apostila de algebra linear

1

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Apostila de Álgebra Linear para aplicação nos cursos de engenharia, ciências atuariais e estatística. Professora Joice Santos do Nascimento

SUMÁRIO MATRIZES

Matrizes e definições...2

Tipos de matrizes...2

Operações com matrizes...5

Exercícios de aplicação...7

DETERMINANTES Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3...11

Determinantes de matrizes de ordem maiores que 3...12

Processo de inversão de matrizes usando a matriz adjunta...14

Processo de inversão de matrizes usando operação elementares...15

Exercícios de aplicação...16

SISTEMAS LINEARES Definição...18

Representação matricial de Sistemas...18

Tipos de sistemas...19

Matriz escalonada...19

Posto de uma matriz...19

Solução de sistemas...22

Exercícios de aplicação...23

ESPAÇOS VETORIAIS Vetores ...24

Operações com vetores ...25

Combinação linear de vetores ...25

Dependência e independência linear entre vetores ...26

Subespaços vetoriais – definidos por equações cartesianas...27

Subespaços vetoriais – gerados por vetores...27

Base e dimensão...29

Coordenadas de um vetor em relação a uma base...30

Matriz mudança de base...31

Exercícios de aplicação...31

TRANSFORMAÇÕES LINEARES Definição de transformações lineares e operadores lineares...33

Exemplos de transformações lineares no plano e no espaço...35

Núcleo e Imagem de uma transformação linear (teorema)...38

Matriz de uma transformação linear relativa a bases...39

Exercícios de aplicação...40

AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição - Polinômio característico - Auto-espaços...42

Diagonalização de operadores lineares...44

Exercícios de aplicação...45

2 Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m n elementos (números, polinômios, funções, etc.) dispostos em linhas e colunas:

11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn _{m n} a a a a a a A a a a _             

Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:

Altura (m) Peso (kg) Idade (anos) Pessoa 1 1,70 70 23 Pessoa 2 1,75 60 45 Pessoa 3 1,60 52 25 Pessoa 4 1,81 72 30

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

1,70 70 23 1,75 60 45 1,60 72 30          

A representação genérica de uma matriz é dada por A   aij _{m n} , onde aij representa o termo da matriz que ocupa a i-ésima linha e a j -ésima coluna. Exemplos:

2 1 1 3 0 2    _         , 0 3 2 2 1 2     _   , 2 1 0 10    _         e 12 2 1 3   _   

Outros exemplos: Vamos construir uma matriz de ordem 2 3 onde 2 ,

, ij i j i j a i j i j      _{ }  :

A matiz genérica de ordem 2 3 é da forma 11 12 13

21 22 23 2 3 a a a A a a a _     

  , então calculando seus elementos

segundo a regra: para i j teremos a₁₁  1 1 0, a₁₂   1 2 1, a₁₃   1 3 2, a₂₂  2 2 0,

23 2 3 1

a     e para i j teremos a212.2 1 5  . Logo temos a matriz:

2 3 0 1 2 5 0 1 A        _    . Outros exemplos:

1) Construir a matriz de ordem 1 3 onde a_ij i j. :

2) Construir a matriz de ordem 2 2 onde ,

, ij i j i j a i j i j      _{ }  :

3) Construir a matriz de ordem 3 2 onde 2

2 3

ij

a  i j : TIPOS DE MATRIZES

3 Exemplos: 2 1 1 3 0 2    _         e 0 3 2 2 1 2     _   .

Matrizes-linhas são aquelas que possuem apenas uma linha.

Exemplos:



2 1



e



0 3 2



.

Matrizes-coluna são aquelas que possuem apenas uma coluna.

Exemplos: 2 0       e 2 1 0 10    _         .

Matrizes quadradas são aquelas cujos números de linhas e colunas são iguais.

Exemplos:

 

2 , 12 2 1 3   _   . 1 2 0 3 1 4 1 0 0     _        e 11 12 1 21 22 2 1 2 m m m m mm m m a a a a a a a a a _             para algum m .

Diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n A   aij _{n n} são os elementos aij onde i j. Por exemplo:

1) A diagonal principal da matriz 12 2 1 3

 

_ 

  é dada por



12 3



. 2) A diagonal principal de matriz

1 2 0 3 1 4 1 0 0     _        é dada por



1 1 0



.

3) A diagonal principal de uma matriz quadrada genérica de ordem n é dada por



a11 a22 ann



.

Diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n A   aij _{n n} são os elementos aij onde

1

i  j n . Por exemplo:

1) A diagonal secundária da matriz 12 2

1 3

 

_ 

  é dada por



2 1



. 2) A diagonal secundária de matriz

1 2 0 3 1 4 1 0 0     _        é dada por



0 1 1



.

3) A diagonal secundária de uma matriz quadrada genérica de ordem n é dada por



a1n a2n1 an1



.

Matriz triangular superior (inferior) é aquela cujos elementos abaixo (acima) da diagonal principal são

4 1) Matrizes triangulares superiores: 1 2

0 3       e 1 2 0 0 1 4 0 0 0     _        .

2) Matrizes triangulares inferiores: 1 0 1 3   _    e 1 0 0 2 1 0 1 3 1           .

Matriz diagonal é aquela que é triangular superior e inferior ao mesmo tempo.

Exemplo: 1 0 0 3       e 1 0 0 0 1 0 0 0 0    _       

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos nulos. Por exemplo:

0 0 0 0      , 0 0 0 0 0 0 0 0 0           , 0 0 0 0 0 0           , 0 0 0 0 0 0       e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 _{m n}             .

Obs.: Matrizes nulas não são necessariamente quadradas.

Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são formados apenas pelo

número 1. Por exemplo:

1 0 0 1      , 1 0 0 0 1 0 0 0 1           e 1 0 0 0 1 0 0 0 1 _{n n}             .

Oposta de uma matriz: Dada uma matriz A   aij _{m n} a oposta dessa matriz é a matriz B   bij _{m n} onde ij ij b  a . Exemplo: A oposta de 2 1 1 3 0 2    _         é dada por 2 1 1 3 0 2     _        A oposta de 0 3 2 2 1 2     _    é dada por 0 3 2 2 1 2    _{ }   . Transposição de matrizes:

Dada uma matriz A   aij _{m n} a matriz transposta de A é dada por t

A e obtida por trocar as linhas de A por colunas. Por exemplo:

5 1) 2 1 2 1 0 1 3 1 3 2 0 2 t       _  _{ }    _{  }      2) 0 2 0 3 2 3 1 2 1 2 2 2 t      _{ }   _  _{ }   _{  }   3)



2 1



2 1 t      _   4)





0 0 3 2 3 2 t      _{  }     . 5) 2



2 0



0 t        6)





2 1 2 1 0 10 0 10 t    _           .

Matriz simétrica é aquela que igual a sua própria transposta.

Exemplos: 1 6 6 3     _   , 2 4 3 4 1 4 3 4 1     _        

Matriz antissimétrica é aquela que é igual a oposta de sua transposta, ou seja,

t A A. Exemplo: 0 6 6 0   _   , 0 4 3 4 0 4 3 4 0             

OPERAÇÃO COM MATRIZES

Igualdade de matrizes

Duas matrizes A   aij _{m n} e B   bij _{m n} de mesma ordem são ditas iguais quando seus elementos são iguais, ou seja, aij bij para todo i1,...,m e todo j1,...,n. Por exemplo: 2 1 2 1 1 3 1 3 0 2 0 2       _  _{ }               

Determinar os valores das incógnitas em 0 3 2 1 3 4

2 1 2 2 2 x y z w          _       . R: x1,y 6,z1,w 1. Soma de matrizes

6 A soma de duas matrizes A   aij _{m n} e B   bij _{m n} de mesma ordem é uma matriz

ij _{m n}

C c



 

   de mesma ordem dada por cij aijbij. Exemplos: 2 1 3 2 5 3 1 3 4 3 3 6 0 2 1 2 1 0          _  _  _                     1 6 2 4 1 8 5 3 2 2 3 1           _  _   _       

Produto por escalar

Se  é um escalar, o produto de uma matriz A   aij _{m n} por esse escalar é uma matriz ij _{m n} B b       tal que bij .aij. Exemplos: 3 2 15 10 5. 4 3 20 15 1 2 5 10         _             

 

3 . 4 2 1 12 6 3 3 5 0 9 15 0         _{  } _       Produtos de matrizes Sejam as matrizes A



2 1



e 3 2 B   

 , o produto AB é dado por uma matriz

 

11 C c tal que:

 

11 2.3 1 .2 c    11 6 2 c   11 4 c  Logo, A B. 

 

4 .

Vamos generalizar esse conceito para matrizes de outras ordens. Por exemplo: sejam

2 1 4 2 2 1 A   _    e 1 2 1 B           

, o produto AB é dado pela matriz C



c11 c12



tal que:

 

 

11 2.1 1 .2 4. 1 c      11 2 2 4 c    11 4 c  

 

 

12 2.1 2 .2 1. 1 c      12 2 4 1 c    12 3 c  

7 Logo, A B.  



4 3



Agora vamos generalizar, sejam duas matrizes A   aij _{m n} e B   bij _{n p} , onde o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas de B. Definimos o produto entre A e B pela matriz C    cij _{m p} onde:

1.1 2. 2 ... . ij i j i j in nj c a b a b  a b Outros exemplos: 1 5 6 7 A  _    e 0 2 1 5 3 2 B   _ 

  então .A B é dado pela matriz C    cij 2 3 .

 

11 1 .0 5.5 25 c    

 

21 6.0 7 .5 35 c     

 

12 1 .2 5.3 13 c    

 

22 6.2 7 .3 23 c     

   

 

13 1 . 1 5. 2 9 c       

     

23 6. 1 7 . 2 8 c       25 13 9 . 35 23 8 A B   _     Exercícios de aplicação 1) Sejam as matrizes: 1 2 3 2 1 4 A  _  , 1 0 2 1 3 2 B            , 3 1 3 4 1 5 2 1 3 C             , 3 2 2 4 D   _  , 2 4 5 0 1 4 3 2 1 E             , 4 5 2 3 F   _   e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O            . Agora se for possível calcule: a) C E . b) AB. c) DF. d) 3C5O. e) 2C3E. f) 2BF. g) 3D2F. h) 3 2A

 

. i) 3A2A. j) 3 B



D



. k)



CE



t. l) t DD . m)



C E F



t. 2) Seja 2 2 2 1 0 x A x     _   . Se t

A A então qual é o valor de x ? 3) Calcule 2

A quando 2 1

3 2

A  _

8 4) Encontre os valores de ,x y, z e w se . 2 3 1 0 3 4 0 1 x y z w                    5) Sejam as matrizes: 1 2 3 4 0 2 A   _   , 3 1 2 4 1 5 B            , 2 3 1 3 4 5 1 1 2 C     _  _       , 2 3 1 2 D  _    , 1 0 3 2 1 5 3 4 2 E       _{ }     e 2 3 4 1 F    _

 . Agora se for possível calcule:

a) AB

b) BA

c) CB D

d) ABDF

e) BA FD

6) Calcule os valores de m e n para que as matrizes sejam iguais:

a) 8 15 8 75 12 3 6 3 n m       _        b) 2 2 41 13 40 4 6 3 6 3 m n                c) 7 8₂ 7 8 4 4 10 25 n m n         _      7) Dadas as matrizes 1 2 3 1 7 4 5 9 A                , 1 3 5 7 6 2 8 3 B    _   , 2 4 3 5 C  _    e 1 7 3 8 3 1 1 3 4 1 9 0 5 3 2 3 D    _{   }        _    . Calcule: a) AB b)

 

AB D c) BA d)

 

BA C

8) Determinar a matriz trasposta da matriz:

2 4 3 5 1 7 0 2 8 9 6 4 A      _   _       :

9 9) Dadas as matrizes 5 0 6 8 0 3 2 2 7 1 1 5 A   _        _{ }    , 1 3 2 4 7 8 5 9 0 6 3 8 B               , 2 3 0 1 1 8 3 5 4 C     _  _     e 5 0 3 2 8 1 2 4 3 2 1 5 0 1 0 2 D   _{ }            . Calcule: a)

 

AB t b)

 

AB Dt c) A BD

 

t d) t B C e) 2



A Bt t



3Ct 10) Dadas as matrizes 2 7 1 3 4 2 5 9 6 A              , 0 9 3 4 8 1 7 3 1 B             e 4 3 5 1 2 7 8 1 9 C      _  _      . Calcule e classifique o resultado: a) AAt b) t BB c) A A. t d) AAt e) BBt f) t C C

11) João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa na tabela 2. Quantas calorias ele vai perder por dia se seguir esse programa?

Tabela 1 Calorias queimadas por hora

Atividades esportivas

Peso Andar a 3km/h Correr a 9km/h Andar de bicicleta

a 9km/h Jogar tênis (moderado) 69 213 651 304 420 73 225 688 321 441 77 237 726 338 468 81 249 764 356 492

10 12) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Construa tal tabela.

Tabela 3. Custo de produção por item (em dólares)

Gastos Produto A B C Matéria-prima 0,10 0,30 0,15 Pessoal 0,30 0,40 0,25 Despesas 0,10 0,20 0,15

Tabela 4. Quantidade produzida por trimestre

Estação

Produto verão Outono Inverno Primavera

A 4000 4500 4500 4000

B 2000 2600 2400 2200

C 5800 6200 6000 6000

Tabela 2 Horas por dia para cada atividade

Programa de exercícios

Andar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis

Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0

Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0

Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0

Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0

11 Determinantes

Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Definimos determinantes de matrizes quadradas por indução sobre a ordem da matriz:

Matriz de ordem 1: Seja A

 

a11 uma matriz de ordem 1 seu determinante é dado por:

 

11

det A a

Matriz de ordem 2: Seja 11 12 21 22 a a A a a     

  uma matriz de ordem 2 seu determinante é dado por:

 

11 22 12 21

det A a a a a _.

Matriz de ordem 2: Seja

11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a           

uma matriz de ordem 3 seu determinante é

encontrado após executarmos alguns passos:

1) Repetimos as duas primeiras colunas da matriz

11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a           

2) Seguindo a direção da diagonal principal realizamos as multiplicações: a a a , 11. 22. 33 a a a 12. 23. 31 e a a a . 13. 21. 32

3) Seguindo a diagonal secundária também realizamos as seguintes multiplicações: a a a , 13. 22. 31 11. 23. 32

a a a e a a a . 12. 12. 33

4) Agora realizamos a soma a a a11. 22. 33a a a12. 23. 31a a a13. 21. 32 e a soma 13. 22. 31 11. 23. 32 12. 12. 33

a a a a a a a a a _.

5) E assim o determinante é dado pela diferença entre os dois resultados:

  

11 22 33 12 23 31 13 21 32

 

13 22 31 11 23 32 12 12 33



det A  a a a. . a a a. . a a a. .  a a a. . a a a. . a a a. . Exemplos:

1) det 2

 

 

2_, det

 

 

3  2_, det 1 1

2 2 _{  }  _{ }   , det

 

 2  2. 2) det 2 1 2.7



( 1).3



14

 

3 14 3 17 3 7                   ,

 





 

3 1 det 3 .2 ( 1).6 6 6 6 6 0 6 2                       , 1 1 det 1.2 1.3 2 3 1 3 2               .

12 3) 1 2 4 det 3 1 2 4 2 1     _{ }    _{ }  

, para calcular vamos seguir os passos. Primeiro repetimos as duas

primeiras colunas: 1 2 4 1 2 3 1 2 3 1 4 2 1 4 2      _{ }  _      

e realizamos as multiplicações nas duas direções:

Diagonal principal:

   

1 . 1 .1 2.

   

2 .  4 4.3.2 1 16 24   41 Diagonal secundária: 4.

       

1 .   4 1 . 2 .2 2.3.1 16 4 6    26 Logo, 1 2 4 det 3 1 2 41 26 15 4 2 1     _{ } _{  }   _{ }   . Vamos calcular 1 4 3 1 det 2 2 2 6 2 1     _    _{  }   : Primeiro passo: 1 4 3 1 3 1 2 2 2 2 2 6 2 1 6 2      _         .

Segundo passo: diagonal principal:

       

1

  



4 3.2.   1 1 . 2 .  6 .2.2   6 12   1 17 Diagonal secundária: 14.2.

 

 6 3.

 

2 .2 

   

1 .2.       1 3 12 2 13 Logo, 1 4 3 1 det 2 2 2 17 ( 13) 17 13 4 6 2 1     _ _{        }   _{  }  

Determinantes de matrizes de ordem superior a 3

Usaremos o método dos cofatores: dada a matriz A   aij _{n n} , o cofator de um elemento a da ij matriz A   aij _{m n} é dado por

 

 

1 .det

 

'

i j ij

cof a    A _{, onde} A' _{é a matriz menor obtido da}

matriz A   aij _{m n} retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Exemplo: Dada a matriz

5 0 3 2 8 1 2 4 3 2 1 5 0 1 0 2 D   _{ }           

vamos calcular cof a

 

14 :

   

1 4

 





14 8 1 2 1 .det 3 2 1 1 . 0 0 6 0 8 0 14 0 1 0 cof a          _ _            

13 Vamos calcular agora cof a

 

23 :

   

2 3

 





23 5 0 2 1 .det 3 2 5 1 . 20 0 0 0 0 0 20 0 0 2 cof a        _   _            .

Precisamos aprender a calcular cofatores para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem.

Definição: Dada uma matriz quadrada A   aij _{n n} temos que seu determinante é dado pela soma dos produtos de elementos de uma linha (ou coluna) da matriz por seus respectivos cofatores.

Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz

5 0 3 2 8 1 2 4 3 2 1 5 0 1 0 2 D   _{ }           

Vamos escolher a quarta linha para calcular os cofatores de seus elementos:

   

4 1

 





41 0 3 2 1 .det 1 2 4 1 . 0 24 2 8 15 49 2 1 5 cof a        _  _            

   

4 2

 





42 5 3 2 1 .det 8 2 4 1 . 50 36 16 12 20 120 154 3 1 5 cof a        _  _             

   

4 3

 





43 5 0 2 1 .det 8 1 4 1 . 25 0 32 6 100 0 151 3 2 5 cof a        _ _             

   

4 4

 





44 5 0 3 1 .det 8 1 2 1 . 5 0 48 9 20 0 14 3 2 1 cof a        _   _           

Logo o determinante é calculado assim: det

 

D 0.



49

 

1. 154



0.151 2.



14



 172

Observação: o método de cofatores pode ser aplicado para calcular determinantes de qualquer ordem até mesmo as ordens 2 e 3.

Propriedades:

1) O determinante de matrizes triangulares ou diagonais é o produto da diagonal principal. 2) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes. 3) Os determinantes de uma matriz quadrada e sua transposta são iguais.

14 4) O determinante de uma matriz nula é nulo.

5) O determinante de uma matriz que possui uma linha ou uma coluna nula é nulo. 6) O determinante de uma matriz que possui duas linhas ou colunas iguais é nulo.

Uma matriz quadrada A se diz invertível quando existe outra matriz de mesma ordem

1 A tal que 1 . A A I

onde I é a matriz identidade de mesma ordem. Dizemos que 1

A

é a matriz inversa da matriz A. Tal definição levanta o estudo dos processos de encontrar tal matriz inversa.

Processo de inversão de matrizes usando matriz adjunta

Dada uma matriz quadrada A   aij _{n n} definimos como a matriz cofatora da matriz A   aij _{n n} como a matriz formada por todos os cofatores dos elementos de A   aij _{n n} . Notação

 

 

ij n n cof A cof a       .

Exemplo: Vamos calcular a matriz cofatora da matriz

1 1 1 1 1 0 1 1 0 A              :

Vamos calcular os cofatores de todos elementos da matriz para construir a matriz cofatoras:

   

1 1 11 1 0 1 .det 1.0 0 1 0 cof a    _ _     ,

   

1 2 12 1 0 1 .det 1.0 0 1 0 cof a    _ _     ,

   

1 3 13 1 1 1 .det 1.( 2) 2 1 1 cof a    _ _       ,

   

2 1 21 1 1 1 .det 1.1 1 1 0 cof a    _ _       ,

   

2 2 22 1 1 1 .det 1.( 1) 1 1 0 cof a    _ _      ,

   

2 3 23 1 1 1 .det 1.0 0 1 1 cof a    _  _      ,

   

3 1 31 1 1 1 .det 1.( 1) 1 1 0 cof a    _ _      ,

   

   

3 2 32 1 1 1 .det 1 . 1 1 1 0 cof a    _ _      ,

   

3 3 33 1 1 1 .det 1.2 2 1 1 cof a    _  _    .

Assim a matriz cofatora de A é dada por

 

0 0 2 1 1 0 1 1 2 cof A       _  _     .

Matriz adjuntaA' _{de uma matriz ij}

n n

A a



 

   é a transposta da matriz cofatora de A, ou seja,

 





' t

15 Exemplo: A matriz adjunta da matriz

1 1 1 1 1 0 1 1 0 A              é dada por 0 1 1 ' 0 1 1 2 0 2 A       _  _    

A partir da matriz adjunta passamos a definir o primeiro processo de inversão de matrizes:

 

1 1 . ' det A A A  _

Exemplos: A inversa da matriz

1 1 1 1 1 0 1 1 0 A              é dada por 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 2 0 2 1 0 1 A             _  __  _          .

Processos de inversão de matrizes usando operações elementares

Esse processo de inversão consiste em usar o que chamamos de operações elementares entre linhas de uma matriz para encontrar a matriz inversa. Por vezes usaremos essas operações para resolver outros problemas na Álgebra linear, como classificação e resolução de sistemas lineares, determinação de espaço gerado, determinação do núcleo e da imagem de uma transformação linear. Vamos a cada uma das operações:

1) Soma de linha de uma matriz: Soma-se duas linhas de uma matriz e substituiu uma das linhas usadas por esse resultado.

Exemplo: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 1 1 1 0 1 1 0 LL        _                .

2) Multiplicação de uma linha por número: Multiplicar uma das linhas de uma matriz por um número real e substituir a própria linha.

Exemplo: 2. 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 2 0 L         _               . 3) Troca de linhas: trocar duas linhas de posição.

Exemplo: 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 LL        _ _               .

Ainda podemos combinar as duas primeiras operações:

3 2 2 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 3 2 1 3 2 1 1 0 1 1 0 2 8 6 L L L L            _{ } _{  }  _                       .

16 Agora vamos propriamente para o processo de inversão: Vamos inverter a matriz

1 1 1 1 1 0 1 1 0 A             

agora usando esse processo: primeiro acrescenta a matriz A a matriz identidade:

1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1                 

. O objetivo é usar as operações para transformar a matriz acima na matriz

identidade acrescido da matriz inversa. Observemos esse processo:

3 1 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 L L LL                _ _{ } _ _{ }                                1 3 2 3 2 1 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 2 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 LL LL LL               _  _{ }_{ }  _               1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 L L              _{ }   _{ }  _                               3 1 1 2 2 1 _{1 1} 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 L        _{   }        . Logo 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 0 1 A     _  _      .

Em sala de aula usaremos os dois processos para inverter as matrizes:

a) 1 3 2 1 B   _   b) 3 2 2 1 C   _    c) 1 2 1 2 4 7 1 1 1 D      _  _     d) 1 2 1 4 1 1 2 1 5 0 1 0 0 0 0 1 E    _        _    . Exercícios de Aplicação

17 a) 7 5 2 4 A  _   b) 3 8 5 2 B   _     c) 1 0 0 1 C  _   d) 6 3 0 5 D  _  

2) Calcule o determinante das matrizes de ordem 3 abaixo:

a) 2 5 7 3 1 4 6 8 2 A            b) 2 5 7 3 1 4 6 8 2 A            c) 2 5 7 3 1 4 6 8 2 C            d) 1 9 8 6 7 2 1 4 6 D           

3) Calcule o determinante da matriz

3 2 1 4 0 1 9 8 5 6 7 2 3 1 4 6 A              :

4) Resolva as equações abaixo:

a) 2 3 1 det 2 1 3 60 3 2 1 x x x    _{ }       b) 2 2 1 det 1 3 4 56 3 1 5 x x x     _ _        c) 4 6 det 5 2 128 7 4 2 x x x    _{  }       d) 3 1 4 det 4 5 3 7 9 10 1 x x x    _{  }       e) 2 2 det 1 1 3 1 1 6 x x    _{  }       f) 2 6 2 det 4 2 0 2 8 4 x x    _{ }       g)

5) Inverta as matrizes abaixo usando método da adjunta:

a) 2 3 1 1 A   _    b) 1 4 7 2 5 8 3 6 9 B           

6) Inverta as matrizes abaixo usando o método das operações elementares:

a) 2 3 1 5 2 2 3 1 3 A           

18 b) 1 3 5 0 0 2 0 4 12 B            c) 2 1 0 2 3 1 2 2 4 1 2 3 3 1 1 2 C      _{ }         _{ }    7) Sejam 3 4 1 5 2 9 7 8 6 A      _   _     , 4 1 3 3 0 1 7 2 4 B              e 2 6 8 3 9 12 1 2 3 C               . Calcule: a) det A b) det B c) det C d) det A



B



e) det A B







f) det 2



A3B4C



g) det



B C.



Sistemas lineares

A soma das idades de Paulo e Rafael é igual a 45 e a diferença entre o dobro da idade de Paulo e a de Rafael é 21. É possível descobrir a idade de Rafael?

A resposta é simples: SIM. O problema acima é um típico exercício de sistema de equações do primeiro grau (visto por volta do 6° ano do ensino fundamental).

Equacioná-lo pode ser mais simples ainda: vamos representar x como a idade de Paulo e y a idade de Rafael.

A soma das idades de Paulo e Rafael é igual a 45: x y 45; e a diferença entre o dobro da idade de Paulo e a

de Rafael é 21: x y 21

Assim teremos um sistema: e sua solução será dada por:

45 21 x y x y      

 somando as equações 2x66assim

66 33 2

x  substituindo o valor de x temos: 33 45

45 33 12

y y

 

   .

Resposta: Então a idade de Paulo é de 33 anos e de Rafael é de 12 anos.

Esse é um exemplo de problema de sistemas de equações, porém a simplicidade da solução está no fato de termos apenas duas variáveis x e y e duas equações. Veremos nessa aula como resolver sistemas com várias equações e várias variáveis. A aplicação desse estudo se dará na própria matéria (aulas subseqüentes), matérias como cálculo numérico (ou aproximações), soluções de sistemas de equações diferenciais, e outros.

Uma forma genérica de representar um sistema com n variáveis e m equações é: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b       _{   }     _{   } 

, onde x x1, 2, ,xn são as variáveis; a a11, 12,...,a1n,...,amn, ,...,b1 bm são números

reais.

19 Podemos representar um sistema linear através de matrizes, na verdade, todo sistema linear pode ser representado por uma equação matricial A X. B onde A   aij _{m n} é chamada matriz dos coeficientes,

1 j _n

X x

  

   é a matriz das incógnitas ou variáveis e B

 

b_{i m1} é a matriz dos termos livres. Para resolver

sistemas usaremos a seguinte representação

  

matriz ampliada matriz dos coeficientes A B .

Tipos de sistemas lineares

Sistemas lineares podem ser homogêneos (SLH), quando a matriz B

 

b_{i m1} é nula. Por exemplo:

2 3 2 0 3 5 4 0 2 7 0 x y z x y z x y z              

Ou, pode ser um sistema linear não homogêneo (SLNH), quando B

 

b_{i m1} não é nula. Por exemplo:

2 3 2 2 3 5 4 5 2 7 24 x y z x y z x y z               

Usando as operações elementares podemos dizer se é ou não possível encontrar solução para o sistema e mais se essa solução é única ou não.

Matriz escalonada

Escalonar uma matriz é usar operações elementares para transformar uma matriz em outra matriz de modo em que a matriz encontrada satisfaça o seguinte critério:

“As linhas possuem um número crescente de zero antes do primeiro elemento não nulo de cada linha, a partir da segunda linha, ou seja, encontrar um zero na segunda linha, dois ou mais zeros na terceira linha, e assim sucessivamente.” Exemplos: 3 1 3 2 2 1 2 3 3 7 4 2 2 3 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 2 4 0 3 1 10 0 3 1 10 0 3 1 10 3 2 1 5 3 2 1 5 0 7 11 4 0 0 40 82 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 L L L L LL   LL         _{ }   _   _   _   _ _ _{} _                             4 3 40 2 1 3 2 2 1 3 2 0 3 1 10 0 3 1 10 0 0 40 82 0 0 40 82 0 0 1 4 0 0 0 242 LL      _   _   _{}         _   _      .

Posto de uma matriz

O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de uma matriz após o seu escalonamento, por exemplo: 1) No exemplo acima a matriz tem posto 4 afinal não possui linhas nulas.

2) Dada a matriz 1 2 0 2 5 2 5 1 1 8 0 3 3 4 1 3 6 0 7 2   _{   }        _   

20 3 2 2 2 1 4 31 3 1 2 0 2 5 1 2 0 2 5 1 2 0 2 5 2 5 1 1 8 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2 0 3 3 4 1 0 3 3 4 1 0 3 3 4 1 3 6 0 7 2 3 6 0 7 2 0 0 0 13 13 L L L L L L        _{   }   _   _   _ _ _           _   _   _{ }        4 2 13 5 1 2 0 2 5 1 2 0 2 5 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2 0 0 0 5 5 0 0 0 5 5 0 0 0 13 13 0 0 0 0 0 LL      _   _   _{}           _{ }       

. O posto dessa matriz é 3.

Para analisar os sistemas compararemos o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz ampliada pelos termos independentes.

Sistemas lineares homogêneos são sempre possíveis, pois sempre admite a solução nula. Essa solução é única - sistema determinado – quando número de variáveis do sistema for igual ao posto da matriz. A solução de um sistema linear homogêneo é indeterminada quando existirem infinitas soluções, ou seja, quando número de variáveis do sistema for maior que o posto.

Sistemas lineares não homogêneos podem ser impossíveis de se solucionar – quando o posto da matriz ampliada for diferente do posto da matriz dos coeficientes; pode ser possível – quando o posto da matriz ampliada for igual ao da matriz dos coeficientes; e ainda, o sistema sendo possível, ele pode ser determinado - quando número de variáveis do sistema for igual ao posto da matriz, ou indeterminado quando número de variáveis do sistema for maior que o posto.

Ex.: a) 2 2 5 0 2 5 0 3 3 4 0 3 6 7 2 0 x y t w x y z t y z t w x y t w                       

Temos aqui um sistema linear homogêneo, logo sempre é possível. Vejamos se é

determinado ou indeterminado. A matriz do sistema é dada por:

1 2 0 2 5 0 2 5 1 1 8 0 0 3 3 4 1 0 3 6 0 7 2 0 matriz ampliada matriz dos coeficientes    _{   }           _     

Então vamos fazer o escalonamento:

3 2 2 2 1 4 31 3 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 2 5 1 1 8 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2 0 0 3 3 4 1 0 0 3 3 4 1 0 0 3 3 4 1 0 3 6 0 7 2 0 3 6 0 7 2 0 0 0 0 13 13 0 L L L L L L           _{   }    _    _     _  _  _              _    _    _{ }            4 2 13 5 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 13 13 0 0 0 0 0 0 0 L L        _    _     _{}              _{ }           

. O posto da matriz é 3 e temos 5 variáveis, a

21 b) 2 3 2 0 3 5 4 0 2 7 0 x y z x y z x y z              

Temos aqui um sistema linear homogêneo, logo sempre é possível. Vejamos se é

determinado ou indeterminado. A matriz do sistema é dada por:

2 3 2 0 3 5 4 0 1 2 7 0 matriz ampliada matriz dos coeficientes      _              Vamos ao escalonamento: 1 3 2 31 3 2 1 3 7 2 2 3 2 0 1 2 7 0 1 2 7 0 1 2 7 0 3 5 4 0 3 5 4 0 0 1 25 0 0 1 25 0 1 2 7 0 2 3 2 0 2 3 2 0 0 7 12 0 LL LL L L L L                     _  _ _  _  _  _                                         1 2 7 0 0 1 25 0 0 0 163 0                  

. Oposto da matriz é 3 que é o número de variáveis, logo o sistema é possível e determinado

(Sua solução é única, logo é a solução nula).

c) 2 2 5 0 2 5 10 3 3 4 1 3 6 7 2 5 x y t w x y z t y z t w x y t w                        

Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou impossível. A

matriz do sistema é dada por:

1 2 0 2 5 0 2 5 1 1 8 10 0 3 3 4 1 1 3 6 0 7 2 5 matriz ampliada matriz dos coeficientes    _{    }          _     

Então vamos fazer o escalonamento:

3 2 2 2 1 4 3 1 3 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 2 5 1 1 8 10 0 1 1 3 2 10 0 1 1 3 2 10 0 3 3 4 1 1 0 3 3 4 1 1 0 3 3 4 1 1 3 6 0 7 2 5 3 6 0 7 2 5 0 0 0 13 13 5 L L L L LL           _{    }   _ _   _ _    _  _  _              _    _    _{ }            4 2 13 5 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 0 1 1 3 2 10 0 1 1 3 2 10 0 0 0 5 5 31 0 0 0 5 5 31 0 0 0 13 13 5 0 0 0 0 0 115 L L        _ _   _ _    _{}              _{ }           

. O posto da matriz ampliada é 4 porém o

22 d) 2 3 6 3 2 19 2 15 x y z x y z x y z              

. Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou

impossível. A matriz do sistema é dada por:

2 1 3 6 3 1 2 19 1 2 1 15 matris ampliada matriz dos coeficientes      _           

Então vamos fazer o escalonamento:

1 3 2 3 1 3 21 7 3 5 2 2 1 3 6 1 2 1 15 1 2 1 15 1 2 1 15 3 1 2 19 3 1 2 19 0 7 1 26 0 7 1 26 1 2 1 15 2 1 3 6 2 1 3 6 0 5 1 24 LL L L L L L L               _  _ _  _ _{  } _ _{  } _{}                                        1 2 1 15 0 7 1 26 0 0 12 38     _{  }          

. O posto da matriz ampliada é 3 que o mesmo posto da matriz dos coeficientes, logo o

sistema é possível. E como o número de variáveis é 3 temos que o sistema também é determinado.

e) 2 3 6 3 2 2 19 13 x y z x y z x y z              

Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou

impossível. A matriz do sistema é dada por:

2 1 3 6 3 2 2 19 1 1 1 13 matriz ampliada matriz dos coeficientes      _             

Então vamos fazer o escalonamento:

1 3 2 31 3 2 1 3 2 2 1 3 6 1 1 1 13 1 1 1 13 1 1 1 13 3 2 2 19 3 2 2 19 0 1 5 20 0 1 5 20 1 1 1 13 2 1 3 6 2 1 3 6 0 1 5 20 LL L L L L LL                     _  _ _  _ _ _ _ _                                         1 1 1 13 0 1 5 20 0 0 0 0       _          

. O posto da matriz ampliada é 2 que o mesmo posto da matriz dos coeficientes, logo o

sistema é possível. Porém o número de variáveis é 3 então temos que o sistema é indeterminado.

Soluções de sistemas:

1) Quando um sistema linear homogêneo é determinado, como já vimos ele admite apenas uma solução, a nula, ou seja, a única solução admitida é que todas as variáveis sejam nulas. Por exemplo, vimos que o sistema homogêneo

23 2 3 2 0 3 5 4 0 2 7 0 x y z x y z x y z              

é possível e determinado, logo sua única solução é dada por



x0,y0,z0



. 2) Quando um sistema linear homogêneo for indeterminado ele possui infinitas soluções, além da solução

nula. Para encontrar essas soluções precisamos resolver o sistema gerado pela matriz do sistema

escalonada por usando a substituição. Por exemplo, o sistema linear homogêneo

2 2 5 0 2 5 0 3 3 4 0 3 6 7 2 0 x y t w x y z t y z t w x y t w                       

é possível e indeterminado como já vimos. A matriz do sistema escalonado é dada por

1 2 0 2 5 0 0 1 1 3 2 0 0 0 0 5 5 0 0 0 0 0 0 0     _                

que gera o sistema

2 2 5 0 3 2 0 5 5 0 x y t w y z t w t w               

. Vamos encontrar uma letra em

função da outra, ou seja, podemos fazer 5t    5w t w, substituindo t nas outras duas equações

temos 2 2 5 0 2 3 0 2 3 3 2 0 0 x y w w x y w x y w y z w w y z w z y w                _{    } _{   }  _{ }

   , logo a solução é dada por





x  2y 3 ,w z y w y w| ,  .

3) Quando temos um sistema linear não homogêneo podemos encontrar a solução resolvendo o sistema gerado pela matriz escalonada. Encontremos a solução de dois sistemas, um possível e determinado e outro possível e indeterminado:

2 3 6 3 2 19 2 15 x y z x y z x y z              

. A matriz escalonada é dada por

1 2 1 15 0 7 1 26 0 0 12 38     _{  }          

que gera o sistema

2 15 7 26 12 38 x y z y z z           _{ }  e temos a solução



403 173 17



42, 42, 6 x y z  . 2 3 6 3 2 2 19 13 x y z x y z x y z              

. A matriz escalonada é dada por

1 1 1 13 0 1 5 20 0 0 0 0       _          

que gera o sistema 13

5 20 x y z y z          e temos a solução



x  7 4 ,z y  20 5 |z z



. Exercícios de aplicação

1) Classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a) 5 8 34 10 16 50 x y x y     _{ }  b) 4 3 15 3 2 5 7 2 3 4 7 x y z x y z x y z            _{  }  c) 2 3 2 2 3 5 4 5 2 7 24 x y z x y z x y z                d) 2 3 10 3 4 6 23 3 2 3 10 x y z x y z x y z               e) 5 3 7 5 4 2 2 4 8 10 x y z x y z x y z       _{  }      

24 f) 4 6 11 2 3 4 9 3 2 2 7 x y z x y z x y z      _{  }      

2) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que cada sistema abaixo seja possível.

a) 4 12 8 2 5 3 4 4 x y z a x y z b y z c      _{  }      b) 2 4 2 3 8 5 3 4 x y z a x y z b x y z c               c) 2 x y z a x z b y z c            

3) Calcular o valor de k para que o sistema admita mais de uma solução:

2 6 0 4 0 x y x ky     _{ } 

4) Determine o valor de a para que o sistema

3 0 2 4 2 x y z x y z x y az a                seja: a) Possível e indeterminado: b) Possível e indeterminado:

c) Existe algum valor para a tal que o sistema seja impossível?

5) Determine o valor de a para que o sistema

2 3 1 2 2 8 4 x y z x y z x y a z a               

, para que o sistema seja:

a) Impossível:

b) Possível e determinado: c) Possível e indeterminado:

Espaços vetoriais Vetores

Pretendemos nesse capítulo dar uma visão algébrica de vetores, de como se relacionam e qual é sua importância algébrica, estudando subespaços gerados por eles, combinações lineares e em que condição um conjunto de vetores formam uma base. Sabemos bem que os vetores também são estudados na geometria, porém a vertente aqui será diferente da geométrica que visa estudar uma posição no espaço. Veremos vetores pertencentes a vários espaços diferentes.

Um vetor no 2

é dado por uma dupla, ou seja, por um par ordenado,

 

x y, onde x y,  . Já um vetor no 3

é dado por uma tripla, ou seja,



x y z, ,



ondex y z, ,  . Assim temos que um vetor no n

é dado por uma n-upla



x x1, 2,...,xn



ondex x1, 2,...,xn .

Exemplos:



  



2



3



3

0, 1 , 2,1 2,  14,150000 são vetores do 2

25







8



9 2,3, 4 , 0, 2,

 são vetores do 3

. O conjunto de todos os vetores da forma



x x x, ,



com está contido no 3

.

Dizemos que 2

, 3

,..., n

são espações vetoriais. Existem outros espaços vetoriais, porém nessa disciplina só estudaremos os espações vetoriais euclidianos citados acima.

Operações com vetores

São duas operações que estão definidas sobre cada espaço vetorial euclidiano: adição de vetores e

multiplicação por escalar.

Adição de vetores: dados dois vetores



1, 2,...,

 

, 1, 2,...,



n

n n

x x x y y y  , a soma deles é dada por:



x x1, 2,...,xn

 

 y y1, 2,...,yn

 

 x1y x1, 2y2,...,xnyn



. Exemplos:



1, 2 

   

0,3     1 0, 2 3

  

1,1



1









1

 

5



6, 5,7 1,0, 6 6 1, 5 0,7 6 6 , 5,1            

Multiplicação por escalar: dado escalar a e um vetor



1, 2,...,



n n

x x x  , a multiplicação entre eles é

dada por: a x x.



1, 2,...,xn

 

 ax ax1, 2,...,axn



. Exemplo: 3. 1, 8



 

 

3.1,3.( 8)

 

 3, 24





 

 



5. 1,0, 2 5.1, 5.0, 5.( 2) 5,0,5 2         



 

 



0. 1, 4, 5,0  0.1,0.4,0.( 5),0.0  0,0,0,0 Podemos combinar as duas operações:



   

   



2 1, 2 3 0,3 2, 4 0,9 2,13        



 

2

 





2

 

11



3 3 3 3 2, 5,1  0,3,1  6, 15,3  0, 2,  6, 13,



 

 

 

 

 

 



5 0,10,3, 2 4 0,1, 2,3 1,0, 2,3 0, 50, 15,10 0, 4, 8,12 1,0, 2,3 1, 46, 21,19                 

Combinação linear de vetores

Dizemos que um vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores u u1, 2,...,un quando existem 1, 2,..., n

a a a  tais que va u1 1a u2 2 ... a un n. Exemplos:

1) Verifiquemos que o vetor v



1,3,1



é combinação linear dos vetores: u1



2,0,1 ,



u2 



0, 6, 1 



. Segundo a definição de combinação linear precisamos verificar se existem a a1, 2 tais que

1 1 2 2

va u a u e usando as operações com vetores temos:



1,3,1



a1. 2,0,1





a2. 0, 6, 1



 



.



1,3,1

 

 2 ,0,a1 a1

 

 0, 6 , a2 a2





1,3,1

 

 2 , 6 ,a1  a a2 1a2



. Assim podemos gerar o sistema

1 2 1 2 2 1 6 3 1 a a a a          e teremos os valores





1 1 1 2, 2 2

a  a   . Então podem escrever





1





1





2 2

1,3,1  . 2,0,1  . 0, 6, 1  .

2) Verifiquemos que o vetor v



1,3,1,0



não é combinação linear dos vetores













1 2,0, 1,1 , 2 1,0, 6, 1 , 3 1,1, 1, 1

u   u    u     :

3)

Voltaremos a usar a definição de combinação linear, vamos verificar que não existem a a a1, 2, 3 tais queva u1 1a u2 2a u3 3:

26 4)



1,3,1,0



a1. 2,0, 1,1







a2. 1,0, 6, 1



  



a3.



1,1, 1, 1 



5)



1,3,1,0

 

 2 ,0,a1 a a1, 1

 

 a2,0, 6 , a2 a2

 

 a a3, 3, a3, a3



6)



1,3,1,0

 

 2a1 a2 a a3, 3, a1 6a2a a3, 1 a2 a3



. Assim podemos gerar o sistema

1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 1 3 6 1 0 a a a a a a a a a a                 

cuja matriz é dada por

2 1 1 1 0 0 1 3 1 6 1 1 1 1 1 0 matriz ampliada matriz dos coeficientes                 _{ }      e escalonando temos: 2 3 2 4 2 4 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 3 1 6 1 1 0 7 2 1 0 7 2 1 1 6 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 1 1 LL LL LL                    _{  }    _{ }    _{ }     _  _  _                  _{ }    _{ }    _{ }    _{  }              4 3 4 2 7 3 2 1 1 1 2 1 1 1 0 7 2 1 0 7 2 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 10 0 0 0 7 L L LL           _{ }    _{ }                  _{ }   _       

, como o posto da matriz dos coeficientes é 3

e o posto da matriz ampliada é 4 temos que o sistema é impossível, logo não existem tais 1, 2, 3

a a a  .

3) O vetor nulo é combinação linear de qualquer conjunto de vetores pois: 00.u10.u2 ... 0.un par qualquer que sejam os vetores u u1, 2,...,un.

Dependência e independência linear entre vetores

Dados um conjunto de vetores



u u1, 2,...,un



dizemos que



u u1, 2,...,un



é um conjunto linearmente

independente quando ao testarmos a combinação linear nula: a u1. 1a u2. 2 ... a un. n 0 encontramos 1 0, 2 0,..., n 0

a  a  a  . Caso contrario, dizemos que



u u1, 2,...,un



é linearmente dependente. Exemplos:

1)



  

1,1 , 1, 1





é linearmente independentes, pois testando a combinação linear nula:

  

1,1 1, 1

  

0,0

a b   temos

  

a a,  b b, 

   

0,0  a b a b, 

  

 0,0 , o que gera o sistema 0 0 a b a b      

 , e portanto, a0,b0, o que prova que



  

1,1 , 1, 1





é linearmente independente. 2)





2, 2 , 1, 1

 







é linearmente dependentes, pois testando a combinação linear nula:



2, 2

 

1, 1

  

0,0

a  b   temos



2 , 2a  a

 

 b b, 

   

0,0  2a b  , 2a b

  

 0,0 , o que gera o

sistema 2 0 2 0 a b a b      

 , e portanto, b 2a, o que prova que





2, 2 , 1, 1

 







é linearmente dependente.