Polinômios núcleo na reta real e no círculo unitário

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Heron Martins Felix

Polinômios Núcleo na Reta Real e no Círculo Unitário

CAMPINAS 2015

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Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Felix, Heron Martins,

F335p FelPolinômios núcleo na reta real e no círculo unitário / Heron Martins Felix. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

FelOrientador: Alagacone Sri Ranga.

FelTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Fel1. Polinômios ortogonais. 2. Autovalores. 3. Análise numérica. I. Ranga, Alagacone Sri,1956-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Kernel polynomials on the real line and the unit circle Palavras-chave em inglês:

Orthogonal polynomials Eigenvalues

Numerical analysis

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Doutor em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Alagacone Sri Ranga [Orientador] Dimitar Kolev Dimitrov

Eduardo Xavier Silva Miqueles Messias Meneguette Junior Roberto Andreani

Data de defesa: 20-02-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

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Abstract

A measure ψ defined on [a, b] such that its moments µn =

Rb

at

n_{dψ(t) exist for n = 0, 1, 2, . . ., is called a}

positive measure on [a, b]. If 0 ≤ a < b ≤ ∞ and the moments µn=

Rb

at

n_{dψ(t) exist for n = 0, ±1, ±2, . . .,}

we call ψ a strong positive measure on [a, b]. The sequence of (monic) orthogonal polynomials {Qn}∞n=0

defined byRb

at −n+s_Q

n(t)dψ(t) = 0, s = 0, 1, . . . , n − 1 is known to exist, and we refer to these polynomials

as the L-orthogonal polynomials with respect to the strong measure ψ. Is the positive measure ψ is defined on the unit circle, it is known that the sequence of (monic) orthogonal polynomials {Sn}∞n=0,

defined byR_Cz¯mSn(z)dψ(z) = δmnρ−2n , m, n = 1, 2, . . ., also exist, and we refer to these polynomials as

the orthogonal polynomials on the unit circle with respect to the positive measure ψ.

The purpose of the present work is divided in two parts: firstly, we consider a quadrature rule on the zeros of the polynomials

Gn+1(z; w) = Qn(w)Qn+1(z) − Qn+1(w)Qn(z), n ≥ 0

and provide the numerical evaluation for the nodes and weights of this quadrature rule. The kernel polynomials related to Qn(z) derive immediately from Gn+1(z; w).

Secondly, we provide a characterization for the polynomials {Sn}∞n=0 in terms of two real sequences,

{cn} and {dn}, where {dn} is a positive chain sequence. Such characterization influences the relation

between the kernel polynomials and their associated orthogonal polynomials on the unit circle.

Keywords: L-orthogonal Polynomials, Kernel polynomials, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle, Quadrature rules, Eigenvalue problems.

Resumo

Uma medida ψ definida em [a, b], tal que seus momentos µn=

Rb

at

n_{dψ(t) existem para n = 0, 1, 2, . . .,}

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pode ser chamada de medida positiva em [a, b]. Se 0 ≤ a < b ≤ ∞ e os momentos µn=

Rb

a t

n_{dψ(t) existem}

para n = 0, ±1, ±2, . . ., dizemos que ψ é uma medida positiva forte em [a, b]. Sabemos que a sequência de polinômios (mônicos) {Qn}∞n=0, definida por

Rb

at −n+s_Q

n(t)dψ(t) = 0, s = 0, 1, . . . , n − 1, existe, e nos

referimos a esses polinômios como os polinômios L-ortogonais associados à medida positiva forte ψ. Se a medida positiva ψ for definida sobre o c´ırculo unitário, sabemos que a sequência de polinômios (mônicos) {Sn}∞n=0, definida por

R

Cz¯mSn(z)dψ(z) = δmnρ −2

n , m, n = 1, 2, . . ., tamb´em existe, e nos referimos a

esses polinômios como os polinômios ortogonais no c´ırculo unitário associados à medida positiva ψ. O objetivo do presente trabalho se divide em duas partes: na primeira, consideramos uma regra de quadratura interpolatória sobre os zeros dos polinômios

Gn+1(z; w) = Qn(w)Qn+1(z) − Qn+1(w)Qn(z), n ≥ 0,

e fornecemos técnicas numéricas para a gera¸cão dos nós e dos pesos dessas regras de quadratura. Os polinômios núcleo associados a Qn(z) derivam imediatamente de Gn+1(z; w).

Na segunda parte, fornecemos uma caracteriza¸cão dos polinômios {Sn}∞n=0em termos de duas sequências

reais, {cn} e {dn}, onde {dn} é uma sequência encadeada positiva. Tal caracteriza¸cão influencia a rela¸cão

entre os polinômios núcleo e os polinômios ortogonais no c´ırculo unitário aos quais estão associados.

Palavras-chave: Polinômios L-ortogonais, Polinômios núcleo, Polinômios Ortogonais no C´ırculo Unitário, Regras de quadratura, Problemas de autovalor.

(9)

Sum´

ario

Abstract vii

1 Preliminares 1

1.1 Polinˆomios ortogonais . . . 1

1.2 Polinˆomios ortogonais no c´ırculo unit´ario . . . 2

1.3 Sequˆencias encadeadas . . . 5

1.4 Polinˆomios L-ortogonais . . . 6

2 Polinˆomios N´ucleo 8 2.1 Propriedades de Gn+1(z; w) . . . 8

2.2 N´ucleo e quadratura . . . 11

2.3 Caracteriza¸cão L-ortogonal dos polinômios núcleo . . . 16

2.4 Caso particular: dψ(t) =(b − t)(t − a)−12_{dt . . . .} ₁₉

3 Tratamento num´erico dos autovalores 22 3.1 Obtendo a quadratura a partir de H(0)_N . . . 26

3.2 Encontrando os autovalores . . . 28

4 L-ortogonalidade no c´ırculo unitário 32 4.1 Núcleos CD e sequências encadeadas . . . 32

4.2 Sequˆencias de parˆametros . . . 35

4.3 Resultados principais . . . 39

Referˆencia Bibliogr´afica 44

(10)

Considera¸c˜oes finais 44

Apˆendice 50

1.1 Demonstra¸c˜ao do Teorema (1.7) . . . 50

1.2 Demonstra¸c˜ao do Teorema (1.9) . . . 51

1.3 Demonstra¸c˜ao do Teorema 1.10 . . . 52

1.4 A medida dψ(t; w) em (2.17) ´e uma medida forte . . . 52

1.5 Demonstra¸c˜ao do Lema 4.3 . . . 53

1.6 Demonstra¸c˜ao do Lema 4.4 . . . 54

(11)

Aos meus pais, Dedico.

(12)

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Agradecimentos

Ao Prof. Dr. A. S. Ranga, pelos onze anos (!!) de orienta¸c˜ao, ideias e generosidade. Ao Prof. Dr. Andrei Mart´ınez-Finkelshtein, pelo acolhimento no exterior e por me ouvir.

`

A Prof.a Dra. Eliana Xavier Linhares de Andrade e à Prof.a Dra. Cleonice Fátima Bracciali, por terem me instru´ıdo na fina arte da didática.

Ao Prof. Dr. Dimitar Kolev Dimitrov, pela cultura matem´atica, intelectualidade, franqueza e por muitos, mas muitos cigarros.

Ao Prof. Dr. Eduardo Miqueles Xavier, pelo destemor, pelas cervejas e por manter a amizade at´e sem ´agua.

Ao Prof. Dr. Roberto Andreani, a.k.a. Nino, por me apresentar às decomposi¸cões SVD. Ao Prof. Dr. Aurelio Ribeiro Leite, pela paciência sem fim.

Aos amigos da pós-gradu¸cão do DMAp (saudoso DCCE), pelas marmitas divididas e pela paciência com meus cafés; em especial, à Prof.a _Dr.a _{Marisa de Souza Costa, pelo empr´}_{estimo de diversos .tex’s, e}

ao (futuro Prof. Dr.) Guilherme Lima, por se importar. `

A fam´ılia que fiz no IMECC, Bruno, Fifi e Cabelo: vocês são a razão do meu amor por Barão Geraldo. Em especial ao Cabelo, por tudo que vem com o café.

`

A Prof.a _Dr.a _{Josiane Gonzaga de Oliveira, pela voz, pelos doces, pelo amor e seus sabores (e tamb´}_em

pela dor, pelas rimas, por ressacas e azias).

Ao seu Carlos, dona Sônia, Kárita(s) e Glayson, por tamanho cora¸cão.

Aos amigos Leandro, Marcos, Amanda, Thadeu, Guilherme e Cristian, por suportarem o macaco que vive em mim.

Aos meus pais, meus queridos pais, por terem me dado tudo quanto sou. `

A CAPES, pelo apoio financeiro.

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E rastejamos para este novo dia abrilhantado de sol, opressor de t˜ao azul, que, ignorante de toda forma de piedade, insiste na estranheza de nos fazer livres.

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Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo consideraremos somente algumas propriedades básicas dos polinômios ortogonais e dos polinômios L-ortogonais, cujas demonstra¸cões podem ser encontradas em [4], [16] e [29]. Uma abordagem mais completa destes temas pode ser come¸cada em [4] e aprofundada em [23].

1.1 Polinˆ

omios ortogonais

Defini¸cão 1.1. Seja φ uma fun¸cão real, limitada, não-decrescente e com suporte num intervalo real (a, b), finito ou infinito, tal que seus momentos definidos por

µn=

Z b

a

xndφ(x), n = 0, 1, . . . , (1.1) existem. Então dφ é chamada de medida (ou medida positiva) em (a, b). Se os momentos µn também

existirem para n = −1, −2, . . ., então dφ é chamada de distribui¸cão forte. Adicionalmente, se 0 ≤ a < b ≤ ∞, dizemos que dφ é uma distribui¸cão forte de Stieltjes. Por fim, dizemos que dφ é uma medida de probabilidade se µ0 = 1.

Defini¸cão 1.2. Dizemos que {Pn(x)}∞n=0é uma sequência de polinômios ortogonais com rela¸cão à medida

dφ(x) no intervalo (a, b) se Pn(x) tem grau exatamente n e

Z b a Pn(x)Pm(x)dφ(x) =    0, n 6= m, kPnk2 > 0, n = m. 1

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Teorema 1.1. Seja {Pn(x)}∞n=0 uma sequência de polinômios ortogonais em (a, b) com rela¸cão a dφ(x). Então, Pn+1(x) = (x − bn+1)Pn(x) − an+1Pn−1(x), n ≥ 0, (1.2) com P0(x) = 1, P−1(x) = 0, an+1, bn+1∈ R para n ≥ 0 e bn+1= Rb ax Pn(x) 2 dφ(x) Rb a Pn(x) 2 dφ(x) , an+1= Rb a Pn(x) 2 dφ(x) Rb a Pn−1(x) 2 dφ(x) > 0 e a1 = µ0.

Teorema 1.2. (Identidade de Christoffel-Darboux) Considere {Pn(x)}∞n=0 satisfazendo (1.2) com

an+16= 0, n ≥ 0. Ent˜ao, n X k=0 Pk(x)Pk(y) a1a2. . . ak+1 = 1 a1a2. . . an+1 Pn+1(x)Pn(y) − Pn(x)Pn+1(y) x − y .

1.2 Polinˆ

omios ortogonais no c´ırculo unit´

ario

Defini¸cão 1.3. Dizemos que {Sn(z)}∞n=1 é a sequência de polinômios ortogonais mônicos no c´ırculo

unit´ario C = {z = eiθ _{: 0 ≤ θ ≤ 2π}, associada `}_{a medida positiva dψ(z) = dψ(e}iθ_{) em C, se S}

n(z) possui grau exatamente n e se Z C ¯ zmSn(z)dψ(z) = Z 2π 0

e−imθSn eiθdψ eiθ = δmnρ−2n , m, n = 1, 2, . . . ,

sendo

ρ−2_n = kSnk2 =

Z

C

|Sn(z)|2dψ(z) 6= 0. (1.3)

Em homenagem a Gárbor Szeg˝o, que apresentou tais polinômios na primeira metade do século XX, {S_n(z)}∞_n=1 também são chamados de polinômios de Szeg˝o.

Teorema 1.3. Os polinômios ortogonais mônicos no c´ırculo unitário {Sn(z)}∞n=1 satisfazem o par de

rela¸c˜oes de recorrˆencia

Sn(z) = zSn−1(z) − ϕn−1Sn−1∗ (z),

Sn(z) = 1 − |ϕn−1|2zSn−1(z) − ϕn−1Sn∗(z),

n ≥ 1, (1.4)

onde S0(z) = 1, ϕn−1= −Sn(0) e Sn∗(z) = znSn(1/¯z). Os coeficientes ϕns˜ao conhecidos como coeficientes

de Verblunsky, satisfazendo |ϕn| < 1, n ≥ 0. Adicionalmente, todas as ra´ızes de Sn(z) pertencem ao

(19)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 3 Observa¸cão 1. O par de rela¸cões de recorrência (1.4) é equivalente (consulte [29], se¸cão 11.4) a

S_n∗(z) = S_n−1∗ (z) − ϕ_n−1zSn−1(z),

Sn(z) = 1 − |ϕn−1|2zSn−1(z) − ϕn−1Sn∗(z),

n ≥ 1. (1.5)

O próximo Teorema, conhecido anteriormente como Teorema de Favard para o c´ırculo e apresentado em Simon [23] como Teorema de Verblunsky, é um dos resultados mais conhecidos acerca de polinômios ortogonais no c´ırculo unitário:

Teorema 1.4. Dada uma sequência arbitrária de números complexos {ϕn}∞n=0, com |ϕn| < 1 para n ≥ 0,

existe uma única medida de probabilidade dψ no c´ırculo unitário tal que os polinômios gerados por (1.4) compõem a sequência de polinômios ortogonais mônicos no c´ırculo unitário associada a dψ.

Há uma conexão (veja Delsarte e Genin em [6]) entre polinômios ortogonais no c´ırculo unitário e polinômios ortogonais no intervalo real (−1, 1) que, no caso em que {ϕn}∞n=0 é uma sequência real, pode

ser feita atrav´es da transforma¸c˜ao

2x = z12 + z− 1 2,

relacionando diretamente os polinˆomios {Sn(z)}∞n=1 aos polinˆomios {Un(z)}∞n=1 pela igualdade

Un(x) =

Sn+1(z) − Sn+1∗ (z)

(1 + ϕn)(z − 1)

(4z)n2.

Tais polinômios, conhecidos como polinômios de Chebyshev de primeira espécie, são simétricos no intervalo (−1, 1) e possuem rela¸cão de recorrência de três termos (1.2) dada por

Un+1(x) = xUn(x) − dn+1Un−1(x), n ≥ 1, onde U1(x) = x, U0(x) = 1 e dn+1= " 1 −1 − ϕn−1 2 #" 1 − ϕn 2 # , n ≥ 1. (1.6)

Teorema 1.5. (Identidade de Christoffel-Darboux para polinˆomios de Szeg˝o): Seja {Sn(z)}∞n=1

uma sequência de polinômios ortogonais no c´ırculo unitário e ρn o coeficiente dado em (1.3).

Denomi-nando sn(z) = ρnSn(z), n ≥ 1 e estabelecendo s0(z) = 1, ent˜ao Cn(z; ω) = n X j=0 sj(ω)sj(z) = s∗_n+1(ω)s∗_n+1(z) − sn+1(ω)sn+1(z) 1 − ωz ,

(20)

Observa¸cão 2. Deste ponto em diante, assim como no Teorema 1.5, assumiremos |ω| = 1. Em [23], o polinômio Cn(z; ω) é chamado de núcleo CD. Aqui, fazendo

τn(ω) =

Sn(ω)

S_n∗(ω), n ≥ 1 e τ0(ω) = 1, (1.7) consideraremos o polinˆomio

Pn(z; ω) = ρ−2_n+1ω Sn+1(ω) Cn(z; ω) 1 + ϕnτn+1(ω) , n ≥ 0 (1.8)

como o n´ucleo CD de grau n em ω, que tamb´em pode ser escrito como Pn(z; ω) = 1 z − ω Sn+1(z) − τn(ω)Sn+1∗ (z) 1 + ϕnτn+1(ω) , n ≥ 0, (1.9)

donde verifica-se que Pn(z; w) ´e mˆonico. Por sua vez, pelo fato de

|ω| = 1 =⇒ |τ_n(ω)| = 1, n ≥ 0 (1.10)

o polinˆomio

Pn+1(z; ω) = Sn+1(z) − τn(ω)Sn+1∗ (z)

´

e conhecido como polinˆomio paraortogonal associado a Sn+1(z). Dentre as diversas propriedades dos

polinˆomios paraortogonais (veja [15]), sabe-se que Pn+1(z; ω) possui n + 1 ra´ızes distintas pertencentes ao

c´ırculo unitário; em particular, ω é uma raiz. Consequentemente, as n ra´ızes do polinômio Pn(z; ω) em

(1.9) também são todas distintas e pertencentes ao c´ırculo unitário; contudo, Pn(z; ω) não se anula em ω.

Para mais resultados sobre a conexão entre núcleos CD e polinômios paraortogonais, recomenda-se [3], [11], [24] e [33].

Finalmente, podemos utilizar (1.5) para mostrar que τn(ω) em (1.7) possui as rela¸c˜oes

τn+1(ω) = ωτn(ω) − ϕn 1 − ωτn(ω)ϕn e ωτn(ω) = τn+1(ω) + ϕn 1 + τn+1(ω)ϕn , n ≥ 0, (1.11) de modo que 1 − ωτn(ω)ϕn1 + τn+1(ω)ϕn = 1 − |ϕn|2, n ≥ 0. (1.12)

Tais rela¸c˜oes, novamente em conjunto com (1.5), nos permitem reescrever (1.9) como Pn(z; ω) =

1

z − ωzSn(z) − ωτn(ω)S

∗

(21)

CAP´ITULO 1. PRELIMINARES 5

1.3 Sequˆ

encias encadeadas

Defini¸cão 1.4. Dizemos que {dn}∞n=1 é uma sequência encadeada positiva se houver uma sequência

{g_n}∞

n=0 tal que

dn= (1 − gn−1)gn, n ≥ 1, (1.14)

desde que 0 ≤ g0 < 1 e 0 < gn < 1 para n ≥ 1. A sequência {gn}∞n=0 é chamada de sequência de

parˆametros de {dn}∞n=0.

A defini¸cão acima é ligeiramente menos geral que a introduzida por Wall [31], onde também permite-se que gn= 0 para n ≥ 1. Adotamos aqui a defini¸cão apresentada por Chihara em [4].

Em geral, a sequência de parâmetros de uma sequência encadeada positiva não é única. Entretanto, toda sequência encadeada positiva possui uma sequência de parâmetros minimal {mn}∞n=0, unicamente

determinada pela condi¸c˜ao m0 = 0, e uma maximal {Mn}∞n=0, por sua vez caracterizada pela condi¸c˜ao

de que, caso g0 > M0, então {gn}∞n=0 não pode cumprir (1.14). Uma condi¸cão suficiente para que uma

sequência de parâmetros {Mn}∞n=0 seja de fato a sequência de parâmetros maximal é se ∞ X n=1 M1M2. . . Mn (1 − M1)(1 − M2) . . . (1 − Mn) = ∞. (1.15)

O pr´oximo Teorema ser´a utilizado no Cap´ıtulo 4:

Teorema 1.6. A partir de uma sequência encadeada {dn}∞n=0 com sequência de parâmetros {gn}∞n=0, seja

d1,n= dn+1, n ≥ 1. Então {d1,n}∞n=1 também é uma sequência encadeada com sequência de parâmetros

{g1,n}∞n=0, onde g1,n= gn+1 para n ≥ 0. Al´em disso,

i) se { ˜mn}∞n=0 for a sequência de parâmetros minimal para {d1,n}∞n=0, então ˜mn< mn+1;

ii) a sequência de parâmetros maximal para {d1,n}∞n=0 é {M1,n}∞n=0, onde M1,n= Mn+1, n ≥ 0.

As sequências encadeadas surgem com frequência no estudo dos polinômios ortogonais. Por exemplo, note que a sequência {dn}∞n=2 em (1.6) pode ser escrita como

dn= (1 − gn−1)gn, n ≥ 2,

com gn= 1₂(1 − ϕn−1), n ≥ 1. Os coeficientes ϕn (chamados na Se¸c˜ao 1.2 de coeficientes de Verblunsky)

apresentados em (1.4) satisfazem −1 < ϕn< 1 para n ≥ 0 e, consequentemente, 0 < gn< 1, n ≥ 1. Isto

(22)

1.4 Polinˆ

omios L-ortogonais

Defini¸cão 1.5. Dizemos que {Qn(z)}∞n=0 é uma sequência de polinômios L-ortogonais com rela¸cão à

distribui¸c˜ao forte de Stieltjes dψ(z) no intervalo (a, b) se Qn(z) tem grau exatamente n e

Z b a z−n+sQn(z)dψ(z) =    0, s = 0, 1, . . . , n − 1, σn,n> 0, s = n. (1.16)

Teorema 1.7. No caso em que dψ(z) ´e uma distribui¸c˜ao forte de Stieltjes, os determinantes de Hankel, denotados por Hn(m), satisfazem

H_n(m) = µm µm+1 . . . µm+n−1 µm+1 µm+2 . . . µm+n .. . ... . .. ... µm+n−1 µm+n . . . µm+2n−2 > 0, (1.17)

com m, n ∈ Z, n ≥ 1, onde os momentos µn s˜ao dados em (1.1).

Demonstra¸cão: Consulte a Se¸cão 1.1 do Apêndice.

Teorema 1.8. Seja {Qn(z)}∞n=0 uma sequência de polinômios L-ortogonais em (a, b) com rela¸cão à

dis-tribui¸c˜ao forte de Stieltjes dψ(z) no intervalo (a, b). Ent˜ao,

Qn+1(z) = (z − βn+1)Qn(z) − αn+1zQn−1(z), n ≥ 1, (1.18) com Q0(z) = 1, Q1(z) = z − β1, sendo β1 = µ0 µ−1 , βn+1= αn+1 σn−1,−1 σn,−1 e αn+1= σn,n σn−1,n−1 > 0, n ≥ 1, (1.19) onde σn,s= Z b a z−n+sQn(z)dψ(z), n ≥ 1. (1.20)

Atrav´es de (1.16), ´e poss´ıvel mostrar que σn,s dado em (1.20) satisfaz

   σn,n> 0 (−1)nσn,−1> 0 , n ≥ 0; (1.21)

tais desigualdades se verificam a partir do sistema linear associado ao determinante de Hankel Hn(m) em

(1.17), utilizando-se a regra de Cramer. Desse modo, pode-se observar em (1.19) e (1.18) que βn, αn+1 > 0

(23)

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7 O estudo de polinômios que satisfazem a rela¸cão de recorrência de três termos em (1.18) surgiram anteriormente a [18] no estudo de fra¸cões cont´ınuas e aproximantes de Padé de dois pontos (veja, por exemplo, [17] e [20]). Para contribui¸cões mais recentes sobre polinômios satisfazendo tal rela¸cão de recorrência, veja, por exemplo, [19] e [30].

Teorema 1.9. São válidas as seguintes afirma¸cões sobre as ra´ızes dos polinômios L-ortogonais: a) as ra´ızes de Qn(z) são reais, distintas e pertencem ao intervalo (a, b);

b) as ra´ızes de Qn(z) e Qn−1(z) se entrela¸cam, isto ´e, entre duas ra´ızes consecutivas de Qn−1(z) h´a

uma raiz de Qn(z).

Demonstra¸cão: Consulte a Se¸cão 1.2 do Apêndice.

Adicionalmente, sabe-se que se λn,i= 1 Q0_n(zn,i) Z b a Qn(z) z − zn,i dψ(z), i = 1, . . . , n, ent˜ao Z b a f (z)dψ(z) = n X i=1 λn,if (zn,i) (1.22)

para znf (z) ∈ P2n−1. Essa é a fórmula de quadratura associada aos polinômios L-ortogonais Qn(z) com

o maior grau de precisão algébrico (veja, por exemplo, [2] e [25]), que é análoga à quadratura Gaussiana associada ao n-ésimo polinômio ortogonal na reta real.

Teorema 1.10. Se {Qn(z)}∞n=0 é uma sequência de polinômios L-ortogonais em (a, b) com rela¸cão à

distribui¸cão forte de Stieltjes dψ(z), então o conjunto {zn−kQk(z)}nk=0 é uma base de Pn.

(24)

Polinˆ

omios N´

ucleo

Os tópicos deste cap´ıtulo foram publicados em [27] e, em grande parte, foram inspirados nos resultados de Freud [7] acerca de polinômios ortogonais na reta real que possuem a rela¸cão (1.2).

Com w ∈ R, consideremos

Gn+1(z; w) = Qn(w)Qn+1(z) − Qn+1(w)Qn(z), n ≥ 0. (2.1)

Naturalmente, Gn+1(z; w) é um polinômio em z e, denotando seu grau por ñ + 1, temos

˜ n =    n, se Qn(w) 6= 0 n − 1, se Qn(w) = 0 , n ≥ 0.

Das condi¸c˜oes de L-ortogonalidade em (1.16), obt´em-se para Gn+1(z; w) a propriedade

Z b

a

t−n+sGn+1(t; w)dψ(t) = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1, (2.2)

sempre que n ≥ 1.

2.1 Propriedades de G

n+1

(z; w)

Apresentaremos aqui alguns resultados envolvendo os zeros de Gn+1(z; w) de acordo com a escolha do

parˆametro w. Teorema 2.1. Para n ≥ 2, Gn+1(z; w) z − w = Qn(w)Qn(z) + αn+1βnQn−1(w)Qn−1(z) + αn+1αnwz Gn−1(z; w) z − w , (2.3) 8

(25)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 9 com G1(z; w) z − w = 1 e G2(z; w) z − w = Q1(w)Q1(z) + α2β1Q0(w)Q0(z). Consequentemente, para G0_n+1(z; w) = Qn(w)Q 0 n+1(z) − Qn+1(w)Q 0 n(z), n ≥ 2, tem-se G0_n+1(w; w) = Q2_n(w) + αn+1βnQ2n−1(w) + αn+1αnw2G 0 n−1(w; w),

com G0₁(w; w) = 1 e G0₂(w; w) = Q₁2(w) + α2β1Q20(w). Isto significa que G 0

n+1(w; w) > 0 para qualquer w

real, n ≥ 0.

Demonstra¸cão: Utilizando a rela¸cão de recorrência de três termos (1.18) de Qn+1(z) e Qn+1(w) em

(2.1), obtemos Gn+1(z; w) = (z − w)Qn(w)Qn+1(z) + αn h wQn−1(w)Qn(z) − zQn−1(z)Qn(w) i .

Aplicando (1.18) novamente em Qn(z) e Qn(w) no termo entre colchetes, imediamente obtemos (2.3). As

condi¸cões iniciais para (2.3) também são facilmente verificadas.

Para obter o segundo resultado do teorema, basta considerar o limite z −→ w em (2.3).

Teorema 2.2. Para qualquer w ∈ R, todos os zeros de Gn+1(z; w) s˜ao reais, distintos e pelo menos n

destes zeros pertencem a (a, b). Se zn,1(w), . . . , zn,ñ(w) e w são os zeros de Gn+1(z; w), então

Gn+1(z; w) = χn,i(w)Gn+1 z; zn,i(w), i = 1, . . . , ˜n, (2.4) onde χn,i(w) =        Qn+1(w) Qn+1(zn,i(w)) , se Qn(w) = 0 Qn(w) Qn(zn,i(w)) , se Qn(w) 6= 0 , n ≥ 1.

Demonstra¸c˜ao: Pelo fato de (a, b) ⊆ (0, ∞), podemos utilizar a L-ortogonalidade de (2.2) (tomando s = 0) para mostrar que Gn+1(z; w) muda de sinal pelo menos n vezes em (a, b), o que nos leva ao primeiro

resultado do teorema.

A fim de obtermos (2.4), consideremos inicialmente Qn(w) 6= 0; logo, por

(26)

temos de (2.1)

Qn+1 zn,i(w) =

Qn+1(w)

Qn(w)

Qn zn,i(w).

Pelo Teorema 2.1, vimos que G0_n+1(w; w) > 0, fato usado para mostrar que Qn+1(z) e Qn(z) n˜ao

possuem zeros em comum. Assim, resta apenas que Qn zn,i(w) 6= 0 e

Qn+1 zn,i(w) Qn zn,i(w) = Qn+1(w) Qn(w) . Ainda por (2.1), temos

Gn+1(z; w) Qn(w) = Qn+1(z) − Qn+1(w) Qn(w) Qn(z),

que pela igualdade anterior nos leva a Gn+1(z; w) Qn(w) = Qn+1(z) − Qn+1 zn,i(w) Qn zn,i(w) Qn(z) = Gn+1 z; zn,i(w) Qn zn,i(w) ,

e isto corresponde a (2.4) quando Qn(w) 6= 0.

No caso em que Qn(w) = 0, temos Gn+1(z; w) = −Qn+1(w)Qn(z), implicando que zn,i(w) ´e um zero

de Qn(z), i = 1, . . . , n. Dessa forma, zn,i(w) n˜ao pode ser um zero de Qn+1(z) e (2.4) segue de imediato.

Teorema 2.3. Assumindo que Qn(z) n˜ao se anula no zero w de Gn+1(z; w) e que os demais ˜n = n zeros

de Gn+1(z; w) são tais que zn,1(w) < . . . < zn,n(w), são verdadeiras as seguintes afirma¸cões:

i) `A medida que w cresce em (zn,k, zn+1,k+1], k = 1, . . . , n, ent˜ao

zn,i1+i2(w) cresce monotonicamente em (zn,i1, zn+1,i1+1],

onde i1 = (i + k)mod(n + 1), i = 1, . . . , n, com i2= 1 se i1 < k e i2 = 0 caso contr´ario.

ii) `A medida que w cresce em [zn+1,k+1, zn,k+1), k = 1, . . . , n, ent˜ao

zn,i1+i2(w) cresce monotonicamente em [zn+1,i1+1, zn,i1+1),

onde i1 = (i + k)mod(n + 1), i = 1, . . . , n, com i2= 1 se i1 < k e i2 = 0 caso contr´ario.

Demonstra¸c˜ao: Observe que d dw Qn+1(w) Qn(w) ! = G 0 n+1(w; w) Qn(w) 2 > 0, ∀w ∈ R

(27)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 11 e que w < zn+1,1=⇒ Qn+1(w) Qn(w) < 0 e w < zn+1,n+1 =⇒ Qn+1(w) Qn(w) > 0. Assim, o resultado segue a partir do Teorema 2.2 e do fato de que

Gn+1(z; w) = Qn(w) " Qn+1(z) + Qn+1(w) Qn(w) Qn(z) # , com o uso de [1] (Lema 2).

Corolário 2.1. As seguintes implica¸cões são válidas:

i) Se w for escolhido no interior de a, zn,1(b), de zn,n(a), b ou de qualquer dos intervalos zn,k(a), zn,k+1(b),

k = 1, . . . , n − 1, ent˜ao todos os n + 1 zeros de Gn+1(z; w) pertencem a (a, b).

ii) Se o conjunto (−∞, zn+1,1) ∪ [zn+1,n+1, ∞) representa todos os valores poss´ıveis de w, ent˜ao o

conjunto R\{zn,1, . . . , zn,n} representa todos os valores poss´ıveis dos n zeros restantes de Gn+1(z; w).

iii) Temos zn,i(w) −→ zn,i quando w −→ ±∞, i = 1, . . . , n. Al´em disso, se o conjunto (−∞, zn+1,1) ∪

[zn+1,n+1, ∞] representa todos os valores poss´ıveis de w, ent˜ao os zeros de Gn+1(z; w) podem assumir

qualquer valor na reta real extendida.

2.2 N´

ucleo e quadratura

Sejam κn(z; w) e Λn(w) definidos por

       κn(z; w) = 1 G0_n+1(w; w) Gn+1(z; w) z − w Λn(w) = Z b a t−nκn(t; w)dψ(t) , n ≥ 0. (2.5) ´

E simples observar que κn(z; w) é um polinômio em z de grau ñ cujos zeros zn,1(w), . . . , zn,ñ(w) são os

mesmos de Gn+1(z; w), conforme descrito no Teorema 2.2. Al´em disso,

(z − w)κn(z; w) = ˆχn,i(w) z − zn,i(w)κn z; zn,i(w), i = 1, . . . , ˜n,

onde ˆχn,i(w) = χn,i(w)

G0_n+1 zn,i(w); zn,i(w)

G0_n+1(w; w) , com χn,i(w) dado no Teorema 2.2.

Λn(w) é uma fun¸cão em w cont´ınua para qualquer w ∈ R; o próximo teorema ilustra sua importância

(28)

Teorema 2.4. As fun¸c˜oes Λn(w) (n ≥ 0) s˜ao estritamente positivas para qualquer valor real de w.

Demonstra¸cão: Seja F (z) = znf (z) ∈ Pn+ñ e, com w real, sejam zn,1(w), . . . , zn,ñ(w) e zn,ñ+1(w) = w

os zeros de Gn+1(z; w). Da´ı, utilizando interpola¸c˜ao de Lagrange sobre os zeros de Gn+1(z; w), temos

F (z) = ˜ n+1 X i=1 Gn+1(z; w) G0_n+1(zn,i(w); w)(z − zn,i(w)) zn,i(w) n f zn,i(w) +Fzn,1(w), . . . , zn,˜n(w), zn,˜n+1(w), zGn+1(z; w),

sendo que o termo do erro é dado pela fórmula de diferen¸cas dividas de Newton, de maneira que F (z) ∈ Pn+ñ=⇒ Fzn,1(w), . . . , zn,ñ(w), zn,ñ+1(w), z ∈ Pn−1. Logo, por (2.2), Z b a f (t)dψ(t) = Z b a t−nF (t)dψ(t) = ˜ n+1 X i=1 cn,i zn,i(w) n f zn,i(w), com cn,i= Z b a t−nGn+1(t; w) G0_n+1(zn,i(w); w)(t − zn,i(w))

dψ(t), i = 1, . . . , ˜n + 1, que por (2.4) e (2.5) se torna

cn,i =

Z b

a

t−nGn+1(t; zn,i(w))

G0_n+1(zn,i(w); zn,i(w))(t − zn,i(w))

dψ(t) = Λn zn,i(w), i = 1, . . . , ˜n + 1.

Por conseguinte, temos a regra de quadratura Z b a f (t)dψ(t) = ˜ n+1 X i=1 zn,i(w) n Λn zn,i(w)f zn,i(w), n ≥ 1, (2.6)

que se verifica para toda f tal que znf (z) ∈ Pn+˜n.

Tomando f (z) = z−n Gn+1(z; zn,k(w)) z − zn,k(w) !2 em (2.6), segue que Λn zn,k(w) = 1 G0_n+1 zn,k(w); zn,k(w) 2 Z b a t−n Gn+1 t; zn,k(w) t − zn,k(w) !2 dψ(t) > 0

para k = 1, . . . , ˜n + 1. Como zn,˜n+1(w) = w ∈ R, conclu´ımos que Λn(w) > 0 para qualquer valor de w.

Teorema 2.5. κn(z; w) é um polinômio núcleo com a propriedade de que, para todo p ∈ Pn,

p(w) = 1 Λn(w)

Z b

a

(29)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 13 Demonstra¸cão: Observe que κn zn,ñ+1(w); w = κn(w; w) = 1 e κn zn,i(w); w = 0 para i = 1, . . . , ñ.

Pelo fato de znp(z)z−nκn(z; w) ∈ Pn+ñquando p(z) ∈ Pn, então pela fórmula de quadratura (2.6)

Z b a p(t)t−nκn(t; w)dψ(t) = ˜ n+1 X i=1

Λn zn,i(w)κn zn,i(w); wp zn,i(w) = Λn(w)p(w),

como quer´ıamos demonstrar.

Em virtude da propriedade apresentada no Teorema 2.5, nos referiremos a κn(z; w) como o polinˆomio

núcleo associado ao polinômio L-ortogonal Qn(z) (que é a mesma nomenclatura utilizada em [4], p. 35).

O Teorema 2.5 tamb´em nos mostra que, para n ≥ 1, wsΛn(w) = Z b a t−n+sκn(t; w)dψ(t), 0 ≤ s ≤ n =⇒ wΛn(w) = Z b a t−n+1κn(t; w)dψ(t), (2.7)

que, pelo Teorema 2.1, nos permite obter Λn(w)G 0 n+1(w; w) = αn+1αnΛn−2G 0 n−1(w; w), n ≥ 2. Disto, Λn(w)−1 = σ−1n,nG 0 n+1(w; w), n ≥ 1. (2.8)

Teorema 2.6. Sejam zn,1(w), . . . , zn,n(w) e zn,n+1(w) = w os zeros de Gn+1(z; w), com w ∈ (−∞, zn+1,1)∪

[zn+1,n+1, ∞), definindo

λn,i(w) = zn,i(w)

n

Λn zn,i(w), i = 1, . . . , n + 1. (2.9)

Ent˜ao, para n ≥ 1,

Z b a f (t)dψ(t) = n+1 X i=1 λn,i(w)f zn,i(w), (2.10)

que se verifica quando znf (z) ∈ P2n. Al´em disso, se znf (z) ∈ P2n−1, fazendo w −→ ∞ temos

Z b a f (t)dψ(t) = n X i=1 λn,if (zn,i), n ≥ 1, onde lim

w→∞zn,i(w) = zn,i e limw→∞λn,i(w) = λn,i, i = 1, . . . , n, como em (1.22).

Demonstra¸cão: Pelo Corolário 2.1, escolher w ∈ (−∞, zn+1,1) ∪ [zn+1,n+1, ∞) resulta em ñ = n. Logo,

a fórmula de quadratura (2.10) é uma reformula¸cão de (2.6) para esta escolha de w. Esta é uma regra de quadratura com n + 1 pontos cujo grau de precisão algébrico ainda não é máximo, dado que w ∈ (−∞, zn+1,1) ∪ [zn+1,n+1, ∞).

A segunda regra de quadratura do teorema é a mesma de (1.22), possuindo o maior grau de precisão algébrico associado aos polinômios L-ortogonais Qn. Ela corresponde à regra de quadratura em (2.6)

(30)

quando ñ = n − 1. Observe que também é poss´ıvel obtê-la a partir da regra de quadratura em (2.10) ao substituirmos n por n − 1 e w por zn,n.

De (2.5) e (2.7), lim w→∞λn,i(w) = limw→∞ Z b a Gn+1(t; zn,i(w))

G0_n+1(zn,i(w); zn,i(w))(t − zn,i(w))

dψ(t), i = 1, . . . , n. Pelo fato de zn,i(w) −→ zn,i quando w −→ ∞, i = 1, . . . , n, ent˜ao

lim w→∞λn,i(w) = limw→∞ Z b a Qn(t) Q0_n(zn,i)(t − zn,i) dψ(t) = λn,i, i = 1, . . . , n.

Al´em disso, por (2.8), temos w2nΛn(w) −→ σn,n quando w −→ ∞, n ≥ 1. Isto tamb´em significa que

znf (z) ∈ P2n−1=⇒ lim

w−→∞λn,n+1(w)f (w) = limw−→∞w n_Λ

n(w)f (w) = 0.

Dessa forma, a segunda regra de quadratura se verifica como o limite da primeira quando znf (z) ∈ P2n−1.

Come¸caremos agora uma caracteriza¸cão matricial dos polinômios L-ortogonais Qn(t) que nos será útil

nos pr´oximos cap´ıtulos. De in´ıcio, lembremos que pelo Teorema 1.10 temos {zn−kQk}n_k=0 como uma base

para Pn. Assim, podemos escrever κn(z; w) de (2.5) como

κn(z; w) = n

X

k=0

γkzn−kQk(z), (2.11)

o que, por (1.16), nos d´a Z b a Qj(t)t−nκn(t; w)dψ(t) = n X k=0 γk Z b a t−kQk(t)Qj(t)dψ(t) = σj,j j X k=0 γk

para 0 ≤ j ≤ n, onde σj,j = µ0α2. . . αj+1 pela recursividade da express˜ao de αn+1 em (1.19). Por outro

lado, o Teorema 2.5 nos diz que Z b a Qk(t)t−nκn(t; w)dψ(t) = Qk(w)Λn(w); consequentemente, γ0 Λn(w) = Q0(w) σ0,0 e γk Λn(w) = Qk(w) σk,k −Qk−1(w) σk−1,k−1 , k = 1, . . . , n. Desse modo, (2.11) pode ser reescrito como

κn(z; w) = Λn(w) Q0(w) σ0,0 znQ0(z) + n X k=1 Λn(w) Qk(w) σk,k −Qk−1(w) σk−1,k−1 zn−kQk(z). (2.12)

(31)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 15 Utilizando nota¸cão matricial, a última expressão se torna

1 Λn(w) κn(z; w) = xln+1(w)Txrn+1(z), onde      xl_n+1(w) = Q0(w) σ0,0 ,Q1(w) σ1,1 −Q0(w) σ0,0 , . . . ,Qn(w) σn,n −Qn−1(w) σn−1,n−1 T xr_n+1(z) =zn_Q 0(z), zn−1Q1(z), . . . , Qn(z) T , n ≥ 0.

Em particular, isto significa que

xl_n+1(w)Txr_n+1 zn,i(w) = δn+1,i˜

1 Λn(w)

, 1 ≤ i ≤ ˜n + 1, de maneira que, considerando os polinˆomios κn z; zn,j(w), podemos concluir que

xl_n+1 zn,j(w) T xr_n+1 zn,i(w) = δj,i 1 Λn zn,j(w) , 1 ≤ i, j ≤ ˜n + 1. Ou seja, os conjuntos de vetores

n xl_n+1 zn,1(w), . . . , xln+1 zn,˜n+1(w) o n xr_n+1 zn,1(w), . . . , xrn+1 zn,˜n+1(w) o , n ≥ 0

são mutuamente ortogonais. Além disso, também podemos rearranjar (2.12) na forma κn(z; w) = n−1 X k=0 Λn(w)zn−kQk(z) − zn−k−1Qk+1(z) Qk(w) σk,k + Λn(w)Qn(z) Qn(w) σn,n (2.13) a fim de obtermos os seguintes conjuntos de vetores:

n yl_n+1 zn,1(w), . . . , yln+1 zn,˜n+1(w) o n yr_n+1 zn,1(w), . . . , yrn+1 zn,˜n+1(w) o , n ≥ 0, que possuem a ortogonalidade

yl_n+1 zn,j(w) T yr_n+1 zn,i(w) = δj,i 1 Λn zn,j(w) , 1 ≤ i, j ≤ ˜n + 1, (2.14) onde yl_n+1(z) =            znQ0(z) − zn−1Q1(z) zn−1Q1(z) − zn−2Q2(z) .. . zQn−1(z) − Qn(z) Qn(z)            e yr_n+1(z) =            σ_0,0−1Q0(z) σ_1,1−1Q1(z) .. . σ_n−1,n−1−1 Qn−1(z) σ_n,n−1Qn(z)            . (2.15)

Por fim, atrav´es de (2.13), podemos mostrar que as fun¸c˜oes Λn(w), com n ≥ 1 e w ∈ R, satisfazem

Λn(w)−1= n−1 X k=0 wn−k_Q k(w) − wn−k−1Qk+1(w) Qk(w) σk,k + Qn(w) Qn(w) σn,n .

(32)

2.3 Caracteriza¸

c˜

ao L-ortogonal dos polinˆ

omios n´

ucleo

Seja w ∈ (−∞, ∞)\(a, b), de modo que κn(z; w) possui grau ˜n = n para n ≥ 0 e consideremos {Kn(z; w)}Nn=0

como a sequência de polinômios núcleo mônicos dados por Kn(z; w) = G0_n+1(w; w) Qn(w) κn(z; w) = Gn+1(z; w) Qn(w)(z − w) , n ≥ 0, (2.16) com σn,s(w) = Z b a t−n+sKn(t; w)dψ(t; w) e dψ(t; w) = |t − w|dψ(t). (2.17)

Como |t − w| = sgn(t − w) × (t − w) em (a, b), ent˜ao por (2.2) temos      σn,s(w) = 0, 0 ≤ s ≤ n − 1 σn,n(w) = Z b a t−nKn(t; w) 2 |t − w|dψ(t) > 0 , n ≥ 1.

Al´em disso, observe que σ0,0(w) =

Z b

a

|t−w|dψ(t) > 0; ou seja, {Kn(z; w)}Nn=0é a sequência de polinômios

L-ortogonais com respeito `a medida positiva forte dψ(t; w) (veja uma demonstra¸c˜ao simples de que dψ(t; w) ´

e uma medida forte na Se¸c˜ao 1.4 do Apˆendice). Finalmente, denotando

νn+1(w) =

Qn+1(w)

Qn(w)

, n ≥ 0, (2.18)

temos σn,−1(w) = |νn+1(w)|σn,−1 para n > 0, de acordo com (1.21) e (2.2).

Teorema 2.7. Os polinômios {Kn(z; w)}Nn=0 satisfazem a rela¸cão de recorrência de três termos

Kn+1(z; w) = z − βn+1(w)Kn(z; w) − αn+1(w)zKn−1(z; w) (2.19)

quando n = 1, . . . , N − 1, dado que K0(z, w) = 1 e K1(z; w) = z − β1(w), onde

β1(w) = σ0,0(w) σ0,−1(w) = 1 − α2 ν1(w) β1 (2.20) e _       αn+1(w) = σn,n(w) σn−1,n−1(w) βn+1(w) = −αn+1(w) σn−1,−1(w) σn,−1(w) , n ≥ 1.

(33)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 17 Demonstra¸cão: Similarmente à demonstra¸cão do Teorema 1.10, podemos mostrar que a sequência {tn−j_K

j(z; w)}nj=0forma uma base para Pn. Al´em disso, pela monicidade de Kn, sabemos que Kn+1(z; w)−

zKn(z; w) ∈ Pn, o que nos permite escrever

Kn+1(t; w) − tKn(t; w) = n

X

j=0

γjtn−jKj(t; w)

para uma certa escolha de γ0, . . . , γn. Novamente como na demontra¸c˜ao do Teorema 1.10, ao

multipli-carmos por t−n+s e integrarmos em (a, b) (com respeito a dψ(t; w)) ambos lados da igualdade, variando o valor de s = 0, . . . , n − 2, obtemos o sistema triangular superior

s

X

j=0

γjσj,s= 0, 0 ≤ s ≤ n − 2;

como σs,s 6= 0, resta apenas γ0 = . . . = γn−2= 0. Finalmente, considerando os valores s = n − 1 e s = −1,

obtemos γn−2= − σn,n(w) σn−1,n−1(w) = −αn+1(w) e γn−1 = γn−2 σn−1,−1(w) σn,−1 = −βn+1(w),

conforme quer´ıamos demonstrar.

Lembrando (2.18), temos

(z − w)Kn(z; w) = Qn+1(z) − νn+1(w)Qn(z). (2.21)

Da´ı, pela rela¸cão de recorrência de três termos (1.18) para Qn(z), temos

(z − w)Kn(z; w) = z − βn+1− νn+1(w)Qn(z) − αn+1zQn−1(z), n ≥ 1. (2.22)

Voltando à rela¸cão de recorrência de três termos (2.19), substituiremos (2.21) em Kn+1(z; w) e (2.22) em

Kn(z; w) e Kn−1(z; w). Ap´os os c´alculos apropriados, obtemos

Qn+1(z) = −αn+2+ αn+1(w) + νn+1(w) βn+2− βn+1(w) + νn+2(w) z − βn+1(w)νn+1(w) βn+2− βn+1(w) + νn+2(w) Qn(z) + − αn+1(w)νn(w) βn+2− βn+1(w) + νn+2(w) zQn−1(z), n ≥ 1. (2.23)

Entretanto, a rela¸cão de recorrência de três termos para Qn(z) é única, de maneira que a compara¸cão

entre (1.18) e (2.23) nos fornece as express˜oes

νn+2(w) + βn+2− βn+1(w) = νn+1(w) − αn+2+ αn+1(w), βn+1 h νn+2(w) + βn+2− βn+1(w) i = βn+1(w)νn+1(w), αn+1 h νn+2(w) + βn+2− βn+1(w) i = αn+1(w)νn+1(w),

(34)

que após manipula¸cão numérica adequada resultam no seguinte teorema:

Teorema 2.8. Seja w ∈ (−∞, ∞)\(a, b). Então os coeficientes na rela¸cão de recorrência de três termos (2.19) para Kn(z; w) satisfazem β1(w) = ν2(w) + β2 w β1 = ν1(w) − α2 ν1(w) β1, βn+1(w) = νn+2(w) + βn+2 νn+1(w) + βn+1 βn+1 = νn(w) νn+1(w) νn+1(w) − αn+2 νn(w) − αn+1 βn+1, αn+1(w) = νn+1(w) − αn+2 νn(w) − αn+1 αn+1,

quando n ≥ 1. Os termos νn+1(w) tamb´em podem ser gerados recursivamente,

νn+1(w) = w − βn+1−

αn+1w

νn(w)

, n ≥ 1, desde que ν1(w) = w − β1.

Demonstra¸cão: A recursividade de νn+1(w) segue imediamente de sua defini¸cão em (2.18) e da fórmula

(1.18) para Qn+1(z), pois νn+1(w) = Qn+1(w) Qn(w) = (w − βn+1)Qn(w) − αn+1wQn−1(w) Qn(w) = w − βn+1− αn+1w νn(w) , lembrando que Qj(w) 6= 0 para qualquer j = 0, 1, . . ., j´a que w ∈ (−∞, ∞)\(a, b), e tamb´em

ν1(w) =

Q1(w)

Q0(w)

= w − βn+1

1 .

Por fim, se tnf (t) ∈ P2n−1, ent˜ao (t − w)tnf (t) ∈ P2n. Da´ı, pela regra de quadratura (2.10), temos

Z b a f (t)|t − w|dψ(t) = n X i=1 z_n,i(w) − w λ_n,i(w)f z_n,i(w),

onde zn,i(w) s˜ao os zeros de Kn(z; w) (que, vale lembrar, por (2.16) s˜ao os zeros de κn(z; w)) e zn,n+1(w) =

w. Isto verifica o pr´oximo teorema:

Teorema 2.9. A regra de quadratura com o maior grau de precisão algébrico associada aos polinômios L-ortogonais Kn(z; w) é Z b a f (t)dψ(t; w) = n X i=1 ˆ λn,i(w)f zn,i(w) (2.24) para tnf (t) ∈ P2n−1, onde ˆλn,i(w) =

zn,i(w) − w

(35)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 19

2.4 Caso particular: dψ(t) =

(b − t)(t − a)

−

1 2

_dt

Apresentaremos agora um exemplo particularmente interessante sobre polinômios L-ortogonais que será utilizado na exemplifica¸cão numérica do Cap´ıtulo 3. Este exemplo se apresenta quando consideramos a medida dada por

dψ(t) =(b − t)(t − a)−12_dt, _{0 < a < b < ∞.}

Os polinˆomios L-ortogonais associados a essa medida (veja [25]) s˜ao Qn(z) =γ1(z) n +γ2(z) n , n ≥ 1, (2.25) onde    γ1(z) = h (z − β) +p(z − β)2_{− 4αz}i.₂ γ2(z) = h (z − β) −p(z − β)2_{− 4αz}i.₂ , (2.26) com β =√ab, α = √ b −√a2

4 e os coeficientes da rela¸c˜ao de recorrˆencia (1.18) dados por βn= β, α2 = 2α, αn+2= α, n ≥ 1.

Além disso, na regra de quadratura (1.22) (ou, equivalentemente, na regra (2.10) substituindo-se n por n − 1 e w por zn,n), os nós e os pesos são zn,i= β2 zn,n+1−i , zn,n+1−i= (β + αξn,i) + q (β + αξn,i)2− β2, i = 1, . . . , n + 1 2 , λn,i= 2π n zn,i zn,i+ β , i = 1, . . . , n,

sendo ξn,i= 2cos2

2i − 1 2n π

. Em ([25]), as express˜oes para λn,iforam obtidas ao se considerar as fun¸c˜oes

racionais Pn(z) Qn(z) = n X i=1 λn,i z − zn,i , n ≥ 1, onde Pn(z) = π p(z − β)2_{− 4αz} γ1(z) n −γ2(z) n , n ≥ 1. ´

E poss´ıvel mostrar que estes polinˆomios satisfazem a express˜ao Q0_n(z) = n(z + β)

2zπ Pn(z) + n

(36)

e que para G0_n+1(w; w) vale G0_n+1(w; w) = (n + 1)(w + β) 2πw σn,nw n₊ 1 n Qn+1(w)Q 0 n(w) = (n)(w + β) 2πw σn,nw n ₊ 1 n + 1Qn(w)Q 0 n+1(w);

nesse caso, σn,n = παn. Assim, por (2.8) e pelas regras de quadratura associadas a λn,i(w) em (2.10) e a

ˆ

λn,i(w) em (2.24), obt´em-se

|z_n,i(w) − w| ˆ λn,i(w) = 1 λn,i(w) = Qn+1 zn,i(w)Q 0 n zn,i(w) n zn,i(w) n σn,n +(n + 1) zn,i(w) + β 2πzn,i(w) , i = 1, 2, . . . , n e 1 λn,n+1(w) = Qn+1(w)Q 0 n(w) nwn_σ n,n +(n + 1)(w + β) 2πw .

Em particular, ao escolhermos w = 0, ent˜ao zn,i(0) ˆ λn,i(w) = 1 λn,i(0) = Qn+1 zn,i(0)Q 0 n zn,i(0) n zn,i(0) n σn,n +(n + 1) zn,i(0) + β 2πzn,i(0) , i = 1, 2, . . . , n e λn,n+1(0) = 0. Relembremos de (2.18) que νn(0) = Qn(0) Qn−1(0)

; por (2.25) e (2.26) (e tamb´em por β > 0), de imediato segue

Qn(0) = (−β)n =⇒ νn(0) = −β.

Assim, pelo Teorema 2.8      β1(0) = β + 2α, β2(0) = β + α β + 2αβ, α2(0) = β + α β + 2α βn(0) = β, αn(0) = α, n ≥ 3

para os coeficientes da rela¸cão de recorrência de três termos associada aos polinômios L-ortogonais Kn(z; 0) .

Agora, ao escolhermos w = −β, ent˜ao zn,i(−β) + β ˆ λn,i(−β) = 1 λn,i(−β) = Qn+1 zn,i(−β)Q 0 n zn,i(−β) n zn,i(−β) n σn,n + (n + 1) zn,i(−β) + β 2πzn,i(−β) , i = 1, 2, . . . , n e 1 λn,n+1(−β) = Qn+1(−β)Q 0 n(−β) n(−β)n_σ n,n = Qn+1(−β)Qn(−β) (−β)n+1_2σ n,n . Finalmente, como Qn(−β) = (−β)n h 1 + r 1 +α β n + 1 − r 1 +α β ni para n ≥ 1,

(37)

CAPÍTULO 2. POLIN ÔMIOS N ÚCLEO 21 decorre facilmente que

   ν1(−β) = −2β ν1(−β) − α2 = −2β 1 +α_β e que                          νn+1(−β) = −β h 1 + r 1 +α β n+1 +1 − r 1 +α β n+1i h 1 + r 1 +α β n +1 − r 1 +α β ni νn+1(−β) − αn+2 = −β r 1 +α β h 1 + r 1 +α β n+1 −1 − r 1 +α β n+1i h 1 + r 1 +α β n +1 − r 1 +α β ni , n ≥ 1.

Isto nos permite extrair do Teorema 2.8 representa¸c˜oes mais expl´ıcitas para os coeficientes βn(−β) e

αn+1(−β) pertencentes à rela¸cão de recorrência de três termos associada aos polinômios L-ortogonais

(38)

Tratamento num´

erico dos autovalores

Forneceremos aqui o tratamento numérico necessário à utiliza¸cão prática dos polinômios L-ortogonais apresentados no Cap´ıtulo 2. Isto será feito através de uma interpreta¸cão adequada dos vetores biortogonais yl

n+1(z) e yrn+1(z) formulados em (2.15).

Dadas as sequˆencias de n´umeros reais α(0)m

N m=2 e β (0) m N m=1, onde α (0) m+1, β (0) m > 0 para m =

1, 2, . . . , N − 1 e β_N(0) n˜ao necessariamente positivo, seja ent˜ao Rm(z)

N

m=0 uma sequˆencia de polinˆomios

dados pela rela¸c˜ao de recorrˆencia

Rm+1(z) = z − β_m+1(0) Rm(z) − α(0)_m+1zRm−1(z) (3.1)

com m = 1, 2, . . . , N − 1, onde R0(z) = 1 e R1(z) = z − β₁(0). Desse modo, assim como no Teorema 2.1,

pela positividade de Rm−1(z)R 0

m(z) − Rm(z)R 0

m−1(z) para qualquer z real, m = 1, 2, . . . , N , verifica-se

que as ra´ızes de Rm s˜ao positivas e distintas para m = 1, 2, . . . , N − 1, bem como que as ra´ızes de Rm−1

e Rm se entrela¸cam quando m = 2, 3, . . . , N . Consequentemente, as ra´ızes ξN,1, ξN,2, . . . , ξN,N de RN s˜ao

reais, distintas e pelo menos N − 1 delas s˜ao positivas; se impusermos β_N(0) > 0, garantimos a positividade de todas as N ra´ızes de RN. Ao definirmos ˜ Rm(z) = zN −1−mRm(z), ˆ Rm(z) = ζm−1Rm(z)

para m = 0, 1, . . . , N − 1, onde ζ0 6= 0 é arbitrário e ζm = α(0)m+1ζm−1, m = 1, 2, . . . , N − 1, a rela¸cão de

(39)

CAPÍTULO 3. TRATAMENTO NUM ÉRICO DOS AUTOVALORES 23 recorrência que gera Rm(z)

N

m=0 pode ser reescrita nas seguintes formas (veja [22] e [28]):

z_ˆ R0(z) = −β₁(0)Rˆ0(z) + α (0) 2 Rˆ1(z), z − ˆRm−1(z) + ˆRm(z) = −β_m+1(0) Rˆm(z) + α (0) m+2Rˆm+1(z), 1 ≤ m ≤ N − 2, z − ˆRN −2(z) + ˆRN −1(z) = −β_N(0)RˆN −1(z) + ζN −1−1 RN(z); e zR˜0(z) − ˜R1(z) = −β₁(0)R˜0(z), zR˜m(z) − ˜Rm+1(z) = α(0)_m+1R˜m−1(z) − β_m+1(0) R˜m(z), 1 ≤ m ≤ N − 2, zRÑ −1(z) = α(0)_N RÑ −1(z) − β_N(0)RÑ −1(z) + RN(z).

Matricialmente, isto nos leva `as equa¸c˜oes, respectivamente:

zANˆbN(z) = B(0)_N bˆN(z) + ζ_{N −1}−1 RN(z)eN (3.2)

e

z˜bN(z)TAN = ˜bN(z)TB (0)

N + RN(z)eTN, (3.3)

onde eN ´e a N -´esima coluna da matriz identidade de ordem N × N ,

ˆ bN(z) =         ˆ R0(z) ˆ R1(z) .. . ˆ RN −1(z)         , ˜bN(z) =         ˜ R0(z) ˜ R1(z) .. . ˜ RN −1(z)        

e as matrizes AN e B(0)N s˜ao dadas por

AN =                1 0 0 · · · 0 0 −1 1 0 · · · 0 0 0 −1 1 · · · 0 0 .. . ... −1 . .. ... ... 0 0 ... . .. 1 0 0 0 0 · · · −1 1                e B(0)_N =                β₁(0) α₂(0) 0 · · · 0 0 0 β₂(0) α(0)₃ · · · 0 0 0 0 β₃(0) . .. ... 0 .. . ... ... . .. α(0)_{N −1} ... 0 0 0 · · · β_{N −1}(0) α(0)_N 0 0 0 · · · 0 β_N(0)                .

(40)

Dessa forma, pela igualdade em (3.2), vê-se que ˆbN(ξN,i) é um autovetor à direita da matrix Hessenberg inferior H(0)_N = A−1_N B(0)_N =                1 0 0 · · · 0 0 1 1 0 · · · 0 0 1 1 1 · · · 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 1 1 1 · · · 1 0 1 1 1 · · · 1 1                               β₁(0) α(0)₂ 0 · · · 0 0 0 β₂(0) α₃(0) · · · 0 0 0 0 β₃(0) . .. ... 0 .. . ... ... . .. α(0)_{N −1} ... 0 0 0 · · · β_{N −1}(0) α(0)_N 0 0 0 · · · 0 β_N(0)                =                ˇ γ₁(0) α(0)₂ 0 0 . . . 0 ˇ γ₁(0) γˇ₂(0) α₃(0) 0 . . . 0 ˇ γ₁(0) γˇ₂(0) ˇγ₃(0) α(0)₄ . . . 0 .. . ... ... γˇ(0)₄ . .. ... ˇ γ₁(0) γˇ₂(0) ˇγ₃(0) ... . .. α(0)_N ˇ γ₁(0) γˇ₂(0) ˇγ₃(0) γˇ(0)₄ . . . ˇγ_N(0)                , (3.4)

associado ao autovalor ξN,i. Aqui, ˇγm(0) = αm(0)+βm(0), m = 1, 2, . . . , N , considerando α(0)1 = 0. Al´em disso, o

fato das ra´ızes ξN,1, ξN,2, . . . , ξN,N serem distintas torna os autovetores correspondentes ˆbN(ξN,1), ˆbN(ξN,2), . . . , ˆbN(ξN,N)

linearmente independentes.

De maneira similar, pela igualdade em (3.3), temos AT_Nb˜N(ξN,i) como um autovetor `a esquerda de

H_N(0) associado ao autovalor ξN,i. Novamente, os autovetores ATN˜bN(ξN,i), i = 1, 2, . . . , N , associados aos

N autovalores ξN,i, i = 1, 2, . . . , N , s˜ao linearmente independentes.

Podemos agora identificar os autovalores e respectivos autovetores formulados acima com os resultados obtidos nas Se¸c˜oes 2.1 e 2.2. At´e aqui, temos Rn(z) = Qn(z) presente em (2.1), n = 0, 1, . . . , N − 1, e

tamb´em AT_N˜bN(z) e ˜bN(z) iguais aos vetores ylN(z) e yrN(z) de (2.15), respectivamente, conquanto

   α(0)_m+1 = αm+1 β(0)m = βm , m = 1, 2, . . . , N − 1

e ζ0 = µ0. Isto ´e conseguido atrav´es das igualdades

   σ0,0 = µ0 = ζ0 σm,m = µ0α2. . . αn = ζm , m = 1, 2, . . . , N − 1, facilmente deduzidas de (1.19).

(41)

CAP´ITULO 3. TRATAMENTO NUM ´ERICO DOS AUTOVALORES 25 Adicionalmente, se β_N(0) = βN, obteremos os autovalores e respectivos autovetores associados ao N

-´

esimo polinômio L-ortogonal da Defini¸cão 1.5 relativo à distribui¸cão forte dψ. Ou seja: os autovalores ξN,i serão as ra´ızes de RN(z) = QN(z).

Por (2.22), podemos escrever

(z − w)KN −1(z; w) = z − βN − νN(w)QN −1(z) − αNzQN −2(z),

com νN(w) dado em (2.18); assim, ao escolhermos β_N(0) = βN+νN(w), obteremos o autossistema associado

ao polinˆomio (z −w)KN −1(z; w) (que, por sua vez, possui os mesmos zeros de GN(z; w), bastando observar

as rela¸c˜oes em (2.16) e (2.1), nessa ordem). Dessa forma, os autovalores ξN,i ser˜ao as ra´ızes zN −1,i(w)

associadas a RN(z) = (z −w)KN −1(z; w), lembrando que neste caso zN −1,N(w) = w. Disto, pela estrutura

de GN(z; w), ao fixarmos w como sendo zN,N, a maior raiz de QN(z), teremos (novamente) o problema

de autovalor associado `a escolha de β_N(0) = βN.

Utilizando agora (2.14) e o fato de que yl

N zN −1,i(w) = AT_N˜bN( zN −1,i(w)) e yrN zN −1,i(w) = ˜ bN zN −1,i(w), temos h ΛN −1 zN −1,i(w) i−1 = yl_n+1 zN −1,i(w) T yr_n+1 zN −1,i(w), 1 ≤ i ≤ N,

sendo que ΛN −1 zN −1,i(w) e zN −1,i(w) fornecem os pesos das regras de quadratura dadas em (2.10) e

(2.24) ao fazermos n = N − 1. A ortogonalidade entre os autovetores à esquerda e à direita de H(0)_N quando associados a diferentes autovalores é comprovada por (2.14).

Definindo Yl_N, Yr_N, DN e ZN como matrizes N × N dadas por

Yl_N = h yl_N zN −1,1(w) yl_N zN −1,2(w) . . . yl_N zN −1,N(w) iT , Yr_N = hyr_N zN −1,1(w) yr_N zN −1,2(w) . . . yr_N zN −1,N(w) i , D−1_N =         ΛN −1 zN −1,1(w) 0 . . . 0 0 ΛN −1 zN −1,2(w) . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . ΛN −1 zN −1,N(w)        

(42)

e ZN =         zN −1,1(w) 0 . . . 0 0 zN −1,2(w) . . . 0 .. . ... . .. 0 0 0 . . . zN −1,N(w)         ,

verificam-se rapidamente as seguintes propriedades:          Yl_NYr_N = DN H(0)_N Yr_N = Yr_NZN Yl_NH(0)_N = ZNYlN .

Os nós e pesos de (2.24) (com n = N ) também podem ser obtidos diretamente da rela¸cão de recorrência de três termos dada no Teorema 2.7 considerando-se os seguintes coeficientes:

   ζ0 = µ0(w) e α(0)m+1 = αm+1(w) para 1 ≤ m ≤ N − 1, βm(0)= βm(w) para 1 ≤ m ≤ N. .

Neste caso, vˆe-se que Rm(z) = Km(z), m = 1, 2, . . . , N .

3.1 Obtendo a quadratura a partir de H

(0)_N

Observaremos agora como o problema de obter-se os autovalores da matriz H(0)_N (que é Hessenberg inferior) se conecta à obten¸cão numérica dos nós e pesos das regras de quadratura (2.10) e (2.24), bastando para tanto analisar o caso em que ζ0 = µ0, α(0)_m+1 = αm+1, βm(0)= βm, m = 1, 2, . . . , N −1 e β_N(0)= βN+νN(w).

A técnica que perfaz essa conexão pode ser considerada uma extensão da ideia utilizada para se determinar os nós e pesos de uma regra de quadratura Gaussiana (veja Gautschi [8]).

Primeiramente, note que se s˜ao dados um autovalor ξN,ie seu respectivo autovetor `a direita ˆyNr (ξN,i) =

µ0yr_N(ξN,i), cujo primeiro elemento é a unidade, então o respectivo autovetor à esquerda yl_N(ξN,i) pode

ser calculado por

(43)

CAP´ITULO 3. TRATAMENTO NUM ´ERICO DOS AUTOVALORES 27 sendo CN(z) =         ζ0(z) 0 . . . 0 0 ζ1(z) . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . ζN −1(z)         ,

com ζ0(z) = 1 e ζi(z) = α(0)_i+1z−1ζi−1(z), i = 1, 2, . . . , N − 1. Assim, lembrando (2.13) e (2.14),

h ΛN −1(z) i−1 = N −2 X j=0 h zN −1−jQj(z) − zN −j−2Qj+1(z) iQ_j(z) ζj + QN −1(z) QN −1(z) ζN −1 = yl_N(z)Tyr_N(z) = zN −1µ−1₀ yˆr_N(z)TCN(z)AN(z)ˆyNr (z),

ou seja: o peso ΛN −1 ξN,i pode ser diretamente obtido pela ´ultima express˜ao, enquanto o autovetor

ˆ

yr_N(ξN,i) tamb´em ´e diretamente calculado como o vetor que satisfaz

H(0)_N yˆ_Nr (ξN,i) = ξN,iyˆNr (ξN,i)

e cuja primeira coordenada ´e 1. Isto nos leva ao seguinte algoritmo:

Algoritmo 1 (pesos a partir de autovalores): Dados os N autovalores ξN,i = zN −1,i de H(0)_N , os

autovetores correspondentes ˆyr_N(ξN,i) =

h

εi,1 εi,2 . . . εi,N

iT

são calculados nas opera¸cões em azul e, nas opera¸cões em vermelho, os N pesos λN −1,i(w) = zN −1,i(w)

N −1 ΛN −1 zN −1,1(w).                                                        para i = 1, 2, . . . , N

εi,1= 1, S1= β₁(0)× εi,1, εi,2= ξN,i× εi,1− S1/α(0)₂

ζ = α(0)₂ /ξN,i, S2= 1 + εi,2− εi,1 × εi,2× ζ                  for j = 1, . . . , N − 1

S1= S1+ α(0)_j + β(0)_j × εi,j, εi,j+1= εi,j× ξN,i− S1/α(0)_j+1

ζ = ζ × α(0)_j+1/ξN,i, S2 = S2+ εi,j+1− εi,j × εi,j+1× ζ

(44)

Em essência, este algoritmo equivale ao Método da Potência Inversa para a determina¸cão de autove-tores. Contudo, vale notar que a quantidade de opera¸cões envolvidas é menor do que no contexto de uma matriz tridiagonal N × N , dado que H(0)_N é uma matriz Hessenberg inferior com uma estrutura especial. Observe também que caso w = 0 (implicando ξN,N = 0), as opera¸cões em vermelho não devem ser

realizadas no momento da itera¸c˜ao i = N . Neste caso, simplesmente atribue-se λN −1,N(0) = 0.

3.2 Encontrando os autovalores

Pelo fato dos autovalores de H(0)_N serem todos reais e distintos, o algoritmo QR (veja [12], [26], [32]) desenvolvido independentemente por John G.F. Francis e Bera Kublanovskaya (veja [13]) ´e muito eficaz no c´alculo de seus autovalores e, consequentemente, de seus autovetores.

Entretanto, há outro procedimento facilmente implementável que pode ser usado para obten¸cão dos autovalores. Inicialmente, relembremos que H(0)_N é o produto das matrizes A−1_N e B(0)_N ; consideremos então a decomposi¸cão H(0)_N = F(0)_N G(0)_N , onde F(0)_N =                ˆ γ₁(0) 0 0 . . . 0 0 ˆ γ₁(0) ˆγ₂(0) 0 . . . 0 0 ˆ γ₁(0) ˆγ₂(0) ˆγ₃(0) . . . 0 0 .. . ... ... . .. ... ... ˆ γ₁(0) ˆγ₂(0) γˆ₃(0) . . . γˆ_{N −1}(0) 0 ˆ γ₁(0) ˆγ (0) 2 ˆγ (0) 3 . . . γˆ (0) N −1 γˆ (0) N                e G(0)_N =                β₁(0)/ˆγ₁(0) α₂(0)/ˆγ₁(0) 0 . . . 0 0 0 β₂(0)/ˆγ₂(0) α(0)₃ /ˆγ₂(0) . . . 0 0 .. . ... β₃(0)/ˆγ₃(0) . .. ... 0 0 0 ... . .. α(0)_{N −1}/ˆγ_{N −2}(0) ... 0 0 0 . . . β_{N −1}(0) /ˆγ_{N −1}(0) α_N(0)/ˆγ_{N −1}(0) 0 0 0 . . . 0 β_N(0)/ˆγ_N(0)                ,

(45)

CAPÍTULO 3. TRATAMENTO NUM ÉRICO DOS AUTOVALORES 29 produto G(0)_N F(0)_N também será Hessenberg inferior. Mas note que

H(1)_N = G(0)_N F(0)_N =                ˇ γ₁(1) α(1)₂ 0 0 . . . 0 ˇ γ₁(1) γˇ(1)₂ α₃(1) 0 . . . 0 ˇ γ₁(1) γˇ(1)₂ ˇγ₃(1) α(1)₄ . . . 0 .. . ... ... γˇ₄(1) . .. ... ˇ γ₁(1) γˇ(1)₂ ˇγ₃(1) ... . .. α(1)_N ˇ γ₁(1) γˇ(1)₂ ˇγ₃(1) γˇ₄(1) . . . γˇ_N(1)                ,

possui exatamente a mesma disposi¸c˜ao de elementos que H(1)_N em (3.4), onde ˇ γ_j(1) = γˆ_j(0), j = 1, 2, . . . , N, α(1)_j+1 = γˆ (0) j+1 ˆ γ_j(0) αj+1(0), j = 1, 2, . . . , N − 1;

naturalmente, H(0)_N e H(1)_N possuem os mesmos autovalores. Aplica¸c˜oes sucessivas deste racioc´ınio nos levam a

H(k)_N = G(k−1)_N F(k−1)_N =                ˇ γ₁(k) α(k)₂ 0 0 . . . 0 ˇ γ₁(k γˇ₂(k) α(k)₃ 0 . . . 0 ˇ γ₁(k) γˇ₂(k) γˇ₃(k) α(k)₄ . . . 0 .. . ... ... γˇ₄(k) . .. ... ˇ γ₁(k) γˇ₂(k) γˇ₃(k) ... . .. α(k)_N ˇ γ₁(k) γˇ₂(k) γˇ₃(k) γˇ₄(k) . . . γˇ_N(k)                ,

sendo os coeficientes ˇγ_j(k) e α(k)_j+1 gerados recursivamente atrav´es de ˇ γ_j(k) = γˆ_j(k−1), j = 1, 2, . . . , N, α(k)_j+1 = γˆ (k−1) j+1 ˆ γ(k−1)_j α(0)_k−1, j = 1, 2, . . . , N − 1,

ressaltando que, para k ≥ 0,

ˇ

γ_j(k) = α(k)_j + β_j(k) ˆ

γ_j(k) = α(k)_j+1+ β_j(k) para j = 1, 2, . . . , N , com α(k)₁ = α(k)_{N +1}= 0.

(46)

Como H(k)_N permanece Hessenberg inferior, a princ´ıpio não podemos inferir sua convergência a uma matriz triangular inferior (com os autovalores ξN,i na diagonal principal) quando k → ∞. Porém,

nova-mente pelos autovalores de H(0)_N serem todos distintos e positivos, ´e poss´ıvel mostrar que lim

k→∞α (k) j = 0

quando j = 2, 3, . . . , N , tornando a estrutura de H(k)_N de fato triangular inferior quando k → ∞, fornecendo assim seus autovalores. Consequentemente, podemos formular o seguinte algoritmo, que é o mesmo obtido por Jones e Magnus em [14] para o cálculo de pólos dos aproximantes de Padé de dois pontos:

Algoritmo 2 (autovalores a partir dos coeficientes de Rm(z)): Utilizando como valores iniciais os

coeficientes das sequˆencias α(0)m

N

m=2 e β (0) m

N

m=1 apresentadas em (3.1), as vari´aveis β

(k)

j convergir˜ao para os autovalores ξn,j de H(0)N `a medida que k → ∞.

                               para k = 1, 2, 3, . . . α(k−1)_{N +1} = 0, γˆ(k−1)_j = α(k−1)_j+1 + β_j(k−1), j = 1, . . . , N β₁(k)= ˆγ₁(k−1) β_j(k)= β_j−1(k−1)γˆ (k−1) j ˆ γ_j−1(k−1) , α(k)_j = α(k−1)_j γˆ (k−1) j ˆ γ_j−1(k−1) , j = 2, . . . , N

Finalmente, testamos numericamente o algoritmo QR e o Algoritmo 2 para calcular os autovalores de H(0)_N correspondentes ao caso particular referente à se¸cão 2.4. Os autovalores são as ra´ızes do polinômio (z − w)KN −1(z; w) em (2.21) quando

α2 = 2α, βn= β αn+2= α, n ≥ 1

e α = β = 1. A fim de compararmos os algoritmos, observamos o número de itera¸cões e o tempo de execu¸cão aproximado para a obten¸cão dos autovalores de H(0)₈ , H(0)₁₆ e H(0)₂₄, tanto para w = 0 quanto para w = −1.

Claramente, como mostram os resultados da tabela acima, é de se esperar que a convergência do algoritmo QR seja superior à do Algoritmo 2, especialmente em termos do número de opera¸cões. Contudo, o tempo de execu¸cão do Algoritmo 2 excede pouco mais que o dobro do algoritmo QR; assim, dada a simplicidade na programa¸cão que envolve o Algoritmo 2, refor¸camos que este é uma boa escolha caso o valor de N não seja demasiado grande.

(47)

CAP´ITULO 3. TRATAMENTO NUM ´ERICO DOS AUTOVALORES 31

Itera¸c˜oes do Tempo do Itera¸c˜oes do Tempo do Algoritmo QR Algoritmo QR Algoritmo 2 Algoritmo 2

N = 8, w = 0.0 50 0.0017 130 0.0035 N = 8, w = -1.0 51 0.0017 124 0.0032 N = 16, w = 0.0 102 0.0052 497 0.0135 N = 16, w = -1.0 100 0.0050 485 0.0126 N = 24, w = 0.0 152 0.0120 1070 0.0269 N = 24, w = -1.0 146 0.0115 1052 0.0264

Tabela 3.1: Número de itera¸cões e tempo de execu¸cão aproximado para gerar os autovalores de HN com precisão

de oito casas decimais.

Em posse dos autovalores, que são os nós da regra de quadratura (2.10), obtém-se facilmente os pesos desta regra de quadratura através do Algoritmo 1.

(48)

L-ortogonalidade no c´ırculo unit´

ario

Os resultados apresentados neste cap´ıtulo foram publicados em [5].

4.1 N´

ucleos CD e sequˆ

encias encadeadas

Provaremos nesta se¸cão que os núcleos CD da Se¸cão 1.2

Pn(z; ω) =

1

z − ωzSn(z) − ωτn(ω)S

∗

n(z), quando n ≥ 0,

introduzidos em (1.8) e reescritos em (1.13), satisfazem uma rela¸cão de recorrência de três termos, que por sua vez utiliza uma sequência encadeada {d1,n}∞n=1 cuja sequência de parâmetros {g1,n}∞n=1 admite

uma fórmula expl´ıcita. Seguindo a Observa¸cão 2 (página 4), permanecemos considerando |ω| = 1. Teorema 4.1. A sequência de polinômios mônicos {Pn(z; ω)}∞n=0 satisfaz uma rela¸cão de recorrência de

trˆes termos Pn+1(z; ω) =z + bn+1(ω)Pn(z; ω) − an+1(ω)zPn−1(z; ω), n ≥ 1, com P0(z; ω) = 1 e P1(z; ω) = z + b1(ω), sendo bn(ω) = τn(ω) τn−1(ω) e an+1(ω) = ω1 + τn(ω)ϕn−11 − ωτn(ω)ϕn, n ≥ 1, com τn(ω) = Sn(ω) S∗ n(ω) dado em (1.7).

Demonstra¸cão: Para n ≥ 1, consideremos o polinômio mônico pn+1(z) de grau n + 1 dado como

pn+1(z) = Pn+1(z; ω) + un1 + τn(ω)ϕn−1zPn−1(z; ω),

(49)

CAPÍTULO 4. L-ORTOGONALIDADE NO CÍRCULO UNIT ÁRIO 33 onde a constante un, a princ´ıpio, é incógnita. Utilizando (1.9) e (1.13), encontramos

(z − ω)pn+1(z) =zSn+1(z) − ωτn+1(ω)Sn+1∗ (z) + unSn(z) − τn(ω)Sn∗(z),

que por (1.4) se torna

(z − ω)pn+1(z) = zzSn(z) − τn(ω)un+ ϕnSn∗(z) +un+ ωτn+1(ω)ϕn " zSn(z) − ωτn+1(ω) un+ ωτn+1(ω)ϕn S_n∗(z) # .

Agora, ao escolhermos un= ω1 − ωτn(ω)ϕn, reduzimos a express˜ao anterior a

(z − ω)pn+1(z) = zzSn(z) − ωτn(ω)Sn∗(z) +

τn+1(ω)

τn(ω)

zSn(z) − ωτn(ω)Sn∗(z),

concluindo, portanto, que

pn+1(z) =z + bn+1(ω)Pn(z; ω).

Utilizando (1.12), os coeficientes bn(ω) e an+1(ω) do Teorema 4.1 tamb´em podem ser escritos como

bn(ω) = ω 1 − ωτn−1(ω)ϕn−1 1 − ωτn−1(ω)ϕn−1 = ω1 + τn(ω)ϕn−1 1 + τn(ω)ϕn−1 , an+1(ω) = ω 1 − ωτn(ω)ϕn 1 − ωτn−1(ω)ϕn−1 1 − |ϕn−1|2 (4.1) = ω1 + τn(ω)ϕn−1 1 + τn+1(ω)ϕn 1 − |ϕn|2, sempre que n ≥ 1.

Observa¸c˜ao 3. Deste ponto em diante, assumiremos ω = 1 e consideraremos apenas a sequˆencia {P_n(z; 1)}∞_n=0. Do Teorema 4.1, sabemos Pn+1(z; 1) =z + bn+1Pn(z; 1) − an+1zPn−1(z; 1), n ≥ 1, (4.2) sendo P0(z; 1) = 1 e P1(z; 1) = z + b1, onde bn= τn τn−1 e an+1 = ω1 + τnϕn−11 − τnϕn, n ≥ 1; (4.3)

(50)

aqui, τn= τn(1) para n ≥ 0. Assim, de (4.1), bn = 1 − τn−1ϕn−1 1 − τn−1ϕn−1 = 1 + τnϕn−1 1 + τnϕn−1 , an+1 = 1 − τnϕn 1 − τn−1ϕn−1 1 − |ϕn−1|2 = 1 + τnϕn−1 1 + τn+1ϕn 1 − |ϕn|2, n ≥ 1.

Definimos agora o polinˆomio Tn(z) como

Tn(z) = n−1 Y j=0 1 − τjϕj n−1 Y j=0 1 − Re(τjϕj) Pn(z; 1), n ≥ 1 e T0(z) = P0(z; 1).

Naturalmente, por |ϕj| < 1 e |τj| = 1, obtemos τjϕj 6= 1, j = 1, 2, . . . , n − 1; isto faz de Tn(z) um

polinômio de grau n múltiplo de Pn(z; 1), que, conforme visto na Se¸cão 1.2, possui todas suas n ra´ızes

distintas e pertencentes ao c´ırculo unit´ario, com Pn(1; 1) 6= 0.

Teorema 4.2. Os polinômios {Tn(z)}∞n=0 satisfazem a rela¸cão de recorrência de três termos

Tn+1(z) =(1 + icn+1)z + (1 − icn+1)Tn(z) − 4dn+1zTn−1(z), (4.4)

com T0(z) = 1 e T1(z) = (1 + ic1)z + (1 − ic1), sendo as sequˆencias {cn}∞n=1 e {dn+1}∞n=1 dadas por

cn = −Im(τn−1ϕn−1) 1 − Re(τn−1ϕn−1) , dn+1 = 1 4 1 − |τn−1ϕn−1|2|1 − τnϕn|2 1 − Re(τn−1ϕn−1)1 − Re(τnϕn) , n ≥ 1.

Além disso, a sequência {d1,n}∞n=1, onde d1,n= dn+1, é uma sequência encadeada positiva cuja sequência

de parˆametros {g1,n}∞n=0 ´e tal que

g1,n= 1 2 |1 − τnϕn|2 1 − Re(τnϕn) , n ≥ 0.

Demonstra¸c˜ao: Primeiramente, consideremos os polinˆomios { ˜Tn(z)}∞n=0 dados por ˜T0(z) = P0(z; 1) e

˜

Tn(z) =1 − τn−1ϕn−11 − τn−2ϕn−2 . . . 1 − τ0ϕ0Pn(z; 1), n ≥ 1,

sendo {Pn(z; 1)}∞n=0 os mesmos de (4.2). Ent˜ao por (4.3),

˜

Tn+1(z) =(1 + τnϕn)z + (1 − τnϕn)

_˜

(51)

CAPÍTULO 4. L-ORTOGONALIDADE NO CÍRCULO UNIT ÁRIO 35 para n ≥ 1, com ˜T1(z) =(1 + τ0ϕ0)z + (1 − τ0ϕ0). Relembrando (1.10), pelo fato de |τn| = 1 quando

n ≥ 0, observe que

1 − |ϕn−1|2 = 1 − |τn−1ϕn−1|2, n ≥ 1.

A f´ormula de recorrˆencia para (4.4) para Tn(z) segue imediatamente ao observarmos que T0(z) = ˜T0(z)

e

Tn(z) =

1

1 − Re(τn−1ϕn−1)1 − Re(τn−2ϕn−2) . . . 1 − Re(τ0ϕ0)

T˜n(z), n ≥ 1.

Finalmente, por |ϕn| < 1 para n ≥ 0, temos 0 < g1,n< 1 para n ≥ 0; e, como d1,n= (1 − g1,n−1)g1,npara

n ≥ 1, conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do teorema.

Utilizando agora (1.11) e (1.12), podemos reescrever os coeficientes cn, dne g1,n do Teorema 4.2 como

Por (4.2) e (4.3), temos tamb´em bn=

1 − icn 1 + icn quando n ≥ 1 e τn= b1b2. . . bn= n Y j=1 1 − τj−1ϕj−1 1 − τj−1ϕj−1 = n Y j=1 1 − icj 1 + icj , n ≥ 1.

4.2 Sequˆ

encias de parˆ

ametros

Primeiramente, estabeleceremos dois lemas que serão utilizados na obten¸cão dos resultados desta Se¸cão. O primeiro lema fornece informa¸cões sobre como recuperar os coeficientes de Verblunsky uma vez que sejam conhecidos a sequência {cn}∞n=1 e a sequência de parâmetros {g1,n}∞n=1 da sequência encadeada

{d_1,n}∞ n=1.

Lema 4.3. Dadas duas sequˆencias reais {cn}∞n=1 e {gn}∞n=1, sendo 0 < gn< 1 para n ≥ 1, ent˜ao existe

uma ´unica sequˆencia {βn}∞n=0, com |βn| < 1 quando n ≥ 0, tal que

cn= −Im(β_n−1) 1 − Re(βn−1) e gn= 1 2 |1 − β_n−1|2 1 + Re(βn−1) , n ≥ 1, sendo ainda βn−1= 1 − 2gn− icn 1 − icn , n ≥ 1. (4.5)