Análise da codificação wavelet em sistemas sujeitos ao desvanecimento Rayleigh plano.

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétri a

Análise da Codi ação Wavelet em Sistemas

Sujeitos ao Desvane imento Rayleigh Plano

Luiz Felipe de Queiroz Silveira

Tese de Doutorado submetida ao Programa de Pós-Graduação

em Engenharia Elétri a da Universidade Federal de Campina

Grande omo requisito par ial para obtenção dograu de Doutor

em EngenhariaElétri a.

Área de Conhe imento: Pro essamento da Informação

Orientadores:

Fran is o Mar os de Assis

Ernesto Leite Pinto

CampinaGrande, Paraíba, Brasil

4.

J

F I C H A CATALOGRÁFICA E L A B O R A D A P E L A B I B L I O T E C A C E N T R A L DA U F C G

S587a Silveira, L u i z Felipe de Queiroz

2006 A n á l i s e da codificação wavelet em sistemas sujeitos ao desvanecimento

rayleigh plano / L u i z Felipe de Queiroz Silveira. — Campina Grande, 2006.

160p. : ü..

Inclui bibliografia.

Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) - Universidade Federal de Campina

Grande, Centro de Engenharia Elétrica e I n f o r m á t i c a .

Orientadores: Dr. Francisco Marcos de Assis , D r . Ernesto Leite Pinto

1 — Sistemas de Comunicação 2—Codificação Wavelet 3—Canal com

Desvenecimento I—Título

D E S V A N E C I M E N T O R A Y L E I G H P L A N O

L U I Z F E L I P E D E Q U E I R O Z S I L V E I R A

Tese A p r o v a d a em 28.04.2006

I R A N C I S C O M A R C O S

Orientador

vRCOS D E ASSIS, D

IIS, Dr., U F C G

1

E R N E S T O L E I T E PINTO, Dr., I M E

Orientador

B A R T O L O M E U F E R R E I R A U C H O A F I L H O , Ph.D., U F S C

Componente da Banca

HÉLIO MAGALHÃES D E O L I V E I R A , Docteur., U F P E

Componente da Banca

í/JOSE E W E R T O N P O M B O D E F A R I A S , Dr., U F C G

/ Componente da Banca

NBRUNO B A R B O S ADALBERT, D . S c , U F C G

Componente da Banca

CAMPINA G R A N D E - PB

A B R I L - 2006

•

A Deus, por tudo;

•

AosmeuspaisLuizGonzagaeMariadeJesus,peloinnitoamorein entivos onstantes;

•

Aos meus irmãosFernando, Junior eCe ília, pelos in entivos onstantes;

•

A Hevana Maia,meu amor, pelos in entivose ompreensãoem todos osmomentos;

•

Aos professores Ernesto Leite Pinto e Fran is o Mar os de Assis, pela orientação,

amizade, in entivose ensinamentos;

•

Aos amigosAlfranque, Danilo,Darlan, Edmar Gurjão, EdmarJosé, Ewerton, Fabiano, Fabrí io,Iguatemi, Jernimo, José Alves, Josemar, Karina,Leo arlos, Madhavan,

Ma-noel, Netto, Paulo, Portela, Protásio, Rex, Ronaldo, S ai o, Tomaz, Towar e Waslon,

pelaamizadee momentos de des ontração;

•

Aosprofessores BrunoAlbert,JoséEwertonFariaseMar os Barbosa,pelos ensinamen-tos e amizade;

•

Aos demaisprofessores doDEE-UFCG;

•

A todos os fun ionáriosdoDEE-UFCG, em espe ial aPedro e Suênia,pela amizade;

•

A CAPES, peloimportanteapoionan eiro.

It biases the judgment.

– SHERLOCK HOLMES (

DOYLE

, 1887)

Esta tese on erne à on epção, ao estudo e à análise de desempenho de sistemas de

omu-ni ações digitais baseados na odi ação om matrizes wavelets, onsiderando modelos de

anais om desvane imento Rayleigh plano. Atualmente, várias abordagens são empregadas

no ombateaosseverosefeitosdesses anaisnossistemasdetransmissãosem-o. A odi ação

wavelet surge omo mais uma abordagemneste enário, devido àsua baixa omplexidadede

de odi ação eao seu bomdesempenho, obtido em anais om desvane imento. Entretanto,

essa té ni a de odi ação ne essita de esquemas de modulação não- onven ionais para que

todooseu poten ialpossaser explorado. Este trabalhoapresentaumaanálisede desempenho

de sistemas odi ados por matrizes wavelets em anais variantes no tempo, ara terizados

pelo desvane imento Rayleigh plano. Baseada nessa análise, novos esquemas de modulação

são espe ialmente projetados para mapear os símbolos odi ados pelas matrizes wavelets.

Espe i amente, onstelações de sinais são obtidas usando um Algoritmo Genéti o (AG)

guiadopelas ferramentas analíti as aqui derivadas. Alémdisso, um novosistema baseado na

integração de um esquema de transmissão em diversidade temporal à odi ação wavelet é

avaliado neste trabalho. O desempenho desse novo sistema também é investigadoatravésde

formulação analíti a, derivada espe i amente para onsiderar as novas ara terísti as desse

sistema, advindas da integração da odi ação om matrizes wavelets om o esquema de

This thesis on erns to the on eption, the study and the performan e analysis of wireless

systems based onwavelet oding, overat fading hannels. In order tomitigatethe

destru -tive ee ts of those hannels, many te hniques have been re ently proposed, in luding the

use of new asso iations of modulation and hannel oding strategies. Wavelet oding

te h-nique appears as a promising approa h to this s enario, espe ially due to its low de oding

omplexity and good performan e over multipath fading. However, this te hnique needs

un-usualmodulations hemessothatit anbefullyexploited. Thisworkpresentsaperforman e

analysisof wavelet- oded systemsontime-varyingRayleigh hannels. Basedonthis analysis,

novel signal onstellations are espe ially designed to map the output symbols generated by

wavelet en oders. Spe i ally, these onstellations are obtained using a Geneti Algorithm

(GA) and the analyti al tools derived herein. Moreover, a new transmission system based

on the integration of a time-diversity s heme with the wavelet oding is evaluated in this

work. The performan e of this new system is also addressed by mathemati altools,derived

spe i ally to take into a ount the spe i features of the system, whi h emerge with the

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xvi

Lista de Símbolos xvii

Glossário xix

Capítulo 1 Introdução 1

1.1 Enfoquedo Trabalho . . . 3

1.2 Organização doTexto . . . 4

Capítulo 2 Codi ação om Matrizes Wavelets 6 2.1 Matrizes de Coe ientes Wavelets . . . 7

2.1.1 MatrizesWavelets Utilizadas naCodi ação . . . 8

2.2 Algoritmode Codi ação om Wavelets . . . 9

2.3 De odi ação Wavelet . . . 13

2.4 Distribuição dos SímbolosGerados peloCodi ador Wavelet . . . 14

2.5 Taxada Codi ação Wavelet . . . 15

Capítulo 3 Sistemas Baseados na Codi ação om Matrizes Wavelets 17

3.1 Sistema om Codi ação Wavelet em Canais AWGN . . . 18

3.2 Sistema om Codi ação Wavelet em Canais om Desvane imentoRayleigh . . 21

3.2.1 Quantização dos SímbolosWavelets . . . 26

3.2.2 Resultados Numéri os . . . 28

3.3 Sistema om Codi ação Wavelet Modi adoem Canais om Desvane imento

Rayleigh . . . 41

3.3.1 Resultados Numéri os . . . 43

3.4 Con lusão . . . 53

Capítulo 4 Análise de Desempenho de Sistemas Baseados em MCW's 54

4.1 Sistema om Codi ação Wavelet em Canais AWGN . . . 55

4.2 Sistema om Codi ação Wavelet em Canais om Desvane imentoRayleigh . . 56

4.2.1 Distribuiçãode Probabilidades doRuído de Demodulação . . . 59

4.2.1.1 Distribuiçãode probabilidade dos símboloswavelets . . . 61

4.2.1.2 Distribuiçãode probabilidade dos erros de demodulação . . . 64

4.2.2 Distribuiçãode Probabilidades doRuído Wavelet . . . 65

4.2.3 Quantização de SímbolosWavelets . . . 66

4.2.4 Apli ação . . . 70

4.3 Sistema om Codi ação Wavelet Modi adoem Canais om Desvane imento

Rayleigh . . . 73

4.3.1 Distribuiçãode Probabilidades doRuído de Demodulação . . . 75

4.3.1.1 Distribuiçãode probabilidade dos sub-símbolos wavelets . . . 76

4.3.1.2 Distribuiçãode probabilidade dos erros de demodulação . . . 79

4.3.2 Distribuiçãode Probabilidades doRuído Wavelet . . . 80

4.3.3 Apli ação . . . 82

Capítulo 5 Projeto de Constelações Adequadas à Codi ação Wavelet 86

5.1 Apli ação de Algoritmos Genéti os ao Projeto de Constelações para Sistemas

Baseados na Codi ação om MCW's . . . 87

5.1.1 Formulação doProblema . . . 87

5.1.2 Representação Cromossmi a . . . 88

5.1.3 População Ini ial . . . 89

5.1.4 Funçãode Aptidão . . . 90

5.1.5 Operadores Genéti os. . . 91

5.1.5.1 Seleçãogeométri a normalizada . . . 92

5.1.5.2 Cruzamento heurísti o . . . 92

5.1.5.3 Mutaçãonão-uniformemultidimensional . . . 93

5.2 Resultados Numéri os . . . 94

5.3 Con lusão . . . 99

Capítulo 6 Con lusão 101 6.1 Prin ipais Contribuições . . . 103

6.2 Perspe tivas para TrabalhosFuturos . . . 104

Apêndi e A Simulação dos Sistemas Baseados na Codi ação om MCW's 106 Apêndi e B Modulação PSK: Probabilidade de Erro 107 B.1 Probabilidade de Erro em CanaisAWGN . . . 108

B.2 Probabilidade de Erro em Canais om Desvane imento RayleighPlano . . . . 111

Apêndi e C Algoritmos Genéti os 114

C.1 Operadores Bási osde um AlgoritmoGenéti o . . . 116

C.2 Convergên ia do Método . . . 118

C.3 Con lusão . . . 120

Apêndi e D Matrizes e Sistemas Wavelets 121 D.1 As Matrizes Wavelets . . . 122

D.2 Matrizes Wavelets de Haar . . . 125

D.2.1 A Matriz de HaarCanni a . . . 126

D.2.2 Matriz de HaarCara terísti a de uma Matriz Wavelet. . . 127

D.2.3 Produto Tensorialentre Matrizesde Haar . . . 128

D.2.4 OOperador Extensão . . . 129

D.3 Expansão Ortonormal Dis reta . . . 130

D.3.0.1 Teoremade Parseval . . . 130

D.4 Funções Wavelets e de Es ala . . . 131

D.5 Sistemas Wavelet . . . 133

D.6 Con lusão . . . 134

2.1 Diagrama do odi ador wavelet para uma MCW

m × mg

. Neste esquema,

o Blo o

MCW

j

é denido a partir da j-ésima linha da matriz de oe ientes

wavelets. . . 10

2.2 Diagrama do odi ador wavelet para uma MCW

2 × 8 (m = 2, g = 4)

. . . 12

3.1 Diagrama de blo os dosistema om odi ação wavelet. . . 18

3.2 Desempenho do sistema om odi ação wavelet e modulação ASK simulado

om aMCW

2 × 8

em um analAWGN. . . 20

3.3 Desempenho do sistema om odi ação wavelet e modulação ASK simulado

om aMCW

4 × 16

em um anal AWGN. . . 21

3.4 Diagrama de blo os dosistema om odi ação wavelet om estimador de anal. 21

3.5 ConstelaçõesAPKePSKutilizadasnosistema om odi açãowaveletbaseado

na MCW

2 × 128

. . . 28

3.6 ConstelaçõesAPKePSKutilizadasnosistema om odi açãowaveletbaseado

na MCW

2 × 8

. . . 29

3.7 Desempenho de um sistema PSK om odi ação wavelet, simulado om as

MCW's

2 × 8

e

2 × 128

sobre um anal om

f

D

T

s

= 0, 002

, para diferentes

profundidades de entrelaçamento. . . 30

3.8 Desempenho de um sistema APK om odi ação wavelet, simulado om as

MCW's

2 × 8

e

2 × 128

sobre um anal om

f

D

T

s

= 0, 002

, para diferentes

profundidades de entrelaçamento. . . 32

3.9 Desempenhodosistema om odi açãowaveletbaseado naMCW

2×128

om

modulações11-PSK e11-APK. . . 34

3.10 Curvas de aprendizagem doalgoritmoLMS para os sistemas om modulações

PSK e APK simulados om as MCW's

2 × 8

e

2 × 128

em um anal om

3.11 Curvas de aprendizagem doalgoritmoLMS para os sistemas om modulações

PSK e APK simulados om as MCW's

2 × 8

e

2 × 128

sobre um anal om

desvane imento om

f

D

T

s

= 0, 004

. . . 37

3.12 Desempenhodosistema om odi açãowaveletsimulado omasMCW's

2×8

e

2 × 128

napresença de erros de estimação de anal para

f

D

T

s

= 0, 002

. . . . 39

3.13 Desempenhodosistema om odi açãowaveletsimulado omasMCW's

2×8

e

2 × 128

napresença de erros de estimação de anal para

f

D

T

s

= 0, 004

. . . . 40

3.14 Sistema om odi ação wavelet modi ado om estimador de anal. . . 42

3.15 Constelações utilizadas nas simulações do sistema om odi ação wavelet

modi ado. . . 44

3.16 Desempenho do sistema PSK om odi ação wavelet modi ado, simulado

omasMCW's

2×8

e

4×16

sobreum anal om

f

D

T

s

= 0, 002

,paradiferentes

profundidades de entrelaçamento. . . 46

3.17 Desempenho do sistema APK om odi ação wavelet modi ado, simulado

omasMCW's

2×8

e

4×16

sobreum anal om

f

D

T

s

= 0, 002

,paradiferentes

profundidades de entrelaçamento. . . 47

3.18 Desempenho do sistemaPSK om odi ação wavelet modi adona ausên ia

de erros de estimação de anal. . . 49

3.19 CurvasdeaprendizagemdoalgoritmoLMSparaossistemas ommodulações

5-PSKe5-APKsimulados omaMCW

2×8

sobreum anal omdesvane imento

om

f

D

T

s

= 0, 002

. . . 50

3.20 Curvas de aprendizagem doalgoritmoLMS para os sistemas om modulações

5-PSK e5-APK simulados om aMCW

4 × 16

sobreum anal om

desvane i-mento om

f

D

T

s

= 0, 002

. . . 51

3.21 Desempenho do sistema om odi ação wavelet modi ado, simulado om

as MCW's

2 × 8

e

4 × 16

na presença de erros de estimação de anal para

f

D

T

s

= 0, 002

. . . 52

4.1 Sistema om odi ação wavelet. . . 57

4.2 Diagrama om todos ospossíveiseventos de erros de demodulaçãoquepodem

o orrer quando o sinal de rótulo 4 da onstelação, que representa o onjunto

4.3 Sistema om odi ação wavelet omMCW

2 × 8

: Comparaçãoentre os

resul-tados analíti os ede simulação om demodulaçãobaseada naregrade mínima

distân ia eu lidiana. . . 71

4.4 Sistema om odi ação wavelet om MCW

2 × 8

: Comparação entre os

re-sultados analíti os e de simulação om demodulação baseada na métri a de

de isão MAP. . . 72

4.5 Sistema om odi ação wavelet om MCW

2 × 128

: Comparação entre os

resultados analíti os e de simulação om demodulação baseada na regra de

mínimadistân iaeu lidiana. . . 72

4.6 Sistema om odi ação wavelet om MCW

2 × 128

: Comparação entre os

resultados analíti os e de simulação om demodulação baseada na métri ade

de isão MAP. . . 73

4.7 Sistema om odi ação wavelet modi ado. . . 74

4.8 Sistema om odi ação wavelet modi ado: Comparação entre os resultados

analíti os e de simulação om demodulação baseada na regra de mínima

dis-tân ia eu lidiana. . . 83

4.9 Sistema om odi ação wavelet modi ado: Comparação entre os resultados

analíti os e de simulação om demodulação baseada na métri a de de isão

MAP. . . 84

5.1 Constelações obtidasvia AG para os sistemas om odi ação wavelet. . . 95

5.2 Desempenhodosistema om odi açãowavelet omdemodulaçãobaseada na

regra de mínimadistân iaeu lidiana eesquemas de modulaçãoprojetados via

AG. . . 97

5.3 Desempenhodosistema om odi açãowavelet omdemodulaçãobaseada na

regra MAP e esquemas de modulaçãoprojetados via AG. . . 97

5.4 Constelações obtidas via AG para o sistema om odi ação wavelet

modi- ado. . . 98

5.5 Desempenho dosistema om odi ação wavelet modi ado om esquemas de

2.1 Símbolos geradospor uma MCW

2 × 8

. . . 12

3.1 Matriz de entrelaçamento . . . 22

3.2 Algoritmode bus a exaustiva de onstelações para sistemaswavelets. . . 24

3.3 Quantizaçãopara MCW

2 × 128

. . . 27

4.1 Ruído de demodulação dos símboloswavelets . . . 60

4.2 Medidas empíri as de informação mútua. . . 60

4.3 Símbolos wavelets . . . 62

4.4 Vetor de símboloswavelets

y

x

8

. . . 62

4.5 Quantizaçãopara MCW

2 × 128

. . . 67

4.6 Ruído de quantizaçãodos símboloswavelets para uma MCW

2 × 128

. . . 68

4.7 Sub-símboloswavelets . . . 76

4.8 Vetor de sub-símboloswavelets

y

0

x

8

. . . 77

5.1 Operadores genéti os empregados nos projetos.. . . 91

A

= (a

s

k

)

- Matriz de oe ientes wavelets

a

0

- Vetor de es ala

a

s

_{, s ≥ 0}

- Vetores wavelets

a

s

k

- Coe ientes de uma matrizwavelet

C

M CW

- Matriz de odi ação wavelet

E

_[·]

- Valormédiode uma variávelaleatória

E

b

-Energia de bit

E

b

/ℵ

0

-Relação sinal-ruídode bit

E

C

- Energia médiada onstelaçãode sinais

E(I

d

, L)

- Entrelaçador de blo o om profundidade

I

d

E

s

- Energia dosinal

e

n

- Ruído de demodulação f - Deslo amento Doppler

f

D

- Máximodesvio Doppler

f

D

T

s

-Máximo desvio Doppler normalizado

f

0

- Banda de oerên iade um anal de omuni ação

G

_ν

_i

(z)

- Funçãogeradora de momentos do ruído wavelet

GF (q)

- Campo de Galois

q

-ário

g

-Gênero de uma matriz de oe ientes wavelets

I(X; Y )

- Informação mútua entre as v.a.'s X e Y

I

d

-Profundidade do entrelaçamento

J

0

(·)

- Funçãode Besselde ordem zero

K

- Comprimentode restriçãodo odi ador wavelet

L · I

d

-Comprimentodaseqüên ia entrelaçada

L

2

_(R)

- Espaço vetorial de Hilbert

m

- Posto de uma matrizde oe ientes wavelets

n

- Valor omplexo doruído AWGN

[nT

s

, (n + 1)T

s

)

- Intervalode sinalização

n(t)

- Ruído AWGN

P

erro

- Probabilidade de erro de bit

P (˜

y

n

| y

n

)

-Probabilidadedodetetorde idirpelosímbolo

y

˜

n

dadoqueosímbolo

y

n

foi trans-mitido

p(t)

- Pulso limitadoem banda om energia unitária

p(y

n

)

- Probabilidade de o orrên ia dosímbolo

y

n

Q(·)

- Função de erro

R

b

- Taxa de bit

R(∆f )

- Funçãode orrelação entre as diferençasde freqüên ias

R(∆t)

-Função de orrelaçãodas diferençasde tempo

R

s

-Taxa da odi ação wavelet

r(t)

- Sinal re ebido

S(

f

)

- Espe tro de Jakes

S(τ )

-Perl de intensidade de múltiplos per ursos

s(t)

- Sinaltransmitido

T

m

- Máximotempo de atraso

T

0

- Tempode oerên iade um anal de omuni ação

W[A]

-Sistema wavelet asso iado àmatriz wavelet

A

x

- Vetor de bits de informação

x

n

- Bits de informação

y

n

-Palavra- ódigo wavelet

y

n

-Símbolos wavelets

y

j

n

-Sub-símbolos wavelets

z

i

- Saídado de odi ador/ orrelatorwavelet notempo

i

α(t)

- Ganhodo anal om desvane imento

δ

x,y

-Símbolo de Krone ker

µ

- Passo doLMS

ν

i

- Ruído wavelet

σ

2

- Variân iadoruído gaussiano

τ

- Tempode atraso

ϕ

jk

(x)

- Família de funções de es ala

ψ

s

jk

(x)

- Família de funçõeswavelet

AP K

-Amplitude-Phase Keying ( Modulação em Amplitudee Fase)

ASK

- Amplitude ShiftKeying ( Modulação em Amplitude )

AW GN

-AdditiveWhite GaussianNoise( Ruído Aditivo GaussianoBran o )

BER

- Bit Error Rate ( Probabilidade de Erro de Bit )

BP SK

-Binary Phase Shift Keying ( Modulação em Fase Binária )

CSI

- Channel State Information( Canal om Estado Conhe ido pelo Re eptor)

DEP

- Densidade Espe tral de Potên ia

EM Q

- Erro Médio Quadráti o

ISI

-Inter-SymbolInterferen e ( Interferên ia Intersimbóli a)

i.i.d.

- Variáveis Independentes e Identi amente Distribuídas

M AP

- Maximum a Posteriori Probability ( Máxima Probabilidade a posteriori)

M CW

- Matriz de Coe ientes Wavelets ( WCM - Wavelet Coe ients Matrix )

P EI

-Patamarde Erro Irredutível(PEI)

P SK

- Phase Shift Keying ( Modulação em Fase)

RI

- Resposta Impulsional

SN R

- RelaçãoSinal-Ruído

ST BC

- Codi ação de Blo oEspá io-Temporal

V LSI

-Very Large S ale Integration ( Integração em Es ala Muito Grande )

v.a.

-VariávelAleatória

W SS

-

U S

- Wide Sense Stationary - Un orrelated S attering ( Canal Des orrela ionado e Esta ionário em Sentido Amplo )

INTRODUÇO

Odesempenho de vários sistemasde omuni ações sem-odesenvolvidos naatualidadeé

se-veramente limitadopelo desvane imento plano produzido por múltiplos per ursos de

propa-gação. Com o objetivo de minimizar a interferên ia destrutiva desses anais, várias té ni as

têm sido propostas re entemente. Dentre elas, podem ser itadas té ni as de diversidade

( ASSIS; SOUSA , 1999; SILVA; SOUSA , 1995; GOWDA etal. , 1998), uso de de odi adores

itera-tivos ( BERROUet al. , 1993; HAGENAUER etal. , 1996; TEPE; ANDERSON , 2001) e esquemas de

modulação odi ada( ALAMOUTI , 1998; NAGUIBet al. ,1997; SILVA;ASSIS,1999).

Em parti ular, as té ni as de diversidade onsistem, basi amente, em gerar redundân ia

(répli as) do sinal transmitido no re eptor. Essas répli as são transmitidas sobre anais

independentes , e portanto, são afetadas diferentemente (de maneira des orrela ionada) pelo

anal. Dessaforma, quando uma dessas répli asestiverem uma situaçãode desvane imento

profundo,deverásergrandeaprobabilidadedequeoutrasrépli asnãoestejamnessasituação.

Assim, elaspodemser ombinadasde formaaforne eruma maior onabilidade nadete ção

desse sinal ( PROAKIS , 1989).

Dentre as várias té ni as de odi ação existentes na literatura, a odi ação wavelet

apresenta-se omoumanovaabordagemparasuperarosefeitosdodesvane imento( SILVEIRA

etal. ,2003, 2004a). Essa odi ação, proposta ini ialmenteporTzannes &Tzannes (1992),é

baseadanaspropriedadesdeortogonalidadedaslinhasde umamatrizde oe ienteswavelets

(MCW).

As operações realizadas no pro esso de odi ação wavelet são denidas no orpo dos

númerosreais. Ossímbolosresultantesdessa odi ação,denominadossímboloswavelets ,são

No pro esso de odi ação, a seqüên ia binária de dados é apli ada à entrada de um

ban o de registradores de deslo amento, om élulas ponderadas pelos oe ientes de uma

matriz wavelet. Da mesma forma que o orre na odi ação onvolu ional, a informação de

adabitde entradaédisseminadaporváriossímbolos odi ados. Devidoàspropriedadesde

ortogonalidadedasMCW's,aseqüên iadebitsdeinformaçãopodeserre uperadanare epção

simplesmente por um ban o de orrelatores. A simpli idade omputa ional do pro esso de

de odi ação éuma das prin ipais vantagens da odi ação om matrizes wavelets.

A estratégiautilizadapela odi ação wavelet de espalhar a informaçãode ada bitpor

vários intervalosde sinalização,aumentapoten ialmentearobustez dosistemaà ombinação

dedesvane imentoplanovariantenotempoeefeitosde ruídoslo alizados. Defato,onúmero

máximodesímbolos odi ados quepodemserafetadosporumbitdeentradaédenidopelo

número de olunas da matriz de oe ientes wavelets utilizada na odi ação, e portanto, o

ganhode desempenho da odi ação wavelet depende fortementedesse parâmetro.

Poroutrolado,oaumentono omprimentodaslinhasdaMCWresultaemumaumentodo

alfabeto dossímbolos odi ados. Como ada símbolodestealfabeto émapeadoem um sinal

da onstelação,segue queMCW's om umnúmerograndede olunaso asionamum a úmulo

depontosna onstelaçãodesinaisutilizadanoesquemademodulação,podendo omprometer

odesempenho dessessistemas. Em( RESNIKOFF;WELLS-JR,1998; TZANNES;TZANNES ,1992)

foi apresentada uma forma de se evitar a aglomeração de pontos na onstelação de sinais

dos sistemas om odi ação wavelet. Trata-se de um esquema que limita a modulação a

um número de níveis menor que o número de símbolos wavelets que podem ser gerados na

odi ação. Esse pro edimentopodeser visto omoumesquemadequantizaçãodossímbolos

wavelets. Quando este esquema é apli ado de forma riteriosa, o efeito da quantização dos

símbolos torna-se irrelevante quando omparado ao ganho de desempenho onseguido pela

odi ação wavelet ombinada aum esquemade modulaçãoe iente.

Outro aspe to que deve ser levado em onsideração durante o projeto do esquema de

wavelet. Esses símbolos são multiníveis e têm uma distribuição de probabilidades muito

desbalan eada. Portanto, a es olha do esquema de modulação inuen ia sensivelmente o

desempenho dos sistemas baseados na odi ação om matrizes wavelets.

1.1 ENFOQUE DO TRABALHO

Em trabalhos anteriores, os sistemas baseados na odi ação om matrizes wavelets

uti-lizavam esquemas de quantização de símbolos wavelets e onstelações de sinais projetados

empiri amente, por simulação omputa ional ( TZANNES; TZANNES , 1992; SILVEIRA , 2002).

De fato, até o momento não se dispunha de ferramentas matemáti as que pudessem ser

uti-lizadaspara projetaranaliti amente oesquema de modulaçãoutilizado nesses sistemas.

Neste trabalho, as ferramentas analíti as ne essárias para investigar o desempenho de

sistemasde omuni ações odi adospormatrizesde oe ienteswavelets, em anaissujeitos

aodesvane imentoRayleighnão-seletivoem freqüên ia, são derivadas evalidadasatravésde

omparações om simulações omputa ionais.

Alémdisso, umnovosistemabaseadona odi ação ommatrizeswaveletséapresentado.

Nestesistema,umesquemade transmissãoemdiversidadetemporaléintegradoà odi ação

wavelet, visando aumentar o ganho de diversidade que esta té ni a de odi ação propi ia

em anais ara terizados pelodesvane imentonão-seletivo em freqüên ia. Notequeo uso de

diversidadetemporalleva,quasequeinvariavelmente,aumadiminuiçãodae iên iaespe tral

do sistema ( PROAKIS , 1989). Portanto, esquemas de transmissão baseados na utilização de

múltiplasantenas transmissoraspodem aindaser investigados em trabalhos subseqüentes, de

formaa preservaressa e iên ia espe tral ( ALAMOUTI , 1998; TAROKHetal. , 1998).

O desempenho desse novo sistema também é analisado em anais om desvane imento

Rayleighplano, através de ferramentas matemáti as derivadas espe i amentepara

onside-rar as novas ara terísti as do sistema, advindas da integração da odi ação om matrizes

apre-sentado aqui pode ainda ser fa ilmentegeneralizado para auxiliar na on epção e análisede

outrasabordagens baseadas na odi ação om matrizes wavelets.

Por m, este trabalho apresenta uma nova metodologia de projeto para os esquemas

de modulação utilizados nos sistemas wavelets. Espe i amente, as onstelações de sinais

empregadas por esses esquemas de modulação são projetadas por meio de um algoritmo

genéti o guiado pelaformulação analíti aderivada neste trabalho.

1.2 ORGANIZAÇO DO TEXTO

Este texto é organizado em seis apítulose quatro apêndi es.

No Capítulo2 asmatrizes wavelets são denidas e suas prin ipaispropriedades são

apre-sentadas. Ainda noCapítulo2,são apresentadososalgoritmosde odi ação ede odi ação

ommatrizesde oe ientes wavelets. OnaldoCapítulo2édedi adoaumaanálisedataxa

de odi ação wavelet.

NoCapítulo3,são apresentadosdois sistemasbaseadosna odi açãowavelet: Osistema

proposto por Tzannes & Tzannes (1992) e um novo sistema, ara terizado pela integração

de um esquema de transmissãoem diversidade temporalà odi ação de anal ommatrizes

wavelets. Odesempenho de ambosos sistemas são avaliados em anais om desvane imento

Rayleigh, via simulação omputa ional, onsiderando a presença de erros de estimação de

anal no re eptor. O algoritmoLMS ( Least Mean Square) foi es olhido aqui para estimar o

estadodo anal de omuni ação aolongo de ada transmissão.

No Capítulo 4, as ferramentas analíti as ne essárias para se investigar o desempenho

dos sistemasde transmissão abordadosneste trabalho,baseados na odi ação ommatrizes

wavelets,sobre anaissujeitosapenasaoruídoaditivoGaussianobran o(AWGN)eem anais

om ruído AWGN e desvane imento Rayleigh não-seletivo em freqüên ia, serão derivadas e

O Capítulo 5 trata do projeto de onstelações de sinais para uso em sistemas baseados

na odi ação om matrizeswavelets. Espe i amente, essas onstelaçõessão projetadas por

meio de um algoritmo genéti o guiado pelas ferramentas analíti as derivadas no Capítulo4.

Neste apítulo,osaspe tos envolvidos naapli açãode algoritmosgenéti os aoprojeto dessas

onstelações são detalhados.

NoCapítulo6,são apresentadasas on lusõesdotrabalho, sendodesta adasasprin ipais

ontribuições. Tambémsãoapresentadasneste apítuloalgumaspropostasparaa ontinuação

dapesquisa.

O Apêndi e A apresenta detalhes de implementação e simulação dos sistemas de

trans-missão investigados neste trabalho.

O Apêndi e B apresenta as deduções das probabilidades de erros de demodulação de

sinais PSK provenientes de uma onstelação assimétri a, tanto em anais om ruído aditivo

Gaussianobran oquantoem anais ara terizadospelodesvane imentoRayleighplano. Essas

equaçõesforamutilizadasnasanálisesdossistemasdetransmissãoapresentadasnoCapítulo4.

O Apêndi e C apresenta os on eitos teóri os rela ionados à té ni a de otimização por

algoritmos genéti os. Elepode ser espe ialmente útil omo uma introdução aoCapítulo5.

CODIFICAÇO COM MATRIZES WAVELETS

A odi ação omwavelets foiproposta porTzannes&Tzannes(1992) omoumanova

abor-dagempara superar os efeitos dodesvane imento,explorando as propriedades de

ortogonali-dadeentre aslinhas de uma matrizde oe ientes wavelets (MCW). Ossímbolosresultantes

dessa odi ação, denominadossímbolos wavelets , são multiníveise onduzem informaçãode

vários bits.

Da mesma forma omo o orre na odi ação onvolu ional, a odi ação wavelet

disse-mina a informação de ada bit por vários símbolos odi ados. Este me anismo espalha a

informação no tempo, aumentando poten ialmente a robustez do sistema à ombinação de

desvane imentoplanovariantenotempoeefeitosde ruídoslo alizados( SILVEIRAetal. ,2003).

O número máximo de símbolos odi ados que podem ser afetados por qualquer bit de

entradaédenominadoaqui omprimento derestrição do odi ador wavelet . O omprimento

de restrição

K

de um odi ador wavelet é denido pelo número de olunas da matriz de

oe ientes wavelets utilizada na odi ação. Ao ontrário da odi ação onvolu ional, o

omprimento de restrição de um odi ador wavelet não ausa um grande impa to à

om-plexidade omputa ional do pro esso de de odi ação. De fato, devido às propriedades de

ortogonalidade das linhas da MCW, a seqüên ia de bits de informação pode ser re uperada

de formasimples, usandoum ban ode orrelatores formadosa partir das linhas daMCW.

Este apítuloabordaosfundamentos da odi ação de anal ommatrizesde oe ientes

wavelets. Neste ontexto, os algoritmos de odi ação e de odi ação wavelet serão

apre-sentados, e as prin ipais propriedades dos símbolos gerados pelo odi ador wavelet serão

O restante deste apítulo é organizado da seguinte forma: na Seção 2.1 são denidas as

matrizesde oe ientes wavelets e apresentadas propriedades importantes dessas matrizes à

odi ação om wavelets. Na Seção 2.2 é apresentada a té ni a de odi ação om matrizes

de oe ientes wavelets. Na Seção 2.3, apresenta-se o pro esso de de odi ação wavelet. Na

Seção2.4,apresenta-se adistribuiçãode probabilidadesdossímbolosgeradospelo odi ador

wavelet. Na Seção 2.5, dis ute-se a taxa do ódigo wavelet. Finalmente, na Seção 2.6, são

apresentadas algumas on lusões.

2.1 MATRIZES DE COEFICIENTES WAVELETS

Nesta seção,asmatrizes de oe ienteswaveletssão denidaseassuas propriedadesmais

relevantes para a odi ação om wavelets são apresentadas. No Apêndi e D, essas matrizes

poderão ser estudadas mais detalhadamente.

Considere a matriz

A

= (a

s

k

)

om

m ≥ 2

linhas(vetores) e

mg

olunasdenotada por

A

=











a

0

0

,

. . . , a

0

mg−1

a

1

0

,

. . . , a

1

mg−1

. . . . . .

a

m−1

₀

, . . . , a

m−1

_mg−1











,

(2.1)

om elementos no onjunto dos números reais ou omplexos.

Amatriz

A

édenominadadematrizwavelet deposto

m

egênero

g

seasseguintes ondições

foremsatisfeitas:

mg−1

_X

k=0

a

s

_k

= mδ

s,0

,

0 ≤ s ≤ m − 1

(2.2)

mg−1

_X

k=0

a

s

_[k+mr

′

′

_]

a

s

_[k+mr]

= mδ

_s

′

_,s

δ

_r

′

_,r

,

0 ≤ s

′

, s ≤ m − 1,

0 ≤ r

′

, r ≤ g − 1

(2.3)

emque

[k+mr]

éusadoparadenotaraoperação

k+mr

módulo

mg

,

¯

a

éo onjugado omplexo

de

a

e

δ

x,y

éo símbolode Krone ker, denido por

δ

x,y

=



1

se

x = y

0

aso ontrário

A Equação (2.3) estabele e que os vetores representados pelas linhas de uma MCW de

posto

m

têm omprimentoigual a

√

m

e são mutuamente ortogonais, mesmo quando deslo- adas entre si por um múltiplo de

m

. Além disso, ela indi a que ada linha da MCW é

ortogonalauma ópia de simesma deslo adaporum múltiplode

m

.

Por outro lado, a Equação (2.2) assegura quea soma dos elementos da primeiralinha da

matrizéigual aoposto

m

damatrizwavelet, enquanto queasoma dos elementos das demais

linhas éigual a zero.

2.1.1 Matrizes Wavelets Utilizadas na Codi ação

Nesta seção será apresentada uma lasse espe ial de matrizes wavelets, onhe idas omo

matrizeswavelets reais planas, que são utilizadas nos esquemas de odi ação wavelet deste

trabalho.

Uma matriz wavelet plana possui a propriedade de que todos os seus elementos têm o

mesmo valor absoluto. Quando os elementos de uma matriz wavelet plana são reais, ela é

denominada matriz wavelet real plana ( TZANNES; TZANNES , 1992; RESNIKOFF; WELLS-JR,

1998). As matrizes wavelets reais planas om elementos normalizados em

±1

satisfazem as

ondiçõesmodi adas dadasa seguir:

mg−1

_X

k=0

a

s

_k

= m

√

gδ

s,0

,

(2.5)

mg−1

_X

k=0

a

s

_[k+mr

′

′

_]

a

s

_[k+mr]

= mgδ

_s

′

_,s

δ

_r

′

_,r

.

(2.6)

A matrizwavelet real plana normalizada em

±1

om dimensão

2 × 2

é a matriz de Haar

expressa em (2.7). Matrizes wavelets reais planas de ordens maiores e gênero 1 são também

onhe idas omomatrizes de Hadamardou matrizesde Walsh.



1

1

1 −1



Aseguir,sãoapresentadosdoisoutrosexemplosdematrizeswaveletsreaisplanas,asquais

foramutilizadasnos sistemas avaliados neste trabalho.

Exemplo 2.1 Matriz wavelet real planade posto 2 e gênero 4. Essamatrizwavelet

foi obtida apli ando-se a operação de extensão, denida na Seção D.2.4, sobre a matriz de

Haarde posto

m = 2

apresentada naEquação (2.7).



1 1 1 −1

1

_{1 −1}

1

1 1 1 −1 −1 −1

1 −1



.

(2.8)

Exemplo 2.2 Matriz wavelet real planade posto 4 e gênero 4. Essamatrizwavelet

foi obtida pelo produto tensorial, denido na Seção D.2.3, entre duas matrizes de Haar de

posto

m = 2

, seguidopor uma operaçãode extensão.









1 1

1

_{1 1 −1}

_{1 −1}

1

1

1

_{1 −1}

_{1 −1}

1

1 1

1

_{1 1 −1}

_{1 −1 −1 −1 −1 −1}

_{1 −1}

_{1 −1}

1 1 −1 −1 1 −1 −1

1

1

_{1 −1 −1 −1}

1

_{1 −1}

1 1 −1 −1 1 −1 −1

1 −1 −1

1

1

_{1 −1 −1}

1







 .

(2.9)

2.2 ALGORITMO DE CODIFICAÇO COM WAVELETS

Nesta seção, o algoritmo de odi ação om matrizes wavelets, proposto em ( TZANNES;

TZANNES , 1992), é apresentado sob uma nova perspe tiva. Cabe notar que este algoritmo

pode ser implementado usando-se qualquer matriz de oe ientes wavelets, embora neste

trabalhosejamutilizadasapenas asmatrizesMCW reais planas.

A Equação (2.3) sintetiza as propriedades das MCW's que são a base da odi ação

om wavelets. Para exempli ar o pro esso de odi ação, onsidere uma fontedis reta que

gera bits de informação

x

n

∈ {+1, −1}

, estatisti amente independentes e om distribuição

eqüiprovável 1

. Além disso, onsidere que no pro esso de odi ação utilizou-se uma matriz

MCWrealplana om posto

m

egênero

g

,quepode ser expressa generi amentepelaEquação

(2.1). A Figura2.1 ilustra o odi ador wavelet denido para esta matriz.

1

x

n

S/P

Conv.

Fonte

m−1

MCW

MCWj

0

MCW

x

pm

x

pm+j

x

(p+1)m−1

j

pm+q

y

0

pm+q

y

m−1

pm+q

y

D

−j

m

0

D

m

m

−(m−1)

D

(a) Estruturageral.

00

00

11

11

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

00

11

0

0

0

0

1

1

1

1

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

00

00

11

11

11

11

000

111

000000

111111

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

00

00

11

11

11

11

000

111

0

10

00

11

1

0

1

00

11

00

11

000

111

0

0

0

1

1

1

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0000

1111

00000

11111

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0000

1111

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0000

1111

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0000

1111

000

111

0

0

0

1

1

1

000

111

0

0

0

1

1

1

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

00

00

11

11

11

11

000

111

00

00

00

00

11

11

11

11

00

00

00

00

11

11

11

11

000

111

00

11

0

0

0

0

1

1

1

1

00

11

0

0

0

0

1

1

1

1

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0

0

1

1

0

0

1

1

00

00

11

11

0

1

00

11

00

11

0

0

0

0

1

1

1

1

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0

0

0

0

1

1

1

1

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

0

0

0

0

1

1

1

1

000

000

000

111

111

111

000

000

000

111

111

111

a

j

m

a

j

2m

a

j

(g−1)m

0

a

j

j

a

gm−1

j

a

3m−1

j

a

2m−1

j

a

m−1

j

a

m+q

a

j

(g−1)m+q

a

j

q

a

j

2m+q

x

pm+j

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

D

−1

pm

j

pm+q

j

(p+1)m−1

j

pm+q

j

y

y

y

y

(b)VistadetalhadadoBlo o

MCW

j

. Notequeem adaregistrador doban o, osub-índi e

q

variade0a

m

− 1

.

Figura 2.1. Diagrama do odi ador wavelet para uma MCW

m

× mg

. Neste esquema, o Blo o

MCW

j

é denido apartir da j-ésima linhada matrizde oe ientes wavelets.

A odi açãowaveletrealizaoperaçõessobreo orpodosnúmerosreais. Nessa odi ação,

a seqüen ia de bits de informação

x

n

é ini ialmente dizimada em

m

seqüên ias paralelas,

denidas por

X

pm+j

:= {x

pm+j

}

p∈Z

, 0 ≤ j < m

, omopode ser observado a partir daFigura 2.1(a). A

j

-ésimaseqüên iaparalela

X

pm+j

éentão odi adaporum ban ode registradores

dedeslo amento,denotadonessaFigurapeloblo o

MCW

j

. Noinstantede tempo

n = pm+q

,

em que

p ∈ N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

e

q ∈ {0, 1, . . . , m − 1}

, o

j

-ésimo blo o

MCW

j

do

odi ador wavelet gera o símbolo

y

j

pm+q

, hamado neste trabalhosub-símbolo wavelet .

A Figura 2.1(b) apresenta de formadetalhada a estrutura de um dos

m

ban os de

regis-tradores

MCW

j

queformamo odi adorwaveletrepresentadonaFigura2.1(a). Cadaban o

MCW

j

é onstituído por

m

registradores de deslo amento, denotados

REG

q

, ada um deles om

g

élulasde memória. Os

mg

oe ientes da

j

-ésima linhadaMCWsão distribuídosem

m

grupos de

g

oe ientes equi-espaçados,de talformaqueo

q

-ésimogrupoé formadopelos oe ientes queponderam as élulas doregistrador

REG

q

do

j

-ésimo ban o.

A ada instante de tempo

n = pm + q

,

m

sub-símboloswavelets

y

j

pm+q

, 0 ≤ j ≤ m − 1

,

gerados simultaneamente pelo

q

-ésimo registrador de ada um dos

m

ban os

MCW

j

, são

disponibilizadosnasaída do odi ador wavelet. A partirdaFigura2.1(b), pode-se observar

que o sub-símbolowavelet

y

j

pm+q

, gerado no tempo

n = pm + q

, pelo

q

-ésimo registrador do

ban o

MCW

j

, édado por

y

j

_pm+q

=

g−1

X

l=0

a

j

_lm+q

x

(p−l)m+j

.

(2.10)

Comoexistem

mg

elementos dememóriaem adaban oderegistradoresdedeslo amento,

ada bit de entrada pode afetar no máximo

mg

sub-símbolos wavelets. O omprimento de

restrição

K

de um odi adorwaveletédenido omoonúmeromáximodesímbolosem uma

seqüên ia de saída quepodem ser afetados por qualquer bitde entrada, ouseja,

K := mg

(2.11)

No algoritmo de odi ação wavelet apresentado em ( TZANNES; TZANNES , 1992), os

m

sub-símbolos wavelets om omesmo índi e de tempo

n = pm + q

são ainda adi ionados, e o

símboloresultante, hamadosímbolo wavelet , é dadopor

y

pm+q

=

m−1

X

j=0

g−1

X

l=0

a

j

_lm+q

x

(p−l)m+j

.

(2.12)

Comoilustração, aFigura2.2 apresentaum diagramaesquemáti o do odi adorwavelet

asso iadoàMCW

2×8

,denidaem(2.13). Ossub-símboloswavelets

y

j

n

geradosnosprimeiros

oitointervalosdesta odi ação, eos seus respe tivos símboloswavelets

y

n

, são apresentados

naTabela 2.1.

A

=



a

0

0

a

0

1

a

0

2

a

0

3

a

0

4

a

0

5

a

0

6

a

0

7

a

1

0

a

1

1

a

1

2

a

1

3

a

1

4

a

1

5

a

1

6

a

1

7



.

(2.13)

D

−1

D

−1

D

−1

00 11 0 0 0 0 1 1 1 1 00 11 0 0 0 0 1 1 1 1 00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11

D

−1

D

−1

00 11 0 0 0 0 1 1 1 1 00 11 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 111

a

1

1

a

3

1

a

5

1

a

1

4

a

1

2

a

1

0

D

−1

00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 111 00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11 000 111 000 111 0 0 0 0 1 1 1 1 000 000 000 111 111 111 000 000 000 111 111 111 000 111 0 0 0 1 1 1 000 111 0 0 0 1 1 1 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 111

D

−1

D

−1

D

−1

−1

D

000 111 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1

D

−1

00 00 00 11 11 11 00 00 00 11 11 11 000 111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 0000 1111

D

−1

00 11 0 0 0 0 1 1 1 1 00 11 0 0 0 0 1 1 1 1

a

0

1

a

0

3

a

0

5

00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 111 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 000 111

a

0

4

a

0

2

0

a

0

000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 0000 1111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111 0000 1111 000 000 000 000 111 111 111 111 000 000 000 000 111 111 111 111

a

0

6

2p+1

0

y

1

2p

y

2

2

x

_2p

x

_n

2p

y

2p+1

y

2p

y

D

−1

000 111 000 111 000 111 00 11 00 00 00 00 11 11 11 11 00 00 00 00 11 11 11 11 0 0 0 0 1 1 1 1 000 111 0000 1111 0000 1111

a

1

a

1

6

a

7

0

7

S / P

Conv

D

0

0

1

2p+1

y

n

Y

x

_2p+1

Figura 2.2. Diagrama do odi ador wavelet para umaMCW

2 × 8 (m = 2, g = 4)

.

Tabela 2.1. Símbolos geradospor umaMCW

2 × 8

.

nT

s

y

0

n

y

1

n

y

n

= y

n

0

+ y

1

n

0

a

0

0

x

0

a

1

0

x

1

a

0

0

x

0

+ a

1

0

x

1

1

a

0

1

x

0

a

1

1

x

1

a

0

1

x

0

+ a

1

1

x

1

2

a

0

2

x

0

+ a

0

0

x

2

a

1

2

x

1

+ a

1

0

x

3

a

0

2

x

0

+ a

0

0

x

2

+ a

1

2

x

1

+ a

1

0

x

3

3

a

0

3

x

0

+ a

0

1

x

2

a

1

3

x

1

+ a

1

1

x

3

a

0

3

x

0

+ a

0

1

x

2

+ a

1

3

x

1

+ a

1

1

x

3

4

a

0

4

x

0

+ a

0

2

x

2

+ a

0

0

x

4

a

1

4

x

1

+ a

1

2

x

3

+ a

1

0

x

5

a

0

4

x

0

+ a

0

2

x

2

+ a

0

0

x

4

+ a

1

4

x

1

+ a

1

2

x

3

+ a

1

0

x

5

5

a

0

5

x

0

+ a

0

3

x

2

+ a

0

1

x

4

a

1

5

x

1

+ a

1

3

x

3

+ a

1

1

x

5

a

0

5

x

0

+ a

0

3

x

2

+ a

0

1

x

4

+ a

1

5

x

1

+ a

1

3

x

3

+ a

1

1

x

5

6

a

0

6

x

0

+ a

0

4

x

2

+ a

0

2

x

4

+ a

0

0

x

6

a

1

6

x

1

+ a

1

4

x

3

+ a

1

2

x

5

+ a

1

0

x

7

a

0

6

x

0

+ a

0

4

x

2

+ a

0

2

x

4

+ a

0

0

x

6

+ a

1

6

x

1

+ a

1

4

x

3

+ a

1

2

x

5

+ a

1

0

x

7

7

a

0

7

x

0

+ a

0

5

x

2

+ a

0

3

x

4

+ a

0

1

x

6

a

1

7

x

1

+ a

1

5

x

3

+ a

1

3

x

5

+ a

1

1

x

7

a

0

7

x

0

+ a

0

5

x

2

+ a

0

3

x

4

+ a

0

1

x

6

+ a

1

7

x

1

+ a

1

5

x

3

+ a

1

3

x

5

+ a

1

1

x

7

Os símbolos wavelets

y

n

, omo denido em ( TZANNES;TZANNES , 1992), também podem

ser obtidos apartir de um produto matri ial simples,expresso por

y

_{= x · C}

M CW

(2.14)

em que

y

é a palavra- ódigo wavelet e

C

M CW

é uma matriz de odi ação, onstruída a

partir de su essivas repetições e deslo amentos (de

m

posições) da MCW até que o número

delinhas damatriz

C

M CW

sejaigualàdimensãodovetorde bitsde informação quesedeseja

odi ar. Pro edendodessaforma, onsegue-semanterasrelaçõesdeortogonalidadedenidas

pelaEquação(2.6)entre aslinhasdamatriz

C

M CW

,asquaissão exploradasnade odi ação

wavelet, omo poderá ser veri ado napróximaseção.

Cabe observar que o algoritmo de odi ação implementado em ( TZANNES; TZANNES ,

Como ilustração, a matriz de odi ação

C

M CW

obtida a partir da MCW denida em (2.13)é dada por:

C

_{M CW}

=















a

0

0

a

0

1

a

0

2

· · · a

0

7

a

1

0

a

1

1

a

1

2

· · · a

1

7

a

0

0

a

0

1

a

0

2

· · · a

0

7

a

1

0

a

1

1

a

1

2

· · · a

1

7

. . . . . . . . .















(2.15)

Porm,notequea odi açãowaveletentrelaçaainformaçãodetalformaque,emregime

permanente, ada símbolowavelet

y

n

tem informaçãosobre

mg

bits deinformação. Poroutro

lado, ada bitde informação inuen ia

mg

símboloswavelets.

2.3 DECODIFICAÇO WAVELET

Os bits da seqüên ia de mensagem são re uperados da seqüên ia de símbolos

y

n

por um

ban ode orrelatores, om base naortogonalidade entre os vetoreslinha da matrizwavelet.

De a ordo om o pro esso de odi ação wavelet, denido su intamente pela Equação

(2.14), pode-se veri ar que um ban o om

m

orrelatores de omprimento

mg

, asados

om as

m

linhas da MCW utilizada na odi ação wavelet, é su iente para de odi ar

seqüen ialmenteapalavra- ódigo

y

. Dessaforma,asaídado orrelator

z

j

_{, j ∈ {0, 1, . . . , m−}

1}

, asado om a linha

a

j

daMCW, no instante de tempo

i = m(g + p) − 1

, em que

p ∈ N

,

pode ser expressa por

z

_i

j

=

mg−1

X

k=0

a

j

_(mg−1)−k

y

i−k

=

mg−1

_X

k=0

m−1

_X

j

′

₌₀

g−1

X

l=0

a

j

_k



a

j

_k−lm

′

x

j

′

_{+lm+i−(mg−1)}



(2.16)

A partir daEquação (2.6), tem-se

z

_i

j

= x

j+i−(mg−1)

mg−1

_X

k=0

a

j

_k

a

j

_k

= mgx

j+i−(mg−1)

(2.17)

e o bit de odi ado

x

j+i−(mg−1)

na ausên ia de ruído será

−1

se

z

j

i

= −mg

, ou,

+1

se

z

_i

j

= +mg

. Deformageral, levando-seem onsideração ainterferên ia ausada pelo analde

omuni ação sobre os símbolos wavelets transmitidos, assume-se estimativas dos bits dadas

por

x

ˆ

j+i−(mg−1)

=

sgn

(z

j

i

)

Asimpli idade omputa ionaldopro essodede odi açãoéumadasprin ipaisvantagens

da odi ação om wavelets. A de odi ação ótima pode ser onseguida se de isões suaves

forem forne idas pelo demodulador. Isto pode ser obtido fa ilmente utilizando modulação

ASK(BPSK), entretanto deixa de ser trivialsefor utilizadomodulaçãoPSK, APK ouFSK.

2.4 DISTRIBUIÇODOSSÍMBOLOSGERADOSPELOCODIFICADORWAVELET

A partir do pro esso de odi ação wavelet apresentado na Seção 2.2, pode-se observar

queossímboloswavelets

y

n

, odi adosporumamatrizMCWrealplanadeposto

m

egênero

g

, perten em ao onjunto

y

n

∈ {−mg, −mg + 2, . . . , −mg + 2k, . . . , −2, 0, 2, . . . , mg − 2, mg}

(2.18)

om ardinalidade

mg + 1

.

Mostra-senaSeção4.2.1.1queossímboloswavelets têm umadistribuiçãode

probabilida-des dada por 2

Pr(y

n

= 2k − mg) =



mg

k



0, 5

mg

,

_{0 ≤ k ≤ mg.}

(2.19)

A partir daEquação (2.19), veri a-se queos símbolostêm médianula evariân ia

mg

.

Poroutrolado,ossub-símboloswavelets

y

j

n

,denidospelaEquação(2.10),podemassumir

um dos

g + 1

valores apresentados abaixo:

y

_n

j

_{∈ {−g, −g + 2, . . . , −g + 2k, . . . , −2, 0, 2, . . . , g − 2, g}}

(2.20)

Os sub-símbolos

y

j

n

seguem adistribuição de probabilidades

Pr(y

_n

j

_{= 2k − g) =}



g

k



0, 5

g

,

_{0 ≤ k ≤ g}

(2.21) 2

A dedução de (2.21) será apresentada na Seção 4.3.1.1. A partir desta expressão é fá il

on luirque ossub-símboloswavelets têm média nula evariân ia

g

.

2.5 TAXA DA CODIFICAÇO WAVELET

Opro essode odi açãoapresentadoatéomomentotemtaxade odi açãounitária(um

bitdeinformaçãoporsímbolo odi ado

y

n

). Noentanto,a odi ação ommatrizeswavelets

possibilita a obtenção de outros valores de taxa, modi ando-se o nível de sobreposição das

linhas da matriz de odi ação wavelet. A sobreposição máxima o orre quando o

deslo a-mento entre linhas idênti as é igual a

m

, omopode ser observado na matriz em (2.15) para

o aso de

m = 2

, o que resulta na taxa de odi ação igual a 1. Variando-se a sobreposição

das linhas wavelets, pode-se onseguir taxas de odi ação tão pequenas quanto

1/g

. Neste

aso limite, não hásobreposição dos elementos não nulos das linhas daMCW.

Neste ponto, abe notar que a odi ação om matrizes de grandes dimensões aumenta

tantoavariân iadossímbolos,quantoonúmerodospossíveisvaloresdossímbolos odi ados,

de a ordo om as Equações (2.18) e (2.20). Porém, variando-se o nível de sobreposição das

linhas da matriz de odi ação wavelet, é possível ontrolar o aumento dessa variân ia, ao

usto de uma diminuição na taxada odi ação wavelet.

2.6 CONCLUSO

Neste apítulo foi apresentada a té ni a da odi ação de anal om matrizes de

oe- ientes wavelets. As prin ipais propriedades da odi ação om wavelets são resumidas a

seguir:

1. Osvetoresrepresentadospelaslinhasdeumamatrizwaveletsãoestritamenteortogonais.

4. A de odi ação dos símbolos wavelets é onseguida por um simples ban o de

orrela-tores.

Nos próximos apítulos serão apresentados resultados analíti os e de simulação para o

desempenho da odi ação wavelet em anais de omuni ação om ruído aditivo Gaussiano

bran o (AWGN), e em anais om desvane imento. Será visto que em anais AWGN, a

odi ação wavelet apresenta o mesmo desempenho do BPSK oerente. Por outro lado,

em anais om desvane imento plano, a odi ação wavelet supera o desempenho de outras

SISTEMAS BASEADOS NA CODIFICAÇO COM

MATRIZES WAVELETS

Neste apítulo, o sistema proposto em ( TZANNES; TZANNES , 1992), denominado a partir de

agora sistema om odi ação wavelet , será apresentado, e o seu desempenho será avaliado

em dois tipos de anais de omuni ação: em anais ara terizados apenas peloruído AWGN

e em anais om ruído AWGN e desvane imento Rayleigh não seletivo em freqüên ia om

Doppler. Alémdisso,um novosistemabaseadonaintegração da odi açãowavelet aum

es-quemade transmissãoem diversidade temporal, denominadosistema om odi ação wavelet

modi ado, será proposto e avaliado em anais ara terizados pelo desvane imento Rayleigh

plano.

Ambosossistemasdetransmissãosem-oavaliadosempregam onstelaçõesdesinais

origi-nais,espe ialmenteprojetadasparamapearossímbolosgeradospelosesquemasde odi ação

wavelet. A metodologiautilizadanesses projetos foibaseada nabus a exaustiva por

ongu-rações de sinais que onseguissem minimizar a taxa de erro de bit do sistema sob avaliação.

Foram obtidas onstelações de sinais que perten em a duas lasses de modulações distintas,

sendo elas: a modulação APK ( Amplitude Phase Keying) e a modulação PSK ( Phase Shift

Keying).

Odesempenhodeambosossistemasapresentadosneste apítulosãoavaliadosnapresença

de erros de estimação de anal no re eptor. O algoritmo LMS ( Least Mean Square) foi

es olhido aquipara estimar oestado do anal de omuni ação aolongo de ada transmissão,

eo impa todos erros dessa estimação, sobre odesempenho de ambosos sistemas,éavaliado

porsimulação omputa ional.

desempenhodosistema om odi açãowavelet em anais omruídoAWGN.NaSeção3.2,o

desempenhodosistema om odi açãowavelet será avaliadoem anais om desvane imento

Rayleigh plano. Na Seção 3.3, o sistema om odi ação wavelet modi adoé apresentado,

e o seu desempenho é avaliadoem anais om desvane imento Rayleigh plano. Por m, na

Seção 3.4 serão apresentadas algumas on lusões.

3.1 SISTEMA COM CODIFICAÇO WAVELET EM CANAIS AWGN

Nesta seção, o desempenho do sistema om odi ação wavelet, ilustrado na Figura 3.1,

será avaliado em anais om ruído aditivo Gaussiano bran o(AWGN).

Codificador

Wavelet

Decodificador

Wavelet

Receptor

Fonte

Modulador

Demodulador

Antena

Canal

PSfrag repla ements

s

n

x

n

ˆ

x

n

y

n

ˆ

y

n

r

n

Figura 3.1. Diagramade blo osdo sistema om odi ação wavelet.

Neste sistema, a fonte de informação gera uma seqüên ia

x

n

de bits de informação

in-dependentes e igualmente distribuídos. Essa seqüên ia de bits é então odi ada por uma

matriz de odi ação wavelet

C

M CW

, onforme denido em (2.14). Ossímbolos wavelets

y

n

geradosnesta odi ação perten em aoalfabeto denido em(2.18), oqualtem ardinalidade

mg + 1

.

Os símbolos wavelets

y

n

são modulados por uma onstelaçãoASK ( Amplitude Shift

Key-ing) om

mg+1

pontos. Defato,a adaintervalodesinalização

nT

s

umsímbolo

y

n

émapeado

em umaformade onda

s(t)

om amplitudeigual aovalorde

y

n

. Sendoassim,de a ordo om

Supondo que o anal de omuni ação seja ara terizado por um ruído aditivoGaussiano

bran o,o equivalente passa-baixas do sinal re ebido, denotado por

r

n

(t)

, édado por

r

n

(t) = s

n

(t) + n

n

(t), nT

s

≤ t ≤ (n + 1)T

s

,

(3.1)

em que

n

n

(t)

representa o ruído aditivo modelado por um pro esso Gaussiano bran o

om-plexo, om média nulae densidade espe tral de potên ia (DEP) iguala

ℵ

0

/2

pordimensão.

Nare epção,umltro asado onverteosinal

r

n

(t)

novetoraleatório

r

n

= y

n

+n

n

,emque

y

n

é o próprio símbolo wavelet que modula o ASK transmitido, sendo portanto um número real. Oselementos donúmero omplexo

n

n

sãovariáveisaleatóriasGaussianasindependentes

e identi amente distribuídas om média nula e variân ia

ℵ

0

/2

. Em parti ular, onsiderando

o esquema de modulação ASKdenido anteriormente, a densidade espe tral de potên ia do

ruído édada por

ℵ

0

= mg · 10

−0,1(

Eb

ℵ0

)

dB

(3.2)

Note que este sistema tem e iên ia espe tral de 1 bit/s/Hz, portanto, as relações

E

s

/ℵ

0

e

E

b

/ℵ

0

são equivalentes.

A parte real de

r

n

é então enviada ao de odi ador wavelet, que pro ede omo des rito

naSeção2.3. Oesquema demodulaçãoASKutilizadoneste sistemaviabilizaade odi ação

suave dos bits de informação gerados pelafonte.

As Figuras3.2 e3.3 apresentam osresultados de desempenho de erro obtidos a partirda

simulação dosistema om matrizesde oe ientes wavelets de dimensões

2 × 8

e

4 × 16

(vero

Apêndi eAparaosdetalhesdesimulação). AsFigurastambémapresentam, omoreferên ia,

odesempenho da modulaçãoASK binária(BPSK) sem odi ação.

ApartirdasFigurasépossívelobservarque,em anaisAWGN,umsistema om odi ação

wavelet e modulação ASK atinge o mesmo desempenho, em termos da probabilidade de

erro de bit, que sistemas om modulação antipodal (ASK binária, BPSK) sem odi ação,

odi ação ommatrizeswaveletsde orredadisseminaçãodainformaçãode adabitaolongo

de vários intervalosde sinalização, oquenão tem efeitosobre um anal estáti o. Entretanto,

omo será visto posteriormente, em anais sujeitos ao desvane imento Rayleigh, os sistemas

baseados na odi ação om matrizes wavelets apresentamganhos dedesempenho superiores

aos obtidos porté ni as já onsagradasde odi ação.

1e-06

1e-05

1e-04

1e-03

1e-02

1e-01

0

2

4

6

8

10

Prob. de Erro de Bit

Eb/No (dB)

BPSK

PAM-MCW 2x8

Figura 3.2. Desempenho do sistema om odi ação wavelet e modulação ASK simulado om a