UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE
DO SUL – UNIJUI
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS - DCEENG
FERNANDO DA CRUZ SCHULTZ
MODELAGEM MATEMÁTICA E APLICAÇÃO DE MÉTODO DE CONTROLE
IMPLEMENTADO EM UMA PLATAFORMA BIRROTOR COM SISTEMA EM
GANGORRA
Ijuí 2019
MODELAGEM MATEMÁTICA E APLICAÇÃO DE MÉTODO DE CONTROLE
IMPLEMENTADO EM UMA PLATAFORMA BIRROTOR COM SISTEMA EM
GANGORRA
Trabalho de Conclusão de Curso de Engenharia Elétrica apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Engenheiro Eletricista.
Orientador: Prof. Dr. Manuel Martin Perez Reimbold
Ijuí 2019
FERNANDO DA CRUZ SCHULTZ
MODELAGEM MATEMÁTICA E APLICAÇÃO DE MÉTODO DE CONTROLE
IMPLEMENTADO EM UMA PLATAFORMA BIRROTOR COM SISTEMA EM
Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado para a obtenção do título de ENGENHEIRO ELETRICISTA e aprovado em sua forma final pelo professor orientador e pelo membro da banca examinadora.
Ijuí, 04 de Fevereiro de 2019.
Prof. Dr. Manuel Marin Perez Reimbold
Doutor pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Orientador
Prof. Julio Cezar Oliveira Bolacell
Coordenador do Curso de Engenharia Elétrica/UNIJUÍ
BANCA EXAMINADORA
Prof. Mestre Eliseu Kotrinski
Mestre pela Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
Agradeço à minha família por toda a base e esforço que me deram para chegar aonde cheguei.
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais e esposa, por toda a base e apoio que me deram para cursar o ensino superior. Aos meus professores, pelo vasto ensinamento que servirá como grande contribuição para a minha vida profissional.
Aos meus colegas, que sempre estiveram presentes ajudando uns aos outros.
Ao meu orientador Dr. Manuel Martin Perez Reimbold, por todo o auxílio, paciência, prontidão, dedicação e apoio que foram fundamentais para a conclusão deste trabalho.
RESUMO
SCHULTZ, Fernando da Cruz. Modelagem matemática e aplicação de método de controle
implementado em uma plataforma birrotor com sistema em gangorra. 2018. Trabalho de
Conclusão de Curso. Curso de Engenharia Elétrica, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, Ijuí, 2019.
O presente trabalho propõe a modelagem matemática do ângulo pitch para RPA e construção de um protótipo com sensores, motores e hélices além de outros equipamentos necessários para seu funcionamento, capaz de demonstrar fisicamente a movimentação de uma plataforma de testes aplicada a veículos aéreos não tripulados. O projeto é de âmbito acadêmico e visa auxiliar as futuras turmas de controle, para que seja possível implementar controladores variados a um algoritmo pré-determinado efetuando poucas alterações, assim agilizando o processo de aprendizado. O dispositivo desenvolvido na pratica apresentou resultados favoráveis e após algumas modificações estruturais atuou de forma esperada.
ABSTRACT
SCHULTZ, Fernando da Cruz. Modelagem matemática e aplicação de método de controle
implementado em uma plataforma birrotor com sistema em gangorra. 2018. Trabalho de
Conclusão de Curso. Curso de Engenharia Elétrica, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, Ijuí, 2019.
The present work is a mathematical modeling of the angle of inclination for the RPA and the construction of a prototype with sensors, motors and interfaces besides the components necessary for its operation, able to physically display a wheel of a test platform applied to non-aerial vehicles manned The project is academic code and auxiliary visa as the future control groups, so that it is in fact the existence of variable variables is a pre-adjustment algorithm throughout the changes, thus streamlining the learning process. The device developed in the performance had favorable results and after some previous operations in an expected way.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Quadricoptero... 15
Figura 2.1 – Movimento da massa presa em uma mola. ... 17
Figura 2.2 – Sistema superamortecido resposta gráfica. ... 19
Figura 2.3 – Sistema criticamente amortecido resposta gráfica. ... 19
Figura 2.4 – Sistema subamortecido resposta gráfica. ... 20
Figura 2.5 – Movimento do pêndulo simples. ... 21
Figura 2.6 – Equacionamento das forças. ... 22
Figura 2.7 – Sinal gerado pelo ESC. ... 26
Figura 2.8 – Diagrama de blocos do ESC. ... 27
Figura 3.1 – Diagrama de blocos em malha fechada. ... 35
Figura 3.2 – Polos oscilatórios, PID por alocação de polos. ... 37
Figura 3.3 – Inserção do zero real para estabilidade ... 38
Figura 4.1 – Motor brushless (BLDC). ... 38
Figura 4.2 – Forma de onda aplicada ao motor BLDC. ... 39
Figura 4.3 – Bateria lipo. ... 40
Figura 4.4 – Hélices 8x6. ... 41
Figura 4.5 – Acelerômetro e giroscópio MPU6050. ... 41
Figura 4.6 – ATMega 2560. ... 42
Figura 4.7 – Posicionamento dos eixos em relação ao frame do quadricóptero ... 42
Figura 4.8 –Estrutura da gangorra. ... 43
Figura 4.9 – Sistema de atuação. ... 43
Figura 4.10 – Diagrama de blocos birrotor. ... 45
Figura 4.11 – Diagrama de blocos PID paralelo. ... 45
Figura 5.1 – Simulação do sistema. ... 46
Figura 5.2 – Simulação no Simulink. ... 46
Figura 5.3 – Resposta da simulação com perturbação ... 47
Figura 5.4 – Diagrama em malha aberta ... 48
Figura 5.5 – Resposta em malha aberta MODELO 01. ... 49
Figura 5.6 – Resposta em malha aberta MODELO 02 ... 50
Figura 5.7 – Variação dos sinais PWM para constante de empuxo ... 52
Figura 5.8 – Plataforma de aquisição do empuxo. ... 52
Figura 5.9 – Controle com aplicação matemática ... 54
Figura 5.11 – Resposta ao degrau para controlador PID. ... 56
Figura 5.12 – Estrutura plataforma birrotor. ... 58
Figura 5.13 – Diagrama de blocos sinal de saída em tempo real. ... 60
Figura 5.14 – Sensoriamento. ... 61
Figura 5.15 – Dados de saída do display. ... 61
Figura 5.16 – Sinal de saída em tempo real MPU6050. ... 62
Figura 5.17 – Montagem final da estrutura. ... 64
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Variáveis de aplicação. ... 24
Tabela 2.2 – Resposta dos Ganhos PID. ... 30
Tabela 4.1 – Caracteristicas do motor BLDC ... 39
Tabela 5.1 – Parâmetros da Plataforma ... 47
LISTA DE SIGLAS
PID Proporcional, Integral Derivativo.
VANT Veículo Aéreo Não Tripulado
USB Universal Serial Bus PWM Pulse Width Modulation SPI Serial Peripheral Interface MEMS Microelectromechanical Systems SIMO Single Input Multiple Output I2C Inter-Integrated Circuit
ANAC Agencia Nacional de Aviação Civil
A/D Analógico para Digital
D/A Digital para Analógico
CC Corrente Continua
EDO Equação Diferencial Ordinária
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... Erro! Indicador não definido.
1.1 VEICULOS AÉREOS NÃO TRIPULADOS (VANTs)Erro! Indicador não definido.
1.2 OBJETIVOS ... Erro! Indicador não definido.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO... Erro! Indicador não definido.
2 EMBASAMENTO TEÓRICO ... Erro! Indicador não definido.
2.1 MODELO MATEMÁTICO MASSA MOLA .... Erro! Indicador não definido.
2.1.1 Modelagem do pêndulo simples ... 20
2.1.2 Modelagem da Hélice ... 23
2.1.2.1 Determinação do Torque (Q) e Empuxo (T) ... 23
2.1.3 Momento de Inercia ... 25
2.1.4 ESC (Eletronic Speed control) ... 26
2.1.5 Acelerômetro e Giroscópio MPU6050 ... 27
2.1.6 Controlador PID ... 29
3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO PITCH E MODELO DE CONTROLE... 30
3.1 MODELAGEM DO BALANÇO ... 30
3.1.1 Modelo do ângulo pitch ... 31
3.1.2 Plataforma para aquisição do ângulo pitch ... 32
3.1.3 Sintonia por alocação de polos ... 34
4 MATERIAIS E MÉTODOS ... 38
4.1 DESCRIÇÃO DOS COMPONENTES ... 38
4.1.1 Motor Brushless ... 38
4.1.2 Controlador Eletrônico de Velocidade ... 39
4.1.3 Baterias Lipo ... 39
4.1.4 Hélices ... 40
4.1.6 Microcontrolador ... 41
4.2 METODOLOGIA DE TESTES ... 42
4.3 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE ... 43
4.3.1 Controlador ... 45
5 RESULTADOS E DISCUÇÃO ... 45
5.1 SIMULAÇÃO DA GANGORRA ... 45
5.2 ATUADORES – MOTORES E HÉLICES ... 47
5.3 PLATAFORMA DE EMPUXO ... 51
5.4 CONTROLADOR PID ... 53
5.5 DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA... 57
5.6 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA ... 58
5.7 AQUISIÇÃO DOS SINAIS DA PLATAFORMA ... 59
5.8 APLICAÇÃO PRÁTICA ... 62
6 POSSIVEIS MELHORIAS NO PROJETO ... 65
CONCLUSÃO ... 66
14
1 INTRODUÇÃO
1.1 VEICULOS AÉREOS NÃO TRIPULADOS (VANTs)
São aeronaves que não necessitam de piloto, sua trajetória e controle são operados por circuitos remotamente localizados, não necessitando de intervenção humana no processo de voo (Vasconcellos, 2013).
Descrito pela Agencia Nacional de Aviação Civil (ANAC) um dos órgãos regulamentadores do espaço aéreo brasileiro, os VANTs são caracterizados por: Aeronave Autônoma e Aeronave Remotamente Pilotada (RPA), (ANAC, 2018).
Aeronave Autônoma uma vez programada não permite intervenção externa durante a realização do voo, a RPA consiste na aeronave em que não existe piloto e seu sistema é controlado remotamente (ANAC, 2018).
Na ANAC os VANTs se subdividem em Drones, aplicados a finalidades não recreativas e os aeromodelos aplicados em recreação e uso civil. A quantidade de motores e hélices define seu tipo, quatro hélices (quadricóptero), cinco hélices (pentacoptero), seis hélices (hexacoptero) e assim sucessivamente.
A utilização de VANTs possui aplicações em mapeamento, filmagens em geral, fotografias de alta resolução. Contribuem para vários setores como agricultura, transporte, policiamento civil e de trafego, análise de redes elétricas, dentre outros (Cavalcanti, 2011).
Se tratando de aeromodelos o mais disseminado é o quadricóptero (modelo com quatro hélices) asas rotativas e motores instalados nos quatro cantos de uma estrutura cruzada, no centro de massa os equipamentos de medição e controle, Figura 1.1 (Cavalcanti, 2011).
15 Figura 1.1 - Quadricóptero
Fonte: (Cavalcanti, 2011)
Utilizando os ângulos de Euller (roll, pitch e yaw) e aplicando as ações necessárias em cada motor é possível manter a estabilidade de voo do sistema, para o deslocamento em torno dos eixos (Mendonça, 2014).
Unidades inerciais de baixo custo, giroscópios e acelerômetros, integrados na tecnologia MEMS (Microelectromechanical Systems), obtém ângulo de inclinação do objeto em relação à superfície (Mendonça, 2014).
Com os motores desacoplados é possível testa-los aos pares obtendo a resposta do movimento em roll e pitch com um grau de liberdade para os movimentos do aeromodelo. A estabilização de dois eixos de forma análoga pode ser feita usando a mesma metodologia, os ângulos modelados são o ângulo em x (roll) e y (pitch) (Vasconcellos, 2013).
O desacoplamento do quadricóptero da origem a dois subconjuntos chamados birrotores, cada um conta com dois atuadores (motor e hélice) que são testados separadamente. Para aplicação do teste de estabilidade é necessário à modelagem matemática dos ângulos e análise comportamental dos mesmos em um grau de liberdade.
A relação de analise angular pode ser bem identificada com a aplicação de um sistema que simula uma gangorra, esta estrutura quando estabilizada coincide com ângulos estáveis no quadricóptero.
16 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Descrever a modelagem matemática do ângulo pitch, utilizando a análise sob um grau de liberdade.
Aplicação e desenvolvimento do controlador PID e descrição da sintonia de controle.
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
Capitulo dois, embasamento teórico aprofundando o conhecimento em sistemas massa mola, pêndulos simples, hélices e inércia.
Capitulo três, modelagem matemática do movimento pitch dos ângulos de Euller e aplicação de controlador PID.
Capitulo quatro é o desenvolvimento da metodologia aplicado à modelagem e o controlador.
Capitulo cinco aborda as simulações e a discussão dos resultados obtidos
2 EMBASAMENTO TEÓRICO
Para a análise do problema proposto adota-se um referencial fixo no centro de massa da estrutura. Também é necessário levar em consideração os efeitos aerodinâmicos que atuam em cada hélice e a interferência mutua dos propulsores (Vasconcellos, 2013).
2.1 MODELO MATEMÁTICO MASSA MOLA
Conforme descrito por (Wolfgang Bauer At. Al., 2012), o equacionamento inicia-se pelo sistema de pêndulo simples. Onde seu movimento para ângulos pequenos de deslocamento em um referencial de dois eixos é equacionado por um modelo similar ao Massa Mola Livre Amortecido. Cuja equação obtida é um Movimento Harmônico Amortecido sendo um típico movimento de vibração livre com amortecimento, será descrito a
17 Equação Diferencial do Movimento Livre amortecido como consta em (Dennis G. Zill, 2003).
Conceito de movimento harmônico baseado na Segunda Lei de Newton, depois que uma massa é conectada em uma mola ou uma haste rígida sempre se relaciona a mesma a uma posição de equilíbrio.
A equação Massa Mola é o seu peso (W) definido com W=m*g, onde a massa (m) é medida em quilogramas ou gramas, e gravidade é (g) =9,8 m/s².
Conforme descrito na Figura 2.1 se observa a massa se deslocando por uma quantidade X de sua posição de equilíbrio.
Figura 2.1 – Movimento da massa presa em uma mola
Fonte: (Equações diferenciais com aplicações em modelagem, 2003).
A força restauradora da mola será supondo que não haja forças de retardamento sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas.
Movimento livre – é possível igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora conforme a equação 2.1.
(2.1) O sinal negativo da equação indica a força restauradora contrária ao movimento. Dividindo a equação por m se obtém a EDO simplificada do sistema.
(2.2)
A Equação Diferencial Ordinária (EDO) envolve a derivada da função de uma variável independente, sendo neste caso a variação do movimento da massa em x.
18 Como modelada em relação a um sistema amortecido é necessário determinar a EDO do Movimento Livre Amortecido, no estudo da mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são consideradas proporcionais.
O estado de equilíbrio é quando ocorre posicionamento sem qualquer movimento oscilatório fazendo uma reta paralela ao solo ou a estrutura em que está posicionada.
Considerando este conceito e atrelando o mesmo ao Movimento Livre Amortecido quando não houver forças externas agindo sobre o sistema ele segue a Segunda Lei de Newton (2.3).
(2.3)
Onde é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma consequência de que a força amortecedora age no sentido oposto ao movimento.
Na equação 2.3 é possível dividir por m e fazer as substituições obtendo a Equação Diferencial do Movimento Livre Amortecido.
(2.4)
Onde:
e (2.5)
A equação algébrica auxiliar que atende o movimento em questão é:
(2.6)
E as raízes correspondentes são:
√ √ (2.7)
Quando existem variações de amortecimento é possível equacionar três tipos de sistemas dependendo do sinal algébrico de .
Cada solução tem um fator de amortecimento o deslocamento da massa é desprezível após um longo período.
Caso I: Situação de um sistema superamortecido, o coeficiente de amortecimento é grande quando comparado com a constante de mola k. A solução correspondente é:
√ √
19 A equação 2.8 representa um movimento suave e não oscilatório. A figura 2.2 apresenta o gráfico possível de .
Figura 2.2 – Sistema superamortecido resposta gráfica
Fonte: (Nise, 2012)
Caso II: Situação em que o sistema é criticamente amortecido, pois qualquer acréscimo da força resulta em um movimento oscilatório.
(2.9) Pode-se observar que o movimento é muito semelhante ao caso anterior e o sistema passa pela posição de equilíbrio apenas uma vez.
Figura 2.3 – Sistema Criticamente amortecido resposta gráfica
Fonte: (Nise, 2012)
Caso III: Neste caso se diz que o sistema é subamortecido, pois o coeficiente é pequeno quando comparado com a constante e as raízes
agora são complexas.
√ √ (2.10)
Assim, a equação que descreve matematicamente o movimento livre amortecido é:
20 √ √ (2.11)
Figura 2.4 – Sistema subamortecido resposta gráfica
Fonte: (Nise, 2012)
Gerando assim um movimento oscilatório característico da massa mola. Uma vez conhecidos os sistemas que são possíveis agregar na resposta de controle inicia-se o estudo do pêndulo.
2.1.1 Modelagem do Pêndulo Simples
O pêndulo simples é um acaso especial do pêndulo físico que consiste em uma haste de comprimento L na extremidade da qual é presa uma massa M.
Ao descrever o movimento de um pêndulo simples em um plano, admitem-se as hipóteses simplificadoras de que a massa da haste é desprezível e quando o sistema busca seu equilíbrio o mesmo não conta com nenhuma força externa que o impulsione. (Bauer, 2012)
A figura 2.5 mostra como se comporta um pêndulo simples e as grandezas inerentes ao sistema, com isso é possível fazer aproximações para alcançar os resultados desejados.
21 Figura 2.5 – Movimento do Pêndulo Simples
Fonte: (Adir M. Luiz, 1996)
Analisando somente o pêndulo é possível verificar que sua trajetória remete a um ângulo de deslocamento 𝜃 medido em relação a vertical. É considerado positivo quando medido a direita do eixo e negativo quando medido a esquerda.
O arco é a trajetória da massa em relação ao centro, desenha um circulo onde seu raio L relaciona-se com o ângulo central 𝜃 pela formula 2.12 (Halliday, 2007):
𝜃 (2.12)
Assim a aceleração angular é:
𝜃
(2.13)
Da Segunda Lei de Newton se tem que:
𝜃
(2.14)
Com a equação 2.14 se pode equacionar das forças que atuam na massa e na barra como ilustra o diagrama de forças da figura 2.6.
22 Figura 2.6 – Equacionamento das Forças
Fonte: (Do Autor, 2018)
Para que seja possível quantificar seu ângulo, assim como na equação 2.15 será utilizada a Segunda Lei de Newton.
(2.15)
É possível quantificar a força na horizontal do eixo sabendo que a componente de tração é 𝜃 uma vez que a figura 2.6 faz referência à equação matemática do eixo em x.
Ao se trabalhar com a equação se tem substituindo a nova equação de na antiga equação que relaciona o ângulo seno 𝜃 se obtém a Segunda Lei de Newton aplicada ao pêndulo como descreve 2.16.
𝜃 (2.16)
Nesse caso a aceleração é a derivada segunda da posição ou a derivada primeira da velocidade, anteriormente quando se definiu a trajetória do arco como sendo 2.12.
Pode-se agora retoma-la e definir a aceleração como sua derivada.
𝜃
(2.17)
O pêndulo equacionado em 2.17 relaciona as grandezas a Segunda Lei de Newton, assim é possível trabalhar esta equação simplificando-a e determinar a equação que descreve o pêndulo simples.
𝜃 𝜃
23 A massa do pêndulo simples é igual para equacionamento, portanto a equação 2.18 pode ser descrita simplificando as massas dos dois lados da igualdade como em 2.19:
𝜃 𝜃
(2.19)
Trabalhando a equação a fim de deixar suas grandezas agrupadas é possível descrever a equação em 2.20, a posição dada pela derivada ainda esta relacionada pelo comprimento da haste em L.
𝜃
𝜃 (2.20)
Dividindo a equação por L faz com que a taxa de variação em relação à posição se relacione com o restante da equação somente pelo sinal da soma, assim a equação não linear que descreve o pêndulo simples 2.21.
𝜃
𝜃 (2.21)
Como o pêndulo pode ser equacionado por um ângulo mínimo de 14º é possível realizar a linearização pela relação demonstrada na equação 2.22, pois essa aproximação tem um erro menor de 1% (um por cento) e obedece a 𝜃 𝜃.
𝜃 𝜃 (2.22)
Resultando na equação linear 2.23 do pêndulo simples a qual é a base para o equacionamento em um sistema amortecido tipo Massa Mola, com a relação de posição do pêndulo facilmente manipulável na formula.
𝜃
𝜃 (2.23)
2.1.2 Modelagem da Hélice
2.1.2.1 Determinação do Torque (Q) e Empuxo (T)
O torque e o empuxo para um sistema birrotor são relevantes, pois dessa forma pode saber qual a força necessária para iniciar o sistema.
Torque palavra que tem origem do latim que significa torcer, pode ser descrito como a ação de girar ou torcer de uma força F. (HALLIDAY, Resnic, 2014).
24 Aplicando a ideia de empuxo pode-se dizer que este é responsável pela capacidade do motor em produzir força motriz, ou seja, o movimento giratório (torque).
Essa força que é responsável pelo rompimento da inercia do motor fazendo com que o mesmo gire, assim atingindo a velocidade desejada para que ocorra a troca de potência e aumento da força de empuxo do motor. (JEMB, 2014).
Tabela 2.1 – Variáveis de aplicação
Variável Determinação
C Constante
D Diâmetro da hélice
n Rotação da hélice
Massa específica da atmosfera
v Viscosidade cinemática da atmosfera k Módulo de elasticidade da atmosfera
V Velocidade axial de voo
M Unidade de massa
L Unidade de comprimento
t Unidade de tempo
Velocidade na ponta da pá da hélice Sustentação na pá da hélice
Força equivalente transversal a ponta da hélice
Q Torque no eixo da hélice
W Potência no eixo da hélice
L Braço de medição
Fonte: (Do autor, 2018)
Dadas às unidades descritas na tabela 2.1 a equação do empuxo levando em consideração os coeficientes de hélice 2.24.
(2.24)
O coeficiente de tração 2.25 da hélice vem oriundo da conversão do torque fornecido pelo motor em empuxo através da hélice, e está na direção de voo da aeronave. Esta força é responsável por impulsionar a aeronave durante
25 o voo e uma boa escolha da hélice pode proporcionar uma melhora significativa nesses valores (JEMB, 2014).
(2.25)
O torque tem a capacidade fazer a hélice girar e tem relação com a eficiência da mesma, a equação do torque 2.26 é demonstrada.
(2.26)
Readequar a equação 2.24 deixando-a em relação ao torque, pois o restante das grandezas pode ser descritas sistematicamente 2.27 (Erol Uyar, 2012).
(2.27)
2.1.3 Momento de Inércia
Como Halliday (2007) menciona sobre o momento de inercia de um sistema, diz respeito a quanto este sistema é difícil de ser acelerado em seu movimento circular. Também descreve a relação com a Segunda Lei de Newton que é a aceleração angular onde a mesma tem o torque dividido pelo momento de inercia como mostra a equação 2.28.
∑ (2.28)
Halliday (2007) para a massa localizada ao extremo de um raio de um movimento circular a equação que define seu momento de inercia é a 2.29.
(2.29)
Onde será a massa será o raio ou à distância em que a massa se localiza do centro. Para uma haste presa no fulcro, se define a equação que relaciona o momento de inercia adotando a haste como uma barra fina 2.30.
(2.30)
Erol Uyar (2012) define a equação característica da estrutura com o torque descrito pela hélice e relacionado pelo momento de inercia.
26 2.1.4 ESC (Eletronic Speed Control)
O Controlador Eletrônico de Velocidade do inglês Eletronic Speed
Control (ESC) para motores trifásicos outrunner é um circuito que fornece três
sinais trapezoidais ao motor com defasagem de 120º entre si.
Sendo responsável por definir o nível de alimentação dos mesmos e consequentemente sua velocidade de rotação (Vasconcellos, 2013).
O ESC deve ser dimensionado com base no valor máximo de corrente suportado pelo motor e a tensão nominal de entrada. Algumas funcionalidades extras podem ser encontradas nos ESCs atuais como:
Low Voltage Cuttof (LVC): O controlador desliga a alimentação do motor se a tensão da bateria se tornar menor do que certo limiar a fim de preservar a bateria de Lipo.
Circuito Eliminador de Bateria (BEC): É um circuito extra presente no ESC com um abaixador de tensão para 5V;
Programabilidade: Parâmetros podem ser ajustados no ESC pelo usuário por meio de um protocolo particular de comunicação usando sinal PWM.
Figura 2.7 - Sinal gerado pelo ESC
Fonte: (Vasconcellos, 2013)
O sinal PWM (Pulse Width Modulation) ou Modulação por Largura de Pulso é um sinal de frequência fixa para fins de projeto, este sinal aplicado à entrada de determinado equipamento eletrônico pode controla-lo. Pode-se analisar na figura 2.7 que o microcontrolador interno fornece sinais para cada uma das fases do motor.
27 O circuito que gera o sinal de cada fase possui transistores do tipo MOSFET em configuração push-pull para gerar os pulsos de tensão igual à tensão da bateria.
O microcontrolador recebe informações de feedback de cada motor pela Força Contra Eletromotriz, dessa maneira o ESC verifica se os motores estão ou não respondendo a seus comandos.
É necessária para a correta inicialização uma partida em baixa velocidade, no caso um pequeno sinal PWM e gradativamente este sinal aumentar até o valor sugerido.
Figura 2.8 - Diagrama de blocos do ESC
Fonte: (Vasconcellos, 2013)
2.1.5 Acelerômetro e Giroscópio MPU6050
Este sensor possui 6 eixos (6 DOF – Degrees of Freedom, ou 6 graus de liberdade), fornecendo 6 valores de saída sendo 3 do acelerômetro e 3 do giroscópio.
Também possui o recurso chamado DMP Digital Motion Processor, um acelerador de hardware que efetua os densos cálculos do sensor. Para calcular a orientação do acelerômetro baseia-se que exista somente a força gravitacional constante de 1 g (9,8m/s²) para baixo.
A rotação do sensor pode ser calculada a partir da posição aparente do vetor aceleração. É possível converter os dados brutos do acelerômetro dividindo-os por um fator de 16384.
28 A conversão de ângulos utiliza proporções dos componentes de aceleração, a inclinação do eixo X mostra a rotação no eixo Y, e a inclinação do eixo Y mostra a rotação (negativa) do eixo X.
(
√ ) (2.31)
(
√ ) (2.32)
𝜃 (√ ) (2.33)
Os resultados do acelerômetro fornecem ângulos de orientações precisos, desde que a gravidade seja a única força atuando no sensor. O giroscópio tem uma forma diferente de armazenar dados, pois mede a velocidade angular e não a orientação angular.
Para calcular a orientação é necessário inicializar o sensor com um valor conhecido e então medir a velocidade angular ao redor dos eixos X, Y e Z. Nos intervalos medidos e multiplicando estes intervalos pela velocidade angular se obtém a mudança de ângulo, o novo ângulo é o original mais a alteração.
A adição repetida de incrementos resulta em pequenos erros sistemáticos que são ampliados ao longo do tempo, assim os dados do giroscópio ficam cada vez mais imprecisos.
O datasheet do MPU-6050 mostra que dividir os valores brutos do giroscópio por 131 da à velocidade angular em graus por segundo, assim uma variável salva a posição anterior e adiciona a mudança computada para encontrar o novo valor.
A utilização de filtros como o filtro de Kalman (1961) e ângulos de Euller (1783) auxiliam na aquisição e fusão dos dados do MPU-6050 melhorando assim a resposta de controle.
29 2.1.6 Controlador PID
Como Ogata (2010) e Nise (2012), a introdução de um controlador modifica o comportamento de um sistema, com o objetivo de que o mesmo atenda as especificações de desempenho.
A aplicação de um controlador PID exige três parâmetros a ser determinados que seja também chamado de ganhos:
Ganho Proporcional ( );
Ganho Integral ( );
Ganho Derivativo ( ).
O processo que determina os parâmetros do controlador que garante uma dada especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador (Ogata, 2010).
A ação Proporcional do sinal de controle aplicado a cada instante à planta é proporcional à amplitude do sinal de erro, ou seja, a relação entre a ação de controle e o erro de atuação é dado por 2.34.
(2.34)
Onde o é denominado constante proporcional. A principal
característica do controle Proporcional é eliminar as oscilações do processo provocadas pelo controle liga – desliga (on-off).
Porem, o controle Proporcional não consegue eliminar o erro de regime permanente, quanto maior o menor o erro, ou seja, melhor a precisão em malha fechada. O caso é que apenas o controle proporcional não consegue anular completamente o erro em regime permanente (Ogata, 2010).
A ação Integral tem por característica eliminar o erro em regime permanente deixado pela ação proporcional, assim, atua no processo ao longo do tempo enquanto existir diferença no valor desejado e no valor medido (Ogata, 2010).
No integrador 2.35 a ação do valor de controle varia proporcionalmente ao valor de erro, a ação integradora com a inserção de um polo na origem aumenta a ordem do sistema, assim, em malha fechada passa ter erro nulo em regime permanente (Ogata, 2010).
30 A ação derivativa melhora o comportamento transitório do sistema, correspondendo à ação de um controle proporcional a derivada do sinal de erro em malha fechada (Ogata, 2010).
(2.36)
Os controladores descritos até o momento formam o controlador PID, que por sua simplicidade ocorrem algumas variações, ou seja, a combinação dos termos pode variar significativamente de fabricante para fabricante (Ogata, 2010).
Tabela 2.2 – Respostas dos ganhos PID Ganhos Tempo de subida
( ) Sobre-sinal ( ) Tempo de Estab. ( ) Erro de regime ( ) Diminui Aumenta Pequena Alteração Diminui
Diminui Aumenta Aumenta Diminui
Pequena Alteração Diminui Diminui Pequena Alteração Fonte: (Ogata, 2010)
O Controle atua na resposta transitória a fim de diminuir o tempo de subida diminuindo ocasionalmente o erro em regime permanente. O controle elimina o erro em regime permanente, mas pode piorar a resposta transitória. O controlador tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema melhorando a resposta transitória. A tabela 2.2 mostra cada momento descrito das especificações de ajuste (Ogata, 2010).
3 MODELAGEM MATEMÁTICA DO MOVIMENTO PITCH E
MODELO DE CONTROLE
3.1 MODELAGEM DO BALANÇO
A primeira condição de equilíbrio da estrutura é que o somatório das forças aplicadas a mesma deve ser zero. Considerando a estrutura com seu fulcro (suporte) inserido exatamente no meio e as forças atuantes F1 = F2 se obtém um L1=L2 a equação 3.1 demonstra as forças.
∑ ∑ ∑ (3.1)
Como é possível tratar a barra como um corpo extenso em função de sua estrutura, é possível também quantificar o momento dessa força. O Torque
31 em relação às forças atuantes assim como mostra a equação 3.2 observando-se o equacionamento do pêndulo (Halliday, 2007).
𝜃 (3.2)
Halliday (2009) e Erol Uyar (2012) o momento de inercia ( ) de um sistema em relação ao seu eixo central pode ser determinado pelo produto entre o momento de inercia e a aceleração, sendo igual ao somatório dos momentos ou o torque exercido no sistema 3.3.
𝜃
∑ (3.3)
Tomando o fulcro (suporte) da estrutura como centro de massa é possível descrever as equações que fazem parte dos dois lados considerando as suas condições de equilíbrio como demonstrado na equação 3.4 (Erol Uyar,2012).
∑ 𝜃 𝜃 (3.4)
Trabalhando a equação 3.4 e considerando as condições iniciais ideais, é possível obter a equação 3.5 que demonstra o trabalho físico exercido pelo sistema.
𝜃
𝜃 𝜃 (3.5)
Para fins de linearização sendo análogo ao sistema do pêndulo resulta a equação 3.6 que demonstra a equação do movimento.
𝜃
𝜃 𝜃 (3.6)
Aplicando a transformada de Laplace na equação 3.6 se obtém a resposta 3.7 utilizada como modelo matemático aplicado no ambiente computacional Simulink/Matlab.
𝜃̈
(3.7)
3.1.1 Modelo do ângulo pitch
A razão entre as condições do torque (2.27) e do momento de inércia (2.30) é a condição para a equação característica do ângulo pitch em 3.8.
𝜃̈
32 Para Laplace a fim de ser simulada por um programa adequado (Matlab/Simulink) se obtém a equação genérica representada pela equação 3.9.
(3.9)
3.1.2 Plataforma para aquisição do ângulo pitch
Como Chistopher Sauer (2018) descreve, o controle da aeronave exige que se conheça o modelo matemático da mesma.
No entanto o sistema é dinâmico e instável e como mencionado o processo de modelagem não se torna trivial.
A plataforma experimental permite o estudo da modelagem de um dos movimentos da aeronave simplificando o processo de obtenção de um modelo completo.
As equações básicas do movimento angular são definidas da seguinte forma:
(3.10)
Onde 𝜃 é a posição angular no tempo e é a velocidade angular no tempo.
(3.11)
Onde é a aceleração angular, segunda derivada da posição angular. O movimento de uma barra fina rotacionando em torno de um eixo perpendicular ao seu centro de gravidade pode ser descrito pelo torque em torno desse eixo e a aceleração angular resultante, de tal forma que:
(3.12)
Onde é o torque e é o momento de inercia da barra fina.
Isolando-se na equação 3.12 e inserindo o resultado da equação 3.11 obtém-se:
(3.13)
A análise do diagrama da gangorra evidencia que, para um determinado ângulo 𝜃 de inclinação, as forças exercidas nas extremidades podem ser
33 decompostas em suas componentes verticais e horizontais, em função do mesmo ângulo de inclinação 𝜃.
As componentes horizontais da força ( ) cancelam-se mutuamente. As componentes verticais da força ( ) podem ser definidas da seguinte forma por inspeção:
𝜃 (3.14)
O torque resultante no eixo perpendicular ao da gangorra, no mesmo plano, é dado pelo somatório dos momentos:
∑ 𝜃 𝜃 (3.15)
Considerando-se a força atuante no momento como , pode-se escrever o torque resultante como:
𝜃 𝜃 (3.16)
Substituindo a equação (3.14) na (3.16)
𝜃 𝜃 (3.17)
Levando em consideração a identidade trigonométrica 𝜃 𝜃, e fazendo a linearização do cosseno para pequenos ângulos 𝜃 , obtém-se:
(3.18)
A força exercida verticalmente pela rotação da hélice é o empuxo E, de acordo com Chagas Silva (2017), o empuxo pode ser definido pelos parâmetros da hélice:
(3.19)
Onde é a constante de empuxo do motor, é a densidade do ar, é o diâmetro da hélice e é a velocidade angular de rotação da hélice (rad/s).
(3.20) Modelando a gangorra como uma barra fina, seu momento de inércia é definido da seguinte forma:
(3.21)
34 Inserindo a equação (3.19) na (3.18) e fazendo-se as devidas substituições, obtém-se a seguinte equação:
(3.22)
Aplicando-se a transformada de Laplace para equação diferencial 3.20 com a segunda derivada do ângulo como saída e como entrada, obtém-se a seguinte função de transferência que modela a gangorra:
𝜃
(3.23)
O modelo proposto para controle é o da seção 3.1.3, pois o mesmo já é aplicado no laboratório de controle da universidade. A ideia do projeto além de demonstrar outras modelagens é contribuir para o andamento das pesquisas laboratoriais já existentes
3.1.3 Sintonia Por Alocação de Polos
Sintonia pode ser definida como a escolha dos parâmetros adequados do controlador de maneira a atender os requisitos de processo e desempenho, ou seja, estabelece os valores dos ganhos Proporcional, Integral e Derivativo.
Com esses ganhos é possível atender os critérios de sobressinal, tempo de acomodação, estabilidade, erro em estado permanente dentre outros. A boa sintonia remete em estabilidade, robustez, velocidade de resposta e desempenho (Nise, 2012).
Os métodos para ajuste de sintonia podem ser variados, os mais comuns são os por tentativa e erro e o método baseado em modelos, este ultimo é mais eficiente. Através dele é possível moldar as características do processo de maneira a atender fielmente as especificações requeridas (Bazanella e Silva Jr., 2017).
A aplicação da sintonia por alocação de polos diz respeito ao método baseado em modelos, pois nele é necessário conhecer o modelo da planta a ser controlada.
As propriedades de um sistema dependem da localização dos polos, assim, através da simplificação do modelo devem-se posicionar os polos do sistema em locais do plano ‘s’ que atenda os critérios de sobressinal, tempo de acomodação, dentre outros (Nise, 2012).
35
Figura 3.1 – Diagrama de blocos em malha fechada
Fonte (Do Autor, 2018)
A resposta do modelo da planta, dada no bloco vem da equação 3.8
utilizando os dados da Tabela 5.1. A resposta inicialmente mostra um zero próximo à origem em 0,82 e os polos sobre o eixo ± y a malha de controle também determina o controlador PID paralelo e sua equação respectiva.
Com o diagrama de blocos 3.1 é possível determinar a função de transferência do sistema em malha fechada aplicando a seguinte equação 3.24:
(3.24)
A equação característica da planta é:
(3.25)
Aplicando o MMC na soma dos controladores se obtém a função:
(3.26)
Fazendo a operação matemática da equação 3.26 é possível descrever a malha de controle de terceira ordem. Dada a equação 3.27 como a equação da malha de controle.
(3.27) Desenvolvendo a equação, igualando as partes e isolando as variáveis que se deseja do controlador se obtém as equações que definem os valores de
, e como será demonstrado nas equações (3.28), (3.29) e (3.30).
36
(3.29)
(3.30)
Como o sistema equacionado se aproxima de um sistema de segunda ordem relacionando os polos dominantes. O valor da variável deve ser consideravelmente maior fazendo com que este polo não tenha influencia na resposta do sistema (Bazanella e Silva Jr. 2017).
O tempo de acomodação é uma grandeza escolhida pelo próprio projetista e que da a base para o restante dos cálculos, da mesma forma o sobressinal que o inicio do sistema terá ate entrar em regime permanente.
O valor de zeta ( ) é dado pela equação do sobressinal máximo quando este não é escolhido pelo projetista ou não é possível determina-lo analiticamente. Assim a equação 3.31 mostra a determinação de zeta.
√ ( )
( ) (3.31)
Com um sobressinal estipulado em 0% do valor máximo requisitado pelo controle o valor de zeta é de .
Definido o valor de zeta é possível determinar pelo tempo de acomodação o valor da variável .
Utilizando um tempo de acomodação que não extrapole as condições de oscilação, este será de 8 segundos, aplicando a formula 3.32.
(3.32)
Isolando os valores o resultado para é de e assim se obtém todas as variáveis necessárias.
Dados os parâmetros finais da função de transferência o sistema é na realidade Marginalmente Amortecido, pois conta com dois polos imaginários em . É possível linearizar controlar o sistema proposto inserindo e anulando polos e zeros. Para isso será utilizada a ferramenta Matlab e comparado com o método matemático.
37 Abaixo é descrito o Script utilizado para determinar os parâmetros. Inicialmente se insere a equação característica.
num=[0.82]; % numerador da equação característica den=[1 0 0];% denominador da equação característica
H=tf(num,den);% tf diz respeito ao comando função de transferência
rltool(H);% este comando demonstra os polos e zeros da equação característica.
Com esse comando é possível visualizar onde se localiza os polos da equação, como não existem números reais os polos da equação serão √ e √ ficando assim ambos no eixo Y como mostra a figura 3.2:
Figura 3.2 – Polos oscilatórios, PID por alocação de polos.
Fonte: (Do Autor, 2018)
Conhecendo a localização dos polos em é feita a inserção do controlador utilizando o Control and Estimation Tools Manager com o PID
Tuning encontrar o compensador parametrizado diretamente pela localização
dos polos do sistema.
Correspondendo a um novo gráfico que demonstra a inserção do controlador e a garantia de estabilidade do sistema é inserido inicialmente um controle PD adicionando um zero real característico do controle Derivativo que torna a planta estável. Assim com pequenas manipulações e testes a localização do zero para a melhor resposta em degrau unitário é em -0,6. Como mostra a figura 3.3.
38 Figura 3.3 – Inserção de Zero real para estabilidade
Fonte: (Do Autor, 2018)
Com os zeros inseridos no sistema também é possível determinar a resposta do controlador PD para uma entrada degrau e assim verificar o sobre sinal e o restante das características. Também a resposta quando lhe é aplicado um controlador PID.
4 MATERIAIS E METODOS
4.1 DESCRIÇÃO DOS COMPONENTES.
4.1.1 Motor Brushless
O motor Brushless que compõe a gangorra é o motor D2822/14 – 1450KV outrunner, este motor é demonstrado na figura 4.1.
Figura 4.1 – Motor Brushless (BLDC)
39 As especificações são descritas na tabela 4.1, características elétricas básicas do motor.
Tabela 4.1 – Características do motor BLDC
Peso 38g
Dimensões 22 x 28
Tensão 7.2V ~11.1V
Tipo de bateria 3 células Diâmetro eixo 3,17 mm
Potência 160 W
Hélice sugerida 8x6 / 7x4.5
Empuxo 0,75 N
Fonte (Do Autor, 2018)
O peso sugestivo para uma aplicação como a gangorra, mantem a estrutura leve, a velocidade que o motor pode alcançar depende do sinal de entrada.
4.1.2 Controlador Eletrônico de Velocidade (ESC)
O ESC utilizado no projeto é para motores Turnigy de 30A suporte para baterias Lipo 2 a 3 células em série (7,4 V a 11,1 V) a figura 4.2 ilustra a amostra do sinal PWM aplicado na entrada.
Figura 4.2 – Forma de onda aplicada ao motor BLDC
Fonte: (Do Autor, 2018)
O motor responde a todos os estímulos elétricos enviados pelo ESC.
4.1.3 Baterias de Lipo
A bateria utilizada no projeto é constituída por três células de polímero de Lítio (LiPo) em série com 3,7V de tensão nominal para cada, totalizando 11,1 V de tensão nominal.
40 A capacidade nominal da bateria é de 2200 mAh e sua corrente de descarga é de 35C. As especificações consideradas na escolha da bateria foram à densidade energética, corrente de descarga e capacidade nominal.
Figura 4.3 – Bateria Lipo
Fonte: (Mercado Livre, 2018)
Com os valores de corrente de descarga e capacidade nominal é possível calcular a corrente nominal máxima de descarga de acordo com a equação 4.1.
(4.1)
4.1.4 Hélices
São hélices de plástico, estas por sua vez são mais propensas a turbulências, mais barulhentas e tem menor desempenho quando comparadas as de fibra de carbono.
Quanto à rotação, possuem dois sentidos o horário e o anti-horário (CW e CCW) no projeto cada hélice gira em um sentido (CW e CCW) para fornecer o equilíbrio relacionado ao torque e a estrutura gerando menor turbulência no teste.
As hélices são classificadas em passo e tamanho e os valores são representados em polegadas, a hélice utilizada no projeto é a 8x6 o primeiro número representa o diâmetro e o segundo o passo.
41 Figura 4.4 – Hélices 8x6
Fonte: (Mercado Livre, 2018)
O passo da hélice pode ser entendido como a distância percorrida durante uma única volta, de maneira geral hélices com menor passo possuem maior torque são menos propensas a turbulências e forçam menos os motores.
4.1.5 Acelerômetro e Giroscópio MPU6050
O MPU6050 é chip comumente usado que combina acelerômetro e giroscópio MEMS e usa um barramento I2C para transmissão de dados.
Sua alimentação é 3.3 V de placa porem, carrega um regulador de tensão que pode fazer com que o chip seja alimentado em 5 V sem maiores problemas.
Figura 4.5 – Acelerômetro e giroscópio MPU6050
Fonte (Embarcados, 2018)
4.1.6 Microcontrolador
O componente principal da inteligência embarcada consiste no microcontrolador, o qual utilizado na plataforma foi um ATMega 2560.
Um microcontrolador de 8 bits e arquitetura RISC, que tem 54 portas de I/O das quais 15 provem sinal PWM.
42 O 2560 contem 6 temporizadores, e 16 canais de entradas analógicas, 256Kb de memoria flash, a saída de corrente média dos pinos I/O é de 40mA, contém um clock de 16MHz e pode ser melhor visualizado na figura 4.6.
Figura 4.6 - ATMega 2560
Fonte (Datasheet componente, 2018)
O microcontrolador em questão tem como uma das funcionalidades a aplicação com o software Matlab, mais precisamente o Simulink. Com a ajuda do MPU-6050 pode demonstrar as variações ocorridas no ângulo da plataforma em tempo real.
O ATMega trabalha na tensão de 5 V e possui dois conjuntos de pinos (16 e 17) ou (20 e 21) que fazem a interface direta com a comunicação I2C.
4.2 METODOLOGIA DE TESTES
Para o funcionamento do quadricóptero é necessário à análise nos três eixos que correspondem a (x, y e z) ou roll, pitch e yaw respectivamente.
Figura 4.7 – Posicionamento dos eixos em relação ao frame do quadricoptero
43 No projeto será efetuada a modelagem de rotação no ângulo pitch, determinando o eixo y como o eixo a ser modelado é necessário definir a entrada e a saída do sistema.
Figura 4.8 – Estrutura da Gangorra
Fonte: (Vasconcellos, 2013)
A gangorra possui um grau de liberdade, a estrutura 4.8 ilustra a composição geométrica da gangorra para que seja possível uma dedução mais apurada do modelo da planta. É demonstrado em 4.9 o modelo em malha aberta do sistema com aplicação dos sinais PWM.
Figura 4.9 – Sistema de Atuação
Fonte: (Vasconcellos, 2013)
4.3 DESCRIÇÃO DO SISTEMA DE CONTROLE
O sistema a ser controlado é dado pela associação do atuador e da planta modelados no capitulo 3, subcapitulo 3.1.3.
Foi analisado também que para pequenas variações de ângulo ( 14º) o birrotor pode ser considerado um sistema linear, o ciclo de trabalho do atuador para fins de testes ficou em 15% resultando assim em uma rotação por minuto de 1800 rpm.
44 A planta possui uma saída (ângulo de pitch) e duas entradas, uma para cada atuador, portanto é um sistema multivariado, entretanto para simplificar o projeto será utilizada a mesma entrada de sinal para ambos os atuadores.
O mesmo sinal de controle aplicado aos atuadores faz com que a planta do birrotor se torne um sistema mono variável. O mesmo sinal de controle aplicado aos dois atuadores pode ser descrito no diagrama de blocos da figura 4.10.
Figura 4.10– Diagrama de blocos birrotor
Fonte: (Vasconcellos, 2018).
Este diagrama apresenta o sistema em malha fechada do birrotor. Aplica-se a entrada do sistema o ângulo de pitch desejado, sinal de referência, assume-se que os sensores do birrotor são ideais e fornecem exatamente a posição angular exata.
A diferença entre o ângulo de referência e a posição angular atual é o erro do sistema.
Esse erro é aplicado ao controlador PID que fornece um sinal de saída correspondente ao ciclo de trabalho do atuador esse sinal ocorre com a diferença do sinal PWM aplicado ( ).
É necessário determinar uma constante que corresponde ao ciclo de trabalho dos dois atuadores ( ), com a combinação dessas duas grandezas
se obtém os valores que são inseridos no controle do sinal para que ocorram as respostas em relação às forças aplicadas as extremidades.
O ciclo de trabalho do motor é dado percentualmente de 0% a 100%. O funcionamento inicia-se em torno de 10% e responde de maneira violenta ao processo se o sinal chegar a mais de 70%.
Aplicasse então 15%, mantendo este sinal como uma saturação máxima, assim os sinais são multiplicados pelo ganho gerando os empuxos
45 { ( )
( ) (4.2)
A utilização dos 15% de sinal se da em função do melhor controle do empuxo, quando ocorre à variação da velocidade dos atuadores o sistema pode oscilar sua resposta por um tempo maior que o estipulado.
4.3.1 Controlador
O controlador utilizado no projeto da gangorra é um controlador do tipo paralelo como demonstrado na figura 4.11.
Figura 4.11 – Diagrama de blocos PID paralelo
Fonte: (Ogata, 2010)
Fica na mesma malha que a planta e assim são determinada suas características de controle em função da alocação de polos no sistema em malha fechada (Ogata, 2010).
(4.3)
A função de transferência do modelo de blocos da imagem 4.11 é demonstrada na equação 4.3 já determinada sua relação com a transformada de Laplace.
5 RESULTADOS E DISCUÇÃO
5.1 SIMULAÇÃO DA GANGORRA
A figura 5.1 mostra a aplicação do sinal PWM na entrada do circuito, essa é aplicada no software Simulink com o método do diagrama de blocos. Não se preocupando com amplitude de saída do sinal é possível obter o modelo de resposta descrito na equação 3.7.
46 Figura 5.1 – Simulação do sistema
Fonte (Do Autor, 2018)
Na figura 5.1 é proposto um sinal de entrada como sendo o PWM dos atuadores, e dois sinais de saída aplicados a cada um dos motores do birrotor.
Sem a aplicação da malha de controle se obtém um sinal oscilatório, pois a estrutura foi modelada semelhante a um pêndulo descrito no inicio do capitulo.
Aplicando o bloco de controle PID diretamente na malha, a resposta do sistema demonstra que a modelagem matemática e a equação encontrada podem ser controladas e tem um sinal de saída coerente. Também é aplicado um distúrbio como uma força externa para verificação da autenticidade do controle.
O sistema simulado na plataforma Simulink este demonstrado na figura 5.2 e 5.3 demonstra o gráfico de resposta do mesmo quando planta esta sob a ação do controle PID.
Figura 5.2 – Simulação no Simulink
Fonte: (Do Autor, 2018)
A resposta por sua vez mostra o equilíbrio da estrutura mesmo com a ação de uma força externa atuando nas extremidades ou em qualquer outro
47 ponto em que possa ser gerada uma variação dos parâmetros normais da planta.
Figura 5.3 – Resposta da simulação com perturbação
Fonte: (Do Autor, 2018)
Somente a modelagem da gangorra não fornece a equação adequada à aplicação do sistema uma vez que os atuadores são dotados de motores e hélices esta última modelada.
5.2 ATUADORES – MOTORES E HÉLICES
Tabela 5.1 das grandezas inerentes ao sistema, para dimensionamento das mesmas foi necessário à montagem de estruturas de teste que serão demonstradas.
Tabela 5.1 – Parâmetros da plataforma 1,4433 Ρ 1,225 kg/m³ 8” = 0,232 m 0,15 kg 0,5 m 30 rev/s Fonte (Do Autor, 2018)
Sendo o coeficiente de Empuxo, este coeficiente será tratado de forma mais especifica no capitulo 5.3, ρque é a densidade relativa do ar, é o
48 tamanho da hélice, a massa da gangorra, o comprimento da haste, o número de rotações/revoluções da hélice.
Portanto é possível calcular de forma assertiva a equação no modelo de Laplace que descreve a gangorra, equações 3.8 e 3.9, com os parâmetros da tabela 5.1.
𝜃
(5.1)
A seção 3.1.3 descreve a modelagem com uma metodologia semelhante porem grandezas e formulação matemática é distinta, com a modelagem dessa seção será efetuada a aplicação dos testes práticos.
Aplicando os parâmetros da tabela 5.1 na equação 3.23 se obtém a resposta final da planta a ser controlada tendo como entrada um sinal degrau unitário.
𝜃
(5.2)
O controlador foi inicialmente descrito na seção 3.1.4, e será aplicado um sinal degrau unitário para análise do comportamento dos modelos da planta em malha aberta. Além do degrau serão aplicados o sinal de trem de pulsos e o sinal de rampa crescente para análise de resposta, será demonstrado um conjunto de gráficos, figura 5.4, diagrama em malha aberta.
Figura 5.4 – Diagrama em malha aberta
49 Como descreve Carlos Henrique Farias dos Santos (2018), desde o sinal degrau até o sinal senoidal utilizado no trabalho, os mesmos se tornam progressivamente mais rápidos em relação ao tempo.
Portanto, os sinais de alta ordem como a rampa e o sinal senoidal devem possuir um sistema de controle que corresponde a essa velocidade no tempo e isso faz do sinal degrau unitário a melhor opção em simulação.
Quando necessário um sistema de controle de alta ordem na malha ocorrem problemas de estabilidade e isso é difícil de contornar em sistema de simulação, o sinal degrau, portanto cumpre o papel de entrada de sinal para um controle simulado e desempenha o sistema próximo ao sistema real.
A figura 5.5 mostra as respostas do sistema proposto em 5.4 para os três sinais de entrada, a diferença desses sinais é mais acentuada quando o tempo de simulação aumenta.
A resposta em malha aberta se mantem semelhante a sua entrada quando simulado em um tempo de 200 segundos, diferentemente da modelagem proposta no item 3.1.3.
Figura 5.5– Resposta em malha aberta MODELO 01
Fonte: (Do Autor, 2018)
Análogo a o modelo aplicado em 5.4 é possível obter a resposta do sistema descrito em 3.1.3, também em malha aberta, esse modelo mantem as
50 características semelhantes, a figura 5.6 é a resposta para os três sinais de entrada.
Figura 5.6 – Resposta em malha aberta MODELO 02
Fonte (Do Autor, 2018)
As figuras 5.5 e 5.6 demonstram um sistema descrito de forma mais linear utilizando o momento de inercia do sistema para a modelagem, outra metodologia empregada porem chegando ao mesmo fim.
A diferença em 5.5 e 5.6 se dá, nos elementos da modelagem e como o sistema responde as grandezas, o tipo de sistema e sua modelagem é o que determina como o comportamento da planta em malha aberta dará a resposta do sistema.
Conhecendo a constante é possível efetuar controles em malha aberta, desde que se saiba o erro que essa grandeza pode gerar dentro do sistema.
Porém, o caso do projeto é especial, pois retrata um sistema originalmente oscilatório ou marginalmente estável, assim o controle em malha fechada é a melhor opção.
51 5.3 PLATAFORMA EMPUXO
Para aplicação do controlador PID é necessário conhecer o empuxo dos atuadores. Para construção da plataforma que faz a leitura dos dados do conjunto atuador com determinado sinal de excitação foi necessário os seguintes componentes:
Módulo conversor HX711 para célula de carga;
Sensor de peso (Célula de carga) de 5 kg;
Arduino Uno com microcontrolador AtMega328;
Display 16x2;
Madeira.
O funcionamento consiste no acionamento do ESC do motor pelo sinal PWM em torno de 10%, este valor aciona o motor. Com a ampliação do sinal é aplicado uma gama variada de valores, criando diversos ciclos. Para cada valor dado de PWM o peso do sensor era alterado e a medida era retirada, retornando um valor de massa em gramas (g).
Os dados retirados das massas medidas e a variação dos sinais PWM aplicados, relacionam-se em uma reta crescente característica, tanto em um atuador quanto em outro. A utilização do software Matlab através da função
polyfit() aproxima as porções não horizontais em uma reta que a partir dos
mínimos quadrados darão a constante de empuxo do sistema. A constante é 1,4433a figura 5.7 mostra a variação dos sinais de PWM, também é utilizado o método dos mínimos quadrados para aproximação das curvas.
52 Figura 5.7 – Variação dos Sinais PWM para constante de empuxo
Fonte: (Do Autor, 2018)
A plataforma confeccionada para aquisição dos sinais em 5.7 pode ser visualizada na figura 5.8, a mesma é projetada de maneira simples e robusta utilizada unicamente para o projeto.
Figura 5.8 – Plataforma de aquisição de empuxo
53 O valor de referência para cada sinal PWM aplicado ao atuador retorna um peso equivalente ao empuxo que é demonstrado na tabela 5.2, isso foi efetuado para todos os sinais.
Tabela 5.2 – Característica dos atuadores Duty(%) Empuxo (g) Newton (N)
10 15,74 0,15 15 22,06 0,22 20 29,889 0,29 25 37,699 0,37 30 44,489 0,44 35 51,019 0,51 40 57,549 0,57 45 63,389 0,63 50 70,548 0,75
Fonte: (Do Autor, 2018)
Com a tabela em mãos e quando necessário ou apropriado é possível modificar a velocidade de atuação dos atuadores aplicando um ciclo de trabalho que irá gerar uma velocidade equivalente, assim alterando a resposta do controlador.
5.4 CONTROLADOR PID
A fim de aplicar o método de controle descrito no capitulo 3 será dado os parâmetros encontrados matematicamente aplicando os valores das equações 3.31, 3.32 nos ganhos definidos em 3.28, 3.29, 3.30.
Como a definição dos parâmetros é descrita pelos polos dominantes e a planta que descreve o sistema é de segundo grau, ou seja, seu maior expoente é o 2, o valor de alfa ( ) deve ser consideravelmente maior, assim ele não influenciara no valor final dos ganhos.
Dados os parâmetros , e e aplicando os mesmos nas equações já identificadas se obtém como ganhos matemáticos do controlador.
54 A simulação com a aplicação do controlador na malha direta da planta remete a um sistema controlado porem com um sobre sinal de aproximadamente 12% e um tempo de acomodação de 35 segundos.
Figura 5.9 – Controle com aplicação matemática
Fonte: (Do Autor, 2018)
O modelo de controle desenvolvido com software Matlab utilizando o comando rltool determina os polos e zeros da equação como ilustrado nas figuras 3.2 e 3.3 subcapitulo 3.1.4.
O controlador é aplicado inicialmente com os parâmetros PD, a figura 5.10 demonstra a resposta e o sobressinal. Para fins de comparação pode-se enfatizar a amplitude do sobressinal sendo a mesma maior que o modelo matemático e o tempo de estabilização menor.
55 Figura 5.10 – Resposta ao degrau para controlador PD
Fonte: (Do Autor, 2018)
Fazer o sinal convergir da forma mais rápida e com o menor sobressinal possível é necessário para que o controle da estrutura não tenha variações abruptas, a variação do eixo da gangorra corresponde à variação do eixo do drone em pleno voo.
Com isso a aplicação do controlador PID mostra a velocidade de resposta esperada pela plataforma uma vez que é necessário um tempo de estabilização pequeno assim como o sobressinal.
56 Figura 5.11 – Resposta ao degrau para controlador PID
Fonte: (Do Autor, 2018)
O controlador PID da figura 5.11 mostra uma resposta mais apta ao controle, o controle PD não atende as características esperadas como o PID.
A relação da nova função de transferência que diz respeito ao ganho dos controladores, equação 5.3.
(5.3)
Os ganhos do controlador são baseados na aplicação de um controlador paralelo como mencionado nos capítulos anteriores.
É possível perceber a predominância dos controladores PD e isso esta relacionado às especificações de cada um deles no inicio do capitulo.
Para determinar os ganhos do controlador é possível utilizar o método matemático e aplicar as equações inerentes a ele, nesse caso se optou pela utilização da plataforma como ferramenta mais eficiente no desenvolvimento dos ganhos.
Tanto uma aplicação quanto outra funcionam para fins de estabilidade esperada, a variação fica a cargo do sobressinal e tempo de acomodação.
57 5.5 DISCRETIZAÇÃO DO SISTEMA
Afim de que o controlador possa ser utilizado em um microcontrolador, o mesmo deve ser discretizado. Foi estabelecido que o método de discretização utilizado nesse projeto será a discretização por Tustin (Trapezoidal).
A equação 5.4 descreve o modelo proposto e então aplicado ao PID na forma de Laplace descrito na equação 5.5.
(5.4)
(5.5)
Substituindo na equação 5.4 é possível obter a equação da transformada Z aplicada ao controlador PID, assim como demonstrado na equação 5.6.
(
) (
) (5.6)
Para melhorar o entendimento da aplicação da transformada serão tratados dois denominadores sem o Z de forma diferente a fim de simplificar a equação e passa-la para a equação 5.7.
Sendo ⁄ assim, reescrevendo a equação 5.6 de forma mais simples.
(
) (
) (5.7)
O resultado direto de um controlador digital com a transformada inversa de Z demonstrado na equação 5.8.
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (5.8) Esta equação matemática pode ser aplicada em um microcontrolador e assim desempenhar no sistema as características de resposta ao que foi projetada.
A taxa de amostragem atende os requisitos de Nyquist sendo para ⁄ e o conversor A/D (Analógico / Digital) do microcontrolador é de 8 bits podendo ser utilizada uma leitura de 20 milissegundo.
58 5.6 DESCRIÇÃO DA ESTRUTURA
Inicialmente o processo construtivo da gangorra birrotor teve seu inicio com a adequação da estrutura para o melhor desempenho do sistema.
Assim foi confeccionada uma base de madeira e dois suportes onde posteriormente será acoplado o eixo central (fulcro), as medidas da base foram de 30 cm x 30 cm.
A estrutura lateral da base teve sua altura determinada para que a haste pudesse movimentar-se livremente em 360º, assim suas medidas tanto do lado esquerdo quanto direito são de 15 cm x 30 cm a madeira destinada a estrutura é um tipo de formica com espessura de 2 cm.
Tomou-se o devido cuidado para que a estrutura não ficasse demasiadamente leve visto que o empuxo dos motores é alto e isso fez com que a opção para a base e as laterais fosse madeira.
A haste da gangorra mede 50 cm de comprimento, não é possível caracterizar a haste como uma barra, pois sua altura é pequena, assim buscou-se uma haste fina que relaciona as leis da física de inércia, mas que acomodasse o motor brushless.
A haste por sua vez tem 3,5 cm de largura e um centímetro de altura visto que esta altura é uma fina lamina localizada no meio da haste e percorre todo seu comprimento.
Figura 5.12 – Estrutura plataforma birrotor
