Wender José de Souza
Sobre Sistemas Hamiltonianos Suaves por Partes
CAMPINAS 2014
Ficha catalográfica
Universidade Estadual de Campinas
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Souza, Wender José de,
So89s SouSobre sistemas hamiltonianos suaves por partes / Wender José de Souza. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.
SouOrientador: Marco Antonio Teixeira.
SouTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sou1. Filippov, Sistemas de. 2. Campos vetoriais descontínuos. 3. Sistemas hamiltonianos. 4. Teoria da bifurcação. 5. Singularidades (Matemática). I. Teixeira, Marco Antonio,1944-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de
Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: On piecewise Hamiltonian systems Palavras-chave em inglês:
Filippov systems
Descontinuous vector fields Hamiltonian systems Bifurcation theory
Singularities (Mathematics)
Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:
Marco Antonio Teixeira [Orientador] Pedro Toniol Cardin
João Carlos da Rocha Medrado Maurício Firmino Silva Lima Paulo Ricardo da Silva
Data de defesa: 10-12-2014
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Abstract
In this work, we consider some aspects of the qualitative theory of non smooth dynamical systems in R𝑛. Our main goal is to study a class of such systems where the discontinuity set is
concentrated in a hypersurface Σ and moreover, we assume that in each region determined by Σ the vector field is a Hamiltonian system.
We present studies related to the regularization of piecewise vector fields in R𝑛 that are volume
preserving on each smooth components. We also analyze singularities of piecewise smooth functions where normal forms and their unfolding are presented. Finally, we study bifurcations of refractive Hamiltonian vector fields.
Keywords: Filippov Systems, piecewise vector fields, Hamiltonian systems, bifurcation,
sin-gularity.
Resumo
Neste trabalho consideramos alguns aspectos da teoria qualitativa de sistemas dinâmicos suaves por partes. Nosso principal objetivo é estudar uma classe de tais sistemas, onde o conjunto de descontinuidade é dado por uma hipersuperfície Σ e além disso, assumimos que em cada região determinada por Σ o campo de vetores definido é um sistema Hamiltoniano.
Apresentamos estudos relacionados à regularização de campos de vetores suaves por partes em R𝑛 que preservam volume nas componentes suaves. Abordamos também singularidades de
funções suaves por partes, onde formas normais e seus desdobramentos são apresentados. Por fim estudamos bifurcações de campos de vetores Hamiltonianos refrativos.
Palavras-chave: Sistemas de Filippov, campos de vetores suaves por partes, sistemas
Sumário
Dedicatória xi
Agradecimentos xv
Introdução 1
1 Preliminares 4
1.1 Sistemas Hamiltonianos Suaves . . . 4
1.1.1 Transformações simpléticas . . . 4
1.1.2 Campos Hamiltonianos . . . 5
1.2 Sistemas de Filippov . . . 7
2 Sobre Campos de Vetores que Seccionalmente Preservam Volume 12 3 Singularidades de Funções Suaves por Partes 17 3.1 Funções Suaves por Partes definidas em R2 . . . 17
3.2 𝑅(Σ)-equivalência . . . 18
3.3 Singularidade de codimensão 0 em H*((R2,0), 𝑓) . . . 19
3.4 Singularidades Tangenciais de uma função 𝐻 ∈ H*(R2, 𝑓) . . . 29
3.5 Singularidades não tangenciais ou críticas de uma função 𝐻 ∈ H *(R2, 𝑓) . . . 31
3.5.1 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H* tal que 𝐹 ∈ 𝐵 𝑘 . . . 31
3.5.2 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H* tal que 𝐹 ∈ 𝐶 𝑘 . . . 33
3.5.3 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H* tal que 𝐹 = ±𝑦2+ 𝑥3 . . . 35
4 Sistemas Hamiltonianos Suaves por Partes 39 4.1 Campos Hamiltonianos Refrativos . . . 39
4.2 Estabilidade Estrutural local . . . 44
4.3 Bifurcações a 1-Parâmetro . . . 45
4.3.1 Tangência Cuspidal . . . 46
4.3.2 Ponto de equilíbrio não degenerado - Dobra . . . 48
4.4 Bifurcações a 2-parâmetros . . . 51
4.4.1 Tangência de ordem 4 . . . 52
4.4.2 Ponto equilíbrio Cuspidal . . . 58
Aos meus pais Renato e Marlene, a minha irmã Nayane e minha querida esposa Kamilla.
“Nunca deixe ninguém dizer que você não pode fazer alguma coisa. Se você tem um sonho, tem que correr atrás dele. As pessoas não conseguem vencer e dizem que você também não vai vencer. Se você quer alguma coisa, corre atrás.” A Procura da Felicidade “Se quer viver uma vida feliz, amarre-se a uma meta, não às pessoas nem às coisas.” Albert Einstein
Agradecimentos
Após alguns anos de estudo, nada melhor que ter um sonho realizado. Este é o final de uma etapa de minha vida e o começo de uma ainda melhor. Para chegar até aqui, fui guiado por Deus que me colocou perto de grandes profissionais, que me deu forças para enfrentar as dificuldades encontradas pelo caminho e sabedoria para aproveitar as oportunidades e escolher os meus passos. Ressalvo aqui, o importante apoio de meus familiares e amigos. A estes, dedico meus sinceros agradecimentos.
• Primeiramente a Deus que tem iluminado e abençoado meu caminho.
• A minha família, com especial carinho a meus pais, Marlene e Renato. Na simplicidade que lhes foi concedida e sem conhecer o meio acadêmico, estes sempre me apoiaram em todos os momentos da vida. E a minha querida irmã pelo carinho.
• A minha amada esposa, companheira e amiga Kamilla, que esteve ao meu lado durante toda minha jornada estudantil.
• Ao meu orientador, Marco Antonio, agradeço pela sabedoria e experiência compartilhada, pelos ensinamentos e amizade.
• Aos meus amigos e amigas Adriana, Iris, Juliana, Thais, Douglas, Felipe e também ao Pro-fessor Ricardo Miranda pela amizade e conhecimentos compartilhados. Um agradecimento especial a minha amiga Kamila, (Kamilinha), pelo apoio e ajuda com as figuras do trabalho. • Aos professores e funcionários do IMECC/UNICAMP.
• A todos aqueles que, de alguma forma, contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho. • E ao CNPq e a Capes pelo suporte financeiro.
Lista de Ilustrações
1 Espaço de fase dos sistemas estruturalmente estáveis. . . 3
1.1 Espaço de fase via integral primeira. . . 6
1.2 Definição de campo deslizante. . . 8
1.3 Contato visível (V) e invisível (I) . . . 10
1.4 Objetos invariantes admissíveis e não admissíveis . . . 11
2.1 Exemplo de um campo de vetores Hamiltoniano. . . 16
3.1 Esquema da construção do homeomorfismo 𝑔. . . 23
3.2 Esquema da construção do homeomorfismo 𝑘. . . 25
4.1 Exemplo de um campo de vetores Hamiltoniano refrativo. . . 41
4.2 Um comportamento repulsor em torno de um ponto de dobra-dobra. . . 43
4.3 Campo de vetores refrativo não Hamiltoniano. . . 43
4.4 Cúspide-cúspide com 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1. . . 47
4.5 Cúspide-cúspide com 𝑎 = 𝑐 = 1 e 𝑏 = −1. . . 47
4.6 bifurcação Sela-Dobra visível. . . 49
4.7 bifurcação Sela-Dobra invisível. . . 50
4.8 bifurcação Centro-Dobra visível. . . 50
4.9 Curva 𝛾. . . 51
4.10 bifurcação Centro-Dobra invisível. . . 51
4.11 Surgimento de 3 pontos de dobra. . . 54
4.12 surgimento de um ponto de cúspide para contato de ordem 4. . . 56
4.13 Bifurcação tangência de ordem 4 caso 𝐼𝐼. . . 56
4.14 Bifurcação tangência de ordem 4 caso 𝑉 𝐼. . . 57
4.15 Bifurcação tangência de ordem 4 caso 𝑉 𝑉 . . . 57
4.16 Tipos de pontos equilíbrio cuspidal em Σ. . . 58
4.17 Sela admissível e centro não admissível. . . 59
4.18 Sela admissível e centro em Σ. . . 60
4.19 Sela em Σ e centro não admissível. . . 60
4.20 Equilíbrio degenerado admissível e não admissível. . . 61
4.21 Homoclinica tangente a Σ. . . 62
4.22 Homoclínica em Σ+. . . 63
4.24 Bifurcação do ponto equilíbrio cuspidal-dobra visível . . . 64
4.25 Bifurcação do ponto equilíbrio cuspidal-dobra invisível. . . 65
4.26 Sela (transversal) para o campo de vetores 𝑋𝐹𝜆. . . 66
4.27 Sela (transversal) para o campo de vetores 𝑌𝐺𝜆. . . 66
4.28 Bifurcação Sela-Sela . . . 67
4.29 Bifurcação Sela-Centro . . . 68
Introdução
O principal objetivo desta tese é estudar sistemas Hamiltonianos suaves por partes, cuja princi-pal motivação é proveniente dos trabalhos de Ekeland I. [6] e de Klok F. [9]. Em ambos trabalhos, o interesse é estudar o problema fundamental de cálculo variacional em R𝑛:
𝑖𝑛𝑓 {︃ ∫︁ 𝑇 0 𝑓(𝑥, ˙𝑥)𝑑𝑡; 𝑥(0) = 𝑥0, 𝑥(𝑇 ) = 𝑥1 }︃
onde 𝑓 é uma função regular mas não convexa. Contudo, as condições de otimização dão origem a um campo de vetores Hamiltoniano descontínuo, cujas soluções procuradas devem ser contínuas.
A teoria de sistemas Hamiltanianos suaves é uma reformulação da mecânica clássica segundo Hamilton, que interpretou a mecânica Lagrangeana sob um novo ponto de vista. Entretanto, a mecânica Hamiltoniana pode ser formulada sem recorrer à mecânica Lagrangeana, por meio do estudo matemático de variedades simpléticas [12]. Assim como a mecânica Lagrangeana, a mecâ-nica Hamiltoniana é capaz de estudar e analisar sistemas mais complexos (incapacidade inerente à mecânica de Newton). As equações diferenciais de Hamilton para um sistema conservativo são utilizados, geralmente, para aqueles nos quais há alternância periódica entre energia cinética e energia potencial: uma bola quicando ou um pêndulo. Mas também, são utilizados em sistemas mais complexos tais como: órbitas planetárias e mecânica quântica.
Os sistemas dinâmicos não-suaves têm evoluído bastante e nos últimos anos tornou-se uma das fronteiras comuns da Matemática com a Física e Engenharia. Mais especificamente, só estudamos sistemas de Filippov [7] que são sistemas expressos por equações diferenciais ordinárias descontí-nuas ao longo de uma hipersuperfície no espaço de fase. Desta forma, faz-se necessário estudar o contato do campo com a hipersuperfície de descontinuidade Σ. Estudos deste objeto podem ser encontrados em [13], [18].
Muitos autores tem contribuído no estudo dos sistemas de Filippov, veja por exemplo [5], [8], [10], [16]. Vale a pena ressaltar aqui também que, técnicas de regularização têm sido um utilíssimo objeto no estudo de tais sistemas, veja [11], [15] e [17]. Entretanto, isto não ocorre para sistemas Hamiltonianos suaves por partes.
Nesta tese, desenvolvemos um estudo sobre campos de vetores suaves por partes em R𝑛 onde
sobre cada região do R𝑛 determinada por Σ o campo é suave e preserva volume. Além disso,
apresentamos uma classificação das singularidades de germes de funções suaves por partes em “R𝑛”
e por fim, estudamos campos de vetores Hamiltonianos refrativos em R2 e exibimos o diagrama de
bifurcação através de famílias genéricas a 1 e 2 parâmetros. Os resultados obtidos são sumarizados abaixo:
Denotemos por Σ uma subvariedade em R𝑛 de dimensão 𝑛−1 que divide o R𝑛em duas regiões:
Σ+ e Σ−. Desta forma, entendemos por 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) e 𝐻 = (𝐹, 𝐺) como um campo de vetores e
uma função respectivamente, definidos em R𝑛 dados por:
𝑍(𝑝) = {︃ 𝑋(𝑝) se 𝑝 ∈ Σ+ 𝑌(𝑝) se 𝑝 ∈ Σ− e 𝐻(𝑝) = {︃ 𝐹(𝑝) se 𝑝 ∈ Σ+∪Σ 𝐺(𝑝) se 𝑝 ∈ Σ−,
onde 𝑋, 𝑌 são campos suaves e 𝐹 , 𝐺 são funções suaves.
Uma aproximação de 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) por uma família a 1-parâmetro de campos de vetores contínuos é chamada regularização de 𝑍.
Resultado 1. Apresentamos uma condição necessária e suficiente para que uma regularização
de um campo de vetores suave por partes 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) em R𝑛,onde as componentes 𝑋 e 𝑌 de 𝑍 são
campos de vetores suaves que preservam o volume, resulte em campos de votores que preservam o volume. Em dimensão 2, as componentes 𝑋 e 𝑌 de 𝑍 são Hamiltonianas e uma rugularização de 𝑍 resulta em campos de vetores Hamiltonianos. Além disso, verificamos que, na vizinhança de um ponto 𝑝 pertencente à descontinuidade de 𝑍 onde a aplicação de Poincaré esteja bem definida, as trajetórias de 𝑍 são curvas fechadas. (Teorema 2.0.1, Proposições 3 e 4).
Resultado 2. Existe uma classe de campos de vetores Hamiltonianos suaves por partes 𝑍𝐻
em R2𝑛 para os quais existe uma regularização que é Hamiltoniana. (Proposição 2).
Denotamos por H *(R2, 𝑓) o conjunto das funções 𝐻 = (𝐹, 𝐺) diferenciáveis em todo ponto
exceto em uma curva Σ = 𝑓−1(0) e que satisfazem {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑝) = 0 para todo 𝑝 ∈ Σ, onde
𝑓 : R2 → R é uma função suave tendo 0 como valor regular.
Resultado 3. Exibimos as formas normais para funções 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H * na vizinhança da
origem onde um dos itens ocorre:
• Os níveis de 𝐹 e 𝐺 são transversais a Σ na origem;
• Os níveis de 𝐹 e 𝐺 que passam pela origem têm ambos um contato de ordem 2 com Σ. Além disso, concluímos que tais funções são 𝑅(Σ)-estáveis. Veja definição de 𝑅(Σ)-equivalência 19. (Teorema 3.3.1).
Resultado 4. A forma normal das singularidades denominadas tangenciais de 𝐻 ∈ H* que
não são estáveis e das singularidades não-tangenciais ou críticas de 𝐻 de codimensão baixa são apresentadas, assim como os desdobramentos. (Teorema 3.4.1, Seção 3.5 ).
Resultado 5. Apresentamos o desdobramento de uma singularidade tangencial, cuja forma
normal é
𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
𝑦 ± 𝑥𝑘 se 𝑦 ≥ 0
−𝑦 ± 𝑥𝑘 se 𝑦 < 0
via regularização da função 𝐻. (Teorema 3.4.2).
Resultado 6. Provamos que campos de vetores Hamiltonianos refrativos em R2 que são
localmente estruturalmente estáveis na origem são caracterizados por: • Campo de vetores 𝑍 que possui um ponto regular na origem;
Figura 1: Espaço de fase dos sistemas estruturalmente estáveis. Veja figura 1(Teorema 4.2.1 ).
Resultado 7. Famílias genéricas a 1 e 2 parâmetros dos sistemas Hamiltonianos refrativos são
Capítulo 1
Preliminares
Nesta seção alguns conceitos básicos e resultado sobre Sistemas Hamiltonianos suave e Sistemas dinâmicos não suaves são apresentados.
1.1
Sistemas Hamiltonianos Suaves
1.1.1
Transformações simpléticas
Definição 1. Um espaço vetorial simplético (𝑉, 𝜔) é um espaço vetorial 𝑉 de dimensão finita,
munido com uma forma 𝜔 bilinear a qual é anti-simétrica e não-degenerada, isto é,
𝜔(𝑢, 𝑣) = −𝜔(𝑣, 𝑢), 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
e para todo 𝑢 ̸= 0 ∈ 𝑉 , existe um 𝑣 ∈ 𝑉 satisfazendo 𝜔(𝑢, 𝑣) ̸= 0. A dimensão de um espaço simplético é sempre par.
Definição 2. Uma transformação linear 𝑇 : 𝑉 → 𝑉 de um espaço simplético 𝑉 é dita simplética
se 𝑇 preserva a forma 𝜔, isto é, se para quaisquer 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 tem-se
𝜔(𝑇 (𝑥), 𝑇 (𝑦)) = 𝜔(𝑥, 𝑦).
Lema 1.1.1. Seja (𝑉, 𝜔) um espaço simplético, ℬ = {𝑣1, · · · , 𝑣𝑛} uma base de 𝑉 e 𝑇 : 𝑉 → 𝑉
uma transformação simplética. Sejam ˜Ω = (𝜔(𝑣𝑖, 𝑣𝑗))1≤𝑖,𝑗≤𝑛 e 𝑀 = [𝑇 ]ℬ as matrizes da forma 𝜔 e
da transformação 𝑇 , respectivamente, em relação à base ℬ. Então 𝑀 é anti-simétrica, invertível e vale 𝑀𝑡˜Ω𝑀 = ˜Ω.
O próximo lema é um dos resultados clássicos de álgebra linear:
Lema 1.1.2. Duas matrizes invertíveis e anti-simétricas são sempre semelhantes.
Corolário 1. Mantendo a notação do lema 1.1.1, existe uma matriz de mudança de base 𝐴 tal
que ˜Ω = 𝐴𝑡𝐽 𝐴, onde 𝐽 = 𝐽𝑛= [︃ 0 𝐼 −𝐼 0 ]︃ ,
A matriz 𝐽 acima é denominada matriz simplética canônica. A forma bilinear induzida será dita forma simplética usual ou canônica. Tendo em vista os lemas acima, diremos que uma matriz real 𝑀 2𝑛 × 2𝑛 é uma matriz simplética se
𝑀𝑡𝐽 𝑀 = 𝐽.
1.1.2
Campos Hamiltonianos
Definição 3. Seja 𝐻 : 𝑈 ⊂ R2𝑛 → R uma função de classe 𝒞𝑘, 𝑘 > 1, e ∇𝐻 o gradiente de 𝐻,
∇𝐻(𝑥) = (︃ 𝜕𝐻 𝜕𝑥1 (𝑥), · · · , 𝜕𝐻 𝜕𝑥𝑛 (𝑥),𝜕𝐻 𝜕𝑦1 (𝑥), · · · , 𝜕𝐻 𝜕𝑦𝑛 (𝑥) )︃ ,
onde 𝑥 = (𝑥1, · · · , 𝑥𝑛, 𝑦1, · · · , 𝑦𝑛). Um campo de vetores Hamiltoniano é um campo da forma
𝑋𝐻(𝑥) = 𝐽∇𝐻(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑈, (1.1.1)
onde 𝐽 é uma matriz simplética. A função 𝐻 denomina-se Hamiltoniana do sistema (1.1.1). Usualmente, fixado um sistema de coordenadas (𝑥, 𝑦) em R2𝑛, define-se um campo de vetores
Hamiltoniano como um sistema de 2𝑛 equações diferenciais ordinárias da forma
˙𝑥 = 𝐻𝑦(𝑥, 𝑦), ˙𝑦 = −𝐻𝑥(𝑥, 𝑦), (1.1.2)
onde 𝐻 = 𝐻(𝑥, 𝑦) é uma função real suave definida para (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈, onde 𝑈 é um conjunto aberto de R2𝑛. Neste caso, temos que 𝐽 é a matriz simplética usual
𝐽 = [︃ 0 𝐼 −𝐼 0 ]︃ .
A menos de uma mudança de coordenadas (simplética), todo campo Hamiltoniano é desta forma. Lembremos algumas propriedade importantes dos Sistemas Hamiltonianos.
1. 𝐻 é constante ao longo das soluções do campo associado a 𝐻, isto é, 𝐻 é uma integral primeira do sistema (1.1.1).
2. Campos de vetores Hamiltonianos preservam volume.
3. 𝑋 : R2 → R2 é um campo de vetores Hamiltoniano se, e somente se, 𝑑𝑖𝑣(𝑋) = 0.
4. Pontos de equilíbrio não degenerados de Sistemas Hamiltonianos 𝑋 : R2
→ R2 são do tipo:
Centro ou Sela.
No que se segue, a menos que mencionado o contrário, lidaremos com campos Hamiltonianos em relação à forma simplética usual.
Observação 1. Em R2𝑛, se encontramos 2𝑛−1 integrais primeiras linearmente independentes para
um campo 𝑋, conseguimos caracterizar completamente suas trajetórias, considerando interseções entre as superfícies de nível, veja [1]. Estes sistemas são ditos completamente integráveis. Logo, em R2, basta uma integral primeira para conhecermos o comportamento das trajetórias do
campo, como veremos no próximo exemplo.
Exemplo 1. Seja 𝑋 um campo de vetores dado por
𝑋(𝑥, 𝑦) =
{︃
˙𝑥 = 𝑥
˙𝑦 = −𝑦 − 3𝑥2.
Claramente, 𝑋 é um campo de vetores Hamiltoniano e sua função hamiltoniana é 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦+𝑥3.
Logo, 𝐻 é uma integral primeira do campo vetorial 𝑋 e o espaço de fase deste campo, apresentado na figura 1.1, é obtido fazendo 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑘, 𝑘 ∈ R constante.
𝑥 𝑦
Figura 1.1: Espaço de fase via integral primeira.
Sejam 𝐻, 𝐹 e 𝐺 funções suaves de 𝑈 ⊂ R2𝑛 em R. Define-se o Colchete de Poisson de 𝐹 e
𝐺 por {𝐹, 𝐺}= ∇𝐹𝑇𝐽 ∇𝐺= 𝜕𝐹 𝑇 𝜕𝑥 𝜕𝐺 𝜕𝑦 − 𝜕𝐹𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝐺 𝜕𝑥 =∑︁𝑛 𝑖=1 (︃ 𝜕𝐹 𝜕𝑥𝑖 (𝑥, 𝑦)𝜕𝐺 𝜕𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦) − 𝜕𝐹 𝜕𝑦𝑖 (𝑥, 𝑦)𝜕𝐺 𝜕𝑥𝑖 (𝑥, 𝑦) )︃ . (1.1.3) Claramente {𝐹, 𝐺} é uma função de 𝑈 em R bem definida e não é difícil verificar que {., .} é anti-simétrica e bilinear. Verifica-se também que, {., .} satisfaz a identidade de Jacobi:
Teorema 1.1.1. Sejam 𝐹, 𝐺 e 𝐻 funções suaves de 𝑈 ⊂ R2𝑛 em R. Então
1. 𝐹 é uma integral primeira para (1.1.1) se, e somente se, {𝐹, 𝐻} = 0. 2. 𝐻 é uma integral primeira para (1.1.1).
3. Se 𝐹 e 𝐺 são integrais primeira para (1.1.1) então, {𝐹, 𝐺} também é.
Demonstração. Para prova veja [12].
1.2
Sistemas de Filippov
Nesta seção trataremos de alguns conceitos utilizados no estudo de Sistemas de Filippov. Primeiramente, ressaltamos que, como estudaremos os Sistemas de Filippov localmente (veja [7]), trataremos com germes de campos de vetores e funções, ou seja, não faremos distinção entre as aplicações cujas restrições ao domínio de interesse sejam iguais.
Seja 𝑓 : R𝑛 → R, um germe de aplicação suave, com 0 ∈ R um valor regular para 𝑓. No
decorrer do texto, 𝑓 será usado para denotar a projeção 𝜋𝑛 em R𝑛, isto é, 𝑓(𝑥1, 𝑥2, · · · , 𝑥𝑛) = 𝑥𝑛.
Desta forma, a hipersuperfície Σ = 𝑓−1(0) ∩ 𝑈 é uma subvariedade diferenciável de dimensão 𝑛 − 1
e divide o conjunto aberto 𝑈 em duas regiões abertas
Σ+ = {𝑥 ∈ R𝑛; 𝑓(𝑥) > 0} e Σ−= {𝑥 ∈ R𝑛; 𝑓(𝑥) < 0}.
Considere 𝑋, 𝑌 dois campos de vetores suaves definidos em R𝑛. Um Sistema de Filippov é um
campo vetorial suave por partes definido da seguinte forma:
𝑍(𝑝) =
{︃
𝑋(𝑝) se 𝑥 ∈ Σ+
𝑌(𝑝) se 𝑥 ∈ Σ−, (1.2.1)
e as órbitas soluções ao longo de 𝑝 ∈ Σ seguem a convenção de Filippov.
Denotaremos o campo acima por 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ). Chamaremos de Ω = Ω(R𝑛, 𝑓) o espaço destes
campos vetoriais. Podemos tomar Ω = X𝑘(R𝑛)×X𝑘(R𝑛), onde por abuso de notação X𝑘denota
o conjunto dos campos de vetores de classe 𝒞𝑘 em Σ+= Σ+∪Σ e Σ+ = Σ+∪Σ, e munimos Ω da
𝒞𝑘-topologia produto.
A fim de estabelecer a dinâmica dada por um campo vetorial de Filippov 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω em
𝑈, precisamos definir a trajetória de 𝑍 por um ponto 𝑝 ∈ 𝑈. Para isso, faz se necessário distinguir
se o ponto pertence a Σ+,Σ− ou Σ.
Se o ponto 𝑝 pertence à região Σ+ ou Σ−, a trajetória local por 𝑝 é dada pela trajetória
local relativa ao campo 𝑋 ou 𝑌 respectivamente. Para estender a definição de trajetória para Σ, precisamos distinguir dois subconjuntos de Σ:
• Σ𝑅 = {𝑝 ∈ Σ; 𝑋𝑓(𝑝).𝑌 𝑓(𝑝) ̸= 0}, o conjunto dos pontos de Σ onde ambos os fluxos de 𝑋 e
𝑌 encontram transversalmente Σ.
• Σ𝑆 = {𝑝 ∈ Σ; 𝑋𝑓(𝑝).𝑌 𝑓(𝑝) = 0}, o conjunto de pontos de Σ onde 𝑋 ou 𝑌 é tangente a Σ. Ou, onde 𝑋(𝑝) = 0 ou 𝑌 (𝑝) = 0.
Nos conjuntos acima 𝑋𝑓(𝑝) = ⟨
𝑋(𝑝), ∇𝑓(𝑝)⟩ é a derivada de Lie de 𝑓 com respeito ao campo
vetorial 𝑋 no ponto 𝑝 ∈ Σ.
Os pontos de Σ𝑆 são chamados de singularidades de 𝑍, os quais estudaremos nas seções que seguem. O conjunto Σ𝑅 é um subconjunto aberto de Σ e podemos ainda dividir Σ𝑅, seguindo a convenção de Filippov, em alguns subconjuntos:
• Região de Costura Σ𝑐:= {𝑝 ∈ Σ/ 𝑋𝑓(𝑝)𝑌 𝑓(𝑝) > 0}; • Região de Escape Σ𝑒:= {𝑝 ∈ Σ/ 𝑋𝑓(𝑝) > 0 e 𝑌 𝑓(𝑝) < 0}; • Região de Deslize Σ𝑑:= {𝑝 ∈ Σ/ 𝑋𝑓(𝑝) < 0 e 𝑌 𝑓(𝑝) > 0}.
Desta forma temos que em Σ𝑐 ou as órbitas de 𝑋 chegam em Σ e as órbitas de 𝑌 saem de Σ,
ou as órbitas de 𝑋 saem de Σ e as órbitas de 𝑌 chegam em Σ. Desta forma definimos a solução de 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) por um ponto 𝑝 ∈ Σ𝑐 concatenando segmentos de órbitas de 𝑋 e 𝑌 . Além disso,
neste caso temos que localmente a solução é única.
Em Σ𝑑, ambas as órbitas de 𝑋 e 𝑌 estão chegando em Σ. Logo a única opção para a órbita
continuar é restrita a Σ. Para isto, defini-se sobre Σ um campo tangente (veja figura 1.2), 𝑍𝑑dado
por: 𝑍𝑑(𝑝) = 𝜆𝑋(𝑝) + (1 − 𝜆)𝑌 (𝑝), onde 𝜆 = 𝑌 𝑓(𝑝) 𝑌 𝑓(𝑝) − 𝑋𝑓(𝑝). (1.2.2) 𝑋(𝑝) Σ 𝑝 𝑌(𝑝)
Figura 1.2: Definição de campo deslizante.
O campo 𝑍𝑑 é denominado campo deslizante de Z. Observe que uma solução do campo
𝑍𝑑 é solução do campo (1.2.1). Desta forma temos que, para um ponto 𝑝 ∈ Σ𝑑, existem infinitas
• Solução do campo deslizante (1.2.2).
• Concatenando segmentos de trajetórias de 𝑋 ou 𝑌 passando por 𝑝 com segmento de trajetória de 𝑍𝑑 começando em 𝑝.
De forma análoga, em Σ𝑒 define-se o campo 𝑍𝑒 = −(−𝑍)𝑑 e a solução por um ponto 𝑝 ∈ Σ𝑒.
Segue também que não existe unicidade de soluções.
Definição 4. Um ponto de equilíbrio 𝑝 do campo deslizante 𝑍𝑑, isto é, 𝑍𝑑(𝑝) = 0 é chamado
pseudo-equilíbrio de 𝑍.
Definição 5. Dizemos que um ponto 𝑝 ∈ R𝑛 é uma singularidade de 𝑍 se satisfaz uma das
condições abaixo: 1. 𝑝 ∈ Σ+ tal que 𝑋(𝑝) = 0; 2. 𝑝 ∈ Σ− tal que 𝑌 (𝑝) = 0; 3. 𝑝 ∈ Σ𝑒 tal que 𝑍𝑒(𝑝) = 0; 4. 𝑝 ∈ Σ𝑑 tal que 𝑍𝑑(𝑝) = 0; 5. 𝑝 ∈ Σ tal que 𝑋𝑓(𝑝) = 0 ou 𝑌 𝑓(𝑝) = 0.
Qualquer ponto que não satisfaz nenhuma das condições da definição 5 é chamado ponto regular. Note que no item (5) da definição 5 podemos ter 𝑋(𝑝) = 0 ou 𝑌 (𝑝) = 0, isto é, um ponto de equilíbrio do campo 𝑋 ou do campo 𝑌 na região de descontinuidade Σ. Seja 𝑝 ∈ Σ tal que
𝑋𝑓(𝑝) = 0 e 𝑋(𝑝) ̸= 0, então 𝑝 é dita uma singularidade tangencial de 𝑋.
Podemos distinguir os tipos de tangências entre um campo 𝑋 e a descontinuidade Σ, analisando o tipo de contato entre a trajetória de 𝑋 e o bordo Σ da região Σ+.
Definição 6. Um campo vetorial suave 𝑋 ∈ X𝑘(R𝑛) possui uma dobra ou tangência quadrática
com Σ = 𝑓−1(0) em um ponto 𝑝 se
𝑋𝑓(𝑝) = 0 e 𝑋2𝑓(𝑝) ̸= 0.
Definição 7. Um campo vetorial suave 𝑋 ∈ X𝑘(R𝑛), 𝑛 ≥ 3, possui uma cúspide ou tangência
genérica cúbica com Σ = 𝑓−1(0) em um ponto 𝑝 se
𝑋𝑓(𝑝) = 0, 𝑋2𝑓(𝑝) = 0, 𝑋3𝑓(𝑝) ̸= 0,
e o conjunto
{︁
𝐷𝑓(𝑝), 𝐷𝑋𝑓(𝑝), 𝐷𝑋2𝑓(𝑝)}︁
Definição 8. Um campo vetorial suave 𝑋 ∈ X𝑘(R𝑛), 𝑛 ≥ 4, possui um rabo de andorinha ou
tangência genérica de ordem 4 com Σ = 𝑓−1(0) em um ponto 𝑝 se
𝑋𝑓(𝑝) = 0, 𝑋2𝑓(𝑝) = 0, 𝑋3𝑓(𝑝) = 0, 𝑋4𝑓(𝑝) ̸= 0 e o conjunto {︁ 𝐷𝑓(𝑝), 𝐷𝑋𝑓(𝑝), 𝐷𝑋2𝑓(𝑝), 𝐷𝑋3𝑓(𝑝)}︁ é linearmente independente. Indutivamente definimos
Definição 9. Um campo vetorial suave 𝑋 ∈ X𝑘(R𝑛), 𝑛 ≥ 𝑘, possui uma tangência de ordem 𝑘
com Σ = 𝑓−1(0) em um ponto 𝑝 se 𝑋𝑓(𝑝) = 0, 𝑋2𝑓(𝑝) = 0, · · · , 𝑋𝑘−1𝑓(𝑝) = 0, 𝑋𝑘𝑓(𝑝) ̸= 0 e o conjunto {︁ 𝐷𝑓(𝑝), 𝐷𝑋𝑓(𝑝), 𝐷𝑋2𝑓(𝑝), · · · , 𝐷𝑋𝑘−1𝑓(𝑝)}︁ é linearmente independente.
Nas definições acima, 𝑋𝑖𝑓(𝑝) = 𝑋(𝑋𝑖−1𝑓)(𝑝), 𝑖 = 2, · · · , 𝑘. Além disso, se um campo de
vetores tem uma tangência de ordem 2𝑚, 𝑚 > 0, com Σ = 𝑓−1(0) então esta tangência pode ser
visível ou invisível, dependendo do sinal de 𝑋2𝑚𝑓. Vamos formalizar este conceito abaixo. Veja
também figura 1.3
Seja 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) um campo de vetores definido como na equação (1.2.1).
Definição 10. Dizemos que 𝑝 é uma tangência de ordem 2𝑚 visível, com 𝑚 > 0, para o campo
𝑋 se 𝑋2𝑚𝑓(𝑝) > 0 e invisível se 𝑋2𝑚𝑓(𝑝) < 0. Por outro lado, 𝑝 é uma tangência de ordem 2𝑚
visível, com 𝑚 > 0, para o campo 𝑌 se 𝑌2𝑚𝑓 < 0 e invisível se 𝑌2𝑚𝑓(𝑝) > 0.
𝑉 𝐼 𝐼𝑉 𝑉 𝑉 𝐼𝐼
Figura 1.3: Contato visível (V) e invisível (I) Seja ¯Σ+ e ¯Σ− o fecho de Σ+ e Σ− respectivamente. Isto é,
¯Σ𝑖 = Σ𝑖∪Σ, onde 𝑖 = ±.
Dado um Sistema de Filippov 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ), as componentes 𝑋 e 𝑌 são definidas em vizinhanças abertas de ¯Σ+ e ¯Σ− respectivamente. Desta forma, os campos vetoriais suaves 𝑋 e 𝑌 podem
possuir pontos de equilíbrio que pertencem ou não a ¯Σ+ e ¯Σ−, respectivamente. Desta forma
Definição 11. Seja 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) um campo descontínuo em R𝑛.
• Se 𝑝 /∈ ¯Σ+ e 𝑋(𝑝) = 0 então, 𝑝 é dito um ponto equilíbrio de 𝑋, consequentemente de 𝑍,
não admissível. Caso contrário, 𝑝 é ponto equilíbrio admissível de 𝑋.
• Se 𝑝 /∈ ¯Σ− e 𝑌 (𝑝) = 0 então, 𝑝 é dito um ponto equilíbrio de 𝑌 , consequentemente de 𝑍, não
admissível. Caso contrário, 𝑝 é ponto equilíbrio admissível de 𝑌 .
Analogamente, objetos invariantes como, variedades estáveis e instáveis, órbitas periódicas dos campos vetoriais 𝑋 e 𝑌 que não pertencem a ¯Σ+ e ¯Σ−também serão chamados de não admissíveis.
Veja um exemplo na figura 1.4.
𝑎 𝛾 𝑏 𝛾 é ciclo limite 𝑏 é ponto de equilíbrio não admissível de 𝑋 admissível de 𝑋 𝑎 é ponto de equilíbrio não admissível de 𝑋
Figura 1.4: Objetos invariantes admissíveis e não admissíveis
A fim de estudar singularidades dos Sistemas de Filippov, distinguindo-as em singularidades estáveis e instáveis, relações de equivalências são dadas nas literaturas de Sistemas de Filippov, veja por exemplo [4], [7] e [8].
Definição 12. Dizemos que dois Sistemas de Filippov 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) e ˜𝑍 = ( ˜𝑋, ˜𝑌) em Ω(R𝑛, 𝑓)
são Σ−equivalentes se existir um homeomorfismo ℎ : R𝑛 → R𝑛 que deixa Σ invariante e que leva
órbitas de 𝑍 em órbitas de ˜𝑍 preservando a orientação das órbitas.
Segue naturalmente da definição 12 o conceito de Σ-estabilidade estrutural.
Definição 13. Dizemos que um campo 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω é Σ-estruturalmente estável se existe uma
Capítulo 2
Sobre Campos de Vetores que
Seccionalmente Preservam Volume
Nesta seção, tratamos com a regularização de campos de vetores em R𝑛 da forma 𝑍 = (𝑋, 𝑌 )
cujas componentes preservam volume. O conjunto destes campos de vetores 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) denotamos por Ω𝑘
𝑣𝑜𝑙(R𝑛, 𝑓). Damos condições sob as quais tal regularização mantém a propriedade de que o
fluxo preserva volume. E também apresentamos algumas particularidades no caso em que as componentes de 𝑍 são campos Hamiltonianos.
Seja 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω𝑘(R𝑛, 𝑓) um campo de vetores descontínuo sobre R𝑛. Sotomayor e Teixeira,
em [15], introduziram o processo de regularização. Mais precisamente, consideramos uma família a 1-parâmetro de campos de vetores suave 𝑍𝜖, 𝜖 > 0, tal que:
• 𝑍𝜀 é igual a 𝑋 para todo ponto de Σ+ cuja distância a Σ é maior que 𝜀;
• 𝑍𝜀 é igual a 𝑌 para todo ponto de Σ− cuja distância a Σ é maior que 𝜀;
Uma função 𝐶∞ 𝜙: R −→ R é dita uma função transição se 𝜙(𝑥) = −1 para 𝑥 ≤ −1, 𝜙(𝑥) = 1
para 𝑥 ≥ 1 e 𝜙′(𝑥) > 0 se 𝑥 ∈ (−1, 1). A 𝜙-regularização de 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) é a família a 1-parâmetro
𝑍𝜀 ∈ 𝐶𝑘 dada por: 𝑍𝜀(𝑞) = (︃ 1 2+ 𝜙𝜀(𝑓(𝑞)) 2 )︃ 𝑋01(𝑞) + (︃ 1 2 − 𝜙𝜀(𝑓(𝑞)) 2 )︃ 𝑋02(𝑞). (2.0.1)
Assumimos que 𝜙𝜀(𝑥) = 𝜙(𝑥/𝜀), para 𝜀 > 0.
Teorema 2.0.1. Sejam 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω𝑘𝑣𝑜𝑙(R𝑛, 𝑓), 𝜔 uma forma volume para R𝑛 e 𝑍
𝜀 uma
𝜙-regularização de 𝑍. Então, 𝑍𝜀preserva volume se, e somente se, ¯𝑍𝑓(𝑥) = 0 para todo 𝑥 satisfazendo
𝜙′(︁𝑓 (𝑥)𝜀 )︁̸= 0, onde ¯𝑍 = 𝑋 − 𝑌 .
Lema 2.0.1. Seja 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω𝑘(R𝑛, 𝑓) um campo de vetores descontínuo satisfazendo
𝑑𝑖𝑣(𝑋) (𝑥) = 𝑑𝑖𝑣 (𝑌 ) (𝑥) = 0 ∀ 𝑥 ∈ R𝑛. (2.0.2)
Então, 𝑑𝑖𝑣 (𝑍𝜀) (𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ R𝑛 e 𝜀 > 0 se, e somente se, ¯𝑍𝑓(𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ R𝑛
satisfazendo 𝜙′(︁𝑓 (𝑥)
𝜀
)︁
̸
Demonstração. Suponha que 𝑋 = (𝑔1, · · · , 𝑔𝑛), 𝑌 = (ℎ1, · · · , ℎ𝑛) e 𝑥 = (𝑥 1, · · · , 𝑥𝑛). De (2.0.2) temos, 𝑔1 𝑥1 + · · · + 𝑔 𝑛 𝑥𝑛 = 0 e ℎ 1 𝑥1+ · · · + ℎ 𝑛
𝑥𝑛 = 0. Além disso, a regularização 𝑍𝜀 de 𝑍 é dada por:
𝑋𝜖(𝑥) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙𝑥1 = 𝑔1(𝑥)+ℎ1(𝑥) 2 + 𝜙 (︁𝑓 (𝑥) 𝜖 )︁𝑔1(𝑥)−ℎ1(𝑥) 2 ˙𝑥2 = 𝑔 2(𝑥)+ℎ2(𝑥) 2 + 𝜙 (︁𝑓 (𝑥) 𝜖 )︁𝑔2(𝑥)−ℎ2(𝑥) 2 ... ˙𝑥𝑙 = 𝑔 𝑙(𝑥)+ℎ𝑙(𝑥) 2 + 𝜙 (︁𝑓 (𝑥) 𝜖 )︁𝑔𝑙(𝑥)−ℎ𝑙(𝑥) 2 (2.0.3)
Desta forma, por definição
𝑑𝑖𝑣(𝑍𝜀(𝑥)) = 𝑔1 𝑥1(𝑥) + ℎ 1 𝑥1(𝑥) 2 + 𝜙′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑓𝑥1(𝑥)(𝑔 1(𝑥) − ℎ1(𝑥)) 2𝜀 + 𝜙 (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑔1 𝑥1(𝑥) − ℎ 1 𝑥1(𝑥) 2 + 𝑔𝑥22(𝑥) + ℎ 2 𝑥2(𝑥) 2 + 𝜙′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑓𝑥2(𝑥)(𝑔 2(𝑥) − ℎ2(𝑥)) 2𝜀 + 𝜙 (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑔2𝑥2(𝑥) − ℎ2𝑥2(𝑥) 2 ... + 𝑔𝑥𝑛𝑛(𝑥) + ℎ 𝑛 𝑥𝑛(𝑥) 2 + 𝜙 ′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑓𝑥𝑛(𝑥)(𝑔 𝑛(𝑥) − ℎ𝑛(𝑥)) 2𝜀 + 𝜙 (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ 𝑔𝑛 𝑥𝑛(𝑥) − ℎ 𝑛 𝑥𝑛(𝑥) 2 . (2.0.4) Agora, usando que 𝑔1
𝑥1 + · · · + 𝑔 𝑛 𝑥𝑛 = 0 e ℎ 1 𝑥1 + · · · + ℎ 𝑛 𝑥𝑛 = 0, obtemos 𝑑𝑖𝑣(𝑍𝜖(𝑥)) = 𝜙′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃[︁𝑓 𝑥1(𝑔 1− ℎ1) + 𝑓 𝑥2(𝑔 2− ℎ2) + · · · + 𝑓 𝑥𝑙(𝑔 𝑙− ℎ𝑙)]︁ 2𝜖 = (2𝜖)−1 𝜙′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜖 )︃ ¯ 𝑍𝑓(𝑥) (2.0.5)
Por fim, como 𝜀 > 0 o lema segue da última igualdade.
Os dois próximos resultados podem ser considerados como casos particulares dos já então apresentados, porém, seu enunciado com sua demonstração é apresentada devido à importância do conjunto de campos neles estudados.
Denotaremos por H (R2𝑛, 𝑓) o conjunto de todas as funções reais 𝐻 = (𝐹, 𝐺) tal que
𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
𝐹(𝑥, 𝑦) se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0
𝐺(𝑥, 𝑦) se 𝑓(𝑥, 𝑦) < 0 (2.0.6)
onde 𝐹 e 𝐺 são funções de classe 𝒞𝑘, 𝑘 > 1.
Definição 14. Dizemos que 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) é um Sistema de Filippov Hamiltoniano com função
Hamiltoniana 𝐻, se 𝑋 e 𝑌 são campos de vetores Hamiltonianos com funções Hamiltonianas 𝐹 e
É importante lembrarmos que, a menos de mencionado o contrário, estaremos considerando a forma simplética canônica. Veja seção 1.1.1.
Lema 2.0.2. Seja 𝐻 ∈ H (R2𝑛, 𝑓) e 𝑍
𝐻 = (𝑋, 𝑌 ) o campo de vetores associado a função 𝐻.
Então, 𝑑𝑖𝑣(𝑍𝐻)𝜀(𝑥) = 0 se, e somente se, {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑥) = 0 para todo 𝑥 satisfazendo 𝜙′
(︁𝑓 (𝑥)
𝜀
)︁
̸
= 0
Demonstração. Como 𝑍𝐻 = (𝑋, 𝑌 ) é o campo de vetores associado à função 𝐻 = (𝐹, 𝐺), temos
que 𝑋 é um campo de vetores 𝐹 -Hamiltoniano e 𝑌 é um campo de vetores 𝐺-Hamiltoniano. Logo,
𝑑𝑖𝑣(𝑋) = 0 e 𝑑𝑖𝑣(𝑌 ) = 0. Agora, pelo lema 2.0.1, é suficiente verificarmos que {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑥) =
¯ 𝑍𝑓(𝑥) onde ¯𝑍 = 𝑋 − 𝑌 . De fato, {𝑓, 𝐹 − 𝐺}= ∇𝑓𝑇𝐽 ∇(𝐹 − 𝐺) =⟨∇𝑓, 𝐽(∇(𝐹 − 𝐺)⟩ =⟨ ∇𝑓, 𝐽∇𝐹 − 𝐽∇𝐺)⟩=⟨∇𝑓, 𝑋 − 𝑌⟩ =⟨ ∇𝑓, ¯𝑍⟩= ¯𝑍𝑓
Portanto, o lema está provado.
Proposição 1. Sejam 𝐻 ∈ H (R2𝑛, 𝑓), 𝑋
𝐻 = (𝑋, 𝑌 ) o campo de vetores associado à função 𝐻
e {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑥) = 0 para todo 𝑥 satisfazendo 𝜙′(︁𝑓 (𝑥)
𝜀
)︁
̸
= 0. Então, o fluxo de (𝑍𝐻)𝜀 preserva
volume.
Demonstração. Pela recíproca do Lema 2.0.2 temos que 𝑑𝑖𝑣 ((𝑍𝐻)𝜀) (𝑥) = 0. Logo, segue do
Teorema de Liouville que o fluxo de (𝑍𝐻)𝜀 preserva volume.
Observe que a proposição acima pode ser olhada como um corolário direto do teorema 2.0.1, o qual apresentaremos a demonstração nas próximas linhas.
Prova do Teorema 2.0.1.
Demonstração. Pelo Teorema de Liouville, temos que:
O fluxo de 𝑍𝜀 preserva volume ⇐⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑤𝑍𝜀 = 0 (2.0.7)
Note que, como 𝑍 = (𝑋, 𝑌 ) ∈ Ω𝑘
𝑣𝑜𝑙(R𝑛, 𝑓) então, 𝑋, 𝑌 ∈ X𝑣𝑜𝑙𝑘 (R𝑛) e novamente pelo Teorema de
Liouville, 𝑑𝑖𝑣(𝑋) = 𝑑𝑖𝑣(𝑌 ) = 0. Segue agora do Lema 2.0.1 que
𝑑𝑖𝑣(𝑍𝜀) = 0 ⇐⇒ ¯𝑍𝑓(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ R𝑛 satisfazendo 𝜙′ (︃ 𝑓(𝑥) 𝜀 )︃ ̸ = 0, (2.0.8)
onde ¯𝑍 = 𝑋 − 𝑌 . Portanto o resultado segue de (2.0.7) e (2.0.8).
Apresentamos até o momento, condições necessárias e suficientes para que o fluxo de uma regularização do campo vetores 𝑍 ∈ Ω𝑘
𝑣𝑜𝑙 preserve volume. Além disso, destacamos um caso
particular: os campos Hamiltonianos. Contudo, cabe aqui uma nova questão: a regularização de um campo Hamiltoniano suave por partes é ainda um campo Hamiltoniano? O próximo resultado nos fornece uma família de funções 𝐻 suave por partes definida em R2𝑛, consequentemente uma
família de campos de vetores Hamiltonianos suave por partes para os quais a questão acima tem uma resposta positiva.
Proposição 2. Sejam 𝑥 = (𝑥1, · · · , 𝑥𝑛) ∈ R𝑛, 𝑦 = (𝑦1, · · · , 𝑦𝑛) ∈ R𝑛 e
𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥1)𝑠𝑔𝑛(𝑥1) + ℎ(𝑥, 𝑦)
com 𝑔 : R → R and ℎ : R2𝑛 → R de classe 𝒞𝑘, 𝑘 ≥ 1. Então, 𝑍
𝐻 admite apenas Região de Costura.
Além disso, existe 𝜙-regularização (𝑍𝐻)𝜖 de 𝑍𝐻 tal que (𝑍𝐻)𝜖 é um sistema Hamiltoniano com
função Hamiltoniana dada por:
𝐻𝜀(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥, 𝑦) + 𝐴𝜀(𝑥)
onde 𝐴𝜀(𝑥1) =∫︀𝑥𝑥01𝑔
′(𝑠)𝜙(𝑠 𝜀)𝑑𝑠.
Demonstração. A prova é feita no caso 𝑛 = 1, o caso geral é totalmente análogo. Primeiramente,
note que
𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥, 𝑦) if 𝑥 ≥ 0
−𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥, 𝑦) if 𝑥 ≤ 0
O campo de vetores associado a 𝐻 é 𝑍𝐻 = (𝑋, 𝑌 ) onde 𝑋 = (ℎ𝑦, −𝑔′− ℎ𝑥), 𝑌 = (ℎ𝑦, 𝑔′ − ℎ𝑥) e
𝑔′ = 𝑑𝑥𝑑𝑔. Considere 𝑓 : R2 −→ R dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥. Desta forma, Σ = 𝑓−1(0). Por um cálculo
simples obtemos que 𝑋𝑓(𝑝)𝑌 𝑓(𝑝) = (ℎ𝑦(𝑝))
2
≥0. Logo, 𝑍𝐻 admite apenas Região de Costura.
Por definição, temos (𝑍𝐻)𝜀(𝑥, 𝑦) = (ℎ𝑦(𝑥, 𝑦), −ℎ𝑥(𝑥, 𝑦) − 𝑔′(𝑥)𝜙(𝑥/𝜀)). Considere agora a
se-guinte função 𝐻𝜀(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥, 𝑦) + 𝐴𝜀(𝑥) onde 𝐴𝜀(𝑥) =
∫︀
𝑔′(𝑥)𝜙(𝑥/𝜀)𝑑𝑥. O Teorema Fundamental
do Cálculo garante que
∇𝐻𝜀(𝑥, 𝑦) = (ℎ𝑥(𝑥, 𝑦) + 𝑔′(𝑥)𝜙(𝑥/𝜀), ℎ𝑦(𝑥, 𝑦)).
Segue então que (𝑍𝐻)𝜀= −(∇𝐻𝜀)⊥. Logo, (𝑍𝐻)𝜀 é um campo de vetores Hamiltoniano com função
Hamiltoniana 𝐻𝜀(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥, 𝑦) + 𝐴𝜀(𝑥).
Esta família de funções nos leva a indagar se tal resultado vale para qualquer função 𝐻 ∈ H (R2𝑛, 𝑓). No caso, 𝑛 = 2 apresentamos condições necessárias e suficientes. Entretanto, em
dimensão alta, tal questão ainda se encontra em aberto.
Proposição 3. Seja 𝐻 ∈ H (R2, 𝑓) e 𝑍
𝐻 o campo de vetores associado a 𝐻. Uma 𝜙−regularização
(𝑍𝐻)𝜀 de 𝑍𝐻 é Hamiltoniana se, e somente se,
{𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑝) = 0 (2.0.9)
para todo 𝑝 ∈ 𝑉 onde 𝑉 ={︁
𝑝 ∈ R2; 𝜙′(︁𝑓 (𝑝) 𝜀 )︁ ̸ = 0}︁ .
Demonstração. Sabe-se que um campo de vetores 𝑍 é Hamiltoniano se, e somente se, 𝑑𝑖𝑣(𝑍) = 0.
Pelo Lema 2.0.2 𝑑𝑖𝑣((𝑍𝐻)𝜀)(𝑥) = 0 se, e somente se, {𝑓, 𝐹 − 𝐺} = 0 para todo 𝑥 satisfazendo
𝜙′(︁𝑓 (𝑥)𝜀 )︁̸= 0. Isto prova o teorema.
O próximo resultado será afirmado sem uma prova, pois um resultado mais geral será provado numa seção mais adiante (Corolário 2 do teorema 4.1.1)
Proposição 4. Seja 𝐻 ∈ H (R2, 𝑓) e 𝑍
𝐻 o campo de vetores associado a 𝐻. Se (𝑍𝐻)𝜀é um campo
de vetores Hamiltoniano, então, para o campo de vetores descontínuo 𝑍𝐻 a descontinuidade Σ não
tem Região de Deslise (Escape). Além disso, se existe uma vizinhança 𝐼 ⊂ Σ de um ponto 𝑝 ∈ Σ tal que a aplicação de primeiro retorno 𝜑 esteja definida, então 𝜑|𝐼 = 𝐼𝑑.
Exemplo 2. Considere a função 𝐻 : R2 −→ R dada por 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑥sgn(𝑥) + 𝑦2+ 𝑥𝑦. Então,
𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
𝑥+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 if 𝑥 ≥ 0
−𝑥+ 𝑦2+ 𝑥𝑦 if 𝑥 ≤ 0.
O campo de vetores associado à função 𝐻 é
𝑍𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
(2𝑦 + 𝑥, −1 − 𝑦) se 𝑥 ≥ 0 (2𝑦 + 𝑥, 1 − 𝑦) se 𝑥 ≤ 0, e Σ = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2; 𝑥 = 0}.
Por um cálculo direto, mostra-se que a origem é um ponto do tipo dobra-dobra e que Σ não tem Região de Deslize.
Uma 𝜙-regularização de 𝑍𝐻 é a família de campos de vetores de classe 𝒞𝑘:
(𝑍𝐻)𝜀 =
{︃
2𝑦 + 𝑥 −𝑦 − 𝜙(𝑥/𝜀).
Note que (𝑍𝐻)𝜀 é um campo de vetores Hamiltoniano com função Hamiltoniana
𝐻 = 𝑦2+ 𝑥𝑦 + 𝐴𝜀(𝑥) onde 𝐴′𝜀(𝑥) = 𝜙(𝑥/𝜀).
Além disso, (𝑍𝐻)𝜀 tem um centro no ponto (0, 0).
O campo 𝑍𝐻 tem dois pontos de equilíbrio dados por 𝑎 = (−2, 1), 𝑏 = (2, −1) e um ponto de
tangência em 𝑐 = (0, 0) os quais são respectivamente, pontos tipo sela, sela e dobra-dobra invisível. O plano de fase de 𝑍𝐻 é −2 1 −1 2 𝑥 𝑦
Capítulo 3
Singularidades de Funções Suaves por
Partes
Nosso objetivo neste capítulo é estudar funções suaves por partes 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H (R𝑛, 𝑓)
classificando suas singularidades. Novamente, 𝑓 : R𝑛→ R é uma função suave tendo 0 como valor
regular e denotamos por Σ o conjunto:
Σ = {𝑥 ∈ R𝑛; 𝑓(𝑥) = 0} .
No que se segue, lidaremos sempre com germes de funções de R2 e assumiremos 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦.
Contudo, é importante ressaltar aqui que as formas normais e bifurcações estudadas neste capítulo, se estendem para dimensão 𝑛 > 2 somando-se termos quadráticos nas variáveis adicionais. Isto significa que ˜𝐻 abaixo é estável se 𝐻 o for.
𝐻(𝑥1, 𝑥2) = {︃ 𝐹(𝑥1, 𝑥2) se 𝑓(𝑥1, 𝑥2) ≥ 0 𝐺(𝑥1, 𝑥2) se 𝑓(𝑥1, 𝑥2) < 0 ˜ 𝐻(𝑥1, · · · , 𝑥𝑛) = {︃ 𝐹(𝑥1, 𝑥2) + 𝑄(𝑥3, · · · , 𝑥𝑛) se 𝑓(𝑥1, · · · , 𝑥𝑛) ≥ 0 𝐺(𝑥1, 𝑥2) + 𝑄(𝑥3, · · · , 𝑥𝑛) se 𝑓(𝑥1, · · · , 𝑥𝑛) < 0
onde, 𝑄 é uma forma quadrática.
3.1
Funções Suaves por Partes definidas em R
2Primeiramente lembramos que H (R2, 𝑓) é o conjunto de todas as funções 𝐻 = (𝐹, 𝐺) tal que
𝐻(𝑥, 𝑦) =
{︃
𝐹(𝑥, 𝑦) se 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0
𝐺(𝑥, 𝑦) se 𝑓(𝑥, 𝑦) < 0 , (3.1.1)
onde 𝐹 e 𝐺 são funções de classe 𝒞𝑘, 𝑘 > 1.
Definição 15. Dada uma função 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H (R2, 𝑓) e 𝑝 ∈ Σ com ∇𝐹 (𝑝) ̸= 0, dizemos que
a 𝐹 -ordem de 𝑝 é 𝑘 se a curva de nível de 𝐹 que passa por 𝑝 tem um contato de ordem 𝑘 com a curva Σ no ponto 𝑝. Se ∇𝐹 (𝑝) = 0 dizemos que a 𝐹 -ordem de 𝑝 é nula.
Usaremos a notação 𝐹 -𝑜[𝑝] para a indicar a 𝐹 -ordem de 𝑝.
Exemplo 3. Seja 𝐻 = (𝐹, 𝐺) onde 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥2, 𝐺 uma função suave qualquer e Σ =
{(𝑥, 0); 𝑥 ∈ R}. Note que ∇𝐹 (0, 0) = (0, 1) ̸= 0 e a curva 𝐹−1(0) = {(𝑥, 𝑦) ∈ R2; 𝑦 = 𝑥2} é
uma parábola com vértice na origem. Logo, o contato de 𝐹−1(0) com Σ em (0, 0) é de ordem 2.
Portanto, 𝐹 -𝑜[𝑝] = 2, onde 𝑝 = (0, 0).
Na definição acima, se a 𝐹 -ordem de 𝑝 é 𝐹 -𝑜[𝑝] = 1, então a curva de nível de 𝐹 é transversal a Σ em 𝑝.
Definição 16. Se a 𝐹 -𝑜[𝑝] ̸= 1 então dizemos que 𝑝 é um ponto Σ-crítico de 𝐹 . Caso contrário 𝑝
é ponto Σ-regular.
É comum chamarmos um ponto Σ-crítico 𝑝 de singularidade tangencial de 𝐹 sempre que ∇𝐹(𝑝) ̸= 0.
Definição 17. Dizemos que um ponto 𝑝 é um ponto de dobra crítico de 𝐹 se 𝐹 -𝑜[𝑝] = 2.
Desta forma, podemos definir um ponto de dobra crítico de 𝐹 usando o colchete de Poisson Veja definição de {., .} em (1.1.3).
Definição 18. Dizemos que um ponto 𝑝 é um ponto de dobra crítico de 𝐹 se
{𝑓, 𝐹 }(𝑝) = 0 e {{𝑓, 𝐹 }, 𝐹 }(𝑝) ̸= 0.
3.2
𝑅(Σ)-equivalência
Vamos denotar por H *(R2, 𝑓) o conjunto das funções 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H (R2, 𝑓) que satisfazem
a condição {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑝) = 0 para todo 𝑝 ∈ Σ. Algumas propriedades triviais de 𝐻 ∈ H * são:
1. 𝑝 ∈ Σ é um Σ−ponto crítico de 𝐹 se, e somente se, 𝑝 é um Σ−ponto crítico de 𝐺;
2. Suponha que 𝑝 ∈ Σ é um Σ−ponto crítico de 𝐹 . Logo, se a 𝐹 −ordem de 𝑝 é 2𝑛(2𝑛 + 1),
𝑛 ≥1 então, 𝑝 é um Σ−ponto crítico de 𝐺 cuja 𝐺−ordem é 2𝑚(2𝑚 + 1), 𝑚 ≥ 1
Proposição 5. Suponha que 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H (R2, 𝑓) é uma função contínua. Então 𝐻 ∈
H *(R2, 𝑓).
Demonstração. Lembre que Σ pode ser escrita da forma
Σ = {︁
(𝑥, 𝜙(𝑥)) ∈ R2 ; 𝑥 ∈ R e 𝜙 : R → R é de classe 𝒞𝑘}︁
.
Como 𝐻 = (𝐹, 𝐺) é contínua temos 𝐹 (𝑥, 𝜙(𝑥)) = 𝐺(𝑥, 𝜙(𝑥)). Derivando em 𝑥 conseguimos (𝐹𝑥− 𝐺𝑥) + (𝐹𝑦 − 𝐺𝑦)𝜙′(𝑥) = 0. Então, (1, 𝜙′) é ortogonal a ∇(𝐹 − 𝐺). Como (1, 𝜙′) é paralelo
(−𝑓𝑦, 𝑓𝑥) segue que, (−𝑓𝑦, 𝑓𝑥) é ortogonal a ∇(𝐹 − 𝐺). Finalmente, {𝑓, 𝐹 − 𝐺}(𝑝) = 0 para todo
Seja 𝐷(2) o conjunto de todas as funções 𝐹 : R2 → R diferenciáveis tal que 𝐹 (0, 0) = 0. No que
segue, trabalhamos com germes 𝐻 = (𝐹, 𝐺) em 𝐷(2) × 𝐷(2) tal que 𝐻 ∈ H*(R2, 𝑓). Denotamos
o conjunto dos germes acima por 𝐷*(2) e por
𝑅(Σ) = {ℎ : R2 → R2; ℎ é um homeomorfismo e ℎ(Σ) = Σ}
o conjunto dos germes de homeomorfismos que deixa invariante a subvariedade Σ. Assumimos, sem perda de generalidade, que Σ = 𝑓−1(0) onde 𝑓 : R2
→ R é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦.
Definição 19. Dois germes 𝐻 e ¯𝐻 em 𝐷*(2) são 𝑅(Σ)−equivalentes se existe ℎ ∈ 𝑅(Σ) tal que
¯
𝐻 = 𝐻 ∘ ℎ.
Exemplo 4. As funções 𝐻 = (𝐹, 𝐹 ) e ¯𝐻 = (𝐺, 𝐺), onde 𝐹, 𝐺 : R2 → R são dadas por 𝐹 (𝑥, 𝑦) =
𝑦 − 𝑥2 e 𝐺(𝑥, 𝑦) = −𝑦 + 𝑥2 respectivamente, são 𝑅-equivalentes, isto é, existe um difeomorfismo 𝜙
tal que ¯𝐻 = 𝐻 ∘ 𝜙. Mas, não são 𝑅(Σ)-equivalentes.
De fato a 𝑅-equivalência é dada pelo difeomorfismo 𝜙(𝑥, 𝑦) = (𝑥, −𝑦 + 2𝑥2), pois
𝐻 ∘ 𝜙(𝑥, 𝑦) = 𝐻(𝑥, −𝑦 + 2𝑥2) = −𝑦 + 2𝑥2− 𝑥2 = −𝑦 + 𝑥2 = ¯𝐻(𝑥, 𝑦).
Por outro lado, observe que ¯𝐻(𝑥, 𝑦) = −𝐻(𝑥, 𝑦), em particular, temos que 𝐻(𝑢, 0) < 0 e
¯
𝐻(𝑣, 0) > 0 qualquer que seja 𝑢, 𝑣 ̸= 0. Então, dado um homeomorfismo ℎ : R2 → R2 tal que
ℎ(𝑥, 0) = (ℎ1(𝑥, 0), 0) tem-se que para 𝑥 ̸= 0
𝐻 ∘ ℎ(𝑥, 0) = 𝐻(ℎ1(𝑥, 0), 0) < 0 e ¯𝐻(𝑥, 0) > 0.
Portanto, 𝐻 ∘ ℎ(𝑥, 0) ̸= ¯𝐻(𝑥, 0) e concluímos que 𝐻 e ¯𝐻 não são 𝑅(Σ)-equivalentes.
3.3
Singularidade de codimensão 0 em
H
*((R
2, 0), 𝑓 )
Nesta seção, caracterizaremos o conjunto Σ0 das aplicações 𝐻 ∈ H*(R2, 𝑓) que são localmente
estruturalmente estáveis em H *(R2, 𝑓), isto é, persistentes à pequenas perturbações.
Classificare-mos os pontos regulares e singularidades genéricas de uma função 𝐻 ∈ H *(R2, 𝑓), para os quais
exibiremos uma forma normal 𝒞0 e construiremos o homeomorfismo que dá a 𝑅(Σ)-equivalência
topológica entre uma função genérica e sua forma normal.
As próximas duas proposições nos fornecem, respectivamente, formas normais para pontos regulares e para singularidades genéricas de 𝐻. No que se segue, consideramos os casos em que a fonte e a meta dos germes são fixadas ( (0, 0) e 0 respectivamente). Assumimos também, sem perda de generalidade, que os pontos de descontininuidade ou de não diferenciabilidade de 𝐻 são dados por Σ = 𝑓−1(0) onde 𝑓 : R2 → R é dada por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦.
Proposição 6. Seja 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H *(R2, 𝑓) para o qual (0, 0) ∈ Σ é um ponto Σ-regular. Então,
numa vizinhança 𝑈 de (0, 0), 𝐻 é 𝑅(Σ)-equivalente à forma normal ¯ 𝐻(𝑥, 𝑦) = {︃ ¯ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 se 𝑦 > 0 ¯ 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑥 se 𝑦 < 0 . (3.3.1)
Demonstração. Seja 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H*(R2, 𝑓). Sendo (0, 0) um ponto Σ−regular temos que
{𝑓, 𝐹 }(0, 0) ̸= 0 e {𝑓, 𝐺}(0, 0) ̸= 0.
Por um cálculo simples temos que {𝑓, 𝐹 }(𝑝) = −𝐹𝑥(𝑝) e {𝑓, 𝐺}(𝑝) = −𝐺𝑥(𝑝). Logo, se 𝑝 ∈ Σ
então 𝑝 = (𝑥, 0), 𝐹𝑥(𝑝) = 𝐺𝑥(𝑝) e 𝐹𝑥(0, 0) = 𝐺𝑥(0, 0) ̸= 0. Segue agora do teorema das submersões
que existe uma vizinhança 𝑈 ⊂ R2 da origem e difeomorfismos ℎ : 𝑉 → Σ+, 𝑔 : 𝑊 → Σ− onde,
𝑉 = 𝑈 ∩ Σ+ e 𝑊 = 𝑈 ∩ Σ− tais que
𝐹 ∘ ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥 e 𝐺 ∘ 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥. (3.3.2)
Além disso, temos que ℎ e 𝑔 são dadas por: ℎ(𝑥, 𝑦) = (ℎ1(𝑥, 𝑦), 𝑦) e 𝑔(𝑥, 𝑦) = (𝑔1(𝑥, 𝑦), 𝑦).
Defina então 𝑘 : 𝑈 → R2 por
𝑘(𝑥, 𝑦) =
{︃
ℎ(𝑥, 𝑦) se 𝑦 ≥ 0
𝑔(𝑥, 𝑦) se 𝑦 < 0 . (3.3.3)
Claramente 𝑘 é uma aplicação diferenciável em (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈 − Σ.
Afirmamos agora que 𝑘(Σ) ⊂ Σ e que 𝑘 : 𝑈 → R2 é contínua em 𝑈 ∩ Σ. De fato temos que
ℎ(𝑥, 0) = (ℎ1(𝑥, 0), 0) ∈ Σ e 𝑔(𝑥, 0) = (𝑔1(𝑥, 0), 0) ∈ Σ. Agora da equação (3.3.2) e da continuidade
de 𝐻 temos
𝐹(ℎ1(𝑥, 0), 0) = 𝐺(𝑔1(𝑥, 0), 0) = 𝐹 (𝑔1(𝑥, 0), 0).
Para mostrar a continuidade de 𝑘 é suficiente provarmos que ℎ1(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥, 0) para todo 𝑥 tal
que (𝑥, 0) ∈ 𝑈. Suponha então que ℎ1(𝑥, 0) = 𝑎 < 𝑏 = 𝑔1(𝑥, 0) e considere a função
𝜙: R → R
𝑠 ↦→ 𝐹(𝑠, 0) . (3.3.4)
Como 𝐹 é diferenciável temos que a função 𝜙 é diferenciável no intervalo [𝑎, 𝑏] e 𝜙(𝑎) = 𝐹 (ℎ1(𝑥, 0), 0) =
𝐹(𝑔1(𝑥, 0), 0) = 𝜙(𝑏). Segue do Teorema de Rolle que existe um ponto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que
𝑑𝜙
𝑑𝑠(𝑐) = 0.
Por outro lado, tem-se que
𝑑𝜙 𝑑𝑠(𝑐) =
𝑑
𝑑𝑠𝐹(𝑠, 0)|𝑠=0.
Desta forma, existe um ponto (𝑐, 0) ∈ 𝑈 ∩ Σ tal que 𝐹𝑥(𝑐, 0) = 0, o que é um absurdo.
Logo, ℎ1(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥, 0) e consequentemente ℎ(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥, 0). Portanto, 𝑘 : 𝑈 → R2 é um
homeomorfismo tal que 𝐻 ∘ 𝑘(𝑥, 𝑦) = 𝑥. Isto prova a proposição.
Proposição 7. Seja 𝐻 = (𝐹, 𝐺) ∈ H*(R2, 𝑓) para o qual (0, 0) ∈ Σ é um ponto tipo dobra-crítico
das funções 𝐹 e𝐺. Então, numa vizinhança 𝑈 de (0, 0), 𝐻 é 𝑅(Σ)−equivalente à forma normal ¯ 𝐻(𝑥, 𝑦) = {︃ ¯ 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥2 se 𝑦 ≥ 0 ¯ 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑦 + 𝑏𝑥2 se 𝑦 < 0 , (3.3.5)
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ {−1, 1}.
Demonstração. Como (0, 0) ∈ Σ é um ponto dobra crítico das funções 𝐹 e𝐺, então, ou a dobra
é visível, invisível ou visível-invisível. Suponhamos que (0, 0) ∈ Σ seja um ponto dobra crítico visível. Neste caso temos que,
𝐹𝑥(0, 0) = − {𝑓, 𝐹 } (0, 0) = 0 = − {𝑓, 𝐺} (0, 0) = 𝐺𝑥(0, 0), (3.3.6)
−𝐹𝑦(0, 0).𝐹𝑥𝑥(0, 0) = {{𝑓, 𝐹 } , 𝐹 } (0, 0) > 0, (3.3.7)
−𝐺𝑦(0, 0).𝐺𝑥𝑥(0, 0) = {{𝑓, 𝐺} , 𝐺} (0, 0) < 0. (3.3.8)
Suponhamos agora que ∇𝐹 (0, 0) = 𝜆(0, 1) com 𝜆 > 0. Então, ∇𝐺(0, 0) = ¯𝜆(0, −1) com ¯𝜆 > 0. Vamos construir um homeomorfismo ℎ : R2 → R2 tal que
¯
𝐻= 𝐻 ∘ ℎ−1 e ℎ(Σ) = Σ.
Nossa construção é dada por partes:
1. Construiremos um homeomorfismo 𝑔 : R2 + → R2+ tal que ¯ 𝐹 = 𝐹 ∘ 𝑔−1 e 𝑔(Σ) = Σ, onde R2 += {(𝑥, 𝑦) ∈ R2; 𝑦 ≥ 0}. 2. Construiremos um homeomorfismo 𝑘 : R2 − → R2− tal que ¯ 𝐺= 𝐺 ∘ 𝑘−1 e 𝑘(Σ) = Σ, onde R2 −= {(𝑥, 𝑦) ∈ R2; 𝑦 ≤ 0}. 3. Verificaremos que 𝑔|Σ = 𝑘|Σ. Segue de (1), (2) e (3) que ℎ(𝑥, 𝑦) = (𝑔, 𝑘)(𝑥, 𝑦) = {︃ 𝑔(𝑥, 𝑦) se 𝑦 ≥ 0 𝑘(𝑥, 𝑦) se 𝑦 ≤ 0 é o homeomorfismo procurado.
A fim de construir a função ℎ, observe que como ∇𝐹 (0, 0) = 𝜆(0, 1) com 𝜆 > 0 então, 𝐹𝑦(0, 0) =
𝜆 > 0 e consequentemente da equação (3.3.7) temos 𝐹𝑥𝑥(0, 0) < 0. Sendo 𝐹𝑦(0, 0) ̸= 0 o Teorema
das Submersões garante que existe um difeomorfismo Γ : R2 → R2 tal que 𝐹 ∘ Γ−1(𝑥, 𝑦) = 𝑦. Além
disso, Γ é dada por Γ(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝐹 (𝑥, 𝑦)).
Note que Γ(𝑥, 0) = (𝑥, 𝐹 (𝑥, 0)) e como 𝐹𝑦(0, 0) > 0 temos que 𝐹 (𝑥, 𝑦) > 𝐹 (𝑥, 0) para todo
𝑦 ≥0. Logo, Γ(R2
Seja ¯𝐷= {(𝑥, 𝑦) ∈ R2; 𝑦 ≥ −𝑥2} e considere agora a aplicação 𝜙 : 𝐷(𝐹 ) → ¯𝐷 dada por: 𝜙(𝑥, 𝑦) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ (𝑥, 𝑦) se 𝑦 > 0 (𝑥 − 𝛼−1 + (𝑦) + √ −𝑦, 𝑦) se 𝐹 (𝑥, 0) ≤ 𝑦 ≤ 0 e 𝑥 ≥ 0 (𝑥 − 𝛼−1 − (𝑦) − √ −𝑦, 𝑦) se 𝐹 (𝑥, 0) ≤ 𝑦 < 0 e 𝑥 < 0 , (3.3.9)
onde 𝛼 : R → R é dada por 𝛼(𝑠) = 𝐹 (𝑠, 0) e 𝛼+ = 𝛼|R+ e 𝛼−= 𝛼|R−. Para detalhes da construção
da aplicação 𝜙 veja observação 2.
Note que a função diferenciável 𝛼 : R → R não é invertível, entretanto, 𝛼+ e 𝛼− são invertíveis
numa vizinhança da origem. De fato, 𝐹𝑥𝑥(0, 0) > 0 implica que 𝛼′ = 𝐹𝑥 é crescente mas, 𝛼′(0) =
𝐹𝑥(0, 0) = 0, assim temos 𝛼′(𝑠) ̸= 0 para todo 𝑠 ̸= 0. Além disso, a função dada por 𝑦 →
√ −𝑦 para 𝑦 < 0 também é invertível. Segue daqui que 𝜙 está bem definida e é uma bijeção.
Resta-nos verificar que 𝜙 é contínua. De fato, se 𝑦 > 0 temos que 𝜙 é diferenciável, pois as funções coordenadas são diferenciáveis, logo 𝜙 é contínua em todo ponto (𝑥, 𝑦) com 𝑦 > 0. Para
𝑦= 0 temos por definição que 𝜙(𝑥, 0) = (𝑥, 0). Agora note que se 𝐹 (𝑥, 0) < 𝑦 < 0 então,
lim 𝑦→0𝜙(𝑥, 𝑦) = lim𝑦→0(𝑥 − 𝛼 −1 + (𝑦) + √ −𝑦, 𝑦) = (𝑥, 0) = 𝜙(𝑥, 0) para 𝑥 ≥ 0, (3.3.10) lim 𝑦→0𝜙(𝑥, 𝑦) = lim𝑦→0(𝑥 − 𝛼 −1 − (𝑦) − √ −𝑦, 𝑦) = (𝑥, 0) = 𝜙(𝑥, 0) para 𝑥 < 0. (3.3.11) Desta forma temos que 𝜙 é um homeomorfismo. Note também que
𝜙(𝑥, 𝐹 (𝑥, 0)) = ⎧ ⎨ ⎩ (√︁ −𝐹(𝑥, 0), 𝐹 (𝑥, 0)) se 𝑥 ≥ 0 (−√︁ −𝐹(𝑥, 0), 𝐹 (𝑥, 0)) se 𝑥 < 0 . (3.3.12) Logo, 𝜙(𝛼(𝑠)) ⊂ 𝜕 ¯𝐷 = {(𝑥, −𝑥2) ∈ R2; 𝑥 ∈ R}. Para deixar claro o papel da 𝜙, considere a
aplicação 𝑢 : R2 → R2 dada por 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦. Então,
𝑢|𝐷(𝐹 ) = 𝑢| ¯𝐷 ∘ 𝜙 e 𝜙(𝜕𝐷(𝐹 )) = 𝜕 ¯𝐷. (3.3.13)
Tomemos agora o difeomorfismo 𝜓 : R2
→ R2 dado por 𝜓(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦 − 𝑥2). Claramente,
𝜓−1(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦 + 𝑥2) e vemos que
𝜓|R2
+ = ¯𝐷 ; 𝜓(𝑥, 0) = (𝑥, −𝑥
2) e 𝐹 ∘ 𝜓−1(𝑥, 𝑦) = 𝑦. (3.3.14)
Por fim, definamos 𝑔 : R2
→ R2 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝜓−1∘ 𝜙 ∘Γ(𝑥, 𝑦).
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝜓−1∘ 𝜙(𝑥, 𝐹 (𝑥, 𝑦)) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝜓−1(𝑥, 𝐹 (𝑥, 𝑦)) se 𝐹 (𝑥, 𝑦) ≥ 0 𝜓−1(︁𝑥 − 𝛼−1+ (𝐹 (𝑥, 𝑦)) +√︁−𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹 (𝑥, 𝑦))︁ se 𝑦 ≥ 0, 𝑥 > 0 e 𝐹 (𝑥, 𝑦) < 0 𝜓−1(︁𝑥 − 𝛼−1− (𝐹 (𝑥, 𝑦)) −√︁−𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹 (𝑥, 𝑦))︁ se 𝑦 ≥ 0, 𝑥 < 0 e 𝐹 (𝑥, 𝑦) < 0 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (𝑥, 𝐹 (𝑥, 𝑦) + 𝑥2) se 𝐹 (𝑥, 𝑦) ≥ 0 (︃ 𝑥 − 𝛼−1+ (𝐹 (𝑥, 𝑦)) + √︁ −𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹 (𝑥, 𝑦) +[︁𝑥 − 𝛼−1+ (𝐹 (𝑥, 𝑦)) + √︁ −𝐹(𝑥, 𝑦)]︁2 )︃ se 𝑦 ≥ 0, 𝑥 > 0 e 𝐹 (𝑥, 𝑦) < 0 (︃ 𝑥 − 𝛼−1− (𝐹 (𝑥, 𝑦)) −√︁−𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐹 (𝑥, 𝑦) +[︁𝑥 − 𝛼−1− (𝐹 (𝑥, 𝑦)) −√︁−𝐹(𝑥, 𝑦)]︁2 )︃ se 𝑦 ≥ 0, 𝑥 < 0 e 𝐹 (𝑥, 𝑦) < 0 .
Pelos cálculos feitos até o momento, temos que
𝐹 ∘Γ−1 = 𝑢|𝐷(𝐹 ) para 𝑦 ≥ 0 , 𝑢|𝐷(𝐹 ) = 𝑢| ¯𝐷 ∘ 𝜙 e ¯𝐹 ∘ 𝜓
−1 = 𝑢
| ¯𝐷. (3.3.15)
Combinando as igualdades de (3.3.15), verificamos que
𝐹 ∘Γ−1 = 𝑢| ¯𝐷∘ 𝜙 = ¯𝐹 ∘ 𝜓−1∘ 𝜙. 𝐹 = ¯𝐹 ∘ 𝜓−1∘ 𝜙 ∘Γ. 𝐹 = ¯𝐹 ∘ 𝑔 ou ¯𝐹 = 𝐹 ∘ 𝑔−1. 𝐹 Γ 𝑢|𝐷(𝐹 ) (𝑥, 𝐹 (𝑥, 0)) 𝜙 𝑢|𝐷¯ (𝑥, −𝑥2) 𝜓 ¯ 𝐹 𝑔
Figura 3.1: Esquema da construção do homeomorfismo 𝑔.
Segue direto da construção de 𝑔 que 𝑔(Σ) = Σ. Veja esquema da construção do homeomorfismo
