ASL grafos

Gr´

afico de Fluxo de Sinais

Disciplina: An´alise de Sistemas Lineares

Prof. Rodrigo Gusm˜ao Cavalcante

rodgcav@ifba.edu.br rodgcav@gmail.com

Departamento de Engenharia El´etrica Instituto Federal da Bahia

Conte´

udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais

3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Introdu¸c˜

ao

O diagrama de blocos ´e ´util para a representa¸c˜ao gr´afica da dinˆamica dos sistemas lineares e ´e amplamente utilizado na an´alise e no projeto de sistemas.

Um m´etodo alternativo para a representa¸c˜ao gr´afica de sistemas dinˆamicos ´e a t´ecnica dogr´afico de fluxo de sinais, deS. J. Mason. Ressalta-se que a t´ecnica do gr´afico de fluxo de sinais e a t´ecnica de diagrama de blocos apresentam as mesmas informa¸c˜oes e nenhuma ´

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Gr´

aficos de fluxo de sinais

O gr´afico de fluxo de sinais ´e um diagrama que representa um con-junto de equa¸c˜oes alg´ebricas lineares simultˆaneas.

O m´etodo do gr´afico de fluxo de sinais requer a transforma¸c˜ao das equa¸c˜oes diferenciais em equa¸c˜oes alg´ebricas em s (usando a Trans-formada de Laplace).

Um gr´afico de fluxo de sinais consiste em umarede ou grafona qual os n´os s˜ao diretamente conectados por ramos. Cada n´o representa uma vari´avel do sistema e cada ramo de entre dois n´os atua como multiplicador de sinal.

O fluxo de sinais ocorre em uma ´unica dire¸c˜ao, a qual ´e indicada por uma seta colocada no ramos, e o fator de multiplica¸c˜ao ´e indicado ao longo do ramo.

O gr´afico de fluxo de sinais representa o fluxo de sinais de um ponto a outro do sistema e indica a rela¸c˜ao existente entre os sinais.

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Defini¸c˜

oes

N´o. E um ponto que representa uma vari´´ avel ou um sinal.

Transmitˆancia. ´E o ganho real ou complexo entre dois n´os. Tais ganhos podem ser expressos em termos de fun¸c˜ao de transferˆencia entre dois n´os.

Ramo. ´E um segmento direcional unindo dois n´os. O ganho de um ramo ´e uma transmitˆancia.

N´o de entrada ou fonte. ´E um n´o que tem somente ramos de sa´ıda. Isso corresponde a uma vari´avelindependente.

N´o de sa´ıda ou sorvedouro. E um n´´ o que tem somente ramos que chegam. Isso corresponde a uma vari´aveldependente.

N´o misto. E aquele que possui tanto ramos que chegam como´ ramos que saem.

Defini¸c˜

oes

Caminho. Caminho ´e um percurso atrav´es dos ramos conectados no sentido das setas dos ramos. Se nenhum for atravessado mais de uma vez, o caminho ´e aberto. Se o caminho terminar no mesmo n´o em que come¸cou e n˜ao passar por nenhum outro n´o mais de uma vez, ele ser´a um caminho fechado. Se o caminho cruzar algum n´o mais de uma vez, mas terminar em um n´o diferente do qual come¸cou ele n˜ao ser´a nem aberto nem fechado.

MalhaE um caminho fechado.´

Malhas que n˜ao se tocam. S˜ao aqueles que n˜ao possuem nenhum n´o em comum.

caminho de avan¸co. E o caminho que se inicia em um n´´ o de entrada (fonte) e vai at´e um n´o de sa´ıda (sorvedouro) sem passar por nehum n´o mais de uma vez.

Ganho do caminho de avan¸co. E o produto das transmitˆ´ ancias de seus ramos.

Defini¸c˜

oes

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Propriedades dos gr´

aficos de fluxo de sinais

1 Um ramo indica a dependˆencia funcional de um sinal em rela¸c˜ao ao outro. Um sinal percorre um ramo somente na dire¸c˜ao especificada pela seta do ramo.

2 _{Um n´o soma os sinais de todos os ramos que chegam e transmite} essa soma a todos os ramos que partem.

3 Um n´o misto, que possui tanto ramos que chegam como que saem, pode ser considerado como um n´o de sa´ıda (sorvedouro) pela adi¸c˜ao de um ramo de sa´ıda de transmissibilidade unit´aria.

4 Para um dado sistema, o gr´afico de fluxo de sinais n˜ao ´e ´unico. V´ a-rios gr´aficos de fluxo de sinais diferentes podem ser constru´ıdos para um mesmo sistema, escrevendo-se de modo diferente as equa¸c˜oes desse sistema.

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

´

Algebra do gr´

afico de fluxo de sinais

Em geral, colocamos os n´os de entrada (fontes) `a esquerda e os n´os de sa´ıda (sorvedouros) `a direita.

As vari´aveis independentes e dependentes das equa¸c˜oes tornam-se os n´os de entrada (fontes) n´os de sa´ıda (sorvedouros), respectivamente. As transmitˆancias dos ramos podem ser obtidas a partir dos coefici-entes das equa¸c˜oes.

Para determinar arela¸c˜ao entre a entrada e a sa´ıda, podemos utilizar a f´ormula de Mason, que ser´a explicada posteriormente, ou reduzir o gr´afico de fluxo de sinais a um gr´afico que contenha somente os n´os de entrada e de sa´ıda. Para obter esse resultado, utilizamos as seguintes regras:

1. O valor de um n´o com um ramo de entrada, como o mostrado na figura abaixo, ´e x2 = ax1.

x1

a

´

Algebra do gr´

afico de fluxo de sinais

2. A transmitˆancia resultante dos ramos em cascata ´e igual ao produto das transmitˆancias de todos os ramos.

b x3 x1 x2 a x1 ab x3 =

3. Ramos em paralelo podem ser reduzidos pela adi¸c˜ao das transmitˆancias. x1 x2 = x1 a + b b a x2

´

Algebra do gr´

afico de fluxo de sinais

4. Um n´o misto pode ser eliminado como mostrado abaixo.

x4 c x3 x1 x2 x4 x1 x2 = b a ac bc 5. Uma malha pode ser eliminada como mostrado abaixo.

b a x1 x2 x3 c ab = x1 x3 bc = x1 x3 ab 1_{− bc} x3= bx2 x2= ax1+ cx3 x3= abx1+ bcx3 x3= ab 1_{− bc}x1

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Representa¸c˜

ao de sinais lineares por gr´

afico de fluxo de

sinais

Os gr´aficos de fluxo de sinais s˜ao amplamente utilizados na an´alise de sistemas lineares.

Considere um sistema definido pelo seguinte conjunto de equa¸c˜oes: x1 = a11x1+ a12x2+ a13x3+ b1u1

x2 = a21x1+ a22x2+ a23x3+ b2u2 x3 = a31x1+ a32x2+ a33x3

onde u1 e u2 s˜ao vari´aveis de entrada e x1, x2 e x3 s˜ao vari´aveis de sa´ıda.

Um gr´afico de fluxo de sinais para esse sistema pode ser obtido como segue.

Representa¸c˜

ao de sinais lineares por gr´

afico de fluxo de

sinais

Represente a primeira equa¸c˜ao

x1= a11x1+ a12x2+ a13x3+ b1u1 da seguinte forma: u1 a11 a13 a12 b1 x1 x2 x3

Representa¸c˜

ao de sinais lineares por gr´

afico de fluxo de

sinais

Represente a segunda equa¸c˜ao

x2= a21x1+ a22x2+ a23x3+ b2u2 da seguinte forma: u2 a23 x3 a21 a22 x2 b2 x1

Representa¸c˜

ao de sinais lineares por gr´

afico de fluxo de

sinais

Represente a ´ultima equa¸c˜ao

x3 = a31x1+ a32x2+ a33x3 da seguinte forma: a31 a33 a32 x3 x2 x1

Representa¸c˜

ao de sinais lineares por gr´

afico de fluxo de

sinais

Por fim, junte os trˆes gr´aficos para formar o fluxo de sinais completo.

u1 a11 a31 a13 u2 a12 a23 x3 x3 a33 b1 a21 a32 1 a22 x2 x2 b2 1 1 x1 x1

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Gr´

afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Alguns gr´aficos de fluxo de sinais de sistemas de controle s˜ao mos-trados a seguir. A fun¸c˜ao de transferˆencia pode ser obtida usando simplifica¸c˜ao dos gr´aficos de fluxo de sinais.

C(s) C(s) R(s) G(s) R(s) G(s) = R(s) E(s) G(s) C(s) −H(s) G(s) H(s) R(s) E(s) C(s) = 1

Gr´

afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Gr´

afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

Gr´

afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

1 Introdu¸c˜ao

2 Gr´aficos de fluxo de sinais 3 Defini¸c˜oes

4 Propriedades dos gr´aficos de fluxo de sinais

5 Algebra do gr´´ afico de fluxo de sinais

6 Representa¸c˜ao de sinais lineares por gr´afico de fluxo de sinais

7 Gr´afico de fluxo de sinais de sistemas de controle

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

A transmitˆancia entre um n´o de entrada e um n´o de sa´ıda ´e oganho geral, ou a transmitˆancia geral, entre esses dois n´os.

A f´ormula de ganho de Mason, que permite determinar o ganho geral, ´e dada por:

P = 1 ∆ X k Pk∆k onde

Pk = ganho do caminho ou transmitˆancia do caminho direto de ordem k

∆ = determinante do gr´afico

= 1-(soma dos ganhos individuais de todas as malhas) + (soma dos produtos dos ganhos de todas as combina¸c˜oes poss´ıveis de duas malhas que n˜ao se tocam) - (soma dos produtos dos ganhos de todas as combina¸c˜oes poss´ıveis de trˆes malhas que n˜ao se tocam) +_{· · ·}

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

La =soma dos ganhos individuais de todas as malhas

X

b,c

LbLc= soma dos produtos dos ganhos de todas as combina¸c˜oes de

duas malhas que n˜ao se tocam

X

d ,e,f

LdLeLf =soma dos produtos dos ganhos de todas as combina¸c˜oes de

trˆes malhas que n˜ao se tocam

∆k = co-fator do determinante do k -´esimo caminho direto do gr´afico, de

onde foram removidas todas as malhas que tocam esse k -´esimo caminho direto, isto ´e, o co-fator ∆k ´e obtido a partir de ∆ pela remo¸c˜ao de malhas que tocam o caminho Pk

As somat´orias s˜ao obtidas para todos os caminhos poss´ıveis desde a entrada at´e a sa´ıda.

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 1

Obtenha a fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada C(s)/R(s) do sistema mostrado abaixo pelo uso da f´ormula de ganho de Mason.

G1(s) G2(s) G3(s)

H1(s)

C(s) R(s)

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 1 - Continua¸c˜ao

Um gr´afico de fluxo de sinais para esse sistema ´e mostrado abaixo.

1 1 G1 C(s) 1 G2 G3 R(s) C(s) −H2 −1 H1

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 1 - Continua¸c˜ao

Nesse sistema existe apenas um caminho direto entre a entrada R(s) e a sa´ıda C(s). O ganho do caminho direto ´e

P1= G1G2G3

Existem trˆes malhas individuais. Os ganhos dessas malhas s˜ao: L1 = G1G2H1

L2 = −G2G3H2 L3 = _−G1G2G3

Como as trˆes malhas tˆem um ramo em comum, n˜ao existem malhas que n˜ao se tocam. Ent˜ao, o determinante ∆ ´e dado por:

∆ = 1− (L1+ L2+ L3)

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 1 - Continua¸c˜ao

O co-fator ∆1 do determinante ao longo do caminho direto, que conecta o n´o de entrada e o n´o de sa´ıda, ´e obtido a partir de∆ pela remo¸c˜ao de malhas que tocam esse caminho. Como o caminho P1 toca as trˆes malhas, obtemos:

∆1= 1

Assim, o ganho geral entre a entrada R(s) e a sa´ıda C (s) ´e dada por P = C(s) R(s) = P1∆1 ∆ = G1G2G3 1− G1G2H1+ G2G3H2+ G1G2G3

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 2

Considere o sistema descrito pela figura abaixo e obtenha a fun¸c˜ao de trans-ferˆencia de malha fechada pelo uso da f´ormula de Mason.

G3 G4 G5 R(s) G1 G2 G6 G7 −H1 C(s) −H2

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 2 - Continua¸c˜ao

Nesse sistema existem trˆes caminhos diretos entre a entrada R(s) e a sa´ıda C(s). Os ganhos desses caminhos s˜ao:

P1 = G1G2G3G4G5 P2 = G1G6G4G5 P3 = G1G2G7

Existem quatro malhas individuais, cujos ganhos s˜ao: L1 = −G4H1

L2 = −G2G7H2 L3 = _−G6G4G5H2 L4 = −G2G3G4G5H2

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 2 - Continua¸c˜ao

A malha L1 n˜ao toca a malha L2. Ent˜ao o determinante∆ ´e dado por:

∆ = 1− (L1+ L2+ L3+ L4) + L1L2

O co-fator ∆1 ´e obtido a partir de ∆ pela remo¸c˜ao das malhas que tocam o caminho P1. Assim, pela remo¸c˜ao de L1, L2, L3, L4 e L1L2, obtemos

∆1= 1 De modo similar, o co-fator∆2 ´e

∆2= 1

O co-fator∆3´e obtido pela remo¸c˜ao de L2, L3, L4 e L1L2, obtendo ∆3 = 1− L1

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exemplo 2 - Continua¸c˜ao

A fun¸c˜ao de transferˆencia de malha fechada C(s)/R(s) ´e, ent˜ao,

P = C(s) R(s) = 1 ∆(P1∆1+ P2∆2+ P3∆3) = G1G2G3G4G5+ G1G6G4G5+ G1G2G7(1 + G4H1) 1 + G4H1+ G2G7H2+ G6G4G5H2+ G2G3G4G5H2+ G4H1G2G7H2

A f´ormula de ganho Mason ´e especialmente ´util na redu¸c˜ao de di-agramas de sistemas grandes e complexos, sem a necessidade de redu¸c˜oes passo a passo.

Por fim, deve-se ter cuidado para evitar erros no c´aculo dos co-fatores dos caminhos diretos, pois qualquer erro cometido pode n˜ao ser detectado com facilidade.

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exerc´ıcio 1

Considere o sistema descrito pela figura abaixo e obtenha a fun¸c˜ao de trans-ferˆencia de malha fechada pelo uso da f´ormula de Mason.

R(s) C(s) 1 1 −1 1 sC1 1 R1 1 sC2 −_R1 2 −1 C(s) = ₂ R2

F´

ormula de ganho de Mason para gr´

aficos de fluxo de sinais

Exerc´ıcio 2

Considere o sistema descrito pela figura abaixo e obtenha a fun¸c˜ao de trans-ferˆencia de malha fechada pelo uso da f´ormula de Mason.

1 b Y (s) −a1 −a2 1 s 1 s X(s) Y(s) X(s) = b s2_{+ a1s+ a2}