Aula 9 – Resposta em Freqüência de Sistemas Lineares
Introdução
Resposta em Freqüência
Problemas Propostos
Introdução
Em muitas situações o sinal de entrada de um sistema dinâmico é de natureza periódica. A força exercida em estruturas marítimas pelas ondas do oceano ou vibrações mecânicas exercidas em um motor devido ao balanceamento inadequado do rotor ou da carga acoplada ao eixo do mesmo são exemplos de sinais de natureza periódica, que em muitos casos apresentam formas de onda muito semelhantes a senóides. Além disso, sinais periódicos, independente de sua natureza, podem ser representados pela soma infinita de harmônicas senoidais. Desta forma, o conhecimento do comportamento do sistema a um sinal de entrada senoidal constitui a base para determinação da resposta do sistema para uma larga classe de entrada periódicas.
Resposta em Freqüência
O método da resposta em freqüência de um sistema é definido como a resposta em regime permanente do sistema quando considerada uma entrada do tipo senoidal. O sinal senoidal constitui o único sinal de entrada e, para um sistema linear, todos os sinais intermediários bem como a saída deste sistema regime permanente também serão senóides. Tais sinais diferem daquele considerado na entrada somente em amplitude e fase.
Para introduzir a idéia física da resposta em freqüência em sistemas lineares, considera-se o sistema descrito pela seguinte função de transferência
) s ( G ) s ( U ) s ( Y = (9.1) admitindo como sinal de entrada u(t) uma senóide com amplitude Uo, i.e.,
( )
t sen U ) t ( u = o ω (9.2)Considerando condições iniciais nulas, a transformada de Laplace do sinal saída do referido sistema será dada por
2 2 o s U ) s ( G ) s ( Y ω + ω = (9.3) A expansão em frações parciais de (9.3), assumindo pólos distintos de G(s), resulta em uma equação na forma 2 2 n n 2 2 1 1 s s a s a s a s ) s ( Y ω + β + α + − α + + − α + − α = (9.4)
onde a1, a2,...., an são os pólos da G(s), sendo os dois últimos termos de (9.4) associados a função excitação
U(s).
Assumindo que o sistema apresentado em (9.1) é estável isto é, que a parte real dos pólos a1, a2,....,
an é negativa, todos os termos associados a estes pólos somente terão influência transitória em (9.5)
observando-se que o último termo, relacionado diretamente com o sinal de entrada, permanecerá em regime permanente na saída y(t) do sistema, isto é
ω + β + α = − 2 2 1 s s L ) t ( y (9.5)
Provar que a resposta temporal da equação (9.4) admitindo t→∞ é dada por (9.5). Para facilitar, considere somente o caso de pólos reais e distintos de G(s).
As constantes que αeβ podem ser representados em função de G(s). Neste caso, partindo de (9.3) com s=jω tem-se ) j ( G s U s s ) s ( U ) s ( Y j s 2 2 o 2 2 ω = ω + ω +ω β + α = ω = (9.6) o que resulta em
(
ImG(j ))
Uo ω = α (9.7) e(
ReG(j ))
Uoω ω = β (9.8) implicando, de acordo com (9.5) em(
ImG(j ))
cos t U(
ReG(j ))
sen t U ) t ( y = o ω ω + o ω ω (9.9)que pode ainda ser reescrita na forma
(
ω +φ)
ω =U G(j )sen t ) t ( y o (9.10) com ω ω = φ − ) j ( G Re ) j ( G Im tan 1 (9.11) concluindo-se, a partir de (9.10) e (9.11), que a resposta da variável de saída do processo y(t) quando aplicado em sua entrada um sinal do tipo senoidal será função também do módulo e da fase da função de transferência avaliados em s=jω.Para exemplificar, consideremos a resposta de um sistema de primeira ordem (9.12) sujeito a um sinal de entrada senoidal (9.13), isto é
1 1 ) ( + = s s G (9.12) 100 10 ) ( 2 + = s s U (9.13) A Figura 9.1, apresentada a seguir, ilustra o comportamento temporal da variável de saída do sistema descrito em (9.7) quando excitado por um sinal de entrada u(t)=sen(10t).
Fig. 9.1: Comportamento da saída do sistema (9.12)considerando como entrada o sinal (9.13).
Obtenha analiticamente a resposta temporal da variável de saída y(t) do sistema apresentado em (9.12) admitindo u(t)=sen(10t). Explique, com base no resultado obtido, o comportamento do sinal de saída y(t) apresentado na Figura 9.1.
Uma vez que o sistema considerado em (9.12) apresenta um pólo em –1, um dos termos da resposta temporal da variável de saída y(t), de acordo com (9.4), apresentará o fator e-t cujo efeito na resposta do sistema desaparece alguns segundos após ser aplicado o sinal de entrada (9.13).
Da mesma forma deve-se observar que após passado o transitório, a saída y(t) do sistema estabiliza-se oscilando de forma senoidal com amplitude dada por
101 101 1 10 j 1 ) 10 j ( G = + = (9.14) sendo a defasagem entre os sinais de entrada e saída do sistema apresentada em (9.15), i.e.
) 10 ( -tan ) G(j fase ω = -1 (9.15) Verificar que o módulo e fase da função de transferência G(jω), admitindo s=j10, são dados por (9.14) e (9.15)
Problemas Propostos
9.1. O comportamento dinâmico de um sistema de posicionamento da cabeça de leitura de um
disk drive é descrito pela função de transferência (9.16)
( )
2 1 s K ) s ( G + = (9.16)Obtenha o gráfico polar deste sistema, supondo K=4. Calcule módulo e fase de G(jω), supondo ω=0.5, 1.0, 2.0 rad/s e assim sucessivamente para ω→∞.
9.2. O atuador do manipulador de um braço robótico tem sua dinâmica descrita pela função de
transferência (9.17), i.e. 15434 s 386 s 2572 ) s ( G 2 + + = (9.17) Plote o gráfico polar da resposta em freqüência de G(jω). Mostrar que
6 . 15 ) j ( G log 20 10 ω ω=10 =− 0 . 30 ) j ( G log 20 10 ω ω=200 =−
Mostre também que a fase de G(jω)=-150o para ω=700 rad/s.
9.3. Um manipulador robótico apresenta a seguinte função de transferência em malha-aberta:
(
)
(
s 10)
(s 40) s 100 s 300 ) s ( G + + + = (9.18) Provar que para ω=28.3 rad/s a fase de G(jω)=-180o. Determinar o módulo de G(jω) nesta freqüência.9.4. A resposta em freqüência de um dado processo com a função de transferência (9.19) é
apresentada na Figura 9.2. ) 100 s 20 s )( a s ( Ks ) s ( G 2+ + + = (9.19)
Determinar, com base na Figura 9.2, os valores dos parâmetros “K” e “a” de (9.19), considerando o primeiro gráfico relativo ao módulo de G(jω) dado por 20 log |G(jω)| versus o log ω e o segundo gráfico relativo a fase de G(jω) versus o log ω.
9.5. Resposta em freqüência característica de um capacitor: Considere a seguinte equação que
relaciona corrente e tensão em um capacitor
dt ) t ( dV C ) t ( i = (9.20) i. Admitindo V(t) o sinal de excitação e i(t) a variável de saída, obtenha a função de transferência
I(s)/V(s) considerando a resposta em regime permanente senoidal, isto é s=jω. ii. Determinar módulo e fase da função de transferência obtida no item anterior. iii. Com base nos itens anteriores, admitindo V(t)=Asenωt determine i(t). iv. Conferir o resultado obtido em iii, resolvendo a equação diferencial (9.20).
9.6. Características de resposta em freqüência de um compensador de avanço de fase. A função de
transferência de um compensador de avanço de fase é dada por
1 , 1 Ts 1 Ts K ) s ( D α< + α + = (9.21) i. Determinar as características de resposta em freqüência, isto é módulo e fase, do compensador
apresentado em (9.21).
ii. Verifique qual o ganho deste compensador em baixas e em altas freqüências.
iii. Verifique o que ocorre com a fase para baixas freqüências, altas freqüências e freqüências intermediárias, justificando o nome deste compensador.
iv. Pelas respostas dos itens anteriores, que tipo de filtro constitui a função de transferência (9.21).
9.7. Considere um sistema dinâmico de primeira ordem descrito pela seguinte equação
diferencial: ) t ( u 2 ) t ( y ) t ( y 1 . 0 + = (9.22) i. Admitindo (9.22) em regime de operação permanente senoidal com u(t)=5senωt, determinar
módulo e fase da função de transferência Y(s)/U(s).
ii. Determinar a saída y(t) em regime de operação permanente senoidal considerando a. ω=5 rad/s;
b. ω=10 rad/s; c. ω=40 rad/s.
iii. Comentar a influência do aumento da freqüência no módulo e na fase do sinal de saída com respeito ao sinal de entrada u(t).
9.8. Uma ferramenta muito utilizada na análise da resposta em freqüência de sistema lineares
chama-se diagrama de Bode. Diagramas de Bode são constituídos por dois gráficos, um de módulo da função de transferência e outro de fase da função de transferência ambos em função da freqüência.
i. Considere a seguinte função de transferência:
) p s )( p s )( p s ( ) z s )( z s ( K ) s ( G 3 2 1 2 1 + + + + + = (9.23) Admitindo regime de operação permanente senoidal, provar que o módulo de G(jω) pode ser obtido pelo quociente dos produtos dos módulos das parcelas do numerador e denominador de (9.23).
ii. Com base no item anterior provar que
( )
10 10 1 10 2 10 3 10 4 10 510G j log K log r log r log r log r log r
log ω = + + − − −
onde ri, i=1,2,3,4,5 representa o módulo de cada uma das parcelas de E(9.4) avaliadas na freqüência ω e
que
( )
j 1 2 3 4 5G
fase ω =θ +θ −θ −θ −θ
