2 Invers˜ao de Matrizes e Determinantes

(1)

Reginaldo J. Santos

Departamento de Matem´atica-ICEx

Universidade Federal de Minas Gerais

http://www.mat.ufmg.br/~regi

(2)

Copyright c2010 by Reginaldo de Jesus Santos (100808)

É proibida a reprodução desta publicação, ou parte dela, por qualquer meio, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.

Editor, Coordenador de Revisão, Supervisor de Produção, Capa e Ilustraç ões: Reginaldo J. Santos

ISBN 85-7470-018-5 Ficha Catalogr´afica

Santos, Reginaldo J.

S237i Introdução à Álgebra Linear / Reginaldo J. Santos - Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2010.

1. ´Algebra Linear I. T´ıtulo

(3)

Conte ´udo

Pref´acio vii

1 Matrizes e Sistemas Lineares 1

1.1 Matrizes . . . 1

1.1.1 Operac¸ ˜oes com Matrizes. . . 3

1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . 9

1.1.3 Aplicac¸˜ao: Cadeias de Markov . . . 14

Apêndice I: Notação de Somat ório . . . 28

1.2 Sistemas de Equac¸ ˜oes Lineares . . . 30

1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan . . . 34

1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . 44

1.2.3 Sistemas Lineares Homogˆeneos. . . 47

1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . 52

(4)

2.1.1 Propriedades da Inversa . . . 72

2.1.2 Matrizes Elementares e Invers˜ao (opcional) . . . 75

2.1.3 M´etodo para Invers˜ao de Matrizes . . . 78

2.1.4 Aplicação: Interpolação Polinomial . . . 90

2.1.5 Aplicac¸˜ao: Criptografia . . . 93

2.2 Determinantes . . . 100

2.2.1 Propriedades do Determinante . . . 105

2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . 119

2.2.3 Matriz Adjunta e Invers˜ao (opcional) . . . 121

Apêndice II: Demonstração do Teorema 2.11 . . . 135

2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional) . . . 139

2.3.1 Operac¸ ˜oes Matriciais em Blocos . . . 139

2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos . . . 142

2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos . . . 143

3 Espa¸cosRn ₁₅₀ 3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o . . . 150

3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸˜ao por Escalar . . . 152

3.1.2 Norma e Produto Escalar . . . 165

3.2 Equac¸ ˜oes de Retas e Planos . . . 187

3.2.1 Equac¸˜ao do Plano. . . 187

3.2.2 Equac¸ ˜oes da Reta . . . 193

3.3 Os Espac¸osRn _{. . . 207}

3.3.1 Combinac¸˜ao Linear . . . 211

3.3.2 Independˆencia Linear . . . 214

4 Subespa¸cos 228 4.1 Base e Dimens˜ao . . . 228

Apˆendice III: Outros Resultados . . . 245

4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna . . . 258

(5)

4.2.2 Aplicac¸˜ao a Sistemas Lineares. . . 262

4.2.3 A Imagem de uma Matriz . . . 266

4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos (opcional) . . . 273

5 Ortogonalidade 290 5.1 Produto Escalar emRn _{. . . 290}

5.1.1 Produto Interno . . . 290

5.1.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . 300

5.2 Subespac¸os Ortogonais. . . 307

5.2.1 Subespac¸os Fundamentais. . . 311

5.2.2 Problema de Quadrados M´ınimos . . . 312

5.3 Mudanc¸a de Coordenadas . . . 324

5.3.1 Rotac¸˜ao . . . 328

5.3.2 Translac¸˜ao . . . 329

5.3.3 Aplicação: Computação Gráfica - Projeção Ortográfica . . . 331

6 Transforma¸c ões Lineares (opcional) 346 6.1 Definição, Exemplos e Propriedades . . . 346

6.1.1 Definic¸˜ao e Exemplos . . . 346

6.1.2 Propriedades . . . 352

6.2 A Imagem e o N ´ucleo. . . 361

6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade . . . 365

6.3 Composição de Transformaç ões Lineares . . . 373

6.3.1 Matriz de uma Transformac¸˜ao Linear . . . 373

6.3.2 Invertibilidade . . . 379

6.3.3 Semelhanc¸a . . . 386

7 Diagonaliza¸cão 392 7.1 Diagonalização de Matrizes . . . 392

7.1.1 Motivac¸˜ao . . . 392

(6)

7.1.3 Diagonalizac¸˜ao . . . 402

7.1.4 Diagonalizac¸˜ao de Operadores (opcional) . . . 413

7.1.5 Forma Can ˆonica de Jordan (opcional) . . . 414

7.2 Diagonalização de Matrizes Simétricas. . . 428

7.2.1 Motivac¸˜ao . . . 428

7.2.2 Matrizes Ortogonais . . . 430

Apˆendice IV: Autovalores Complexos . . . 440

7.3 Aplicação na Identificação de C ônicas . . . 446

Respostas dos Exerc´ıcios 460

Bibliografia 613

(7)

Pref´acio

Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introdução à Álgebra Linear ou de Álgebra Linear Matricial. O texto pode, masnãoé necessário, ser acompanhado um programa como o MATLABr∗, SciLab ou o Maxima.

O conte údo é dividido em sete cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da álgebra matricial são demonstradas. A resolução de sistemas lineares é feita usando somente o método de Gauss-Jordan (transformando a matriz até que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este método requer mais trabalho do que o método de Gauss (transformando a matriz, apenas, até que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que também é usado no estudo da inversão de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo é também estudado o determinante, que é definido usando cofatores. As demonstraç ões dos resultados deste cap´ıtulo podem ser, a critério do leitor, feitas somente para matrizes 3×3.

O Cap´ıtulo 3 trata de vetores no plano, no espaço e noRn_{. Os vetores são definidos inicialmente de forma} geométrica, assim como a soma e a multiplicação por escalar. São provadas algumas propriedades geometri-camente. Depois são introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definição

(8)

de base. O produto escalar é definido também geometricamente. São estudados também retas e planos no espaço. Depois, o conceito de vetor é generalizado para oRn_{. O conceito de dependência e independência} linear é introduzido de forma algébrica, acompanhado da interpretação geométrica para os casos deR2_eR3_. No Cap´ıtulo 4 são tratados os conceitos de subespaços e de base de subespaços. São estudados os espaços linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do cap´ıtulo os Espaços Vetoriais Abstratos são definidos. No Cap´ıtulo 5 são abordados o produto escalar e bases ortonormais. Além de subespaços ortogonais e quadrados m´ınimos.

Transformaç ões Lineares de Rn _em Rm _{são estudadas no Cap´ıtulo 6. O Cap´ıtulo 7 traz um estudo da} diagonalização de matrizes em geral e a diagonalização de matrizes simétricas através de uma matriz orto-gonal. É feita uma aplicação ao estudo das seç ões c ônicas.

Os exerc´ıcios estão agrupados em três classes. Os “Exerc´ıcios Numéricos”, que contém exerc´ıcios que são resolvidos fazendo cálculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um computador ou de uma máquina de calcular. Os “Exerc´ıcios Te óricos”, que contém exerc´ıcios que requerem demonstraç ões. Alguns são sim-ples, outros são mais complexos. Os mais dif´ıceis complementam a teoria e geralmente são acompanhados de sugest ões. Os “Exerc´ıcios usando o MATLABr”, que contém exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLABr ou outro software. Os comandos necessários a resolução destes exerc´ıcios são também forneci-dos juntamente com uma explicação rápida do uso. Os exerc´ıcios numéricos são imprescind´ıveis, enquanto a resolução dos outros, depende do n´ıvel e dos objetivos pretendidos para o curso.

(9)

e v´arias p´aginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.

No fim de cada cap´ıtulo temos um “Teste do Cap´ıtulo”, onde o aluno pode avaliar os seus conhecimentos. Os Exerc´ıcios Numéricos e os Exerc´ıcios usando o MATLABrestão resolvidos ap ós o último cap´ıtulo utilizando o MATLABr. Desta forma o leitor que não estiver interessado em usar o software pode obter apenas as respostas dos exerc´ıcios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar sabendo como os exerc´ıcios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABre do pacotegaal.

Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correç ões, cr´ıticas e sugest ões, entre eles Helder C. Rodrigues e Francisco Satuf, Joana Darc A. S. da Cruz e Lucia Brasil.

Sugest˜ao de Cronograma para 60 Horas

(10)

Sugest˜ao de Cronograma para 90 Horas

Cap´ıtulo 1 Seç ões 1.1 e 1.2 10 aulas Cap´ıtulo 2 Seç ões 2.1 e 2.3 12 aulas Cap´ıtulo 3 Seç ões 3.1 a 3.3 12 aulas Cap´ıtulo 4 Seç ões 4.1 a 4.3 12 aulas Cap´ıtulo 5 Seç ões 5.1 a 5.3 12 aulas Cap´ıtulo 6 Seç ões 6.1 a 6.3 15 aulas Cap´ıtulo 7 Seç ões 7.1 a 7.3 12 aulas Total 85 aulas

Hist ´orico

Julho 2010 Algumas correç ões. O texto foi totalmente reformatado. Julho 2009 Algumas correç ões. Várias figuras foram refeitas.

Mar¸co 2008 Foi acrescentada a subseção opcional ’Forma Can ônica de Jordan’. Foram corrigidos alguns erros. Julho 2007 Foi acrescentado o Exemplo2.16na seção de Determinantes. Foram acrescentados um exerc´ıcio na seção de Determinantes, um na de Produto Escalar emRn_{, quatro na de Diagonalização e um na de} Diagonalização de Matrizes Simétricas. Foram corrigidos alguns erros.

(11)

Maio 2004 Foram acrescentadas aplicaç ões à criptografia (Exemplo na página93) e a cadeias de Markov (Exemplos1.9na página14,1.16na página 49e7.8na página 409). Foi acrescentado um exerc´ıcio na seção 1.1. Foi inclu´ıda a demonstração de que toda matriz é equivalente por linhas a uma única matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na página 26 que passou para o Apêndice III da seção 5.2. O Teorema 1.4 agora contém as propriedades da relação “ser equivalente por linhas” com a demonstração. O que antes era Exemplo 1.14 passou para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A seção ’Base e Dimensão’ foi reescrita. Foi acrescentada a Proposição4.9na página248que é útil na obtenção de uma base para um subespaço. O Teorema 4.3 do Apêndice III passou para o texto obrigat ório da seção 4.3 e é agora o Teorema4.2na página235. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns exerc´ıcios à seção 4.3. Os exemplos7.4na página400e7.5na página406foram modificados. A seção ’Diagonalização de Matrizes’ ganhou mais um exerc´ıcio te órico.

Julho 2003 Várias correç ões incluindo respostas de exerc´ıcios. A seção ’Base e Dimensão’ foi reescrita. Foi acrescentada uma seção de Espaços Vetoriais Abstratos no Cap´ıtulo 4. A seção ’Diagonalização de Ma-trizes’ ganhou mais dois exerc´ıcios te óricos. A seção ’Diagonalização de Matrizes Simétricas’ ganhou um apêndice sobre ’Autovalores Complexos’.

(12)

(13)

Matrizes e Sistemas Lineares

1.1 Matrizes

UmamatrizA,m×n(mporn), ´e uma tabela demnn ´umeros dispostos emmlinhas encolunas

A=



   

a₁₁ a₁₂ . . . a₁n

a21 a22 . . . a2n ..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn



    .

Ai-´esima linhadeA´e

(14)

parai=1, . . . ,me aj-´esima colunadeA´e 

   

a1j

a_2j

.. .

amj



    ,

paraj=1, . . . ,n. Usamos também a notaçãoA= (aij)m×n. Dizemos queaijou[A]ij é oelementoou aentradade posiçãoi,jda matrizA.

Se m = n, dizemos que A ´e uma matriz quadrada de ordem n e os elementos

a11,a22, . . . ,annformam adiagonal (principal)deA.

Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:

A=

1 2 3 4

, B=

−2 1 0 3

, C=

1 3 0 2 4 −2

,

D= 1 3 −2 , E=



 1 4 −3



 eF= 3 .

As matrizesAe Bsão 2×2. A matriz C é 2×3, D é 1×3,E é 3×1 eF é 1×1. De acordo com a notação que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sãoa₁₂ =2,c₂₃=−2,e₂₁=4,[A]22 =4,[D]12=3.

(15)

Dizemos que duas matrizes são iguais se elas têm o mesmo tamanho e os elementos correspondentes são iguais, ou seja,A= (aij)m×neB= (bij)p×qsãoiguaissem=p,

n=qeaij=bijparai=1, . . . ,mej=1, . . . ,n.

Vamos definir operaç ões matriciais análogas às operaç ões com n úmeros e provar propriedades que são válidas para essas operaç ões. Veremos, mais tarde, que um sistema de equaç ões lineares pode ser escrito em termos de uma única equação ma-tricial.

Vamos, agora, introduzir as operac¸ ˜oes matriciais.

1.1.1 Opera¸c ˜oes com Matrizes

Defini¸c˜ao 1.1. Asomade duas matrizes demesmo tamanhoA = (aij)m×n eB = (bij)m×n ´e definida como sendo a matrizm×n

C= A+B

obtida somando-se os elementos correspondentes deAeB, ou seja,

cij=aij+bij,

(16)

Exemplo 1.2. Considere as matrizes:

A=

1 2 −3

3 4 0

, B=

−2 1 5

0 3 −4

Se chamamos deCa soma das duas matrizesAeB, ent˜ao

C= A+B=

1+ (−2) 2+1 −3+5 3+0 4+3 0+ (−4)

=

−1 3 2

3 7 −4

Defini¸cão 1.2. Amultiplica¸cão de uma matrizA= (aij)m×npor um escalar(n úmero)αé definida pela matriz

m×n

B=αA

obtida multiplicando-se cada elemento da matrizApelo escalarα, ou seja,

bij =αaij,

(17)

Exemplo 1.3. O produto da matrizA=





−2 1

0 3 5 −4



pelo escalar−3 ´e dado por

−3A=





(−3)(−2) (−3)1

(−3)0 (−3)3

(−3)5 (−3)(−4)



= 



6 −3 0 −9 −15 12



.

Defini¸cão 1.3. Oproduto de duas matrizes, tais que o n úmero de colunas da primeira matriz é igual ao n úmero de linhas da segunda,A= (aij)m×peB= (bij)p×n é definido pela matrizm×n

C= AB

obtida da seguinte forma:

cij = ai1b1j+ai2b2j+. . .+aipbpj, (1.1) parai=1, . . . ,mej=1, . . . ,n. Escrevemos tamb´em[AB]ij=ai1b1j+ai2b2j+. . .+aipbpj.

(18)



  

c11 . . . c1n ..

. cij ...

cm1 . . . cmn

   =         

a11 a12 . . . a1p ..

. . . . ...

ai1 ai2 . . . aip ..

. . . . ...

a_m1 a_m2 . . . amp

               b₁₁ b₂₁ .. . b_p1 . . . . . . . . . . . . b1j b_2j .. . bpj . . . . . . . . . . . . b1n b2n .. . bpn      

A equação (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando anota¸cão de somat ório.

[AB]ij=ai1b1j+ai2b2j+. . .+aipbpj= p

∑

k=1

aikbkj

e dizemos “somat ´orio dekvariando de 1 apdeaikbkj”. O s´ımbolo p

∑

k=1

significa que estamos fazendo uma soma em que o ´ındice kestá variando dek = 1 até k = p. Algumas propriedades da notação de somat ório estão explicadas noApêndice I na página28.

Exemplo 1.4. Considere as matrizes:

A=

1 2 −3 3 4 0

, B=





−2 1 0

0 3 0

5 −4 0 

.

Se chamamos deCo produto das duas matrizesAeB, ent˜ao

C=AB=

1(−2) +2·0+ (−3)5 1·1+2·3+ (−3) (−4) 0 3(−2) +4·0+0·5 3·1+4·3+0(−4) 0

=

−17 19 0 −6 15 0

(19)

Observa¸cão.No exemplo anterior o produtoBAnão está definido (por que?). Entretanto, mesmo quando ele está definido,BApode não ser igual aAB, ou seja, o produto de matrizesnão é comutativo, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.5. SejamA=

1 2 3 4

eB=

−2 1 0 3

. Ent˜ao,

AB=

−2 7 −6 15

e BA=

1 0 9 12

.

Vamos ver no pr óximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativamente um processo de produção.

Exemplo 1.6. Uma ind ústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B são necessários na produção dexkg do produto X,ykg do produto Y ezkg do produto Z.

X Y Z gramas de A/kg

gramas de B/kg

1 1 1 2 1 4

= A X=





x y z





(20)

AX=

x+y+z

2x+y+4z

gramas de A usados gramas de B usados

Defini¸c˜ao 1.4. Atranspostade uma matrizA= (aij)m×n ´e definida pela matrizn×m

B=At

obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,

bij=aji, parai=1, . . . ,nej=1, . . . ,m. Escrevemos tamb´em[At]ij=aji.

Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes

A=

1 2 3 4

, B=

−2 1 0 3

e C=

1 3 0 2 4 −2

s˜ao

At=

1 3 2 4

, Bt=

−2 0 1 3

e Ct=



 1 2 3 4 0 −2



 .

(21)

1.1.2 Propriedades da ´

Algebra Matricial

Teorema 1.1. Sejam A, B e C matrizes com tamanhos apropriados,αeβescalares. São válidas as seguintes propriedades para as opera¸cões matriciais:

(a) (comutatividade) A+B=B+A;

(b) (associatividade) A+ (B+C) = (A+B) +C;

(c) (elemento neutro) A matriz¯0, m×n, definida por[¯0]ij=0, para i=1, . . . ,m, j=1, . . . ,n ´e tal que

A+¯0=A,

para toda matriz A, m×n. A matriz¯0´e chamadamatriz nulam×n.

(d) (elemento sim´etrico) Para cada matriz A, existe uma ´unica matriz−A, definida por[−A]ij=−aijtal que

A+ (−A) = ¯0.

(e) (associatividade)α(βA) = (αβ)A;

(f) (distributividade)(α+β)A=αA+βA;

(g) (distributividade)α(A+B) =αA+αB;

(h) (associatividade) A(BC) = (AB)C;

(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo p a matriz, p×p,

Ip=



   

1 0 . . . 0 0 1 . . . 0

..

. . .. ...

0 0 . . . 1 

(22)

chamadamatriz identidade´e tal que

A In =ImA= A, para toda matriz A= (aij)m×n.

(j) (distributividade) A(B+C) =AB+AC e(B+C)A=BA+CA;

(k) α(AB) = (αA)B=A(αB); (l) (At₎t₌_A;

(m) (A+B)t₌_At₊_Bt_;

(23)

Demonstraç ão. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elemen-tos da matriz do lado esquerdo são iguais aos elemenelemen-tos correspondentes da matriz do lado direito. Serão usadas várias propriedades dos n úmeros sem citá-las explici-tamente.

(a) [A+B]ij=aij+bij=bij+aij= [B+A]ij;

(b) [A+ (B+C)]ij=aij+ [B+C]ij=aij+ (bij+cij) = (aij+bij) +cij=

= [A+B]ij+cij= [(A+B) +C]ij;

(c) SejaXuma matrizm×ntal que

A+X=A (1.2)

para qualquer matriz A,m×n. Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij+xij =aij,

ou seja,xij = 0, parai = 1 . . . ,me j = 1 . . . ,n. Portanto, a única matriz que satisfaz (1.2) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais a zero. De-notamos a matrizXpor ¯0.

(d) Dada uma matrizA,m×n, sejaXuma matrizm×n, tal que

A+X=¯0 . (1.3)

Comparando os elementos correspondentes, temos que

aij+xij =0 ,

ou seja,xij =−aij, parai=1 . . . ,mej=1 . . . ,n. Portanto, a única matriz que satisfaz (1.3) é a matriz em que todos os seus elementos são iguais aos simétricos dos elementos deA. Denotamos a matrizXpor−A.

(24)

(f) [(α+β)A]ij = (α+β)aij = (αaij) + (βaij) = [αA]ij+ [βA]ij= [αA+βA]ij.

(g) [α(A+B)]ij = α[A+B]ij=α(aij+bij) =αaij+αbij= [αA]ij+ [αB]ij

= [αA+αB]ij.

(h) A demonstração deste item é a mais trabalhosa. SejamA,BeCmatrizesm×p,

p×qeq×nrespectivamente. A notação de somat ório aqui pode ser muito útil, pelo fato de ser compacta.

[A(BC)]ij = p

∑

k=1

aik[BC]kj= p

∑

k=1

aik( q

∑

l=1

bklclj) = p

∑

k=1

q

∑

l=1

aik(bklclj) =

=

p

∑

k=1

q

∑

l=1

(aikbkl)clj= q

∑

l=1

p

∑

k=1

(aikbkl)clj = q

∑

l=1

(

p

∑

k=1

aikbkl)clj =

=

q

∑

l=1

[AB]ilclj = [(AB)C]ij.

(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que ´e definido por

δij=

1, sei=j

0, sei6=j

como[In]ij=δij. Assim,

[AIn]ij= n

∑

k=1

aik[In]kj= n

∑

k=1

aikδkj=aij.

A outra igualdade ´e an´aloga.

(25)

[A(B+C)]ij = p

∑

k=1

aik[B+C]kj= p

∑

k=1

aik(bkj+ckj) = p

∑

k=1

(aikbkj+aikckj) =

=

p

∑

k=1

aikbkj+ p

∑

k=1

aikckj= [AB]ij+ [AC]ij= [AB+AC]ij.

A outra igualdade ´e inteiramente an´aloga a anterior e deixamos como exerc´ıcio.

(k) [α(AB)]ij=α p

∑

k=1

aikbkj = p

∑

k=1

(αaik)bkj= [(αA)B]ij e

[α(AB)]ij=α p

∑

k=1

aikbkj = p

∑

k=1

aik(αbkj) = [A(αB)]ij.

(l) [(At)t_]

ij = [At]ji=aij.

(m) [(A+B)t_]

ij= [A+B]ji=aji+bji= [At]ij+ [Bt]ij.

(n) [(αA)t]ij= [αA]ji=αaji=α[At]ij= [αAt]ij.

(o) [(AB)t_]

ij = [AB]ji= p

∑

k=1

ajkbki= p

∑

k=1

[At]kj[Bt]ik= p

∑

k=1

[Bt]ik[At]kj= [BtAt]ij.

Adiferen¸caentre duas matrizes de mesmo tamanhoAeB ´e definida por

A−B=A+ (−B),

ou seja, ´e a soma da matrizAcom a sim´etrica da matrizB.

SejamAuma matrizn×nepum inteiro positivo. Definimos apotˆenciapdeA, por

Ap= A. . .A

| {z }

pvezes

(26)

Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizesAeB, quadradas, vale a igualdade

(A+B)(A−B) =A2−B2. (1.4) Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos

(A+B)(A−B) = (A+B)A+ (A+B)(−B)

= AA+BA−AB−BB=A2+BA−AB−B2

Assim,(A+B)(A−B) = A2₋_B2_{se, e somente se,} _BA₋_AB ₌ _{0, ou seja, se, e} somente se,AB=BA. Como o produto de matrizes não é comutativo, a conclusão é que a igualdade (1.4),nãovale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que não comutem entre si. Sejam

A=

0 0 1 1

e B=

1 0 1 0

. Para estas matrizes

A+B=

1 0 2 1

, A−B=

−1 0 0 1

, A2=A=

0 0 1 1

, B2=B=

1 0 1 0

. Assim,

(A+B)(A−B) =

−1 0 −2 1

6=

−1 0 0 1

= A2−B2.

1.1.3 Aplica¸c˜ao: Cadeias de Markov

(27)

Sejatija probabilidade de mudança do estadojpara o estadoiem uma unidade de tempo (geração). Cuidado com a ordem dos ´ındices. A matriz

T =

1

2

3





t11 t12 t13

t21 t22 t23

t31 t32 t33

  1

2

3

é chamada matriz de transi¸cão. Como exemplo vamos considerar a matriz de transição

T =

1

2

3



 

1

2 14 0

1

2 12 12 0 1₄ 1₂

   1

2

3

(1.5)

A distribuição da população inicial entre os três estados pode ser descrita pela se-guinte matriz:

P0=

  p₁ p₂ p₃  

está no estado 1 está no estado 2 está no estado 3

A matrizP0caracteriza a distribuição inicial da população entre os três estados e é chamadavetor de estado. Por exemplo,

P0=

  1 3 1 3 1 3  

está no estado 1 está no estado 2 está no estado 3

(1.6)

(28)

da seguinte forma

P₁=





t₁₁p₁+t₁₂p2+t13p3

t₂₁p₁+t22p2+t23p3

t31p1+t32p2+t33p3





estará no estado 1 estará no estado 2 estará no estado 3

Lembre-se quetij é a probabilidade de mudança do estadojpara o estadoi. Assim o vetor de estado ap ós uma unidade de tempo é dada pelo produto de matrizes:

P1=TP0.

Por exemplo se a matriz de transição,T, é a matriz dada por (1.5) e a matriz de estado inicial,P₀, é a matriz dada por (1.6), então ap ós uma unidade de tempo a matriz de estado será dada por

P1=TP0=



 

1

2 14 0

1

2 12 12 0 1₄ 1₂



 



 

1 3 1 3 1 3



 =



 

1 4 1 2 1 4



 

Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transição é a mesma, então ap óskunidades de tempo a população estará dividida entre os três estados segundo a matriz de estado

Pk=TPk₋1=T2Pk₋2=· · ·=TkP0 Assim a matrizTkdá a transição entrekunidades de tempo.

(29)

Exerc´ıcios Num´ericos

(respostas na p´agina

461 )

1.1.1. Considere as seguintes matrizes

A=

2 0 6 7

, B=

0 4 2 −8

, C=

−6 9 −7 7 −3 −2

D=





−6 4 0 1 1 4 −6 0 6



, E= 



6 9 −9 −1 0 −4 −6 0 −1





Se for poss´ıvel calcule:

(a) AB−BA,

(b) 2C−D,

(c) (2Dt−3Et)t_,

(d) D2−DE.

1.1.2. Conhecendo-se somente os produtosABeAC, como podemos calcularA(B+C),BtAt,CtAte(ABA)C?

1.1.3. Considere as seguintes matrizes

A=

−3 2 1

1 2 −1

, B=



 2 −1 2 0 0 3   C=  

−2 1 −1 0 1 1

−1 0 1



, D= 



d1 0 0

0 d2 0 0 0 d3





E₁=

  1 0 0 

, E₂=   0 1 0 

(30)

(a) AB´e diferente deBA.

(b) AEjé aj-ésima coluna deA, paraj=1, 2, 3 eEtiBé ai-ésima linha deB, parai=1, 2, 3 (o caso geral está noExerc´ıcio1.1.16na página23).

(c) CD = [d₁C₁d₂C₂d₃C₃ ], em queC₁=

  −2 0 −1 

,C₂=   1 1 0 

eC₃=   −1 1 1 

, são as colunas deC (o caso geral está noExerc´ıcio1.1.17(a) na página24).

(d) DC =





d1C1

d2C2

d3C3



, em queC₁ = −2 1 −1 ,C₂ = 0 1 1 eC₃ = −1 0 1 são as linhas deC(o caso geral está noExerc´ıcio1.1.17(b) na página24).

(e) EscrevendoBem termos das suas colunas, B= [ B1 B2 ], em queB1 =

  2 2 0 

eB2 =

  −1 0 3 

, o produtoABpode ser escrito comoAB= A[ B1 B2] = [ AB1 AB2 ](o caso geral est´a noExerc´ıcio 1.1.18(a) na p´agina25).

(f) escrevendo Aem termos das suas linhas, A₁ = −3 2 1 e A₂ = 1 2 −1 , o produto

ABpode ser escrito comoAB =

A1 A2 B =

A1B

A2B

(o caso geral est´a noExerc´ıcio1.1.18(b) na p´agina25).

1.1.4. Sejam

A=

1 −3 0 0 4 −2

e X=

  x y z  .

(31)

1.1.5. Encontre um valor dextal queABt=0, em que

A= x 4 −2 e B= 2 −3 5 .

1.1.6. Mostre que as matrizes A =

" 1 1_y

y 1

#

, em quey é uma n úmero real não nulo, verificam a equação

X2₌₂_X_.

1.1.7. Mostre que seAeBs˜ao matrizes que comutam com a matrizM=

0 1 −1 0

, ent˜aoAB=BA.

1.1.8. (a) Determine todas as matrizesA, 2×2,diagonais(os elementos que est˜ao fora da diagonal s˜ao iguais a zero) que comutam com toda matrizB, 2×2, ou seja, tais queAB=BA, para toda matrizB, 2×2.

(b) Determine todas as matrizes A, 2×2, que comutam com toda matriz B, 2×2, ou seja, tais que

AB=BA, para toda matrizB, 2×2.

1.1.9. Verifique queA3= ¯0, para

A=





0 1 0 0 0 1 0 0 0



. O caso geral est´a noExerc´ıcio1.1.29na p´agina27.

Exerc´ıcios usando o M

ATLAB

r

(32)

No MATLABr, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸˜ao. O comando >> help

(sem o prompt>>) mostra uma listagem de todos os pacotes dispon´ıveis. Ajuda sobre um pacote es-pec´ıfico ou sobre um comando ou func¸˜ao espec´ıfica pode ser obtida com o comando

>> help nome,

(sem a v´ırgula e sem o prompt>>) em quenomepode ser o nome de um pacote ou o nome de um comando ou func¸˜ao.

Além dos comandos e funç ões pré-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal com funç ões es-pec´ıficas para a aprendizagem de Geometria Anal´ıtica e Álgebra Linear. Este pacote pode ser obtido gratuitamente através da internet no endereçohttp://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introdução ao MATLABr e instruç ões de como instalar o pacotegaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o comandohelp gaalno prompt do MATLABr dá informaç ões sobre este pacote.

Mais informac¸ ˜oes sobre as capacidades do MATLABrpodem ser obtidas em [3,24].

Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulação de matrizes. Outros comandos serão introduzidos a medida que forem necessários.

>> syms x y zdiz ao MATLABrque as variáveisx yezsão simb ólicas.

>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn]cria uma matriz,mporn, usando os elementosa11,

a12, ..., amne a armazena numa vari´avel de nomeA. Por exemplo,>> A=[1,2,3;4,5,6]cria a matriz

A=

1 2 3 4 5 6

;

>> I=eye(n)cria a matriz identidadenporne a armazena numa vari´avelI;

>> O=zeros(n)ou>> O=zeros(m,n)cria a matriz nulanpornoumporn, respectivamente, e a

arma-zena numa vari´avelO;

>> A+B´e a soma deAeB,

>> A*B´e o produto deAporB,

>> A.’´e a transposta deA,

>> A-B´e a diferenc¸aAmenosB,

>> num*A´e o produto do escalarnumporA,

(33)

>> A(:,j)´e a colunajda matrizA,>> A(i,:)´e a linhaida matrizA.

>> diag([d1,...,dn])cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal s˜ao iguais aos elementos

da matriz[d1,...,dn], ou seja, s˜aod1,...,dn.

>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos s˜ao armazenados no formato

simb ólico. A funçãonumericfaz o processo inverso.

>> solve(expr) determina a solução da equação expr=0. Por exemplo,

>> solve(x^2-4)determina as soluç ões da equaçãox2₋₄₌_0;

Comando do pacote GAAL:

>> A=randi(n)ou>> A=randi(m,n)cria uma matriznpornoumporn, respectivamente, com elementos

inteiros aleat ´orios entre−5 e 5.

1.1.10. Use o MATLABrpara calcular alguns membros da seq ¨uˆenciaA,A2, . . . ,Ak, . . ., para

(a) A=

1 1₂ 0 1₃

; (b) A=

₁

2 13 0 −1 5

. A seq ¨uˆencia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?

1.1.11. Calcule as potˆencias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!) o menor inteirok>_{1 tal que (use o comando}_{>> A=sym(A)}_{depois de armazenar a matriz na vari´avel}_A):

(a) Ak= I3, em que

A =





0 0 1 1 0 0 0 1 0



;

(b) Ak= I4, em que

A =



  

0 1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0



(34)

(c) Ak= ¯0, em que

A =



  

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0



  .

1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABrpara tentar ter uma ideia do qu˜ao comum ´e encontrar ma-trizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABrdigite a seguinte linha:

>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c

(não esqueça das v´ırgulas e pontos e v´ırgulas!). O que esta linha está mandando o MATLABr fazer é o seguinte:

• Criar um contadorce atribuir a ele o valor zero.

• Atribuir às variáveisAeB, 1000 matrizes 3×3 com entradas inteiras e aleat órias entre−5 e 5.

• SeAB=BA, ou seja,AeBcomutarem, ent˜ao o contadorc´e acrescido de 1.

• No final o valor existente na vari´avelc´e escrito.

Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variávelc?

1.1.13. Faça um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes édiagonal, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Use a seta para cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABrde forma a obter algo semelhante à linha:

>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....

Qual a conclusão que você tira do valor obtido na variávelc?

(35)

>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c

Aqui são impressas as matrizesA eB quando elas comutarem. Qual a conclusão que você tira deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?

1.1.15. Use o MATLABrpara resolver osExerc´ıcios Num´ericos.

Exerc´ıcios Te ´oricos

1.1.16. SejamE1=

       1 0 0 .. . 0       

,E2=

       0 1 0 .. . 0       

,. . . ,En=

       0 0 .. . 0 1       

matrizesn×1.

(a) Mostre que se

A=     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n ..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn



   

é uma matrizm×n, entãoAEjé igual à colunajda matrizA.

(b) Mostre que se

B=     

b₁₁ b₁₂ . . . b_1m b₂₁ b22 . . . b2m

..

. . . . ...

b_n1 bn2 . . . bnm

     ,

´e uma matrizn×ment˜aoEt

(36)

1.1.17. Seja D=     

λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 ..

. . .. ... 0 . . . 0 λn



   

umamatriz diagonaln×n, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja

A=     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n ..

. . . . ...

an1 an2 . . . ann

     .

(a) Mostre que o produto AD ´e obtido da matriz Amultiplicando-se cada coluna jporλj, ou seja, se

A= [A1 A2 . . . An ], em queAj =

   a_1j .. . anj  

´e a colunajdeA, ent˜ao

AD= [λ1A1λ2A2 . . . λnAn ].

(b) Mostre que o produto DA ´e obtido da matriz A multiplicando-se cada linhai porλi, ou seja, se

A=      A₁ A₂ .. . An     

, em queAi = [ai1. . . ain]´e a linhaideA, ent˜ao

DA=     

λ1A1 λ2A2

.. . λnAn

(37)

1.1.18. SejamAeBmatrizesm×pep×n, respectivamente.

(a) Mostre que a j-´esima coluna do produto AB ´e igual ao produto ABj, em que Bj =

   b_1j .. . bpj    ´e a

j-´esima coluna deB, ou seja, seB= [B₁ . . . Bn ], ent˜ao

AB=A[B1 . . . Bn ] = [AB1 . . . ABn];

(b) Mostre que ai-ésima linha do produto ABé igual ao produtoAiB, em que Ai = [ ai1. . . aip ] é a

i-´esima linha deA, ou seja, seA=

     A1 A2 .. . Am      , ent˜ao AB=      A1 A2 .. . Am      B=     

A1B

A2B .. .

AmB

     .

1.1.19. Seja A uma matriz m × n e X =

   x1 .. . xn  

 uma matriz n × 1. Prove que

AX =

n

∑

j=1

xjAj, em que Aj é a j-ésima coluna de A. (Sugestão: Desenvolva o lado direito e che-gue ao lado esquerdo.)

(38)

(b) SejamBeCmatrizesm×n, taisBX=CX, para todoX,n×1. Mostre queB=C. (Sugest˜ao: use o item anterior.)

1.1.21. Mostre que a matriz identidade In ´e a ´unica matriz tal que A In = InA = Apara qualquer matriz A,

n×n. (Sugest˜ao: SejaJnuma matriz tal queA Jn= JnA=A. Mostre queJn= In.)

1.1.22. SeAB=BAep´e um inteiro positivo, mostre que(AB)p=ApBp.

1.1.23. SejamA,BeCmatrizesn×n.

(a) (A+B)2₌_A2₊₂_AB₊_B2_{? E se}_AB₌_BA_{? Justifique.}

(b) (AB)C=C(AB)? E seAC=CAeBC=CB? Justifique. (Sugest˜ao: Veja oExemplo1.8na p´agina14.)

1.1.24. (a) SeAeBs˜ao duas matrizes tais queAB=¯0, ent˜aoA= ¯0 ouB= ¯0? Justifique.

(b) SeAB=¯0, ent˜aoBA= ¯0? Justifique.

(c) SeA´e uma matriz tal queA2= ¯0, ent˜aoA=¯0? Justifique.

1.1.25. Dizemos que uma matrizA,n×n, ésimétricaseAt= Ae éanti-simétricaseAt=−A.

(a) Mostre que se A é simétrica, entãoaij = aji, parai,j = 1, . . .ne que se A é anti-simétrica, então

aij = −aji, parai,j = 1, . . .n. Portanto, os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-sim´etrica s˜ao iguais a zero.

(b) Mostre que seAeBsão simétricas, entãoA+BeαAsão simétricas, para todo escalarα.

(c) Mostre que seAeBsão simétricas, entãoABé simétrica se, e somente se,AB=BA.

(d) Mostre que seAeBsão anti-simétricas, entãoA+BeαAsão anti-simétricas, para todo escalarα.

(e) Mostre que para toda matrizA,n×n,A+Até simétrica eA−At é anti-simétrica.

(39)

1.1.26. Para matrizes quadradas A = (aij)n×n definimos o tra¸code Acomo sendo a soma dos elementos da diagonal (principal) deA, ou seja, tr(A) =

n

∑

i=1

aii.

(a) Mostre que tr(A+B) =tr(A) +tr(B).

(b) Mostre que tr(αA) =αtr(A).

(c) Mostre que tr(At_{) =}_tr₍_A₎_.

(d) Mostre que tr(AB) =tr(BA). (Sugest˜ao: Prove inicialmente para matrizes 2×2.)

1.1.27. SejaAuma matrizn×n. Mostre que seAAt = ¯0, então A= ¯0. (Sugestão: use o traço.) E se a matrizA

form×n, comm6=n?

1.1.28. Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:

(a) SeD1eD2s˜ao matrizes diagonaisn×n, ent˜aoD1D2=D2D1.

(b) SeA´e uma matrizn×ne

B=a0In+a1A+a2A2+. . .+akAk, em quea0, . . . ,aks˜ao escalares, ent˜aoAB=BA.

1.1.29. Uma matrizA´e chamadanilpotenteseAk= ¯0, para algum inteiro positivok. Verifique que a matriz

A=



     

0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0

..

. ... . .. ... ... 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0



     

n×n ,

(40)

Apêndice I: Nota¸cão de Somat ório

São válidas algumas propriedades para a notação de somat ório:

(a) O ´ındice do somat ório é uma variável muda que pode ser substitu´ıda por qual-quer letra:

n

∑

i=1

fi= n

∑

j=1

fj.

(b) O somat ´orio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somat ´orios: n

∑

i=1

(fi+gi) = n

∑

i=1

fi+ n

∑

i=1

gi.

Pois, n

∑

i=1

(fi+gi) = (f1+g1) +. . .+ (fn+gn) =

= (f₁+. . .+fn) + (g1+. . .+gn) = n

∑

i=1

fi+ n

∑

i=1

gi.

Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de n ´umeros.

(c) Se no termo geral do somat ório aparece um produto, em que um fator não de-pende do ´ındice do somat ório, então este fator pode “sair” do somat ório:

n

∑

i=1

figk =gk n

∑

i=1

(41)

Pois, n

∑

i=1

figk= f1gk+. . .+fngk=gk(f1+. . .+ fn) =gk n

∑

i=1

fi.

Aqui foram aplicadas as propriedades distributiva e comutativa do produto em relação a soma de n úmeros.

(d) Num somat ´orio duplo, a ordem dos somat ´orios pode ser trocada: n

∑

i=1

m

∑

j=1

fij = m

∑

j=1

n

∑

i=1

fij.

Pois, n

∑

i=1

m

∑

j=1

fij= n

∑

i=1

(fi1+. . .+fim) =

= (f₁₁+. . .+f_1m) +. . .+ (f_n1+. . .+fnm) =

= (f11+. . .+fn1) +. . .+ (f1m+. . .+fnm) =

=

m

∑

j=1

(f_1j+. . .+fnj) = m

∑

j=1

n

∑

i=1

fij.

(42)

1.2 Sistemas de Equa¸c ˜oes Lineares

Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares. Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares. Umaequa¸cão linearemnvariáveisx1,x2, . . . ,xn é uma equação da forma

a1x1+a2x2+. . .+anxn =b, em quea1,a2, . . . ,anebs˜ao constantes reais;

Umsistema de equa¸c ões linearesou simplesmentesistema linearé um conjunto de equaç ões lineares, ou seja, é um conjunto de equaç ões da forma

        

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ..

. ... = ...

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm em queaijebks˜ao constantes reais, parai,k=1, . . . ,mej=1, . . . ,n.

Usando o produto de matrizes que definimos na seção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial

A X=B,

em que A=     

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n ..

. . . . ...

am1 am2 . . . amn



   

, X=

     x1 x2 .. . xn     

e B=

(43)

Umasolu¸c˜aode um sistema linear ´e uma matriz S =



   

s1

s₂

.. .

sn



   

tal que as equac¸ ˜oes

do sistema são satisfeitas quando substitu´ımos x₁ = s₁,x2 = s2, . . . ,xn = sn. O conjunto de todas as soluç ões do sistema é chamadoconjunto solu¸cãoousolu¸cão geraldo sistema. A matrizAé chamadamatriz do sistema linear.

Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equaç ões e duas inc ógnitas

x + 2y = 1

2x + y = 0 pode ser escrito como

1 2 2 1

x y

=

1 0

.

A solução (geral) do sistema acima éx=−1/3 ey=2/3 (verifique!) ou

X=

−1₃ 2 3

.

Uma forma de resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja mais fácil de resolver. O outro sistema é obtido depois de aplicar sucessivamente uma série de operaç ões, que não alteram a solução do sistema, sobre as equaç ões. As operaç ões que são usadas são:

(44)

• Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; • Somar a uma equação outra equação multiplicada por um escalar.

Estas operaç ões são chamadas de opera¸c ões elementares. Quando aplicamos operaç ões elementares sobre as equaç ões de um sistema linear somente os coefici-entes do sistema são alterados, assim podemos aplicar as operaç ões sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos dematriz aumentada, ou seja, a matriz

[A|B] =



   

a11 a12 . . . a1n b1

a21 a22 . . . a2n b2 ..

. . . . ... ...

am1 am2 . . . amn bm



(45)

Defini¸cão 1.5. Umaopera¸cão elementar sobre as linhasde uma matriz é uma das seguintes operaç ões:

(a) Trocar a posic¸˜ao de duas linhas da matriz;

(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;

(c) Somar a uma linha da matriz um m ´ultiplo escalar de outra linha.

O pr óximo teorema garante que ao aplicarmos operaç ões elementares às equaç ões de um sistema o conjunto solução não é alterado.

Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares AX=B e CX=D, s˜ao tais que a matriz aumentada[C| D]´e obtida de[A| B]

aplicando-se uma opera¸cão elementar, então os dois sistemas possuem as mesmas solu¸cões.

Demonstraç ão. A demonstração deste teorema segue-se de duas observaç ões:

(a) SeX é solução de um sistema, então X também é solução do sistema obtido aplicando-se uma operação elementar sobre suas equaç ões (verifique!).

(46)

Pela observação (b),AX =BeCX=Dpodem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operação elementar sobre as suas equaç ões. E pela obaplicando-servação (a), os dois

possuem as mesmas soluc¸ ˜oes.

Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto solução são chamadossistemas equi-valentes. Portanto, segue-se doTeorema1.2que aplicando-se operaç ões elementares às equaç ões de um sistema linear obtemos sistemas equivalentes.

1.2.1 M´etodo de Gauss-Jordan

O método que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicação de operaç ões elementares às linhas da matriz aumentada do sistema até que obtenha-mos uma matriz numa forma em que o sistema associado a esta matriz seja de fácil resolução.

Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas não nulas possuam como primeiro elemento não nulo (chamado piv ô) o n úmero 1 . Além disso, se uma coluna contém um piv ô, então todos os seus outros elementos terão que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma ind ústria.

(47)

kg de A e 2 kg de B, essa ind ´ustria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos noExemplo1.6

na página7, usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma:

X Y Z gramas de A/kg

gramas de B/kg prec¸o/kg





1 1 1 2 1 4 2 3 5



 = A X=

  x y z  

kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos

AX=





x+y+z

2x+y+4z

2x+3y+5z

 =   1000 2000 2500  

gramas de A usados gramas de B usados arrecadac¸˜ao

Assim precisamos resolver o sistema linear 





x + y + z = 1000

2x + y + 4z = 2000 2x + 3y + 5z = 2500 cuja matriz aumentada ´e





1

1 1 1000 2 1 4 2000 2 3 5 2500





1a.elimina¸c˜ao:

(48)

do piv ô, para isto, adicionamos à 2a. linha,−2 vezes a 1a.linha e adicionamos à 3a. linha, também,−2 vezes a 1a.linha.

−2×1a.linha+2a.linha−→2a.linha −2×1a.linha+3a.linha−→3a.linha



 

1 1 1 1000 0

−1 2 0 0 1 3 500



 

Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a.linha. Escolhemos para piv ô um elemento diferente de zero na 1a.coluna não nula desta sub-matriz. Vamos esco-lher o elemento de posição 2,2. Como temos que “fazer” o piv ô igual a um, vamos multiplicar a 2a.linha por−1.

−1×2a._linha_−→₂a._linha





1 1 1 1000 0 1 −2 0 0 1 3 500





Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a.coluna, que é a coluna do piv ô, para isto, somamos à 1a.linha,−1 vezes a 2a.e somamos à 3a.linha, também,−1 vezes a 2a..

−1×2a.linha+1a.linha−→1a.linha −1×2a.linha+3a.linha−→3a.linha





1 0 3 1000 0 1 −2 0 0 0

5 500





(49)

de escolher o elemento de posição 3,3 e como temos de “fazer” o piv ô igual a 1, vamos multiplicar a 3a.linha por 1/5.

1

5×3a.linha−→3a.linha





1 0 3 1000 0 1 −2 0 0 0 1 100





Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3a.coluna, que é a coluna do piv ô, para isto, somamos à 1a.linha,−3 vezes a 3a.e somamos à 2a.linha, 2 vezes a 2a..

−3×3a.linha+1a.linha−→1a.linha 2×3a.linha+2a.linha−→2a.linha





1 0 0 700 0 1 0 200 0 0 1 100





Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema 





x = 700

y = 200

z = 100

que possui soluc¸˜ao geral dada por

X=





x y z



= 

 700 200 100



.

Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.

(50)

Defini¸cão 1.6. Uma matriz A = (aij)m×n está na formaescalonada reduzida quando satisfaz as seguintes condiç ões:

(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas n˜ao nulas;

(b) Opiv ô(1o._{elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual a 1;}

(c) O piv ô de cada linha não nula ocorre à direita do piv ô da linha anterior.

(d) Se uma coluna contém um piv ô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.

Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas n˜ao necessariamente (b) e (d), dizemos que ela est´a na formaescalonada.

Exemplo 1.12. As matrizes 



1 0 0 0 1 0 0 0 1



 e 



1 3 0 2

0 0 1 −3

0 0 0 0





s˜ao escalonadas reduzidas, enquanto 



1 1 1 0 −1 2 0 0 5



 e 



1 3 −1 5 0 0 −5 15 0 0 0 0





(51)

Este método de resolução de sistemas, que consiste em aplicar operaç ões elemen-tares às linhas da matriz aumentada até que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, é conhecido comométodo de Gauss-Jordan.

Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema 





x + 3y + 13z = 9

y + 5z = 2

−2y − 10z = −8 A sua matriz aumentada ´e





1

3 13 9

0 1 5 2

0 −2 −10 −8 



Como o piv ô da 1a.linha é igual a 1 e os outros elementos da 1a.coluna são iguais a zero, não há nada o que fazer na 1a.eliminação.



 

1 3 13 9

0

1 5 2

0 −2 −10 −8 

 

(52)

−3×2a.linha+1a.linha−→1a.linha 2×2a.linha+3a.linha−→3a.linha





1 0 −2 3

0 1 5 2

0 0 0 −4 



Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema 





x − 2z = 3

y + 5z = 2

0 = −4 quenãopossui solução.

Em geral, um sistema linear não tem solução se, e somente se, a última linha não nula da forma escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma[0 . . . 0|b′m], comb′m6=0.

Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema 





3z − 9w = 6 5x + 15y − 10z + 40w = −45

x + 3y − z + 5w = −7

A sua matriz aumentada ´e 



0 0 3 −9 6

5 15 −10 40 −45

1

3 −1 5 −7 

(53)

Como temos que “fazer” o piv ô igual a um, escolhemos para piv ô o elemento de posição 3,1. Precisamos “colocá-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a.linha com a 1a..

1a.linha←→4a.linha 



1

3 −1 5 −7 5 15 −10 40 −45

0 0 3 −9 6





Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a.coluna, que é a coluna do piv ô, para isto, adicionamos à 2a.linha,−5 vezes a 1a..

−5×1a.linha+2a.linha−→2a.linha



 

1 3 −1 5 −7 0 0

−5 15 −10 0 0 3 −9 6



 

Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a.linha. Escolhemos para piv ô um elemento diferente de zero na 1a.coluna não nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posição 2,3. Como temos que fazer o piv ô igual a 1, multiplicamos a 2a._{linha por}₋_1/5.

−(1/5)×2a.linha−→2a.linha





1 3 −1 5 −7 0 0

1 −3 2 0 0 3 −9 6





(54)

2a.linha+1a.linha−→1a.linha −3×2a._linha₊₃a._linha_−→₃a._linha





1 3 0 2 −5 0 0 1 −3 2

0 0 0 0 0





Esta matriz ´e escalonada reduzida. Portanto o sistema dado ´e equivalente ao sistema seguinte

x + 3y + 2w = −5

z − 3w = 2.

A matriz deste sistema possui duas colunas sem piv ôs. As variáveis que não estão associadas a piv ôs podem ser consideradasvariáveis livres, isto é, podem assumir valores arbitrários. Neste exemplo as variáveis y e w não estão associa-das a piv ôs e podem ser consideraassocia-das variáveis livres. Sejamw = αe y = β. As variáveis associadas aos piv ôs terão os seus valores dependentes das variáveis livres,

z=2+3α, x=−5−2α−3β.

Assim, a solução geral do sistema é

X=



  

x y z w



  =



  

−5−2α−3β β 2+3α

α



 

 para todos os valores deαeβreais.

(55)

Lembramos que o sistema linear não tem solução se a última linha não nula da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma[0 . . . 0|bm′ ], comb′m6=0, como noExemplo1.13na página39.

Observa¸cão. Para se encontrar a solução de um sistema linear não é necessário transformar a matriz aumen-tada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz está nesta forma, o sistema associado é o mais simples poss´ıvel. Um outro método de resolver sistemas lineares consiste em, através da aplicação de operaç ões elementares à matriz aumentada do sistema, se chegar a uma matriz que é somenteescalonada(isto é, uma matriz que satisfaz as condiç ões(a)e (c), mas não necessariamente (b)e (d)daDefinição1.6). Este método é conhecido comométodo de Gauss.

O pr óximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma solução não pode ter um n úmero finito de soluç ões.

Proposi¸cão 1.3. Sejam A uma matriz m×n e B uma matriz m×1. Se o sistema linear A X=B possui duas solu¸cões distintas X06=X1, então ele tem infinitas solu¸cões.

Demonstrac¸ ˜ao. Seja

Xλ= (1−λ)X0+λX1, paraλ∈R.

(56)

Aplicando as propriedades (i), (j) das operaç ões matriciais (Teorema1.1na página9) obtemos

A Xλ =A[(1−λ)X0+λX1] =A(1−λ)X0+AλX1= (1−λ)A X0+λA X1

ComoX0eX1são soluç ões deA X=B, entãoA X0=BeA X1=B, portanto

A Xλ= (1−λ)B+λB= [(1−λ) +λ]B=B,

pela propriedade (f) doTeorema1.1.

Assim o sistemaA X= Btem infinitas soluç ões, pois para todo valor deλ∈R_,_X_λ é solução eXλ−Xλ′ = (λ−λ′)(X1−X0), ou seja,Xλ 6=Xλ′, paraλ6=λ′. Observe que paraλ = 0,Xλ = X0, paraλ = 1, Xλ = X1, paraλ =1/2, Xλ = ₂1X0+ 12X1, paraλ=3,Xλ=−2X0+3X1e paraλ=−2,Xλ=3X0−2X1.

No Exemplo 3.4 na página 164 temos uma interpretação geométrica desta

demonstrac¸˜ao.

Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operaç ões elementares à matriz au-mentada do sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.