξ2+ iξ(x − z) = r σ2τ 2 ξ − i(x − z) √ 2σ2_τ !2 −(x − z) 2 2σ2τ . Substituindo na equação, φ(τ, x − z) = e −(x−z)2 2σ2 2π Z R e−(ξ− i(x−z) √ 2σ2τ) 2 2 σ2τ dξ.

Tomando conhecimento da função de densidade de probabilidade da normal, nota-mos uma semelhança com e equação que obtivenota-mos e irenota-mos usar desse resultado para resolvermos nossa integral:

Z R e−(ξ− i(x−z) √ 2σ2τ) 2 2 σ2τ dξ = r 2π σ2τ. Portanto, φ(τ, x − z) = e −(x−z)2 2σ2τ 2π r 2π σ2τ = e −(x−z)2 2σ2τ √ 2πσ2_τ.

Podemos notar que φ(τ, x − z) é a função densidade da normal com média z e Variância σ√τ no ponto x.

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3.5 F´ormula de Black-Scholes

Agora vamos calcular o prec¸o da Call, que tem payoff transformado v(0, z) = (ez− K)+.

Ent˜ao ficamos com: v(τ, x) = Z R φ(τ, x − z)(ez− K)+dz= Z ∞ log K φ(τ, x − z)(ez− K)dz = Z ∞ log K φ(τ, x − z)ezdz− Z ∞ log K φ(τ, x − z)Kdz.

Primeiro vamos calcular

Z ∞ log K φ(τ, x − z)Kdz: Z ∞ log K φ(τ, x − z)Kdz = Z ∞ log K e −(x−z)2 2σ2τ √ 2πσ2τ Kdz. Seja u = x − z, ent˜ao du = −dz, substituindo na integral:

K σ √ τ Z −∞ x−log K e −(u)2 2σ2τ √ 2πdu. Agora seja v = u σ√τ ,ent˜ao dv = du σ√τ K Z x−log K σ √ τ −∞ e−v22 √ 2πdv= KN x − log K σ √ τ . Agora vamos calcular

Z ∞ log K φ(τ, x − z)ezdz Z ∞ log K φ(τ, x − z)ezdz= Z ∞ log K e −(x−z)2 2σ2τ +z √ 2πσ2_τ dz.

Completando quadrados no expoente, ficamos com:

−(x − z)2 2σ2_τ + z = 2στz − (x2− 2xz + z2₎ 2σ2_τ = −(x2_{− 2(x + σ}2 τ)z + z2) 2σ2_τ = −((z − (x + σ2 τ))2− 2xσ2τ − (σ2τ)2) 2σ2_τ = −(z − (x + σ 2_τ))2 2σ2_τ + (x + σ2τ 2 ). Então nossa equação fica:

e(x+σ 2 τ 2 ) σ √ τ Z ∞ log K e −(z−(x+σ2τ))2 2σ2τ √ 2π dz. Seja −u = z − (x + σ2τ) e −du = dz, temos :

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e(x+σ 2_τ 2 ) σ√τ Z x+σ2τ−log K −∞ e2σ2τ−u2 √ 2πdu. Agora seja v = u σ√τ e dv = du σ√τ : e(x+σ 2_τ 2 ) Z x+σ2τ−log K σ√τ −∞ e−v22 √ 2πdv= e (x+σ2τ 2 )N x + σ 2_{τ − log K} σ √ τ .

Com esses resultados, substituimos na equação e calculamos a fórmula fechada para o preço da Call: C(t, S) = e−r(T −t)v T− t, logS + (r −1 2σ 2_{)(T − t)} = = e−r(T −t) Ser(T −t)N log( S K) + (r + 1 2σ 2_{)(T − t)} σp(T − t) ! − KN log( S K) + (r − 1 2σ 2_{)(T − t)} σp(T − t) !! . Que podemos escrever,

C(t, S) = SN(d1) − Ke−r(T −t)N(d2). d₁=log( S K) + (r + 1 2σ2)(T − t) σp(T − t) . d2= log(_KS) + (r −1₂σ2)(T − t) σp(T − t) .

4 Volatilidade Impl´ıcita

Volatilidade impl´ıcita ´e a volatilidade que, pelo modelo de Black-Scholes, gera o prec¸o de mercado. Se o modelo de Black-Scholes fosse verdadeiro, a volatilidade impl´ıcita de uma call com mesma maturidade e Strikes diferentes deveriam ser iguais.

Seja Ct(T, K) o prec¸o de mercado no tempo t de uma call com maturidade T e strike

Ke ˆσt(T, K) a volatilidade impl´ıcita. Ent˜ao temos que:

C_t(T, K) = CBS(St, τ, K, r, ˆσt(T, K)).

4.1 Paridade Put Call

Seja Ct e Pto prec¸o de uma Call e de uma Put com mesmo Strike e Maturidade. Por

não arbitragem, temos que a seguinte relação é válida: C_t− Pt= St− Ke−rτ.

Como o modelo de Black-Scholes assume a não-arbitragem, essa relação também deve ser satisfeita:

C_BS(t, σ) − PBS(t, σ) = St− Ke−rτ⇒ .

CBS(t, σ) − PBS(t, σ) = Ct− Pt.

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4.2 Vega da Call

Não é trivial que a volatilidade impl´ıcita sempre exista e que é única, para provar isso vamos analisar o Vega da Call

∂CBS ∂σ ∂CBS ∂σ = SN 0_(d 1) ∂d1 ∂σ − Ke −rτ_N0_(d 2) ∂d2 ∂σ = SN0(d1) √ τ 2 + Ke −rτ_N0_(d 2) √ τ 2 . Como Ke−rτN0(d2) = SN0(d1): ∂CBS ∂σ = SN 0_(d 1) √ τ. Como S, N0(d1) e √

τ são não negativos, o CBS é crescente em relação a σ.

Alem disso podemos ver que o limt→T ∂C_∂σBS = 0.

4.3 Existˆencia e Unicidade da Volatilidade Impl´ıcita

Pode-se provar que,

lim σ→0+ CBS= (S − Ke−r(T −t))+. lim σ→+∞ C_BS= S.

Como, (St− Ke−r(T −t))+ ≤ Ct(T, K) ≤ St e ∂C_∂σBS ≥ 0, concluimos que dado um

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Figura 1: Volatilidade X Prec¸o da Call no modelo de Black-Scholes

4.4 Volatility Smile

Analisando os dados de derivativos no mercado, observamos que para o mesmo ativo base, derivativos com strike ou maturidades diferentes tem volatilidade impl´ıcita diferentes, onde a curva do strike pela volatilidade impl´ıcita normalmente tem formato de par´abola e por isso ´e chamado de Volatility Smile.

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Figura 2: Volatilidade Impl´ıcita das opc¸˜oes de S&P do dia 15/08/2016 com 0.2 de matu-ridade.

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5 Modelo de Heston

O modelo de Heston é uma generalização de Black-Scholes que adimite uma vola-tilidade estocástica dada pela fómula:

dS_t= µStdt+ St √ V_tdW₁. dV_t= κ(θ −Vt)dt + η √ V_tdW₂.

Onde κ, θ, η s˜ao constantes e W1 e W2 s˜ao dois movimentos Brownnianos com

correlac¸˜ao ρ.

S_t é um processo lognormal agora com variância estocástica e Vt é um processo de

Cox-Ingersoll-Ross (CIR Process). Podemos ver que θ representa a média a longo prazo da variância, κ é a taxa de reversão a média, e η é a volatilidade da volatilidade.

Usando cácululo de Itô, podemos chegar na EDP do preço de um derivativo que paga V (T, ST) na maturidade T no modelo de Heston:

∂V ∂t + rS ∂V ∂S + 1 2vS 2∂2V ∂S2 − rV + κ(θ − v) ∂V ∂v + 1 2η 2_v∂2V ∂v2 + ρηvS ∂2V ∂v∂S = 0. Podemos encontrar a solução dessa EDP para o preço da Call, ou seja, V (T, ST) =

(ST − K)+.

5.1 F´ormula de Heston

Pode-se mostrar que o prec¸o da call no modelo de Heston ´e: P= SP1− Ke−rτP2,

Porém a a forma numericamente mais eficiente de calcular esse preço é a seguinte: P(t, S, v) =e −rτ π Z +∞ 0 Re(e−izxG(τ, z, v)h(z))dzr, (1) onde x(t, S) = rτ + log S, h(z) = K iz+1 iz− z2, G(τ, z, v) = eC(τ,z)+vD(τ,z), C(τ, z) =κθ ξ2 (κ + iρξz − d(z))τ − 2 log e−d(z)τ/g(z) − 1 1/g(z) − 1 !! , D(τ, z) =κ + iρξz + d(z) ξ2 1 − ed(z)τ 1 − g(z)ed(z)τ ! , d(z) = q ξ2(z2− iz) + (κ + iρξz)2, g(z) =κ + iρξz + d(z) κ + iρξz − d(z).

Desta forma o podemos calibrar o modelo de forma a melhor explicar os prec¸os do mercado.

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5.2 Calibragem do modelo de Heston

Para calibrar o modelo, vamos escolher os parâmetros de forma a minimizar o erro quadrático dos preços. Seja T e K os vetores de maturidades e Strikes, com tamanhos M e N, onde CM é o preço do mercado e CH é o preço do modelo de Heston:

( ˆV₀, ˆθ, ˆκ, ˆη, ˆρ) = arg min 1 MN M

∑

i=1 N

∑

j=1 (C_TM_i_,K_j−CH_T_i_,K_j)2. 1 d e f c a l i b r a ( d f , i n i t i a l = ( 0 . 1 6 , 1 , 0 . 1 6 , 2 , −0.5) ) : 2 d e f aux ( t ) : 3 v , kappa , t h e t a , e t a , r h o = t 4 r e t u r n np . mean ( np . power ( h e s t o n ( 0 , d f [’ F u t u r e P r i c e ’] . a s m a t r i x ( ) , d f [’ S t r i k e ’] . a s m a t r i x ( ) , v , 5 d f [’ I n t e r e s t R a t e ’] . a s m a t r i x ( ) , 0 , 2 , d f [’ Time t o M a t u r i t y ’] . a s m a t r i x ( ) , 6 kappa , t h e t a , e t a , r h o , d f [’ Type ’] . a s m a t r i x ( ) ) − d f [” P r i c e − Mid ”] . a s m a t r i x ( ) , 2 ) ) 7 bound = ( ( 0 . 0 0 1 , 1 ) , ( 0 . 0 0 1 , 1 0 0 ) , ( 0 . 0 0 1 , 1 ) , ( 0 . 0 0 1 , 1 0 ) , ( −1 , 1 ) )

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5.3 Resultados

Depois de calibrado o modelo para os dados de opções do S&P, notamos que o ele se ajustou muito bem aos preços de mercado, ficando com diferenças relevantes apenas para maturidades muito pequenas.

Com esse resultado, podemos calcular o preço de opções com strikes e maturida-des diferentes e o preço de opções exóticas, que tem pouca liquidez no mercado, para o mesmo ativo base.

Figura 4: Volatilidade Impl´ıcita do mercado contra a Volatilidade Impl´ıcita do modelo para 0.3 de maturidade .

Figura 5: Superf´ıcie de Volatilidade Impl´ıcita do mercado contra o modelo de Heston calibrado.

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Referˆencias

[1] John C. Hull, “Options, Futures, and Other Derivatives”, Prentice Hall, 2002.

[2] Steven L. Heston, A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options, The Review of Financial Studies 6 (1993), 327–343.

[3] Jim Gatheral, “The Volatility Surface - A Practitioner’s Guide”, Wiley, 2006.

[4] Fischer Black, Myron Scholes, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81 (1973), 637–654.