Aula11

(1)

Aula 11 – Critério de Estabilidade de Nyquist

Introdução

Princípio do Argumento

Contorno de Nyquist

Exemplos

Problemas Propostos

Introdução

Ao projetar um controlador a principal preocupação do engenheiro ou projetista são as características de estabilidade apresentadas pelo sistema como um todo, isto é, processo e controlador operando de forma conjunta. Desta maneira faz-se necessário um estudo prévio sobre a estabilidade do sistema de controle, que pode ser realizado sob o ponto de vista de estabilidade absoluta ou sob o ponto de vista de estabilidade relativa.

Em sistemas lineares, admitindo o conhecimento completo da função de transferência que relaciona o sinal de saída com o sinal de entrada do sistema, o estudo da estabilidade pode ser realizado em termos absolutos empregando o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Admitindo ainda o conhecimento completo da função de transferência do sistema, informações sobre estabilidade absoluta também podem ser obtidas utilizando-se o método do Lugar Geométrico das Raízes – LGR, proposto por Evans [1] em 1948.

Contudo, em 1932, o problema de estabilidade em amplificadores realimentados já era objetos de intensos estudos nos laboratórios da Companhia Bell. Observava-se que, geralmente, o aumento de ganho implicava instabilidade de amplificadores realimentados. Em algumas situações, entretanto, se o ganho fosse suficientemente reduzido também se observava características de instabilidade. O conflito causado pelas observações, aparentemente contrastante, motivou Harry Nyquist a estudar cuidadosamente este fenômeno, desenvolvendo com base na teoria de varáveis complexas, o critério de estabilidade de Nyquist [2].

Os resultados obtidos por Nyquist originam-se do princípio do argumento, utilizado para estabelecer relações fundamentais entre a resposta em freqüência do sistema em malha-aberta com a estabilidade do sistema em malha-fechada. O critério estabelecido por Nyquist não necessita do conhecimento explicito da função de transferência do sistema em malha-aberta sendo adicionalmente empregado para obtenção de informações de estabilidade absoluta e relativa do sistema operando em malha-fechada.

Princípio do Argumento

Para estabelecer a idéia de como é empregado o princípio do argumento na obtenção de informações sobre a estabilidade do sistema em malha-fechada, consideremos um sistema descrito pela seguinte função de transferência de primeira ordem:

1) (s ) 2 (s G(s) + + = (11.1) que apresenta um zero z1=-2 e um pólo p1=-1. O estudo de estabilidade utilizando o princípio do argumento

(2)

avaliar o mapeamento resultante deste caminho no plano G(s). A Figura 11.1 mostra o diagrama de pólos e zeros de (11.1) e estabelece um caminho a ser percorrido no plano s.

Fig. 11.1: Diagrama de pólos e zeros de (11.1) e o caminho a ser mapeado no plano G(s).

Considerado um ponto inicial sobre o caminho fechado a ser percorrido no plano s, so, verifica-se

o mapeamento no plano G(s) dado por jso

o)e

s (

G θ , sendo para o exemplo do sistema (11.1)

(

) (

)

(

) (

)

2 o 2 o 2 o 2 o o ) s Im( ) s Re( 1 ) s Im( ) s Re( 2 ) s ( G + + + + = (11.2) e

(

)

_− _

(

₊

)

_    + = θ − θ = θ ) s Re( 1 ) Im(s tan arc ) s Re( 2 ) Im(s tan arc o o o o p z s_o (11.3)

Obtenha o mapeamento do caminho fechado apresentado no plano s, Figura 11.1, no plano G(s). Considere o caminho fechado no plano s, a ser percorrido no sentido horário, como sendo uma circunferência de raio 1.0 e com o centro em 2.0+j0.0.

Alguns dos valores no plano G(s) podem ser obtidos substituindo em (11.2) e (11.3) valores de s relativos ao caminho fechado ilustrado na Figura 11.1. Tais valores são apresentados na Tabela 11.1.

Valores de s Valores de G(s) 1.0+j0.0 1.5+j0.0 1.2+j0.6 1.423-j0.115 1.4+j0.8 1.375-j0.125 1.6+j0.916 1.342-j0.120 1.8+j0.979 1.318-j0.111 2.0+j1.0 1.3-j0.1 2.2+j0.979 1.285-j0.087 2.4+j0.916 1.274-j0.074 2.6+j0.8 1.264-j0.058 2.8+j0.6 1.256-j0.040 3.0+j0.0 1.25+j0.0

Tabela 11.1: Valores do caminho a serem percorridos no plano s, Figura (11.1), e do mapeamento no plano G(s). σ jω -2 -1 Plano s 2 so

(3)

Observe que o caminho apresentado na Figura 11.1 não envolve nenhum dos pólos ou zeros da função de transferência (11.1) e neste caso, ao ser realizada uma volta completa partindo do ponto so, a

contribuição angular total (11.3) é nula.

Considera-se agora o caminho fechado no plano s, apresentado na Figura 11.2, onde o pólo de (11.1) é envolvido por este caminho. Da mesma forma que no caso anterior, escolhe-se um ponto so

arbitrário sobre o caminho estabelecido, realizando-se uma volta completa no sentido horário.

Fig. 11.2: Caminho fechado no plano s envolvendo o pólo de (11.1).

Obtenha o mapeamento do caminho fechado apresentado no plano s, Figura 11.2, no plano G(s). Considere o caminho fechado no plano s, a ser percorrido no sentido horário, como sendo uma circunferência de raio 1.5 e com o centro 0.0+j0.0.

De forma similar ao caso anterior, a Tabela 11.2 apresenta um conjunto de valores referentes ao caminho fechado estabelecido no plano s e seu respectivo mapeamento no plano G(s).

Valores de s Valores de G(s) -1.5+j0.0 -1.0+j0.0 -1.2+j0.9 0.77-j1.06 -0.9+j1.2 1.07-j0.83 -0.6+j1.37 1.19-j0.67 -0.3+j1.47 1.26-j0.55 0.0+j1.5 1.30-j0.46 0.3+j1.47 1.33-j0.38 0.6+j1.37 1.36-j0.31 0.9+j1.2 1.38-j0.24 1.2+j0.9 1.39-j0.16 1.5+j0.0 1.4+j0.0

Tabela 11.2: Valores do caminho a serem percorridos no plano s, Figura (11.2), e do mapeamento no plano G(s).

De forma semelhante ao realizado no primeiro caso, a Tabela 11.2 mostra o conjunto inicial de pontos relativos ao segundo e primeiro quadrante do plano s, localizados sobre o caminho fechado especificado na Figura 11.2. A Tabela 11.2 mostra que estes pontos são mapeados no terceiro e quarto quadrante do plano G(s). Observa-se, diferentemente do caso apresentado na Figura 11.1, que ao ser

σ jω

-2 -1

Plano s so

(4)

realizada uma volta completa sobre o caminho fechado estabelecido no plano s, partindo de um ponto arbitrário so, a contribuição angular total no plano G(s), de acordo com a equação (11.3), será de –360º.

O último caso, ainda com base na função de transferência (11.1), diz respeito ao caminho fechado do plano s que envolve apenas o zero de (11.1), conforme apresentado na Figura 11.3. Neste caso o caminho fechado a ser percorrido no plano s é uma circunferência cujo centro esta no ponto –3.0+j0.0 de raio 1.5.

Fig. 11.3: Caminho fechado no plano s envolvendo o zero da função de transferência (11.1). Obtenha o mapeamento do caminho fechado apresentado no plano s, Figura 11.3, no plano G(s). Considere o caminho fechado no plano s, a ser percorrido no sentido horário, como sendo uma circunferência de raio 1.5 e com o centro 3.0+j0.0.

Os conjunto de pontos pertencentes ao caminho fechado do plano s apresentado na Figura 11.3 são mapeados no plano G(s), conforme especificado na Tabela 11.3.

Valores de s Valores de G(s) -11.5+j0.0 0.714+j0.0 -11.2+j0.9 0.710-j0.081 -3.9+j1.2 0.705-j0.122 -3.6+j1.37 0.699-j0.156 -3.3+j1.47 0.691-j0.197 -3.0+j1.5 0.680-j0.240 -2.7+j1.47 0.663-j0.291 -2.4+j1.37 0.636-j0.357 -2.1+j1.2 0.584-j0.453 -1.8+j0.9 0.448-j0.620 -1.5+j0.0 -1.0+j0.0

Tabela 11.3: Valores do caminho a ser percorrido no plano s, Figura (11.3), e do mapeamento no plano G(s).

Pelos valores apresentados na Tabela 11.3, observa-se que os pontos do plano s sobre o caminho fechado da Figura 11.3, referem-se ao segundo e primeiro quadrantes do plano s (configurando a varredura dos pontos no sentido horário) e resultam em pontos do quarto e terceiro quadrantes do plano G(s), mantendo portanto o sentido da varredura do plano s. Ao finalizar a varredura do caminho fechado

σ jω

-2 -1 Plano s so

(5)

apresentado na Figura 11.3, conclui-se pela equação (11.3) que a variação angular resultante será de 360º, devido a existência de um zero de (11.1) interno ao caminho fechado estabelecido no plano s. Neste ponto, já se estabelecer o princípio do argumento [3], i.e:

Se P representa o número de pólos e Z o número de zeros de uma função G(s) envolvidos por um caminho fechado, percorrido a partir de um ponto arbitrário so, localizado sobre o

caminho fechado do plano s, no sentido horário, então o número líquido de vezes que o caminho fechado mapeado no plano G(s) envolverá a origem do plano G(s) será

P Z

N= − (11.4)

Contorno de Nyquist

A idéia de estabilidade em sistemas lineares operando em malha-fechada será estabelecida com base no diagrama de blocos apresentado na Figura 11.4, i.e.

Fig. 11.5: Sistema de controle operando em malha-fechada.

sendo G(s) é a função de transferência no ramo direto, H(s) a função de transferência de realimentação, G(s)H(s) a função de transferência de malha-aberta do sistema. Neste caso, a função de transferência de malha-fechada deste sistema, T(s)=Y(s)/R(s), é dada por

) s ( H ) s ( G 1 ) s ( G ) s ( R ) s ( Y ) s ( T + = = (11.5) A estabilidade do sistema de controle apresentado na Figura 11.4 dependerá da localização das raízes do denominador da equação (11.5) no plano s, ou seja da localização dos pólos de (11.5). Se todos os pólos de (11.5) estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano s, o sistema será absolutamente estável. O critério de estabilidade originalmente proposto por Nyquist utiliza o princípio do argumento considerando como caminho fechado a ser percorrido, conforme a Figura 11.5, todo o semiplano direito do plano s. Y(s) G(s) H(s) R(s) + _ R→∞ Plano σ jω

(6)

Fig. 11.5: Contorno de Nyquist envolvendo todo o semiplano direito do plano s.

Desta forma, se o caminho fechado no plano s, estabelecido na Figura 11.5, for percorrido no sentido horário e mapeado no plano 1+G(s)H(s), o princípio do argumento poderá ser plenamente empregado para determinação da diferença líquida entre o número de zeros e pólos de 1+G(s)H(s) localizados no semiplano direito do plano s. Observa-se no entanto que a origem do plano 1+G(s)H(s) coincide com o ponto –1.0 no eixo real do plano G(s)H(s), podendo-se realizar a análise de estabilidade empregando o princípio do argumento, avaliando-se o número líquido e o sentido dos envolvimentos do ponto –1.0+j0.0 no plano G(s)H(s).

Admitindo como exemplo um sistema em malha-aberta absolutamente estável, os pólos de G(s)H(s) estarão todos localizados no semiplano esquerdo do plano s e o caminho fechado apresentado na Figura 11.5, quando mapeado no plano G(s)H(s), não apresentará nenhum envolvimento do ponto –1 no sentido anti-horário, resultando em P=0. Adicionalmente, se o referido mapeamento envolver o ponto –1 do plano G(s)H(s) no sentido horário uma vez, o sistema em malha-fechada será instável possuindo um pólo do semiplano direito do plano s, isto é, Z=1. Portanto, empregando o critério de estabilidade proposto por Nyquist, pode-se avaliar a estabilidade do sistema em malha-fechada através da resposta em freqüência do sistema operando em malha-aberta.

Exemplos

1. O primeiro exemplo apresentado é o de um sistema de primeira ordem, apresentado na Figura 11.6.

Fig. 11.6: Diagrama de blocos do exemplo 1.

Como pode-se observar pela equação característica de (11.6), este sistema independente do valor do ganho K>0, jamais apresentará pólos em malha-fechada no semiplano direito do plano s.

K 10 s K ) s ( T + + = (11.6) Pode-se chegar a esta mesma conclusão, pela simples observação do diagrama de Nyquist apresentado na Figura (11.7). Nesta figura são apresentadas três curvas diferentes, para três diferentes valores de K, K=1, K=5 e K=10. Observa-se que o aumento do ganho K faz com que a curva aumente proporcionalmente em todas as direções no plano G(s)H(s).

Independente do valor de K>0 para o sistema da Figura 11.6, não há nenhum envolvimento do ponto –1.0+j0.0 do plano G(s)H(s), resultado em N=0. Uma vez que não existem pólos de G(s)H(s) localizados no semiplano direito do plano s, implica P=0 e portanto, de acordo com a equação (11.4) Z=0. Neste caso não existem zeros da função 1+G(s)H(s), que coincidem com os pólos de malha-fechada de (11.6), localizados no semiplano direito do plano s e o sistema permanecerá estável para qualquer K>0.

Utilizando o método do LGR e o critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, refazer a análise de estabilidade apresentada no exemplo anterior.

Y(s) 10 s K + R(s) + _

(7)

Para o sistema apresentado na Figura 11.6, faça os diagramas de Bode de módulo e fase de G(s)H(s), observando a relação existente entre estes diagramas e o diagrama polar da Figura 11.7.

Fig. 11.7: Diagramas de Nyquist para três valores distintos de K do sistema ilustrado na Figura 11.6. 2. O segundo exemplo trata-se de um sistema de segunda ordem, Figura 11.8, com freqüência natural ωn

e coeficiente de amortecimento ξ.

Fig. 11.8: Diagrama de blocos do exemplo 2.

Este sistema apresenta a seguinte função de transferência em malha-fechada:

2 n n 2 2 n s 2 s ) s ( R ) s ( Y ) s ( T ω + ξω + ω = = (11.7) cujos pólos são

2 n 2 n 2 n 2 2 n 2 n 2 n 1 4 4 p 4 4 p ω − ω ξ − ξω − = ω − ω ξ + ξω − = (11.8)

que, admitindo ξ >0 e ωn>0, implicam pólos do sistema em malha-fechada localizados no semiplano

esquerdo do plano s, caracterizando-o como um sistema estável em malha-fechada.

Na análise de estabilidade deste sistema empregando o critério de Nyquist, deve-se observar portanto que o caminho fechado estabelecido na Figura 11.5, envolvendo todo o semiplano direito do plano s deverá ser ligeiramente alterado, de forma a não incluir neste caminho o pólo de malha-aberta localizado

+ _

(

n

)

Y(s) 2 n 2 s s + ξω ω R(s)

(8)

na origem do plano s. Isto é realizado, contornando-se a origem do plano s por um semicírculo de raio infinitesimal, caracterizado na Figura 11.8 pelos pontos ABC, que deverá ser adequadamente mapeado no plano G(s)H(s).

Fig. 11.9: Contorno de Nyquist para sistemas que possuem pólos na origem em malha-aberta. Considerando o contorno de Nyquist apresentado na Figura 11.9, o mapeamento no plano G(s)H(s) pode ser feito com base na Tabela 11.4, i.e.

Ponto no Plano s Valor de s Ponto no Plano G(s)H(s) Valor de G(s)H(s)

A -jε A* 1/4ξ2_+j∞ B ε B* +∞ C jε C* 1/4ξ2_-j∞ D j∞ D* 0 E ∞ E* 0 F -j∞ F* 0

Tabela 11.4: Valores e pontos do plano s com seus respectivos pontos mapeados no plano G(s)H(s) Todos os valores do plano s obtidos para o mapeamento no plano G(s)H(s) são obtidos substituindo os valores de s na função de transferência em malha-aberta do sistema apresentado na Figura 11.9. Como exemplo considera-se o mapeamento do ponto A no plano s mapeado no plano G(s)H(s), isto é

(

)

(

2 2

)

n 2 4 n 2 2 n n 2 n 4 2 j 2 j j ) j ( H ) j ( G ε ω ξ + ε ε ξω + ε − ω = ξω + ε − ε − ω = ε − ε − (11.9) O valor no eixo real da função (11.9) é facilmente obtido admitindo-se que o semicírculo ABC possui raio infinitesimal, portanto R→∞ Plano s σω jω ε→0 C A D E E B

(9)

[

]

₂ ₂ ₂ n 2 4 2 2 n 0 j s 4 1 4 lim ) s ( H ) s ( G Re ξ − =         ε ω ξ + ε ε ω − = → ε ε − = (11.10)

O mesmo procedimento é realizado na determinação do valor no eixo imaginário da função (11.9), avaliado em s=-jε, portanto

[

]

_= ∞       ε ω ξ + ε ε ξω = → ε ε − = j 4 2 j lim ) s ( H ) s ( G Im ₂ ₂ n 2 4 3 n 0 j s (11.11)

A Figura 11.10 representa o mapeamento dos pontos ABCDEF do plano s e destacados na Figura 11.9, considerando a função de malha-aberta do sistema apresentado na Figura 11.8.

Fig. 11.10: Mapeamento do contorno de Nyquist apresentado na Figura 11.9 no plano G(s)H(s). Sob o ponto de vista de análise de estabilidade do sistema de controle em malha-fechada deste exemplo, conclui-se que para todo valor de ξ>0, jamais o ponto –1.0+j0.0 será envolvido pelo mapeamento dos pontos do plano s, especificados no contorno da Figura 11.9, no plano G(s)H(s). Desta forma, uma vez que P=0 e N=0 implica, conforme a equação (11.4), em Z=0. Conclui-se portanto, que para qualquer valor de ξ>0 o sistema em malha-fechada não apresentará pólos no semiplano direito do plano s, caracterizando-o ccaracterizando-omcaracterizando-o um sistema abscaracterizando-olutamente estável.

Para o sistema apresentado na Figura 11.8, faça os diagramas de Bode de módulo e fase de G(s)H(s), observando a relação existente entre estes diagramas e o diagrama polar da Figura 11.10.

3. Neste exemplo será apresentado um sistema de terceira ordem, com pólos em malha-aberta localizados em s=-1, -2 e –10. Como pode-se observar, todos os pólos de malha-aberta possuem parte real

Im R→∞ Plano G(s)H(s) Re C* A* B* D* E* F* -1/4ξ2

(10)

negativa, caracterizando como um sistema estável em malha-aberta e, portanto, P=0. Adicionalmente, como pode-se observar pela equação (11.11), o ganho K representa um parâmetro ajustável do sistema.

) 10 s )( 2 s )( 1 s ( K 20 20 s 32 s 13 s K 20 ) s ( H ) s ( G ₃ ₂ + + + = + + + = (11.11) Este sistema operando em malha-fechada, Figura 11.11, apresenta pólos cuja localização no plano s dependerá do valor de K estabelecido, como se pode concluir através da análise da equação característica da função de transferência do sistema em malha-fechada (11.12).

Fig. 11.11: Diagrama de bloco do sistema (11.11) operando em malha-fechada.

K 20 20 s 32 s 13 s K 20 ) s ( R ) s ( Y ) s ( T ₃ ₂ + + + + = = (11.12) A análise de estabilidade do sistema representado pela Figura 11.11 pode ser realizada empregando-se o método proposto por Nyquist, utilizando-se o contorno apresentado na Figura 11.5. Contudo, pode-se empregar o diagrama de Bode da G(s)H(s), Figura 11.12, para auxiliar no traçado do mapeamento do caminho fechado estabelecido no plano s no plano G(s)H(s).

Fig. 11.12: Diagrama de Bode da G(s)H(s) apresentada em (11.11).

O diagrama de Bode da Figura 11.12 foi traçado admitindo K=1. Observa-se portanto, que para freqüência ω=0 rad/s, o módulo de G(s)H(s) é igual a K. Observa-se também que quando ω tende ao infinito, o módulo de G(s)H(s) tende a zero e a fase da G(s)H(s) tende a –270º. Contudo, alguns valores adicionais podem ser obtidos para auxiliar o traçado do diagrama polar da G(s)H(s). Por exemplo, o

+ _ _s ₁₃_s ₃₂_s ₂₀ Y(s) K 20 2 3₊ ₊ ₊ R(s)

(11)

módulo de G(s)H(s) quando a fase é –90º é facilmente obtido, considerando a parte real da G(jω)H(jω) igual a zero, isto é:

[

]

0 -13 20 0 ou 1.24rad/s 20 j 32 ) j ( 13 ) j ( K 20 Re ) j ( H ) j ( G Re 2 2 3 _= ⇒ ω + = ω=       + ω + ω + ω = ω ω

Na freqüência ω=1.24 rad/s, o módulo de G(jω)H(jω) é 0.529K e a fase de G(jω)H(jω) será de –90º

. O mesmo procedimento poderá ser empregado para determinar o módulo de G(jω)H(jω) quando a fase for de –180º , isto é

[

]

0 (j ) 32j 0 ou 5.66rad/s 20 j 32 ) j ( 13 ) j ( K 20 Im ) j ( H ) j ( G Im ₃ ₂ = ⇒ ω 3+ ω= ω=         + ω + ω + ω = ω ω

Na freqüência ω=5.66 rad/s, o módulo de G(jω)H(jω) é 0.0505K e a fase de G(jω)H(jω), conforme calculado, será de –180º. De posse de todos estes pontos, traça-se o diagrama de Nyquist para este sistema, resultando na Figura 11.13.

Fig. 11.13: Diagrama de Nyquist para o sistema apresentado na Figura 11.11.

Admitindo-se somente a faixa de valores positivos de K, conclui-se que para 1.0/0.0505 ≥ K > 0.0, a curva resultante do mapeamento do contorno de Nyquist no plano s no plano G(s)H(s), não apresentará nenhum envolvimento do ponto –1.0+j0.0, ou seja N=0. Uma vez que P=0, de acordo com (11.4) implica Z=0 ou ainda, que não existem pólos do sistema em malha-fechada localizados no semiplano direito do plano s se 19.8 ≥ K > 0.0. Quando K=19.8, a curva resultante do mapeamento do contorno de Nyquist no plano s no plano G(s)H(s) passará exatamente em cima do ponto –1.0+j0.0, implicando a existência de dois pólos em malha-fechada exatamente sobre o eixo imaginário do plano s na freqüência ω=5.66 rad/s. Para valores de K > 19.8, o mapeamento do contorno de Nyquist no plano s no plano G(s)H(s) envolverá duas vezes o ponto –1.0+j0.0 no sentido horário, implicando N=2 e, portanto, Z=2. Isto caracteriza a existência de dois pólos em malha-fechada localizados no semiplano do plano s, resultando em um sistema instável

(12)

em fechada. Desta forma, verifica-se que as características de estabilidade deste sistema em malha-fechada dependem dos valores de K, caracterizando-o como condicionalmente estável.

Problemas Propostos

1. Para o sistema representado pela Figura 11.5, considerando realimentação unitária, determinar as propriedades de estabilidade do sistema em malha-fechada admitindo utilizando os métodos do LGR, Routh-Hurwitz e Nyquist (utilizando a igualdade N=Z-P).

s 2 . 1 s 44 . 2 s 08 . 30 s 12 s 2 . 19 s 36 . 15 s 4 . 2 K ) s ( G 2 3 4 2 3 + + + + + + =

2. Considere um sistema com G(s)=1/s(s+1)2 apresentado na Figura 11.111. Determinar a faixa de valores de K > 0 que o controlador poderá assumir que garantem a estabilidade absoluta deste sistema empregando os métodos do LGR, Routh-Hurwitz e Nyquist (utilizando a igualdade N=Z-P).

Fig. 11.14: Sistema operando em malha-fechada com controle do tipo proporcional. 3. Considerando agora G(s)=(s+1)/s(0.1s-1), repetir a análise feita para o exercício anterior.

4. Controladores de velocidade são amplamente aplicados na indústria. A Figura 11.15 mostra um tipo de aplicação para controladores de velocidade: controle da freqüência de saída de um gerador elétrico acoplado a uma turbina a vapor. O objetivo é controlar a velocidade do eixo da turbina de forma que a freqüência elétrica na saída do gerador mantenha-se dentro de um limite tolerável.

Fig. 11.15: Diagrama esquemático do sistema de controle turbina-gerador.

O diagrama esquemático apresentado na Figura 11.15, após realizada a modelagem de cada uma das partes que o compõe, pode ser representado pelo diagrama em blocos da Figura 11.16.

+ _ s

( )

s 12 Y(s) 1 + R(s) K E(s) U(s)

Turbina Gerador Sensor

Controle Válvula

Vapor

Medida de Velocidade

(13)

Fig. 11.16: Diagrama de blocos do sistema de controle de velocidade esquematizado na Figura 11.15. Determinar a faixa de valores de K > 0 que o controlador poderá assumir que garantem a estabilidade absoluta deste sistema empregando os métodos do LGR, Routh-Hurwitz e Nyquist (utilizando a igualdade N=Z-P).

5. Considere os seguintes diagramas de Bode e LGR’s dados na figura abaixo:

Frequency (rad/sec) P has e ( deg) ; M agni tude ( dB ) 6 10 14 18 22 26 10-1 100 101 102 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0

Diagrama de Bode em Malha Aberta – sistema 1.

Frequency (rad/sec)

0-1

100

101

Diagrama de Bode em Malha Aberta – sistema 2.

-4 -3 -2 -1 0 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Real Axis Im ag A x is

Lugar Geométrico das Raízes – sistema 1.

-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Real Axis Im ag A x is

Lugar Geométrico das Raízes – sistema 2. Fig. 11.17: Gráficos relativos aos dois sistemas.

+ _

( )

s 1 Y(s) 5 + Referência de Velocidade E(s) Vapor

(

s 3

)

1 + Torque Medida de Velocidade

(

s 10

)

K +

(14)

i. Determinar o grau relativo de cada sistema, se cada um deles podem ser caracterizado como sendo sistema de fase mínima ou fase não-mínima e os respectivos ganhos DC;

ii. Admitindo que cada um destes sistemas irá operar em malha-fechada, com realimentação unitária e negativa, assinale no LGR a localização dos pólos de malha-fechada;

iii. Realizar a análise de estabilidade de cada um dos sistemas, empregando o critério de Nyquist (desenhar o percurso a ser percorrido no plano s e os respectivos mapeamentos no plano G(s), e determinar a estabilidade utilizando a igualdade N=Z-P).

Sumário

Apresentou-se neste capítulo o critério de estabilidade de Nyquist. Diferentemente do métodos do Lugar Geométrico das Raízes – LGR e do critério de estabilidade de Routh-Hurwitz, o método proposto por Nyquist permite-nos concluir a estabilidade de um sistema de controle linear operando em

malha-fechada através da resposta em freqüência do sistema operando em malha-aberta. Como se sabe, a

resposta em freqüência de um sistema pode ser obtida experimentalmente utilizando uma grande variedade de geradores de sinais e analisadores de espectro. Portanto, empregando-se o método apresentado pode-se concluir sobre as características de estabilidade do sistema em malha-fechada sem o conhecimento explícito da função de transferência de malha-aberta do mesmo.

Bibliografia

[1] Evans, W.R., “Graphical Analysis of Control Systems”, AIEE Transactions Part II, vol. 67, pp. 547-551, 1948.

[2] Nyquist, H., “Regeneration Theory”, Bell Systems Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932. [3] Churchill, R.V., Introduction to Complex Variables and Applications”, 2nd ed., New York, McGraw

Hill.

[4] Wolovich, W.A., Automatic Control Systems, Saunders College Publishing.

[5] Nise, N.S., Control System Engineering, Addison-Wesley Publishing Company, Second Edition. [6] Franklin, G.F., Powell, J.D. & Naeini, E., Feedback Control of Dynamics Systems, Addison-Wesley

Publishing Company.