AULA 11 LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES

(1)

AULA 11

LOCALIZAÇÃO DE FACILIDADES

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

INTRODUÇÃO À META-HEURÍSTICAS

(2)

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2 Localização de Facilidades

3

1

4

6

5 J = {1, ..., n}

I = {1, ..., m}

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2 Localização de Facilidades

3

1

4

6

5 Minimizar custo

designação em relação

a todos os clientes !

c

_ij

facilidade i

aberta: y

i

= 1

Cliente i na

facilidade j: x

ij

= 1

(3)

S.a.:

MODELO

COMPLETO

GERAL

J

j

,

1 ∀

∈

=

∑

∈

I

i

ij

x

J

,

I

,

∀

∈

∀

∈

≤

y

i

j

x

_ij _i

J

I

ij

B

x

∈

Min

∑∑

Custo entre cliente i e centro j

∈

I

∈

i

j

J

ij

x

c

∑

∈

=

I

i

p

y

I

i

B

y

∈

1 cliente conectado

apenas em 1 facilidade

Só conectar clientes se

facilidade foi aberta

Abertura e localização de

exatamente p facilidades

Localização de Facilidades

Min Max{d

_ij

}

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2

3

1

4

(4)

S.a.:

MODELO

COM MÁXIMO

GERAL

J

j

,

1 ∀

∈

=

∑

∈

I

i

ij

x

J

,

I

,

∀

∈

∀

∈

≤

y

i

j

x

_ij _i

J

I

ij

B

x

∈

Min

r

Máxima distância entre cliente i e centro j

∑

∈

=

I

i

p

y

I

i

B

y

∈

∑

∈

≥

I

i

ij

x

d

r

Localização de Facilidades

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2

1

3

4

3

4

2

6

3

1

3

1

10 Localização de Facilidades

(5)

S.a.:

MODELO

COMPLETO

GERAL

J

j

,

1 ∀

∈

=

∑

∈

I

i

ij

x

J

,

I

,

∀

∈

∀

∈

≤

y

i

j

x

_ij _i

J

I

ij

B

x

∈

Min

∑∑

Custo entre cliente i e centro j

∈

I

∈

i

j

J

ij

x

c

∑

∈

=

I

i

p

y

I

i

B

y

∈

I

,

∀

∈

≤

∑

∈

i

y

Q

x

q

_i

J

j

ij

j

Localização de Facilidades

As demandas q

j

dos j clientes não

deve exceder a capacidades Q

i

das i

facilidades.

Para um número fixo de facilidades

obtém-se: designação generalizada!

Min

S.a.:

MODELO COMPLETO GERAL

m

i

b

x

a

n

j

i

ij

,

1 ,

,

1 L

=

≤

∑

=

n

j

x

m

i

ij

1 ,

,

1 L

=

∑

=

∑∑

=

m

i

n

j

ij

x

c

1

1 Custo total

Capacidade e

recursos gastos

pelo operário i

Cada tarefa j tem

1 operário

n

j

m

i

x

_ij

≥

0 ,

=

1 ,

L

,

=

1 ,

L

,

(6)

1 ₁

2 x

₁₂

x

₁₁

Restrições : todas os

operários i

devem ser alocados a

pelo menos 1 tarefa

!

a

₁₁

x

₁₁

+a

₁₂

x

₁₂

≤≤≤≤

b

₁

Alocação do operário 1

Designação Generalizada

Capacidade do operário 1

E

1

2

1 x

₂₁

x

₁₁

Restrição : todas as

tarefas j

devem ser alocadas a

pelo menos 1 operário

!

x

₁₁

+ x

₂₁

= 1

Alocação para a tarefa 1

Designação Generalizada

(7)

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2 Localização de Facilidades

3

1

4

6

5 Minimizar custo fixo de

implantação da

facilidade i

f

_i

S.a.:

MODELO

COMPLETO

GERAL

J

j

,

1 ∀

∈

=

∑

∈

I

i

ij

x

J

,

I

,

∀

∈

∀

∈

≤

y

i

j

x

_ij _i

J

I

ij

B

x

∈

Min

+ Custo fixo de implantação

das i facilidades

∑∑

∑

∈

+

I

i

j

J

ij

I

i

y

c

x

f

∑

∈

=

I

i

p

y

I

i

B

y

∈

Localização de Facilidades

I

,

∀

∈

≤

∑

∈

i

y

Q

x

q

_i

J

j

(8)

Localização de Facilidades

1 ₂

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

2 Localização de Facilidades

3

1

4

6

5 Minimizar custo fixo de

abertura da arco ij

f

_ij

2

1

3

4

3

4

2 -6

3

1

3

1 Consumo

x

_ij

Fluxo no arco ij

Produção

(9)

S.a.:

MODELO

COMPLETO

GERAL

N

i

,

∀

∈

=

−

∑

∈

N

∈

j

N

i

ij

ji

x

q

x

E

j

i

y

u

x

_ij

≤

_ij _i

,

∀

(

,

)

∈

E

ij

R

x

∈

₊

Min

+ Custo fixo de implantação

das i facilidades

ij

E

j

i

ij

y

c

x

f

+

∑

∈

)

,

(

E

B

y

∈

Localização de Facilidades

EXAME.COM, 23/07/2012 – Consumidores – Punições da Anatel elevam pedidos de portabilidade

(10)

1 Uso do celular

1 Capta ligação

2

2 Central

3

3 Rede Telefone

4

4 Redes de Telefonia Celular

8

9

10

5

6

7

4

1

2

3

4

1

2

1

2

2 Célula

Central

1

2

3

4

2

1

(11)

3

4

1

2 Custo c

₁₂

: Custo de

cabeamento entre a

células 2 e Central 1.

Custo

c

₃₄

:

Custo

de

cabeamento

entre

a

célula 3 e a Central 2

localizada na Célula 4.

2

1 Redes de Telefonia Celular

CUSTO DE CABEAMENTO

3

4

1

2 h

₁₂

= 0

Custo h

₂₄

: Custo de se mover uma

ligação para uma célula adjacente

alocada

para

uma

antena

diferente. No caso, de se mover

da célula 2 (Central 1) para a

célula 4 (Central 2).

2

1 h

₃₄

= 0

Redes de Telefonia Celular

(12)

3

4

1 Demanda

λ

2

1 Demanda

λ

₃

Demanda

λ

₄

+

≤≤≤≤

Capacidade

M

₂

Demanda

λ

₁

≤≤≤≤

Capacidade

M

₁

2 Redes de Telefonia Celular

CAPACIDADE DAS CENTRAIS

3

4

1

2

1 ₂

1 1e2 2

2 Célula

Central

1

2

3

4 Redes de Telefonia Celular

(13)

Min

S.a.:

MODELO COMPLETO GERAL

n

i

x

m

k

ik

1 ,

,

1 L

=

∑

=

∑

=

≤

n

i

k

ik

i

x

M

,k

,

,m

1

1 L

λ

∑

∑∑∑

=

−

+

n

i

n

i

n

j

ij

m

k

ij

ik

m

k

ik

x

h

y

C

1

1 )

1 (

Cabeamento

+ Handoff

1 Célula deve ter 1

única central

K

I

ik

B

x

∈

∑

=

m

k

jk

ik

ij

x

y

1 O total da demanda

atendida pela central k

Se i e j estão na mesma

central k tirar handoff

Redes de Telefonia Celular

Central

M

k

1

10

2

10 Célula

_λλλλ

_i

1

4

2

4

3

4

4 Demandas

iguais

No máximo 2 células

Um Pequeno Exemplo

Demanda

por célula

Capacidade

_Centrais

Célula

Central 1 Central 2

1

0

2

4

3

4

8

0 Custo cabeamento c

_ik

Cel\Cel

1

2

3

4

1

0

3

2

3

0

1

51

3

2

1

0

4

2

5

4

0

(14)

GLPK Lab for Windows

# Modelo alocação de células a centrais telefônicas set I; /* célula */

set J; /* célula */ set K; /* MSC */

param a{k in K}; /* Capacidade das MSCs */ param b{i in I}; /* Células */ param c{i in I, k in K}; /* Custos fixos */ param h{i in I, j in J}; /* Custos de handoff */ param l{i in I}; /* Capacidade da célula*/ param file, symbolic, default "Antena.txt";

var x{i in I, k in K}>=0 binary; var y{i in I, j in J} binary; var z{i in I, j in J, k in K}>=0;

minimize cost: sum{i in I, k in K}c[i,k]*x[i,k] + sum{i in I, j in J}h[i,j]*(1-y[i,j]);

s.t. restricao1{k in K}: sum{i in I} l[i]*x[i,k] <= a[k]; restricao2{i in I}: sum{k in K} x[i,k]= b[i];

restricao3{i in I, j in J}: y[i,j] = sum{k in K} z[i,j,k]; z1{i in I, j in J, k in K}: z[i,j,k]<=x[i,k];

z2{i in I, j in J, k in K}: z[i,j,k]<=x[j,k];

z3{i in I, j in J, k in K}: z[i,j,k] + 1 >= x[i,k] + x[j,k];

PARTE 1 - FORMULAÇÃO

Índices das variáveis

Dados

do

modelo

Variáveis

Modelo

GLPK Lab for Windows

solve;

/* RELATORIO */

printf '\n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf 'Solucao Encontrada \n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf ' \n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf ' Célula Central Custo C Custo H \n \n' >> file;

printf '---\n' >> file;

printf{i in I} ' %8d %8d %8.2f %8.2f \n',

i, sum{k in K} k*x[i,k], sum{k in K} c[i,k]*x[i,k], sum{j in J} h[i,j]*(1-y[i,j])

>> file;

printf '---\n’

_{PARTE 2 - FORMULAÇÃO}

(15)

GLPK Lab for Windows

printf 'Custo total (z): ' >> file;

printf ' %10.2f \n',

sum{i in I, k in K}c[i,k]*x[i,k] + sum{i in I, j in J}h[i,j]*(1-y[i,j]) >> file;

printf '---\n‘ >> file;

printf '\n' >> file;

PARTE 3 - FORMULAÇÃO

GLPK Lab for Windows

data;

set I := 1 2 3 4;

set J := 1 2 3 4;

set K := 1 2;

param a := 1 10

2 10;

param b := 1 1

2 1

3 1

4 1;

param c : 1 2 :=

1 0 0

2 4 4

3 4 4

4 8 0;

param h : 1 2 3 4 :=

1 0 3 2 2

2 3 0 1 51

3 2 1 0 4

4 2 5 4 0;

param l := 1 4

2 4

3 4

4 4;

end;

PARTE 4 - FORMULAÇÃO

1 Célula deve ter 1

única central

Custo cabeamento c

_ik

Custo de

handoff h

_ij

Demanda

por célula

(16)

GLPK Lab for Windows

PARTE 5 - RESULTADOS

Célula

Central 1 Central 2

1

0

2

4

3

4

8

0 Cel\Cel

1

2

3

4

1

0

3

2

3

0

1

51

3

2

1

0

4

2

5

4

0

1

2

1

2 Célula

1

2

3

4 Central

3

4

1

2

1 SOLUÇÃO ÓTIMA ENCONTRADA

(17)

Métodos de Solução

Força Bruta

Enumerar todas as possibilidades de solução e

escolher a melhor.

2

1

1 2 ...

1 n

Índice da célula i

Alocação célula i na central j

Um computador capaz de fazer 1 milhão de avaliações de

soluções por segundo levaria 10

31 _{anos !!!}

Se n = 65 e m = 5, então, o número de soluções possíveis é de:

5

65 ≅≅≅≅

₁₀

45 Redes de Telefonia Celular

Redes de Telefonia Celular

HEURÍSTICA 1

(18)

Algoritmos Genéticos

http://brainz.org/15-real-world-applications-genetic-algorithms/

Métodos de Solução

A evolução da espécie está relacionada com a

seleção natural dos indivíduos mais adaptados

ao seu meio.

Algoritmos Genéticos

Reprodução

Mutação

Seleção

Projeto

Alocação

1

0 2 ...

1 I

(19)

Métodos de Solução

Localização de Facilidades

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

(20)

REPRESENTAÇÃO

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

Aplicando Algoritmos Genéticos em Problemas Contínuos

(21)

Aplicando Algoritmos Genéticos em Problemas Contínuos

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

function [P] = initialize(m,n)

P = grand(n,m,”bin”,1,0.5);

endfunction

FUNÇÃO INITIALIZE

Função de distribuição de

probabilidade binomial

Número de testes

Probabilidade de sucesso

    

    

= 0 1 1

1 0 1

M O M M

L L

P

Número de

indivíduos

Número de cromossomos

(22)

function [fo] = evaluate(P)

[nind,nbits] = size(P);

x(1,1) = 1;

for j=2:nbits

**x(j,1) = x(j-1,1)*2;**

end

x = x(nbits:-1:1);

**fo = P*x;**

**fo = -1 + ((3*fo)/(2^22-1));**

endfunction

FUNÇÃO EVALUATE

            = 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 P             = 1 2 4 8 x

*

=

            = 4 8 5 9 fo

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

function [P2] = select(P1)

[n,m] = size(P1);

[fo] = evaluate(P1);

pfo = 1/(1 + fo);

cpfo = [0 cumsum(pfo)];

ind = find(cpfo <= r);

ind = ind(length(ind));

for j=1:n

P2(j,:) = P1(ind,:);

end

endfunction

FUNÇÃO SELECT

1 0 0 1

0 1 1 0

1 1 1 0

1 0 0 1

1 1 1 0

(23)

function testega1

// Número de indíviduos.

m = 4;

// Número de cromossomos.

n = 22;

[P] = initialize(n,m);

disp

(P);

[fo] = evaluate(P);

disp

(fo);

[P] = select(P);

disp

(P);

endfunction

FUNÇÃO SELECT

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

function [P2]= crossover(P,txc) [n,m] = size(P);

P2 = P;

k = round(n*txc); for i=1:k

pt = round((rand()*(m-1))+1); i1 = round((rand()*(n-1))+1); i2 = round((rand()*(n-1))+1); in1 = P(i1,:);

in2 = P(i2,:); for j=pt:length(in1)

in1(j) = P(i2,j); end

for j=pt:length(in2) in2(j) = P(i1,j); end

P2(i1,:) = in1; P2(i2,:) = in2; end

endfunction

FUNÇÃO CROSSOVER

1 0 0 1

1 1 1 0

1 0

1 1

0 1

(24)

function [P2]= mutation(P,txm)

[n,m] = size(P);

for i=1:txm

**i = round((rand()*(n-1))+1);**

**j = round((rand()*(m-1))+1);**

if (P(i,j) == 1) then

P(i,j) = 0;

else

P(i,j) = 1;

end

endfunction

FUNÇÃO MUTATION

1 0 0 1

1 1 1 0

1 0

1 1

0 1

MEU PRIMEIRO ALGORITMO GENÉTICO

for i=1:miter

[P]= crossover(P,txc); [P]= mutation(P,txm); [P] = selected(P); [fo] = evaluate(P); // Menor valor obtido. [aux,ind] = min(fo); if (aux < menor) then

menor = aux;

best = P(ind,:); end

mprintf('Iteração %d: %8.3f \n',i,menor);

end endfunction

FUNÇÃO TESTEGA2

function testega2

// Número de indíviduos. m = 4;

// Número de cromossomos. n = 22;

// Número de iterações. miter = 100;

// Taxa de Crossover. txc = 0.25;

// Taxa de Mutação. txm = 0.1;

// Inicializando. [P] = initialize(n,m); [fo] = evaluate(P); // Menor valor obtido. [menor,ind] = min(fo); best = P(ind,:);

mprintf('Iteração %d: %8.3f \n',0,menor);

(25)

for i=1:miter

[P]= crossover(P,txc); [P]= mutation(P,txm); [P] = selected(P); [fo] = evaluate(P); // Menor valor obtido. [aux,ind] = min(fo); if (aux < menor) then