Marmo - Desenho Geométrico [v.01]

editora scipione

DIRETORES

Luiz Esteves Sallum Maurício Fernandes Dias

Vicente Paz Fernandez Patrícia Fernandes Dias José Gallafassi Filho Antonio Nicolau Youssef

Joaquim Nascimento GER~NCIA EDITORIAL Aurelio Gonçalves Filho RESPONSABILIDADE EDITORIAL

Valdemar Vello GERÊNCIA DE PRODUÇÃO

Gil Naddaf REVISÃO chefia - Sâmia Rios

assistência - Mir1am de Carvalho AMes

preparação - Irene Hikichi revisão - Eloiza Helena Rodngues, Claudia Blanco Padovan1 e Dráusío de Paula

ARTE

chefia -Antonio Tadeu Damiani coordenação geral - Sérgio Yutaka Suwakí coordenaçao de arte- Edson Haruo Toyota

assistência - Young Lee Kim capa e miolo- Sylv10 Ulh6a C1ntra Filho

ilustrações - Mauricio Negro Silveira COORDENAÇAO DE PRODUÇÃO

José Antônio Ferraz COMPOSIÇÃO E ARTE-FINAL Diarte Editora e Comercial de Livros coordenação geral - Nelson S. Urata coordenação de arte-final - Silvio Vivian coord de compos1ção- Armando F. Tomiyoshi

composição - Maria Aparecida de Souza e Laurencio Mendes V1lela

arte-final - Marta de Souza, Jorge L. Barriunuevo e

Rogério Sardella IMPRESSÃO E ACABAMENTO Ar1es Gr!ihcas e Ed1tora Parilmetro Ltda.

Editora Scipione Ltda MATRIZ

Praça Carlos Gomes, 46 01501-040 São Paulo SP DIVULGAÇÃO Rua Fagundes, 121 01508-030 São Paulo SP Tel. (011) 2391700 Telex (111 26732 Caixa Postal 651 31 1994

Dedicamos o presente

curso de Desenho

Geométrico aos

professores que

permaneceram lecionando

esta matéria durante os

últimos vinte anos e,

também, aos nossos

alunos, com os quais tanto

aprendemos.

I

SUMARIO

APRESENTAÇAO 6

CAPÍTULO

,

A NOSSA HISTORIA

1 TÓPICOS PAGINAS

001

I

AS PROFISS0ES 1

014

11

A COMUNICAÇAO

10

023

III

O DESENHO E A GEOMETRIA

12

036

IV

A TEORIA DOS CONJUNTOS

16

044

v

O DESENHO E AS PROFISSÕES

18

057

VI

OS INSTRUMENTOS DE DESENHO

22

073

VIl

O DESENHO E AS OUTRAS MATÉRIAS 26

086

VIII

DISTANCIAS

32

CAPfTULO

DESENHO GEOMÉTRICO DG

35

097

I

LUGARES GEOMÉTRICOS

35

126

11

ENUNCIADO GRÁFICO EG

42

148

III

MÉTODO FUNDAMENTAl MF

47

160

IV

DESENHO GEOMÉTRICO OG

52

183

v

PROBLEMAS FUNDAMENTAIS

54

CAPfTULO

·

-2

293

330

CAPITULO

383

424

CAPÍTULO

465

494

508

DG

POSICIONAL

I PRELIMINARES

11

ARCO CAPAZ DE

UM

ANGULO

TRIÂNGUL,

QS

I

PRELIMINARES

11

DETERMINAÇAO DE TRIANGuLOS

CIRCUNFERÊNCIAS E

OUADRILÁ TEROS

I

CIRCUNFERlNCIAS

11

QUADRILÁTEROS

III

MISCELANEA

87

87

101

115

116

131

143

143

157

162

APRESENT

ACÃO

I

"Devemos tom11r 8S cotsas stmples. mas não mllts simples do que são."

Einstetn

Pensando na escola como um centro de formação de indivíduos aptos a exercer a sua cidadania, dotados de juizo crítico. capazes de expressar com clareza suas idéias e de compreender os princi-pais problemas que afligem a sociedade atual. não temos dúvidas de que se toma necessário aos estudantes dominar três tipos de lin-guagem: verbal. simbólica e gráfica. A linguagem gráfica tem sido relegada a um plano secundário, abrindo uma lacuna na formação dos alunos.

O Desenho estabelece um canal de comunicação universal pa-ra a tpa-ransmissão da linguagem gráfica. ~ disciplina que permite ao estudante tirar uma série muito grande de conclusões a partir de um mínimo de informações, liberando a criatividade. Interliga as demais disciplinas ajudando a compreensão de desenhos em geral e a reso-lução de questões de natureza prática do cotidiano. O Desenho con-cretiza os conhecimentos teóricos da Geometria, fortalecendo o en-sino desta importante matéria.

Neste curso de Desenho também estudaremos Geometna, sem-pre que julgarmos necessário, sem assumir compromisso com a or-denação lógica que tão bem a caracteriza.

Percebe-se uma tendência mundial no sentido de restaurar o ensino do Desenho. Não poderíamos nos omitir.

Agradecemos â Editora Scipione a oportunidade que nos con-cede de participar desse processo publicando esta obra que preten-de, acima de tudo, evidenciar a importância do Desenho como dis-ciplina formativa.

Receberemos, com muito prazer, criticas e sugestões para me -lhorar este trabalho.

CAPfTULO

A

NOSSA

HISTÓRIA

AS PROFISS0ES

001 Qual o nosso objetivo na vida?

Desde a origem da Humanidade. procuramos resolver nossos problemas pessoais. mas a plena felicidade só é alcançada quando conseguimos ser úteis aos outros.

002 Como se consegue ser

útil?

Exercendo com smor e competlncis alguma profissão. Todas as profis-sões - de qualquer nlvel - são dignas e necessárias.

003 Qual profissão escolher?

O Curso Secundário deve mostrar um panorama das profissões, para que você possa optar corretamente, em função de seus anseios e de suas aptidões. Uma escolha acertada lhe trará grande realização pessoal.

004 Como tornar-se um bom profissional]

Além de querer ser competente, um bom profissional deve ser CRIA TI-VO, isto é, ser capaz de CONCLUIR soluções para os problemas que surgirem.

006 Podem-se usar computadores?

Usados como arquivos de informações (Informática), como calculadoras (computadores), como desenhistas (Computação Gráfica) e como exe-cutantes de tarefas mecânicas (Robótica). são ferramentas de trabalho admiráveis; no entanto não têm CRIATIVIDADE ...

006

Por que os computadores não têm criatividade? A mclauva o a motrvaçlo slo do dos fat01es mult phcallvos da criatividade: se um deles for nulo a crlatlvída· de sor4 nula

A criatividade exige INICIATIVA E MOTIVAÇÃO, que computadores NAO POSSUEM.

INICIATIVA:

Só fazem aquilo para o que foram PROGRAMADOS e só "raciocinam" baseados em ALGORITMOS.

MOTIVAÇÃO:

Como motivar uma máquina?

Numa "geração" futura terão criatividade se, e somente se:

I

a.

b.

tiverem circuitos neurOnicos, que imitam o cérebro humano e/ou forem associados a cérebros humanos.

Na ficção cientffica há os andróides. 007 Como desenvolver a nossa criatividade?

Estudando matérias que permitem treinar essa capacidade inata de CONCLUIR conhecimentos.

008

Devo decorar regras. fórmulas e frases? Só se você for um andróide ou um papagaio ...

009

Mas ... e a teoria?

ENSINAR A APRENDER.

Em qualquer matéria há um conjunto m{nimo de conhecimentos N ECES -SÁRJOS (não pode faltar nenhum) e SUFICIEIIJTES (basta saber esses) pa-ra possibilitar a CONCLUSÃO de todos os restantes.

Esse conjunto chama-se TEORIA MINIMA (TM) Oportunamente veremos qual é a TM da nossa matéria. 010 Como saberei se estou estudando corretamente?

Não se contente em apenas saber como fazer. Queira aprender O PORQU~ de tudo.

QUANDO VOCÊ CONSTATAR QUE É CAPAZ DE CONCLUIR QUE TEM CRIATIVIDADE. SABERÁ QUE É GENTE E NÃO ROB0. 011 Eu gostaria de tentar ...

No decorrer deste curso, não faltarão oportunidades para você testar e exercitar a sua criatividade. No entanto, apenas como um mero exem -plo, daremos um problema e a teoria necessária e suficiente para resolvê-lo. CRIA TIVIOADE ~ A CAPACIDADE DE CONClUIR Stephon Hew· ktng, um dos ma,ores mete· mlnicos deste a~ulo, deteSta olgontmos Uór mulas, equa· ç6cs, ... 1. Certamente elo sabo o potqu6 ... APRENDER A ENSINAR. So bastasse co nhecer e fOrmule E .. me'_ quan· tos sabenam a Teor~e da Relat•· vtdade?

012 TEORIA:

Há seis cores bâslcas:

a. Três primárias: VERMELHO AZUL AMARELO

b. Três secundárias:

ROXO = VERMELHO

+

AZUL VERDE = AZUL

+

AMARELO

LARANJA = VERMELHO + AMARELO

013 O

mistério

da cor de um lenço ...

Numa caixa fechada há um lenço. Um bilhete informa que a cor do lenço é secundária, mas o azul não entra na sua composição. Qual é acor des-se lenço?

-R: ... .

11

A COMUNICAÇÃO

014

Como saber de que teoria vou precisar?

Nós vamos comunicá-la a você usando uma LINGUAGEM, um código.

016

Qual linguagem 7

Num livro poderemos usar três linguagens:

VERBAL: escrita,

SIMBÓLICA: sfmbolos e

GRAFICA: desenhos (inclui diagramas).

~--- ---~

Em classe usamos ainda a linguagem verbal falada e a mfm1ca, com ges

-tos, entonação da voz, expressões faciais, broncas, etc.

ílizando recursos gráficos, tentaremos suprir certas

caracterrsticas da linguagem verbal escrita.

---~ 018 Características? Quais?

Na linguagem comum, de uso geral, há palavras SINÓNIMAS e há pala

-vras que podem transmitir idéias DIFERENTES, conforme a frase onde es

-tão inseridas. Aqui nJo ae pro·

cura transmttlr aenttmentoa e a•m id6• . ..

No estudo de uma matéria técnica ou cientffica exige-se a máxima PRE

-CISAO nas mensagens e deveremos usar uma LINGUAGEM técnica, com termos técnicos e sintaxe técnica.

017

O que slio termos técnicos?

A Matel'n4tlc:a, a São termos que, em cada matéria, assumem significados especfficos; os Ff1lca. ate.

pro-curam definir bons dicionários citam esses significados. Por exemplo, o termo "ele -aeua termos menta" em Matemática e em Qufmica tem significados diferen1es. t6cnicoe.

018 O que é sintaxe técnica?

~uma forma de compor o texto de modo a torná-lo mais PRECISO e CON -CISO. Por exemplo:

NUMA DEFINIÇÃO·

"Triangulo é um polrgono com três, e somente três, lados". Sem a ex

-pressão "e somente três" não estaremos precisando (exatamente) quan

-tos lados um polrgono deve ter para ser denominado "triangulo".

NUMA PROPOSIÇÃO:

Procuraremos usar sempre uma forma mais concisa - e, portanto, mais clara:

SE (HIPÓTESE!, ENTÃO (TESE!

O grande mattt· ~tieo GIUIGPPO Peeno c 1932· 1858 • 74e I tentou inventlf uma linguogem quo Cite denoml· nou de "lntetlin· gua ·•. ou sela. linguagem intor -nacional. Stntal!e 6 uma parte de Gra· ~tlca.

Verbal

O 19 O que

é

linguagem simbólica?

É aquela que emprega símbolos:

O símbolo (implica) significa que a partir da HIPOfESE conclui-se a H SE e o

I •)

esclarece qual o motivo da implicação.

020

Chamam-se RECIPROCAS entre si duas proposições onde a HIPQTES[ (ou parte) de uma está na TESE= da outra.

Uma proposição DIRET A pode ter uma ou mais recíprocas verdadeiras

ou falsas.

Apenas quando há UMA ÚNICA reciproca e ela é VERDADEIRA, pode-se

usar o símbolo BI·IMPLICA (cot) e/ou " E RFCIPROCAMENTE".

021

O

que

é

linguagem gráfica?

022

É aquela em que a mensagem é transmitida por um desenho:

• O primeiro desenho "diz graftcamente" que 8 é um subconjunto de A. • O segundo (parte hachurada) é a "defintção gráfica" de coroa

circular.

Qual a melhor linguagem

7

s mbólca e grél ca

A SIMBOUCA e a GRAFICA são mais conctsas e são un1versa1s (não dependem do idioma); ambas podem substitUir longos textos.

A GRAFICA, sendo v1sual, é melhor compreendida; "ver para crer" . . • As três se eqUivalem e podem ser traduzrdas entre si e entremeadas.

VcrdadCII<t s gfll I ::a que é oc.cot<>

III O DESENHO E A GEOMETRIA

023

Quais as relações entre estas matérias? Bem Tntimas. Um casamento perfeito.

Ambas estudam as FIGURAS GEOMtTRICAS. com seus conceitos e suas propriedades.

O Desenho é a GEOMETRIA GRÁFICA.

024

No que diferem? É a Gcomctroa MOderno Euclides lséc I a.C.I. em su · obra Elemenro nAo usou nümt ros, só llgurn

A Gcometna estuda as FIGURAS relacionando-as com NÚMEROS (abs· tratos). que são suas HEOIDAS.

O Desenho estuda as figuras (abstratas) relacionando-as com suas re -presentações (que são concretas). O Desenho concretiza os conhecimen -tos teóricos da Geometria.

025

E na prática?

O Desenho consegue:

DCFINIH conceitos, uEMONS IRAR propriedades e

ncs

VER problemas.

026 Elas silo estudadas juntas?

Esta sena a maneira mais didátrca de serem estudadas.

Todos os ramos do conhecimento estão entrosados entre si e separá -los torna-os compartimentos estanques PreJudicado é o

aluno que precisa estudar l

uv:... .

.

.

'---

-027

Como serlio representadas as figuras? a. SIMBOLIC.AME:NfE: INOIAÇAOl.

Por letras - latinas ou gregas.

Mmúsculas latinas: a. b. c, d. e ... . Ma1úsculas latmas: A. B. C. D. E . .. . Minúsculas gregas: o, {J. y, ó. t, <fJ, ... 8. n, ...

NO TEXTO TtCNICO OU SIMBÓLICO·

ESTAS lETRAS T~M "CHAPE:US''

---~~~~~

"Chapéus" da moda:

Segmentos ( ) Retas 1-1 Semi-retas (-) Ângulos (A)

NO DESENHO, e somente no desenho:

Para não "polui-los" - são a nossa principal forma de comunicação

-As foguros só oxostcm no nos se omDgoneçio. por ISSO s!o lbS

AS LETRAS NÃO T~M "CHAPÉUS"

b. GRAFICAMENTE·

[

Por Dl SENHOS {concretos) que devem ser o mais parecidos

passivei com as FIGURAS (abstratas) que representam.

Nos desenhos os "cha~us" sio desnccessãuos. é óbvoo que silo loguras

I

Os desenhos slo fCIIOS de tonta, goz, grDiote, por osso sõo con

trotas. cretos

028 Como serão representadas as medidas?

r

MAX

M

O

l

L : DIDA de um;-grandeza é um NÚMERO associado à grandeza

~

-1 e à UNIDADL:.

80 o quê>

km h. molhalh, .1

MEDIDA ..,. NÚMERO + UNIDADE

a. SIMBOLICAMENTE:

Pelas mesmas letras da grandeza, mas sem o "chapéu".

~

b. GRAFICAMENTE·

[

Por um dos segmentos que têm AOUHA MEDIDA

e

"'~AO I A. I'. uADE. _{_j}

I

029 FIGURAS NÃO " MEDÍVEIS": Ouonto menor o "pmgo''. moos se parecerA com o ponto geomó troco (abstrotol A "rodtnha" pro tege o "prngo" das "maldosas hnhas".

Os "chapéus" não são tidos ... PONTOS. A, B,

C

,

A

--

...

RETAS· a , b . c . .. . ... a ...

....

...

>

--

--ou AB . ... 12 pontos)

<

SEMI-RETAS:

A;;

,

..

.

Ãá

,

~ ~

,

(A 1.• letra sempre designa a origem A)

.--~/ '

Paro dostongollr h· guras de numc· ros.

Uma medtda po

de ser dada gra· hcamente

Os tr~s ' trato nhos' ond ocam Que o desenho podo conttnuur e slo taculrotHfOS

030 FIGURAS QUE SÀO GRANDEZAS:

SEGMENTOS lA grandeza é

o

comprimento):

FIGURA: AB ou m. A m

MEDIDA: AB

=

m.

ou m

ÂNGULO~ IA grandeza é a abertura): FIGURA aVb ou AVB ou à, .. .

Mr:OIDA aVb ou AVB ou(}, .. .

IA letra central sempre des1gna o vértice V)

8

----

--

_--

b

~ =-,.--~ - - _. . - ._,_

- > '~ liiõil~·· '-"=! JW~·· . ·- • •

-031 O que significa f1guras corncidentes?

B \ \ I I \ \ \ Qual o de ma or gr ndcza? {, > iJ. Ftguros d suntas C~ I &lo hguras nio come den Significa que uma mesma figura, por algum motivo,

rece~

eu

LETRAS _{_} (nomes) diferentes. mas trata-se de u_{_} MA

_0

.

_tes

R m S o - - - -- o M m' N

-

---

·

032 I:XLMPLOS:

c

·

.

.

- - r • •

J

O srmbolo (=).relacionando figuras, ind1ca que elas são COINCIDEN1ES. 1sto é, trata-se de uma só f1gura.

Esse mesmo s1mbolo I- ) relacionando 1"1 )MERO(, md1ca que eles são

IGUAl • 1sto é, o mesmo número (3 - III = ... ).

Como representar figuras coincidentes?

Obv1amente pelo mesmo desenho

033 O que

é

direçào?

É o "algo comum" ao conJunto das retas paralelas a uma determinada rota.

Duas retas cha mam se pareie las se e somen te se

ai s4o coplono I C$

bl nlo tlim pon to comurr.

034 Mas ...

é

abstrata?

Sim. É tão abstrata como um número, um ponto, uma reta .... uma for ça .... mas PODE SER AEPAESLNT ADA.

r

---

• A

10

_L

035 Como?

Por uma das retas que têm a drreção:

-Direção r (somente no texto e em línguagem simbólica usa-se o "cha -péu"}. Oa "chap us' de&neceasalnos nos desenhos, so m11m "oo lullos·

IV A TEORIA DOS CONJUNTOS

036

J6

estudei Isso ...

Sabemos ... Essa teoria é importante exatamente porque nos fornece

lin-guagens (técnica, simbólica e gráfica) precisas, claras ,e concisas, além

de objetivas, isto é, comum a todos nós.

Peano, Que ae preocupava com a clareza das mensagens. fOI um dos l)fecvr aores d na UIO

Por que não empregar essa maneira de comunicar idéias técnicas e cien- ,.₈

037

038

<I oS sllo leu as quo dea•gnam propncdades

trficas?

Nós utilizaremos esses recursos. Prepare-se.

[

DETERMINAR significa ou DAR ou OBTER.

O que

é

elemento genérico?

Em um conjunto C, determinado por uma propriedade caracterfstica

a::

.

há um subconjunto S cujos elementos têm - além de

<r.

-

uma

SEGUN-DA propriedade $.

( •) GENF.RICO: tem APENAS a propriedade

<r.

dos elementos do conjunto

c.

(• •I PARTICULAR: tem TAMBtM a propriedade$ dos elementos do sub-conjunto S.

039 Para que serve isso

1

Repetuemos o ou Cexcluslvol para do1xar claro que SO HA

rc

SAS poss1bthda dos Um conJUnto 6 determinado se e 501'rleflte se ou é dado ldando.e os seus elomcn tos) ou~ obtfvel (pela sua pro

poededc Cllf8C terfs tlell.

040

Vale para um GEN~RICO

(Tem

<l:l

...

A recrproca é falsa.

Vale para qualquer PARTICULAR (Tem <l~ + $)

041

NAo compreendi o porquê ...

Oual é a propriedade q

;

característica dos polígonos do conjunto T?

R: ······-··· Oual é a SOMA dos ângulos internos de um poHgono com apenas TRtS lados?

R: ... ··· ... .

CONCLUSÃO:

[~

Propriedad

~

~

OMA

(internos) = 180°

~

-

~

Para demonstrar que SOMA

=

180°, deveremos partir de um 6 que tem apenas~.

042

Gostaria de testar se compreendi ou não. Parabéns! É assim que se aprende.

Responda sim ou não:

a. Um 6 isósceles genérico tem uma certa propriedade. Quais 6s obri

-gatoriamente têm essa propriedade? a,. Triângulo genérico

a₂• Triângulo retêngulo

a₃• Triângulo eqüilátero

a₄• Triângulo retângulo-isósceles b. Um 6 retângulo tem uma propriedade

Quais 6s obrigatoriamente também têm? b,. 6 genérico

b₂• .6 eqüilátero

b_{3 •} 6 retêngulo·isósceles b~. 6 isósceles

Acertou TODAS ~ compreendeu.

043

Em resumo:

R

:

R ... ..

R:

R: ... . R: ... . R: ... .

R

:

R: ... .

[

SE vale para um GENEAICO, ENTAO vale para qualquer

PARTICULAR.

V O DESENHO E AS PROFISSÕES 044 Como o Desenho auxiria as profissões?

De duas maneiras· Plano do d se

nhO papel lou REPRESENTANDO - no plano de desenho - as figuras e as gran -dezas e RESOLVENDO GRAFICAMENTE os problemas.

sa,

045 Quais figuras e quais grandezas?

Neste hvro, apenas as figuras e as grandezas contidas num mesmo pla -no, ísto é, CC P•.ANARES.

Figuras e grandezas não-coplanares s:Jo estudadas por outras partes do Desenho: Geometria Descritiva, Perspectivas, Desenho Técnico, etc. 046 Como representar uma figura plana?

[ O desenho e

a

figura real deverão ser SEMELHANTES entre si. ÂNGULOS

Todos os ângulos - correspondentes - se conservam com suas medidas. SEGME:NT05

Todos os segmentos - correspondentes - conservam a MESMA PA 7AO (razão de semelhança) entre suas medidas; as medtdas do desenho são sempre os l'vUMERADORf:S dessas frações.

04 7 O que

é

escala numérica?

ESCALA NUMtRICA DESENHO FIGURA ESCALA NUM~RICA

E

A RAZÃO OE SEMELHANÇA DO DESENHO PARA A FIGURA, OU E FORMAM UM PAR ORDENADO (DESENHO, FIGURA>.

{1 °1

(2°1

Uma escala numérica E é um número (puro) sem unidade - e é sem -pre escrito na forma:

X

>

1 ESCALA REDUZIDA 1:x ... 1

DESENHO

<

FIGURA X

X

>

1 ESCALA AMPLIADA x·1 .-~

DESENHO

>

FIGURA . 1

X ""' 1 ESCALA NATURAL

DESENHO :: FIGURA _{{congruentes; E} ...., _{1) .}

Resotvet grafiCa mente IJ{lmfiCI resolver dele Ilhando Em ftguru mclhantu· • os lngulos correspon dentes têm me~ mo didae b. os segmen· t05 corrn pondentes estio numa ~~· zl:» (razjo d seme lhançal A noçlo inturuva de par orden do 6 utllísslma em QUalQuer mDt611a t6cnica ou Cletltl· fiCa

Por quo nlo Ull6

la7

Um par ordena do 6 um par on de sabe-se qual é

048 O que significa cotar um desenho?

Significa escrever no desenho as medidas da figura. As medidas do de -senho não são escritas porque - se necessário poderão ser medidas.

049 Como obter a escala de um desenho?

Dividindo um COMPRIMENTO lmedida de um segmento) do desenho pe -lo comprimento do segmento correspondente da figura e AMBOS NA MES

MA UNIDADE.

Exemplo:

• Um segmento de 8 m está desenhado com 8 cm. Qual

a e

scala E? • Resolução: Para poder "cortar" a UNIDADE, o numerador

e

o deno

-minador deverão estar na MESMA UNIDADE: E = DESENHO (8 cm)

=

FIGURA (8m)

(8 cm) 800cm

060 Em que escala está a planta abaixo?

1

=

,.,.

100 E = 1:100 R: ... . Cotada em m. BANHO DORMITÓRIO SALA X 10,00

051 Qual a dimensão x da construção?

• A parte clara da foto abaixo é um embrião de galinha, com 7 dias

de idade. Nesse estágio a cabeça é quase do tamanho do resto do

corpo.

052 Qual

a

escala numérica?

2:1

R.: ... .

Qual é a maior distAncia entre dois pontos da cabeça 1

R6 .~:~.~.~~ ........... ... . ... .

053

O

que

é

uma escala gráfica?

Como diz o nome, é uma escala que vem desenhada. Escreve-se nela a

UNIDADE- (m) utilizada para medir os segmentos da figura.

o

5 . 10

I

I

I

I

I

t

I I 1

I

I

5

I

20

I

5 30

I

m

É utilizada em mapas, onde é ditrcil cotar as distâncias, em desenhos que

serão fotografados e quando o papel pode "trabalhar", isto é, encolher

ou dilatar~se (a escala e o desenho variam em proporção direta). Além

disso, é VISUAL (linguagem gráftca) 054 Como se procede?

Leva se o comprimento - do desenho para a escala - com uma tira de

papel ou com um compasso de pontas secas {ambas de aço).

Na escala acima, o segmento AB mede 12m. Verifique.

055

O

que é uma escala física?

A med1da de qualquer grandeza (volume, superffcie. velocidade. acele· ração, força, temperatura, etc.) pode ser representada por:

• UMA RAZÃO lagora tem unidade): E

=

1 cm : 5 litros; E = 1 cm : 1 O m/s;

E = 1 mm: 10 Newton; E = 1 cm.15°C; ... ou • UM SEGMENTO:

20 mls

056

Existe a profissão de desenhista?

NAo somente existe, como há especializações: na Arquitetura, na Cons-truçJo Ctvil, nas Indústrias ( máqutnas, ve(culos, ... ), no desenho de livros (arte ftnalistas), etc.

Em São Paulo, por exemplo, há poucos desenhistas que sabem desenhar a perspectiva de um prédio visto de baixo para cima •.•

HA

AINDA BONS COLtGIOS PROFISSIONALIZANTES.

O estudante já se forma com alguma prof1ssão e pode optar se vai ou não prosseguir numa faculdade.

Este ou nlto é ex

VI OS INSTRUMENTOS DE DESENHO 057 Quais sAo?

São tantos que não citaremos todos, mesmo porque é possfvel até in-ventar novos instrumentos ...

Os principais são a régua graduada, o compasso, o jogo de esquadros e o transferidor.

Os bons s!o caros e devem ser manejados com capricho e conhecimento.

058 A RÉGUA: para traçar retas.

É uma escala gráfica ( 1:1) PORT ATI L graduada em mm ou O, 5 mm. Deve-se usar a borda baixa:

o

GRAFITE F

GRADUAÇÃO: para medir COMPRIMENTOS

1 ~APROXIMADO

AB

=

20.7 mm (Erro mjximo = O. 5 mmt

lL... GARANTIDOS.

2

069 O COMPASSO: traça circunferências.

Ponta seco espe cial para nlo "ar rornbar" o p ;~c

( óbv1o que l e L' conservam sou5 compu· m(lfltoa

É o mais PRECISO e precioso entre os instrumentos que estamos apre

-sentando. MAOEJAA OP = r é

o

RAIO. Mantendo o centro

'O

FIXO e a abertura A CONSTANTE. o grafite

Ji

traçar6 uma

circunferên-cia ou parte tarco).

Justifica-se pelo critério LAL' de congru6ncia de trilngulos. O erro gr6flco é mev1tllvel. po de•so apenas d m•nuf·lo Aconsc1_{ha ao o} emprego do lap st11r as t1po kol t nor. D d 2 mm apontada com hxa O p1or defe to de um compasso é f1cor "bombo"

060 Jogo de esquadros

Trabalham SEMPRE JUNTOS, o de 45° e o de 60°, sendo um FIXO e o outro MÓVEL. 061 Traçado de paralelas: - - - I FIXO fbitm f1rmel MOVEL

(sem desloc;ar o outro)

Qualquer dos dois pode ser usado como "o fixo" do par. 062 Traçado de perpendiculares: Rctpresenta um 6ngulo reto I / . . - - - A

.,...----...

/ b I ' Esta 1lustraçfi lnd1C8 O CSpiÇI para você de sonhar

,

.

Entenda o PORQUÊ para não precisar decorar o COMO:

Gira-se de 90° o móvel em torno do vértice V do seu ângulo reto.

Assim, todos os elementos do móvel, inclusive sua h1potenusa ÃB, gi

--

-

-ram 90° e AB torna-se perpendicular ( s l à reta r dada.

Após o giro, o móve'.,pode "escorregar" no fixo para traçar outras per-pendiculares, como a,

b,

...

,

se precisarmos

063 Trace por

P

e

O

paralelas e perpendiculares à

7

.

•

a

p

0

0

Acertou os ALVOS (

0 )

?

064 Por que

é

errado usar um só esquadro?

l:

um erro operacional, pois:

a. o vértice

X

do ângulo reto rXs não resulta bem preciso e b. cada perpendicular exige "um ajustamento".

065 TRANSFERIDORES:

para medir lngulos

.

MC!d &e a "obertUfo" do 6nguo; o que mots poderia mos medir?

•

APROXIMADO o = rOs =

48.S

0 _{(Erro mjximo = 0,6° = 30')} u _GARANTIOOS 066 No 6ABC. meça â,

{3

e

y.

c

A. R: a = . .1.1~.~

... : (J

= ... ~~~ ... : y .. ~.~~ ... (a

+

(J

+

y

=

180°).

•

•

•

.

..

Serve também para desenhar &ngulos de med das dadas Sempre c:ttando a unidade (grou I

067 OUTROS INSTRUMENTOS:

tecnlgrefo

pantógrafo

068 PARALELÓGRAFO:

~ um instrumento utilizado pela Marinha e serve para traçar paralelas; seu funcionamento é explicado por propriedades dos paralelogramos.

--

--

---,.-,l(

~

l_

__

__z_...~

;;r

---

r

069 TRANSPORTADOR DE ÂNGULOS.

~ um instrumento utilizado em marcenaria.

~·

070 "BISSETÓGRAFO".

Acabamos de inventá-lo. Você também poderá criar outros instrumen

-tos; é só aplicar as propriedades da Geometria ...

A

bissetr~z

B

A,

V

e B são três pontas-secas. Em P, que é um ponto da bissetriz, coloca

-se o grafite.

071 Que propriedade utiliza o ''bissetógrafo'' para o seu funcionamento? R: ...•....••••..

072 Há ainda elipsógrafos para traçar elipses, parabológrafos para traçar pa

-rábolas, etc.

Estudaremos essas curvas CON ICAS no livro 3 deste curso.

dmtrável com-;; os egípcios construíram as suas pirâmides com -anha precisão e utilizando instrumentos daquela época. É um bom mplo do que se pode conseguir quando se quer.

---~

Instrumento do Galileu Galilel (de 16061 para vó r~os empregos.

de soe mud11 ••· calas de deso·

nhos ••• calcular

JUrOS compostos.

Os gcómetras egfpcros eram denominados .. cstrcadores de COfda .. ; 1 corda lo1 a precursora do compasso.

VIl O DESENHO E AS OUTRAS MATÉRIAS 073 Resoluções de problemas.

Há os seguintes recursos para resolver problemas das várias matérias: Analrtfcos: equacionar e depois computar.

Gráficos: desenhar.

F'slcos· concluir respostas com base em maquetas (túnets de ven

-to, modelos de barragens, laboratórios, etc.). Ultimo recurso: TENTA; IV AS ...

074 Relação dados: respostas.

075

Em problemas reais - não apenas teóncos - os dados são sempre mais

ou menos IMPRECISOS e, por isso, não tem cabimento apresentar as res -postas até a "enésíma" casa decrmal.

Por exemplo, na planta de um loteamento as frentes dos lotes - estava escrito - eram de 14,788236 m ... ; nem com um aparelho a laser é pos

-srvel demarcá-los no terreno.

O "profissional" simplesmente computou: dividindo 251,4 m (frente da

quadra) por 17 (número de lotes), dá 14,788236 m e computador não erra ...

A precisão de uma resolução gráfica é perfeitamente

COMPATÍVEL com a práttca.

Não têm significado respostas enganadoramente precisas.

076 Problema de Ffsica:

-

--Obter a resultante OR das forças OA e 08. DADOS:

-Módulo é o valo• Módulos: de OA

=

a

=

3N

da grandeza sem

-sinal + ou-. de OB

=

b

=

5N

Ângulo entre as forças: 56

°.

TEORIA (necessária e suficiente):

-O módulo (intensidade) r da resultante OR é representado pela diagonal

õR de

um paralelogramo de lados ã e

b

.

Obter uma força é obter seu módulo (r) e sua direção (determinada por o).

Rascunho:

(sem escala)

A _R

A Topograho

pane da Enge

ntulr1a que estu· da a med.çAo e cfema,caçto de globes O PCSQUI· se a melhor for· ma de compen· ltu os lf'IOVfttlvetS encn comettd<n nas modtç6cs de campo

Uma gleba pod

ser um terreno, um sft10, uma fe·

Use esquadros t rransfondor. RESOLUÇÃO GRÁFICA: Escolha uma escala; por exemplo: 1

cm:

1 N. Copie nessa escala -o desenho do rascunho: 1 ?) OB

=

5 cm. 2?) 56°. 3?) OA

=

3 cm. 4? J Obtenha R traçando as paralelas. Desenho em escala: R r= ... ?:?.~

.

...

.

...

.

...

; a

=

Se você souber resolver analiticamente, obterá r ;:;; 7.125713 N e

a= 20°25' 41,592".

Graficamente -na escala adotada - obtemos r - 7.13 N e a

=

20A0

(ou 20° 24'). Com um desenho maior, bons instrumentos, capricho e boa técnica ao desenhar, obteremos precisão maior.

077 Problema de Espionagem:

Precisando descobrir a altura x de uma torre

CD

vertical e inacessfveJ. um agente posicionou-se em

A

e

1l

-

coRneares com

15

-

e anotou os dados:

ESBOÇO: é um dese -nho nlo em escala. ESBOCO

c

Antigo Muro de Berlim Como tinha pressa e não havia computador já programado para esse pro

-blema, foi a um escritório de Engenhana onde sempre há uma pran -cheta - e obteve x •.. Como?

Adotou (por exemplo) a escala 1:100 e COPIOU o esboço, mas em escala.

R X

=

....

!~

...

m.

(;ue~ndc

o

I

1:100 • 1 cm- 100 cm • 1 cm ... 1 m.

078 E se A,

B

e

O

não fossem da mesma reta?

Nesse caso A. B, O e

C

não estariam num mesmo plano e seria um pro

-blema de Geometria Descritiva

Coltnearcs da mesma reta RESOLVA GRA FICAMENTE EM FOlHA AVULSA. USE A PRAN· CHETA A prancheta não ó s•mplosmcntc um móvel dcco f811VO

079 O Desenho aplicado

à

Óptica (parte da Flsica).

080

081

Sabe-se que todos os raios de luz que incidem num espelho refletem-se

de modo que i

=

r; i'

=

r'; ... \ n I

\

I

i

\ I

I

ffi·

ESPELHO \ / PLANO • . I I • Problema de Óptica: Num bloco maciço foi feita uma concavidade (buraco) com forma esférica e de cen

-tro O.

A superfície do buraco foi es

-pelheda e tornou-se um ESPE-LHO CÓNCAVO.

L é uma pequenfssima lãmpa

-da, quase um ponto, e chama

-se rONTE PONTUAL. Pesquisa cientrfica:

,

.

I _ . ...-· , L"'~---·

-'

_'

_o

.

n / / /

,

.

I

>

/ ESBOÇO

,.

BLOCO

l

Todos os raios luminosos emitidos por L, após se refletirem num L _espelho esférico, passam ou não por um mesmo ponto?

Para responder, temos os seguintes recursos:

• FÍSICO <EXPERIMENT AU

Num laboratório há aparelhos que permitem obter essa resposta. Cus

-tam caro. GRÁFICO·

-O raio LO reflete-se sobre si próprio, pois incide com ângulo zero; é um raio particular.

Os raios incidentes

Ü

e

ü·,

genéncos. retornam obedecendo 1 = r

Para verificar se TODOS passam por um mesmo ponto, basta verificar se

I

ou três genéricos

ou dois genéricos e um particular,

após as reflexões, passam ou não por um mesmo ponto .

..._

__ _

1 ~) Desenhe uma circunferência de centro e raio arbitrários. 2~) Tome um ponto [arbitrário (mas genérico).

3 °) Com instrumentos trace os três raios luminosos.

LABORATóRIO GRÁFICO ENTRE QUEM QUISER

082

Os raios refleti dos passam ou não por um mesmo ponto?

R: ... ..

Em países onde a verba para o ensino é escassa, seria conveniente incentivar o estudo dos recursos gráficos e não,

083 Um último exemplo:

Destinado a mostrar que:

Se, e somente se, num mesmo desenho há duas (ou mais) grandezas DIFERENTES, usam-se escalas DIFERENl ES; é óbvio

que uma para cada grandeza.

084 Problema de Engenharia:

AC esté numa parede vertical e

"Cll

num fol'fo horizontal. Escolher os ca-bos de aço AO e 08 para sustentar um peso méxlmo de 5 000 N. Observe os dados na figura e na tabela:

Esboço cotado em m:

T

C!. N

1

/ / • R / / CABO RESIST~NCIA MÁXIMA (n!)

CN)

.._ 001 1 000

-002 2 000

-003 3 000 I

--

-/ I 004 I I I 005

,.

I • p 006 RESOLUÇÃO:

Adotemos por exemplo - as escalas:

Comprimentos 1 ·1 00 ( 1 cm : 1 m) Forças (intensidades) 1 cm : 1 000 N

Acompanhe, em seguida, a execução.

4 000

·

-

-5 000

·

- -

-I

6 000

-1~. ri ~~gnihcl c~rcunferêncra I ou MCOI de cen tro õ e roto'· Em Fls•co, eles prezam ac cn pe·

sos dos cabos

que 8llO conSidc

rodos mcxtensl ve•s c perfeita mente flexlvcrs.

despreza se o atuto 11as I'Hgolas e consrdera se

um valor aproKt

mado para o aoe

loraçlio da gra VJdado. Tem cabimento fazer a conta com mu•tas ca sas dectm8Js7 EXECUÇÃO.

1. Desenhe abaixo um ângulo reto.

2. Marque CB = 5,0 cm e CA

=

2,0 cm.

3. Os arcos (A; 3,5 cm) e (13; 3,6 cm) determinam o ponto

õ.

4. Na vertical, marque OP

=

5,0 cm.

-5.

Por

P

trace a paralela à AO, obtendo o ponto

'S;

R

é desnecessário. 6. Meça

õ'S

e

'SP,

transforme em N e responda:

R Cabo

õA

n ~ ... C??.~

...

...

e cabo '013 n ~ ... ~~ ... ..

085

Para três cabos não-coplanares, a resolução gráfica é feita em Geome -tria Descritiva e é mais fácil e rápida do que resoluções analfticas.

VIII DISTÂNCIAS

Precisamos esclarecer o conceito de DISTÂNCIA, que será utilizado no

próximo caprtulo.

086 1

Em Geometria Euclidiana define-se:

DISTÂNCIA entre duas figuras geométricas quaisquer é sempre a

MEDIDA do menor e único segmento com uma extremidade em

cada uma dessas figuras.

087

A

distância, sendo uma medida, pode ser enunciada:

ou por um NUMERO seguido pela unidade

ou por um SEGMENTO desenhado na escala utilizada no desenho.

088

A

Entre DOIS PONTOS

d

B

Entre PONTO e RETA

p

Entre PONTO e CIRCUNFER~NCIA

d p

089 A distância existe entre as figuras. isto é, de qualquer das duas à outra. Por

exemplo, a reta

r

dista d de P.

090 Meça a distAncia entre A e B (em mm):

A _B

R AB = ... !~!

..

..

...

.

mm.

As du s I'Uuras não devem 'e' nenhum ponlo comum

091 Meça a distAncia entre Per (em mm).

R· Distância = ... ~~ ... mm.

092 Meça a distAncia entre as paralelas

r

e

s.

Esn ex•gtncn .. deve·•c é precl·

slo dos conce1·

tos e nAo A prec•

sio da medtda

A distância (que é um número, uma medida} é única; para medi-la é obri-gatório traçar previamente uma das perpendiculares comuns às retas dadas.

I

R

Distância

=

...

~~

..

...

..

..

mm.

093 Existe distAncia entre retas concorrentes?

Não. Não é definida.

"Chutar" onde med~r, é pro1b1· do ..• Modtr o s~men· to Põ J. r com Õ em 7 é o certo.

094 O que significa o termo eqüldistante?

a. Diz a lenda que os irmãos gêmeos ROmulo e Remo fundaram Roma em 753 a.C. Qual era a sua idade na ocasião?

R: Não sei, mas sei que eram iguais entre si.

b. Do1s pontos eqUidistam de uma reta As distâncias são conhecidas?

São 1guais?

R. da 1 ~ pergunta: ... . R. da 2 • pergunta: . .... ... . .. .. ... .. . ... .. c. Um ponto eqüidista de duas retas. Quais são as d1stências entre o

ponto e cada reta? O que sabemos dessas distancias?

R. da 1 ~ pergunta: ... . R. da 2 ~ pergunta ... .

096

CONCLUSÃO DESTE CAPfTULO ZERO:

Somente e g•· néluco mental deaenvolve 1 parte do Cérebfo reapons4v ~MM cnauvidodc.

A criatividade que exige motivação e iniciativa - é inata, mas prec1sa ser DESENVOLVIDA mediante exercrcios apropriados

e constantes, uma verdadeira ginástica mental.

~--- ---~

Isso será feito nos próximos caprtulos.

096

Já estudamos alguns conceitos e propriedades da Geometria. Sempre que for necessário, e nas ocasiões oportunas, estudaremos outros, mas não na ORDE.NAÇAO em que são estudados em Geometria.

Nlo se trote de deaenvolver e

CAPfTULO

DESENHO GEOMÉTRICO DG

I lUGARES GEOMÉTRICOS

097 Este é um assunto de Geometria que será aqui estudado sob o enfoque gráfico da Geometria Gráfica (Desenho).

098

O

que

é

uma figura

7

Figura é um CONJUNTO - não vazio - de PONTOS. A intersecção ( n) de duas retas paralelas é uma figura?

R

:

...

...

...

..

..

...

..

...

....

.

..

...

...

...

....

....

...

.. .

Cite cinco figuras conhecidas.

R:

..

.

...

...

...

..

..

..

....

...

...

...

...

...

....

...

...

.

..

...

..

...

.

099 H6 figuras sem nome?

Sim, a seguir você verá as representações de algumas, contínuas e des -contrnuas .

...

.

.

'.

··.

..

.

.

.

.

.

..

.

·

····

.

:

.

_...

_.

..

.

.

.

.

.

/

\

.

.

100 Como determinar uma figura?

OU DAMOS a figura. dando o seu desenho como fizemos acima,

OU ENUNCIAMOS uma propriedade caracterrstica <C da figura.

TODOS os seus pontos e SOMENTE eles a tenham.

101 Todas as figuras têm propriedade característica?

Não. As desenhadas no item 099. por exemplo, não têm nenhuma (que

se saiba .. ).

1

02 Sabendo-se a propriedade <r;. é posslvel desenhar (obter) a figura

7

Sim, mas somente se ([; for geométrica.

1 03 Essas figuras têm nome?

Sim. Elas, e somente elas. foram batizadas com o nome de LUGARES GEO METRICOS. cujo apelido é LG.

104 De onde surgiu esse esdrúxulo nome?

Um LG é o "lugar" onde PROCURAR UM PON

r o

que possui uma certa

propriedade '' geométnca' '.

106

Então o que é um LG? Complete:

Se nJo souber,

r$1ete o n! 100 LG é uma figura tal que:

a

. .

.

...

..

..

.

...

..

.

.

..

.

...

...

.

.

...

..

..

..

.

...

e

b . ... têm uma propriedade ... comum, e reciprocamente.

1 06 Como convencer-se de que uma figura

é

ou não

é

o LG dos pontos

que têm uma propriedade ~?

Chamemos de cp (lê-se "f1") a f1gura "candidata" a LG. Deveremos sem -pre fazer duas. e só duas, verificações antes de nomeá-la LG:

a. um PONTO GENERICO (todos) de cp deverá ter a propnedade <C e

b. (basta um só dos seguintes caminhos):

OU TODOS os pontos fora de cp não têm

<r::

OU um PONTO GENÉRICO que tem <I:: está em cp.

107 Para que serve o estudo dos LGs?

Os LGs constituem grande parte da TEORIA MiN MA ITMl do

nosso estudo e conhecê-los é 1mprescindrvel.

DISTÂNCIA d (determinada)

de

um PONTO Õ (determinado)

108

Desenhe

o LG dos pontos que distam

d

de

o.

SE ou Õ ou d nlo forem

ou dedos ou obtfve••·

ENTÃO nlo d6 pare desenhar o LG.

109 O •co

ÃCà

é

o LG dos pontos que dis

-tam

r de Õ? Por quê?

R: ... ..

11

O

Obtenha I I um I ' ponto

X

que dista a

de

A

e b de

ã

.

"Um" s~nlfice "pelo menoa um" e deve·•• obter "um

-toa quen-toa houver". desde que seja posafvel.

111 Quantos hé? R: ... . O segundo é um "CLANDESTINO" ... Figurerp CIRCUNFEA~NCIA (Õ; d)

[

·

o

B c <(I ~

·.

A 8

•

b

Propriedade

cr:

DISTÂNCIA d (determtnada)

de

uma RETA

T

(determinada)

112 Desenhe (com esquadros) o LG dos pontos que distam d

de

r

.

Repita, até gravar:

"O LG é

o

PAR", ...

d

=

zero .,. LG =

r

(coincide)

11 3 A reta

s

1/

r

à

distAncia m

é

o LG dos pontos que distam m de

r

?

Por quê?

R: ... .

114 LEMBRETE:

Mediatriz {m) de

Ali

é

a reta .L AB no seu ponto médio M.

É teoucamenre errado ...

M

pode ser obtido (não em DG):

ou pela medida de AB ou por tentativas. d Figura rp PAR DE PARALELAS à reta

Y'

e

distantes d de

Y'

.

#

•••

~

-

-.---

-

. ....,... ._.

-- III

I • - •

-

. - ~ _ _ _ m.,.b-. - - - -•11) . . •• ··~'- _,.. 11 ! - • _ __ _ '"--~~ - : I . , . I m

Propriedade CC

--~-~--t

EQUIDISTAR de

DOIS PONTOS A

e

B

115 Desenhe (com esquadros) o LG dos

pontos que eqüidistam de A e

8

.

Quais pontos devem eqüidistar de A e

B?

R: Todos

os pontos da

... .

... .. . . .. . . .. . . e somente eles.

116 Dos pontos nomeados ao lado:

Eqüldistam de

Jt

e

B:

R: ... . Nlo eqüldistam de ~ e

B:

R: ··· ... . A Figura cp MEDIATRIZ de AB E ® m • R

s

F B M A(j)....--~--~ 8

117 O segmento

RS

é

o LG dos pontos eqüldistantes de A e

B7

Por quê?

R: ... .

118 LEMBRETE:

Brssetriz de um Angulo é a SEMI-RETA INTERNA - com origem no vérti-ce - e que o reparte ao melo (blsseçAo).

Propriedade CC

r---

~---~

EOÜIDIST AR de DUAS RETAS

r

e

s

CONCORRENTES.

1 1 9 Desenhe o LG dos pontos eqüidi

stan-tes

de

7

e

s

.

Você poderá usar:

ou só transferidor

ou transferidor e esquadros. 120 Note bem que o LG

é

A QUADRA.

Bissetriz é - por defíníç!o uma semi-rete.

Propriedade

cr:

EOÜIDISTAR de

DUAS RETAS

r

e

s

PARALELAS

121 Trace o LG dos pontos eqüidistantes de

r

e de

s

.

122 É a mediatriz de AB. A Figura qJ É A QUADRA de BISSETRIZES dos ângulos

A.

---'

Figura qJ É A RETA (paralela à

r

e à

s)

EOÜIDISTANTE de

r

e

s.

•

--~---'

123 Oportunamente estudaremos outros LGs e esperamos que - até lá

-você possa conctur-tos sozinho.

124 RESUMO:

'

SIGLAS PROPRIEDADES FIGURAS

f

-l1 DISl AR de UM PONTO CIRCU"Jr ERÊNCIA f -l2 ,_ l3 ,__

---

---

-

----

-

-!--1

DISTAR de UMA RElA PAR Dl: PARALELAS

lOUIDISTAR de DOIS PONTOS

I

MEDIATF~

I

Z

-

r-

--

-

---

-

- ...

- - - 1

l4 CONCORHENitS- QUADRA Of BISSt TRIZES

COÚIOISTAR de DUAS RETAS

l4a PARALELAS- RETA FOÚIDISTANTE

125

Observe a ordenação lógica:

l1 e l2: DISTÂNCIA determinada de "UM"

(ou um PONTO ou uma RETA determinados).

L3 e L4: EOÜIDIST ÂNCIA (só temos a igualdade) de "DOIS" Cl4al (ou dois PONTOS ou duas RETAS determinados).

Se num "outro mundo" estudarem LG, certamente a ordenação será essa ...

DISTAR de um PONTO ~ L 1 DISTAR de uma RETA ..,. L2

F.OÜIDIST AR de DOIS PONTOS ....,. L3 EOUIDIST AR de DUAS RETAS *+ L4

Dclerm•neda:

11

ENUNCIADO GRAACO EG

126 O que

é

um problema?

~ uma questão pedindo para:

OBTER uma resposta a partir de

DADOS necessários e suficientes.

127 Como podem ser esses dados e a resposta?

FIGURAS,

MEDIDAS e RELAÇ0ES.

1 28

Relações 7 Quais?

Entre FIGURAS: de pertinência, de paralelismo, de perpendiculari

-dade, etc.

Entre MEDIDAS: igualdades ou outras proporções.

129 Como comunicar quais os dados e o que se quer?

Fornecendo um texto - num idioma - em linguagem TÉCNICA, deno

-minado ENUNCIADO do problema.

130

Pode-se usar a linguagem gráfica?

131

132

Você previu o que vamos estudar ...

PODE-SE, CONVÉM e, portanto, DEVEREMOS usar, em Desenho, esse tipo de enunciado, tão útil que até foi batizado com o nome de

ENUNCIADO GRÁFICO EG

É fácil compreender um EG?

Para um telegrafista é fácil entender a mensagem; ele sabe o Código

Morsa ... Se você souber o CÓDIGO GRÁFICO ... A • -

_H

_••••

o---

v···-B -••• I

_••

p

·--·

W•--c

- ...

_{J · - - -}

_o

--·-

X ... _

o-··

K

-·-

R

·-·

Y-•--E • L •-••

s

•••

z

--··

F ••-•

M--

T

G--·

N

-·

u

··-l

H~ quem com· preonda Braille, taquigref••· par· dtutas musicais.

133 Qual

é

o código gráfico?

QUAL O CODIGO

DE. UM IDIOMA

PONTOS DADOS: "Rodinhas" nas letras e/ou • "bolinha" cheia.

RETAS DADAS: "Rodinhas" nas letras e/ou ''farpas" junto à letra.

MEDIDAS DADAS: "Farpas" no segmento que a representa; num ân -gulo, "farpas" na abertura e "rodinha" na letra.

o•IIIIIIIIIIIINIIIIII!IIiliiiiiiii'IIIIIIIIC

3cm

IGUALDADES: O mesmo número de "tracinhos" quando deverão ser congruentes.

SEGMENTOS E

J

ÂNGULOS CONGRUENTES

(~I

..,. !MEDIDAS IGUAIS I = )

PONTOS

e

RETAS PROCURADOS: Interrogação[?] Junto à letra.

PONTOS AINDA NÃO COPIADOS: ._. "Bolinha" vazia. M

L

~r.·~~Tt-..;-- -. - : - 1 • • • ...---- -:~ - ·

--

-EG fn~ 133)

134 Traduçlio do EG anterior:

Dados A, B, r e

s

,

obter

X

e

Y

em r eZem

s,

tais que XA

=

XB,

ZA ZB e YB

=

3 cm.

Obtenha as respostas:

I

• • . . .

,. -.. "'.·v-

I

-~ ... :I . • , .. ·, • •

135 Obtive dois

V

I...

Está correto. No EG você coloca uma só resposta para ENXERGAR o pro

1 36 O EG deve ser feito a mJo livra?

137

138

NlJo é obrigatório mas é conveniente; assim você só acreditará em coi· Parec:41 11e1 mas sas comprovadas geometricamente e não no que PARECr SER No EG, nlo •···

que fizemos, o M BX "parece" ser eqüilátero mas não é obrigatonamen

-te eqüilá-tero e sim obrigatoriamente isósceles.

É ingenuidade acreditar num desenho geométrico feito

a

mão livre ...

Para desenhar o EG, freqüentemente é mais fácil começar pela

resposta e depois colocar os dados.

______

_,

Para exemplificar, resolva o problema seguinte, mas desenhe antes o EG.

Como é um problema simples, não é obrigatório desenhar o EG; você po

-deria apenas IMAGINA-LO, mas desenhe·o para treinar. Apenas saber

a

Pllll treln•v• .. ginástica não desenvolve a musculatura ...

139 Traçar a circunferência que passa por

A,

B e

C

.

EG CONSTRUÇÃO

140 Outro exemplo (faça o EG e a construçlo no n~ 142):

141

142

143

144

Tra~ar por JS~ rata_x que cont6m um ponto

X

distante m de

A

e n

de 8, sendo

P

.

A. B

.

ma n dados.

Antes de desenhar o EG é necessáno fazer uma INTERPRETAÇÃO DO TEXTO.

Releia o texto até captar a mensagem

EG CONSTRUÇÃO

p _B

~---m---~

Você já deve ter percebido que se:

A

-~

Um PONTO só pode ser obtido pela

INTERSECÇÃO DE DOIS LGs (LINHAS).

e

CADA LG é desenhado a partír da sua PROPRIEDADE CARACTERISTICA.

então

14

₅

r--

_{Tendo-se DUAS PROPRIEDADES geométricas}

l _

de um PONTO, pode-se obtê-lo graficamente.

146 _{Para obter uma RETA, basta obter DOIS de} seus PONTOS (distintos um do outro).

147

I

_{Para obter uma CIRCUNFFRENCIA de RAIO DETERMINADO, só}

I

falta obter o CENTRO.

---~ Num mapa tcn do se a let tude e a ong tude po de se obter o o ca e .. ato do nau frág o

III

M~TODO

FUNDAMENTAL MF

148 O

que é

um

método 7

Tome·•• um

"flllxa preta"

em Dftef'lho.

É um modo de proceder que nos torna organizados e:

[

A ORGANIZAÇÃO é um dos fatores que aumentam a CRIATIVIDADE TtCNICO-CIENTÍFICA.

149 Qual

é

o MÉTODO FUNDAMENTAL?

É um método de trabalho que propõe o seguinte:

Para resolver sozinho um problema que - para você - é desconhecido,

proceda sempre (para criar o hábito) como segue:

1? MOMENTO:

Leia o enunc1ado e interprete-o para captar:

QUAIS OS DADOS e

O QUE SE QUER.

2? MOMENTO:

Df:Sf:.NHE no rascunho um EG.

3~ MOMENTO (CRUCIAL .. ):

RACIOCINE para descobrir qual o caminho que

- partindo dos DADOS - o levará à RESPOSTA.

4! MOMENTO:

Escreva um ROTEIRO, de preferência em linguagem simbólica, para

guiá-lo durante a execução do desenho definitivo.

5?

MOMENTO:

COPJ E o EG mas:

com INSTRUMENTOS e

AClRTANDO AS MEDIDAS CORRETAS.

150

EG

"TRABALHADO"

EGT:

EGT é um EG onde, além de TODOS OS DADOS e de

UMA DAS RESPOSTAS. desenhamos também I"JDICAÇOES que nos permitem copiá-lo.

161 Para descobrir a resolução, você precisará saber as pnncipais proprieda

-des das figuras. São poucas e as que ainda não v1mos serão estudadas

antes do seu emprego em problemas.

162

MOMENTO FINAL:

Sempre que possfvel, CONFIRA a resposta.

A ffiCIE.NCIA aumenta com a ORGANIZAÇÃO. lnd•cafemos LG c:om treço-pon to.

1 53 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MF: Pense om ol guém 16 com o compauo pron to e que nlo sa be onde "espe télo"

No n ~ 154 h4 um problema cuja resolução vamos concluir juntos com

todo o cuidado possCvel para você aprender o M( TODO e não apenas o

problema.

1! MOMENTO:

Le•a o enunciado e mterprete o texto.

2! MOMENTO:

Desenhe o EG. Neste exemplo já está feito.

3~ MOMENTO (RACIOCrNIO DETALHADO):

a. Há pontos dados? Quais? R: ... .

b. Há retas dadas? Quais? R: ... .

c. Há medidas dadas além de AC, BC e AB? R: ... ..

d. Qual a figura procurada? R; ... .

e. Você já sabe qual a abertura do compasso? R: ... .

f. Você iá sabe onde "espetar" a ponta-seca? R: ... .

g. Qual ponto deveremos procurar? R: ... .

h. O que precisamos para obter graficamente esse ponto 7

R: ... ..

i. Você já sabe quais são? Se sabe, então já resolveu ... Se não sabe,

procurei Do L1 ao L4:

j. X está a uma distancia DETERMINADA de um dos pontos determina

-dos? R: ... .

k.

X

está a uma distancia determinada de uma reta determinada?

R: ... .

I. X eqüidísta de dois pontos determinados? R: ... .

Caso sim, de quais pontos? R: ... .

m.

X

eqüidista de duas retas determinadas? R: ... .

Caso sim, de quais retas? R: ... .

4'? MOMENTO:

Escreva o roteiro.

5 '? MOMENTO:

Copie o EG ou o EGT, obtendo a resposta.

MOMENTO FINAL:

154 PROBLEMA: Toona cnt6no Lll de congrulncto de lfiangulos. Eventualmente md~earemos a 01 dom em que u "bolinhas" bfan·

cas vão sendo

''mortas" com

nümeroa em seu

intctrtOr.

Um mesmo nu·

mero •nc:l•ca quo

foram obtidu si·

multaneamente

Dados o .óABC e m, pede-se uma circun

-ferlnda de ralo m que determina nos la -doa do .óABC trls segmentos de mesmo comprimento.

®

m.

dado EGT A 8

c

8

c

3~ MOMENTO (RACIOC(NIO):

SE a incógnita é uma circunferência de RAIO DADO.

ENTÃO só falta obter o seu centro.

ROTEIRO (COMO COPIAR):

1) '"hçll-se • blaetriz de

AAc

.

2t

li"açll-se • bissetriz de

atA

(bastam

duas biasetrizea).

3) Essas bissetrizes te

encontram no

cen-tro

X

procwedo.

4) Traça-se • circunfer6ncla (X; m).

166 2~ EXEMPlO (~

o

n~ 183):

P.ra voei apr•tder o MF e nlo apenu o problema.

1~ MOMENTO:

Captou quais os DADOS e o QUE SE OUEA7

167

2: MOMENTO

:

Desenhe o EG de modo que TODOS os dados fiquem bem visfveis (sal

-tem aos olhos ... ). Siga o código gráfico. 3~ MOMENTO (RACIOCÍNIO):

168 a. A resposta é uma reta

x

da qual já temos

JS

;

qual ponto vamos pro

-curar?

R: ...•.

159

b. Como

se

obtém graficamente um ponto?

R: ... .

160

c. Voc6 jé percebeu quais são esses l.Gs?

161

R

: •...

..

...•...•...

.

....

.

...•...

.

...

.

.

..

...•.

..

.

...

...

.

Caso sim, você já CONCLUIU como resolver este problema; caso nlo, precisamos procurar esses LGs, do l1 ao l4.

OUEM PROCURA. lOOO ENCONTRA E

QUEM

NAO PROCURA.

S0

ACHA POR MUITA SORT

E.

..

182 Quem ainda nao viu, procure:

Será o L17 R: ... . Seré o L27

R

: ...

...

..

.

...

...

... .

Será o l37 R: ... .. Será o L47 R: ... .

163 PROBLEMA:

164

165

166

167

Traçar por

P

uma reta

x

tal que um seu

ponto

X

seja eqüidlstante de

15

,

~e!.

Poderiwnos ter dado um enuncilldo maía simpla, mas faz

parte do aprendizado voe~ saber Interpretar textos ...

TIRO AO ALVO -~ p B

-

._,~ ~ RACIOClNIO (Resumido): ESCREVA ROTEIRO (Resumido):

Apenas dois exemplos não bastam. Até o término deste livro, veremos muitos.

Quando você adquirir prática no MF, estará concluindo resoluções sozinho.

IV DESENHO GEOMÉTRICO DG

168 O

que

6 desenho geométrico DG?

o

~ o assunto principal do nosso estudo.

~a parte do Desenho (de figuras planas) onde deveremos empregar co

-mo únicos instrumentos:

A RtGUA - mas não a graduação - e o COMPASSO.

L..----2 3 4 5 8 8 9 1 O 11 12 13 14 1 b Hl 1 7 18 19 20

169 E a graduaçAo?

Somente para desenhar as medidas DADAS e medir as RESPOSTAS.

1 70

E os outros instrumentos?

Existem para serem utilizados nas outras partes do Desenho.

171 Mas ... na Era dos Computadores?

Exatamente. É um bom modo para exercitarmos a nossa capacidade de concluir.

172

Como?

...

Concluir significa basear-se em coisas anteriores, e

o

DG inicia

o

seu

es-tudo com apenas dois postulados:

Traçar algnlflca

desenhar um tra •

QO contl~o. nu·

me úmca op 111

ç!o.

Í

DOIS PONTOS (distintos) determinam UMA ÚNICA RETA, que só pode ser traçada com a régua.

-

-

---~

173 Podendo se usar esquadros, UM PONTO e a DIREÇAO de uma reta DE-TERMINAM essa reta.

174

UM PONTO (centro) e UMA DIST ÁNCIA (raio nio nulo) determinam UMA JNICA CIRCUNrER~NCIA, que só pode

ser traçada com o compasso

175

É

como num jogo de xadrez?

~ como qualquer jogo; deveremos obedecer às regras ...

176 Só régua e compasso produzem maior precislo7

Não. O processo de obtenção do ponto méd1o de um segmento por ten

-tativas pode até ser mais preciso do que o utilizado em DG.

o compes$0 nlo

COflM9utl traçar

nenhuma outra

177 O que

é

uma operação gráfica?

[

É um traço feito de uma só vez.

1

78

O

que é uma construção gráfica?

[

É o conjunto ORDENADO de operações gráf1cas

que levam à resposta 1 79 O que

é

um roteiro?

Basta o como, o

porQuê 6 IDCUho

tiVO

É a descrição da construção gráfica.

~--- ---~

180 Como desenhar com

boa

precisão?

~ necessário querer, usar bons instrumentos e ter conhecimentos..

Qual-quer pessoa sã pode desenhar com precisão 181 Quais c-o-n-h-e-c-i-m-e-n-t-o-s?

Os mais importantes são:

Um ponto é obtido com maior precisão quando as linhas não são muito obl(quas.

~--- ---~

\

\

MAL \ BEM\

Ao obter uma reta, faça o possfvel para que os do1s pontos não fiquem muito próximos entre si

~--- ---~

MAL

._

________ _

BEM

E esses erros se acumulam .•.

182 Como influir nisso 7

Numa construção, quando um elemento for teoricamente arbitrário,

tome-o

ARBITRÁRIO, mas CONVENIENTE

Para isso, é necessário "pré-ver" o prosseguimento da construção.

Exemplo no n •

V PROBLEMAS FUNDAMENTAIS

183 Serão os nossos primetros problemas de DG propriamente d1tos. Iremos resolvê-los juntos para serv~rem de exemplos de aplicação do MF.

Queremos ensinar o MF e NÃO APENAS OS PROBLEMAS.

1 84

Posso tentar sozinho?

Pode, e você os resolverá, mas esses problemas são como a tabuada e convém até decorá-los.

185 Qual a teoria de Geometria necessária?

PROPRIEDADES DOS LOSANGOS:

a. LADOS:

os opostos paralelos; os quatro congruentes.

b. DIAGONAIS:

mesmo ponto médio;

perpendiculares entre si; bissetam os ângulos.

O TEXTO e o DESENHO "dizem" o mesmo.

1 86 Como se nomeia um polfgono 1

Usaremos normalmente a notação: ou nch: Notação Cfclica Horária

ou ncah: Notação Cfclica Anti-Horána.

Evitaremos empregar

LJ uma notação cruzada {ACBD, ... ).

•

187

Nos próximos quatro problemas, o EG será um losango a mão livre, o

que se consegue com mais facilidade começando a desenhá-lo pelo ân-

L

gulo reto. ~

188

Qual

é

o 1 <? problema?

(~e~

Traçar a PERPENDICULAR a uma reta

r

por um ponto

B

fora da reta. LEIA O TEXTO. a. Quais os dados? R: Figuras:

r

e B.

Relação: perpendicularidade.

b. O que se quer?

R

:

-

x .l

-

r por 1'\ c.

B

~

~

Qual figura tem um ângulo reto?

R: O losango genérico (inclUI os particulares).

EG: Desenhe um losango genérico ABCD e assinale os dados

(r

e

B'J

:

®

@

xPI

x(?l - .. --_...