EM Fibonacci

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Elementos de Matemática

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2018.1

Turma XM

(2)

Objetivos

1 Denir os Números de Fibonacci

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Os Números de Fibonacci

Os Números de Fibonnacci formam uma sequência denida recursivamente a partir de dois números dados. Adotaremos F0 = 0e F1= 1. Para cada n ≥ 2 denimos

Fn= Fn−1+ Fn−2

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Os 15 primeiros Números de Fibonacci

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14

(5)

Uma propriedade

Vamos provar uma propriedade dos números de Fibonacci e a partir dela deduzir algumas outras

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F

n+m

= F

n−1

F

m

+ F

n

F

m+1

para todo n ≥ 1 e todo m ≥ 0

Vamos provar essa propriedade por indução sobre m para cada n xo e por indução sobre n para cada m xo. Então são duas proposições

P (m) : Fn+m= Fn−1Fm+ FnFm+1 ∀m ≥ 0

e

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Indução em m

m = 0: Fn= Fn−1F0+ FnF1 = Fn−1.0 + Fn.1 = Fn. Logo P (0) é verdade.

Hipótese de indução: Vamos assumir que P (0), . . . , P (m) são verdadeiras para algum m ≥ 0

Passo indutivo: Provar P (m + 1) : Fn+(m+1)= Fn−1Fm+1+ FnFm+2.

Temos, por denição

Fn+m+1= Fn+m+ Fn+m−1

Por hipótese de indução

Fn+m+1= Fn−1Fm+FnFm+1+Fn−1Fm−1+FnFm = Fn−1(Fm+Fm−1)+Fn(Fm+1+Fm)

Fn+m+1 = Fn−1Fm+1+ FnFm+2

Então P (m) é verdade para todo m ≥ 0.

(8)

Indução em m

(9)

Indução em m

(10)

Indução em m

Fn+m+1= Fn−1Fm+1+ FnFm+2

(11)

Indução em m

Fn+m+1= Fn−1Fm+1+ FnFm+2

(12)

Indução em n

Q(n) : Fn+m= Fn−1Fm+ FnFm+1 ∀n ≥ 1

n = 1: F1+m = F0Fm+ F1Fm+1 = 0.Fm+ 1.Fm+1 = Fm+1. Logo Q(1) é verdade.

Hipótese de indução: Vamos assumir que Q(1), . . . , Q(n) são verdadeiras para algum n ≥ 1

Passo indutivo: Provar Q(n + 1) : F(n+1)+m= FnFm+ Fn+1Fm+1.

Fn+m+1= Fn+m+ F(n−1)+m

Fn+1+m= Fn−1Fm+FnFm+1+Fn−2Fm+Fn−1Fm+1 = (Fn−1+Fn−2)Fm+(Fn+Fn−1)Fm+1

Fn+1+m = FnFm+ Fn+1Fm+1

(13)

Indução em n

Então Q(n) é verdade para todo n ≥ 1.

(14)

Indução em n

(15)

Indução em n

Então Q(n) é verdade para todo n ≥ 1.

(16)

Indução em n

(17)

Algumas consequências

C1 : F2n−1= Fn−12 + Fn2

Basta aplicar a propriedade para n e m = n − 1. Temos

F2n−1= Fn+(n−1) = Fn−1Fn−1+ FnFn= Fn−12 + Fn2

C2: F2n = Fn+12 − Fn−12

Temos, por denição, F2n+1= F2n+ F2n−1. Substituindo n por n + 1 em C1, temos

F2n+1= Fn2+ Fn+12

F2n = F2n+1− F2n−1 = Fn2+ Fn+12 − (Fn−12 + Fn2) = Fn+12 − Fn−12

(18)

Algumas consequências

C1 : F2n−1= Fn−12 + Fn2

F2n−1 = Fn+(n−1) = Fn−1Fn−1+ FnFn= Fn−12 + Fn2

C2: F2n = Fn+12 − Fn−12

F2n+1= Fn2+ Fn+12

(19)

Algumas consequências

C1 : F2n−1= Fn−12 + Fn2

C2: F2n = Fn+12 − Fn−12

F2n+1= Fn2+ Fn+12

F2n = F2n+1− F2n−1 = Fn2+ Fn+12 − (Fn−12 + Fn2) = Fn+12 − Fn−12

(20)

Algumas consequências

C1 : F2n−1= Fn−12 + Fn2

C2: F2n = Fn+12 − Fn−12

F2n+1= Fn2+ Fn+12

(21)

Mais uma consequência

C3: F3n = Fn+13 + Fn3− Fn−13

Escrevendo 3n = 2n + n e aplicando a propriedade e as consequências C1 e C2, temos

F2n+n= F2n−1Fn+ F2nFn+1

F3n= (Fn−12 + Fn2)Fn+ (Fn+12 − Fn−12 )Fn+1

F3n= Fn−12 Fn+ Fn3+ Fn+13 − Fn−12 Fn+1

F3n= Fn+13 + Fn3− Fn−12 (Fn+1− Fn)

F3n = Fn+13 + Fn3− Fn−13

(22)

Mais uma consequência

C3: F3n = Fn+13 + Fn3− Fn−13

Escrevendo 3n = 2n + n e aplicando a propriedade e as consequências C1 e C2, temos

F2n+n= F2n−1Fn+ F2nFn+1

F3n= (Fn−12 + Fn2)Fn+ (Fn+12 − Fn−12 )Fn+1

F3n= Fn−12 Fn+ Fn3+ Fn+13 − Fn−12 Fn+1

F3n= Fn+13 + Fn3− Fn−12 (Fn+1− Fn)