Estudo do 16º Problema de Hilbert com ênfase no caso algébrico.

(1)

Programa de PósGraduação em Físi a e Matemáti a Apli ada

ESTUDO DO 16

o

PROBLEMA DE HILBERT

COM ÊNFASE NO CASO ALGÉBRICO

Fernando Félix Oliveira e Silva

(2)

Programa de PósGraduação em Físi a e Matemáti a Apli ada

ESTUDO DO 16

o

PROBLEMA DE HILBERT

Dissertação submetida ao Programa de Pós

Graduação em Físi a e Matemáti a Apli ada omo

parte dos requisitos para obtenção do Título de

Mestre em Ciên ias em Físi a e Matemáti a

Apli- ada.

Área de Con entração: Matemáti a Apli ada

Orientador: Prof. Dr. Luis Fernando de Osório

Mello

Setembro de 2013

(3)

Programa de Pós-Graduação em Físi a e Matemáti a Apli ada

ESTUDO DO 16

o

PROBLEMA DE HILBERT

Dissertação aprovada por ban a examinadora em 10 de

setembro de 2013, onferido aoautor otítulode Mestre em

Ciên ias em Físi a e Matemáti a Apli ada.

Ban a examinadora:

Prof. Dr. LuisFernando de OsórioMello (Orientador)

Prof. Dr. JaumeLlibre

Prof. Dr. FábioS al o Dias

Itajubá

(4)

Dedi o este trabalho aos meus pais Félixe Cida, a meus irmãos Daniel e Lívia, pois sem

(5)

Gostariadeagrade eratodosque, diretamenteounão, ontribuíramparaqueeu hegasse

até aqui e para queeste trabalho fosserealizado. Em espe ial, agradeço:

ADeus pelavida,porter me dadoforças para superaras di uldadese assimrealizar

este sonho, por tudo.

Aos meus pais: Félix Ferreira e Maria Apare ida, por serem meu maior exemplo de

superação, orgulho e de pessoas batalhadoras. Agradeço pela edu ação, por todos os

sa rifí ios que zeram para que nada faltasse nessa minha aminhada, pelo apoio e por

todoo arinho em todas asvezes em que eu estiveem Montes Claros. Agradeçotambém

aos meus irmãos Daniel Oliveira e Lívia Oliveira pelos vários momentos des ontraídos.

Não poderia esque er da minha avó maria e meus outros avós, v Mário, vó tutu em

memória. Muito obrigado, vo ês são o meu pilar entral, sem o qual eu desabaria em um

instante. Amovo ês! Obrigado porexistirem.

AosmeusfamiliaresdeMonteAzul-MGquesempremeapoiarametor erampelomeu

su esso.

Ao meu orientador Prof. Dr. LuisFernando Osório Mello,pelos ensinamentos queme

propor ionou, peloexemplopessoale prossionalqueé, pelas di as valiosasque

possibili-taram a realização deste trabalho.

ÀminhanamoradaKellyJa iara,peloamor, arinho,in entivo, ompreensãoe

pa iên- ianos váriosmomentosemqueostresseomauhumormedominaram,peloombroamigo

nashorasdifí eisedealegria. Agradeçotambémasuafamília,seupaiNelson,suamãe

Lu- iene,seus irmãosMi hael (Bura),Luisim,AlbaninhaePedroAnésio (Peu) pelaamizade,

e sua avó Albânia pelos momentos de des ontração.

(6)

Pedro Anésio e Hugo Costa pela onança, amizade, ensinamentos, et do primeiro e

amizade dos demais.

Aosprofessores dodepartamentode matemáti adaUNIMONTES(emparti ular,

Ro-sivaldo, Rosina, Grazi, Sebastião (Tiãozinho), Edson, Carine, Ezequiel Barbosa, Sérgio),

pelaamizadee pelaparti ipação na onstrução domeu onhe imento.

Aos professores dodepartamento de matemáti adaUNIFEI (em parti ular, LuisF

er-nando, Alexander, Antnio Fernandes, Ja son, Mariza, Már io, Fábio), pela amizade,

pelos onhe imentos e atenção.

Aosprofessores detodaminhavida,dapré-es ola àpós-graduação,queme inspiraram

e in entivaram.

Aos meus olegas de mestrado, Adriana, Adriano Braga, Alexandre (Limoeiro),

An-tnioMelo,Cleuber,Edson(Pelé),FernandoGuimarães,Filipe,Fran o,Gian arlo,Hemily,

Hugo Costa, Jarne, Luiz Fernando, Mariane, Marina, Marlon (Pindu a), Paulo Henrique

(PH), Thais, Cléia Niz, Tatiane e Warley Cunha, Tiago Ribeiro uja onvivên ia me foi

muito enrique edora.

Aos amigos de Itajubá, Adriano Braga, Celso, Cleuber, Edson, Elaine, Fernando

Guimarães, Fran o, Gian arlo, Hugo, Jarne, José Lu as, Néia, Paulo Henrique e Tiago

Ribeiro,pelaamizadee onvívio.

Agradeçoàban aexaminadora: Prof. Dr. JaumeLlibre eprof. Dr. FábioS al oDias

peladisponibilidade.

À CAPES, peloapoio nan eiro.

(7)

Podemosfa ilmenteperdoaruma riança quetem medo do es uro;a real tragédiada

vida équando os homenstêm medoda luz."

(8)

O objetivo desta dissertação é apresentar um estudo do 16 o

Problema de Hilbert

enfa-tizando o aso algébri o. Ini iamos om a teoria geral. Estudaremos os i los limites

algébri os enão algébri os, posteriormenteestudaremos arealização de uma onguração

de i los limitesenalizamos omoestudo de umaprova parao16 o

Problemade Hilbert

para i loslimitesalgébri osqueestão ontidosem urvasalgébri asinvariantesgenéri as.

Palavras have: 16 o

Problemade Hilbert, i lo limitealgébri o, urva algébri a

(9)

Theobje tiveofthisdissertationistopresentastudy ofthe 16thHilbertProblem

empha-sizing the algebrai ase. We begin with the general theory. We will study the algebrai

and not algebrai limit y les, later we willfo us on the study of a realization of a

on-gurationof limit y les. Finally,wegiveaproofof the 16thHilbertProblemfor algebrai

limit y les that are ontainedin generi invariant algebrai urves.

(10)

Agrade imentos ii Resumo v Abstra t vi Índi e vii Lista de Figuras ix 1 Introdução 1

2 Denições e resultados preliminares 3

3 Sistemas de equações diferen iais om i los limites não algébri os 15

3.1 O i lolimite da equaçãode vander Pol énão algébri o . . . 15

3.2 Apli açãode Poin aré . . . 21

3.3 Compa ti ação de Poin aré . . . 25

3.4 Exemplo de um sistema om i lo limite não algébri oexplí ito . . . 30

4 Realização de uma onguração de i los limites 37 4.1 Realizaçãode uma onguração de i los limites, 1 a versão . . . 38

4.2 Realizaçãode uma onguração de i los limites, 2 a versão . . . 44

4.3 Apli açõesdos Teoremas 4.1.2 e4.2.1 . . . 45

5 Sobre o 16 o

Problema de Hilbert para i los limites algébri os 51

(11)

(12)

2.1 Trajetórias do ampo

χ

. . . 4

2.2 Esboçodo retratode fasedo sistemaasso iado ao ampo(2.2). . . 7

2.3 Conguração de i los

C =

{C

1

, C

2

, C

3

}

do Exemplo2.0.5. . . 13

3.1 Grá o da transformaçãode Poin aré em i loslimitesestáveis e instáveis. . . . 22

3.2 Grá o da transformaçãode Poin aré em i loslimitessemi-estáveis. . . 23

3.3 Esboçoda transformaçãode Poin aré doExemplo 3.2.1. . . 24

3.4 Projeção entral. . . 26

3.5 Retrato defase nodis o de Poin aré do sistema(3.18). . . 36

4.1 Esboçodo retratode fasedo sistemadoExemplo 4.3.1. . . 47

4.2 Esboçodo retratode fasedo sistemadoExemplo 4.3.2. . . 48

(13)

Introdução

Considere a equação diferen ialnoplano

dx

dt

= P (x, y),

dy

dt

= Q(x, y),

(1.1)

onde

P

e

Q

são polinmiosnas variáveis

x

e

y

.

Ograu dosistema (1.1) é omáximo entre os graus dos polinmios

P

e

Q

, ou seja, se

d

1

= grau(P )

e

d

2

= grau(Q)

,então ograu dosistema (1.1) é igual aomáximo entre

d

1

e

d

2

.

EmParis,noanode1900,Hilbert[10℄noSegundoCongressoInterna ionalde

matemáti- os propósuma listade 23problemas relevantes para serem resolvidos. Na segunda parte

do 16 o

problema da lista proposta por Hilbert ele pergunta sobre o número máximo e a

posiçãorelativados i loslimitesdosistema

(1.1)

. Seo graudosistema(1.1)é1,ouseja,

(1.1)

é um sistemalinear, então elenão tem i lo limite. Este tem sido um dos prin ipais problemas na teoria qualitativa das equações diferen iais planares no sé ulo XX. Neste

trabalho enfatizaremosa versão algébri adeste problema.

Em[14℄, J. Llibre, R. Ramirez e N. Sadovskaia perguntam: É

1 + (n

− 1)(n − 2)/2

o número máximo de i los limites algébri os que um ampo vetorial polinomialde grau

n

pode ter?

Anoção de i lo limite apare eu nos anos 1891 e1897 nos trabalhos doPoin aré [18℄.

Em1986, Bamon[1℄ demonstroupara o aso de amposde vetores quadráti os, queo

sistema

(1.1)

tem nitos i los limites. Em 1991, (e 1992), Ilyashenko [11℄, (e É alle [8℄) mostraram em trabalhos independentes quequalquer ampo vetorial polinomialtem uma

(14)

quantidade nita de i los limites, mas não provam a existên ia de um limitante

supe-rior uniforme. Esse problema permane e aberto até para o ampo de vetores polinomial

quadráti o. Esses resultados (Bamon, e prin ipalmente Ilyashenko e É alle) tem sido os

prin ipaisresultados nessa área.

A dissertaçãoestá disposta daseguinte forma:

No Capítulo 2 será feita uma abordagem geral da teoria fundamental utilizada na

dissertação e será baseada em [7℄e [15℄.

Neste trabalho enfatizaremos o aso algébri o, porém no Capítulo 3 trataremos os

i los limites não algébri os. K.Odani em [16℄ foi oprimeiroa mostrar queo i lo limite

da equação de van der Pol é não algébri o, no entanto a expressão do i lo limite não é

dadaexpli itamente. EsteassuntoserátratadonaSeção3.1. J.LlibreeR.Benterkiem[2℄

exibem um sistema diferen ialpolinomialde grau três om um i lo limite não algébri o

explí ito. Este assuntoserá tratado naSeção 3.4.

Será estudado no Capítulo 4 uma espé ie de re ípro a do 16 o

Problema de Hilbert,

isto é, dado um onjunto nito de urvas de Jordan disjuntas no plano é possível exibir

um sistema diferen ial polinomial tendo essas urvas omo i los limites. Dois teoremas

(Teorema 4.1.2 e Teorema 4.2.1) exibem ampos vetoriaispolinomiaisrealizando a

on-guraçãode i loslimites dadaa menos de um homeomorsmo. Esses resultados estãoem

[13℄e [17℄, respe tivamente.

Em [14℄, J. Llibre, R. Ramirez e N. Sadovskaia provam que para um ampo vetorial

polinomial planar de grau

n

≥ 2

om urvas algébri as invariantes genéri as o número máximo de i los limitesalgébri os é

1 + (n

− 1)(n − 2)/2

,quando

n

épar, e

(n

− 1)(n −

2)/2

, quando

n

é ímpar e que, além disso, esses limitantes superiores são al ançados, ou seja, resolvem o 16

o

Problema de Hilbert para a lasse das urvas algébri as invariantes

genéri as. Este assunto será tratadono Capítulo5.

Por m, teremos uma on lusão, onde iremos sugerir alguns trabalhos a serem feitos

(15)

Denições e resultados preliminares

Neste apítuloenun iaremosasdeniçõesmaisutilizadasem nossotexto, tais omo i los

limites algébri os, ongurações de i los limites, et . Apresentaremos alguns resultados

relevantes paranossotrabalho. Conven ionaremosquefunçõesapli adasem letras

maiús- ulas denotará funções apli adas em vetores e funções apli adas em letras minús ulas

denotará funções apli adasem númerosreais. Este apítulo será baseado em [7℄e [15℄.

Considere osistema diferen ial

˙x = P (x, y),

˙y = Q(x, y),

(2.1)

onde

P

e

Q

são polinmiosreais de graus

m

e

n

, respe tivamente nas variáveis

x

e

y

,

˙x

e

˙y

denotam derivadas om respeito avariável independente

t

;

x

′

e

y

′

também denotarão

derivadas om respeito avariável independente

t

.

Denição 2.0.1. O grau do sistema

(2.1)

é o máximo entre os grausdos polinmios

P

e

Q

, ou seja, é o máximo entre os valores m e n.

Exemplo 2.0.1. Considere o sistema

˙x = P (x, y) = x

2

+ y

3

,

˙y = Q(x, y) = y

5

.

O grau deste sistema é o máximo entre o graus dos polinmios

P

e

Q

, logo é 5.

Denição 2.0.2. Um ampo de vetores de lasse

C

r

,

r

≥ 1

em

R

n

é uma apli ação

χ : U

_{⊂ R}

n

_{→ R}

n

, onde

U

é aberto em

R

n

.

(16)

PSfrag repla ements

I

t

R

U

ϕ

ϕ(t)

ϕ

′

_{(t) = χ(ϕ(t))}

Figura2.1: Trajetóriasdo ampo

χ

.

Ao ampovetorial

χ

está asso iado a equação diferen ialautnoma

X

′

_{= χ(X)}

, onde

X

′

=

dX

dt

e re ipro amente, à equação diferen ial autnoma está asso iado o ampo de vetores

χ

, onde

X

∈ U

e

U

é aberto em

R

n

. As soluções desta equação, isto é, as apli ações

diferen iáveis

ϕ : I

→ U

(

I

intervalo dareta) taisque

ϕ

′

(t) =

dϕ

dt

(t) = χ(ϕ(t))

para todo

t

∈ I

, são hamadas trajetórias ou urvas integrais de

χ

. Veja Figura 2.1.

Denição 2.0.3. Seja

χ : U

⊂ R

n

_{→ R}

n

um ampo de vetores em

R

n

, onde

U

é um aberto em

R

n

e

X

0

∈ U

,

X

0

é dito ponto singular ou ponto de equilíbrio do ampo

χ

se

χ(X

0

) = 0

e

X

0

é dito ponto regular de

χ

se

χ(X

0

)

6= 0

.

Denição 2.0.4. Um ponto singular

X

0

de um ampo vetorial

χ : U

⊂ R

n

_{→ R}

n

, de

lasse

C

r

,

r

≥ 1

, hama-se hiperbóli o se todos os autovalores da matriz ja obiana de

χ

em

X

0

,

Dχ(X

0

)

, tem partes reais diferente de zero.

O próximo teorema garantirá que o omportamento numa vizinhança de um ponto

singular hiperbóli oé sempre modeladopelo omportamento daparte linear.

Teorema 2.0.1 (Hartman-Grobman). Sejam

χ : U

→ R

n

um ampovetorial de lasse

C

1

no aberto

U

⊂ R

n

e

X

0

um ponto singular hiperbóli o. Então existem vizinhanças V de

X

0

em U e

W

de

0

em

R

n

(17)

A demonstração deste teorema, assim omo a teoria para entendê-lo, podem ser

en- ontrados em [20℄, página

294

.

Denição2.0.5. Seasolução

X(t) = (u(t), v(t))

dosistema

(2.1)

éumafunçãoperiódi a não onstante de t, ela é dita periódi a. O lugar geométri o desta solução em U é uma

trajetória fe hada do sistema.

Denição2.0.6. Seja

U

umsub onjunto aberto de

R

2

e

χ

∈ C

1

_(U)

um ampode vetores.

Para

X

0

∈ U,

onsiderea solução

φ(t, X

0

)

de umproblemade valor ini ial(PVI) denido sobre seu intervalo maximal de existên ia I. Então a apli ação

φ : ∆

⊂ R × U → U

é hamada de uxo da equação diferen ialou uxo gerado pelo ampo de vetores

χ

.

Exemplo 2.0.2. O sistema linear

˙x = 2x,

˙y =

−y

tem uxo dado por

φ : R

_{× R}

2

_{→ R}

2

φ(t, (x, y)) = (xe

2t

, ye

−t

).

Denição 2.0.7. Um i lo limite do sistema (2.1) é uma solução periódi a isolada do

onjunto de todas as órbitas periódi as do sistema (2.1), maispre isamente,

γ

é um i lo limite quando existe uma vizinhança V de

γ

tal que, em V,

γ

é a úni a órbita periódi a do sistema (2.1). Se um i lo limiteestá ontida em uma urva algébri a do plano,então

ele é algébri o, aso ontrário é hamado não algébri o.

Exemplo 2.0.3. Considere o ampo

χ(x, y) = (

_{−y − x(−1 + x}

2

_{+ y}

2

_{), x}

_{− y(−1 + x}

2

_{+ y}

2

_)).

(2.2)

Fazendo a mudança de oordenadas polares

x = r cos θ

e

y = r

sen

θ

, obtemos que

x = r cos θ

_{⇒ x}

′

= r

′

cos θ

_{− rθ}

′

sen

θ,

y = r

sen

θ

⇒ y

′

_{= r}

′

sen

θ + rθ

′

_{cos θ.}

Mas,

x

′

=

−y − x(−1 + x

2

_{+ y}

2

_{) =}

_−r

sen

θ

− r cos θ(−1 + r

2

_),

(18)

y

′

= x

− y(−1 + x

2

_{+ y}

2

_{) = r cos θ}

_{− r}

sen

θ(

−1 + r

2

_),

e assim,temos

−r

sen

θ

− r cos θ(−1 + r

2

_{) = r}

′

_{cos θ}

_{− rθ}

′

sen

θ,

r cos θ

− r

sen

θ(

−1 + r

2

_{) = r}

′

sen

θ + rθ

′

_{cos θ.}

Multipli ando

(

−r

sen

θ

− r cos θ(−1 + r

2

_{) = r}

′

_{cos θ}

_{− rθ}

′

sen

θ)

por

cos θ

e

(r cos θ

_{− r}

sen

θ(

−1 + r

2

_{) = r}

′

sen

θ + rθ

′

_{cos θ) por}

sen

θ

e em seguida somando as duasequações obtidas, temos

r

′

=

−r(−1 + r

2

_).

Agora multipli ando a equação

(

−r

sen

θ

− r cos θ(−1 + r

2

_{) = r}

′

_{cos θ}

_{− rθ}

′

sen

θ)

por

−

sen

θ

e

(r cos θ

_{− r}

sen

θ(

−1 + r

2

_{) = r}

′

sen

θ + rθ

′

_{cos θ)}

_por

_{cos θ}

e em seguida somando as duasequações obtidas, temos

θ

′

_{= 1.}

• θ

′

_{= 1 > 0}

, portanto, a omponente angular é res ente.

• r

′

₌

_{−r(−1 + r}

2

₎

, portanto, a omponente radial é res ente para

0 < r < 1

e de res ente para

r > 1

. Se

r = 1

, temos

r

′

_{= 0}

, e portanto, des revemos um ír ulo

C

de raio 1, já que a omponenteradial é onstante.

O retrato de fase é des rito na Figura

2.2

.

Denição 2.0.8. Considere o aso planar. Dizemos que um i lo limite

γ

é um i lo limite estável se existir um aberto

U

0

⊂ U

tal que

γ

⊂ U

0

e ω(X) = γ

para ada

X

∈ U

0

.

γ

é um i lo limite instável se existir um aberto

U

0

⊂ U

tal que

γ

⊂ U

0

e α(X) = γ

para ada

X

∈ U

0

.

γ

é um i lo limite semi-estável se existir um aberto

U

0

⊂ U

tal que

γ

_{⊂ U}

0

e ω(X) = γ

para ada

X

∈ U

0

∩ extγ e α(X) = γ

, para ada

X

∈ U

0

∩ intγ

ou então

ω(X) = γ

, para ada

X

∈ U

0

∩ intγ

e

α(X) = γ

, para ada

X

∈ U

0

∩ extγ

, onde

(19)

PSfrag repla ements

x

y

C

Figura2.2: Esboço do retratodefase dosistemaasso iadoao ampo (2.2).

Observação 2.0.1. O i lo limite

γ

é dito estável quando para todo

X

0

∈ U

0

tivermos

lim

t→+∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0.

γ

será instável quando para todo

X

0

∈ U

0

tivermos

lim

t→−∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0.

Finalmente

γ

será semi-estável quando para todo

X

0

∈ U

0

∩ extγ

tivermos

lim

t→+∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0

e para todo

X

0

∈ U

0

∩ intγ

tivermos

lim

t→−∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0,

ou para todo

X

0

∈ U

0

∩ intγ

tivermos

lim

t→+∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0

e para todo

X

0

∈ U

0

∩ extγ

tivermos

lim

t→−∞

d(φ(t, X

0

), γ) = 0.

(20)

Denição 2.0.9. Sejam

χ

um ampo de vetores

C

1

denido em um aberto

U

de

R

2

e

H : U

_{→ R}

,

C

1

_(U)

não onstante. Dizemosque

H

é uma integral primeira de

χ

em

U

se

H

permane e onstanteao longo das trajetórias de

χ

ontidas em

U

.

Denição 2.0.10. SejamU umsub onjunto abertodo

R

2

e

H : U

→ R

umaapli ação de lasse

C

2

. Um sistema da forma

x

′

=

∂H

∂y

,

y

′

₌

−

∂H

_∂x

,

(x, y)

_{∈ U}

é hamado um sistema Hamiltoniano.

x

′

_{= y,}

_y

′

₌

_−kx.

Tomemos

H(x, y) =

1

2 (y

2

_{+ kx}

2

_).

Segue que

∂H

∂x

(x, y) = kx e

∂H

∂y

(x, y) = y.

Logo, o sistema a ima pode ser rees rito da seguinte forma

x

′

=

∂H

∂y

,

y

′

₌

₋

∂H

∂x

,

ou seja, é Hamiltoniano.

Denição2.0.11. Um difeomorsmo

h : E

→ E

, ondeEéum sub onjuntoaberto do

R

n

,

preserva volume quando, para qualquer aberto limitado

E

1

⊂ E

, os onjuntos

h(E

1

) e E

1

tem o mesmo volume.

Opróximoresultado pode ser en ontrado em [6℄, p. 266.

Teorema 2.0.2. Um difeomorsmo

h : E

→ E

de lasse

C

1

de um aberto

E

⊂ R

n

preservavolume se, e somente se,o determinanteja obiano de

h

tem valor absoluto ons-tante e igual a

1

, ou seja se, e somente se,

| det(Dh(X

0

))

| = 1.

(21)

Demonstração: Usaremos vol para indi ar volume, por exemplo: vol

U =

volume de

U

.

Ademonstraçãoseguedadeniçãodevolumeem

R

n

edoteoremademudançadevariáveis

emintegraismúltiplasparaabertoslimitados

U

⊂ E

edifeomorsmos

h : E

→ E

de lasse

C

1

. Vale

vol U =

Z

U

dX =

Z

h

−1

_{(U )}

| det(Dh(X))|dX

e, portanto,em parti ular,

vol h(U) =

Z

h(U )

dX =

Z

U

| det(Dh(X))|dX

(notequees revemosasintegraismúltiplasem onjuntosdo

R

n

omumsinaldeintegração

sóe om

dX

em vez do ostumeiro

dx

1

...dx

n

do ál ulo,masissonãodeve ausar onfusão om as integrais em uma variável).

Se

| det(Dh(X

0

))

| = 1

para qualquer

X

0

∈ E

, então temos

vol h(U) =

Z

U

| det(Dh(X))|dX =

Z

U

dX = vol U,

ou seja,

h

preserva volume. Re ipro amente, supondo que

| det(Dh(X))|

não é ons-tante igual a

1

em

E

, por exemplo

| det(Dh(Y

0

))

| > 1

para algum ponto

Y

0

∈ E

, pela ontinuidade de

det(Dh(X))

, obtemos

a > 1

e um aberto limitado

U

⊂ E

tal que

| det(Dh(Y ))| ≥ a > 1

para ada

Y

∈ U

e, portanto,

vol h(U)

_≥

Z

U

a.dX = a.vol U > vol U,

ou seja,

h

não preserva volume.

Agora, onsidere

χ : R

n

_{→ R}

n

um ampode vetores polinomial ujo uxo

φ

t

: E

→ E

está denido para todo

t

real.

Denição 2.0.12. Dizemos que o uxo do ampo

χ

preserva volume A se

A(φ

t

(E

1

)) = A(E

1

),

(22)

Seja

χ : U

⊂ R

n

_{→ R}

n

,

U

aberto em

R

n

,

χ(x

1

, x

2

, ..., x

n

) = (f

1

(x

1

, ..., x

n

), f

2

(x

1

, ..., x

n

), ..., f

n

(x

1

, ..., x

n

))

um ampo vetorial

C

1

_(U)

. Re orde quea divergên ia (denotado pordiv) do ampo

χ

no ponto

X

∈ U

éo traço (tr) damatriz ja obianade

χ

apli adoem

X

, ouseja,

divχ(X) = trDχ(X) =

∂f

1

∂x

1

(X) + ... +

∂f

n

∂x

n

(X).

O teorema a seguir (Teorema de Liouville) garante que a divergên ia de um ampo

determina ataxade variaçãodovolume pelaaçãodouxo do ampo. Para maisdetalhes

veja [6℄, p. 267.

Teorema 2.0.3 (Teorema de Liouville). Se um ampo de lasse

C

1

tem divergên ia

nula, então seuuxo preserva volume.

Demonstração: Pelafórmulade Liouville,

det(Dφ

t

(X)) = exp

Z

t

0

trDχ(φ

s

(X))(X)ds

.

Como div

χ = 0

, temos

A(φ

t

(E

1

)) =

Z

E

1

det(Dφ

t

(X))dX =

Z

E

1

exp

Z

t

0

trDχ(φ

s

(X))(X)ds

dX =

Z

E

1

dX = A(E

1

).

Portanto,o uxo preservavolume.

O Teorema de Liouville assegura que o volume de

φ

t

(E

1

)

é onstante em

t

, de modo que não é possível que todas estas trajetórias se afastem umas das outras, pois, isto

ausaria uma expansão do volume de

E

1

: se existiruma direção em queas trajetórias se afastem umasdas outras,deveria também existirumaoutradireçãoem queastrajetórias

se aproximamumas das outras.

Opróximoresultado garanteque o uxo de ampos Hamiltonianospreserva volume.

Proposição 2.0.1. O uxo de um ampo Hamiltoniano preserva volume.

Demonstração: Consideremos um sistema Hamiltoniano

χ

,ou seja,

x

′

=

∂H

∂y

,

y

′

₌

−

∂H

(23)

PeloTeoremade Liouville,basta mostrarmosquediv

χ = 0

. Noteque, de

H

ser de lasse

C

2

, segue

∂

∂x

∂H

∂y

=

∂

2

_H

∂x∂y

=

∂

2

H

∂y∂x

=

∂

∂y

∂H

∂x

,

portanto,

divχ = trDχ =

∂

∂x

∂H

∂y

+

∂

∂y

−

∂H

∂x

= 0.

Logo,todo ampoHamiltonianotemdivergên ianula,oqueimpli aqueouxodo ampo

χ

preserva volume.

Denição 2.0.13. Seja

χ

um ampo de vetores omo no sistema

(2.1)

,

C

1

denido em um aberto

U

de

R

2

. Então,

χ

é exato em

U

se

∂P

∂x

=

−

∂Q

∂y

para todo

(x, y)

∈ U

. Além disso, se

U

é simplesmente onexo, então existe uma função

H : U

→ R

satisfazendo:

P =

₋

∂H

∂y

,

Q =

∂H

∂x

.

Portanto, a função

H

é a Hamiltoniana do ampo de vetores Hamiltoniano

χ

.

Denição 2.0.14. Sejam

χ

um ampo vetorial denido em um aberto

U

e

V : U

→ R

uma função de lasse

C

1

. Denimos a derivada de

V

na direção do ampo

χ

no ponto

X

_{∈ U}

, denotadopor

χV

, por

χV =

_{∇V (X) · χ(X).}

Proposição 2.0.2. Se um sistema é Hamiltoniano, então a apli ação

H

é uma integral primeira do sistema Hamiltoniano, ou seja,

H(x, y)

permane e onstante ao longo das trajetórias do sistema.

Demonstração: Observe que

˙

H =

∂H

∂x

dx

dt

+

∂H

∂y

dy

dt

=

∂H

∂x

∂H

∂y

+

∂H

∂y

−∂H

∂x

= 0.

(24)

Denição 2.0.15. Uma função

R : U

→ R

,

C

1

_(U)

,

U

⊂ R

2

é um fator integrante do

ampo de vetores

χ = (P, Q)

, quando

∂(RP )

∂x

=

−

∂(RQ)

∂y

.

Uma função

V : U

→ R

,

C

1

_(U)

é um fator integrante inverso do ampo de vetores

χ

quando satisfaz a equação

P

∂V

∂x

+ Q

∂V

∂y

=

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

V

em

U

.

Proposição 2.0.3. Se

V

é umfator integrante inverso do sistema

(2.1)

, então o sistema asso iado ao ampo

1 V

(P, Q)

é Hamiltoniano.

Demonstração: Como

V

é um fator integrante inverso do sistema

(2.1)

,

V

é solução da equaçãodiferen ial par iallinear

P

∂V

∂x

+ Q

∂V

∂y

=

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

V,

(x, y)

∈ U.

Tomemos

H(x, y) =

Z

1 V

P dy + c,

onde

c

éuma onstante. Daí,

∂H

∂x

=

Z

∂

∂x

1 V

P

dy =

Z

−

1 V

2

∂V

∂x

P +

1 V

∂P

∂x

dy =

Z

−

1 V

2

P

∂V

∂x

−

∂P

∂x

V

dy.

De

V

ser um fatorintegranteinverso

P

∂V

∂x

−

∂P

∂x

V =

∂Q

∂y

V

− Q

∂V

∂y

,

assim,

∂H

∂x

=

Z

−

1 V

2

∂V

∂x

P

− V

∂P

∂x

dy =

Z

−

1 V

2

∂Q

∂y

V

− Q

∂V

∂y

dy =

=

Z

₁

V

2

∂V

∂y

Q

−

1 V

∂Q

∂y

dy =

Z

∂

∂y

−

_V

1 Q

dy =

₋

1 V

Q.

(25)

PSfrag repla ements

x

y

C

1

C

2

C

3

−1

1

Figura 2.3: Conguraçãode i los

C =

{C

1

, C

2

, C

3

}

doExemplo 2.0.5. Poroutro lado, temos

∂H

∂y

=

Z

_∂

∂y

1 V

P

dy =

1 V

P.

Porm, omo

H

é de lasse

C

2

, osistema asso iado ao ampo

1 V

(P, Q)

é Hamiltoniano.

Denição 2.0.16. Uma onguração de i losé um onjunto nito

C =

{C

1

, ..., C

n

}

de urvas simples, fe hadas e disjuntas do plano.

Denição 2.0.17. Dada uma onguração de i los

C =

{C

1

, ..., C

n

}

, a urva

C

j

é dita primária se não existe uma urva

C

i

∈ C

no interior da região limitada por

C

j

.

Exemplo 2.0.5. Considere

C =

{C

1

, C

2

, C

3

}

, onde

C

1

= (x + 1)

2

+ y

2

− 1, C

2

= (x + 1)

2

+ y

2

−

1

2 e C

3

= (x

− 1)

2

_{+ y}

2

−

1 ₂

.

As urvas

C

2

e

C

3

são primárias, visto que não existeuma urva

C

i

∈ C

, no interior da região limitada por

C

2

e

C

3

. Veja Figura

2.3

.

Denição 2.0.18. Duas ongurações de i los

C =

{C

1

, ..., C

n

}

e

C

′

₌

_{C

′

1

, ..., C

m

′

}

são (topologi amente) equivalentes se existe um homeomorsmo

h : R

2

_{→ R}

2

tal que

h

n

[

i=1

C

i

!

=

m

[

i=1

C

′

i

!

.

(26)

Proposição 2.0.4. Sejam

C =

{C

1

, ..., C

n

}

e

C

′

₌

_{C

′

1

, ..., C

m

′

}

duas ongurações equi-valentes de i los, então

n = m

.

Demonstração: Sejam

C =

{C

1

, ..., C

n

}

e

C

′

₌

_{C

′

1

, ..., C

m

′

}

duas ongurações equi-valentes de i los e suponha que

m

6= n

, ou seja,

m < n

ou

m > n

. Faremos o aso

m > n

, ooutro aso éanálogo. Como ada

C

i

, 1

≤ i ≤ n

, é ompa to e onexo e

h

éum homeomorsmo, temos que

h(C

1

), ..., h(C

n

)

é ompa to e onexo e omo

h

n

[

i=1

C

i

!

=

m

[

i=1

C

′

i

!

segue que o número de urvas no domínio deve ser igual ao número de urvas no

on-tradomínio, oque é uma ontradição om nossa hipótese.

Denição2.0.19. Dizemosqueumaequaçãodiferen ialpolinomialrealizaa onguração

(27)

Sistemas de equações diferen iais om

i los limites não algébri os

Neste apítulotrataremosos i loslimitesnão algébri os. Naprimeiraseçãomostraremos

que o i lolimitedaequação de vander Polénão algébri oenãoexplí ito. Naverdadeo

resultado queserámostrado naprimeiraseçãoémais amplo. NaSeção3.4 exibiremosum

sistema diferen ial polinomial de grau três om i lo limite não algébri o explí ito. Tal

i lo limite será também estável e hiperbóli o e ilustraremos seu retrato de fase no dis o

de Poin aré. As seções 3.2 e 3.3 (Apli ação de Poin aré e Compa ti ação de Poin aré)

serão úteispara entendermosmelhor i lolimite hiperbóli o, estabilidadede i loslimites

e ompa ti ação de Poin aré. Com a ompa ti ação de Poin aré é possível fazer um

estudo das órbitas de um ampo polinomial no innito e om a apli ação de Poin aré

podemosestudara estabilidadede i los limites. A Seção3.1 ébaseada em [16℄e aSeção

3.4 ébaseada em [2℄.

3.1 O i lo limite da equação de van der Pol é não

al-gébri o

Nesta seçãomostraremosqueas urvassoluçõesde sistemasdeLiénardsatisfazendo

algu-mas exigên ias,queserãoespe i adas, são nãoalgébri as. Como oroláriodesseteorema

(28)

limite daequação de vander Polé não algébri o.

f

x

e

f

y

denotará derivada om respeito a variávelsubs rita. Nesta seção apenas teremos omo variáveis

x

e

y

.

Teorema 3.1.1. Se um sistema polinomial de Liénard

˙x = y,

˙y =

_{−f(x)y − g(x),}

(3.1)

satisfaz:

(i)

f, g

6= 0

,

(ii) grau(

f

)

≥

grau(

g

),

(iii)

g/f

6=

onstante,

então, o sistema 3.1 não tem urvas soluções algébri as.

Olema a seguirserá essen ialpara a provado Teorema

3.1.1

.

Lema 3.1.1. Se a urva solução do sistema polinomial

˙x = P (x, y),

˙y = Q(x, y),

(3.2)

está ontida em uma urva algébri a irredutível

Φ = 0

, então existe um polinmio

h(x, y)

satisfazendo

P (x, y)Φ

x

(x, y) + Q(x, y)Φ

y

(x, y) = h(x, y)Φ(x, y).

(3.3)

Re ipro amente,se aequação

(3.3)

ésatisfeita,entãoa urvaalgébri a

Φ = 0

éuma urva invariante do sistema

(3.2)

.

Demonstração: Diferen iando a equação

Φ = 0

, temos

Φ

x

˙x + Φ

y

˙y = 0

, ou seja, o lado esquerdo daequação

(3.3)

é identi amentenulo. Isto impli aque o produto interno

(Φ

x

, Φ

y

).( ˙x, ˙y)

é identi amente nulo, e portanto,

(Φ

x

, Φ

y

)

é ortogonal a

( ˙x, ˙y)

em todo ponto. Logo o lado esquerdo tem

Φ

omo fator omum pelo Teorema III.3.1 de [23℄, isso prova a primeiraparte dolema.

A re ípro a pode ser feita de maneiraanáloga.

(29)

Demonstração: Assumamosque uma urva solução dosistema

(3.1)

está ontida em uma urva algébri airredutível

Φ = 0

,então usandoo Lema

3.1.1

obtemos

h(x, y)Φ(x, y)

− yΦ

x

(x, y) + yf (x)Φ

y

(x, y) + g(x)Φ

y

(x, y) = 0.

(3.4)

Rees reveremos

Φ(x, y)

e

h(x, y)

daseguinteforma:

Φ(x, y) =

k

X

j=0

Φ

j

(x)y

j

, onde Φ

k

(x)

6= 0,

h(x, y) =

l

X

j=0

h

j

(x)y

j

,

M = grau(f ) e N = grau(g).

Rees revendo agora a equação

(3.4)

e olo andoo termo

y

i

,

0 ≤ i ≤ k + l

, em evidên ia onseguimos

0 = y

0

[Φ

0

(x)h

0

(x) + g(x)Φ

1

(x)] + y[h

0

(x)Φ

1

(x) + h

1

(x)Φ

0

(x)

− Φ

′

0

(x) + 2g(x)Φ

2

(x))]

+... + y

k+l−1

[Φ

k

(x)h

l−1

(x) + Φ

k−1

(x)h

l

(x)] + y

k+l

[Φ

k

(x)h

l

(x)].

Como

Φ

k

(x)

6= 0

, temos que

h

l

(x) = 0

. Continuando analisando os termos de

y

k+j

,

2 ≤ j ≤ l

,vemos que

h

j

(x) = 0, j = 2, ..., l.

Analisando agorao termo de

y

k+1

, temos

−Φ

′

k

(x) + h

1

(x)Φ

k

(x) = 0.

Como

h

1

(x)

é um polinmio onseguimos que

h

1

(x) = 0

e

Φ

′

k

(x) = 0

, o que impli a

Φ

k

(x) =

onstante. Assim, obtemos que

h(x, y) = h

0

(x)

.

A partir de agora omitiremos a variável

x

nas funções. Comparando os termos de

y

j

,

temos

−Φ

′

j−1

+ h

0

Φ

j

+ jf Φ

j

+ (j + 1)gΦ

j+1

= 0.

(3.5)

Sejam

m

ograumáximo dospolinmios

Φ

j

e

n

osuxotalquegrau

(Φ

n

) = m

. Colo ando

j = n

naequação

(3.5)

,temos

(30)

Note que olado direito da equação

(3.6)

tem grau menor doque

m + N

. Como

M

≥ N

, o lado direito da equação

(3.6)

tem grau menor do que

m + M

− 1

. Assim, obtemos grau

(h

0

+ nf ) < M

e, portanto, grau

(h

0

+ jf ) = M

, para

j

6= n

.

Colo ando

j = k

naequação

(3.5)

, temos

Φ

′

_k−1

= [h

0

+ kf ]Φ

k

.

Como

Φ

k

é onstante não nulo, temos que grau

(Φ

′

k−1

) =

grau

([h

0

+ kf ]) = M

. Portanto, grau

(Φ

k−1

) = M + 1

. Colo ando

j = k

− 1

naequação

(3.5)

, temos

Φ

′

_k−2

= [h

0

+ (k

− 1)f]Φ

k−1

+ kgΦ

k

,

assim, grau

(Φ

′

k−2

) =

grau

([h

0

+ (k

− 1)f]Φ

k−1

) = M + M + 1

. Portanto, grau

(Φ

k−2

)) =

2(M + 1).

Repetindoesse pro esso,temos

grau(Φ

k−j

) = j(M + 1), 0

≤ j ≤ k − n.

(3.7)

Colo ando

j = k

− n

na equação

(3.7)

, temos

grau(Φ

n

) = (k

− n)(M + 1), portanto, m = r(M + 1), onde r = k − n.

Apli ando

(3.7)

om

j = k

− (n + 1)

,temos quegrau

(Φ

n+1

) = m

− M − 1

. Assim, o grau do lado direitode

(3.6)

émenor ouigual a

m

− 1

. Portanto,

h

0

=

−nf

.

Agora suporemos que

Φ

k

= 1

, ou seja,esteja normalizado em erto sentido. Colo ando

j = k

em

(3.5)

, temos

Φ

′

k−1

= [h

0

+ kf ]Φ

k

= [

−nf + kf]Φ

k

= rf.

De

Φ

′

k−1

= rf

,temos, por integração,

Φ

k−1

= rF + R

0

, onde F

′

= f.

Denotaremos

R

j

porum polinmio de grau até

j

. Colo ando

j = k

− 1

em

(3.5)

, onseguimos

Φ

′

k−2

= [h

0

+ (k

− 1)f]Φ

k−1

+ kgΦ

k

= r(r

− 1)fF + (r − 1)fR

0

+ kg,

onde integrando, temos

Φ

k−2

=

r(r

_{− 1)}

2 F

2

_{+ R}

M +1

.

(31)

Repetindo esse pro edimento,temos

Φ

k−j

= C

j

F

j

+ R

(j−1)(M +1)

, 1

≤ j ≤ r, C

j

=

_j!(r−j)!

r!

.

(3.8)

Colo ando

j = n

em

(3.5)

e lembrandoque

h

0

=

−nf

, temos

Φ

′

_n−1

= (n + 1)gΦ

n+1

.

Usando

(3.8)

om

j = k

− (n + 1) = r − 1

, temos

Φ

n+1

= r[F

r−1

] + R

(r−2)(M +1)

,

e, portanto,

Φ

′

n−1

= r(n + 1)gF

r−1

+ R

m−M −2

.

(3.9)

Poroutro lado, olo ando

j = n

− 1

em

(3.5)

, onseguimos

Φ

′

n−2

= [h

0

+ (n

− 1)f]Φ

n−1

+ ngΦ

n

=

−fΦ

n−1

+ ngΦ

n

,

o queimpli a que

Φ

n−1

=

ngΦ

n

− Φ

′

n−2

f

.

Usando

(3.8)

, temos

Φ

n

= F

r

_{+ R}

m−M −1

eassim, onseguimos

Φ

n−1

=

ngF

r

_{+ R}

M −1

− Φ

′

n−2

f

,

logo

Φ

n−1

=

ngF

r

_{+ R}

M −1

f

,

já que ograu

(Φ

′

n−2

) < m.

Agora diferen iando,temos

Φ

′

_n−1

=

f [ngF

r

_{+ R}

M −1

]

′

− [ngF

r

+ R

M −1

]f

′

f

2

,

logo

f

2

_Φ

′

n−1

= nf g

′

F

r

+ rngf

2

F

r−1

− ngf

′

F

r

+ R

m+M −2

.

(3.10) Usando

(3.9)

e

(3.10)

,obtemos

nf g

′

F

r

+ rngf

2

F

r−1

_{− ngf}

′

F

r

+ R

m+M −2

= f

2

(r(n + 1)gF

r−1

+ R

m−M −2

),

(32)

portanto,

rf

2

gF

r−1

+ nF

r

[gf

′

_{− fg}

′

] = R

m+M −2

.

Comparando ostermos de maior grau onseguimos

r(M + 1) + n(M

− N) = 0,

omo

n(M

− N) ≥ 0

e

r(M + 1) = m

é não negativo,temos

r(M + 1) = m = 0.

Análise a ima impli a que

Φ

j

(x) = 0

, para todo

j = 1, ..., k

, portanto,

Φ(x, y)

depende apenas davariável

y

,ouseja,

Φ(x, y) = Φ(y)

. Armamosque

Φ

pode seres rito daforma

Φ(y) = y + C,

onde

C

é uma onstante, de fato,

Φ

é irredutível em uma só variável sobre o orpo dos reais, suponha que

Φ

possa ser es rito naforma

ay

2

_{+ by + c}

, om

a

6= 0

, então

b

2

_{− 4ac < 0.}

(3.11)

Usando essa es rita de

Φ

em (3.3), temos

2af = naf,

(3.12)

f b + 2ag = nf b,

(3.13)

gb = nf c.

(3.14)

Portanto, de (3.12), temos

n = 2

, já que

a

6= 0

e

f

6= 0

. De (3.14), temos que se

b = 0

, então

c = 0

, mas isso é uma ontradição om (3.11). Então,

b

6= 0

e

c

6= 0

. De (3.13) e (3.14), onseguimos,respe tivamente,

g =

f b

2a

e g =

2f c

b

,

portanto,

f b

2a

=

2f c

b

.

Logo,

4ac = b

2

. Issoimpli aque

b

2

_{−4ac = 0}

,queéuma ontradição om(3.11). Portanto

a = 0

. Ou seja,

Φ

é um polinmiode grau 1da seguinte forma

(33)

Usando

(3.4)

, temos

g/f = C,

o queé uma ontradição om

(iii)

doteorema.

Corolário 3.1.1. O sistema de van der Pol

˙x = y,

˙y =

−µ(x

2

_{− 1)y − x,}

_µ

_{6= 0,}

não tem urvas soluções algébri as. Em parti ular, seu i lo limite é não algébri o.

3.2 Apli ação de Poin aré

A transformação de Poin aré asso iada a uma órbita fe hada

γ

de um ampo vetorial é um difeomorsmo

π

quedes reve o omportamentodo ampo em uma vizinhançade

γ

.

Sejam

{ϕ(t, p) : 0 ≤ t ≤ T }

uma órbita periódi a de período

T

de um ampo

χ

de lasse

C

r

,

r

≥ 1 ou r = ω

, denido no aberto

U

⊂ R

2

e

P

uma seção transversal a

χ

em

p

. Em virtude da ontinuidade do uxo

ϕ

de

χ

, para todo ponto

q

∈

P

próximo de

p

a trajetória

ϕ(t, p)

permane e próxima a

γ

, om

t

em um intervalo ompa to pré-xado, por exemplo,

[0, 2T ]

. Dene-se

π(q)

omo o primeiro ponto onde esta órbita inter epta

P

. Seja

P

0

o domíniode

π

. Naturalmente

p

∈

P

0

e

π(p) = p

. Épossívelmostrarque

π :

P

0

→

P

éumdifeomorsmode lasse

C

r

_{, r}

_{≥ 1 ou r = ω}

,

sobre sua imagem

P

1

= π(

P

0

)

.

Observação 3.2.1. Rela ionaremos i los limites om a apli ação de Poin aré:

γ

será um i lo limite de

χ

passando por

p

se, e somente se,

p

é um ponto xo isolado de

π

. Ainda,

1.

γ

é estável se, e somente se,

| π(x) − p |<| x − p |

, para todo

x

6= p

su ientemente próximo de p.

2.

γ

é instável se, e somente se,

| π(x) − p |>| x − p |

, para todo

x

6= p

su ientemente próximo de p.

(34)

22

γ

P

Estavel

y

x

y = x

graf π

Instavel

Figura3.1: Grá o datransformação dePoin aré em i los limitesestáveis einstáveis.

3.

γ

é semi-estável se, e somente se,

| π(x) − p |<| x − p |

, para todo

x

∈

P ∩extγ

su ientementepróximode pe

| π(x)−p |>| x−p |

,paratodo

x

∈

P ∩intγ

su ien-temente próximo de p, ou o ontrário, (int denota interior e ext denota exterior).

Emparti ular, se

χ

é analíti oe

π(x)

não é aidentidade,então

π(x) = p + a

k

(x

− p)

k

+ ...,

om

a

k

6= 0

.

Portanto, se

k

é ímpar, então

γ

é estável se

a

k

< 0

e instável se

a

k

> 0

. Se

k

é par, então

γ

é semi-estável. Se

π(x) = x

, isto é, todos os

a

k

são zero, então

γ

está no interior de um anel de órbitas periódi as de

χ

.

No aso em que

χ

é

C

1

, se

π

′

_{(x) < 1}

, podemos apli ar o teorema do valor médio e

on luir que

γ

é estável. Por outro lado,

γ

é instável se

π

′

_{(x) > 1}

. As Figuras 3.1 e 3.2

ilustram asapli ações de Poin aré e seus grá os.

Oresultado a seguir forne e aexpressão de

π

′

_(x)

.

Teorema 3.2.1. Sejam

U

umsub onjunto aberto do

R

2

e

χ = (P, Q)

∈ C

1

_(U)

um ampo

de vetores. Sejam

γ

umaórbitaperiódi ado sistemadiferen ial orrespondentede período

T

e

π :

P

0

→

P

a apli ação de Poin aré em uma seção transversal

P

em

x

∈ γ

. Então

π

′

_{(x) = exp}

Z

T

0

divχ(γ(t))dt

.

Em parti ular, se

Z

T

0

divχ(γ(t))dt < 0,

(35)

PSfrag repla ements

γ

P

semi

− estaveis

y

x

y = x

graf π

Figura3.2: Grá o da transformaçãode Poin aré em i loslimites semi-estáveis.

então,

γ

é um i lo limite estável e se

Z

T

0

divχ(γ(t))dt > 0,

então,

γ

é um i lo limiteinstável. No aso do valor da integral serzero, podemoster um i lo limiteestável, instável ou semi-estável, ou perten er a um anel de i los.

A demonstração deste teorema não será feita aqui, mas pode ser en ontrada em [21℄,

página 30.

Denição3.2.1. Sejam

U

umsub onjuntoabertodo

R

2

e

χ = (P, Q)

∈ C

1

_(U)

um ampo

de vetores. Sejam

γ

umaórbitaperiódi ado sistemadiferen ial orrespondentede período

T

e

π :

P

0

→

P

aapli açãodePoin aréemumaseçãotransversal

P

em

x

∈ γ

. Dizemos que

γ

é hiperbóli o quando

π

′

_(x)

_{6= 1}

, quando

π

′

_{(x) = 1}

dizemos que

γ

é não hiperbóli o.

x

′

=

−y + x(1 − x

2

_{− y}

2

_),

_y

′

_{= x + y(1}

_{− x}

2

_{− y}

2

_).

Fazendo as mudanças de oordenadas polares e os devidos passos, obtemos

r

′

= r(1

_{− r}

2

),

θ

′

= 1,

que possui um i lo limite

γ

parametrizado por

γ(t) = (cos(t),

sen

(t))

. Analisemos, então a apli ação de Poin aré do sistema

(36)

PSfrag repla ements

x

y

r

0

π(r

0

)

1

0 γ

θ

0

Figura3.3: Esboço datransformação dePoin aré do Exemplo3.2.1.

Consideremosqueno tempo ini ial

t

0

= 0

, temos a ondição ini ial

r(0) = r

0

e

θ(0) = θ

0

. Resolvendo o sistema ( oordenadas polares), obtemos

r(t, r

0

) =

1 +

1 r

2

0

− 1

e

−2t

−1/2

,

θ(t, θ

0

) = t + θ

0

.

Se

P

é o raio que passa pela origem om o ângulo

θ = θ

0

, então,

P

é perpendi ular à

γ

e a órbita passando pelo ponto

(r

0

, θ

0

)

em

t = 0

, ruza o raio novamente em

t = 2π

, onforme a Figura 3.3.

Portanto, a apli ação de Poin aré é dada por

π(r

0

) =

1 +

1 r

2

0

− 1

e

−4π

−1/2

,

θ(t, θ

0

) = t + θ

0

.

Vemos que

π(1) = 1

orresponde ao i lo

γ

e segue que

π

′

(r

0

) = e

−4π

r

−3

0

1 +

1 r

2

0

− 1

e

−4π

−3/2

,

e

π

′

_{(1) = e}

−4π

_{< 1}

, o que omprova que

γ

é estável e hiperbóli o. Por outro lado, em oordenadas artesianas, omo

γ(t) = (cos t,

sen

t)

, segue que

divχ(γ(t)) = 2

_{− 4 cos}

2

t

_{− 4}

sen

2

_t,

e

Z

2π

0

divχ(γ(t))dt =

Z

2π

0

(2

− 4 cos

2

_t

_{− 4}

sen

2

_{t)dt =}

_−4π.

(37)

Assim, pelo Teorema 3.2.1, temos

π

′

(x

0

) = e

−4π

,

que onfere om o ál ulo direto.

3.3 Compa ti ação de Poin aré

Faremos agora uma dis ussão sobre a ompa ti açãode Poin aré.

Denição 3.3.1. Chamaremosa esfera

S

2

₌

_{(y

₁

_{, y}

₂

_{, y}

₃

₎

_{∈ R}

3

_{: y}

2

1

+ y

2

+ y

2

3

= 1

}

de esfera de Poin aré. O plano

T

P

N

S

2

₌

{(x

1

, x

2

, x

3

)

∈ R

3

; x

3

= 1

}

é tangentea esfera

S

2

em

P

N

= (0, 0, 1)

.

Nesta seção onven ionaremosqueas oordenadas

y

i

sereferirão àesfera

S

2

eas oor-denadas

x

i

aoplano

T

P

N

S

2

. Denição 3.3.2. Deniremos

H

+

=

{(y

1

, y

2

, y

3

)

∈ S

2

; y

3

> 0

}

omo sendo o hemisfério norte,

H

−

=

{(y

1

, y

2

, y

3

)

∈ S

2

; y

3

< 0

}

omo sendo o hemisfério sul e

S

1

₌

_{(y

₁

_{, y}

₂

_{, y}

₃

₎

_{∈ S}

2

_{; y}

₃

_{= 0}

_}

(38)

PSfrag repla ements

p = (x

1

, x

2

, 1)

y

1

f

+

_(p)

f

−

_(p)

y

2

T

P

N

S

2

Figura3.4: Projeção entral.

A ompa ti açãodePoin arédeum ampodevetores

χ

onsisteemfazerduas ópias do uxo de

χ

, uma sobre

H

+

e a outra sobre

H

−

, usando a projeção entral. Para isso onsideremos uma reta

L(t)

queune a origem aum pontodo

T

P

N

S

2

,

L(t) = (0, 0, 0) + t(x

1

, x

2

, 1), t

∈ R.

Esta reta inter epta aesfera

S

2

em dois pontos, um no hemisférionorte e o outro nosul.

Veja Figura3.4.

Agora onsiderandoaprojeçãodo ampovetorial

χ

de

R

2

_{≈ T}

P

N

S

2

para

S

2

dadapelas

projeções entrais, temos dois difeomorsmos

f

+

: T

P

N

S

2

_{→ H}

+

,

f

−

: T

P

N

S

2

_{→ H}

−

istoé,

f

+

_(p)

,(resp

f

−

_(p)

)éainterse ção daretaquepassa peloponto

p

ligandoaorigem om o hemisférionorte, (resp. sul), de

S

2

, ujas expressões são dadas por

f

+

(x

1

, x

2

, 1) =

(x

1

, x

2

, 1)

△(x)

,

f

−

_(x

1

, x

2

, 1) =

−

(x

1

, x

2

, 1)

△(x)

,

onde

△(x) =

px

2

1

+ x

2

+ 1

.

Semperdade generalidade,podemos onsideraro ampo

χ

denidonoplanotangente à esfera, isto é,

χ : T

P

N

S

2

_{→ T}

P

N

S

2

e assim, é possível denir um novo ampo em

S

2

. O

ampo

χ

¯

induzidoem

S

2

,apartirde

χ

,atravésdos difeomorsmos

f

+

e

f

−

será dadopor

¯

χ(y) = Df

+

(x)

· χ(x) se y = f

+

_(x)

_{∈ H}

+

(39)

¯

χ(y) = Df

−

(x)

· χ(x) se y = f

−

_(x)

_{∈ H}

−

.

Desta amosque

χ

¯

éum ampovetorialem

S

2

_\S

1

,queétangenteàesfera. Paraestudar

o omportamento assintóti o das órbitas não limitadas de

χ

analisando

χ

¯

, é ne essário estender

χ

¯

para o equador

S

1

, obtendo um ampona esfera.

O estudo de

χ

¯

em uma vizinhança do equador nos dará informações sobre o om-portamento do ampo