09 - Programação Dinãmica

Complexidade de Algoritmo

Técnicas de Projeto de Algoritmo

Prof. Samuel Lemes

Programação Dinâmica

Resolve problemas combinando as soluções dos Sub-problemas (igual ao D & C).

Aplicável quando os subproblemas não são

independentes, ou seja, compartilham

subsubproblemas.

Dividir & Conquistar, neste contexto, não é eficiente.

Programação Dinâmica resolve cada subproblema uma só vez e então grava sua resposta em uma tabela.

Programação Dinâmica

Exemplo: A divisão de um problema de tamanho n resulte em n subproblemas de tamanho n-1.

Uma solução utilizando Divisão e Conquista iria gastar um tempo absurdo (Exponencial).

n

Programação Dinâmica

É tipicamente aplicada a problemas de otimização. Geralmente há várias soluções possíveis.

Cada solução tem um valor, deve-se procurar a solução com o valor ótimo (mínimo ou máximo).

Descobrir uma rota entre Rio Verde e São Paulo

n soluções Solução 1 Solução 2 Solução 3 Solução 4

Programação Dinâmica

Projeto feito em 4 etapas:

1. Caracterizar a estrutura de uma solução

ótima.

“Definir como podemos encontrar a melhor solução para o problema, encontrar um esquema para isto.”

2. Definir recursivamente o valor de uma

solução ótima.

“Encontrar uma solução recursiva para o problema, pelo menos a sua equação de recorrência”

Programação Dinâmica

Projeto feito em 4 etapas:

3. Calcular o valor de uma solução ótima.

“Propor uma solução com Programação Dinâmica, baseada na solução recursiva, que seja capaz de encontrar o valor da melhor solução.”

4. Construir uma solução ótima a partir das

informações calculadas.

“Propor um algoritmo, que seja capaz de montar a solução ótima, baseado nos resultados do algoritmo de P.D.”

Programação Dinâmica

Exemplo: Programação de Linha de Montagem.

Fabrica com duas linhas de montagens.

C1 C2 X1 X2 a_1,1 a_1,2 a_1,3 a_1,4 a_1,n a_2,1 a_,22 a_2,3 a_2,4 a_2,n ... ... S_1,1 S_1,2 S_1,3 S_1,4 S_1,n S_2,1 S_2,2 S_2,3 S_2,4 S_2,n Saída Carros Entrada Chassis Linha 1 Linha 2

Programação Dinâmica

Um chassi de automóvel entra em cada linha de montagem, C1 e C2 são os custos para esta entrada.

As peças são adicionadas em uma série de estações (a), e um automóvel pronto sai no final, X1 e X2 é o custo de retirar o carro.

Cada linha possui n estações, numeradas com J=1,2,...,n Cada linha é enumerada i = (1,2).

Estação S_i,j é a j_ésima estação da linha i.

A j_ésima estação da linha 1 executa a mesma coisa da j_ésima estação da linha 2.

Programação Dinâmica

O tempo de execução em cada linha pode váriar, mesmo naquelas que estejam na mesma posição nas duas linhas.

Problema: Utilizar as duas linhas para construir apenas um carro, do modo mais barato?

Otimizar o uso das linhas, selecionando as estações mais eficientes, aquelas que tenham um custo menor.

Programação Dinâmica

C1 C2 X1 X2 a_1,1 a_1,2 a_1,3 a_1,4 a_1,n a_2,1 a_,22 a_2,3 a_2,4 a_2,n ... ... S_1,1 S_1,2 S_1,3 S_1,4 S_1,n S_2,1 S_2,2 S_2,3 S_2,4 S_2,n Saída Carros Entrada Chassis Linha 1 Linha 2 t_1,1 t_2,1 t_1,2 t_2,2 t_1,3 t_2,3

Programação Dinâmica

Consideramos ainda o tempo de entrada (C1 e

C2) e o tempo de Saída (X1 e X2).

Tempo de transferência de um chassi depois de passar pela estação Si,j é ti,j.

Programação Dinâmica

Definição:

Quais estações da linha 1 e quais estações da linha 2 serão utilizadas, de forma a minimizar o tempo total de passagem de um único carro.

Programação Dinâmica

Etapa 1. Caracterizar a estrutura de uma solução ótima.

A estrutura que permite definir o caminho mais rápido pela fabrica. Como encontrá-la.

A solução ótima para o problema da linha de montagem.

Qual é o menor custo até uma estação S_i,j.

S_i,j S_2,j-1

S_1,j-1 Sub1

Programação Dinâmica

O menor custo encontrado até a J_ésima estação é o menor custo entre o S1,j-1 e o S2,j-1, mais o

custo da estação Si,j.

Para encontrar a solução para um problema de uma determinada estação na estação j.

Resolver os subproblemas até a estação anterior j-1.

Programação Dinâmica

Etapa 2. Uma solução recursiva

Procurar uma solução adotando a abordagem Dividir & Conquistar.

Qual é o custo até Si,j. O menor dos custos

existente encontrado nas duas últimas estações, S1,j e S2,j.

Programação Dinâmica

Analisando o S1,j.

O menor custo é:

• Passando pela estação S1,j-1 e depois passar

diretamente para a estação S1,j.

ou

• Passando pela estação S2,j-1, ser transferido para a

linha 1, e depois passar pela estação S1,j.

Programação Dinâmica

F1[j] -> função para calcular o custo até a

j_ésima estação da linha 1.

C1 + a

1,1

, se j=1

f1[j]= min(f1[j-1]+a

1,j

;f2[j-1]+t

2,j-1

+ a

1,j

)

, se j>1

C2 + a

2,1

, se j=1

f2[j]= min(f2[j-1]+a

2,j

;f1[j-1]+t

1,j-1

+ a

2,j

)

, se j>1

Programação Dinâmica

Fi[j] é o tempo mais rápido possível para levar

um chassi até uma das linhas na estação j.

Permite calcular até as duas últimas estações.

S1,n e S2,n.

O custo total é dado por:

Programação Dinâmica

Perguntas?

Em cada execução do algoritmo, quantas serão as chamadas recursivas?

• a=2.

Quais serão o tamanho de cada subproblema?

• (n-1) para cada chamada.

Qual o caso onde nenhuma chamada é feita?

Programação Dinâmica

Etapa 3. Solução com Programação Dinâmica

Um algoritmo utilizando a técnica de programação dinâmica, consegue calcular o caminho mais rápido pela fabrica.

Tempo que ele demora é Θ(n), bem melhor que Θ(2n) de uma solução recursiva.

Podemos fazer muito melhor se calcularmos os valores fi[j], em uma ordem diferente do modo recursivo

Programação Dinâmica

Relembrando que, para j≥2, cada valor de

fi[j] depende apenas dos valores de f1[j-1] e f2[j-1].

Através desta proposta calculamos os valores de fi[j] na ordem de número de estações j crescente.

Algoritmo de PD.

Fastest_Way(a,t,e,x,n)

1. f[1][1] = e[1] + a[1,1];

2. f[2][1] = e[2] + a[2,1];

3. For (j=2;j<=n;j++) {

4. if(f[1][j-1] + a[1][j] <=f[2,j-1] + t[2,j-1] + a[1,j]) {

5. f[1][j] = f[1][j-1] + a[1][j]; 6. l[1][j] = 1; 7. } 8. else{ 9. f[1][j] = f[2][j-1] + t[2][j-1] + a[1][j]; 10. l[1][j] = 2; 11. }

Algoritmo de PD.

12. if(f[2][j-1] + a[2][j] <=f[1,j-1] + t[1,j-1] + a[2,j]) { 13. f[2][j] = f[2][j-1] + a[2][j]; 14. l[2][j] = 2; 15. } 16. else{ 17. f[2][j] = f[1][j-1] + t[1][j-1] + a[2][j]; 18. l[2][j] = 1; 19. } 20. } // fim for

Algoritmo de PD.

21. If (f[1][n] + x[1] <= f[2][n] + x[2]) { 22. f = f[1][n] + x[1]; 23. l = 1; 24. } 25. Else { 26. f = f[2][n] + x[2]; 27. l = 2; 28. }

Programação Dinâmica

Funcionamento:

Entrada os valores vetores e, x, t e a, bem como n, que é o número de estações.

As duas primeiras linhas encontram os valores de f[1][1] e f[2][1]. e[1] e[2] a[1][1] a[2][1] = f[1][1] = f[2][1]

Programação Dinâmica

Funcionamento:

O vetor f[i][j] indicará o custo até chegar na posição sij.

O vetor l[i][j] indicará o caminho a ser percorrido até chegar na estação sij.

As linhas de 3 a 16 calculam os valores para f[i][j] e l[i][j].

Finalmente será calculado os valores para f e l.

• f conterá o custo do melhor caminho. • l apontará o melhor caminho.

Programação Dinâmica

e=[3,4] x=[3,4] t = 1 3 3 1 1 1 1 2 a = 10 2 5 9 3 8 4 6 3 4

Programação Dinâmica

3 4 3 4 10 2 5 9 3 8 4 6 3 4 S_1,1 S_1,2 S_1,3 S_1,4 S_1,5 S_2,1 S_2,2 S_2,3 S_2,4 S_2,5 1 1 3 1 3 1 3 2

Programação Dinâmica

J = 1 2 3 4 5 f = 13 15 20 29 32 12 16 22 25 29 1=13+2 2=12+1+2 1=15+5 2=16+1+5 1=20+9 2=22+1+9 1=29+3 2=25+2+3 2=12+4 1=13+4+1 2=16+6 1=15+6+3 2=22+3 1=20+3+3 2=25+4 1=29+4+1

Programação Dinâmica

l = 1 1 1 2 2 2 2 2 f = 33 ou 33 l = 1 ou 2 l = 1 1 1 2 2 2 2 2

Duas Soluções Ótimas:

Programação Dinâmica

Etapa 4.

Construir uma solução ótima

a partir das informações calculadas.

A construção de uma solução ótima, é feito pelo procedimento print-stations.

Ele imprime as estações usadas, em ordem decrescente de número de estações.

Programação Dinâmica

Print_station(l[][],l,n) 1. i=l;

2. Imprime “linha” + i + “, estação “ + n; 3. Para j = n até 2 faça

4. i = l[i][j];

5. imprime “linha” + i + “, estação “ + j-1

Resultado: linha 1, estação 5.

linha 2, estação 4. linha 2, estação 3.