Eletricidade Industrial
Eletricidade Industrial
FATEC MAUÁ
FATEC MAUÁ
REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS
REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS
PROFESSOR: Ms VOLPIANO
PROFESSOR: Ms VOLPIANO
REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS
REPRESENTAÇÃO DAS GRANDEZAS
ELÉTRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO
ELÉTRICAS NO DOMÍNIO DO TEMPO
E NO DOMÍNIO COMPLEXO DE
E NO DOMÍNIO COMPLEXO DE
STEINMETZ
STEINMETZ
Charles
Charles ProteusProteus SteinmetzSteinmetz Karl August Rudolf
Poucas pessoas possuíam o conhecimento matemático e físico necessário para compreender a corrente alternada, em 1893 Charles Proteus Steinmetz apresentou um método matemático de calculo chamado de transformada de Steinmetz aplicado a circuitos elétricos em corrente alternada utilizando números complexos que simplificou o entendimento e a aplicação da corrente alternada.
Nos circuitos em corrente alternada as tensões e as correntes são variáveis no tempo e os métodos matemáticos utilizados para a resolução de circuitos elétricos em função do tempo são extremamente complexos, para simplificar
Introdução
elétricos em função do tempo são extremamente complexos, para simplificar esta análise é aplicada a transformada de Steinmetz.
Na transformada de Steinmetz as grandezas no domínio do tempo são transformadas para o domínio complexo e as operações matemáticas como soma, subtração, multiplicação e divisão inerentes a análise de circuitos elétricos são efetuadas de uma forma mais simples.
Após a obtenção dos valores de corrente e tensão do domínio complexo de Steinmetz é possível voltar para o domínio do tempo aplicando a anti-transformada de Steinmetz.
Os procedimentos a seguir demonstram a transformada e a
anti-transformada de Steinmetz.
A TRANSFORMADA DE STEINMETZ.
A transformada de Steinmetz consiste em converte a tensão ou a corrente no domínio do tempo para o domínio complexo de Steinmetz desta forma a tensão v(t) é representada de acordo com a equação
(
±
)
→
=
(
+
°
)
=
V
.
sen
.
t
v
(
t
)
311
,
13
V
sen
.
t
45
)
t
(
v
:
tempo
do
domínio
No
maxω
θ
ω
°
∠
=
→
°
∠
=
→
°
∠
=
→
°
∠
=
45
V
220
V
45
2
13
311
V
2
V
V
ef
V
V
Steinmetz
de
domínio
No
,
maxθ
θ
O mesmo processo pode ser aplicado para a corrente elétrica i(t).
(
±
)
→
=
(
+
°
)
=
Steinmetz
de
domínio
No
30
t
.
sen
A
28
,
28
)
t
(
i
t
.
sen
.
I
)
t
(
i
tempo
do
domínio
No
maxω
φ
ω
°
∠
=
→
°
∠
=
→
∠
=
→
∠
=
30
I
20
A
30
2
28
,
28
I
2
I
I
ef
I
I
Steinmetz
de
domínio
No
maxφ
φ
Representação das impedâncias resistiva, indutiva e capacitiva no
domínio complexo de Steinmetz .
Para a carga resistiva a corrente esta em fase com a tensão portanto o ângulo de carga (φ) sempre será igual a (0°).
(
)
°
∠
=
+
=
0
R
ZR
Polar
Forma
j
0
R
ZR
Retangular
Forma
Na carga indutiva a corrente esta atrasada em relação à tensão portanto o Na carga indutiva a corrente esta atrasada em relação à tensão portanto o ângulo de carga (φ) sempre será positivo.
(
)
°
<
ϕ
<
°
→
°
ϕ
∠
=
+
=
90
0
Z
ZL
Polar
Forma
j
XL
Rb
ZL
ngular
Reta
Forma
Na carga capacitiva a corrente esta adiantada em relação à tensão portanto o ângulo de carga (φ) sempre será negativo.
(
)
°
−
<
ϕ
<
°
→
°
ϕ
−
∠
=
−
=
90
0
Z
ZC
Polar
Forma
j
XC
Rc
ZC
Retangular
Forma
Exemplo de aplicação:
Calcule o valor da impedância na forma retangular e polar no domínio
Calcule o valor da impedância na forma retangular e polar no domínio
complexo de Steinmetz para cada um dos componentes sendo o valor
da freqüência igual a 60 Hz e o valor de cada componente representado
abaixo:
Resistor → R = 10Ω ; Indutor → Rb = 2,5Ω e L = 11,49mH
Capacitor → Rc = 0,87Ω e C = 266µF.
Resolução:
Impedância Resistiva ZR Forma Retangular(
)
(
j
)
ZR
j
R
ZR
0
10
0
+
=
+
=
Forma Polar(
)
(
+
)
→
→
=
Ω
∠
°
=
°
∠
=
→
→
+
=
0
10
0
10
0
0
ZR
P
R
conversão
j
ZR
R
ZR
P
R
conversão
j
R
ZR
Impedância Indutiva ZL Impedância Indutiva ZL Forma Retangular Forma Polar(
)
(
Rb
XLj
)
ZL
(
2
5
4
33
j
)
ZL
33
4
XL
10
49
11
60
2
XL
L
f
2
XL
XLj
Rb
ZL
3,
,
,
.
,
.
.
.
.
+
=
→
+
=
=
→
=
→
=
+
=
−Ω
π
π
(
)
(
+
)
→
→
=
Ω
∠
°
=
ϕ
∠
=
→
→
+
=
60
5
33
,
4
5
,
2
j
conversão
R
P
ZL
ZL
Z
ZL
P
R
conversão
XLj
Rb
ZL
Impedância Capacitiva ZC Forma Retangular
(
)
(
Rc
XCj
)
ZC
(
j
)
ZC
XC
XC
C
f
XC
XCj
Rc
ZC
10
87
,
0
10
10
.
266
.
60
.
2
1
.
.
2
1
6−
=
→
−
=
Ω
=
→
π
=
→
π
=
−
=
− Forma Polar(
−
)
→
→
=
∠
−
ϕ
=
Rc
XCj
conversão
R
P
ZC
Z
ZC
(
)
(
−
)
→
→
=
Ω
∠
−
°
=
ϕ
−
∠
=
→
→
−
=
85
10
10
87
,
0
j
conversão
R
P
ZC
ZC
Z
ZC
P
R
conversão
XCj
Rc
ZC
ANTI - TRANSFORMADA DE STEINMETZ.
A anti-transformada de Steinmetz permite converter um valor de tensão ou corrente no domínio complexo de Steinmetz para o domínio do tempo, as equações representam esta transformação.
(
)
(
+
°
)
=
=
→
=
→
=
±
=
°
∠
=
→
±
∠
=
60
t
.
sen
.
V
13
,
311
)
t
(
v
V
13
,
311
V
220
.
2
V
ef
V
.
2
V
t
.
sen
.
V
)
t
(
v
tempo
do
Domínio
60
V
220
V
ef
V
V
Steinmetz
de
complexo
Domínio
max max max maxω
θ
ω
θ
(
+
°
)
=
311
,
13
V
.
sen
.
t
60
)
t
(
v
ω
Para a conversão da corrente tem-se:
(
)
(
−
°
)
=
=
→
=
→
=
±
=
°
−
∠
=
→
±
∠
=
45
t
.
sen
.
A
20
)
t
(
i
A
20
I
14
.
14
.
2
I
ef
I
.
2
I
t
.
sen
I
)
t
(
i
tempo
do
Domínio
45
A
14
,
14
I
ef
I
I
Steinmetz
de
complexo
Domínio
max max max maxω
φ
ω
φ
SEQUÊNCIA DE FASE NA REDE DE ALIMENTAÇÃO
A seqüência de fase determina a ordem da passagem do vetor tensão (V) no sentido de rotação anti-horário a partir de um ponto de referência por exemplo o ponto de origem em (0°).
Se o vetor tensão (V) rotacionar no sentido anti-horário com velocidade angular (ω) estará na seqüência direta ou positiva se o mesmo rotacionar no sentido horário com velocidade angula (ω) estará na seqüência inversa ou negativa.
Matematicamente a eletrotécnica não utiliza ângulos maiores que (180°) para a seqüência positiva ou maiores que (-180°) para a seqüência negativa,
existe esta preocupação com os valores dos ângulos para não incorrer em respostas angulares acima de (360°), pois estas não possuem representação física.
Toda vez que um ângulo ultrapassar o limite angular de 180° a seqüência de fase e a representação angular devem ser invertidas, observe os exemplos. Na figura 1 o vetor tensão (V) esta na seqüência de fase positiva, sentido anti-horário com um ângulo igual a (210°), a representação correta consiste em inverter a seqüência de fase de positiva para negativa alterando o valor do ângulo para a seqüência negativa calculando seu complemento, observe o diagrama fasorial
o diagrama fasorial
Na figura 2 o vetor corrente (I) esta na seqüência de fase negativa, sentido
horário com um ângulo igual a (-240°), a representação correta consiste em
inverter a seqüência de fase de negativa para positiva alterando o valor do
ângulo para a seqüência positiva calculando seu complemento, observe o
diagrama fasorial.
ANÁLISE DE CIRCUITO EM CORRENTE ALTERNADA UTILIZANDO A TRANSFORMADA E A ANTI-TRANSFORMADA DE STEINMETZ COM COMPONENTES REAIS
Circuito RLC série.
O circuito da figura abaixo é alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal igual à v(t) = 311,13V sen (wt + 60°) com freqüência de 60 Hz sendo:
R = 5Ω , L = (Rb = 5Ω e Lb = 23mH) , C = (Rc = 0,436Ω e C = 533µF) De acordo com os valores:
a-) Calcule a impedância em cada um dos componentes do circuito módulo e ângulo. b-) Calcule a impedância total do circuito módulo e ângulo e verifique qual dos
componentes predominou no circuito.
c-) Calcule a corrente solicitada da fonte de alimentação no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
d-) Calcule a queda de tensão em cada um dos componentes no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
Steinmetz e no domínio do tempo.
e-) Desenhe o diagrama fasorial da tensão da fonte e da tensão em cada componente do circuito em função da corrente.
VR VL
VC I
a-) Calculo da impedância em cada um dos componentes do circuito módulo e ângulo Impedância Resistiva ZR
(
)
(
)
(
→
)
→
=
Ω
∠
°
+
=
→
+
=
0
5
0
5
0
ZR
P
R
Conversão
j
ZR
j
R
ZR
Impedância Indutiva ZL(
)
(
)
+
=
Ω
=
→
π
=
→
π
=
→
ω
=
+
=
−)
67
,
8
5
(
67
,
8
10
.
23
.
60
.
2
.
.
2
.
3j
ZL
XL
XL
L
f
XL
L
XL
XLj
Rb
ZL
(
R
→
P
)
→
ZL
=
10
Ω
∠
60
°
Conversão
Impedância Capacitiva ZC(
)
(
→
)
→
=
Ω
∠
−
°
−
=
Ω
=
→
π
=
→
π
=
→
ω
=
−
=
−85
5
)
98
,
4
436
,
0
(
98
,
4
10
.
533
.
60
.
2
1
.
.
2
1
.
1
6ZC
P
R
Conversão
j
ZC
XC
XC
C
f
XC
C
XC
XCj
Rc
ZC
b-) Calculo da impedância total do circuito módulo e ângulo.
(
) (
) (
)
(
)
(
→)
→ = Ω∠ ° + = − + + + + = + + = 5 , 19 07 , 11 69 , 3 436 , 10 98 , 4 436 , 0 67 , 8 5 0 5 ZT P R Conversão j ZT j j j ZT ZC ZL ZR ZTComo o ângulo da impedância total é positivo (19,5°) a predominância foi do indutor, portanto a corrente total do circuito estará atrasada em relação à tensão da fonte em (19,5°).
c-) Calculo da corrente solicitada da fonte de alimentação no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
No domínio complexo de Steinmetz
°
∠
=
→
°
∠
°
∠
=
→
=
°
∠
=
→
°
∠
=
→
∠
=
→
°
+
=
5
,
40
A
87
,
19
I
5
,
19
07
,
11
60
V
220
I
ZT
V
I
60
V
220
V
60
2
13
,
311
V
2
V
V
)
60
t
.
(
sen
.
V
13
,
311
)
t
(
v
maxΩ
θ
ω
No domínio complexo de Steinmetz
No domínio do tempo
(
)
(
+
°
)
=
=
→
=
→
=
→
+
=
5
,
40
t
.
sen
A
1
,
28
)
t
(
i
A
1
,
28
I
2
.
87
,
19
I
2
.
ef
I
I
t
.
sen
I
)
t
(
i
max max max maxω
φ
ω
d-) Calculo da queda de tensão em cada um dos componentes no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
No domínio complexo de Steinmetz Tensão no resistor
°
∠
=
→
°
∠
°
∠
Ω
=
→
=
ZR
.
I
VR
(
5
0
)
.
(
19
,
87
A
40
,
5
)
VR
99
,
35
V
40
,
5
VR
Tensão no indutor°
∠
=
→
°
∠
°
∠
Ω
=
→
=
ZL
.
I
VL
(
10
60
)
.
(
19
,
87
A
40
,
5
)
VL
198
,
70
V
100
,
5
VL
Tensão no capacitor°
−
∠
=
→
°
∠
°
−
∠
Ω
=
→
=
ZC
.
I
VC
(
5
85
)
.
(
19
,
87
A
40
,
5
)
VC
99
,
35
V
44
,
5
VC
No domínio do tempo2
.
)
.
(
.
)
(
t
V
maxsen
t
V
maxVef
v
=
ω
±
θ
→
=
Tensão no resistor)
5
,
40
t
.
(
sen
.
V
5
,
140
)
t
(
vR
)
5
,
40
t
.
(
sen
.
2
.
35
,
99
)
t
(
vR
)
t
.
(
sen
.
V
)
t
(
vR
max°
+
=
→
°
+
=
±
=
ω
ω
θ
ω
Tensão no capacitor
)
5
,
44
t
.
(
sen
.
V
5
,
140
)
t
(
vC
)
5
,
44
t
.
(
sen
.
2
.
35
,
99
)
t
(
vC
)
t
.
(
sen
.
V
)
t
(
vC
max°
−
=
→
°
−
=
±
=
ω
ω
θ
ω
)
5
,
100
t
.
(
sen
.
V
281
)
t
(
vL
)
5
,
100
t
.
(
sen
.
2
.
7
,
198
)
t
(
vL
)
t
.
(
sen
.
V
)
t
(
vL
max°
+
=
→
°
+
=
±
=
ω
ω
θ
ω
Tensão no indutorA tensão total da fonte é igual à somatória da queda de tensão em cada um dos componentes.
°
∠
=
→
→
+
=
−
+
+
−
+
+
=
°
−
∠
+
°
∠
+
°
∠
=
→
+
+
=
9
59
V
81
219
V
P
R
conversão
j
13
190
31
110
V
j
64
69
86
70
j
37
195
21
36
j
4
64
66
75
V
5
44
V
35
99
5
100
V
7
198
4
40
V
35
99
V
VC
VL
VR
V
,
,
)
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
e-) Diagrama fasorial da tensão da fonte e da tensão em cada componente do circuito em função da corrente.
Condutância (G) é o inverso da Resistência (R).
)
(
1
S
R
G
=
A admitância (Y) é o inversor da impedância (Z).
)
(
1
S
Z
Y
=
Suceptância indutiva (BL) é o inverso da reatância indutiva (XL).
Circuito RLC Paralelo.
Suceptância indutiva (BL) é o inverso da reatância indutiva (XL).
)
(
1
S
XL
BL
=
Suceptância capacitiva (BC) é o inverso da reatância capacitiva (XC).
)
(
1
S
XC
BC
=
A unidade da condutância, da admitância e da suceptância indutiva e capacitiva é o Siemens (S).
O circuito da figura é alimentado por uma fonte de tensão alternada senoidal igual à v(t) = 179,60V sen (wt – 45°) com freqüência igual a 60 Hz sendo:
R = 2,5Ω, L = (Rb = 2,5Ω e Lb = 11,48mH), C = (Rc = 0,8716Ω e C = 266µF) De acordo com os valores:
a-) Calcule a impedância em cada um dos componentes do circuito módulo e ângulo.
b-) Calcule a impedância total do circuito módulo e ângulo e verifique qual dos componentes predominou no circuito.
c-) Calcule a corrente solicitada da fonte de alimentação no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
d-) Calcule a corrente em cada um dos componentes no domínio complexo de
Exemplo de Aplicação.
d-) Calcule a corrente em cada um dos componentes no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
e-) Desenhe o diagrama fasorial da tensão da fonte em função da corrente total e da corrente em cada um dos componentes do circuito.
IR I
IC IL
Resolução
a-) Calculo da impedância em cada um dos componentes do circuito módulo e ângulo.
Impedância Resistiva ZR
(
)
(
)
(
→)
→ = Ω∠ ° + = → + = 0 5 , 2 0 5 , 2 0 ZR P R Conversão j ZR j R ZRImpedância Indutiva ZL
(
+
)
=
Rb
XLj
ZL
(
)
(
→
)
→
=
Ω
∠
°
+
=
Ω
=
→
π
=
→
π
=
→
ω
=
+
=
−60
5
)
33
,
4
5
,
2
(
33
,
4
10
.
48
,
11
.
60
.
2
.
.
2
.
3ZL
P
R
Conversão
j
ZL
XL
XL
L
f
XL
L
XL
XLj
Rb
ZL
Impedância Capacitiva ZC
(
)
(
→
)
→
=
Ω
∠
−
°
−
=
Ω
=
→
π
=
→
π
=
→
ω
=
−
=
−85
10
)
972
,
9
8716
,
0
(
972
,
9
10
.
266
.
60
.
2
1
.
.
2
1
.
1
6ZC
P
R
Conversão
j
ZC
XC
XC
C
f
XC
C
XC
XCj
Rc
ZC
b-) Calculo da impedância total do circuito módulo e ângulo.
(
) (
) (
)
(
+) (
+ −) (
+ +)
→ =(
−)
= → → ° ∠ + ° − ∠ + ° ∠ = ° − ∠ Ω + ° ∠ Ω + ° ∠ Ω = + + = → + + = 1 07358 , 0 50872 , 0 1 09962 , 0 008716 , 0 1732 , 0 1 , 0 0 4 , 0 1 85 1 , 0 60 2 , 0 0 4 , 0 1 85 10 1 60 5 1 0 5 , 2 1 1 1 1 1 1 j ZT j j j ZT R P conversão S S S ZT ZT ZC ZL ZR ZT YC YL YR YT ° ∠ Ω = → ° − ∠ = ° − ∠ = → → 23 , 8 946 , 1 23 , 8 5140 , 0 1 23 , 8 5140 , 0 1 ZT ZT ZT P R conversãoComo o ângulo da carga da impedância total é positivo (8,23°) a
predominância foi do indutor, portanto a corrente total do circuito estará atrasada em relação à tensão da fonte em (8,23°).
c-) Calculo da corrente solicitada da fonte de alimentação no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo.
No domínio complexo de Steinmetz
No domínio do tempo ° − ∠ = → ∠ ° − ∠ = → = ° − ∠ = → ° − ∠ = → ∠ = → ° − = 23 , 53 A 26 , 65 I 23 , 8 946 , 1 45 V 127 I ZT V I 45 V 127 V 45 2 60 , 179 V 2 V V ) 45 t . ( sen . V 60 , 179 ) t ( v ω max θ No domínio do tempo
(
)
(
−
°
)
=
=
→
=
→
=
→
−
=
23
,
53
t
.
sen
A
3
,
92
)
t
(
i
A
3
,
92
I
2
.
26
,
65
I
2
.
ef
I
I
t
.
sen
I
)
t
(
i
max max max maxω
φ
ω
d-) Calculo da corrente em cada um dos componentes no domínio complexo de Steinmetz e no domínio do tempo
No domínio complexo de Steinmetz Corrente no resistor
°
−
∠
=
→
°
∠
Ω
°
−
∠
=
→
=
50
,
8
45
0
5
,
2
45
127
A
IR
V
IR
ZR
V
IR
Corrente no indutor°
−
∠
=
→
°
∠
Ω
°
−
∠
=
→
=
25
,
4
105
60
5
45
127
A
IL
V
IL
ZL
V
IL
°
∠
Ω
60
5
ZL
Corrente no capacitor°
∠
=
→
°
−
∠
Ω
°
−
∠
=
→
=
12
,
7
40
85
10
45
127
A
IC
V
IC
ZC
V
IC
No domínio do tempo
2
.
)
.
(
.
)
(
t
I
maxsen
t
I
maxIef
i
=
ω
±
φ
→
=
Corrente no resistor)
45
t
.
(
sen
.
A
84
,
71
)
t
(
iR
)
45
t
.
(
sen
.
2
.
8
,
50
)
t
(
iR
)
t
.
(
sen
.
I
)
t
(
iR
max°
−
=
→
°
−
=
±
=
ω
ω
φ
ω
Corrente no indutor)
105
t
.
(
sen
.
A
92
,
35
)
t
(
iL
)
105
t
.
(
sen
.
2
.
4
,
25
)
t
(
iL
)
t
.
(
sen
.
I
)
t
(
iL
max°
−
=
→
°
−
=
±
=
ω
ω
φ
ω
)
105
t
.
(
sen
.
A
92
,
35
)
t
(
iL
)
105
t
.
(
sen
.
2
.
4
,
25
)
t
(
iL
=
ω
−
°
→
=
ω
−
°
Corrente no capacitor)
40
t
.
(
sen
.
A
96
,
17
)
t
(
iC
)
40
t
.
(
sen
.
2
.
7
,
12
)
t
(
iC
)
t
.
(
sen
.
I
)
t
(
iC
max°
+
=
→
°
+
=
±
=
ω
ω
φ
ω
Corrente total do Circuito
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
−
)
→
→
=
∠
−
°
=
+
+
−
−
+
−
=
→
→
°
∠
+
°
−
∠
+
°
−
∠
=
→
+
+
=
24
,
53
A
29
,
65
I
P
R
conversão
j
304
,
52
076
,
39
I
j
16
,
8
73
,
9
j
534
,
24
574
,
6
j
93
,
35
92
,
35
I
R
P
conversão
40
A
7
,
12
105
A
4
,
25
45
A
8
,
50
I
IC
IL
IR
I
e-) Desenhe o diagrama fasorial da tensão da fonte em função da corrente total e da corrente em cada um dos componentes do circuito
