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Capt. 19 – Ondas Sonoras – Resnick/Halliday/Krane

Ondas sonoras → ondas mecânicas longitudinais de 20 Hz a 20.000 Hz

Ondas ultra-sônicas (longitudinais) → f>20.000 Hz → utilizadas na acústica submarina e para fins médicos

Ondas infra-sônicas (longitudinais e transversais) → ondas sísmicas

19.1) Propriedades das ondas sonoras

- natureza: mecânica – se propagam devido às forças mecânicas (elásticas) atuantes sobre as partículas do meio

- tipo: longitudinal

- propagação: através de qualquer meio material

Acústica – estuda as ondas mecânicas de todas as freqüências, longitudinais ou transversais, audíveis ou não

19.2) Ondas sonoras em propagação

Fig. 19.1 – Ondas sonoras geradas em um tubo pelo movimento de um êmbolo, que pode representar o cone móvel de um alto-falante. As linhas verticais dividem o meio compressível no tubo em várias camadas de mesma massa.

Ondas sonoras unidimensionais: enquanto as ondas sonoras se propagam, as compressões e as rarefações se movem ao longo do tubo.

• Massa específica do ar no tubo: (x,t) = o +  (x,t)

onde o é a massa específica do ar não atingida pela perturbação e |∆ρ (x,t)| << o

p (x,t) = po + p (x,t)

onde po é a pressão do ar não atingida pela perturbação e |∆p (x,t)| << po

p e  viajam ao longo do tubo em fase

O movimento oscilatório do êmbolo é senoidal: movimento harmônico simples que gera uma onda harmônica (senoidal).

Figura 19.2 – (a) Compressões C e rarefações R em uma onda sonora propagando-se ao longo de um tubo.

b) Um instantâneo da massa específica, que varia com amplitude m em torno de o.

c) Um instantâneo da pressão, que varia com amplitude pm em torno de po.

d) O deslocamento longitudinal, que demonstra em cada localização x como um pequeno elemento de ar é deslocado em relação a sua posição de equilíbrio.

e) A velocidade longitudinal de pequenos elementos de ar.

Para ondas senoidais (desprezando qualquer fase inicial):  (x,t) = m sen (kx - t)

p (x,t) = pm sen (kx - t)

A relação entre as amplitudes de pressão, pm, e de massa específica, m, depende das

propriedades mecânicas do meio:

B = - p/(∆V/V) → módulo de compressibilidade

Exercício 1: Considerando  = m/V e usando a expressão de B, obter m em função

Solução:  = m/V → dρ = -(m/V2 )dV = -(/V)dV   = -(V/V) V/V = -p/B → p/B) = p o/B m = pm o/B

OBS: Para que a energia interna cresça associada à compressão, é preciso que não haja tempo suficiente, durante a freqüência da onda sonora, para transferência de calor para as regiões adjacentes mais frias, associadas a rarefações → processo adiabático (sem transferência de calor). Então B é o módulo de compressibilidade adiabático.

O som como uma onda de deslocamento

Som – onda de deslocamento – propagação do deslocamento de elementos de volume do fluido. À medida que a onda sonora passa, o elemento de volume do fluido oscila em torno de sua posição de equilíbrio.

Posições de equilíbrio das faces do elemento de fluido: x e x + x

Deslocamento do elemento ao longo da direção de propagação: s(x,t)

Resposta à onda sonora: 1ª face: x + s(x,t)

2ª face: x + x + s(x + x,t)

Espessura do elemento perturbado: x + x + s (x + x,t) – x – s (x,t) = x + s (x + x,t) – s (x,t) ou

x { 1 + [s (x + x,t) – s (x,t)] / x }

No limite quando x → 0, a fração nesta expressão pode ser escrita como ∂s/∂x. Então a espessura do elemento perturbado será:

x [1 + ∂s/∂x.]

e a massa específica será:

 = m / Ax(1 + ∂s/∂x ) = o / [ 1 + ∂s/∂x]

Se  << então ∂s/∂x << e podemos usar a expansão binomial na expressão acima: (1+z)-1 = 1 – z + ...

 = o (1 - ∂s/∂x )

Variação da massa específica:

x,t) -o ∂s/∂x - o = - o ∂s/∂x

Então:

∂s/∂x = -  (x,t) / o = - (m/ o ) sen (kx - t)

Exercício 2: Obter a expressão do deslocamento em função de x e t e a amplitude de deslocamento em função de m e pm. Mostre que s(x,t) está sempre defasado em relação a

m e pm.





Como s(x,t) é uma função de cosseno e ∆p e ∆ são funções de seno, s(x,t) estará 90o fora de fase em relação a ∆p e ∆



 Exercício 3: Obter a expressão da velocidade longitudinal u(x,t) de cada elemento de fluido e a amplitude das variações de velocidade (lembre-se que /k = v, a velocidade de fase da onda)

Solução: u(x,t) = ∂s/∂t ) ( ) ( ) , ( sen kx t u sen kx t k t s t x u m o m              o m m k u     Como m = pm o/B, então: kB p B p k u m o m o m         um = v pm/B

OBS: É a variação de pressão, e não a de deslocamento, que é detetada pelo ouvido humano e pelos microfones.

Ver problema resolvido 19.1

A velocidade do som, assim como no caso das ondas mecânicas transversais, depende da razão entre uma propriedade elástica do meio e uma propriedade inercial.

Análise mecânica:

Suponhamos um pulso (de largura L e pressão p), deslocando-se com velocidade v, ao longo de um tubo.

Durante a passagem do pulso (tempo t) duas forças horizontais atuam sobre o elemento de fluido no tubo:

(po + ∆p) A → força, para a direita, do pulso compressivo

poA → força, para a esquerda, do fluido não perturbado à direita

Força resultante:

(po + ∆p) A - poA = ∆p A (para a direita)

O elemento de fluido é um sistema de partículas: ∑ Fext,x = M aCM,x

O centro de massa do elemento, medido a partir da extremidade direita deste, move-se entre as posições –Lo/2 e –L/2, no tempo t:

x – xo = ½ ax t2 → ax = 2(x – xo)/t2

aCM,x = 2 [ (-L/2) – (- Lo/2) ] / t2 = - (L – Lo) / t2 = - ∆L / t2

onde ∆L é a mudança de comprimento do elemento de fluido M = ρoALo → massa do elemento de fluido

Pela 2ª lei de Newton temos: F = M aCM

A ∆p = - ρoALo ∆L / t2

Se t é o tempo necessário para que o pulso se mova com velocidade v ao longo do elemento de fluido de comprimento Lo, então: t = Lo / v

A ∆p = - ρoALo ∆L / t2 = - ρoALo ∆L v2 / Lo2 = - ρoA∆L v2 / Lo

v2 = - LoA ∆p / ρoA∆L = - Lo ∆p / ρo ∆L = - ∆p / ρo (∆L/L)

ou então: A∆L = ∆V

Lo A = V → v2 = - ∆p / ρo (∆V / V) = B / ρo

v = (B / o) → velocidade do som em fluidos

A velocidade do som depende apenas das propriedades do meio e não da freqüência ou do comprimento de onda.

Quando se aumenta a temperatura, a velocidade molecular e a velocidade do som em um gás crescem exatamente do mesmo modo.

19.4) Potência e intensidade de ondas sonoras

Quando a onda se desloca, cada elemento de fluido exerce uma força sobre o elemento à frente. Se o aumento da pressão no elemento de fluido é ∆p, a força exercida por ele no elemento seguinte será Fx = A ∆p, onde A é a área da seção transversal do elemento de fluido.

Fx = A ∆pm sen (kx - t)

Velocidade da lâmina de fluido:

ux (x,t) = sm sen (kx - t) = um sen (kx - t)

A potência cedida ao elemento de fluido é: P = ux Fx = A ∆pm um sen2 (kx - t)

Lembrando que um = v ∆pm / B → P = (A ∆pm2 v / B) sen2 (kx - t)

Relacionando as expressões e considerando o valor médio obtemos: Pméd = Av (∆pm)2 / 2B

Como v = (B / o)1/2 e B = o v2

Então: Pméd = Av (∆pm)2 / 2 o v2

Pméd = A (∆pm)2 / 2 o v

Quando se comparam sons diferentes, é mais útil empregar-se a intensidade da onda: I = Pméd / A

Devido ao grande intervalo de intensidade para as quais o ouvido humano é sensível, é mais conveniente utilizar uma escala logarítmica que uma escala natural, além do fato de que a resposta do ouvido humano ao aumento de intensidade sonora é aproximadamente logarítmica. Por isso criou-se a grandeza chamada de nível de intensidade sonora (NIS), cuja unidade é o decibel (dB):

NIS = 10 log (I/Io)

Onde Io = 10-12 W/m2 - em média, a menor intensidade que o ouvido humano escuta. Se I = Io então NIS = 10 log 1 = 0 dB

Se I = 1 W/m2 então NIS = 10 log 1/10-12 = 10 log 1012 = 120 log 10 = 120 dB Se I = 10 W/m2 então NIS = 10 log 10/10-12 = 10 log 1013 = 130 log 10 = 130 dB

Multiplicar a intensidade I por um fator de 10 corresponde à adição de 10 dB no nível de intensidade sonora.

Ver problema resolvido 19.2

Figura – Variação da sensibilidade do ouvido humano padrão 19.5) Interferência de ondas sonoras

Como as ondas em cordas, as ondas sonoras também seguem o princípio da superposição.

Fig 19.6 – Dois alto-falantes S1 e S2

alimentados por uma mesma fonte, enviam sinais para o ponto P, onde estes interferem. 

perturbação total na pressão no ponto P será: p = p1 + p2

OBS: Em ondas esféricas a amplitude varia com 1/r.

depende de L que é a diferença de caminho. L = │r1 – r2 │

L

Se m então: L = m → interferência construtiva

Se m+ ½ )2 então: L = (m+ ½ ) → interferência destrutiva

Se as amplitudes são iguais, as interferências destrutivas representam p = 0. Em geral as amplitudes das 2 ondas não são iguais, o que faz com que p seja pequeno, mas não nulo, nos pontos de interferência destrutiva.

p depende de  → um mesmo ponto P pode ter interferência construtiva para algum  e destrutiva para outro (isso significa que, por exemplo, uma pessoa em P1 pode escutar o

som mais agudo que outra em P2). Esse problema pode ser contornado por uma boa

acústica da sala: as reflexões das ondas sonoras nas paredes podem gerar novas interferências, que minimizem os efeitos destrutivos.

O efeito descrito acima é válido para ondas coerentes (as fontes são alimentadas por uma mesma fonte). Se as fases são aleatórias, a superposição de n ondas dará origem a uma resultante que é n vezes cada onda. Isso explica porque um grande número de violinos em uma orquestra, tocando a mesma nota, geram um som cuja intensidade é a soma das intensidades de cada um; não é necessário levar em conta a interferência. O mesmo ocorre nos átomos emitindo luz numa chama, ao mesmo tempo.

Ver problema resolvido 19.3

Figura 19.7 – a) As ondas de pressão dos quatro primeiros modos de ressonância de um tubo, geradas por um alto-falante e abertos na extremidade oposta. Existe um nó de pressão N em cada extremidade, e antinós A localizados entre os nós. As curvas sugerem uma variação senoidal de pressão dentro do tubo.

b) As ondas de pressão dos quatro primeiros modos de um tubo que é fechado em uma das extremidades. A extremidade fechada é um antinó de pressão.

Tubo fechado em uma extremidade: à medida que a onda alcança esta extremidade, pode comprimir as camadas de ar contra a barreira existente. A extremidade fechada será um antinó de pressão (pressão máxima).

Uma onda longitudinal de pressão é refletida em uma extremidade fechada sem mudança de fase (como uma mola com extremidade fixa ou uma corda com extremidade livre).

Tubo aberto nas 2 extremidades: as extremidades terão pressão ambiente po, e serão

nós de pressão.

Uma onda longitudinal de pressão é refletida em uma extremidade aberta com uma mudança de fase de 180º (como na extremidade fixa de uma corda).

Freqüências de ressonância → determinam as notas musicais tocadas com os instrumentos de sopro.

A verdadeira localização do nó de pressão não é exatamente na extremidade aberta do tubo; a onda avança ligeiramente (0,6R, onde R é o raio do tubo).

Para tubos abertos nas 2 extremidades:

n L n 2   e L nv fn 2  n = 1, 2, 3, ...

Para tubos fechados em 1 extremidade:

n L n 4   e L nv fn 4  n = 1, 3, 5, ...

As freqüências de ressonância fn determinam as notas musicais tocadas com os

instrumentos de sopro.

Ver problema resolvido 19.4

Figura 19.8: Sistema simples para medir a velocidade do som. O nível da água pode ser ajustado elevando-se ou abaixando-se o reservatório da esquerda, que está conectado por uma borracha ao tubo. À direita são mostradas as formas de onda de pressão dos três primeiros modos de ressonância para um determinado comprimento de onda.

19.7) Sistemas vibrantes e fontes sonoras

Um sistema vibrante transmite uma onda através do ar para os ouvidos do ouvinte. Fontes sonoras: instrumentos musicais, voz humana, etc.

Cada fonte possui um grande número de freqüências naturais de vibração: f1, f2, f3, ... sendo f1<f2<f3<...

f1 é a freqüência fundamental

f2, f3, etc são os sobretons.

Em certos sistemas, os sobretons são todos múltiplos inteiros da freqüência fundamental: fn = nf1 → são os harmônicos

Se um sistema produz sobretons que são harmônicos, o som produzido será agradável. O formato de um instrumento deve ser projetado cuidadosamente para fazê-lo harmônico.

Os harmônicos que um instrumento produz determinam o seu timbre.

Classificação dos instrumentos musicais:

- cordas vibrantes - colunas de ar vibrantes

- outros sistemas mais complexos (pratos, hastes e membranas vibrantes)

Cordas Vibrantes

Tipos:

- cordas friccionadas (tocadas com arco) - violino, viola - cordas dedilhadas - violão, harpa

- cordas golpeadas - piano

n L n 2   e L nv fn 2

 n = 1, 2, 3, ... freqüências de ressonância de uma corda fixa nas 2 extremidades,

 F

v  é a mesma para todas as freqüências – velocidade das ondas transversais na corda.

A qualidade do som de uma nota correspondente a uma freqüência particular tocada em um instrumento é determinada pelo número de sobretons presentes e suas respectivas intensidades.

Fig. 19.10 – Formas de onda e espectro sonoro para dois instrumentos de corda.

O espectro sonoro abaixo de cada forma de onda mostra os harmônicos presentes nos tons complexos e suas amplitudes relativas

Figura: onda resultante (acima) e suas componentes (fundamental e sobretons)

Colunas de Ar Vibrantes   L n fn 2 

freqüências de ressonância em tubo aberto (n = 1,2,3,...)

  L n fn 4 

freqüências de ressonância em tubo fechado (n = 1,3,5,...)

Se uma das extremidades do tubo é fechada, a freqüência fundamental é reduzida pela metade em relação ao seu valor para um tubo aberto de mesmo comprimento, e apenas harmônicos ímpares estarão presentes, afetando a qualidade do som.

Exemplo de instrumento de sopro: clarinete - palheta com propriedades elásticas.

Lembrando a equação de Bernoulli, em pressão dinâmica, para escoamento estacionário, incompressível, não viscoso e irrotacional, temos: ( é a massa específica uniforme e constante do fluido – ar)

versa. vice e pequena, ser deve pressão a alta, é e velocidad a onde regiões nas 2 1 2 1 constante 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2              p p y y gy p

O ar passando com alta velocidade através da abertura estreita cria uma região local de baixa pressão no interior da boquilha (clarinete). A pressão externa é maior do que a interna, o que força a palheta para dentro, cobrindo a abertura. Assim que a abertura é coberta, o fluxo de ar é interrompido e a região dinâmica de baixa pressão é eliminada, com isso a palheta se abre permitindo novo fluxo de ar. A abertura e o fechamento repetitivo da passagem de ar causa variações máximas de pressão no bocal do instrumento, que, portanto, se comporta como um antinó de pressão.

clarinete, oboé, saxofone, trompete, trombone – tubo fechado flauta, tubo de órgão – tubo aberto

oboé e saxofone – palheta dupla e simples respectivamente – tubos cônicos trompete e trombone – bocal (palheta labial) – furos cônicos

Com os tubos e furos cônicos esses instrumentos podem emitir harmônicos pares e ímpares.

Fig. 19.11 – Formas de onda para alguns instrumentos de sopro:

(a) flauta, (b) clarinete e (c) trompete, e seus espectros sonoros, semelhantes à fig. 19.10. Observe que o espectro do clarinete mostra principalmente os harmônicos ímpares, enquanto a flauta e o trompete têm igualmente harmônicos ímpares e pares.

Outros sistemas vibrantes

Hastes vibrantes, pratos e membranas tracionadas - geram ondas sonoras

Os nós de uma membrana vibrante são linhas e não pontos (como os de uma corda vibrante) ou planos (como nos tubos).

bordas fixas - nós

Fig. 19.12 – (a) Os seis modos de ressonância inferiores de um tambor circular fixado na borda. As linhas representam os nós; a borda é uma linha nodal também. O sinal + ou – indica que, em um dado instante, uma região, em particular, está se movendo para cima ou para baixo e para fora da página. No caso, os sobretons não são múltiplos inteiros dos modos fundamentais e, portanto, não são harmônicos.

(b) As configurações de vibração de um tímpano nos modos numerados 4, 5 e 6 e um outro modo adicional não ilustrado no item (a). Eles são visíveis pulverizando-se pó escuro no tambor e colocando-o em vibração na freqüência adequada utilizando-se um vibrador mecânico. À medida que o tambor vibra, o pó é movimentado e, eventualmente, deposita-se nas linhas nodais, onde não há movimento.

- xilofone e marimba - sobretons aproximadamente harmônicos Referência: Física 2 – Halliday, Resnick, Krane. LTC.