Dimensionamento de um trem de engrenagens para multiplicador de velocidades

(1)

UNIJUÍ- UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO

DO RIO GRANDE DO SUL - UNIJUÍ

JOSIER CASALI BAIOTTO

DIMENSIONAMENTO DE UM TREM DE ENGRENAGENS PARA

MULTIPLICADOR DE VELOCIDADES

PANAMBI

2018

(2)

JOSIER CASALI BAIOTTO

DIMENSIONAMENTO DE UM TREM DE ENGRENAGENS PARA

MULTIPLICADOR DE VELOCIDADES

Trabalho de conclusão de curso para obtenção do Título de Engenheiro Mecânico pela Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ.

Orientador: Felipe Tusset

PANAMBI 2018

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UNIJUÍ – Universidade Regional do Estado do Rio Grande do Sul DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias

A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova a Dissertação.

DIMENSIONAMENTO DE UM TREM DE ENGRENAGENS PARA

MULTIPLICADOR DE VELOCIDADES

Elaborado por

JOSIER CASALI BAIOTTO

Como requisito parcial para a obtenção do título de Engenheiro Mecânico

Comissão Examinadora

_________________________________________________

Prof. Me. Felipe Tusset (Orientador) – DCEEng/UNIJUÍ

_________________________________________________

Prof. Me. Herbert Tunnerman (Avaliador) – DCEEng/UNIJUÍ

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AGRADECIMENTOS

Agradeço inicialmente a Deus, por tantas oportunidades, por estar sempre ao meu lado, por permitir por meio da sua graça, o dom da vida.

Agradeço a toda minha família, minha esposa Caroline Fabrin Gamste Baiotto, meu pai Sidemar Carlos Baiotto, minha mãe Lisane Maria Casali Baiotto, aos meus avós, tios, amigos e demais familiares pelo constante e permanente apoio e companhia em todos os momentos da minha vida.

Ao professor Felipe Tusset, pelo amplo apoio e tempo dedicado à orientação deste trabalho.

Aos meus colegas e amigos, que me ajudaram no crescimento como pessoa, que sempre estiveram presentes nos momentos de descontração e felicidade.

À Universidade Regional do Noroeste do Rio Grande do Sul, que me acolheu durante esses cinco anos de graduação e que permitiu através de conhecimentos, ferramentas, disponibilização dos laboratórios e materiais necessários para se aperfeiçoar durante a vida acadêmica na instituição.

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BIOGRAFIA DO AUTOR

Josier Casali Baiotto, nascido em 21 de junho de 1994, no município de Ijuí, morou grande parte de sua vida no interior de Bozano-RS, atualmente reside no município de Ijuí. Completou sua formação no ensino médio em 2011, na Escola Técnica Estadual 25 de Julho a qual também se formou em ano anterior como Técnico Mecânico Industrial. Está cursando atualmente seu último semestre do curso de Engenharia Mecânica na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ.

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RESUMO

O presente trabalho demonstra o dimensionamento de um trem de engrenagens para utilização em uma turbina eólica. A geração de energia eólica vem se destacando em todo o mundo, portanto estudos nessa área estão cada vez mais frequentes. Deste modo, o objetivo geral é dimensionar através de um memorial de cálculo as características das engrenagens, as relações de transmissão, as forças atuantes nas mesmas, o diâmetro dos eixos, as chavetas e demais componentes associados. Os cálculos foram realizados de forma analítica utilizando uma planilha eletrônica do Microsoft Excel. Assim mesmo com as dificuldades e as complexidades encontradas durante os cálculos e determinações de fatores, entende-se que este trabalho atingiu seus objetivos propostos e poderá servir de base para acadêmicos da área.

Palavras-chave: Dimensionamento de Engrenagens, Trem de Engrenagens, Dimensionamento de Eixos, Eixos, Engrenagens.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Vista esquemática de um conjunto de geração eólica ... 13

Figura 2 – Realização de testes em uma caixa multiplicadora ... 13

Figura 3 – Engrenagens cilíndricas de dentes retos ... 15

Figura 4 - Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais ... 15

Figura 5 - Engrenagens cônicas ... 16

Figura 6 – Engrenagens sem-fim... 16

Figura 7 – Nomenclatura das engrenagens... 18

Figura 8 – Detalhe da nomenclatura ... 20

Figura 9 – Representação do ângulo de ação ... 20

Figura 10 – Demais nomenclaturas ... 20

Figura 11 – Representação da distância entre as engrenagens ... 21

Figura 12 – Perfil evolvente ... 23

Figura 13 – Demonstração do engrenamento ... 23

Figura 14 – Interferência nos dentes ... 24

Figura 15 – Representação das Forças atuantes ... 25

Figura 16 – Carga aplicada no centro do dente ... 26

Figura 17 – Consideração da carga em projeto ... 26

Figura 18 - Representação das cargas no cisalhamento ... 31

Figura 19 - Representação das cargas na compressão ... 32

Figura 20 - Acoplamento de eixos ... Erro! Indicador não definido. Figura 21 - Detalhe do erro esperado ... 43

Figura 22 - Disposição ilustrativa da carcaça ... 50

Figura 23 – Representação do eixo 01 em perspectiva ... 50

Figura 24 – Diagrama de corpo livre para o plano YZ do eixo 01... 51

Figura 25 - Diagrama de esforço cortante para o plano YZ do eixo 01 ... 52

Figura 26 - Diagrama de momento fletor para o plano YZ do eixo 01 ... 53

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Figura 28 - Diagrama de esforço cortante para o plano XZ do eixo 01 ... 54

Figura 29 - Diagrama de momento fletor para o plano XZ do eixo 01 ... 55

Figura 30 - Representação do eixo 02 em perspectiva ... 56

Figura 34 - Diagrama de corpo livre para o plano XZ do eixo 02 ... 59

Figura 37 - Representação do eixo 03 em perspectiva ... 62

Figura 41 – Diagrama de corpo livre para o plano XZ do eixo 03... 65

Figura 44 – Mancal de rolamento... 67

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SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 11 2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ... 12 2.1 Objetivo geral ... 12 2.2 Objetivos específicos ... 12 2.3 Justificativas ... 12 3. REVISÃO BIBLIOGRFICA ... 14 3.1 Engrenagens: ... 14 3.1.1 Tipos de engrenagens: ... 14 3.1.2 Materiais: ... 17 3.1.3 Nomenclatura: ... 17 3.2 Eixos Árvores ... 27 3.2.1 Introdução ... 27

3.2.2 Condições a serem atendidas pelos Mancais dos Eixos ... 28

3.2.3 Montagem de componentes nos Eixos ... 28

3.2.4 Dinâmica dos Eixos Girantes ... 30

3.2.5 Projeto Global de um Eixo ... Erro! Indicador não definido. 3.3 Chavetas ... 30

3.3.1 Tensão de cisalhamento em chavetas ... 31

3.3.2 Tensão de compressão em chavetas ... 32

3.4 Acoplamentos ... Erro! Indicador não definido. 4. DIMENSIONAMENTO ... 35

4.1 Dimensionamento das engrenagens do primeiro par... 37

4.1.1 Dimensionamento pelo critério da resistência... 38

4.1.2 Dimensionamento pelos critérios das forças ... 41

4.2 Dimensionamento das engrenagens do segundo par ... 44

4.2.1 Dimensionamento pelo critério da resistência... 44

(10)

4.3 Dimensionamento dos eixos ... 48

4.3.1 Dimensionamento do eixo 01 (entrada): ... 50

4.3.2 Dimensionamento do eixo 02 (intermediário): ... 55

4.3.3 Dimensionamento do eixo 03 (saída): ... 61

4.4 Determinação dos mancais de apoio ... 67

4.5 Dimensionamento das chavetas: ... 69

4.6 Seleção dos acoplamentos ... Erro! Indicador não definido. CONCLUSÃO ... 72

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 73

ANEXO A - Número de dentes mínimos recomendados para evitar a interferência em dentes normais ... 74

ANEXO B - Fatores de Forma (y) para equação de Lewis ... 74

ANEXO C - Propriedades de alguns aços ... 75

ANEXO D - Valores de K ... 75

ANEXO E - Tensões admissíveis para engrenagens cilíndricas de dentes retos ... 75

ANEXO F - Valores de fs e K para uso na equação de desgaste do dente ... 76

ANEXO G – Gráficos de erros ... 77

ANEXO H - Valores da constante C ... 78

ANEXO I - Valores de Kf e Kt ... 78

ANEXO J - Características mecânicas dos aços ... 79

ANEXO K – Tabela de seleção de mancais de rolamentos ... 80

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1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho aborda o dimensionamento de um conjunto de pares de engrenagens para serem utilizados em uma turbina eólica de baixa potência em caráter acadêmico e de estudo. Trata-se de um trabalho que visa apontar e dimensionar de forma analítica todas as variáveis e componentes que são pertinentes a esse tipo de conjunto mecânico. Devido à grande necessidade de energia em nosso país e também no mercado mundial, cada vez mais vem se buscando novas alternativas. Dentre muitas opções uma que está crescendo bastante é a energia eólica, a qual utiliza a força dos ventos para produzir energia mecânica em um eixo, a qual é convertida em energia elétrica através de um gerador.

A rotação gerada pela pá de um rotor de turbina eólica é muito baixa, fazendo então com que se acoplado diretamente o gerador seja muito grande devido o cálculo do número de polos que é dado pela rotação.

Para que seja possível a viabilidade econômica de construção de uma unidade gerador de energia eólica, é necessária a instalação de um multiplicador de velocidades, esses multiplicadores podem ser comprados diretamente de fabricantes espalhados pelo mundo.

Tendo em vista que é possível comprar o multiplicador pronto, se torna ainda mais desafiador construir um de forma estudantil, afim de provar que os conceitos aprendidos durante a graduação quando colocados em prática comprovam o que está no papel.

Um desafio ainda maior é construir um equipamento de tamanha complexidade quase que somente com as ferramentas e equipamentos disponibilizados pela Universidade.

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2. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

Devido à rotação da turbina ser baixa (estipulada em 300 rpm), fabricar um gerador para essa mesma potência e rotação é inviável economicamente, com isso, é possível verificar a viabilidade de se dimensionar um conjunto de engrenagens para transformar essa rotação de entrada em uma rotação de saída mais alta e assim utilizar um motor standard.

Dimensionar um conjunto de engrenagens e demais componentes necessários, como, eixos, chavetas, mancais, acoplamento, para executar a relação de multiplicação de rotação entre uma turbina eólica de 750W, que gira à uma rotação de 300 rpm para acoplar a um motor trifásico de 4 pólos que possui como rotação de sincronismo 1800 rpm e potência equivalente à da turbina.

2.1 OBJETIVO GERAL

Dimensionamento de um trem de engrenagens para utilizar como multiplicador de velocidades em conjunto com uma turbina eólica, engloba o dimensionamento do multiplicador as engrenagens, eixos, chavetas e mancais de apoio.

2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Para o alcance do objetivo geral anteriormente exposto, se fazem necessários os seguintes objetivos específicos:

Dimensionamento dos pares engrenados; Dimensionamento dos eixos;

Dimensionamento das chavetas; Determinação dos mancais de apoio;

2.3 JUSTIFICATIVAS

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Realizando uma pesquisa, de imediato é possível identificar que em quase todos os casos é necessário a utilização dos multiplicadores de velocidades entre a turbina e o gerador, conforme ilustrado na Figura 1.

Figura 1 – Vista esquemática de um conjunto de geração eólica

Fonte – Portal Energia (2017)

Sabendo da importância que tem um multiplicador de velocidades, em projetos comerciais e de grande porte, para se obter a certeza de eficiência e de sincronismo alguns testes são realizados nos mesmos, conforme ilustrado na Figura 2.

Figura 2 – Realização de testes em uma caixa multiplicadora

Fonte – Fonte – Portal Energia (2017)

Tendo em vista todas as informações encontradas nos sites dos fabricantes e demais meios de pesquisa e informação, conclui-se que utilizar um multiplicador de velocidades é hábito comum nesse tipo de projeto.

Multiplicador de velocidades

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3. REVISÃO BIBLIOGRFICA

3.1 ENGRENAGENS:

São denominadas engrenagens, componentes dentados que transmitem movimento de rotação de um eixo para outro, estão entre os mais antigos dispositivos criados pelo homem.

Denomina-se engrenagem a peça de forma cilíndrica (engrenagem cilíndrica), cônica (engrenagem cônica) ou reta (cremalheira), dotada de dentes em sua superfície externa ou interna, cuja finalidade é transmitir movimento sem deslizamento e potência, multiplicando os esforços com finalidade de gerar trabalho (JUVINAL, 2008).

A principal característica de um conjunto de transmissão é a sua própria relação de transmissão. Ou seja, o quanto seus componentes são capazes de multiplicar ou reduzir determinadas grandezas. Determinado através da Equação (1).

𝑖_𝑔 = 𝑛𝑠 𝑛_𝑒 (1) Onde: 𝑖_𝑔 = 𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜 𝐺𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑛_𝑠 = 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑆𝑎í𝑑𝑎 𝑛𝑒 = 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

Em caso de o sistema possuir mais de um par engrenado, a determinação da relação de transmissão individual de cada par é determinada através da Equação (2).

𝑖₁∗ 𝑖₂ = 𝑖_𝑔 (2)

Onde:

𝑖1 = 𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑎𝑟 01

𝑖2 = 𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑎𝑟 02

3.1.1 Tipos de engrenagens:

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Possuem dentes paralelos ao eixo de giro e são utilizadas para a relação de transmissão de dois eixos paralelos. De todos os tipos de engrenagens, as de dentes retos são as mais simples, sendo por essa razão, empregada para desenvolver as relações cinemáticas primárias da forma de dente (SHIGLEY,2005), a Figura 3 traz um exemplo típico para esse tipo de conjunto.

Figura 3 – Engrenagens cilíndricas de dentes retos

Fonte: SHIGLEY (2005)

• Engrenagens helicoidais:

Possuem dentes inclinados em relação ao eixo de giro e podem ser utilizadas nas mesmas aplicações que as engrenagens de dentes retos, porém tendem a ser pares engrenados mais silenciosos devido aos engajamentos mais gradual dos dentes durante o engranzamento. O dente inclinado também gera forças axiais e momentos flexores, os quais não estão presentes nos pares de dentes retos. Em alguns casos, as engrenagens helicoidais são utilizadas para transmitir movimento entre eixos não-paralelos (SHIGLEY,2005), a Figura 4 traz um exemplo típico para esse tipo de conjunto.

Figura 4 - Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais

• Engrenagens cônicas:

Possuem dentes cônicos em relação ao eixo de giro e são utilizadas para transmitir movimento entre eixos que se interceptam. As engrenagens cônicas espiraladas são cortadas de

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forma que o dente deixe de ser reto, formando assim um arco circular (SHIGLEY,2005), a Figura 5 traz um exemplo típico para esse tipo de conjunto.

Figura 5 - Engrenagens cônicas

• Parafuso-coroa sem-fim:

O par parafuso-coroa sem-fim, o pinhão sem-fim assemelha-se a um parafuso que gira sobre os dentes da coroa. A direção de rotação da coroa depende da direção de rotação do parafuso e de serem seus dentes cortados à direta ou à esquerda. Os conjuntos de sem-fim são mais utilizados quando as razões de velocidades dos eixos são bastante altas, digamos acima de 3 ou até mais (SHIGLEY,2005), a Figura 6 traz um exemplo típico para esse tipo de conjunto.

Figura 6 – Engrenagens sem-fim

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3.1.2 Materiais:

A escolha do material para a fabricação das engrenagens é de suma importância, pois para determinadas aplicações é recomendado um tipo específico de material e consequentemente um tratamento superficial também.

Normalmente se utiliza materiais metálicos resistentes para a confecção dessas engrenagens tais como as ligas de aço com baixo ou alto teor de carbono, ligas de ferro fundido nodular, bronze e até mesmo aços inoxidáveis. Dentro dos quais as ligas mais utilizadas são: 1020, 1040, 1050, 3145, 4320, 4340, 8620 e 8640 (NOTAS DE AULA, 2017).

Dentro do ramo de acessórios eletrônicos e componentes de informática, também é empregado um grande número de componentes de engrenamento, esses itens são fabricados quase que em sua totalidade em polímeros para que tenham um peso e custo muito baixos.

3.1.3 Nomenclatura:

Independentemente do tipo de engrenagem, é reconhecida de maneira mundial uma nomenclatura padronizada, a qual é possível identificar e caracterizar todos os elementos e variáveis de uma engrenagem, a Figura 7 ilustra algumas indicações.

A terminologia para os dentes de engrenagens retos está demonstrada na Figura 7. O círculo do passo é um círculo teórico sobre o qual são realizados os cálculos; seu diâmetro é conhecido como diâmetro primitivo. Os círculos primitivos de um par de engrenagens são tangentes entre si. O pinhão é a menor das duas engrenagens, a maior é denominada coroa (NOTAS DE AULA, 2017).

O passo circular p é a distância medida no círculo primitivo, entre um ponto do dente até o mesmo ponto do dente adjacente. Assim, o passo circular é igual à soma da espessura de dente e da largura do espaçamento.

O módulo m, é a razão entre o diâmetro primitivo e o número de dentes. A unidade habitual de comprimento é o milímetro. O módulo é o índice de tamanho do dente no SI (NOTAS DE AULA, 2017).

O passo diametral P é a razão entre o número de dentes da engrenagem e o diâmetro primitivo. Logo é o recíproco do módulo. Uma vez que o passo diametral é utilizado somente com unidades americanas, é expresso como dentes por polegada (NOTAS DE AULA, 2017).

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O adendo a é a distância radial entre o topo do dente e o círculo primitivo. O dedendo b é a distância radial do fundo do dente ao círculo primitivo. A altura completa h é a soma do adendo e do dedendo

O círculo de folga é um círculo tangente ao círculo de adendo da engrenagem par. A folga c é o quanto o dedendo, em uma da engrenagem, excedo ao adendo da sua engrenagem par. O recuo é o quanto a largura do espaço entre os dentes excede à espessura dos dentes engranzados, medido sobre os círculos primitivos (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 7 – Nomenclatura das engrenagens

Fonte: NOTAS DE AULA (2017)

Onde:

Z – Número de dentes – quantidade efetiva de dentes da engrenagem determinada pela Equação 3, o número de dentes do pinhão sempre é determinado através de um número mínimo para a determinada relação de transmissão conforme Anexo A.

𝑍_𝑐 = 𝑖 ∗ 𝑍_𝑝 (3)

Onde:

𝑍_𝑝 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑜 𝑃𝑖𝑛ℎã𝑜 𝑍𝑐 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎

𝑖 = 𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑠ã𝑜

De – diâmetro externo – corresponde ao diâmetro máximo da engrenagem, determinado pela Equação 4;

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Onde:

𝐷_𝑒 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝐷𝑝 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

𝑚 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜

Di – diâmetro interno – corresponde ao diâmetro menor da engrenagem, o diâmetro localizado no pé do dente, determinado pela Equação 5.

𝐷_𝑖 = 𝐷_𝑝− ( 2 ∗ 𝑚 ∗ 1,167) (5)

Dp – diâmetro primitivo – corresponde o diâmetro intermediário entre o De e Di. Também pode ser expresso em função do módulo, o diâmetro primitivo é a base para a maioria dos cálculos de engrenamento, determinado pela Equação 6.

𝐷𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑍 (6)

C – cabeça do dente – corresponde a parte do dente que fica entre o Dp e o De, determinada pela Equação 7.

𝐶 = 𝑝

2= 1,5708 ∗ 𝑚 (7)

f – pé do dente – corresponde a parte do dente que fica entre o Dp e o Di, determinado através da Equação 8.

𝑓 = 0,16 ∗ 𝑚 (8)

h – altura do dente – corresponde a altura total do dente, definida pela Equação 9.

ℎ = 2,167 ∗ 𝑚 (9)

e – espessura do dente – corresponde à distância entre os dois pontos extrememos de um dente, medida à altura do Dp, determinada através da Equação 10.

𝑒 =𝑝

2= 1,5708 ∗ 𝑚 (10)

V – vão do dente – corresponde ao espaço entre dois dentes consecutivos. Não a mesma medida que a espessura do dente conforme Figura 8.

p – passo – medida que corresponde à distância entre dois dentes consecutivos, medida à altura do Dp conforme Figura 8.

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Figura 8 – Detalhe da nomenclatura

Ângulo de ação ou de pressão (φ) – é o ângulo que define a direção da forma que a engrenagem motora exerce sobre a engrenagem movida. Conforme a Figura 9, é possível identificar que o pinhão exerce uma força na coroa, formando um ângulo (φ) com a tangente comum às circunferências primitivas (linhas tracejadas na Figura 9). Os valores usuais de φ são 14,5°;15°;20°;25 e 30° (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 9 – Representação do ângulo de ação

Os demais elementos estão descritos e ilustrados conforme Figura 10.

Figura 10 – Demais nomenclaturas

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m – módulo - O módulo de uma engrenagem refere-se ao quociente resultante da divisão do diâmetro primitivo, em relação ao número de dentes, sempre expresso em milímetros (mm). O módulo é normalizado e expresso com números inteiros ou decimais, o mesmo é determinado através da Equação 11 (NOTAS DE AULA, 2017).

𝑚 = 𝐷𝑝

𝑧 (11)

Diametral pitch (pt) – passo circunferencial – é a razão entre o número de dentes da engrenagem e o diâmetro primitivo, expresso em função da posição no diâmetro primitivo, essa definição é muito utilizada no sistema inglês de medição, determinado pela Equação 12.

𝑝𝑡 = 𝐷𝑝 ∗ 𝜋

𝑧 (12)

Folga no fundo do dente - Distancia livre entre o topo do dente de uma das engrenagens e o fundo do dente da outra.

Folga no vão do dente (fv) – é a distância livre entre os dentes do par engrenado, medida na linha do diâmetro primitivo, expresso pela Equação 13.

𝑓𝑣 = 0,04 ∗ 𝑚 (13)

Circunferência de base (db) – é a circunferência de contato direto entre os dentes, determinado através da Equação 14.

𝑑𝑏 = 𝐷𝑝 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 (14)

Distância entre centros de duas engrenagens (d) – essa medida se baseia no ponto de contato entre as engrenagens, determinado pela Equação 15. Esse ponto está localizado na tangente das circunferências que correspondem aos diâmetros primitivos das engrenagens conforme Figura 11 (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 11 – Representação da distância entre as engrenagens

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𝑑 = 𝐷𝑝 + 𝑑𝑝

2 (15)

Onde:

𝐷𝑝 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑎 𝐶𝑜𝑟𝑜𝑎

𝑑𝑝 = 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑜 𝑃𝑖𝑛ℎã𝑜

3.1.4 Lei Fundamental do Engrenamento

Conceitualmente, os dentes previnem o escorregamento do sistema de transmissão. Considerando este fato, podemos enunciar a lei: “A velocidade angular das engrenagens de um par de engrenagens deve manter-se constante durante o engrenamento”, expressa pela Equação 16.

𝑣 =

𝜔

𝑚𝑜𝑣

𝜔̅

_𝑚𝑜𝑣

= ±

𝑟

_𝑚𝑜𝑣

𝑟̅

_𝑚𝑜𝑣 (16)

𝜔

_𝑚𝑜𝑣 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑀𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧

𝜔̅

_𝑚𝑜𝑣 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟𝑎

𝑟

_𝑚𝑜𝑣 = 𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑜𝑢 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝐸𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑔𝑒𝑚 𝑀𝑜𝑡𝑟𝑖𝑧

𝑟̅

_𝑚𝑜𝑣 = 𝑅𝑎𝑖𝑜 𝑜𝑢 𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝐸𝑛𝑔𝑟𝑒𝑛𝑔𝑒𝑚 𝑀𝑜𝑡𝑜𝑟𝑎

O torque transmitido T se relaciona com velocidade angular através da Equação 17:

T =

1 e

=

𝜔

_𝑚𝑜𝑣

𝜔̅

_𝑚𝑜𝑣

= ±

𝑟

_𝑚𝑜𝑣

𝑟̅

_𝑚𝑜𝑣 (17)

Assim, um engrenamento é essencialmente um dispositivo de troca de torque por velocidade e vice-versa. Uma utilização comum de engrenamento é reduzir velocidade e aumentar o torque para grandes carregamentos, como em caixa de marchas em automóveis. Outra aplicação requer um aumento na velocidade e uma consequente redução no torque. Nos dois casos é geralmente desejável manter uma razão constante entre as engrenagens enquanto elas giram (NOTAS DE AULA, 2017).

Uma condição para que a lei fundamental das engrenagens ser verdadeira é que o perfil do dente das duas engrenagens deve ser conjugado ao outro. Uma maneira de se conjugar as engrenagens é usando o chamado evolvental para lhes dar forma.

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O perfil do dente de engrenagem é definido por uma curva conhecida como evolvente conforme ilustrado na Figura 12. Esta curva permite que o contato entre os dentes das duas engrenagens aconteça apenas em um ponto, permitindo uma ação conjugada, suave e sem muito deslizamento, próximo a uma condição de rolamento. A medida que as engrenagens giram, o ponto de contato muda nos dentes, mas permanece sempre ao longo da linha de ação. A inclinação desta linha é definida pelo ângulo de pressão (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 12 – Perfil evolvente

3.1.5 Geometria de contato entre engrenagens

A Figura 13 mostra um par de engrenagens imediatamente antes e depois do contato entre os dentes. As normais destes dois pontos de contato se encontram num chamado ponto primitivo. A relação entre o raio da engrenagem motora e da movida permanece constante durante o engrenamento (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 13 – Demonstração do engrenamento

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Outra maneira de se enunciar a lei de engrenamento é de uma maneira mais cinemática: As linhas normais ao perfil dos dentes em todos os pontos de contato devem sempre passar por um ponto fixo na linha do centro, chamado de ponto primitivo (NOTAS DE AULA, 2017).

3.1.6 Interferência em dentes evolventais

Os pontos de tangência da linha de ação e dos círculos de base são chamados pontos de interferência. Quando o dente é suficientemente longo para se projetar para dentro do círculo de base do pinhão, a cabeça do dente da engrenagem tende a penetrar no flanco do dente do pinhão (se a rotação for forçada), a menos que tenham sido modificados os perfis caracterizando a interferência (NOTAS DE AULA, 2017).

É uma desvantagem séria das engrenagens evolventais, sendo máxima quando um pinhão de pequeno número de dentes se engrena com uma cremalheira. A interferência diminui à medida que a engrenagem diminui de tamanho conforme apresentado na Figura 14 (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 14 – Interferência nos dentes

Os dentes evolventais de engrenagem produzidos por ferramentas cremalheiras são recortados automaticamente, no flanco, sendo removida a parte que ocasionaria a interferência entre quaisquer engrenagens. Entretanto, se isto resolve o problema da interferência, o dente é consequentemente enfraquecido, e o grau de engrenamento pode tornar-se indesejavelmente baixo. O melhor é evitar a condição de interferência teórica, se possível (NOTAS DE AULA, 2017).

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3.1.7 Relação cinemática

Em uma transmissão a ação do dente do pinhão sobre a coroa a vice-versa promove a transmissão de torque e potência de um eixo para outro. A direção da força e suas componentes estão mostradas na Figura 15 (NOTAS DE AULA, 2017).

Figura 15 – Representação das Forças atuantes

Onde:

Fn = Força que a coroa faz no pinhão na direção da linha de ação

Fr = componente radial expressa através da Equação 18.

Ft = componente tangencial expressa através da Equação 19.

𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 ∗ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 (18)

𝐹𝑡 = 𝐹𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (19)

A força tangencial (Ft) também pode ser determinada em função do momento de torção (Mt) que age sobre o dente da engrenagem, através da Equação 20:

𝐹𝑡 = 2𝑀𝑡

𝐷𝑝 (20)

A força resultante que atua sobre o dente da engrenagem, cai sobre a geratriz nas engrenagens evolventais, e seu ponto de aplicação move-se da parte superior (ou inferior) do dente para a parte inferior (ou superior) (NOTAS DE AULA, 2017).

Considerando o dente como uma viga engastada, encontramos o máximo de tensão, quando um dente suporta toda a carga na extremidade. Entretanto, se o grau de engrenamento é maior que 1, outro dente provavelmente está partilhando da transmissão de potência. À

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medida que o dente se desloca do seu ângulo de ação, o ponto de aplicação de F se move para baixo no perfil conforme ilustrado na Figura 16. Em algum instante deste movimento, com o grau de engrenamento menor que 2, o dente suportará a carga toda (NOTAS DE AULA, 2017). Em projetos é comum utilizarmos a hipótese mais segura, com a carga total aplicada à extremidade do dente conforme Figura 17.

Figura 16 – Carga aplicada no centro do dente

Figura 17 – Consideração da carga em projeto

Dependendo do grau de engrenamento um dente pode receber toda a carga transmitida em qualquer ponto do topo até o ponto perto do círculo do dedendo. Obviamente, a situação mais crítica é aquela que a força F age no topo do dente. Neste caso, a componente tangencial Ft apresentará seu valor máximo agindo no dente (NOTAS DE AULA, 2017).

Mesmo nas situações em que o torque Tp é constante, cada dente sofrerá carga de forma alternada e repetitiva, criando uma situação de fadiga.

(27)

Uma engrenagem em funcionamento está constantemente sendo exigida em ciclos repetidos, que nos leva a pensar que certamente a fadiga é um problema que tem de ser levado em consideração.

Existem dois problemas fundamentais que podem causar a danos a uma engrenagem: Fratura por fadiga causada pelas cargas alternadas e desgaste na superfície (JUVINAL, 2008).

A fadiga é gerada nos componentes devido seu funcionamento repetitivo e constante. Quanto maior o ciclo de funcionamento maior será o seu índice. Para determinar a tensão de fadiga do material para engrenagens resume-se a Equação 21.

𝜎𝑜 =

𝜎𝑟

𝐶𝑆 (21)

Então, é impossível de se construir uma engrenagem de vida infinita contra desgastes superficiais. Engrenagens devidamente projetadas nunca devem fraturar um dente em funcionamento normal, mas deve ser esperado desgastes superficiais que com o tempo são inevitáveis (JUVINAL, 2008).

3.2 EIXOS ÁRVORES

3.2.1 Introdução

O termo árvore geralmente se refere a um elemento relativamente longo de seção transversal circular que gira e transmite potência. Um ou mais componentes, como engrenagens, rodas dentadas, polias e cames, são usualmente fixados aos eixos através de pinos, chavetas, cavilhas, anéis de pressão e outros elementos de fixação (JUVINAL, 2008). Os conjuntos eixos árvores estão empregados em praticamente todos os projetos mecânicos.

Um eixo não precisa ter exatamente somente seção circular, e também não precisa, necessariamente, girar. Ele pode ser estacionário e servir para suportar um elemento girante, como o pequeno eixo que suporta as rodas conduzidas de um automóvel. Os eixos de apoio das engrenagens intermediárias podem ser tanto girantes quanto estacionários, dependendo de a engrenagem ser solidária ao eixo ou suportada por mancais. Os eixos que suportam e acionam as rodas motoras de um veículo são também chamados de eixos motrizes ou eixos árvores (JUVINAL, 2008).

(28)

Fica claro, portanto, que os eixos árvores podem ser submetidos a diversas combinações de cargas torcionais, axiais e de flexão, e que essas cargas podem ser estáticas ou flutuantes. Tipicamente, um eixo girante transmitindo potência fica submetido a um torque constante combinado com uma carga de flexão completamente alternada.

Além disso, para atender aos requisitos de resistência os eixos devem ser projetados de modo que as deformações fiquem limitadas a níveis aceitáveis. O deslocamento lateral excessivo de um eixo pode dificultar o desempenho da engrenagem e causar ruídos desagradáveis. Os deslocamentos angulares associados podem ser bastante nocivos aos mancais sem auto alinhamento (JUVINAL, 2008).

3.2.2 Condições a serem atendidas pelos Mancais dos Eixos

Os eixos árvores girantes, que têm a eles acopladas engrenagens, polias, cames e outros componentes, devem ser suportados por mancais. Se dois mancais puderem estabelecer um apoio radial suficiente, de modo a limitar a flexão e os deslocamentos a valores aceitáveis, esta será uma condição altamente desejável e simplificará o processo de fabricação. Se três ou mais mancais forem necessários para propiciar as condições de apoio e rigidez do conjunto, deverá ser mantido o alinhamento preciso dos mancais na estrutura de apoio (JUVINAL, 2008).

O posicionamento axial de um eixo e a condição necessária para ele suportar cargas axiais geralmente requer que um e apenas um mancal suporte a carga axial em cada sentido. Algumas vezes, a carga axial é compartilhada entre dois ou mais mancais de encosto simples. Neste caso, deve haver uma folga axial suficiente para se assegurar de que não haverá "grimpamento" sob qualquer condição de operação. O estabelecimento de tolerâncias pode ser tal que apenas um mancal suporte a carga axial, pelo menos até o início do processo de desgaste (JUVINAL, 2008).

É importante que os elementos que suportam os mancais dos eixos sejam suficientemente resistentes e rígidos.

3.2.3 Montagem de componentes nos Eixos

Em algumas situações, elementos como engrenagens e cames são fabricados de forma integrada aos eixos, porém no caso mais comum eles são fabricados separadamente e, em seguida, montados sobre o eixo. A região do elemento montado em contato com o eixo é o cubo. Esse cubo é fixado ao eixo de diversas formas. As engrenagens são presas normalmente

(29)

através de uma chaveta. Os rasgos realizados no eixo e no cubo onde a chaveta será ajustada são chamados de rasgos de chaveta (JUVINAL, 2008).

Uma fixação mais simples para a transmissão de cargas relativamente baixas é propiciada por pinos. Este componente oferece um meio relativamente barato de transmissão de cargas tanto axiais quanto circunferenciais.

Os furos radiais cônicos realizados nos cubos permitem a fixação de parafusos de retenção sobre o eixo, tendendo, portanto, a evitar o movimento relativo. O diâmetro do parafuso é tipicamente de cerca de um quarto do diâmetro do eixo. Dois parafusos são comumente utilizados, espaçados de 90° um do outro. Os parafusos de aperto são baratos e, algumas vezes, adequados para serviços relativamente leves. Embora estejam disponíveis alguns projetos especiais que propiciam um aumento da proteção contra o afrouxamento em operação, os parafusos de retenção não devem ser considerados para as aplicações nas quais um eventual afrouxamento colocaria a segurança em risco. Os parafusos de retenção são, algumas vezes, utilizados em conjunto com as chavetas. Tipicamente, são utilizados um parafuso fixado à chaveta e outro fixado diretamente ao eixo para evitar o movimento axial (JUVINAL, 2008).

Um método excelente e barato de posicionamento axial e retenção de cubos e mancais sobre os eixos é a utilização de anéis de retenção, também chamados de anéis de pressão. Os anéis de retenção requerem a realização de ranhuras que enfraquecem o eixo, porém isso não é uma desvantagem se eles forem localizados nas regiões onde as tensões são baixas (JUVINAL, 2008).

Talvez a forma mais simples de união de um eixo a um cubo seja obtida com um ajuste com interferência, no qual o corpo do cubo é ligeiramente menor do que o diâmetro do eixo. O conjunto é montado pela ação de uma força exercida por uma prensa, ou por meio da expansão térmica do cubo - algumas vezes também pela contração do eixo através de gelo seco - e uma prensagem rápida das duas partes, uma contra a outra, antes de as temperaturas das partes se igualarem. Algumas vezes é utilizada a combinação de um pino e do ajuste por interferência (JUVINAL, 2008).

O corte de estrias de acoplamento no eixo e no cubo geralmente propicia a junta de conexão mais resistente para a transmissão de torques. Tanto as estrias quanto as chavetas

(30)

podem ser ajustadas para permitir que o cubo deslize axialmente ao longo do eixo (JUVINAL, 2008).

3.2.4 Dinâmica dos Eixos Girantes

Os eixos girantes, particularmente aqueles com alta rotação, devem ser projetados de modo a evitar operações nas velocidades críticas. Normalmente, isso significa o provimento de rigidez lateral suficiente, de forma que a velocidade crítica fique posicionada bem acima da faixa de operação. Quando ocorrerem flutuações torcionais, será imposto um requisito dinâmico adicional. As frequências naturais torcionais do eixo devem estar situadas bem distantes das frequências presentes no esforço torcional de entrada. Em geral, isto é possível proporcionando uma rigidez torcional suficiente, que desloque a frequência natural torcional mais baixa significativamente acima da mais alta frequência torcional perturbadora (JUVINAL, 2008).

Em relação à vibração lateral e às velocidades críticas, as práticas de fabricação e operação são tais que o centro de massa de um sistema em rotação jamais coincide exatamente com o centro de rotação. Assim, quando a rotação do eixo é gradualmente aumentada as forças centrífugas atuantes no centro de massa tendem a curvar progressivamente o eixo produzindo uma flexão. Quanto mais o eixo é curvado, maiores são a excentricidade e a força centrífuga. Abaixo da mais baixa velocidade crítica de rotação, as forças elástica e centrífuga do eixo se equilibram a um deslocamento finito do eixo. Na velocidade crítica o equilíbrio requer, teoricamente, um deslocamento infinito do centro de massa. Os amortecimentos dos mancais do eixo devidos ao deslocamento de ar e à histerese interna ao componente girante fazem com que o equilíbrio ocorra a um deslocamento finito. Entretanto, esse deslocamento é geralmente alto o suficiente para quebrar o eixo ou causar forças nos mancais de rotação cujas amplitudes são altamente proibitivas, se não destrutivas. Uma rotação significativamente superior à velocidade crítica resulta em uma posição de equilíbrio satisfatória pelo movimento do centro de massa no sentido do centro de rotação (JUVINAL, 2008).

3.3 CHAVETAS

Talvez a mais comum das conexões entre um eixo e um cubo para transmissão de torque seja a chaveta. Entre os diversos tipos de chavetas, o mais usual é o de seção quadrada. As proporções geométricas padronizadas estabelecem que a largura de uma chaveta deve ser aproximadamente igual a um quarto do diâmetro do eixo. Geralmente as chavetas são fabricadas

(31)

de aço de baixo carbono (como SAE ou AISI 1020) e são submetidas a um acabamento a frio, porém nos casos em que é necessária uma maior resistência utiliza-se ligas de aço tratadas termicamente (JUVINAL, 2008).

3.3.1 Tensão de cisalhamento em chavetas

Devido as cargas atuantes nas chavetas, é necessário que sejam determinadas as suas tensões atuantes.

A área de cisalhamento para um comprimento de chaveta l, é determinada através da Equação 22:

𝐴𝑐𝑖𝑠 = 𝑏 ∗ 𝑙 (22)

A tensão de cisalhamento devido à Força Ft é determinada através da Equação 23.

𝜏𝑐𝑖𝑠 =

𝐹𝑡

𝐴𝑐𝑖𝑠 (23)

Então pode-se estabelecer uma relação entre as equações 22 e 23 e é possível determinar o comprimento l mínimo para a chaveta:

𝑙 ≥ 𝐹𝑡

𝜏_𝑐𝑖𝑠∗ 𝑏 (24)

Na Figura 18 é possível identificar as cargas atuantes na chaveta, e as dimensões que são utilizadas para a determinação da tensão de cisalhamento.

Figura 18 - Representação das cargas no cisalhamento

(32)

3.3.2 Tensão de compressão em chavetas

A área de compressão para um comprimento de chaveta l, é dada pela Equação 25:

𝐴_{𝑐𝑜𝑚𝑝} = t ∗ 𝑙 (25)

Já a tensão de compressão devido à Força Ft, pode ser determinada pela Equação 26.

𝜎_{𝑐𝑜𝑚𝑝} = 𝐹𝑡

𝐴_{𝑐𝑜𝑚𝑝} (26)

Então, pode-se estabelecer uma relação entre as Equações 25 e 26 formando a Equação 27:

𝑙 ≥ 𝐹𝑡

𝜎_{𝑐𝑜𝑚𝑝}∗ 𝑡 (27)

Na Figura 19é possível identificar as cargas atuantes na chaveta, e as dimensões que são utilizadas para a determinação da tensão de compressão.

Figura 19 - Representação das cargas na compressão

(33)

4. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO

Com base na revisão bibliográfica e em conjunto com as experiências e metodologias aplicadas pelos professores das disciplinas, é possível elaborar um roteiro de cálculo, baseado principalmente nos conceitos trazidos por SHIGLEY (2005) e JUVINAL (2008), associado as NOTAS DE AULA (2017).

4.1 DIMENSIONAMENTO DAS ENGRENAGENS

✓ Estabelecer uma relação de transmissão; ✓ Definir o número de dentes;

Dimensionamento pelos critérios de resistência (SHIGLEY, 2005) ✓ Determinar as tensões admissíveis dos materiais;

✓ Determinar o torque do primeiro eixo; ✓ Determinar a tensão no pé do dente ✓ Determinar a velocidade tangencial;

✓ Determinar a tensão admissível em função da velocidade tangencial; ✓ Determinar a tensão de projeto;

✓ Determinar a largura do dente;

Dimensionamento pelos critérios das forças (SHIGLEY, 2005) ✓ Determinar a força de fadiga;

✓ Determinar a força de desgaste superficial; ✓ Força tangencial;

✓ Força dinâmica.

4.2 DIMENSIONAMENTO DOS EIXOS

Dimensionamento dos eixos pelos critérios da Norma ASME (NOTAS DE AULA, 2017).

✓ Estabelecer os coeficientes necessários; ✓ Determinar as tensões admissíveis; ✓ Determinar as distancias dos mancais;

(34)

✓ Determinar as reações de apoio nos mancais (planos XY e XZ); ✓ Determinar os momentos fletores para os planos XY e XZ; ✓ Determinar o momento fletor resultante;

✓ Determinar o diâmetro do eixo.

4.3 SELEÇÃO DO MANCAL

Selecionar o mancal através dos cálculos estabelecidos pelo próprio fabricante (SKF, 2018).

✓ Determinar a carga resultante em cada ponto de poio; ✓ Determinar as cargas máximas atuantes no mancal; ✓ Escolher um mancal apropriado.

4.4 CÁLCULO DA CHAVETAS

Dimensionamento das chavetas pelos critérios estabelecidos por JUVINAL (2008). ✓ Determinar as tensões admissíveis para o material da chaveta;

✓ Determinar o comprimento da chaveta; ✓ Determinar a largura da chaveta; ✓ Determinar a altura da chaveta;

(35)

5. DIMENSIONAMENTO

Com base nas informações de entrada adquiridas de Vesz (2017, p. 61) TCC do aluno Abner Vesz, e com consulta técnica a uma empresa do ramo de turbinas eólicas, foi possível estabelecer os parâmetros de entrada:

• Potência da Turbina = 745,00 W = 1,013 CV; • Rotação das pás = 300 rpm;

Para seleção do motor elétrico, foi necessário consultar engenheiros do ramo de geração de energia, que através da experiencia na área e com vários empreendimentos em funcionamento, os quais foi adotado a mesma concepção para a geração de energia, é possível concluir que um motor standard pode ser utilizado como um gerador de energia. Nesses estabelecimentos, o rendimento do motor na função de gerador é maior que quando utilizado como um motor, segundo ele, isso acontece por não ocorrer o escorregamento, efeito que acontece quando o motor é utilizado em sua função original.

Através de catálogo eletrônico da empresa Weg, fabricante de motores foi possível escolher e determinar um motor que atendesse as necessidades para o projeto, além das características fornecidas pelo catálogo, a disponibilidade para compra no comércio também foi levada em consideração. Maiores informações sobre o motor estão dispostas nos Anexo N e Anexo O.

• Rotação do gerador = 1800 rpm; • Potencia = 1,00 CV

Com base em pesquisa de mercado, e também de disponibilidade e padronização, foi possível estabelecer alguns outros parâmetros para dar início aos cálculos e estudos:

• Ângulo de pressão = 20º; • Perfil evolvental 20º; • Material das engrenagens:

o Aço ABNT 4340 temperado e revenido à 427ºc 𝜎_𝑟 = 15.600 kgf/cm²

Através da Equação 1, é possível determinar a relação de transmissão para todo o conjunto de engrenamento.

(36)

𝑖_𝑔 = 𝑛𝑠

𝑛_𝑒 (1)

𝑖_𝑔 = 1800 𝑟𝑝𝑚 300 𝑟𝑝𝑚 𝑖_𝑔 = 6

Para determinar a relação de transmissão de cada par engrenado, adotou-se o critério de igualdade entre os dois pares engrenados do trem de engrenagens, conforme determinado pela Equação 2. 𝑖₁∗ 𝑖₂= 𝑖_𝑔 ➔ 𝑖₁ = 𝑖₂ (2) 𝑖1 ∗ 𝑖2 = 𝑖𝑔 ➔ 𝑖1 = 𝑖2 𝑖2 _{= 𝑖} 𝑔 ➔ 𝑖2 = 6 ➔ 𝑖 = √6 𝒊 = 𝟐, 𝟒𝟒𝟗 = 𝒊_𝟏 = 𝒊_𝟐

Logo a rotação de saída do primeiro par de engrenagens é determinada através da Equação 1:

𝑖 = 𝑛2

𝑛1 (1)

𝑛₂ = 𝑛₁∗ 𝑖 ➔ 𝑛₂ = 300𝑟𝑝𝑚 ∗ 2,449 𝑛2 = 734,7 𝑟𝑝𝑚

De mesma forma, a rotação de saída do segundo par de engrenagens é determinada através da mesma Equação 1:

𝑖 = 𝑛2

𝑛₁ (1)

𝑛3 = 𝑛2∗ 𝑖 ➔ 𝑛3 = 734,7𝑟𝑝𝑚 ∗ 2,449

𝑛₂ = 1800 𝑟𝑝𝑚

(37)

5.1 DIMENSIONAMENTO DAS ENGRENAGENS DO PRIMEIRO PAR

Conforme Anexo A, para garantir um bom engrenamento entre os pares de engrenagens, para um perfil de 20º recomenda-se utilizar um Zpmín. 15 dentes para uma relação de transmissão de 1:3.

Como forma de construção, adotou-se um Zpmín. 16, afim de se obter uma certa folga do valor mínimo que garante o engrenamento para o devido perfil.

𝑍_𝑝 = 16

Através da Equação 3 define-se o número de dentes para a coroa.

𝑍𝑐 = 𝑍𝑝∗ 𝑖 (3)

𝑍𝑐 = 16 ∗ 2,449

𝑍_𝑐 = 39,184 Adota-se para a coroa um valor de:

𝑍𝑐 = 40 dentes.

Conforme Anexo B, para obter os valores dos fatores de forma normalizados para a equação de Lewis que não são trazidos tabelados, é necessário realizar um simples cálculo de interpolação com os valores referentes ao número de dentes e o perfil evolvental do engrenamento.

𝑦𝑝 = 0,094

38 0,12200

40 yc

43 0,12600

Aplicando o cálculo padrão de interpolação dos valores selecionados no Anexo B e demonstrados no texto antecessor, é possível determinar o fator de forma da coroa (yc).

43 − 38 43 − 40=

0,126 − 0,122 0,126 − 𝑦𝑐

(38)

5.1.1 Dimensionamento pelo critério da resistência

Adotando Aço Sae 4340 tratado termicamente, conforme anexo C, tem-se o seguinte valor para a tensão de ruptura do material:

𝜎_𝑟 = 15.600 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Adotando um CS = 3 para determinar a tensão de fadiga do material através da Equação 21. 𝜎_𝑜= 𝜎𝑟 𝐶𝑆 (21) 𝜎𝑜= 15.600 3 𝜎_𝑜 = 5.200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Determinando o elemento mais fraco através da tensão de fadiga do material multiplicando pelo fator de forma da Equação de Lewis determinado pelo número de dentes da engrenagem, conforme Anexo B:

Para o pinhão tem-se a seguinte situação: 𝜎𝑜𝑝= 𝜎𝑜∗ 𝑦𝑝

𝜎𝑜𝑝= 5.200 ∗ 0,094

𝜎𝑜𝑝 = 488,8 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Para a coroa tem-se a seguinte situação: 𝜎𝑜𝑐 = 𝜎𝑜∗ 𝑦𝑐

𝜎_𝑜𝑐 = 5.200 ∗ 0,1236 𝜎_𝑜𝑐 = 642,72 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Como o elemento mais frágil é o pinhão, demais cálculos são realizados a partir desta condição.

(39)

𝑀𝑡𝑒 = 𝑃_{𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎} 𝑛 ∗ 716,2 (27) Onde: 𝑀𝑡𝑒 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑟ç𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 [𝑘𝑔𝑓. 𝑚] 𝑃_{𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎} = 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 [𝐶𝑉] 𝑛 = 𝑅𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 [𝑟𝑝𝑚] 𝑀_𝑡𝑒 = 1 𝐶𝑉 300 𝑟𝑝𝑚∗ 716,2 𝑀_𝑡𝑒 = 2,387 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 → 𝑀_𝑡𝑒 = 238,7 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚

Determinação da tensão induzida no pé do dente, utilizando os valores já determinados, e considerando dentes gerados, no Anexo D foi possível determinar o fator k’ = 4.

Aplicando a Equação 28, é possível estabelecer uma relação entre a tensão e o módulo do dente.

Para fins de dimensionamento, k’ = 4.

𝜎𝑝 = 2 ∗ 𝑀_𝑡𝑒 𝜋2_{∗ 𝑘′ ∗ 𝑦} 𝑝∗ 𝑚3∗ 𝑍𝑝 (28) 𝜎𝑝 = 2 ∗ 𝑀_𝑡𝑒 𝜋2_{∗ 𝑘′ ∗ 𝑦} 𝑝∗ 𝑚3∗ 𝑍𝑝 𝜎𝑝 = 2 ∗ 238,7 𝜋2_{∗ 4 ∗ 0,094 ∗ 𝑚³ ∗ 16} 𝜎_𝑝 =8,04 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 𝑚3

Utilizando uma planilha eletrônica do Microsoft Excel, foram realizadas inúmeras iterações até que os resultados convergiram par um módulo = 2,5mm → m = 0,25 cm, logo é possível determinar o diâmetro primitivo do pinhão pela Equação 6:

(40)

𝑑𝑝𝑝 = 𝑚 ∗ 𝑧𝑝 (6)

𝑑𝑝_𝑝= 2,5 ∗ 16 𝑑𝑝_𝑝 = 40 𝑚𝑚

Aplicando as equações da lei de engrenamento, pode-se formar a Equação 29, para determinar a velocidade periférica tangencial do primeiro par engrenado:

𝑣𝑝 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 𝑛𝑡∗ 𝑖 ∗ 𝑟 (29)

Onde:

𝑣𝑝 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 [𝑚/𝑚𝑖𝑛]

𝑣𝑝 = 2 ∗ 𝜋 ∗ 300 𝑟𝑝𝑚 ∗ 2,449 ∗ 0,02𝑚

𝑣_𝑝 = 92,33 𝑚/𝑚𝑖𝑛

De acordo com as relações apresentadas no Anexo E, para 𝑣_𝑝<600 m/min, a tensão admissível é dada pela Equação 30.

𝜎_𝑎 = 𝜎₀∗ [ 183

183 + 𝑣_𝑝] (30)

𝜎_𝑎 = 5200 ∗ [ 183 183 + 92,33 ] 𝜎𝑎 = 3456,05 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Aplicando o valor calculado do módulo (m), na equação 28, é possível determinar a tensão de projeto. 𝜎_𝑝 =8,04 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 𝑚3 𝜎_𝑝 =8,04 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² (0,25)3 𝜎_𝑝 = 514,56 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

(41)

COMO:

𝜎𝑎 > 𝜎𝑝

Logo as engrenagens suportam aos esforços pelos critérios de resistência. De acordo com a Equação 31 é possível realizar a verificação do coeficiente k’:

𝑘′ = 4 ∗𝜎𝑝

𝜎𝑎 (31)

𝑘′ = 4 ∗ 514,56 3456,05 𝑘′ = 0,595

Como o valor do k’ recalculado não atende ao critério 2≤ k’≤4, logo o material possui mais resistência que o necessário, porém como forma de trabalho acadêmico serão mantidos os materiais e demais cálculos desenvolvidos até essa etapa.

Como critério para os demais cálculos, será adotado k’ = 2 como forma de dimensionar pelo fator mínimo.

Através da Equação 32 é possível determinar a largura do dente para o novo fator k’:

𝑏 = 𝑘’ ∗ 𝑚 ∗ 𝜋 (32)

𝑏 = 2 ∗ 2,5 ∗ 𝜋 𝑏 = 15,70 𝑚𝑚

Para fins de obter uma maior rigidez no dente, e também para facilitar a fabricação, arredonda-se a largura da engrenagem para 16 mm.

5.1.2 Dimensionamento pelos critérios das forças

Para calcular a força de resistência à fadiga foi utilizada a equação 33.

𝐹₀ = 𝜎₀∗ 𝑏 ∗ 𝑚 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦_𝑝 (33)

(42)

𝐹𝑜 = 614,24 𝑘𝑔𝑓

A força de desgaste superficial dos dentes é determinada a partir da equação 34.

𝑄′ = 2 ∗ 𝑍𝑐

𝑍𝑐+ 𝑍𝑝 (34)

𝑄′ = 2 ∗ 40 40 + 16 𝑄′ = 1,43

Conforme valores dispostos no Anexo C, o Aço ABNT 4340 tratado termicamente nas características específicas da tabela, o mesmo possui uma dureza Brinnel de 422 HB.

Utilizando os valores dispostos no Anexo F, pode-se determinar o valor de k’’, para em função da dureza, interpolando os valores dispostos nesta tabela.

400 366 422 k’’ 450 470 450 − 400 450 − 422= 470 − 366 470 − 𝑘′′ 𝑘′′ = 411,76 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Aplicando a Equação 35, é possível determinar a força de desgaste (Fw).

𝐹_𝑤 = 0,07 ∗ 𝑑_𝑝𝑝∗ 𝑏 ∗ 𝑘′′ ∗ 𝑄′ (35)

𝐹𝑤 = 0,07 ∗ 4,0 𝑐𝑚 ∗ 1,6 𝑐𝑚 ∗ 411,76 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² ∗ 1,43

𝐹𝑤 = 263,79 𝑘𝑔𝑓

Analisando as forças dinâmicas envolvidas no par engrenado, e aplicando a equação 20, determinou-se a força tangencial que ocorre para o par 01.

𝐹𝑇 = 2 ∗ 𝑀𝑡𝑒 𝑑𝑝 (20) 𝐹𝑇 = 2 ∗ 238,7 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚 10 𝑐𝑚 𝐹_𝑇 = 47,74 𝑘𝑔𝑓

(43)

Através dos gráficos de erros permissíveis nos dentes, conforme o Anexo G, para modulo m = 2,5 mm e engrenagens acabadas com precisão, determinou-se o erro esperado de 0,0013 cm. Para facilitar a visualização dos dados, a Figura 20 é um detalhe do Anexo G.

Figura 20 - Detalhe do erro esperado

Fonte: Autor (2018)

Utilizando os dados dispostos no Anexo H, foi interpolado o valor da constante C, dada conforme o tipo de material das engrenagens do par engrenado em questão, e o valor do erro esperado determinado anteriormente, esse dado foi calculado conforme cálculo padrão de interpolação. 0,0010 653 0,0013 C 0,0020 1306 0,0020 − 0,0010 0,0020 − 0,0013 = 1306 − 653 1306 − 𝐶 𝐶 = 848,9

A força dinâmica do par engrenado foi calculada pela equação 36.

𝐹𝑑 = 𝑣𝑝∗ (_5,61𝑏∗𝑐 + 𝐹𝑇) 𝑣_𝑝+ 9,04 ∗ √_5,16𝑏∗𝑐 + 𝐹_𝑇 (36) 𝐹𝑑 = 92,33 ∗ (1,60∗848,9_5,61 + 47,74 ) 92,33 + 9,04 ∗ √1,60∗848,9_5,61 + 47,74 𝐹_𝑑 = 108,70 𝑘𝑔𝑓

(44)

COMO:

𝐹0 > 𝐹𝑑 → 614,24 > 108,7

𝐹_𝑤 > 𝐹_𝑑 → 263,79 > 108,7

As engrenagens do primeiro par atendem os critérios de cargas dinâmicas.

5.2 DIMENSIONAMENTO DAS ENGRENAGENS DO SEGUNDO PAR

Para o segundo par de engrenagens utiliza-se das condições determinadas através dos cálculos do primeiro par, e também como forma de padronização de fabricação.

• Mesmo módulo do trem 01 (2,5 mm – 0,25 cm);

• Mesmo material das engrenagens (Aço ABNT 4340 – Temperado e Revenido); • Mesma relação de transmissão (i = 2,449);

• Mesmo dimensional do pinhão do trem 01, de modo a padronizar uma das engrenagens.

Verificando com antecedência possíveis problemas com os arredondamentos nos números de dentes para a coroa do trem 02, foi realizado uma análise contrária considerando o número de dentes e a rotação de saída conforme Equação 37:

𝑧_𝑐 𝑧𝑝 = 𝑛₃ 𝑛2 (37) 𝑧𝑐 = 𝑛₃ 𝑛2∗ 𝑧𝑝 → 𝑛3 = 1800 734,7∗ 16 𝑧_𝑐 = 39,20

Adota-se para a coroa um valor de: 𝑍𝑐 = 39 dentes.

5.2.1 Dimensionamento pelo critério da resistência

Determinação do fator k’’’, recalculando para segundo par, em função da largura adotada ao par 01, e por se tratar da mesma engrenagem no pinhão, e devido aos maiores esforços estarem no par 01, mantêm-se a largura das engrenagens.

(45)

𝑘′′′ = 𝑏

𝜋 ∗ 𝑚→ 𝑘′′′ = 16 𝜋 ∗ 2,5 𝑘′′′ = 2,04

Adota-se o valor de 𝑘′′′ = 2,04 para os demais cálculos.

Determinação do momento torçor do eixo de acionamento através da Equação 27:

𝑀𝑡𝑒2= 𝑃_{𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎} 𝑛2 ∗ 716,2 (27) 𝑀𝑡𝑒2 = 1 𝐶𝑉 734,7 𝑟𝑝𝑚∗ 716,2 𝑀_𝑡𝑒2 = 0,975 𝑘𝑔𝑓. 𝑚 → 𝑀_𝑡𝑒2 = 97,5 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚

Determinação da tensão induzida no pé do dente, utilizando os valores já calculados, e considerando dentes gerados, no Anexo D, foi possível estabelecer o fator k’’’ = 2,04.

Aplicando a Equação 28, é possível estabelecer uma relação entre a tensão e o módulo do dente. 𝜎_𝑝 = 2 ∗ 𝑀𝑡𝑒2 𝜋2 _{∗ 𝑘 ∗ 𝑦} 𝑝∗ 𝑚3∗ 𝑍𝑝 (28) 𝜎_𝑝 = 2 ∗ 97,50 𝜋2_{∗ 2,04 ∗ 0,094 ∗ 0,25}3_{∗ 16} 𝜎_𝑝 = 412,50 𝑘𝑔/𝑐𝑚²

Aplicando as equações da lei de engrenamento, pode-se formar a Equação 38, para determinar a velocidade periférica tangencial do segundo par engrenado em uma outra forma mais simples:

𝑣𝑡_𝑝 = 𝜋 ∗ 𝑑_𝑝𝑝∗ 𝑛₃ (38)

𝑣𝑡𝑝 = 𝜋 ∗ 0,04 𝑚 ∗ 1800𝑟𝑝𝑚

(46)

De acordo com as relações apresentadas no Anexo E, para 𝑣𝑡𝑝<600 m/min, a tensão

admissível é dada pela Equação 30.

𝜎𝑎 = 𝜎0∗ [ 183 183 + 𝑣𝑡𝑝] (30) 𝜎𝑎 = 5200 ∗ [ 183 183 + 226,2 ] 𝜎_𝑎 = 2325,5 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² COMO: 𝜎𝑎 > 𝜎𝑝

Logo as engrenagens resistem aos esforços pelos critérios de resistência. 5.2.2 Dimensionamento pelos critérios das forças.

Para calcular a força de resistência à fadiga foi utilizada a equação 33.

𝐹0 = 𝜎0∗ 𝑏 ∗ 𝑚 ∗ 𝜋 ∗ 𝑦𝑝 (33)

𝐹𝑜 = 5.200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² ∗ 1,6 𝑐𝑚 ∗ 0,25 𝑐𝑚 ∗ 𝜋 ∗ 0,094

𝐹𝑜 = 614,24 𝑘𝑔𝑓

A força de desgaste superficial dos dentes é determinada a partir da equação 34. Como mudou o número de dentes da coroa, é necessário calcular novamente o Fator Q para o segundo par, conforme Equação 34.

𝑄′′ = 2 ∗ 𝑍𝑐

𝑍𝑐+ 𝑍𝑝 (34)

𝑄′′ = 2 ∗ 39 39 + 16 𝑄′′ = 1,418

(47)

Utilizando dos valores já calculados para k’’ e Q’’:

𝐹𝑤′ = 0,07 ∗ 𝑑𝑝𝑝∗ 𝑏 ∗ 𝑘 ∗ 𝑄

𝐹_𝑤′ = 0,07 ∗ 4,0 𝑐𝑚 ∗ 1,6𝑐𝑚 ∗ 411,76 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² ∗ 1,418 𝐹𝑤′ = 261,61 𝑘𝑔𝑓

Analisando as forças dinâmicas envolvidas no par engrenado, e aplicando a equação 20, determinou-se a força tangencial para o par 02.

𝐹_𝑇 = 2 ∗ 𝑀𝑡𝑒2 𝑑_𝑝𝑐 (20) 𝐹𝑇 = 2 ∗ 97,5 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚 9,75 𝑐𝑚 𝐹𝑇 = 20 𝑘𝑔𝑓

Considerando o mesmo valor do erro calculado para o par 01, determina-se a força dinâmica do par 02equação 36.

𝐹𝑑 = 𝑣_𝑝∗ (_5,61𝑏∗𝑐 + 𝐹_𝑇) 𝑣_𝑝+ 9,04 ∗ √_5,16𝑏∗𝑐 + 𝐹_𝑇 (36) 𝐹𝑑 = 226,2 ∗ (1,60∗848,9_5,61 + 20 ) 226,2 + 9,04 ∗ √1,60∗848,9_5,61 + 20 𝐹_𝑑 = 159,137 𝑘𝑔𝑓 COMO: 𝐹0 > 𝐹𝑑 → 614,24 > 159,137 𝐹𝑤 > 𝐹𝑑 → 261,61 > 159,137

(48)

Resumo das dimensões básicas das engrenagens (dimensões em mm) conforme apresentado na Tabela 1.

Tabela 1 – Resumo das dimensões dos pares de engrenagens

ENG Zp Dpp Dep Dip b m a

P-01 16 40 45 34,17 16 2,5 70 P-02 16 40 45 34,17 16 2,5 68,75 Zc Dpc Dec Dic b m a C-01 40 100 105 94,17 16 2,5 70 C-02 39 97,5 102,5 91,67 16 2,5 68,75 Fonte: Autor (2018)

5.3 DIMENSIONAMENTO DOS EIXOS

Com base nas características de projeto, e nos valores já determinados para as engrenagens, seguem os cálculos para dimensionamento dos eixos do multiplicador de velocidade.

Foram utilizadas as condições abaixo listadas para a realização dos cálculos de dimensionamento dos eixos.

• Os três eixos serão maciços ao longo do seu comprimento;

• Kf = 1,5 (carga subitamente aplicada {pequenos choques}), adotou-se esse valor devido à possíveis paradas bruscas por força externa, ou até mesmo por possíveis aves baterem nas pás (anexo I);

• Kt = 1,5 (carga subitamente aplicada {pequenos choques}), adotou-se esse valor devido à possíveis paradas bruscas por força externa, ou até mesmo por possíveis aves baterem nas pás (anexo I);

• Como forma de padronização adotou-se o mesmo material para os eixos (SAE 1045).

Determinação dos valores das tensões admissíveis para os eixos, valores conforme anexo J;

(49)

• Tensão de escoamento (σe) = 4100 kgf/cm²;

Determinação da tensão admissível para o material SAE 1045 através das Equações 39 e 40: 𝜏_𝐴𝑑𝑚′ = 0,3 ∗ 𝜎𝑒 (39) 𝜏_𝐴𝑑𝑚′ = 0,3 ∗ 4.100 𝜏_𝐴𝑑𝑚′ = 1.230 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² 𝜏_𝐴𝑑𝑚′′ = 0,18 ∗ 𝜎𝑟 (40) 𝜏_𝐴𝑑𝑚′′ = 0,18 ∗ 6.700 𝜏_𝐴𝑑𝑚′′ = 1.206 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Logo escolhe-se a menor tensão, e aplica-se o fator de correção relativo a execução do rasgo para a chaveta ao longo do eixo conforme Equação 41;

𝜏_𝐴𝑑𝑚 = 0,75 ∗ 𝜏_𝐴𝑑𝑚′′ (41)

𝜏_𝐴𝑑𝑚 = 0,75 ∗ 1.206 𝜏_𝐴𝑑𝑚= 904,5 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚²

Para dimensionar os eixos, parte-se da Equação 42 para dimensionamento de eixos.

𝑑3₌ 16 𝜋 ∗ 𝜎𝑎𝑑𝑚∗ (1 − 𝑘4)∗ √[𝐾𝑓 ∗ 𝑀𝑓 + 𝛼 ∗ 𝐹𝑎 ∗ 𝑑 ∗ (1 + 𝐾2₎ 8 ] 2 + (𝐾𝑡 ∗ 𝑀𝑡)2 (43)

Devido algumas características para esse dimensionamento é possível executar algumas simplificações na Equação.

• Como tem-se:

o Eixo maciço ➔ K = 0

o Não existe força axial ➔ Fa = 0 Simplificando a Equação 43, tem-se a equação 44:

(50)

𝑑3 ₌ 16

𝜋 ∗ 𝜎_𝑎𝑑𝑚∗ √(𝐾𝑓 ∗ 𝑀𝑓 )2+ (𝐾𝑡 ∗ 𝑀𝑡)2 (44) Para determinar as distâncias dos mancais de apoio, estimou-se algumas dimensões teóricas para a carcaça, que dará sustentação aos mesmos conforme ilustrado na Figura 21:

Figura 21 - Disposição ilustrativa da carcaça

Fonte: Autor (2018)

5.3.1 Dimensionamento do eixo 01 (entrada):

Através da Figura 22 é demonstrado o diagrama de distribuição dos esforços sobre o eixo 01.

Figura 22 – Representação do eixo 01 em perspectiva

Fonte: Autor (2018)

A Ft é a própria força tangencial do primeiro eixo que foi determinada no cálculo do primeiro par engrenado deste mesmo trabalho.

𝐹𝑡₁ = 47,747 𝑘𝑔𝑓

(51)

𝐹𝑟 = 𝐹𝑡 ∗ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 (18) 𝐹𝑟 = 47,747 ∗ 𝑡𝑎𝑛( 20º)

𝐹𝑟 = 17,37 𝑘𝑔𝑓

Para melhor entendimento das cargas aplicadas sobre o eixo, foi realizado um diagrama de corpo livre para as cargas que atuam no plano YZ, Figura 23.

Figura 23 – Diagrama de corpo livre para o plano YZ do eixo 01

Fonte: Autor (2018)

Como está montado sobre o eixo a engrenagem, e está sendo feita uma análise de resistência para o mesmo. Deve-se considerar a massa da engrenagem, que é determinada pela Equação 45. 𝑚′ = 𝑣′ ∗ 𝜌 (45) Onde: 𝑚′ _{= 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜} 𝑣′ _{= 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜} 𝜌 = 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙

Modificando as variáveis e utilizando as já encontradas, estima-se que a massa da engrenagem pode ser definida reescrevendo a Equação 45 e criando a Equação 46

𝑚𝑐1′= 𝐷𝑝𝑐2∗ 𝜋 4∗ 𝑏 ∗ 𝜌 (46) 𝑚𝑐₁′_{= 100² ∗}𝜋 4∗ 16 ∗ 7,85𝑥10−6 𝑚𝑐1′= 0,987 𝑘𝑔𝑓

(52)

Realizando o somatório de momentos no ponto A, de modo a obter a reação no ponto B, através da Equação 47. ∑ 𝑀𝐴 = 0 (47) −(𝐹𝑡 + 𝑚𝑐₁′_{) ∗ 𝑑} 1+ 𝑅𝐵𝑦 ∗ 𝑑2 = 0 𝑅𝐵𝑦 =48,73 ∗ 4 10,5 𝑅𝐵_𝑦 = 18,56 𝑘𝑔𝑓

Realizando o somatório de forças no plano Y, de modo a obter a reação no ponto A, através da Equação 48.

∑ 𝐹_𝑦 = 0 (48)

𝑅𝐴𝑦+ 𝑅𝐵𝑦− 𝐹𝑡 = 0

𝑅𝐴𝑦 = 48,73 − 18,56

𝑅𝐴_𝑦 = 30,17 𝑘𝑔𝑓

Com a determinação das cargas do plano YZ sobre o eixo, é possível representar o diagrama de esforço cortante sobre o eixo, conforme apresentado na Figura 24.

Figura 24 - Diagrama de esforço cortante para o plano YZ do eixo 01

Fonte: Autor (2018)

A partir dos esforços cortantes definidos, é possível determinar o momento fletor em cada região do eixo.

(53)

𝑀𝐻 = 𝑀𝐴+ 𝐴𝐴−𝐻 𝑀_𝐻 = 0 + 30,17 ∗ 4 𝑀𝐻 = 120,68 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚 𝑀𝐵 = 𝑀𝐻− 𝐴𝐻−𝐵 𝑀_𝐵 = 120,68 − 18,56 ∗ 6,5 𝑀𝐵= 0 𝑘𝑔𝑓. 𝑐𝑚

Com os momentos fletores do eixo calculados é possível gerar o diagrama de momento fletor para ilustrar melhor os resultados, conforme Figura 25.

Figura 25 - Diagrama de momento fletor para o plano YZ do eixo 01

Fonte: Autor (2018)

Seguindo a mesma metodologia, foi realizado um diagrama de corpo livre para as cargas que atuam no plano XZ conforme Figura 26.

Figura 26 - Diagrama de corpo livre para o plano XZ do eixo 01

Fonte: Autor (2018)

Realizando o somatório de momentos no ponto A, de modo a obter a reação no ponto B, através da Equação 47:

∑ 𝑀𝐴 = 0 (47)