EvAU Madrid 15-20 FÍSICA

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CUADERNILLO

ACTIVIDADES EvAU 2015-2020

FÍSICA 2º BACHILLERATO

COMUNIDAD DE MADRID

Actividades recopiladas por

Beatriz Jiménez Mahíllo

Esta obra está bajo una licencia

Reconocimiento-No Comercial-Compartir Igual 4.0 Internacional

CC BY-NC-SA 4.0

Este cuadernillo consiste en un repositorio de actividades de EvAU de los años 2015-2020 de la

Comunidad de Madrid de la materia de Física de 2º Bachillerato, de dominio público. Al final de cada

actividad se incluye la solución numérica.

Su fin es exclusivamente educativo, no comercial.

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Unidad 1. Gravitación ... 1

Unidad 2. Electricidad ... 8

Unidad 3. Magnetismo ... 11

Unidad 4. Inducción electromagnética ... 14

Unidad 5. Ondas... 16

Unidad 6. Sonido ... 20

Unidad 7. Luz... 23

Unidad 8. Óptica geométrica ... 27

Unidad 10. Física cuántica ... 30

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Unidad 1. Gravitación

EvAU MADRID GRAVITACIÓN 2015

1. Un planeta de igual masa que la Tierra, describe una órbita circular de radio R, de un año terrestre de duración, alrededor de una estrella de masa M tres veces superior a la del Sol. (Madrid modelo 2015 A)

a) Obtenga la relación entre: el radio R de la órbita del planeta, su periodo de revolución T, la constante de la gravitación universal G, y la masa M de la estrella alrededor de la cual orbita.

b) Calcule el cociente entre los radios de las órbitas de este planeta y de la Tierra. S: a) R3=GMT2/(42); b)

2. Dos planetas, A y B, tienen el mismo radio. La aceleración gravitatoria en la superficie del planeta A es tres veces superior a la aceleración gravitatoria en la superficie del planeta B. Calcule: (Madrid modelo 2015 B)

a) La relación entre las densidades de los dos planetas.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta B si se sabe que la velocidad de escape desde la superficie del planeta A es de 2 km/s.

S: a) dA/dB=3; b) vescape=1155 m/s

3. Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta desconocido, describen órbitas circulares concéntricas con el planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. A través de la observación directa, se sabe que el diámetro de la órbita que describe la luna más alejada del planeta es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre la otra, determine: (Madrid junio 2015 A)

a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior.

b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 N·m2·kg2

S: a) 1,09·104 m/s; 4,19·108 m; b) g= 885 m/s2

4. Un cuerpo esférico de densidad uniforme con un diámetro de 6,0·105 km presenta una aceleración de la gravedad sobre su superficie de 125 m·s2. (Madrid junio 2015 B)

a) Determine la masa de dicho cuerpo.

b) Si un objeto describe una órbita circular concéntrica con el cuerpo esférico y un periodo de 12 h, ¿cuál será el radio de dicha órbita?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2

S: a) 1,7·1029 kg; b) 8,1·108 m

5. Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 2·105 km y la aceleración de la gravedad en su superficie vale 3 m·s2. (Madrid septiembre 2015 A)

a) ¿Qué masa tiene el planeta?

b) Si la nave se coloca en una órbita circular a 30.000 km sobre la superficie del planeta, ¿cuántas horas tardará en dar una vuelta completa al mismo?

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 N·m2·kg2

S: a) 4,56·1025 kg; b) 15,4 h

6. El radio de uno de los asteroides, de forma esférica, perteneciente a los anillos de Saturno es de 5 km. Suponiendo que la densidad de dicho asteroide es uniforme y de valor 5,5 g·cm3, calcule: (Madrid septiembre 2015 B)

a) La aceleración de la gravedad en su superficie.

b) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide.

S: a) 7,68·103 m/s2; b) 8,77 m/s

7. Se quiere situar un satélite de masa, m = 103 kg, a una altura h = RT, respecto de la superficie de la Tierra. Determine: a) La energía cinética mínima requerida para situar el satélite a la altura h = RT. (Madrid junio 2015 coincidentes A) b) La energía cinética adicional requerida para que se mantenga en órbita circular a dicha altura.

Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m; Masa de la

Tierra, MT = 5,97·1024 kg

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8. En la superficie de un planeta esférico, de radio 2RT (RT radio de la Tierra), la aceleración de la gravedad es idéntica a la que se mide en la superficie terrestre. (Madrid junio 2015 coincidentes B)

a) Determine la masa del planeta en función de la masa de la Tierra.

b) Compare las energías mínimas necesarias para situar un objeto a una altura h = RT, desde la superficie de la Tierra y desde la superficie de dicho planeta.

S: a) MPlaneta= 4·MTierra; b) EPlaneta/ETierra= 4/3

9. Titania, satélite del planeta Urano, describe una órbita circular en torno al planeta. Las aceleraciones de la gravedad en la superficies de Urano y de Titania son gu = 8,69 m·s2 y gt = 0,37 m·s2, respectivamente. Un haz de luz emitido desde la superficie de Urano tarda 1,366 s en llegar a la superficie de Titania. Determine: (Madrid modelo 2016 A)

a) El radio de la órbita de Titania alrededor de Urano (distancia entre los centros de ambos cuerpos). b) El tiempo que tarda Titania en dar una vuelta completa alrededor de Urano, expresado en días terrestres.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3,0·108 m·s1; Masa de Urano, Mu = 8,69·1025 kg; Masa de Titania Mt = 3,53·1021kg

S: a) 4,37·108 m; b) 7,54·105 s; 8,73 días terrestres

10. Un cierto planeta esférico tiene de masa el doble de la masa de la Tierra, y la longitud de su circunferencia ecuatorial mide la mitad de la de la Tierra. Calcule: (Madrid modelo 2016 B)

a) La relación que existe entre la velocidad de escape en la superficie de dicho planeta con respecto a la velocidad de escape en la superficie de la Tierra.

b) La aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.

Dato: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra, gT = 9,81 m·s2

S: a) vePlaneta/veTierra= 2; b) 78,5 m/s2

11. El planeta Marte, en su movimiento alrededor del Sol, describe una órbita elíptica. El punto de la órbita más cercano al Sol, perihelio, se encuentra a 206,7·106 km, mientras que el punto de la órbita más alejado del Sol, afelio, está a 249,2·106 km. Si la velocidad de Marte en el perihelio es de 26,50 km·s1, determine: (Madrid junio 2016 A)

a) La velocidad de Marte en el afelio.

b) La energía mecánica total de Marte en el afelio.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 N·m2·kg2; Masa de Marte, MM = 6,42·1023 kg; Masa del Sol MS

= 1,99·1030 kg

S: a) 21980 m/s; b) 1,87·1032 J

12. Un astronauta utiliza un muelle de constante elástica k= 327 N·m1 para determinar la aceleración de la gravedad en la Tierra y en Marte. El astronauta coloca en posición vertical el muelle y cuelga de uno de sus extremos una masa de 1 kg hasta alcanzar el equilibrio. Observa que en la superficie de la Tierra el muelle se alarga 3 cm y en la de Marte sólo 1,13 cm. a) Si el astronauta tiene una masa de 90 kg, determine la masa adicional que debe añadirse para que su peso en Marte sea igual que en la Tierra. (Madrid junio 2016 B)

b) Calcule la masa de la Tierra suponiendo que es esférica.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m.

S: a) 149 kg; b) 5,97·1024 kg

13. Desde la superficie de un planeta de masa 6,42·1023 kg y radio 4500 km se lanza verticalmente hacia arriba un objeto. a) Determine la altura máxima que alcanza el objeto si es lanzado con una velocidad inicial de 2 km·s1.

b) En el punto más alto se le transfiere el momento lineal adecuado para que describa una órbita circular a esa altura. ¿Qué velocidad tendrá el objeto en dicha órbita circular? (Madrid septiembre 2016 A)

S: a) 1,2·106 m; b) 2742 m/s

14. Una estrella gira alrededor de un objeto estelar con un periodo de 28 días terrestres siguiendo una órbita circular de radio 0,45·108 km. (Madrid septiembre 2016 B)

a) Determine la masa del objeto estelar.

b) Si el diámetro del objeto estelar es 200 km, ¿cuál será el valor de la gravedad en su superficie?

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15. Un asteroide de forma esférica y radio 3 km tiene una densidad de 3 g·cm3. Determine: (Madrid junio 2017 A) a) La velocidad de escape desde la superficie de dicho asteroide.

b) La velocidad de un cuerpo a una altura de 1 km sobre la superficie del asteroide si partió de su superficie a la velocidad de escape.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2 S: a) 3,88 m/s; b) 3,36 m/s

16. Una reciente investigación ha descubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la estrella Próxima Centauri, una enana roja cuya masa es un 12% de la masa del Sol y su radio es el 14% del radio solar. Mediante técnicas de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Determine: (Madrid junio 2017 B)

a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta suponiendo ésta circular.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa del Sol, MS = 1,99∙1030 kg; Radio del Sol,

RS = 7∙108 m

S: a) 1658 m/s2; b) 7,23·109 m

17. Se desea situar un satélite de 120 kg de masa en una órbita circular, alrededor de la Tierra, a 150 km de altura. a) Determine la velocidad inicial mínima requerida para que alcance dicha altura. (Madrid junio 2017 coincidentes A) b) Una vez alcanzada dicha altura, calcule la energía adicional necesaria para que orbite.

Datos: Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2 kg2; Masa de la

Tierra, MT = 5,97·10 24

kg

S: a) 1696 m/s; b) 3,66·109 J

18. Considérese una masa M = 50 kg situada en el origen de coordenadas. Bajo la acción del campo gravitatorio creado por dicha masa, determine: (Madrid junio 2017 coincidentes B)

a) El trabajo requerido para mover una masa m1 = 2 kg desde P1 = (1, 0, 0) m a P2 = (3, 4, 0) m.

b) La energía cinética de una partícula de masa m2 = 3 kg que, partiendo del reposo, se mueve desde el punto P3 = (9/2, 6, 0) m al punto P2.

S: a) Wcampo= 5,34·109 J; b) 6,67·1010 J

19. a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, obtenga una expresión para la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta esférico de radio R y masa M. (Madrid septiembre 2017 A)

b) Calcule la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio sabiendo que posee una masa de 3,3·1023 kg y una aceleración de la gravedad en su superficie de 3,70 m·s2.

S: a) ve= ; b) 4247 m/s

20. a) A partir de la ley fundamental de la dinámica, deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite que gira en una órbita circular de radio R alrededor de un planeta de masa M. (Madrid septiembre 2017 B)

b) Si un satélite de 21 kg gira alrededor del planeta Marte, calcule el radio de la órbita circular y la energía mecánica del satélite si su periodo es igual al de rotación del planeta.

Datos: Masa de Marte, MMarte = 6,42·1023 kg; Periodo de revolución del planeta, TMarte = 24,62 h; Constante de Gravitación

Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2

S: a) v= ; b) 2,57·107_m;__1,75·107_m

21. Dos partículas puntuales de masas m1 = 2 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas a lo largo del eje X. La masa m1 está en el origen, x1 = 0, y la masa m2 en el punto x2 = 5 m. (Madrid modelo 2018 A)

a) Determine el punto en el eje X en el que el campo gravitatorio debido a ambas masas es nulo.

b) ¿Cuál es el potencial gravitatorio debido a ambas masas en el punto para el que el campo gravitatorio es cero?

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22. Sea un sistema doble formado por una estrella y un planeta. El planeta gira alrededor de la estrella siguiendo una órbita circular con un periodo de 210 días y posee una masa de 5·106 M, donde M es la masa de la estrella. Determine:

a) El radio de la órbita del planeta. (Madrid modelo 2018 B)

b) El vector campo gravitatorio total en un punto entre la estrella y el planeta que dista 4,6·105 km del centro del planeta.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la estrella =1,3·10

30

kg S: a) 8,98·1010 m; b) 8,81·103 N /kg en la dirección estrella-planeta y sentido a la estrella

23. Dos masas m1 = 10 kg y m2 = 20 kg cuelgan del techo y están separadas 1 m de distancia. Determine: a) La fuerza que ejerce la masa m 1 sobre la m2, y el peso de la masa m2. (Madrid junio 2018 A) b) Explique razonadamente por qué el módulo de es mucho mayor que el módulo de .

Datos: Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la

Tierra, MT = 5,97·1024 kg

S: a) 1,33·108 N; 196,3 N (ambos en módulo); b) masa Tierra>>m1

24. Considérese un satélite de masa 103 kg que orbita alrededor de la Tierra en una órbita circular geoestacionaria. a) Determine el radio que tendría que tener la órbita para que su periodo fuese doble del anterior. (Madrid junio 2018 B) b) ¿Cuál es la diferencia de energía del satélite entre la primera y la segunda órbita?

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la Tierra, MT = 5,97·1024 kg

S: a) 6,7·107 m; b) 1,8·109 J

25. Una nave espacial transporta colonos en estado de hibernación a un planeta lejano. Por un error, la nave llega a su destino 10 años terrestres antes de lo previsto, por lo que el ordenador de a bordo decide situar la nave en una órbita circular a una distancia del centro del planeta r = 5000 km y orbitar en ella durante 10 años. (Madrid junio 2018 coincidentes A) a) ¿Cuántas vueltas da la nave en la órbita circular a lo largo de los 10 años?

b) ¿Cuál es el valor de la velocidad de escape en la superficie del planeta?

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa del planeta, MP = 6,42·1023 kg; Radio del

planeta, RP = 3397,5 km

S: a) 29377; b) 5019 m/s

26. Una masa de valor M = 4 kg se encuentra en el punto (4, 0) del plano xy (coordenadas expresadas en metros). Determine: a) El vector campo gravitatorio creado por la masa en el punto P (0, 3). (Madrid junio 2018 coincidentes B)

b) El trabajo necesario para llevar una masa m = 10 kg desde el origen de coordenadas al punto P.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2

S: a) 8,5·1012 6,4·1012 N/kg; b) Wcampo= 1,3·10 10

J

27. La masa de un objeto en la superficie terrestre es de 50 kg. Determine: (Madrid julio 2018 A) a) La masa y el peso del objeto en la superficie de Mercurio.

b) A qué altura sobre la superficie de Mercurio el peso del objeto se reduce a la tercera parte.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de Mercurio, MM = 3,30∙1023 kg; Radio de

Mercurio, RM = 2,44·106 m

S: a) 50 kg; 184,8 N; b) 1,78·106 m

28. Un satélite artificial de masa 712 kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 694 km. Calcule: a) La velocidad y el periodo del satélite en la órbita. (Madrid julio 2018 B)

b) La energía necesaria para trasladarlo desde su órbita hasta otra órbita circular situada a una altura de 1000 km sobre la superficie de la Tierra.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la Tierra, MT = 5,97∙1024 kg; Radio de la

Tierra, RT = 6,37·106 m

S: a) 7508 m/s; 5912 s; b) 8,40·108 J

29. a) Determine la masa de un planeta sabiendo que un satélite de 150 kg describe una órbita circular con un periodo de 30 min cuando se mueve con una velocidad de 2,3·104 m·s−1. (Madrid modelo 2019 A)

b) ¿Cuál es la energía total de dicho satélite?

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30. El planeta Cibeles tiene un radio RC = 8,5·103 km y gira en torno a una estrella, de nombre Aya, describiendo una órbita circular de radio R = 1,8·108 km. En dicho planeta, si se deja caer un objeto con velocidad inicial nula, desde una altura de 10 m, tarda 1,58 s en tocar el suelo. Cibeles, en 395 días terrestres, da una vuelta completa alrededor de la estrella Aya.

Determine: (Madrid modelo 2019 B)

a) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de Cibeles y el valor de su masa. b) El valor de la masa de la estrella Aya.

S: a) 8,01 m/s2; MC= 8,68·1024 kg; b) MA= 2,96·1030 kg

31. Una masa puntual m1 = 5 kg está situada en el punto (4, 3) m. (Madrid junio 2019 A)

a) Determine la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa m1 en el origen de coordenadas y el trabajo realizado al trasladar otra masa m2 = 0,5 kg desde el infinito hasta el origen de coordenadas.

b) Situadas las masas m1 y m2 en las posiciones anteriores, ¿a qué distancia del origen de coordenadas, el campo gravitatorio resultante es nulo?

S: a) _{N/kg; W=3,33·10}−11 _{J; b) 1,2 m}

32. El Amazonas 5 es un satélite geoestacionario de comunicaciones de 5900 kg puesto en órbita en septiembre de 2017. Determine: (Madrid junio 2019 B)

a) La altura sobre el ecuador terrestre del satélite y su velocidad orbital.

b) La fuerza centrípeta necesaria para que describa la órbita y la energía total del satélite en dicha órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la Tierra, MT = 5,97∙10 24 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·10 6 m S: a) 3,58·107 m; 3071 m s; b) 1318,4 N; − ,8 1010 J

33. La nave Apolo XI, de masa m = 1,6·104 kg, en su misión de llevar al ser humano a la Luna, se situó en una órbita circular a 250 km de altura sobre la superficie lunar, para desde ahí enviar el denominado módulo lunar a la superficie de la Luna. Determine: (Madrid junio 2019 coincidentes A)

a) La velocidad del Apolo XI en su órbita circular y su energía mecánica total. b) La velocidad de escape y el valor de la gravedad en la superficie de la Luna.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la Luna, ML = 7,35·1022 kg; Radio de la

Luna, RL = 1737 km

S: a) 1571 m s; −1,97 1010 J; b) 2221 m/s; 1,62 m/s2

34. Una masa puntual A, MA = 3 kg, se encuentra en el plano xy, en el origen de coordenadas. Si se sitúa una masa puntual B, MB = 5 kg, en el punto (2, −2) m, determine: (Madrid junio 2019 coincidentes B)

a) La fuerza que ejerce la masa A sobre la masa B.

b) El trabajo necesario para llevar la masa B del punto (2, −2) m al punto (2, 0) m debido al campo gravitatorio creado por la masa A.

S: a) _{N; b) 1,47·10}−10_J

35. Los satélites LAGEOS son una serie de satélites artificiales diseñados para proporcionar órbitas de referencia para estudios geodinámicos de la Tierra. Consisten en un cuerpo esférico de masa m = 405 kg que se mueve en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 5900 km sobre su superficie. Determine: (Madrid julio 2019 A)

a) El periodo de este tipo de satélites.

b) La energía requerida para que, desde la superficie de la Tierra, pasen a describir dicha órbita.

Tierra, RT = 6,37·106 m

S: a) 1,35·104 s; b) 1,87·1010 J

36. El satélite Europa describe una órbita circular alrededor de Júpiter de 671100 km de radio. Teniendo en cuenta que su periodo de revolución es de 3,55 días terrestres, determine: (Madrid julio 2019 B)

a) La masa de Júpiter.

b) La velocidad de escape desde la superficie de Júpiter.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Radio de Júpiter, RJúpiter= = 69911 km

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37. Una nave espacial tripulada se encuentra describiendo una órbita circular geoestacionaria alrededor de la Tierra. Determine: (Madrid julio 2019 coincidentes A)

a) El radio de la órbita y la velocidad lineal de la nave.

b) El astronauta recibe la orden de cambiar de órbita y pasar a otra, también circular, de radio el doble de la actual. ¿Cuál será la nueva velocidad lineal de la nave? Justifique la respuesta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de la Tierra, MT = 5,97∙1024 kg

S: a) 4,22·107 m; 3071 m/s; b) 2172 m/s

38. Considérese un cuerpo de masa m=103 kg bajo la acción del campo gravitatorio terrestre.

a) Defina la velocidad de escape de ese cuerpo. Determine la velocidad de escape de un cuerpo que está en reposo a una distancia R=2·RT del centro de la Tierra. (Madrid julio 2019 coincidentes B)

b) La energía adicional requerida para que el cuerpo que se encuentra en una órbita circular de radio R=2·RT escape de la acción del campo gravitatorio terrestre.

Tierra, RT = 6,37·106 m

S: a) 7906 m/s; b) 1,56·1010 J

39. El satélite UARS se puso en órbita en 1991 para estudiar la entrada y salida de energía en la atmósfera superior. Su masa era de 5800 kg y realizaba 15 órbitas diarias. En 2005, el satélite se quedó sin combustible y dejó de operar. Calcule: a) La altura sobre la superficie de la Tierra de dicho satélite cuando estaba en órbita. (Madrid modelo 2020 A) b) La energía total del satélite cuando estaba en órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Radio de la Tierra, RT = 6371 km; Masa de la Tierra,

MT = 5,97·1024 kg

S: a) 5,72·105 m; b) −1,66 1011 J

40. Unos astrónomos han descubierto un nuevo sistema solar, formado por una estrella de masa 6,0·1030 kg, que desempeña el papel del sol, y un planeta que gira en torno a ella en una órbita circular, tardando 3 años terrestres en dar una vuelta completa. (Madrid modelo 2020 B)

a) Determine la distancia a la que se encuentra el planeta del sol.

b) Si en la superficie del planeta la aceleración de la gravedad es 15 m·s−2 y la velocidad de escape es de 11,2 km·s−1, ¿cuánto valen la masa y el radio del planeta?

S: a) 4,49·1011 m; b) 3,93·1024 kg; 4,18·106 m

41. Un satélite sigue una órbita circular sincrónica (es decir, del mismo período que el de rotación del planeta) de radio 1,59·105 km en torno a un planeta de masa 1,90·1027 kg. Calcule: (Madrid julio 2020 A)

a) La velocidad del satélite en la órbita.

b) El periodo de rotación del planeta sobre su eje.

S: a) 2,82·104 m/s; b) 3,54·104 s

42. Se tiene un planeta de masa 1,95·1025 kg y radio 5500 km. Determine: (Madrid julio 2020 B) a) El módulo de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

S: a) 43 m/s2; b) 2,17·104 m/s

43. En un capítulo de la serie de ficción Stargate, los protagonistas llegan a un planeta desconocido. La información recabada por nuestros protagonistas antes de su llegada les ha permitido deducir que la masa de este planeta es la misma que la de la Tierra. Sin embargo, no han podido calcular su radio. Para ello, el físico del equipo de investigación con la ayuda de un péndulo simple, establece que la relación entre la gravedad en la superficie de la Tierra, gT, y la del planeta, gP, es gP = 2gT. Calcule: (Madrid julio 2020 coincidentes A)

a) El radio de dicho planeta.

b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Radio de la Tierra, RT = 6370 km; Masa de la Tierra,

MT = 5,97·1024 kg

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44. Un satélite de 6000 kg de masa describe una órbita circular de radio 6,97·106 m alrededor de la Tierra. Si su periodo de revolución es de 96,5 minutos, calcule: (Madrid julio 2020 coincidentes B)

a) La constante de gravitación universal G. b) La energía del satélite en dicha órbita.

Dato: Masa de la Tierra, MT = 5,98·1024kg

S: a) 6,69·10‒11 N·m2/kg2; b) ‒1,72·1011 J

45. Calisto (el tercer satélite con mayor masa del sistema solar), que posee una densidad de 1,83 g·cm‒3 y un radio de 2410 km, da una revolución alrededor del planeta Júpiter cada 16,89 días. (Madrid septiembre 2020 A)

a) Calcule la masa del satélite y la aceleración de la gravedad en su superficie.

b) Obtenga la energía cinética y la energía mecánica de Calisto en su órbita circular alrededor del planeta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de Júpiter, MJup = 1,90·1027 kg

S: a) 1,07·1023 kg; 1,23 m/s2; b) Ec= 3,57·1030 J; Ep= ‒3,57 1030 J

46. La sonda espacial Mars Reconnaissance Orbiter consiguió en septiembre de 2006 situarse en una órbita circular en torno al planeta Marte a 290 km de altura sobre la superficie para realizar un mapeo de su superficie. Tras utilizar combustible en la maniobra de aproximación, la sonda actualmente tiene una masa de 1031 kg. (Madrid septiembre 2020 B)

a) Halle el periodo de revolución de la sonda espacial y su velocidad orbital alrededor de Marte.

b) Obtenga la energía mínima necesaria que habría que suministrar al satélite para que escape del campo gravitatorio marciano.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·1011 N·m2·kg2; Masa de Marte, MMarte = 6,42·10 23

kg; Radio de Marte, RMarte = 3,39·106 m

(10)

Unidad 2. Electricidad

EvAU MADRID ELECTRICIDAD 2015

1. Tres cargas puntuales, q1 = 3 μC, q2 = 1 μC y una tercera carga desconocida q3, se encuentran en el vacío colocadas en los puntos A (0, 0), B (3, 0) y C (0, 4), respectivamente. El potencial que crean las tres cargas en el punto P (3, 4) es V=10650 V. Calcule, teniendo en cuenta que las coordenadas vienen dadas en metros: (Madrid modelo 2015 A)

a) El valor de la carga q3.

b) La fuerza que experimentaría una carga de 7 μC colocada en el punto P, debido a la presencia de las otras tres.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N·m2·C2

S: a) 1·106 C; b)

2. Dos cargas de 2 nC se sitúan en los vértices de la base de un triángulo equilátero de lado 2 cm que se encuentra situada sobre el eje de abscisas. El punto medio de la base está en el origen de coordenadas y el vértice superior en el semieje positivo de ordenadas. Determine: (Madrid junio 2015 B)

a) El campo eléctrico y el potencial eléctrico creado por las cargas en el vértice libre.

b) La fuerza que las cargas positivas ejercerían sobre una carga de 2 nC situada en el vértice libre del triángulo.

S: a) ; V= 1,8·103_{V; b)}

3. Tres cargas iguales, cada una de 1 μC, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule: a) La energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas. (Madrid septiembre 2015 B)

b) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado.

S: a) Ep= 0,18 J; b) V= 4,64·105 V

4. Una carga puntual, q = 3 μC, se encuentra situada en el origen de coordenadas, tal y como se muestra en la figura. Una segunda carga q1 = 1 μC se encuentra inicialmente en el punto P1(1, 0) m y, recorriendo la espiral de la figura, llega al punto P2(0, 2) m. Determine: (Madrid modelo 2016 A)

a) La diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2.

b) El trabajo realizado para llevar la carga q1 del punto P1 al P2.

S: a) V= 1,35·104 V; b) W=1,35·102 J

5. Dos cargas puntuales, q1 = 3 μC y q2 = 9 μC, se encuentran situadas en los puntos (0, 0) cm y (8, 0) cm. Determine: a) El potencial electrostático en el punto (8, 6) cm. (Madrid junio 2016 A)

b) El punto del eje X, entre las dos cargas, en el que la intensidad del campo eléctrico es nula.

S: a) V=1,62·106 V; b) 0,029 m

6. Dos esferas pequeñas tienen carga positiva. Cuando se encuentran separadas una distancia de 10 cm, existe una fuerza repulsiva entre ellas de 0,20 N. Calcule la carga de cada esfera y el campo eléctrico creado en el punto medio del segmento que las une si: (Madrid septiembre 2016 B)

a) Las cargas son iguales y positivas.

b) Una esfera tiene cuatro veces más carga que la otra.

S: a) q=4,71·107 C; E= 0 N/C; b) q=2,36·107 C; E= 2,55·106 N/C

7. En el semiespacio definido por z ≥ 0 existe un campo eléctrico uniforme dado por N·C1. Determine: a) La diferencia de potencial entre los puntos P1(1, 2, 3) m y P2(2, 4, 3) m. (Madrid junio 2017 coincidentes A) b) El trabajo requerido para llevar una carga q = 5 μC, desde el punto P2(2, 4, 3) m al P3(1, 1, 1) m.

(11)

8. Dos cargas de +5 nC están separadas una distancia de 4 cm de acuerdo a la figura adjunta. Calcule: (Madrid septiembre 2017 A)

a) El campo eléctrico en el punto A y en el punto B creado por ambas cargas. b) El potencial eléctrico en el punto A y en el punto B, y el trabajo que hay que realizar sobre una carga de +3 nC para desplazarla desde el punto A al punto B.

S: a) N/C; N/C; b) VA=2250 V; VB=4500 V; Wcampo= 6,75·10

6 J

9. Considérese una carga puntual q = 5 nC situada en el centro de una esfera de radio R = 10 cm. Determine: a) El flujo del campo eléctrico a través de la superficie de la esfera. (Madrid modelo 2018 A)

b) El trabajo que es necesario realizar para traer una carga de 2 nC desde el infinito hasta una distancia de 10 cm del centro de la esfera.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K=1/(4πεo)=9·109 N·m2·C2

S: a) 565,5 V·m; b) Wcampo= 9·107 J

10. Considérese una carga puntual q1 = 6 C, situada en el origen de coordenadas. Determine: (Madrid junio 2018 B) a) El trabajo necesario para llevar una carga q2 = 10 C desde una posición muy alejada, digamos x= , hasta la posición x = 10 m.

b) El punto entre ambas cargas en el que una carga q estaría en equilibrio.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K=9·109 N·m2·C2

S: a) Wcampo= 5,4·10 2

J; b) 4,37 m de q1

11. Dos cargas q1 = 4 nC y q2 = 4 nC están situadas en los puntos P1 (3, 4) y P2 (3, 4), respectivamente, del plano xy (coordenadas expresadas en metros). Determine: (Madrid junio 2018 coincidentes A)

a) El vector campo eléctrico en el origen de coordenadas. b) El potencial electrostático en el origen de coordenadas.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K=1/(4πεo)=9·109 N·m2·C2

S: a) 1,73 N/C; b) 0 V

12. Dos cargas eléctricas, positivas e iguales, situadas en los puntos (2, 2) m y (2, 2) m generan un campo eléctrico en el punto (1, 1) m de módulo E = 5·103 N·C1; determine: (Madrid julio 2018 A)

a) El valor de las cargas eléctricas y el vector campo eléctrico en el punto (1, 1) m.

b) El trabajo necesario para traer una carga de μC desde el infinito hasta el punto (1, 1) m.

S: a) 1,25·106 C; +3,5·103_{+ 3,5·10}3_{N/C; con los ejes girados:}_{+5000 N/C; b) W}

campo= 2,12·102 J EvAU MADRID ELECTRICIDAD 2019

13. a) Defina el flujo de una magnitud vectorial. Enuncie el teorema de Gauss. (Madrid modelo 2019 B)

b) Considérese una carga puntual, q, en el origen de coordenadas. Determine la expresión del flujo del campo eléctrico que crea dicha carga a través de una superficie esférica de radio R centrada en el origen. Utilice el teorema de Gauss para determinar el valor de ese campo eléctrico.

S: b) E=q/(4··0·R2)

14. Dos cargas puntuales, con valores q1 = −4 nC y q2 = +2 nC respectivamente, están situadas en los puntos P1 (−5, 0), y P2 (3, 0) (coordenadas en centímetros). Determine: (Madrid junio 2019 B)

a) El campo eléctrico y el potencial eléctrico en el origen de coordenadas.

b) En qué punto situado en el segmento que une las dos cargas el potencial eléctrico se anula

S: a) N C; V= −1 0 V; b) a 5,33 10−2 m de q1; punto (0,33, 0) cm

15. Dos partículas iguales de carga Q = −3 nC se encuentran fijas en los puntos (0, 3) y (0, −3) m del plano xy. a) Determine el campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto (4, 0) m. (Madrid junio 2019 coincidentes A)

b) Si se deja una partícula en reposo de carga q = 2 nC y masa m = 10 g en el punto (4, 0), ¿cuál será su velocidad cuando pase por el origen de coordenadas?

S: a) N/C; b) 1,7·10−3 m/s

(12)

16. Una carga q1 = 10 μC está situada en el origen de coordenadas, mientras que otra carga q2 = 20 μC está situada en el punto (3, 0) m. Calcule: (Madrid julio 2019 A)

a) El punto del espacio en el que el campo eléctrico total generado por ambas cargas es nulo.

b) El trabajo que realiza el campo para transportar un electrón desde el punto (3, 4) m hasta el punto (2, 0) m.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10−19 C; Constante de la Ley de Coulomb, K=9·109 N·m2·C2

S: a) (1, 4, 0) m; b) − ,6 10−14 J

17. En una superficie esférica de radio R=1 m se encuentra uniformemente distribuida una carga Q= +3 C. Determine: a) El potencial y el campo electrostático en un punto que diste del centro de la esfera r = 2R.

b) El potencial y el campo electrostático en el centro de la esfera. (Madrid julio 2019 coincidentes B)

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K=1/(4π0)=9·109 N·m2·C2

S: a) 1,35·1010 V; 6,75·109 N/C; b) 2,7·1010 V; 0 N/C

18. Dos cargas puntuales de +10 nC y −10 nC se encuentran situadas en el plano xy en las posiciones (0, −6) μm y (0, 6) μm, respectivamente. Calcule: (Madrid modelo 2020 B)

a) El campo eléctrico y el potencial en la posición (8, 0) μm.

b) El trabajo realizado por el campo al trasladar una carga de +5 nC desde el punto (8, 0) μm hasta la posición (8, 6) μm .

S: a) _{N/C; 0 V; b) 2,5·10}−2_J

19. Se tienen cuatro cargas cuyo valor absoluto es |q| = 1·10‒6 C, situadas en los vértices de un cuadrado de lado a = 30 cm, que está en el plano xy. Dos de ellas son positivas y están en los puntos (0, 0) y (a, a). Las otras dos son negativas y están situadas en los puntos (0, a) y (a, 0). Calcule: (Madrid julio 2020 B)

a) La fuerza que se ejerce sobre la carga +q situada en el punto (a, a) debida a las otras tres. b) La energía potencial de la carga situada en el origen de coordenadas debida a las otras tres.

S: a) _{N; b) ‒3,88·10}‒2_J

20. Dos cargas puntuales de valores q1 = 3 nC y q2 = ‒5 nC están situadas en los puntos (0, 6) m y (8, 6) m, respectivamente. Calcule: (Madrid julio 2020 coincidentes B)

a) El campo eléctrico en el origen de coordenadas.

b) El trabajo realizado por el campo para trasladar un electrón desde el origen de coordenadas hasta el punto (4, 3) m.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K=9·109 N·m2·C2; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10−19 C

S: a) N/C; b) ‒5,76·10‒19 J

21. Dos cargas eléctricas puntuales A y B de valores qA = +5 nC y qB = ‒5 nC, están situadas en el plano xy en las posiciones (‒4, 0) cm y (4, 0) cm, respectivamente. Determine el potencial eléctrico y el campo eléctrico creado por esta distribución de cargas en: (Madrid septiembre 2020 A)

a) El origen de coordenadas. b) El punto del plano (0, 3) cm.

(13)

Unidad 3. Magnetismo

EvAU MADRID MAGNETISMO 2015

1. Dos hilos conductores A y B, rectilíneos, indefinidos y paralelos se encuentran situados en el vacío separados entre sí 25 cm y por ellos circulan, en sentidos opuestos, corrientes de intensidades 1 A y 2 A, respectivamente. Calcule: (Madrid modelo 2015 B)

a) La fuerza magnética que experimentan 2 m del hilo A debida a la presencia del otro conductor, indicando su sentido. b) Los puntos del plano que contiene los hilos A y B donde el campo magnético creado por ambos hilos es nulo.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2

S: a) _{; b) 0,25 m fuera de la zona entre ambos conductores (a la izquierda de A)}

2. Cuatro conductores muy largos y paralelos transportan intensidades de corriente iguales, de valor 5 A. La disposición de los conductores y sus sentidos de circulación de la corriente vienen indicados en la figura (A y B, con cruces, conducen la corriente hacia dentro del papel mientras que C y D, con puntos, lo hacen hacia fuera). El lado del cuadrado mide 0,2 m. Calcule:

a) El vector campo magnético producido por el conductor A en el punto P, situado en el centro del cuadrado. (Madrid septiembre 2015 A)

b) El vector campo magnético producido por los cuatro conductores en el centro del cuadrado.

S: a) _{; b)}

3. Considere un hilo rectilíneo muy largo dirigido a lo largo del eje Y, por el que circula una intensidad de corriente I = 3 A. A una distancia d = 1 m del hilo, una carga q = 5 μC se mueve inicialmente a la velocidad m·s1, tal y como se indica en la figura. Determine: a) El valor del campo magnético en el punto en el que se encuentra inicialmente la carga q y la fuerza que ésta experimenta. (Madrid junio 2015 coincidentes A)

b) La carga que habría que situar en (d/2, 0, 0) para compensar la fuerza magnética que ejerce el hilo sobre q en el mismo instante inicial.

Datos: Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2. Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N·m2·C2

S: a) _; _{; b) q= 3,33·10}16_C

4. Una barra metálica, inicialmente coincidente con el eje Y, se desplaza a lo largo del sentido positivo del eje X con una velocidad constante v = 2 m·s1. En toda esta región del espacio existe un campo magnético uniforme, dirigido en el sentido positivo del eje Z, de valor B = 104 T. Calcule: (Madrid modelo 2016 B)

a) La fuerza magnética que experimenta un electrón de la barra metálica.

b) El campo eléctrico necesario para compensar la mencionada fuerza magnética.

Dato: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60·1019 C

S: a) _{; b)}

5. Tres conductores rectilíneos, largos y paralelos, que transportan una corriente de 5 A cada uno de ellos, pasan a través de los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado, tal y como se muestra en la figura. Suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en el conductor 1, determine: (Madrid junio 2017 A)

a) La fuerza por unidad de longitud sobre el conductor 3 debida a los conductores 1 y 2. b) El campo magnético en el punto medio del segmento que une los conductores 1 y 2.

Datos: Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2

S: a) 8,66·105 N/m; b) 1,15·105 T

6. Un protón se desplaza con una velocidad m·s1 en el seno de un campo eléctrico definido por la expresión 100 V·m1. Determine: (Madrid junio 2017 B)

a) El campo magnético necesario, contenido en el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento rectilíneo y uniforme.

b) El radio de giro que tendría dicho protón en una región donde solamente existiera el campo magnético del apartado anterior.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6∙1019 C; Masa del protón, mp = 1,67∙10−27 kg

(14)

7. Dos hilos indefinidos y paralelos separados una distancia d transportan corrientes de igual intensidad I y en el mismo sentido. Determine: (Madrid junio 2017 coincidentes B)

a) El módulo, dirección y sentido de los campos magnéticos que cada uno de los hilos crea en el otro e ilústrelos en una figura.

b) La distancia d a la que deben estar los hilos para que la fuerza por unidad de longitud entre ellos sea de 105 N·m1 sabiendo que la intensidad que circula por los hilos es I = 5 A.

Datos: Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2

S: a) 2·107 I/d T; b) d=0,5 m

8. Una partícula alfa (núcleo de helio) inicialmente en reposo se acelera a través de una diferencia de potencial de 5 kV, y entra en una región con un campo magnético de 0,3 T perpendicular a su velocidad, como muestra la figura. Determine al penetrar en el campo magnético: (Madrid septiembre 2017 B)

a) La energía cinética adquirida por la partícula y el módulo de su velocidad.

b) La fuerza magnética que experimenta la partícula y el radio de curvatura de la trayectoria.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60·1019 C; Masa de la partícula alfa, mα = 6,68·1027 kg

S: a) Ec=1,6·1015 J; v=6,92·105 m/s; b) F=6,64·1014 N; R=4,8 cm

9. Por un hilo conductor rectilíneo situado a lo largo del eje x y que pasa por el punto (0, 0, 0), circula una corriente eléctrica de intensidad I = 10 A en el sentido negativo del eje x (coordenadas expresadas en metros).

a) Calcule el vector campo magnético debido al hilo en el punto P (0, 5, 0). (Madrid junio 2018 coincidentes B)

b) Si una carga Q = 3 mC pasa por el punto P (0, 5, 0) con una velocidad = 4 m·s−1, ¿cuál es el vector fuerza magnética que actúa sobre la carga?

S: a) 4·107 T; b) 4,8·109 +4,8·109 N

10. Dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z se encuentran situados en el plano yz. Uno de los hilos pasa por el punto (0, 5, 0) cm y su corriente tiene una intensidad I1= 30 A y sentido z positivo. El otro conductor pasa por el punto (0, 5, 0) cm y su intensidad de corriente I2 tiene sentido z negativo. Sabiendo que el módulo del campo magnético en el punto (0, 0, 0) es 2,8·104 T, calcule: (Madrid julio 2018 B)

a) El valor de la intensidad I2 y el vector campo magnético en el punto (0, 10, 0) cm.

b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que pasa por el punto (0, 5, 0) cm debida a la presencia del otro, indicando su dirección y sentido.

S: a) 40 A; +1,2·104 T ; b) 2,4·103 N/m (repulsión)

11. a) Enuncie el teorema de Ampère. (Madrid modelo 2019 A)

b) Un hilo conductor indefinido situado a lo largo del eje z transporta una corriente de 20 mA en sentido positivo del eje. Calcule la fuerza magnética experimentada por un electrón que lleva una velocidad de 105 m·s1 en la dirección positiva del eje y cuando se encuentra en la posición (0, 5, 0) m.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·1019 C; Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2

S: b) 1,28·1023 N

12. Se tienen dos hilos conductores rectilíneos, indefinidos y paralelos al eje z que cortan al plano xy en los puntos O (0, 0, 0) y A (2, 2, 0) cm. Por cada cable circula una corriente de 5 A en el sentido positivo del eje z. Calcule:

a) El vector campo magnético en el punto P (0, 2, 0) cm y en el punto Q (1, 1, 0) cm. (Madrid junio 2019 A)

b) La fuerza magnética por unidad de longitud que actúa sobre el conductor que pasa por el punto A (2, 2, 0) cm debida a la presencia del otro, indicando su dirección y sentido.

(15)

13. Un positrón, partícula idéntica al electrón pero con carga positiva, es acelerado mediante una diferencia de potencial ∆V para posteriormente introducirse en una región del espacio en la que hay un campo magnético B = 5 μT perpendicular a la velocidad del positrón. Sabiendo que el radio de la órbita circular que describe el positrón es 50 cm, obtenga:

a) El valor de la diferencia de potencial ∆V utilizada para acelerar el positrón. (Madrid julio 2019 B) b) El valor de la frecuencia angular de giro del positrón en dicha órbita.

Datos: Valor absoluto de la carga del positrón, e =1,6·10−19 C; Masa del positrón, mp =9,1·10 −31

kg

S: a) −0,55 V; b) 8,8 105 rad/s

14. Un electrón e−, situado inicialmente en el origen de coordenadas, se mueve con una velocidad inicial, m·s−1, en presencia de un campo magnético uniforme T y de un campo eléctrico uniforme N·C−1

. Determine: a) La fuerza total sobre el electrón debida a los campos y , en el instante inicial. (Madrid modelo 2020 A)

b) La diferencia de potencial entre los puntos (0, 0, 0) y (2, 0, 0) m, indicando el punto que está a mayor potencial. ¿Qué trabajo realiza la fuerza total que actúa sobre el electrón para desplazarlo desde el origen al punto (2, 0, 0) a lo largo del eje x?

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·1019 C

S: a) _{N; b) 2 V; 3,2·10}−19 J

15. Dos corrientes eléctricas rectilíneas indefinidas, I1 e I2, dirigidas según el eje z cortan el plano xy por los puntos (0, 0) m y (8, 0) m, respectivamente. La corriente I1 lleva sentido negativo y tiene un valor de 3 A, mientras que la corriente I2 lleva sentido positivo y tiene un valor de 5 A. Calcule: (Madrid julio 2020 coincidentes A)

a) El campo magnético en el punto (0, 6) m.

b) La fuerza magnética que experimentará un electrón que pase por el punto (0, 6) m con una velocidad _.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·1019 C; Permeabilidad magnética del vacío, μ0 = 4π∙107 N·A2

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Unidad 4. Inducción electromagnética

EvAU MADRID INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 2015

1. Una varilla conductora desliza sin rozamiento con una velocidad de 0,2 m·s1 sobre unos raíles también conductores separados 2 cm, tal y como se indica en la figura. El sistema se encuentra en el seno de un campo magnético constante de 5 mT, perpendicular y entrante al plano definido por la varilla y los raíles. Sabiendo que la resistencia del sistema es de 4  determine: (Madrid junio 2015 A)

a) El flujo magnético en función del tiempo a través del circuito formado por la varilla y los raíles, y el valor de la fuerza electromotriz inducida en la varilla.

b) La intensidad y el sentido de la corriente eléctrica inducida. S: a) = 104·xo+2·105·t Wb; b) │I│=5·106 A (sentido antihorario)

2. Un campo magnético variable en el tiempo de módulo B=2·cos(3t/4) T, forma un ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de radio r = 5 cm. La resistencia total de la bobina es = 100 Ω. Determine:

a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo. (Madrid junio 2016 B) b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el instante t = 2 s. S: a) = 0,136·cos(3··t/4) Wb; b) = 0,905 V; │I│= 9,05·103 A

3. La figura de la derecha representa el flujo magnético a través de un circuito formado por dos raíles conductores paralelos separados 10 cm que descansan sobre el plano XY. Los raíles están unidos, en uno de sus extremos, por un hilo conductor fijo de 10 cm de longitud. El circuito se completa mediante una barra conductora que se desplaza sobre los raíles, acercándose al hilo conductor fijo, con velocidad constante. Determine: (Madrid septiembre 2016 A)

a) La fuerza electromotriz inducida en el circuito.

b) La velocidad de la barra conductora si el circuito se encuentra inmerso en el seno de un campo magnético constante μT.

S: a) =2·107 V; b) v= 0,01 m/s

4. Una varilla conductora puede deslizar sin rozamiento a lo largo de dos alambres conductores paralelos, separados una distancia de L = 5 cm, que cierran un circuito a través de una resistencia de = 150 Ω. Este circuito forma una espira cerrada que se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme, tal y como se muestra en la figura adjunta. Inicialmente la varilla se encuentra a una distancia d = 10 cm de la resistencia. Calcular para el instante t = 0,2 s el flujo magnético que atraviesa la espira y la corriente que circula por ella en los siguientes casos: (Madrid modelo 2018 B)

a) El campo magnético es constante e igual a 20 mT y la varilla se desplaza hacia la derecha con una velocidad de 4 m/s.

b) La varilla está inmóvil y el campo magnético varía con el tiempo de la forma B = 5·t3 (B expresado en teslas y t en segundos).

S: a) 9·104 Wb; │I│= 2,67·105 A; b) 2·104 Wb; │I│= 2·105 A

5. Sea un campo magnético uniforme , con Bo = 0,3 T. En el plano xy hay una espira rectangular cuyos lados miden, inicialmente, a = 1 m y b = 0,5 m. La varilla de longitud b se puede desplazar en la dirección del eje x, tal y como se ilustra en la figura. Determine, para t = 2 s, el flujo a través de la espira y la fuerza electromotriz inducida en la misma si,

a) La varilla se desplaza con velocidad constante de 3 m·s1.

b) Partiendo del reposo la varilla se desplaza con aceleración constante de 2 m·s2. (Madrid junio 2018 A)

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6. Una bobina circular está formada por un hilo conductor de 25 cm de longitud que se enrolla en 5 vueltas, y cuya resistencia total es de 10 Ω. La bobina está situada en el plano xy con su centro en el origen de coordenadas cartesiano. En la región hay un campo magnético variable en el tiempo mT. Calcule en el instante t = 0,25 s: a) El flujo magnético a través de la bobina. (Madrid junio 2019 coincidentes B)

b) La fuerza electromotriz y la corriente eléctrica inducidas en la bobina. S: a) 7,03·10−7 Wb; b) =2,2·10−6 V; 2,2·10−7 A

7. Una espira cuadrada, de lado a=10 cm y resistencia = 1 Ω, está inmersa en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme BO=0,3 T. Determine: (Madrid julio 2019 coincidentes A)

a) La fuerza electromotriz inducida y la corriente que se induce, si la espira gira con velocidad angular constante de 10 rpm respecto de un eje que pasa por su centro y es paralelo a dos de sus lados y el campo magnético es perpendicular al eje de giro (ver figura a).

b) El vector fuerza que actúa sobre cada uno de los lados si el campo magnético es paralelo al eje de giro, la espira está en reposo y circula por ella una corriente de I=0,5 A (ver figura b).

S: a)  (t)= π 10−3 sen(π 3 t) V; I (t)= π 12·10−3 sen(π 3 t) A; b) N (en el lado superior); _{N (en el lado inferior)}

8. Una barra conductora, de 30 cm de longitud y paralela al eje y, se mueve en el plano xy con una velocidad en el sentido positivo del eje x. La barra se mueve sobre unos rieles conductores paralelos en forma de U (ver figura). Perpendicular al plano, hay un campo magnético uniforme 10‒3 T. Halle la fuerza electromotriz inducida en la barra en función del tiempo en los siguientes casos: (Madrid julio 2020 A)

a) La velocidad de la barra es constante e igual a 102 m·s‒1.

b) La barra parte del reposo y su aceleración es constante e igual a 5 m·s‒2.

S: a) ‒0,03 V; b) ‒1,5 10‒3·t V

9. Una espira circular de radio 6 cm, inicialmente situada en el plano xy, está inmersa en el seno de un campo magnético homogéneo dirigido hacia el sentido positivo del eje z. Calcule, para el instante t = 7 ms, el flujo del campo magnético en la espira y la fuerza electromotriz inducida en los siguientes casos: (Madrid septiembre 2020 B)

a) El módulo del campo magnético varía de la forma B = 3t2 (B expresado en teslas y t en segundos).

b) El módulo del campo magnético es constante e igual a B = 8 mT, y la espira gira con una velocidad angular de 60 rad·s‒1, alrededor del eje y.

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Unidad 5. Ondas

EvAU MADRID ONDAS 2015

1. Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expresión matemática: y(x, t) = sen(7t − 4x) , en unidades SI. Determine: (Madrid modelo 2015 B)

a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda; b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.

S: a) vp=1,75 m/s; vvib máx=14 m/s; b) T=0,9 s

2. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido de las x positivas. A partir de la información contenida en las figuras, y justificando su respuesta: (Madrid junio 2015 B) a) Determine el período, la frecuencia, el número de onda y la longitud de onda.

b) Escriba la expresión de la función de onda. S: a) T= 2 s, f=0,5 Hz; k=20 rad/m; =0,1 m; b) y(x, t)=0,05·sen(·t20·x+)

3. Una onda elástica transversal de amplitud 3 cm se propaga en la dirección X, sentido negativo, a una velocidad de 5 cm∙s−1_{. La velocidad máxima de vibración es de 6, 8 cm∙s}−1_{y se sabe que, en el origen y en el instante t = 0, la elongación es} positiva y máxima. Determine: (Madrid junio 2015 coincidentes A)

a) La expresión de la función de onda.

b) El tiempo mínimo requerido para que en el origen se vuelva a alcanzar la elongación positiva máxima. S: a) y(x, t)=0,03·sen(2,09·t+41,87·x+/2); b) T= 3 s

4. Una onda armónica transversal de 2 mm de amplitud y 250 Hz de frecuencia, se propaga con una velocidad de 250 m·s-1 en el sentido positivo del eje X. (Madrid modelo 2016 A)

a) Determine el período, la longitud de onda, número de onda y la frecuencia angular.

b) Si en el instante inicial la elongación de un punto de abscisa x= 3 m es y= 2 mm, determine, en el mismo instante, el valor de la elongación de un punto de abscisa x = 2,75 m.

S: a) T=4·103 s; =1 m; k=2 m1; =500 rad/s; b) y(x, t) = 0,002·sen (500·t  2·x + 3/2) m; y(0, 2,75)=0

5. Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto instante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Además, se comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,1 5 s y que la velocidad máxima de un punto de la cuerda es de 0, 4π m s1. Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, y en t = 0 la velocidad del punto x = 0 es máxima y positiva, determine: (Madrid junio 2016 B)

a) La función de onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de cualquier punto de la cuerda. S: a) y(x, t) = 0,06·sen (4·t  2·x) m; b) vp=2 m/s; amáx=9,47 m/s2

6. Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 5 m·s1 y con una frecuencia angular de π 3 rad s1. Si en el instante inicial la elongación en el origen de coordenadas es 3 π cm y la velocidad de oscilación es 1 cm·s1, determine: (Madrid septiembre 2016 B)

a) La función de onda.

b) La velocidad de oscilación en el instante inicial a una distancia del origen igual a media longitud de onda. S: a) y(x, t) = 1,35·102·sen (/3·t /15·x + 3/4) m; b) 0,01 m/s

7. Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del eje X con una velocidad de 10 m·s1 y con una frecuencia angular de /3 rad·s1. Si en el instante inicial la elongación en el origen de coordenadas es 6/ cm y la velocidad de oscilación es 1 cm·s1, determine: (Madrid junio 2017 B)

a) La expresión matemática que representa la onda.

b) La velocidad de oscilación en el instante inicial en el punto situado en x = /4. S: a) y(x, t) = 0,021·sen (/3·t + /30·x + 1,11); b) 1,9·102 m/s

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8. Una onda armónica transversal de amplitud A= 0, m, longitud de onda λ= 0,1 m y frecuencia f= 15 kHz se propaga en el sentido positivo del eje X. En el origen, x= 0, y en el instante inicial, t= 0, la velocidad de oscilación es máxima con sentido negativo. Determine: (Madrid junio 2017 coincidentes A)

a) La expresión matemática de la onda.

b) La elongación del punto x= 0,3 m en el instante t= 2 s. S: a) y(x, t) = 0,2·sen (3·104·t  20·x + ) m; b) 0 m

9. La perturbación asociada a una onda viene descrita por la expresión ψ (x, t)= 108 sen( 765t + 1,85x), donde ψ y x se expresan en metros y t en segundos. (Madrid septiembre 2017 A)

a) Indique su dirección y sentido de propagación y calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Obtenga la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de oscilación. S: a) dirección eje x en el sentido de x negativas =3,40 m; f=440 Hz; b) 1500 m/s; vmáx=2,76·10

5 m/s

10. En el extremo izquierdo de una cuerda tensa y horizontal se aplica un movimiento armónico simple perpendicular a la cuerda, y como consecuencia, por la cuerda se propaga una onda transversal con la siguiente expresión:

Y (x, t)= 0,01 sen [(100t2,5x)] en unidades del Sistema Internacional Calcule: (Madrid modelo 2018 B)

a) La velocidad de propagación, frecuencia, longitud de onda y número de onda. b) La aceleración y velocidad máximas de un punto cualquiera de la cuerda. S: a) vp=40 m/s; f=50 Hz; =0,8 m; k=7,85 m1; b) 9,87·102 m/s2; 3,14 m/s 11. Considérese una onda armónica

transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x. La figura 1 muestra la variación de la elongación en función de x en un instante t, mientras que en la figura 2, se representa la oscilación, en función del tiempo, de un punto situado en x = 1 m. Determine: (Madrid junio 2018 B)

a) La longitud de onda, la amplitud, el periodo y la velocidad de propagación de la onda.

b) La expresión matemática de la onda.

S: a) =2 m; A= 2,5 m; T=9 s; vp=0,22 m/s; b) y (x, t) = 2,5·sen(0,7·t ·x + ) m 12. Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del

eje x. En las figuras se muestran: la variación de la elongación en un instante t = 0 a lo largo del eje x y la elongación del punto de coordenada x = 0 en función del tiempo. Determine: (Madrid junio 2018 coincidentes A)

a) La longitud de onda y la frecuencia. b) La expresión matemática de la onda.

S: a) =8 m; f=0,1 Hz; b) y (x, t) = 2·sen(/5·t /4·x + /2) m

13. Una onda armónica transversal de periodo T = 4 s, se propaga en el sentido positivo del eje x por una cuerda de gran longitud. En el instante t = 0 la expresión matemática que proporciona la elongación de cualquier punto de la cuerda es: Y (x, 0)=0,2 sen donde x e Y están expresadas en metros. Determine: (Madrid julio 2018 B)

a) La amplitud, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

b) La velocidad y la aceleración de oscilación de un punto de la cuerda de abscisa x = 0,40 m en el instante t = 8 s. S: a) A=0,2 m; f=0,25 Hz; =0,5 m; vp= 0,125 m/s; b) 0,21 m/s; 0,37 m/s2

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14. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido positivo del eje y con un longitud de onda λ =0,1 m. En el punto de la cuerda de abscisa y= 0 m, el movimiento vibratorio que realiza en la dirección del eje z está definido por la expresión: (Madrid modelo 2019 B)

(z en metros y t en segundos) Determine:

a) La expresión matemática que representa dicha onda.

b) La velocidad y la aceleración de oscilación del punto de la cuerda que ocupa la posición y = 0,5 m en el instante t = 40 s. S: a) z (y, t) = 0,5 sen (π 4 t − 0π y + π ) m; b) v (0,5, 40)=0 m/s; a (0,5, 40)= 0,31 m/s2

15. Una onda armónica transversal de frecuencia f = 0,25 Hz y longitud de onda λ= 2 m se propaga en el sentido positivo del eje x. Sabiendo que el punto situado en x = 0,5 m tiene, en el instante t = 2 s, elongación nula y velocidad de oscilación negativa, y en el instante t = 3 s, elongación y = −0,2 m, determine: (Madrid junio 2019 B)

a) La expresión matemática que representa dicha onda.

b) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda y la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos situados en el eje x que distan entre sí 0,75 m.

S: a) y (x, t) = 0, sen (π t − π x + π ) m; b) π 10 m s; 3 4 π rad

16. Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa en el sentido negativo del eje x. En un cierto instante, que se considera el origen de tiempos t = 0, la elongación puede escribirse de la forma , expresada en unidades del sistema internacional. Si la velocidad de propagación de la onda es de 40 m·s−1, determine:

a) La expresión matemática de la onda. (Madrid junio 2019 coincidentes B)

b) Los valores de la velocidad y aceleración del punto de la cuerda situado en x = 4 m en el instante t = 0,5 s. S: a) z (x, t)= 3·cos( 0π t + π/2·x + π) m; b) 0 m/s; 1200 π2 m/s2

17. La expresión matemática de una onda transversal que se propaga a lo largo del eje x viene determinada por la siguiente expresión en unidades del S.I.: (Madrid julio 2019 B)

y (x, t)=0,05 cos (8πt − 4πx + φ0 ) Determine:

a) El valor de la fase inicial φ0, si sabemos que en el instante t = 5 s la velocidad de oscilación de un punto situado en x = 3 m es nula y su aceleración es positiva.

b) El tiempo que tardará en llegar la onda al punto x = 8 m si suponemos que la fuente generadora de dicha onda comienza a emitir en t = 0 en el origen de coordenadas.

S: a) π rad; b) 4 s

18. La ecuación matemática que representa la propagación de una onda armónica transversal es y (x, t)= ,5cos(t− πx + π ), donde todas las magnitudes están expresadas en el SI. Determine: (Madrid julio 2019 coincidentes B)

a) La elongación del punto situado en 0, 5λ, en el instante 0, 5T, siendo λ y T la longitud de onda y el periodo, expresados, respectivamente, en metros y segundos.

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación en el instante y la posición del apartado anterior. S: a) 0 m; b) vp=1 π m s; vosc= −2,5 m/s

19. Una onda armónica unidimensional se propaga a lo largo del sentido positivo del eje x con una velocidad de propagación de 1500 m·s−1, donde la gráfica adjunta muestra la elongación de la onda para el instante t = 0 s. (Madrid modelo 2020 A) a) Determine el número de onda y la frecuencia angular de dicha onda.

b) Obtenga la expresión matemática que represente dicha onda.

S: a) k=0,1 π m−1; = 150 π rad s; b) y (x, t)= 6 10−3 sen(150 π t−0,1 π x+7 π 6) m

20. Una onda armónica unidimensional, que se propaga en un medio con una velocidad de 400 m·s‒1, está descrita por la siguiente expresión matemática: (Madrid julio 2020 A)

y (x, t)=3 sen(kx‒ 00πt+φo) cm

donde x y t están en m y s, respectivamente. Sabiendo que y (0, 0) = 1,5 cm y que la velocidad de oscilación en t = 0 y x = 0 es positiva, halle:

a) El número de onda k y la fase inicial φo.

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21. Una onda transversal que se propaga a lo largo de una cuerda en la dirección del eje x en sentido positivo tiene un periodo de 0,4 s y una longitud de onda de 1 m. En el instante t = 0 la partícula situada en la posición x = 0 tiene un desplazamiento vertical de ‒0,1 m y una velocidad de oscilación nula. Determine: (Madrid julio 2020 coincidentes B) a) La expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de oscilación de la partícula situada en el punto x = 0,4 m en el instante t = 2 s. S: a) y (x, t)= 0,1 sen (5 π t‒ π x+3 π ); b) ‒0,92 m/s

22. Un oscilador armónico de frecuencia 1000 Hz genera en una cuerda una onda transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x, con una longitud de onda de 1,5 m. La velocidad máxima de oscilación de un punto de la cuerda es de 100 m·s‒1. Además, para un punto de la cuerda situado en x = 0 m y en el instante t = 600 μs, la elongación de la onda es de 1 cm y su velocidad de oscilación es positiva. (Madrid septiembre 2020 B)

a) Determine la velocidad de propagación y la amplitud de la onda.

b) Halle la fase inicial y escriba la expresión matemática que representa dicha onda.