Conjuntos limite e bifurfações de campos de vetores suaves por partes no plano

(1)

Suaves por Partes no Plano.

(2)

Conjuntos Limitee Bifurações de Campos de Vetores Suaves por Partes

no Plano

Orientador: Prof. Dr. Claudio Aguinaldo Buzzi

Tese apresentada para obtenção do título de Doutor em

Matemátia,áreadeMatemátiajuntoaoProgramade

Pós-Graduação em Matemátia do Instituto de Bioiênias,

Le-tras e Ciênias Exatas da Universidade Estadual Paulista

"Júlio de Mesquita Filho", Campus de São José do Rio

Preto.

Bana Examinadora

Prof. Dr. Claudio AguinaldoBuzzi

UNESP - São José doRioPreto

Orientador

Prof. Dr. MaroAntonio Teixeira

UNICAMP - Campinas

Prof. Dr. Ronaldo Alves Garia

UFG- Goiânia

Prof. Dr. JoãoCarlos da Roha Medrado

UFG- Goiânia

Prof. Dr. PauloRiardo daSilva

UNESP - São José doRioPreto

UNESP - São José do RioPreto

(3)

Gostaria de lembrar aqui de, alguns, daqueles que tornaram possível a realização deste

trabalho. Por maisque eu meesforçassejamais onseguiria oloaraqui uma lista ompleta

das pessoas que me ajudaram, direta ou indiretamente, para a obtenção deste título. Fia

aquimeu profundoagradeimento atodos, porém gostariade destaaralgumas pessoas.

Primeiramente, aos meus pais, Geraldo e Neuza, pelo apoio e amor inondiionais, aos

quaisnãosóagradeço omo tambémdedio estetrabalho.

Ao meu orientador Claudio Buzzi, pelas rítias valiosas e sempre onstrutivas, pelo

su-porte, apoio,paiênia, dediação eprinipalmente por ontarom suaamizade.

Aos olegas do IBILCE, em espeial ao pessoal da primeira turma de doutorado do

IBILCE. Ao Pedro pela importantíssima ompanhia em Barelona, ao nosso "hefe" Rafael

pelas dias no espanhol e ao Eduardo quesetornou umgrande amigo durante essesúltimos

anos,inlusive me aturandoemsuaasa por alguns dias.

AosprofessoresefunionáriosdoIBILCE que,deformamuitoprestativae eduada,

sem-pre forneeram o suporte aadêmio neessário. Em espeial agradeço à Neuza Kakutapela

oportunidade no iníio de minha graduação quando me apoiou no grupo PET e ao Paulo

Riardoqueuidoudaminha iniiação ientía equeaindahojesededia ameauxiliarem

meustrabalhos.

Aomeuorientadordomestrado,osaudosoCarlosGutierrez,semoqualnãoteriahegado

(4)

Aagênia FAPESP peloapoionaneiro duranteo Doutorado (etambém durantea

(5)

EstetrabalhoestárelaionadoomaTeoriaQualitativadeSistemas

Dinâmios suaves por partes. Estudamos a existênia de onjuntos

li-mite, hamados ilos anard, paraesta lasse de sistemasdenidos no

plano e analisamos quando ilos limite de ampos suaves onvergem

paraestes. Ooneitode ÍndiedePoinaré foigeneralizado para

am-possuavespor partes noplano. Seguindo oprograma deThom-Smale,

exibimos famílias a 3-parâmetros, bem omo os respetivos diagramas

de bifuração, das singularidades planares denominadas Dobra-Sela e

Dobra-Cúspide. Também apliamos o Método Averaging de Primeira

Ordemparaquantiarosiloslimiteeilosanarddeumalassede

(6)

ThisworkisrelatedtoQualitativeTheoryofnon-smoothDynamial

Systems. We studytheexisteneoslimitsets,namedanardyles,for

thislassofplanarsystems. Andweanalyzewhenlimitylesofsmooth

vetor elds onverge to them. The onept of Poinaré Index was

generalized for planarnon-smooth systems. Following theThom-Smale

program we exhibit 3-parameter families, and its bifuration diagrams,

ofthe planar singularities alledFold-Saddle and Fold-Cusp. We apply

the First Order Averaging Method to obtain an upper bound to the

numberoflimit ylesand anardyles for aspeiallassofpieewise

(7)

Introdução 15

1 Basi Theory about Non

−

Smooth Vetor Fields 29

1.1 Motivation. . . 29

1.2 Preliminaries . . . 30

1.3 The DiretionFuntion . . . 34

2 Limit Sets and Convergene 37 2.1 Regularization. . . 37

2.2 On theExistene ofCanard Cyles . . . 38

2.3 On theConvergene ofLimit Cylesto Canard Cyles . . . 39

2.3.1 Constrution of a neighborhood ofdiameter

µ

arounda hyperboli a-nard yle. . . 40

2.4 Geometri SingularPerturbation Theory . . . 43

3 Poinaré Index for Non

−

Smooth Vetor Fields 47 4 Bifurations 53 4.1 Heterolini Orbitsand Bifurations . . . 53

4.2 The Fold

−

Saddle Singularity . . . 56

4.2.1 Setting theproblem . . . 56

4.2.2 Statement ofthe MainResults . . . 60

4.2.3 Proof of Theorem4.1. . . 62

(8)

4.2.10 Proof ofTheorem 4.8. . . 74

4.3 The Fold

−

Cusp Singularity . . . 74

4.3.1 Setting theproblem . . . 74

4.3.2 Statement of theResults . . . 78

4.3.3 Proof ofTheorem 4.9. . . 79

4.3.4 Proof ofTheorem 4.10 . . . 84

4.3.8 Conlusion . . . 89

5 Averaging Method and the Number of Periodi Limit Sets 91 5.1 First

−

Order Averaging Method . . . 95

5.2 Proof ofTheorem 5.1. . . 97

5.2.1 Proof ofCorollary 5.1 . . . 101

5.3.1 Proof ofProposition 5.3 . . . 106

5.3.2 Proof ofCorollary 5.2 . . . 112

(9)

Éextremamentedifundidaa idéiaqueequaçõesdifereniaismodelamsistemas dearáter

geral nasmais diversasáreas do onheimento. Muito se fez no sentido de desenvolver uma

teoriasólidanesseontexto(veja[1℄,[33℄,[38 ℄ou[42 ℄). Entretantosomentereentementeuma

novalassedetaissistemasganhounotoriedade, sãooshamados SistemasDinâmiossuaves

por partes. Nestesadmite

−

sequeexistaumasubvariedade

(

n

−

1)

−

dimensional

Σ

doespaço

R

n

onde o ampo de vetoresdeixa de sersuave e emalguns asosdeixa inlusive deser

on-tínuo. Aestavariedadedamos onomedeVariedade deDesontinuidade (ouurva/superfíie

dedesontinuidade segundo

n

= 2

ou

n

= 3

).

Este trabalho está relaionado om a Teoria Qualitativa das Equações Difereniais

Or-dinárias visando obter propriedades qualitativas dos Sistemas Dinâmios suaves por partes

noplano. Apesar de existiremdiversostrabalhos nesta linha de pesquisa, muito aindaresta

a fazer e pretendemos aqui ontribuir om essa teoria, quer seja estendendo para esse

on-textoresultadoslássios estabeleidos para ampossuavesemgeral,quer sejaapresentando

resultados quenão temanálogo paraampossuavesem geral equesófazem sentido quando

inseridosnouniverso dosamposde vetoressuavespor partes.

Em termos mais formais, onsideraremos

Σ =

f

−

1 ₍₀₎

onde

f

:

R

n

_−→

_R

é uma função

suave que tem

0 ∈

R

omo um valor regular, isto é,

∇

f

(

p

)

6 = 0

para todo

p

∈

f

−

1 ₍₀₎

e

Σ =

f

−

1 ₍₀₎

. Dessa forma a subvariedade

Σ

divide

R

n

em duas regiões:

Σ

+

=

{

q

∈

R

n

_|

_f

₍

_q

₎

_≥

₀

_}

e

Σ

−

=

{

q

∈

R

n

_|

_f

₍

_q

₎

_≤

₀

_}

. Loalmente sempre podemos identiar

Σ

om

{

x

= (

x

1 , x

2 , . . . , x

n

)

∈

R

n

|

x

1 = 0

}

.

Em ada uma dassub

−

regiões

Σ

+

e

Σ

−

atuará ouo ampo

X

ouo ampo

Y

,ambosde lasse

C

r

, om

r

≥

1

grande o suiente ou

r

=

∞

. Denimos o ampo de vetores C

r

(10)

partes (ou desontínuo)

Z

:

R

n

_\

_Σ

_−→

_R

n

daseguinteforma:

Z

(

x, y

) =

(

X

(

x

)

,

se

x

∈

Σ

+

,

Y

(

x

)

,

se

x

∈

Σ

−

.

Usaremos a notação

Z

= (

X, Y

)

. O onjunto de todos osamposdesontínuos

Z

= (

X, Y

)

será denotadopor

Ω

r

.

Para o que segue, onsidere a notação

X.f

(

p

) =

h∇

f

(

p

)

, X

(

p

)

i

.

A subvariedade

Σ

pode ser partiionada emtrês tiposde regiões:

(i) Asregiões deostura araterizadas por

(

X.f

)(

Y.f

)

>

0

. (ii) Asregiões deesape araterizadas por

(

X.f

)

>

0

e

(

Y.f

)

<

0

. (iii) Asregiões dedeslize araterizadas por

(

X.f

)

<

0

and

(

Y.f

)

>

0

.

Nospontos

p

dasregiõesdedeslizeeesape,paradesreveroomportamentode

Z

utilizamos o Campo de Vetores deFilippov

F

,queé uma ombinação onvexa dosvetores

X

(

p

)

e

Y

(

p

)

(paramaisdetalhesvejaFigura1.1eomentáriosqueapreedem). Noteque,dadaessa

on-guração, é latente arelação queexiste entreamposde vetoressuaves por partes e ampos

de vetoresdenidos emvariedades omfronteira (veja [39℄).

Embusadepropriedadesqualitativasquedesrevamoomportamento dasórbitasdestes

ampos de vetores é de suma importânia que estejam bem araterizados os pontos

regu-lares, ospontos singulares e, em espeial, os hamados Conjuntos Limite. Fora da urva de

desontinuidade

Σ

temos os onjuntos limite lássios omo pontos de equilíbrio ou ilos

limite (entre outros). Já sobre

Σ

, ou passando por

Σ

, apareem novospontos e/ou

onjun-tos distinguíveis que não estavam presentes quando onsideramos

X

ou

Y

individualmente. Diremosque

q

∈

Σ

éumPonto

Σ

−

Regular se:

(i)

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

))

>

0

ou se

(ii)

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

))

<

0

e

q

nãoé umponto de equilíbrio de

F

.

Ospontosde

Σ

quenão são

Σ

−

regularessãohamados dePontos

Σ

−

singulares. Oonjunto dospontos

Σ

−

singularesésubdividido emdois:

(i) Oonjunto dosPseudo Equilíbrios, queé onde

F

= 0

e

(ii) Oonjunto dasSingularidadesTangeniais queé onde

F

= 0

6

e

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

)) = 0

. Os pseudo equilíbriosatuam omo pontosde equilíbrio doampo de Filippove as

(11)

tiposde singularidades tangenias, de aordo om a ordem de ontato de

X

e/ou

Y

om

Σ

. Osmaisrelevantesparanóssãoospontosdedobra edeúspide, onde

X

e/ou

Y

têmontatos quadrátio e úbio om

Σ

, respetivamente. De modo mais formal, dizemos que um ponto

p

_∈

Σ

éumpontodedobrapara

X

se

X.f

(

p

) = 0

mas

X

2 _.f

₍

_p

₎

₆

_{= 0}

(aso

X

2 _.f

₍

_p

₎

_>

₀

diremos

que a dobra é invisível e aso

X

2 _.f

₍

_p

₎

_<

₀

diremos que a dobra é visível). Analogamente,

dizemos que umponto

p

∈

Σ

é umponto de úspide para

X

se

X.f

(

p

) =

X

2 _.f

₍

_p

_{) = 0}

mas

X

3 .f

(

p

)

6 = 0

.

Outro tipo onjuntos limite importante no estudo dos ampos desontínuo são os que

hamamos de ilos anard. Tais ilos são trajetórias fehadas que passam por

Σ

(para

maioresdetalhesvejaadenição1.2). Em[34 ℄estãoaraterizadososilosanardgenérios

(ou hiperbólios). Os ilos anard hiperbólios desritos na referênia aima itada serão

hamados nesta tese de ilos anard hiperbólios do tipo I, II e III (veja ilustrações nas

guras1.2, 1.3e 1.4,respetivamente).

No Capítulo 1 damos as noções básias sobre a teoria de sistemas dinâmios suaves por

partes, prinipalmente no plano, neessárias ao bomentendimento do restante do trabalho.

Esta teoria foi onsolidada ao longo dos anos em trabalhos omo [4 ℄, [21℄, [26 ℄, [41 ℄, entre

outros.

No Capítulo 2 apresentamos em detalhes o proesso de regularização, introduzido por

Sotomayor e Teixeira em [35 ℄, e relaionamos ampos desontínuos no plano om ampos

regularizadosplanaressuaves. Esteproessodizquedadoumampodesontínuo

Z

= (

X, Y

)

, podemosassoiaraeste,umafamília aumparâmetrodeamposdevetoresregularizados

Z

ε

, de lasse C

r

,que é uma aproximação do ampo desontínuo original

Z

. De fato, para ada

q

_∈

_R

2

tome

Z

ε(

q

) =

ϕ

ε(

f

(

q

))

Y

(

q

) + (1

−

ϕ

ε(

f

(

q

)))

X

(

q

)

,

onde

ϕ

ε

(

x

) =

ϕ

(

x/ε

)

om

ϕ

uma função de transição suave que vale

0

se

x

≤ −

1

,vale

1

se

x

_≥

1

e

ϕ

′

₍

_x

₎

_>

₀

se

x

∈

(

−

1 ,

1)

. Note que

Z

ε

oinide om

X

nospontos de

Σ

+

queestão a uma distânia maior que

ε

de

Σ

e

Z

ε

oinide om

Y

nos pontos de

Σ

−

que estão a uma distâniamaiorque

ε

de

Σ

.

No primeiro resultado inédito que apresentamos na tese (veja Teorema 2.1 no Capítulo

2, ou sua tradução abaixo) obtivemos ondições neessárias e suientes para a oorrênia

de umerto tipo de ilo anard. Destaforma, através de ondições intrínseas a

Z

, somos apazes de dizer se oorre ou não umilo anard onforme o espeiado no dito teorema.

Oresultadoé oseguinte (a numeraçãodosteoremas enuniados nestaintrodução éa mesma

(12)

Teorema 2.1 Seja

Z

= (

X, Y

)

∈

Ω

r

um ampo de vetores suave por partes apresentando

apenas uma dobra

A

, onde esta é visível. Denote por

γ

1

o aro do ampo de vetores

W

(

W

=

X

ou

W

=

Y

) que passa por

A

e hame de

B

o ponto de ontato transversal de

γ

1

om

Σ

. Então

Z

temumilo anard

Γ

see somenteseasseguintesondições são satisfeitas (veja Figura 1):

(i) a omponente

γ

1

de

Γ

que passa por

A

é um aro dotipo foal (vejaa denição 2.2); (ii)

X.f

(

q

)

. Y.f

(

q

)

<

0

para todo

q

∈

A B/

d

{

A

}

onde

A B

d

representa o aro de

Σ

ligandoos

pontos

A

e

B

(nestearo inlui-se os extremos

A

e

B

);

(iii)

{

X

(

q

)

, Y

(

q

)

}

é umonjunto linearmente independente para todo

q

∈

A B

d

. PSfragreplaements

γ

1 A

B

X

Y

Σ

Figure 1: Ciloanardomapenas umadobra.

Em [34℄ osautores provamque seo ampo desontínuo tem um iloanard hiperbólio

então o ampo ontínuo regularizado também apresenta um ilo limite hiperbólio. No

segundo resultado inédito desta tese (veja o Teorema 2.2 no Capítulo 2, ou sua tradução

abaixo), provamos a onvergênia destes ilos limitehiperbólios dosampos regularizados

para os ilos anard hiperbólios dos ampos desontínuos, de aordo om a distânia de

Hausdor. Observamos quea distâniade Hausdorentre ompatosde

R

2

é dada por

D

(

K

1 , K

2 ) =

max

z

1∈

K

1 ,z

2∈

K

2 {

d

(

z

1 , K

2 )

, d

(

z

2 , K

1 )

}

.

Oresultado obtido éo seguinte:

Teorema2.2Seja

Γ

0

umilo anardhiperbólio de

Z

0 ∈

Ω

r

. Entãopara todo

ǫ >

0

oampo de vetores regularizado

Z

ǫ

tem umilo limite hiperbólio

Γ

ǫ

tal que

Γ

ǫ

→

Γ

0

quando

ǫ

→

0

.

ParanalizaroCapítulo2apresentamosaTeoriaGeométriadasPerturbaçõesSingulares

esuaorrelaçãoomamposvetoriaissuavesporpartes. Em[13 ℄ osautoresonjeturam que

(13)

existeafamíliadeiloslimite

Γ

ǫ

omaspropriedadesprouradas,entretanto nãoutilizamos

dasténiasde perturbação singularparaobtê-la.

NoCapítulo 3utilizamos oteoremaanteriorparaobterpropriedades topológiasde

am-pos de vetores desontínuos. Toda a teoria presenteneste apítulo é inédita. Apresentamos

aqui o oneito de Índie de Poinaré para o aso de ampos vetoriais planares suaves por

partes. Salientamos que para adaptar a teoria para o nosso ontexto, preisamos realizar

adaptaçõesna denição de índie de umaminho omrelaçãoa umdado ampode vetores.

Taisadaptaçõessóseriamdefatoúteisseaorealizarmos aregularizaçãodoampodevetores

desontínuo obtivermos que o índie para o aso dos ampos desontínuos onverge para o

índielássio. Este importantefatoéprovadona Proposição3.1doCapítulo 3. Vejaabaixo

oenuniadodeste resultado:

Proposição 3.1Seja

Z

0

umampo de vetores suave porpartese

Z

ǫ

sua regularização, onde

ǫ >

0

é um número real suientemente pequeno. Se

σ

: [0

,

1]

→ U

é um aminho ontínuo fehado então o índie de Poinaré de

σ

em relação ao ampo

Z

ǫ

oinide om o índie de Poinaré da urva

σ

om relação aoampo

Z

0

.

Como tereiroresultado inéditopresentenesta tese(vejao Teorema 3.1doCapítulo 3 ou

suatradução abaixo)estabeleemos umresultadoanálogo ao quesetemparao asolássio

tambémparaonosso ontexto.

Teorema3.1Seja

Z

0 = (

X, Y

)

umampodevetoressuaveporpartes. Seja

σ

: [0

,

1]

→ U

um aminho ontínuo fehado e simples. Se

{

p

1 , . . . , p

k

}

é o onjunto de pontos de equilíbrio ou depontos depseudo equilíbrio de

Z

0

no interior de

σ

então o índie da urva

σ

om relação aoampo

Z

0

é a soma dos índies de

p

i

, para

i

= 1

, . . . , k

.

Este Teorema possui diversas apliações. Por exemplo, esse resultado garante que se o

aminho

σ

for umiloanardhiperbólio então a somadosíndies dospontosde equilíbrio nointeriorde

σ

é iguala

1

,ouaindaquenão existe pseudoilolimitando umaúnia singu-laridadeque é uma

Σ

−

sela. Esta última apliação pode ser melhorada dizendo que se

σ

for umilo anardhiperbólio,entãoexistem

(2

n

+ 1)

pontosdeequilíbriooupseudoequilíbrio, todoshiperbólios, no interior de

σ

;maisainda, destes

n

são selasou

Σ

−

selase

(

n

+ 1)

são foos,

Σ

−

atratores ou

Σ

−

repulsores.

Naliteratura,existemresultados bemestabeleidosquedizemquaisdospontosdepseudo

equilíbrio ou quais dos ilos anard são genérios ou hiperbólios (veja [40℄ e [34℄). O

(14)

quais temodimensão

1

,

2

ou maior.

AssimomonoasolássiotemosoTeoremadePeixoto(veja[32℄),paraoasodeampos

de vetoresdesontínuos

Z

= (

X, Y

)

tambémtemosumresultado, presentenareferênia[34 ℄, quenosdizqueseadiionarmosàsondiçõesdadasnoTeorema dePeixotoosseguintesfatos:

•

todos ospontos de pseudoequilíbrio sãohiperbólios e nenhumponto de equilíbrio de

X

ou de

Y

está sobre

Σ

,

•

todososilosanardsãohiperbóliosenenhumilolimitede

X

oude

Y

temontato om

Σ

,

•

assingularidadestangeniais,asooorram,são

Σ

−

dobrasisoladas,ouseja,não permite-seque ummesmoponto seja

Σ

−

dobrade

X

ede

Y

,

•

não existem onexões entre as

Σ

−

dobras, entre separatrizes de selas ou entre uma separatriz de sela euma

Σ

−

dobra,

entãooonjuntodosamposdevetoresdesontínuosomessaspropriedades éabertoedenso

em

Ω

r

etorna-se dessaforma umonjunto genério.

Com o objetivo de estudar bifurações de ampos de vetores desontínuos preisamos,

antesdemaisnada,denirqualarelaçãodeequivalêniaempregada. Diremos quedois

am-posdesontínuos

Z

e

Z

e

,apresentandourvasde desontinuidade

Σ

e

Σ

e

, são

Σ

−

equivalentes se existir um homeomorsmo

h

preservando orientação que leva

Σ

em

Σ

e

e leva órbitas de

Z

emórbitas de

Σ

e

. Observe que segundo esta relação de equivalênia, órbitas regulares são mandadas emórbitas regularese pontosde equilíbrio ou pontos

Σ

−

singularessãomandados em pontos de equilíbrio ou pontos

Σ

−

singulares. Mais ainda, omo esta relação preserva a orientação,asregiõesdeesape,deslizeeosturasãopreservadas,assimomosãopreservadas

asseparatrizes,asonexõesdeseparatrizes,onexõesdetangenias, osiloslimite,asórbitas

periódiase osilosanard.

Singularidades dos ampos suaves por partes ujo desdobramento de sua forma normal

pode seronseguido usando

1

parâmetro foram estudadas, além de outros,em [27 ℄, onde de

modo geral se onsidera

X

apresentando um ponto de equilíbrio hiperbólio

P

sobre

Σ

e

Y

transversala

Σ

. Destaforma, pequenasperturbações nosamposfazem om queo ponto

P

esteja situado em

Σ

+

ou em

Σ

−

,produzindo assimumabifuração noretratode fase.

Singularidadesujodesdobramento desuaformanormalenvolvem

2

parâmetros, também

entre outros, foram estudadas em [24 ℄, onde se onsideram pontos que são simultaneamente

(15)

OCapítulo 4 desta tese é o úniotrabalho que onheemos quetrata do desdobramento

de singularidades de ampos de vetoressuavespor partes envolvendo maisde

2

parâmetros.

Maisespeiamente, estabeleemos ummétodo sistemátio usadoparaestudar algumas

bi-furações envolvendo singularidades que só apareem quando tratamos de ampos vetoriais

suaves por partes. Além de bifurações mais simples, podemos fazer olidir em um mesmo

ponto de

Σ

umponto de equilíbrio de

X

e uma singularidade tangenial de

Y

(omo exem-plo,veja o primeiro e o tereiro asos na gura2,hamados de singularidades Sela

−

dobrae Foo

−

dobrarespetivamente; ou ainda o tereiro aso da parte superior ou o primeiro aso da parte inferior da gura 3,hamados de singularidades Foo

−

úspide e Sela

−

úspide res-petivamente),ou olidiremummesmoponto de

Σ

umponto deequilíbriode

X

eumponto de equilíbrio de

Y

(omo exemplo, veja os dois primeiros asos da parte superior ou o se-gundoasodaparteinferiordagura3,hamadosrespetivamentesingularidades Sela

−

foo, Foo

−

foo e Sela

−

sela respetivamente), ou ainda olidir em um mesmo ponto de

Σ

uma singularidadetangenialde

X

eoutrade

Y

(vejaosegundoasonagura2ouotereiroaso daparteinferiordagura3,hamadosdesingularidadesCúspide

−

dobraeCúspide

−

úspide).

PSfragreplaements

Figure 2: Singularidadesom

Y

apresentandouma

Σ

−

dobrainvisível.

PSfragreplaements

(16)

Considerando ospontos de equilíbrio hiperbólios e analisando os ampos isoladamente,

temoso seguinte:

•

Paraoasodeum foosobre

Σ

,impondo pequenasperturbaçõesaoampo onluímos que o foo translada para

Σ

+

ou para

Σ

−

(veja Figura 4). Uma forma normal que representa estedesdobramento édada por

−

x

₋

(

y

₋

ǫ

)

x

₋

(

y

₋

ǫ

)

!

onde para

ǫ >

0

o foo pertene a

Σ

+

e para

ǫ <

0

ofoo pertene a

Σ

−

.

PSfragreplaements

Figure 4: Desdobramentodofoohiperbóliosobre

Σ

.

•

Paraoasodeumaselasobre

Σ

,impondopequenasperturbaçõesaoampoonluímos que esta é transladada para

Σ

+

ou para

Σ

−

(veja Figura 5). Uma forma normal que representa estedesdobramento édada por

(

y

₋

θ

)

x

!

onde para

θ >

0

asela pertene a

Σ

+

e para

θ <

0

a selapertene a

Σ

−

.

•

Para o aso de uma úspide sobre

Σ

, impondo pequenas perturbações ao ampo on-luímos queaúspide pode tornar-se transversala

Σ

ou passar aterumadobravisível

e mais um ponto de ontato transversal om

Σ

. (veja Figura 6). Uma forma normal

querepresenta estedesdobramento é dadapor

1 −

x

2 ₊

_ρ

(17)

PSfragreplaements

Figure 5: Desdobramentodaselahiperbóliasobre

Σ

.

onde para

ρ >

0

temos uma dobra visível e um ponto de ontato transversalom

Σ

e para

ρ <

0

temosapenasontatos transversais om

Σ

.

PSfragreplaements

Figure 6: Desdobramentodaúspidesobre

Σ

.

Dos desdobramentos destassingularidades podem surgir osmais diversos

omportamen-tos topológios, de aordo om as posições relativas dos pontos envolvidos. Evidente que a

passagem de um aso para o outro pode produzir bifurações de odimensão baixa, omo o

mostradona gura7onde nota-seuma bifuraçãodotipoHopf.

Nesta tese, tratamos em detalhes assingularidades Dobra

−

Sela e Dobra

−

Cúspide. Em ambos osasos damos famíliasa três parâmetros que asrepresentam, analisamos seu

(18)

24 Introdução

Figure 7: BifuraçãodotipoHopf.

ParaassingularidadesDobra

−

Selarepresentadasnasguras8e9temosaseguintefamília a

3

parâmetros queasrepresentam:

Z

τ

_λ,µ,β

=











X

λ

=

1 α

1(

τ

)(

x

−

λ

) +

α

2(

τ

)(

x

−

λ

)

2 !

if

y

≥

0

,

Y

µ,β

=

µ

2 x

+

(µ

−

2)

2 (

y

+

β

)

(µ

−

2)

2 x

+

µ

2 (

y

+

β

)

!

if

y

≤

0 ,

onde

λ

,

β

∈

(

−

1 ,

1)

,

τ

=

inv

quandoa

Σ

−

dobra de

X

éinvisível,

τ

=

vis

quandoa

Σ

−

dobra de

X

é visível,

α

1(

inv

) =

−

1

,

α

1(

vis

) = 1

,

α

2(

inv

) = 1

,

α

2(

vis

) = 0

e

µ

∈

(

ε

0 ,

1)

om

ε

0 <

0

(maiores detalhes sobrea função de ada parâmetropodemser enontrados na seção4.2).

Figure 8: Singularidade Dobra

−

Sela oma

Σ

−

dobrainvisível.

−

Sela oma

Σ

−

dobra visível.

Variando os parâmetros

λ

,

µ

e

β

enontramos ongurações om nenhum, um ou dois ilos anard; om pseudo equilíbrio do tipo

Σ

−

atrator ou

Σ

−

repulsor, dentre outros. De fato, osprinipais resultados a respeito destas singularidades sãoosseguintes teoremas (que

também podemserenontrados, ommaiores detalhes, naseção 4.2do Capítulo 4):

Teorema 4.7O diagramadebifuração dasingularidade Dobra

−

Sela,omestadobra sendo invisível, apresenta

61

asos sendo que estes representam

25

omportamentos topológios

dis-tintos.

(19)

distinto.

Paraassingularidades Dobra

−

úspiderepresentadas nasguras10e 11temosaseguinte famíliaa

3

parâmetros queasrepresentam:

Z

_λ,β,µ

τ,ρ

=











X

_λ

τ

=

1 ω

1(

τ

)(

x

−

λ

)

!

if

y

≥

0

,

Y

_µ,β

ρ

=

α

2 (

ρ

)

−

x

2 +

β

−

∂B

∂x

ρ

(

x, β, µ

))

!

if

y

≤

0 ,

onde

(

λ, β

)

∈

(

−

1 /

8 ,

1 /

8)

×

(

−

1 /

8 ,

1 /

8)

,

µ

∈

(

−

µ

0 , µ

0 )

, om

µ

0 >

0

,

B

uma bumpfuntion apropriada,

τ

=

ivb

quandoa

Σ

−

dobrade

X

éinvisível,

τ

=

vis

quando a

Σ

−

dobrade

X

é visível,

ρ

=

k

1

quandoaurvaintegraldaúspideéresente,

ρ

=

k

2

quandoaurvaintegral daúspide é deresente,

(

τ, ρ

) = (

ivb, k

1)

e

α

2 (

k

1) =

−

1

ou

(

τ, ρ

) = (

vis, k

2)

e

α

2 (

k

2) = 1

(maiores detalhes sobre a função de ada parâmetro, bem omo a função da bumpfuntion

B

,podemser enontrados naseção 4.3doCapítulo 4).

−

úspide oma

Σ

−

dobrainvisível.

−

úspide oma

Σ

−

dobravisível.

Variandoosparâmetros

λ

,

µ

e

β

enontramososmaisdiversostiposdeongurações. Os prinipaisresultadosa respeito destassingularidades sãoosseguintesteoremas(que também

podemserenontrados, ommaiores detalhes, naseção 4.3do Capítulo 4):

Teorema 4.12 O diagrama de bifuração da singularidade Dobra

−

Cúspide, om esta dobra sendoinvisível, apresenta

51

asos representando

23

omportamentos topológios distintos.

Teorema 4.13 O diagrama de bifuração da singularidade Dobra

−

Cúspide, om esta dobra sendo visível, apresenta

11

asos, sendo que ada um deles representa um omportamento

topológio distinto.

Parafuturostrabalhos pretendemosestudar asoutras singularidadesapresentadas

anteri-ormentebemomo utilizar a teoriageométriadas perturbações singularesou oproesso de

regularizaçãoparadesreversuasbifurações. Salientamos queem[31 ℄estuda-se,utilizandoo

(20)

Σ

₋

dobra de

X

om uma

Σ

−

dobra de

Y

utilizando a teoria geométria das perturbações singulares. Aindaomoobjetivofuturo,gostaríamosdeestenderparaamposde vetores

des-ontínuosem

R

3

osresultados sobrebifuraçõespresentes nestatese.

Paraanalisaroomportamento qualitativodeumdado sistemadinâmioésempre

onve-niente obter informaçõessobre seus onjuntos minimais, ou seja, pontos de equilíbrio, ilos

limite, dentreoutros. Deummodogeral,não éelementarsaberaquantidadedeilos limite

deumampodevetoresapartirdasequaçõesqueodenem. Umdosmétodosmaisrelevantes

para esse m é o hamado Método Averaging, onde pode-se deduzir a quantidade de ilos

limite de um dado ampo de vetoresa partir da quantidade de zeros de uma equação. Este

será o esopo do Capítulo 5, onde utilizamos o Método Averaging de primeira ordem para

estabeleer uma ota de ilos limiteou ilos anard para ertas lasses de ampos em

R

n

(veja maioresdetalhes arespeitodo métodoaveraging na seção5.1do Capítulo 5).

Maisespeiamente,nossoobjetivoéestudaraexistêniadeilosanardparaosistema

˙

x

=

A

0 x

+

εF

(

x

)

,

(0.1)

onde

A

0

é iguala

A

1 ₀

=







0 ₋

1 0

_{· · ·}

0

1

0

0 · · ·

0

0 _{· · ·}

0

. . . . . . . . . . . . . . .

0

0 · · ·

0 





ou

A

2 ₀

=







0 ₋

1 0

0

0 _{· · ·}

0

1

0

0 · · ·

0

0 ₋

1 0

_{· · ·}

0

1

0

0 _{· · ·}

0

0 _{· · ·}

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

0 _{· · ·}

0 





e

F

:

R

n

_→

_R

n

é dada por

F

(

x

) =

Ax

+

ϕ

0 (

k

T

_x

₎

_b

, om

A

∈ M

n

(

R

)

,

k, b

∈

R

n

_\{

₀

_}

e

ϕ

0 :

R

→

R

é a função desontínua

ϕ

0(

x

1) =

(

−

1

se

x

1 ∈

(

−∞

,

0)

,

1

se

x

1 ∈

(0

,

∞

)

,

onde

x

= (

x

1 , . . . , x

n)

T

.

Com estem, iniialmente estudamoso sistema

˙

(21)

onde

F

α

é igual a

F

troando

ϕ

0

pelafunção linearpor partes

ϕ

α

:

R

−→

R

dada por

ϕ

α

(

x

1 ) =











−

1

se

x

1 ∈

(

−∞

,

−

α

)

,

x

1 α

se

x

1 ∈

[

−

α, α

]

,

1

se

x

1 ∈

(

α,

∞

)

,

onde

α >

0

,e depoisfaremos

α

tendera

0

. Osgráos de

ϕ

0

e

ϕ

α

estão ilustradosna gura 12.

PSfragreplaements

1 −

1 α

−

α

1 −

1

Figure 12: À esquerda temosográo de

ϕ

0

eà direitao gráode

ϕ

α

.

Para

ε

= 0

e

A

0 =

A

1

0

,osistema(0.1) a da forma

˙

x

1 =

−

x

2 ,

x

˙

2 =

x

1 ,

x

˙

i

= 0

para

i

= 3

, . . . , n

(0.3)

epara

ε

= 0

e

A

0 =

A

2

0

,o sistema(0.1) a daforma

˙

x

1 =

−

x

2 ,

x

˙

2 =

x

1 ,

x

˙

3 =

−

x

4 ,

x

˙

4 =

x

3 ,

x

˙

i

= 0

(0.4)

para

i

= 5

, . . . , n

.

Diante disso,temososseguintesresultados:

Teorema 5.1 Considere

A

0 =

A

1

0

. Para

n

≥

2

no máximo um ilo limite do sistema di-ferenial linear por partes (0.2) bifura das órbitas periódias do sistema (0.3) . Mais ainda,

existemsistemas ujo número de iloslimite que bifuramé

1

.

Corolário 5.1 Considere

A

0 =

A

1

0

. Para

n

≥

2

no máximo um ilo limite do sistema diferenial linear por partesdesontínuo (0.1) bifura das órbitas periódias do sistema (0.3).

Maisainda, existemsistemas ujo número de ilos limite que bifuramé

1

.

Teorema 5.2 Considere

A

0 =

A

2

0

. Para

n

≥

4

no máximo

3

ilos limite do sistema dife-renial linear por partes (0.2) bifuram das órbitas periódias do sistema (0.4) . Mais ainda,

existemsistemas ujo número de iloslimite que bifuramé

3

.

Corolário5.2 Considere

A

0 =

A

2

(22)

Mais ainda,existem sistemas ujo número de iloslimite que bifuram é

3

.

Considereagoraosistema(0.1)om

F

dadapor

F

(

x

) =

Ax

+

ϕ

(

k

T

_x

₎

_b

,onde

A

∈ M

n

(

R

)

,

k, b

_∈

_R

n

_\{

₀

_}

e

ϕ

:

R

−→

R

éumafunção linear por partes talque

ϕ

(

x

1 ) =











−

1

se

x

1 ∈

(

−∞

,

−

1)

,

x

1

se

x

1 ∈

[

−

1 ,

1]

,

1

se

x

1 ∈

(1

,

∞

)

.

Além disso, tome

A

0 =

A

3

0 =







0 −

1 0

0 · · ·

0

1

0

0 _{· · ·}

0

0 ₋

1 _{· · ·}

0

1

0 · · ·

0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

0 _{· · ·}

0 ₋

1

0

0 · · ·

1

0 





.

Para

ε

= 0

o sistema(0.1) a daforma

˙

x

1 =

−

x

2 ,

x

˙

2 =

x

1 ,

. . .

,

x

˙

n

−

1 =

−

x

n

,

x

˙

n

=

x

n

−

1 .

(0.5)

Teorema5.3 Considere

A

0 =

A

3

0

. Para

n

≥

6

,om

n

par, no máximo

(4

n

−

6)

n/2

−

1

ilos

limite dosistemadiferenial linear por partes (0.1) bifuramdas órbitasperiódiasdosistema

(0.5).

Gostaríamos de destaar ainda que os apítulos

2

,

3

e a primeira seção do Capítulo

4

(23)

1

Basi Theory about Non

−

Smooth

Vetor Fields

1.1 Motivation

Non

−

Smooth Dynamial Systems (abbreviated by NSDS) has beome ertainly one of theommonfrontiers between Mathematis andPhysis,Engineering, Eonomis,Mediine,

Biology or Eology. The dynamis of several suh non

−

smooth systems are relevant in ap-pliations. Problems involvingimpat or fritionarepieewise

−

smooth,asaremanyontrol systemswiththresholds.

Themost ommon pieewise

−

smooth systemsinvolve either adisontinuity inthevetor eld,or inthe orbit given bythe integral solution

x

(

t

)

. Inthisthesiswe onsidertheformer, that is, general systems where the vetor eld is independently dened on either side of

a smooth odimension one swithing manifold. Three possible regions of the manifold are

apparent. At a rossing region the omponent of the vetor eld normal to the swithing

manifoldhasthesamediretiononbothsidesofthemanifold(sometimesalledsewinginstead

ofrossing). Atastableslidingregionbothnormalomponentsofthevetoreldpointtoward

the manifold. At an unstable sliding region both normal omponents point away from the

manifold. Pieewise

−

smooth systems with sliding are also known as Filippov Systems (see [21℄). Clearly these three distint senarios lead to vastly distint dynamis. An orbit that

(24)

30 Chapter 1 BasiTheory about Non

−

SmoothVetor Fields

(stiks) to the manifold. An orbit in an unstable sliding region slides along the swithing

manifold, but will depart it under any innitesimal perturbation. Consequently, the only

meansbywhihastableslidingorbitanesapetheswithingmanifoldistangentially,atthe

boundaryoftheslidingregion. Thisleadstotheobservationthat,underparametervariation,

orbitsinFilippovsystemsanundergoalargevarietyofbifurations,ommonlyalledsliding

bifurations.

We fous our attention on Filippov systems on the plane, whih are systems modeled

by ordinary dierential equations with disontinuous righthand sides. Many authors have

ontributed to the study of Filippov systems (see for instane [21 ℄ and [26℄). One of the

starting points for a systematiapproah inthe geometri and qualitative analysis of NSDS

is the work [39℄, of M. A Teixeira, on smooth systems in 2

−

dimensional manifolds with boundary. See[41℄ or [4℄ for asurveyon NSDSand referenesthere in.

The generi singularities that appear inNSDS, as well as we know, were rst studied in

[40℄. Bifurations and relatedproblemsinvolving or not slidingregions arestudied inpapers

like [18℄and[22 ℄. Bifurationtheorydesribeshowontinuousvariationsofparametervalues

in a dynamialsystem an,through topologial hanges, ausethe phaseportrait to hange

suddenly. Inthisthesiswefousonertainunstablenon

−

smoothvetoreldswithinageneri ontext. The framework inwhih we shallpursuethese unstablesystemsissometimes alled

generibifurationtheory. In[1℄theoneptof

k

th

−

orderstrutural stabilityispresented; in aloalapproahsuhsettinggivesrisetothenotionofaodimension

−

k

singularity. Observe that,sofar,bifurationandnormalformtheoriesfor non

−

smoothvetoreldshavenotbeen extensively studied inasystematiway.

Inthepresent work thebifuration diagramsof sometypialsingularities ofNSDSinthe

planearedisussed. Westudyinthissettingasetoftypialbifurationswhiharenotfoundin

smoothsystems. Itiswellknownthatmanyofthesemodels(seeforinstane[2℄and[3℄)our

ingeneri

k

−

parameterfamiliesandthereforetheytypiallyundergogeneriodimension

−

k

bifurations. Thelassiationofodimension

−

1

loalandsomeglobalbifurationsforplanar systemswasgivenin[27 ℄. In[24 ℄isshownhowtoonstrutthehomeomorphismswhihlead

to equivalenes between two non

−

smooth systems when the disontinuity set is a planar smooth urve. In that work odimension

−

2

singularities were disussed and an amazing phenomena on its bifuration diagrams appeared in the form of innite many branhes of

odimension

−

1

globalbifurations. Thesebifurations,thatalsoappearinthepresentwork, alled ST

−

bifurations, are haraterized by the onnetion between a saddle ritial point and a tangenysingularityor between two speitangenysingularities.

1.2 Preliminaries

Let

K

⊆

R

2

be a ompat set and

Σ

⊆

K

given by

Σ =

f

−

1 ₍₀₎

_,

where

f

:

K

→

R

is a smooth funtion having

0 ∈

R

as a regular value (i.e.

∇

f

(

p

)

6 = 0

, for any

p

∈

f

−

1 ₍₀₎₎

(25)

Σ

+

=

{

q

∈

K

|

f

(

q

)

≥

0 }

and

Σ

−

=

{

q

∈

K

|

f

(

q

)

≤

0 }

. Wean assume that

Σ

isrepresented, loallyarounda point

q

= (

x, y

)

,bythe funtion

f

(

x, y

) =

y.

Designateby

χ

r

the spaeofstruturallystable(see[32 ℄)

C

r

₋

vetoreldson

K

endowed with the

C

r

₋

topology with

r

≥

1

or

r

=

∞

,

large enough for our purposes. Call

Ω

r

₌

Ω

r

₍

_{K, f}

₎

the spaeof vetorelds

Z

:

K

→

R

2

suh that

Z

(

x, y

) =

(

X

(

x, y

)

,

for

(

x, y

)

∈

Σ

+

,

Y

(

x, y

)

,

for

(

x, y

)

∈

Σ

−

,

where

X

= (

f

1 , g

1 )

,

Y

= (

f

2 , g

2)

are in

χ

r

_.

We write

Z

= (

X, Y

)

,

whih we will aept to be multivalued in points of

Σ

.

The trajetories of

Z

are solutions of

q

˙

=

Z

(

q

)

,

whih has, ingeneral, disontinuousright

−

hand side. Thebasi results of dierential equations, inthis ontext, were statedbyFilippovin[21 ℄. Related theories an be found in[26,35, 40 ℄.

Denition 1.1. Twonon

−

smooth vetorelds

Z,

Z

e

∈

Ω

r

₍

_{K, f}

₎

dened in opensets

U,

U

e

∈

K

and with swithing manifolds

Σ

⊂

U

and

Σ

e

⊂

U

e

respetively are

Σ

−

equivalent if there exists an orientation preserving homeomorphism

h

:

U

→

U

e

whih sends

Σ

to

Σ

e

and sends orbitsof

Z

to orbitsof

Z

e

.

We saythat two unfoldings

Θ

λ

:

R

2 _×

_R

k

_→

_R

2

and

Ξµ

:

R

2 _×

_R

l

_→

_R

2

,where

λ

∈

R

k

_,

₀

and

µ

∈

R

l

_,

₀

,aretopologially equivalent iffor eah

λ

∈

R

k

_,

₀

there exists

A

(

λ

)

∈

R

l

_,

₀

suh

that thevetor elds

Θ

λ

and

Ξ

A(λ)

are

Σ

−

equivalent. And we say that an unfolding

Θ

λ

is generiifinaneighborhoodof

Θ

λ

anyotherunfolding

Ξ

µ

istopologially equivalent to

Θ

λ

.

Inwhat followswewill usethenotation

X.f

(

p

) =

h∇

f

(

p

)

, X

(

p

)

i

and

Y.f

(

p

) =

h∇

f

(

p

)

, Y

(

p

)

i

.

We distinguishthe following regionson thedisontinuity set

Σ

:

(i)

Σ

1 ⊆

Σ

is the sewing region if

(

X.f

)(

Y.f

)

>

0

on

Σ

1

.

(ii)

Σ

2 ⊆

Σ

is the esaping region if

(

X.f

)

>

0

and

(

Y.f

)

<

0

on

Σ

2

. (iii)

Σ

3 ⊆

Σ

is the slidingregion if

(

X.f

)

<

0

and

(

Y.f

)

>

0

on

Σ

3

.

Consider

Z

∈

Ω

r

_.

The sliding vetor eld assoiated to

Z

is the vetor eld

Z

s

tangent

to

Σ

3

and dened at

q

∈

Σ

3

by

Z

s

₍

_q

_{) =}

_m

₋

_q

with

m

being the point where the segment joining

q

+

X

(

q

)

and

q

+

Y

(

q

)

is tangent to

Σ

3

(see Figure 1.1). It is lear that if

q

∈

Σ

3

then

q

∈

Σ

2

for

−

Z

andthenweandene theesaping vetoreldon

Σ

2

assoiatedto

Z

by

Z

e

₌

₋

₍

₋

_Z

₎

s

. Inwhatfollowsweusethenotation

Z

Σ

forbothases. Thesewing vetoreld

assoiated to

Z

is thevetor eld

Z

w

(26)

−

SmoothVetor Fields PSfragreplaements

q

+

Y

(

q

)

q

+

X

(

q

)

Z

Σ

(

q

)

Σ3

Figure 1.1: Fillipov'sonvention.

of

X

(

q

)

and

Y

(

q

)

,i.e.,

Z

w

₍

_q

_{) =}

_λX

₍

_q

_{) + (1}

₋

_λ

₎

_Y

₍

_q

₎

where

λ

∈

[0

,

1]

.

We saythat

q

∈

Σ

is a

Σ

−

regular point if (i)

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

))

>

0

or

(ii)

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

))

<

0

and

Z

Σ

₍

_q

₎

₆

_{= 0}

(that is

q

∈

Σ

2 ∪

Σ

3

and it is not a equilibrium point of

Z

Σ

).

The points of

Σ

whih are not

Σ

−

regular are alled

Σ

−

singular. We distinguish two subsetsinthesetof

Σ

−

singularpoints:

Σ

t

and

Σ

p

. Any

q

∈

Σ

p

isalledapseudoequilibrium

of

Z

and itis haraterized by

Z

Σ

₍

_q

_{) = 0}

. Any

q

∈

Σ

t

isalled a tangential singularity and

is haraterized by

Z

Σ

₍

_q

₎

₆

_{= 0}

and

(

X.f

(

q

))(

Y.f

(

q

)) = 0

(

q

isa ontatpoint of

Z

Σ

).

A pseudo equilibrium

q

∈

Σ

p

is a

Σ

−

saddle provided one of the following ondition is satised: (i)

q

∈

Σ

2

and

q

is an attrator for

Z

Σ

or (ii)

q

∈

Σ

3

and

q

is a repeller for

Z

Σ

.

A pseudo equilibrium

q

∈

Σ

p

is a

Σ

−

repeller (resp.

Σ

−

attrator) provided

q

∈

Σ2

(resp.

q

_∈

Σ

3

) and

q

isa repeller(resp. attrator) equilibrium point for

Z

Σ

.

On

Σ

1

an happensthat

q

is a

Σ

−

regular point and

{

X

(

q

)

, Y

(

q

)

}

is linearly dependent. Thesepointsare alledvirtualpseudo equilibria.

Let

X

be a smooth vetor eld dened in

Σ

+

. We say that a point

p

∈

Σ

is a

Σ

−

fold point of

X

if

X.f

(

p

) = 0

but

X

2 _.f

₍

_p

₎

₆

_{= 0}

_.

Moreover, a

Σ

−

fold point

p

of

X

is alled visible (respetively invisible)if

X.f

(

p

) = 0

and

X

2 _.f

₍

_p

₎

_>

₀

(resp.

X

2 _.f

₍

_p

₎

_<

₀

). We say

that a point

q

∈

Σ

is a

Σ

−

usp point of

X

if

X.f

(

q

) =

X

2 _.f

₍

_q

_{) = 0}

and

X

3 _.f

₍

_q

₎

₆

_{= 0}

.

Moreover, a

Σ

−

usp point

q

of

X

is alled of kind 1 (respetively kind 2) if

X

3 _.f

₍

_q

₎

_>

₀

(resp.

X

3 _.f

₍

_q

₎

_<

₀

).

Inpartiular,

Σ

−

foldand

Σ

−

usppoints aretangential singularities.

Denition 1.2. Consider

Z

∈

Ω

r

_.

(27)

• Γ

ontains ars of atleast two of the vetor elds

X

|

Σ

+

,

Y

|

Σ

−

and

Z

Σ

or is

om-posed by a single ar of

Z

Σ

;

•

the transitionbetween ars of

X

andars of

Y

happens in sewing points;

•

the transition between ars of

X

(or

Y

) and ars of

Z

Σ

happens through

Σ

−

fold points or regular points in the esape or sliding ar, respeting the orientation.

Moreover if

Γ

6 = Σ

then there exists at least one visible

Σ

−

fold point on eah onneted omponent of

Γ

∩

Σ

.

2. Let

Γ

be a anard yle of

Z

. We say that

• Γ

isa anard yle of kind I if

Γ

meets

Σ

just in sewing points;

• Γ

isa anard yle of kind II if

Γ = Σ

;

• Γ

isa anard yle of kind IIIif

Γ

ontains atleast one visible

Σ

−

foldpointof

Z

.

In Figures 1.2, 1.3and 1.4arise anard yles of kindI, II andIII respetively.

3. Let

Γ

be a anard yle. We say that

Γ

ishyperboli if

• Γ

isof kindI and

η

′

₍

_p

₎

₆

_{= 1}

, where

η

isthe rstreturn map dened on a segment

T

with

p

∈

T

⋔

γ

;

• Γ

isof kind II;

• Γ

isofkindIII,

Σ

2 ∩

Σ

3 ∩

Γ =

∅

andeither

Γ

∩

Σ

⊆

Σ

1 ∪

Σ

2 ∪

Σ

t

or

Γ

∩

Σ

⊆

Σ

1 ∪

Σ

3 ∪

Σ

t

.

Figure 1.2: Canardyleof

kindI.

PSfragreplaements

Σ = Γ

Figure 1.3: Canardyleof

kindII.

Figure 1.4: Canardyle ofkind

III.

Remark1. Observe thata anard yle doesnotneedtobe a simpleurve. In fat,onsider

a non

−

smooth vetor eld

Z

= (

X, Y

)

presenting the onguration desribed in Figure 1.5. Let

γ

1

be an ar of

X

joining the

Σ

−

fold points

a

and

b

of

X

;

e

the

Σ

−

fold point of

Y

;

c

and

d

points in the esaping region

e b

;

g

,

h

and

i

pointsin the slidingregion

f a

where

f

is a invisible

Σ

−

fold point of

X

;

δ

2

the ar of

Y

joining

c

and

h

,

δ

1

the ar of

X

joining

d

and

(28)

−

SmoothVetor Fields

X

Y

p

1 Σ

_a

h

_g

i

_f

γ

1 δ

1 e

p

2 γ

2 d

δ

2 c

b

Figure 1.5: Non

−

hyperbolianardylethatisnotasimpleurve.

Denition 1.3. Consider

Z

∈

Ω

r

. A point

q

∈

Σ

is a

Σ

−

enter if there is a neighborhood

U

of

q

suh that an one parameter family of anard yles enirles

q

and foliates

U

. See Figure 1.6.

Figure 1.6:

Σ

−

enter.

PSfragreplaements

Figure 1.7:

Σ

−

graphofkindI.

Denition1.4. Consider

Z

∈

Ω

r

. Alosedpath

∆

isa

Σ

−

graphifitisaunionofequilibria, pseudo equilibria, tangential singularities of

Z

and ars of

Z

joining these points in suh a way that

∆

∩

Σ

6 =

∅

. Like for anard yles, we say that

∆

is a

Σ

−

graph of kind I if

∆

∩

Σ

⊂

Σ

1

,

∆

isa

Σ

−

graph of kind II if

∆

∩

Σ = ∆

and

∆

is a

Σ

−

graph of kind III if

∆

∩

Σ

$

Σ

2 ∪

Σ

3

.

1.3 The Diretion Funtion

The properties of the funtion dened in this setion will be extremely useful in what

Conjuntos limite e bifurfações de campos de vetores suaves por partes no plano

−

µ

−

−

−

−

−

(

n

−

1)

−

Σ

R

n

n

= 2

n

= 3

Σ =

f

−

1

(0)

f

:

R

n

−→

R

0

∈

R

∇

f

(

p

)

6

= 0

p

∈

f

−

1

(0)

Σ =

f

−

1

(0)

Σ

R

n

Σ

+

=

{

q

∈

R

n

|

f

(

q

)

≥

0

}

Σ

−

=

{

q

∈

R

n

|

₍₀₎

_−→

_R

₍₀₎

₍₀₎

_|

_f

₍

_q

₎

_≥

₀

_}

_|

_f

₍

_q

₎

_≤

₀

_}

_\

_Σ

_−→

_R