Alguns problemas elípticos não homogêneos via transformada de Fourier

Nestor Felipe Castañeda Centurión

ALGUNS PROBLEMAS ELÍPTICOS NÃO

HOMOGÊNEOS VIA TRANSFORMADA DE FOURIER

CAMPINAS 2015

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Castañeda Centurión, Nestor Felipe,

C275a CasAlguns problemas elípticos não homogêneos via transformada de Fourier / Nestor Felipe Castañeda Centurión. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

CasOrientador: Lucas Catão de Freitas Ferreira.

CasTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Cas1. Equações diferenciais elípticas. 2. Potenciais singulares. 3. Problemas de valores de contorno. 4. Soluções periódicas (Equações diferenciais). 5.

Semiespaço (Matemática). I. Ferreira, Lucas Catão de Freitas,1977-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Some non-homogeneous elliptic problems via Fourier transform Palavras-chave em inglês:

Elliptic partial differential equations Singular potentials

Boundary value problems

Periodic solutions (Differential equations) Halfspace (Mathematics)

Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:

Lucas Catão de Freitas Ferreira [Orientador] Mahendra Prasad Panthee

Francisco Odair Vieira de Paiva Marcelo Fernandes de Almeida Marcelo Fernandes Furtado

Data de defesa: 10-04-2015

Programa de Pós-Graduação: Matemática

Abstract

In this thesis, we study three nonhomogeneous elliptic problems with potentials. In the first, we consider a general elliptic operator with singular potential and nonlinearity involving deriva-tives, which can be fractional. We obtain results about existence and qualitative properties in 𝒫ℳ𝑎_{-spaces. In the second, we investigate periodic solutions for a nonlinear problem with}

pe-riodic potential and nonlinearity involving derivatives and obtain a solvability theory in a space whose definition is based on the periodic Fourier transform. In the third, we approach a nonlin-ear boundary value problem in the half-space, where boundary terms contain nonlinnonlin-earities and singular potentials. For that, we put in relief the 𝑥𝑛-variable and apply the Fourier transform

in relation to the others in order to obtain a functional formulation for the problem. In view of working in low-regularity spaces, we use the independence of the trace to make a first space pro-posal for the analysis, which involves a Kato-type space for the interior and a 𝒫ℳ𝑘-space for the boundary. In a second space proposal, we assume continuity in the distribution sense with respect to 𝑥𝑛 of the space elements. Considering in particular the monopolar potential 𝑉2(𝑥′) = 𝜆/|𝑥′| on

the boundary, we obtain an existence result for |𝜆|< 𝜆* = 2Γ2(𝑛/4)/Γ2((𝑛 − 2)/4), without using

Kato inequality. The value 𝜆* is the best constant in the Kato inequality in the half-space and it

appears in the literature as threshold of existence results for approaches based on that inequality and spaces of continuous functions. So, our result indicates that 𝜆* is intrinsic to the problem and

independent of the approach and spaces used in the study.

Keywords: Elliptic equations, singular potentials, boundary value problems, periodic

solu-tions, half-space.

Resumo

Nesta tese estudamos três problemas elípticos não homogêneos com potenciais. No primeiro, consideramos um operador elíptico geral com potenciais singulares e não linearidades envolvendo derivadas, as quais podem ser fracionárias. Obtemos resultados de existência e propriedades qua-litativas no espaço 𝒫ℳ𝑎. No segundo, investigamos soluções periódicas para um problema não linear com potenciais periódicos e não linearidades envolvendo derivadas e, obtemos uma teoria de resolubilidade em um espaço cuja definição está baseada na transformada de Fourier periódica. No

terceiro abordamos um problema de valor de fronteira não linear no semi-espaço, onde os termos de fronteira contêm não linearidades e potenciais singulares. Para isso, destacamos a variável 𝑥𝑛 e

aplicamos a transformada de Fourier nas outras com o objetivo de obter uma formulação funcional para o problema. Como trabalhamos em espaços de baixa regularidade, usamos a independência do traço para fazer uma primeira proposta de espaço para a analise, o qual envolve o uso de um espaço tipo Kato para o interior e um espaço 𝒫ℳ𝑘 para a fronteira. Em uma segunda proposta de espaço, assumimos a continuidade no sentido distribucional, com relação a 𝑥𝑛, dos elementos do

espaço. Considerando em particular o potencial monopolar 𝑉2(𝑥′) = 𝜆/|𝑥′| na fronteira, obtemos

um resultado de existência para 0 ≤ 𝜆 < 𝜆* = 2Γ2(𝑛/4)/Γ2((𝑛 − 2)/4), sem usar a desigualdade de

Kato. O valor 𝜆* é a melhor constante para a desigualdade de Kato no semi-espaço e ele aparece

na literatura como limiar de resultados de existência para abordagens baseadas nessa desigualdade e em espaços de funções contínuas. Assim, nosso resultado indica que 𝜆* é intrínseca ao problema

e independente da abordagem e dos espaços utilizados para o estudo.

Palavras-chave: Equações elípticas, potenciais singulares, problemas de valor de fronteira,

Sumário

1.2 Alguns resultados básicos . . . 12

1.3 Distribuições periódicas . . . 14

2 Equações elípticas com não linearidades envolvendo derivadas 17 2.1 Formulação Funcional . . . 17

2.2 Resultados . . . 20

2.2.1 Existência, Unicidade, Regularidade e Invariância pelo scaling . . . 20

2.2.2 Outros tipos de não linearidades . . . 21

2.3 Demonstração dos Resultados . . . 22

2.3.1 Demonstração do Teorema 2.2.1 (i) . . . 28

2.3.2 Demonstração do Teorema 2.2.1 (ii) . . . 30

2.3.3 Demonstração do Teorema 2.2.1 (iii) . . . 31

2.3.4 Demonstração do Teorema 2.2.1 (iv) . . . 34

2.3.5 Demonstração do Teorema 2.2.2 . . . 36

3 Soluções periódicas para alguns problemas elípticos 37 3.1 Problema não linear sem potencial . . . 37

3.2 Problema não linear com potencial . . . 39

3.3 Resultados . . . 41

3.4 Demonstração dos Resultados . . . 42

3.4.1 Demonstração do Teorema 3.3.1 . . . 45

3.4.2 Demonstração do Teorema 3.3.2 . . . 46

4 Uma família de problemas elípticos com condições de bordo não lineares e sin-gulares 47 4.1 Primeira Formulação Funcional . . . 47

4.2 Resultados . . . 51

4.2.1 Existência e Unicidade . . . 52

4.2.2 Continuidade fraca . . . 52

4.2.3 Regularidade . . . 53

4.3 Demonstração dos Resultados . . . 53

4.3.1 Lemas preliminares . . . 53

4.3.2 Demonstração do Teorema 4.2.1 . . . 66

4.3.3 Demonstração do Teorema 4.2.3 . . . 67

4.3.4 Demonstração do Teorema 4.2.5 . . . 71

4.4 Segunda Formulação Funcional . . . 76

4.5 Resultados . . . 78

4.5.1 Existência, unicidade e regularidade . . . 78

4.6 Demonstração dos Resultados . . . 79

4.6.1 Lemas Preliminares . . . 79

4.6.2 Constante de Kato . . . 82

Referências 84

A Teoremas Complementares [Caso 𝑏 > 0] 89

Aos meus pais Jorge (in memoriam) e María Esther. À minha esposa Elisa e ao meu filho César.

Agradecimentos

A minha família no Peru e em especial a minha mãe María Esther por constituirem aquele sal da vida tão necessário para continuar a minha caminhada. E, mesmo não estando mais entre nós, um agradecimento sincero para o meu pai Jorge Juan por todo o que deixou de melhor na minha vida, seu exemplo continua sempre vivo por ter sido substancial.

A minha esposa Elisa Prestes Massena, por termos começado uma nova vida juntos há mais de cinco anos. Eles foram de muito aprendizado e, sobre todo, estiveram cheios de amor, o que faz com que nossa união faça sentido. Obrigado pelo teu companherismo, pela tua dedicação nestes anos não tão juntos, e sobre todo, obrigado por esse sorriso que torna a minha vida melhor. Ao meu filho César por ter me servido de motivação a todo instante para continuar crescendo. Sempre serei seu maior torcedor. Espero daqui a poucos anos termos uma conversa de engenheiro químico para matemático.

A família Prestes Massena, em especial a seu João e dona Rosa por terem me acolhido da forma mais carinhosa dentro dessa grande família, sempre compartilhando experiências e mostrando aquele bom humor.

A dona Leninha e ao seu Artur pelo suporte que me deram com meu filho sempre que precisei. Cuidar de um filho adolescente se tornou mais fácil com vizinhos como vocês.

Ao Prof. Lucas Catão de Freitas Ferreira por sua sempre competente, bem disposta e desafiadora orientação. Pelos diversos momentos onde o apoio pessoal foi necessário e foi dado. Foi e será sempre um prazer discutirmos matemática.

Ao Matheus Santos por ter sido aquele amigo irmão de todas as horas. Foram muitas conversas acadêmicas e não acadêmicas que construiram uma amizade sincera.

Ao Thiago Alves e ao Ailton, pessoas especiais com os que compartilhei o dia a dia do IMECC. A meus amigos peruanos David, Carlos, Claudia, Dan e Julio com os que dividi incontáveis con-versas nos almoços e jantares no RU.

Aos professores e funcionários do IMECC-UNICAMP que contribuiram de diversas formas na mi-nha formação nestes anos de doutorado.

Ao professores Antônio Luiz Pereira, Plínio Simões, Luiz Augusto de Oliveira e Sérgio Mota por terem atendido meu pedido de cartas de recomendação quatro anos atrás. Muito obrigado. A Universidade Estadual de Santa Cruz pelo apoio financeiro nestes anos de afastamento, em espe-cial, para a área de Matemática da qual faço parte e com a que compartilho projetos de crescimento institucional.

O único lugar onde o sucesso vem antes do trabalho é o dicionário. Albert Einstein

Introdução

Nesta tese, consideramos três problemas elípticos não homogêneos (i.e. 𝑢 = 0 não é solução) com potenciais. No primeiro, o potencial é singular e o termo não linear envolve derivadas que podem ser consideradas fracionárias. No segundo, além da não linearidade envolver derivadas fracionárias, consideramos potenciais e termos forçantes periódicos, sendo que obtemos soluções também periódicas. O terceiro é um problema no semi-espaço que comporta não linearidades e potenciais singulares nas condições de bordo e no interior do domínio.

A seguir faremos uma descrição de cada um desses problemas.

Equações elípticas com não linearidades envolvendo

deriva-das

Não linearidades dependendo de derivadas são de bastante interesse na área de equações di-ferenciais parciais (EDPs) e aparecem em vários fenômenos físicos. Por exemplo, elas aparecem em modelos de convecção-difusão não lineares [30], alguns tipos de equações de Schrödinger [11, 39], e mecânica dos fluidos [50]. Aqui focamos em EDPs elípticas as quais (por exemplo) aparecem conectadas a soluções estacionárias ou ondas solitárias nos modelos anteriores. Em [1] é abordado o problema Δ𝑢 ± 𝑔(|∇𝑢|) = 𝑓 (𝑢) em um aberto limitado com fronteira regular de forma que 𝑢 explode na fronteira. Assumindo 𝑓 e 𝑔 contínuas e crescentes, e usando condições do tipo Keller-Osserman, as quais comportam o caso de não linearidades com potências 𝑓 (𝑡) = 𝑡𝑞 _{e 𝑔(𝑡) = 𝑡}𝑝_{, é}

demonstrada a existência e não existência de soluções não negativas. Para essa mesma equação, o caso sem o termo envolvendo o gradiente e considerando 𝑓 (𝑢) = 𝑢𝑝 foi amplamente estudado em [31], [36] e [43]. Um exemplo considerando o termo envolvendo o gradiente pode ser visto em [32], onde estuda-se a equação Δ𝑢 − |∇𝑢|𝑝_{= 𝜆𝑢 + ℎ, com 𝑝 > 1, 𝜆 > 0 e ℎ suave, a qual aparece,}

com restrições de estado, na teoria de control estocástico. Variantes com pesos do problema ci-tado inicialmente podem ser encontradas em [25], [44], [54] e [55]. Por outro lado, resulci-tados de existência ou não de soluções em domínios não limitados são encontrados em [52], onde usam-se argumentos de sub e supersolução, e em [20], onde procuram-se soluções radiais para o problema Δ𝑢 + |∇𝑢|𝑞_+𝜆𝑢𝑝 _{= 0 no R}𝑛_.

Em [17], usando uma abordagem de Fourier no espaço de Banach 𝒫ℳ𝑎_(R𝑛) = {𝑢 ∈ 𝒮′_(R𝑛) : 𝑢 ∈ 𝐿̂︀ 1 𝑙𝑜𝑐(R 𝑛 ) e ess sup 𝜉∈R𝑛 |𝜉|𝑎|𝑢(𝜉)|< +∞},̂︀

com 0 < 𝑎 < 𝑛, é estudado o problema não homogêneo ℒ𝑢 + 𝑢𝑝 + 𝑉 (𝑥)𝑢 + 𝑓 (𝑥) = 0, onde

𝑝, 𝑞 > 1 são inteiros e o operador ℒ(·) é definido, via transformada de Fourier, por ̂︂ℒ𝑢 = 𝜎(𝜉)𝑢_̂︀

com 1/|𝜎(𝜉)|≤ ℳ/|𝜉|𝑚 _{para certa constante ℳ > 0. Os autores de [17] mostraram resultados de}

existência, regularidade e decaimento no infinito, assim como, algumas propriedades qualitativas. Nesta parte do trabalho, adaptamos a abordagem de [17] para estudar uma classe de EDPs elípticas em 𝒫ℳ𝑎 com não linearidades dependendo de derivadas. Mais precisamente estudamos a EDP

ℒ𝑢 + [︃ _𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑙 ∏︁ 𝑖=1 [︁ 𝜕𝛼𝑖𝑗_𝑢]︁𝑝𝑖𝑗 ]︃𝑞 + 𝑉 (𝑥)𝑢 + 𝑓 (𝑥) = 0 _{no R}𝑛, (0.0.1)

onde 𝛼𝑖𝑗 são multi-índices e 𝑝𝑖,𝑗, 𝑞 > 1 são inteiros. Observe que, para escolhas convenientes do

expoente 𝑚, o Laplaciano fracionário, o Laplaciano e em geral os operadores poli-harmônicos são exemplos para ℒ. Além disso, como exemplos de não linearidades temos 𝑢𝑝 _{(se 𝛼}

𝑖𝑗 = 0, 𝑝𝑖𝑗 = 1,

𝑙 = 𝑝, 𝑘 = 1 e 𝑞 = 1) e |∇𝑢|2𝑞 _{(se 𝑘 = 𝑛, 𝑝}

𝑖𝑗 = 0 para 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, 𝑝1𝑗 = 2 e 𝛼1𝑗 = 𝑒𝑗). Os resultados

também podem ser adaptados para cobrir não linearidades dependendo de derivadas fracionárias (veja detalhes mais abaixo). Cabe também mencionar que cobrimos valores grandes de 𝑞 desde que 𝑚 e 𝑛 sejam grandes.

O espaço 𝒫ℳ𝑎 nos permite considerar potenciais e termos forçantes, 𝑉 e 𝑓 , singulares. A análise de EDPs neste tipo de espaço começou no contexto de mecânica dos fluidos e equações parabólicas semilineares (veja e.g. [6], [7], [8], [29] e [38]). Transformamos o problema original em um problema funcional mediante a aplicação formal da transformada de Fourier em R𝑛_{. Devido}

ao grande número de convoluções consideradas, introduzimos na Observação 2.1.1 as notações

*

*

O espaço 𝒫ℳ𝑎 é suficiente para garantir existência, unicidade, certo decaimento e invariância pelo scaling das soluções da equação funcional. Para obtermos resultados de regularidade consi-deramos o espaço 𝐻1,𝑠 (veja (2.1.10) para a definição). A regularidade obtida é [𝑠 + 𝑚 − 𝜃], onde

𝜃 é a ordem da maior derivada considerada na não linearidade e [𝑠] denota o maior inteiro menor

ou igual a 𝑠 . Além da regularidade é demonstrado que a solução do problema funcional também é solução do problema original no sentido clássico, sendo que, sob hipóteses de homogeneidade nos dados, conseguimos demonstrar a invariância da solução pelo scaling (2.1.8), isto é, obtemos soluções homogêneas de grau oposto ao expoente de 𝜆 em (2.1.8) (veja Teorema 2.2.1).

Também observamos que ao substituirmos as derivadas da não linearidade por certos multipli-cadores, os resultados ainda são válidos. Um exemplo de destaque para esses multiplicadores é o caso do Laplaciano fracionário (veja (2.2.6)). Além disso sob hipóteses de radialidade do símbolo do multiplicador, obtemos radialidade da solução (veja Teorema 2.2.2).

Mesmo que por restrições técnicas não seja possível tratar o problema Δ𝑢+|∇𝑢|2𝑞_+𝜆𝑢𝑝_{+𝑓 = 0,}

ao conseguirmos incluir na nossa abordagem derivadas fracionárias na não linearidade, podemos considerar equações onde ∇𝑢 é subtituido por uma derivação cuja ordem esteja arbitrariamente próxima de 1 por baixo. Por outro lado, podemos tratar o problema com exatamente esta não linearidade e uma potência 𝑚 > 1 do (−Δ), em lugar do (−Δ).

Finalmente, observamos que a técnica e as provas apresentadas podem ser aplicadas ao pro-blema mais geral,

ℒ𝑢 + 𝑡 ∑︁ 𝑟=1 [︃ _𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑙 ∏︁ 𝑖=1 [︁ 𝜕𝛼𝑖𝑗_𝑢]︁𝑝𝑖𝑗 ]︃𝑞𝑟 + 𝑉 (𝑥)𝑢 + 𝑓 (𝑥) = 0 _{no R}𝑛.

Soluções periódicas para alguns problemas elípticos

Problemas em equações diferenciais envolvendo dados periódicos aparecem em vários modelos advindos da física e possuem uma vasta literatura em diversos tipos de EDPs, sejam parabólicas, elípticas, dispersivas, em mecânica dos fluidos, etc (veja e.g [49]).

Dentro das equações elípticas, métodos variacionais foram aplicados ostensivamente para o tra-tamento da equação não linear −Δ𝑢 + 𝑉 (𝑥)𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑢), com 𝑢 no espaço de Sobolev 𝐻1_(R𝑛) e 𝑉 periódica. O tratamento desse problema está intimamente relacionado a propriedades impostas na

𝑓 e do espectro do operador −Δ + 𝑉 . Assumindo −Δ + 𝑉 positivo definido, em [41] é usado o

Mé-todo de Nehari para obter resultados de existência. Em [46], são obtidos resultados de existência, mas sob condições menos restritivas para a não linearidade 𝑓 . Em [40], assumindo 0 /∈ 𝜎(−Δ + 𝑉 ), a solução encontrada decai exponencialmente no infinito. Em [33], é demonstrada a existência de solução impondo sobre a 𝑓 condições mais naturais que a clássicca condição de Ambrosetti-Rabinowitz. Nessa direção, em [35], considerando 𝑓 (·, 𝑢) periódica e contínua, consegue-se o mesmo resultado de existência obtido em [48], mas tirando a condição da função 𝑢 ↦→ 𝑓 (𝑥, 𝑢)/|𝑢| ser

estri-tamente crescente em (−∞, 0) e (0, +∞). Em todos esses trabalhos a solução se anula no infinito e

portanto não são periódicas. Outras referências ao respeito são [5] e [42]. Por outro lado, também usando Métodos Variacionais, em [51] trata-se o problema Δ𝑢 + 𝛼𝑢 + 𝑔(𝑢) = 0, com 𝛼 > 0 e demonstra-se que para quase todo 𝛼 o problema possui uma solução "quase" periódica e suave. Outro trabalho que cabe mencionar é [26] onde os autores obtiveram soluções periódicas em apenas uma direção, 𝑥𝑛, para 𝑛 ≤ 4 via Método Variacional.

Note que nas referências do parágrafo anterior as não linearidades não dependem de derivadas. Nosso objetivo é desenvolver uma teoria, usando transformada de Fourier periódica (séries de Fourier), para obter soluções periódicas (em todas as variáveis) em problemas elípticos não lineares com potenciais periódicos e cujas não linearidades envolvam derivadas, via um argumento de contração em um espaço cuja definição fornece um controle sobre os coeficientes de Fourier dos elementos. Ao trabalharmos via Fourier no caso periódico, é necessário que as não linearidades tenham uma estrutura envolvendo produtos da solução e suas derivadas. Não linearidades desse tipo são consideradas no contexto das equações parabólicas em [30], onde se estuda a equação de

convecção-difusão 𝑢𝑡 − Δ𝑢 + ∇ · 𝑓 (𝑢) = 0 e, em [13], na forma 𝑢𝑡− Δ𝑢 + a · ∇(𝑢𝑞) = 0, com

1 < 𝑞 < (𝑛 + 1)/𝑛. Já em [14] é tratado o problema semilinear elíptico −Δ𝑢 + 𝑥 · ∇𝑢 2 + |𝑢| 𝑝−1_{𝑢 = a · ∇(|𝑢|}𝑞−1_{𝑢) +} 1 𝑝 − 1𝑢 em R 𝑛_, onde 1 < 𝑝 < 1 + 2/𝑛 e 𝑞 = (𝑝 + 1)/2.

Motivados por estas não linearidades, consideramos inicialmente o problema

− Δ𝑢 = ∇ · 𝑅(𝑢) + 𝑓, (0.0.2)

sendo que as funções envolvidas estão definidas em T𝑛 _e

𝑅(𝑢) = 𝑘 ∏︁ 𝑗=1 [︁ Λ𝛼𝑗_𝑢]︁𝑝𝑗_,

onde 𝑝𝑗 > 1 são inteiros, 0 ≤ 𝛼𝑗 ≤ 1 são reais para todo 𝑗 = 1, . . . , 𝑘, ∇ · 𝑢 representa o divergente

escalar de 𝑢, Λ = (−Δ)1/2 _{e Λ}𝛼 _{é o Laplaciano Fracionário definido em (3.1.3). Observe que se}

𝛼𝑗 = 0 então 𝑅(𝑢) = 𝑢𝑝 e, portanto, comportamos não linearidades da forma ∇ · (𝑢𝑝).

Tam-bém apontamos que para a ̸= 0 podemos considerar a não linearidade da forma a · ∇𝑅(𝑢) pois (a · ∇𝑅(𝑢))∧(𝑚) = 2𝜋𝑖(a · 𝑚) [𝑅(𝑢)(𝑚), assim, essencialmente, nas estimativas as contantes passam

a depender de a, pois pela desigualdade de Cauchy-Schwarz temos que |a · 𝑚|≤ |a||𝑚| (veja por exemplo a demonstração do Lema 3.4.2). Logo, as duas formas de não linearidades mostradas como motivação podem ser tratadas com a abordagem apresentada. Cabe mencionar que valores arbitrariamente grandes de 𝑝𝑗 são comportados pelos nossos resultados o que não seria permitido

se usássemos as técnicas de [13] e [14].

Para tratar este problema, encontramos formalmente a relação entre os coeficientes de Fourier de cada termo da equação. Duas dificuldades aparecem neste tratamento. A primeira é trabalhar-mos com convoluções de sequências (coeficientes de Fourier: 𝑢(𝑚), com 𝑚 ∈ Ẑ︀

𝑛_{) e, a segunda, é}

que para obter uma formulação funcional do problema devemos dividir pelo símbolo do operador que neste caso se anula se 𝑚 = 0. Assim, a relação entre os coeficientes de Fourier é satisfeita para 𝑚 ̸= 0 e, depois de obter soluções, verificamos se alguma delas satisfaz a condição de com-patibilidade no zero. Isso é feito considerando o espaço ℋ𝑝𝑒𝑟, o qual é formado por classes de

equivalência de distribuições periódicas, que identificam aquelas cuja diferença é uma constante (veja a definição em (3.1.6)). Conseguimos através de um argumento de contração demonstrar a existência e unicidade de uma (classe) solução (veja Teorema 3.3.1).

Em segundo lugar, consideramos o problema

− Δ𝑢 = ∇ · 𝑅(𝑢) + 𝑉 𝑢 + 𝑓, (0.0.3)

e demonstramos também a existência e unicidade de uma classe solução, mas neste caso escolhas convenientes de 𝑓 e 𝑉 nas suas respectivas classes permitem encontrar um representante na classe

solução que seja solução da equação original. Esse é o conteúdo do Teorema 3.3.2. De fato, a abordagem empregada também permite considerar operadores elípticos ℒ mais gerais e não linearidades do tipo polinomial sem envolver derivadas. Mais precisamente, EDPs do tipo

ℒ(𝑢) + 𝐶𝑢 = 𝑢𝑝+ 𝑉 𝑢 + 𝑓, 𝐶 > 0, (0.0.4)

onde ℒ satisfaz [ℒ(𝑢)(𝑚) = 𝛼|𝑚|𝛽

̂︀

𝑢(𝑚), para todo 𝑚 ∈ Z𝑛 _{e certas constantes 𝛼, 𝛽 > 0. Neste}

caso, basta trabalhar no espaço ℐ𝑝𝑒𝑟 = {𝑢 ∈ 𝒟′(T𝑛) : 𝑢 ∈ 𝑙̂︀

1

(Z𝑛)} que foi usado em [3] para o estudo da equação de Schrödinger semilinear (dependente do tempo com 𝑢𝑡).

Usando isto, vemos que dado um potencial periódico ˜𝑉 com média negativa (_{𝑉 (0) < 0), o}̂︀˜

problema

ℒ(𝑢) = 𝑢𝑝+ ˜𝑉 𝑢 + 𝑓

pode ser transformado no problema anterior fazendo 𝐶 = −𝑉 (0) e 𝑉 = ˜̂︀˜ 𝑉 −𝑉 (0) (ver Observaçãô︀˜

3.3.3). Neste problema, note que cobrimos valores que são super-críticos pelo Método Variacional. Além disto, é natural considerar o termo não homogêneo 𝑓 em (0.0.4), pois, em muitos casos cobertos por esta equação, temos não existência de soluções positivas em 𝐻1 _{para valores}

super-críticos (por identidades de Pohozaev, veja e.g. [15, pag. 514]).

Uma família de problemas elípticos com condições de bordo

não lineares e singulares

Problemas elípticos com condições de fronteira não lineares são amplamente estudados em suas diversas formas. Por exemplo, em [10] é estudado o seguinte problema

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −Δ𝑢 = 𝑎𝑢𝑝_{+ 𝑉} 1𝑢, em R𝑛+ − 𝜕𝑢 𝜕𝑥𝑛 = 𝑢𝑞_{, em 𝜕R}𝑛₊, (0.0.5)

com 𝑎 > 0 e 𝑝, 𝑞 > 1. O caso 𝑝 = (𝑛 + 2)/(𝑛 − 2) e 𝑞 = 𝑛/(𝑛 − 2) foi estudado em detalhes em [9], onde é provada a existência de uma solução não negativa não trivial. Eles também mostram a existência do mesmo tipo de solução se 𝑝 ≥ (𝑛 + 2)/(𝑛 − 2) e 𝑞 ≥ 𝑛/(𝑛 − 2). Por outro lado, em [18], é abordado o seguinte problema

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ Δ𝑢 = 0, em R𝑛+ 𝜕𝑢 𝜕𝜈 + 𝜆𝑢 = 𝑢|𝑢| 𝑝−1_{+𝑓 (𝑥}′ ), em 𝜕R𝑛+. (0.0.6)

Mediante a aplicação de um argumento de ponto fixo no espaço 𝐸𝑝𝑞 = 𝒟1,𝑝(R𝑛+) ∩ 𝐿𝑞(R𝑛+),

provadas propriedades qualitativas para a solução do problema, tais como positividade e invari-ança por rotações ao redor do eixo 𝑥𝑛, se 𝑓 for positiva e radialmente simétrica respectivamente.

Note que potenciais singulares do tipo 1/|𝑥′|𝛼 _{não podem ser considerados com esta abordagem.}

Nosso interesse é desenvolver uma abordagem via transformada de Fourier para problemas de fronteira, onde não é possível aplicar de forma direta esta transformada no espaço todo, e que permita tratar potenciais singulares na fronteira. Como veremos mais adiante em (0.0.10), o pano de fundo é transformar o problema elíptico em uma EDP de evolução (ou equação integral) com caráter essencialmente parabólico. Nesta parte da tese, consideramos o seguinte problema no semi-espaço, com termos de fronteira contendo potenciais singulares e não linearidades,

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ −Δ𝑢 = 𝐴1𝑢𝑝 + 𝑉1𝑢, em R𝑛+ = {𝑥 = (𝑥 ′_{, 𝑥} 𝑛) ∈ R𝑛 : 𝑥𝑛 > 0} 𝐵1 𝜕𝑢 𝜕𝜈 + 𝐵2𝑢 = 𝑔(𝑥 ′_{) + 𝑉} 2(𝑥′)𝑢 + 𝐴2𝑢𝑞, em 𝜕R𝑛+ = R 𝑛−1_, (0.0.7)

onde 𝑛 ≥ 3, 𝑝, 𝑞 > 1 são inteiros, 𝜈 = −𝑒𝑛 é a normal exterior a 𝜕R𝑛+ e, 𝐴𝑖, 𝐵𝑖 ∈ R para cada

𝑖 = 1, 2, sendo que, 𝐵1 e 𝐵2 não se anulam simultaneamente e o produto 𝐵1𝐵2 ≥ 0. Além disso, 𝑉1

e 𝑉2 podem ser potenciais singulares. Para evitar incompatibilidades, impomos 𝑉2 ≡ 0 se 𝐵1 = 0.

Escolhemos o problema com essa quantidade de parâmetros para mostrar a abrangência do método com relação à diversidade de problemas que podem ser considerados: problemas não lineares com ou sem potenciais, 𝑢 função harmônica (Δ𝑢 = 0) no interior, e condições de fronteira não homogê-neas que podem ser de Dirichlet, de Neumann ou de Robin, incluindo não linearidades e potenciais singulares. Os resultados cobrem potenciais super-críticos com relação ao Método Variacional.

Veja que exemplos particulares para o problema (0.0.7) são (0.0.5) com condição de fronteira não homogênea (𝐴1 = 𝑎, 𝐵1 = −1, 𝐵2 = 0, 𝐴2 = 1, 𝑉2 ≡ 0), (0.0.6) com termo de fronteira não

linear 𝑢𝑝 _(𝐴

1 = 0, 𝑉1, 𝑉2 ≡ 0, 𝐵1 = 1, 𝐵2 = 𝜆, 𝐴2 = 1, 𝑞 = 𝑝, 𝑔 = 𝑓 ) e (0.0.11) (veja abaixo)

que envolve o potencial de Kato no termo de fronteira (𝐴1, 𝐴2 = 0, 𝑉1 ≡ 0, 𝐵1 = 1, 𝐵2 = 0,

𝑉2 = 𝜆/|𝑥′|). Assim os teoremas correspondentes a esta seção fornecem resultados novos para cada

um desses problemas.

Para fixar ideias sobre a abordagem que empregaremos, considere o seguinte problema de valor de fronteira (PVF) linear ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ −Δ𝑢 = 0 em R𝑛 + 𝑢(·, 0) = 𝑔 em R𝑛−1_. (0.0.8) Uma maneira de resolver (0.0.8) é decompor o Laplaciano em Δ = Δ𝑥′ + 𝜕2

𝑥𝑛𝑥𝑛. A ideia é que ao

aplicar a transformada de Fourier, com relação a 𝑥′, na equação (Δ𝑥′ + 𝜕_𝑥2

𝑛𝑥𝑛)𝑢 = 0, obtemos a

equação diferencial ordinária (EDO) (−4𝜋2_|𝜉′_|2_+𝜕2

𝑥𝑛𝑥𝑛)𝑢 = 0, a qual, tem como solução geral̂︀ ̂︀ 𝑢(𝜉′, 𝑥𝑛) = 𝐶1(𝜉′)𝑒−2𝜋𝑥𝑛|𝜉 ′_| + 𝐶2(𝜉′)𝑒2𝜋𝑥𝑛|𝜉 ′_| , com a condição𝑢(𝜉̂︀ ′_{, 0) =} ̂︀

𝑔(𝜉′). Se impormos decaimento no infinito para a solução (basta assumir

̂︀

𝑢(·, 𝑥𝑛) ∈ 𝒮′(R𝑛−1)), então devemos ter 𝐶2(𝜉′) = 0 e assim 𝐶1(𝜉′) = 𝑔(𝜉̂︀

′_{). Daí,}

̂︀

̂︀ 𝑔(𝜉′)𝑒−2𝜋𝑥𝑛|𝜉′| e portanto 𝑢(𝑥′, 𝑥𝑛) = (𝑔 * 𝑃𝑥𝑛)(𝑥 ′_{), onde} 𝑃𝑥𝑛(𝑥 ′ ) =(︁𝑒−2𝜋𝑥𝑛|𝜉′|)︁∨ = 𝑐𝑛𝑥𝑛 (𝑥2 𝑛+ |𝑥′|2)𝑛/2 , com 𝑐𝑛 = Γ(𝑛/2) 𝜋𝑛/2 . (0.0.9)

O núcleo (0.0.9) é o famoso núcleo de Poisson no semi-espaço. Para maiores detalhes veja [21, pag. 274].

Esse procedimento envolve a transformada de Fourier e portanto podemos usar os espaços 𝒫ℳ𝑎_{. Logo, usamos esse procedimento na busca de uma formulação funcional para o problema}

(0.0.7). Destacamos a variável 𝑥𝑛 (a qual pode ser interpretada como o "tempo"), escrevendo

Δ = Δ𝑥′+ 𝜕2

𝑥𝑛𝑥𝑛 em (0.0.7). Depois, aplicamos a transformada nas 𝑛 − 1 primeiras variáveis. Isso

nos leva a uma EDO, que pode ser expressa na seguinte forma integral:

̂︀ 𝑢(𝜉′, 𝑥𝑛) = ∫︁ +∞ 0 𝐺(𝜉′, 𝑥𝑛, 𝑡) [︁ 𝐴1𝑢̂︁𝑝(𝜉 ′ , 𝑡) +𝑉̂︂₁𝑢(𝜉′, 𝑡) ]︁ 𝑑𝑡 + 𝐺(𝜉̃︀ ′, 𝑥_𝑛) [︁ ̂︀ 𝑔(𝜉′) +𝑉̂︂₂𝑢(𝜉′, 0) + 𝐴₂𝑢̂︁𝑞(𝜉′, 0) ]︁ , (0.0.10)

onde 𝐺 e𝐺 são definidas em (4.1.4) e (4.1.5). Dessa forma, 𝑢(·, 𝑥̃︀ _𝑛) é uma família de distribuições

indexadas por 𝑥𝑛. Esta parece ser a primeira vez que tal tipo de abordagem é usada para tratar

um PVF elíptico não linear com fronteira não vazia.

Como o problema envolve valores na fronteira do domínio e pretendemos trabalhar em espaços de baixa regularidade, o traço é considerado independente. A independencia do traço é usada para tratar problemas elípticos em domínios limitados e com condições de Neumann na fronteira em [45] e para uma EDP parabólica em [19].

A equação (0.0.10) pode ser interpretada então como um sistema, o qual é estudado no espaço

ℋ𝑏,𝑎,𝑘 que é o produto cartesiano de um espaço tipo Kato (veja (4.1.14)) com um espaço 𝒫ℳ𝑘.

Demonstramos que estes espaços são de Banach e desenvolvemos estimativas para fazer um ar-gumento de contração e obter existência e unicidade de solução (veja Teorema 4.2.1). Também demonstramos a continuidade com relação a 𝑥𝑛 de 𝑢(·, 𝑥𝑛) no sentido de 𝒮′(R𝑛−1) (veja Teorema

4.2.3), o que fornece uma "compatibilidade" no traço quando 𝑥𝑛 = 0. Finalmente, usando um

espaço definido a partir dos espaços 𝐻1,𝑠_{, conseguimos demonstrar que a solução também possui}

certa regularidade (veja Teorema 4.2.5).

Uma segunda análise se baseia em considerar distribuições em 𝐿∞([0, +∞); 𝒫ℳ𝑘) com a con-dição de serem fracamente contínuas no sentido de 𝒮′ em [0, +∞). A teoria aqui é análoga à anterior e os resultados são enunciados sem demonstração devido à semelhança das provas. Com este espaço, conseguimos um resultado de existência para o problema

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −Δ𝑢 = 0, em R𝑛 + 𝜕𝑢 𝜕𝜈 = 𝑔 + 𝜆 |𝑥′_|𝑢, em 𝜕R 𝑛 + = R 𝑛−1_. (0.0.11)

Cabe mencionar que (0.0.11) é a contrapartida estacionária natural do problema com potencial de Hardy ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑢𝑡− Δ𝑢 = _|𝑥|𝜆2𝑢, em R𝑛+1 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) em R𝑛. (0.0.12)

No importante trabalho de Baras e Goldstein [4], é demonstrado que o problema (0.0.12) é bem-posto em 𝐿2_(R𝑛) se 0 ≤ 𝜆 ≤ (𝑛 − 2)2/4 e mau-posto para 𝜆 > (𝑛 − 2)2/4. A constante (𝑛 − 2)2/4

é o melhor valor para 𝜆 na desigualdade de Hardy em 𝐿2_{, a saber,}

𝜆 ∫︁ R𝑛 𝑢2 |𝑥|2 ≤ ‖∇𝑢‖ 2 𝐿2_(R𝑛₎.

Nessa direção mencionamos [16], onde esta constante é obtida usando uma abordagem via trans-formada de Fourier e espaços 𝒫ℳ𝑘_{, para a equação do calor com potencial em todo o espaço R}𝑛_.

No nosso caso, demonstramos que o problema (0.0.11) possui solução sempre que 0 ≤ 𝜆 < 𝜆*, onde

𝜆* = 2 Γ2₍𝑛 4) Γ2₍𝑛−2 4 ) .

A constante 𝜆* é justamente a melhor para a desigualdade de Kato, a saber,

∫︁ R𝑛+ |∇𝜙|2 _{≥ 𝜆} * ∫︁ 𝜕R𝑛 + 𝜙2 |𝑥|, ∀𝜙 ∈ 𝐶 ∞ 𝑐 (R𝑛+). (0.0.13)

A otimalidade de 𝜆* foi mostrada em [24] e boas referências sobre o assunto são [2], onde

interpola-se as desigualdades de Hardy e Kato, e, [12] onde, entre outras coisas, é dada uma prova alternativa da otimalidade da constante. Por outro lado, em [28] é provado, usando a desigualdade de Kato, um resultado onde a constante 𝜆* é o limiar de existência em uma classe de soluções positivas

e contínuas em R𝑛

+ (no interior) para a versão parabólica de (0.0.11) e com dado inicial

perten-cente a 𝐶_𝑐∞. Desde que não utilizamos a desigualdade de Kato, e como os espaços utilizados são diferentes daquele em [28], e reobtemos o mesmo valor limiar, o resultado da tese indica que tal constante é instrínseca ao problema e independente do espaço e abordagem utilizados. Cabe também mencionar que o framework utilizado aqui cobre potenciais que não são considerados em [28].

Organização da tese

Esta tese está dividida em quatro capítulos e dois apêndices. No Capítulo 1, são colocadas as ferramentas básicas que usamos no decorrer dos outros três. No Capítulo 2, apresentamos os resultados obtidos para o problema (0.0.1). No Capítulo 3, abordamos os problemas (0.0.2) e (0.0.3). No Capítulo 4, nos atemos ao estudo do problema (0.0.7). Nos apêndices, colocamos alguns outros resultados de existência e unicidade que cobrem casos não abordados pelos teoremas enunciados no Capítulo 4.

Capítulo 1

Preliminares

Neste capítulo introduzimos as ferramentas básicas que serão usadas ao longo dos próximos capítulos. Ele está dividido em três seções. Na primeira seção fazemos uma exposição suscinta das principais propriedades da transformada de Fourier para funções em 𝐿1_(R𝑛_{) e para distribuições}

temperadas, além disso, apresentamos a definição dos espaços 𝒫ℳ𝑎. Na segunda seção enunciamos alguns resultados básicos, tendo destaque o lema de convolução como ferramenta fundamental no trabalho. Na terceira seção fazemos uma exposição rápida sobre distribuições periódicas.

1.1

Os espaços 𝒫ℳ

Nesta seção definimos os espaços 𝒫ℳ𝑎. A notação 𝒫ℳ provêm de pseudo medida. Como veremos mais adiante, o espaço clássico das pseudo medidas (distribuições cuja transformada de Fourier é limitada) usado em Análise Harmônica corresponde ao caso 𝑎 = 0. Além disso esses espaços contêm naturalmente funções homogêneas o que possibilita considerar potenciais singula-res nas equações a serem estudadas. Começamos com uma breve revisão sobre transformada de Fourier em R𝑛_{. As referências básicas para esta parte são [21] e [23].}

Dada 𝑓 ∈ 𝐿1 = 𝐿1_(R𝑛), definimos sua transformada de Fourier 𝑓 por̂︀ ̂︀

𝑓 (𝜉) =

∫︁

R𝑛

𝑒−2𝜋𝑖𝑥·𝜉𝑓 (𝑥)𝑑𝑥.

É sabido que 𝑓 assim definida é contínua e pertence a 𝐿̂︀ ∞ = 𝐿∞(R𝑛) satisfazendo ‖𝑓 ‖̂︀ _𝐿∞≤ ‖𝑓 ‖_𝐿1.

Além disso, o lema de Riemann-Lebesgue afirma que𝑓 se anula no infinito, daí,̂︀ 𝑓 ∈ 𝐶̂︀ ₀(R𝑛). Como

estamos interessados em trabalhar com convoluções, lembramos que dadas 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿1, 𝑓 * 𝑔 ∈ 𝐿1 e valem

‖𝑓 * 𝑔‖𝐿1 ≤ ‖𝑓 ‖_𝐿1‖𝑔‖_𝐿1 (Desigualdade de Young),

(𝑓 * 𝑔)∧ =𝑓̂︀ ̂︀

𝑔.

Por outro lado, se na definição de transformada de Fourier apresentada acima considerarmos

considerarmos 𝑓 ∈ 𝐿1_{∩ 𝐿}2 _{então 𝑓 ∈ 𝐿̂︀} 2 _{e a transformada de Fourier neste caso é uma isometria}

(com relação à norma de 𝐿2). Como 𝐿1 ∩ 𝐿2 _{é denso em 𝐿}2_{, a transformada de Fourier possui}

uma única extensão limitada para 𝐿2 _{(que continuaremos denotando por} ∧_{), a qual também é}

uma isometria, isto é, ‖𝑓 ‖̂︀ _𝐿2= ‖𝑓 ‖_𝐿2. Também, dado que a transformada de Fourier satisfaz

‖𝑓 ‖̂︀ _𝐿∞≤ ‖𝑓 ‖_𝐿1 e ‖𝑓 ‖̂︀ _𝐿2= ‖𝑓 ‖_𝐿2, o teorema de interpolação de Riesz-Thorin nos permite demonstrar

a desigualdade de Haussdorf-Young para espaços 𝐿𝑝 _{intermediários, isto é, dado 1 ≤ 𝑝 ≤ 2 e sendo}

𝑞 o expoente conjugado de 𝑝, se 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 _{então 𝑓 ∈ 𝐿̂︀} 𝑞 _e

‖𝑓 ‖̂︀ _𝐿𝑞 ≤ ‖𝑓 ‖_𝐿𝑝. (Desigualdade de Hausdorff-Young)

Para 𝑓 ∈ 𝐿1 _{definimos sua transformada inversa de Fourier ˇ𝑓 por}

ˇ

𝑓 (𝜉) =𝑓 (−𝜉).̂︀

Observe que pela própria definição da transformada inversa, temos que todas as propriedades acima listadas para a transformada de Fourier também valem para a transformada inversa. Este fato será usado sem maiores comentários nos capítulos subsequentes.

Sabemos que o espaço de Schwartz 𝒮 = 𝒮(R𝑛) está contido em 𝐿𝑝 para todo 1 ≤ 𝑝 ≤ +∞. Portanto sua transformada de Fourier está bem definida. Neste caso, temos que a transformada de Fourier é um isomorfismo contínuo de 𝒮 em 𝒮, com a topologia induzida em 𝒮 pela família de seminormas ‖𝜙‖𝛼,𝛽= sup𝑥∈R𝑛|𝑥𝛼𝜕𝛽𝜙(𝑥)|, com 𝜙 ∈ 𝒮 e 𝛼, 𝛽 multi-índices. Logo, a transformada de

Fourier e sua inversa podem ser estendidas ao espaço das distribuições temperadas, 𝒮′ = 𝒮′_(R𝑛_),

da seguinte forma: dada 𝑢 ∈ 𝒮′ a transformada de Fourier e a transformada inversa de Fourier são as distribuições temperadas 𝑢 e ˇ̂︀ 𝑢 definidas por

⟨𝑢, 𝜙⟩ = ⟨𝑢,̂︀ 𝜙⟩̂︀ e ⟨ˇ𝑢, 𝜙⟩ = ⟨𝑢, ˇ𝜙⟩, (1.1.1)

para toda 𝜙 ∈ 𝒮.

Duas propriedades que usaremos com frequência para 𝑢 ∈ 𝒮′ são

(𝜕𝛼𝑢)∧(𝜉) = (2𝜋𝑖𝜉)𝛼𝑢̂︀ e (𝑢)̂︀

∨

= (ˇ𝑢)∧ = 𝑢,

onde 𝛼 é um multi-índice. Uma situação que aparecerá no capítulo seguinte é que para duas fun-ções 𝑢, 𝑣 ∈ 𝒮′ tais que 𝑢,̂︀ ̂︀𝑣 ∈ 𝐿

1_{, então (} ̂︀ 𝑢 *𝑣)̂︀ ∨ _{= (} ̂︀ 𝑢)∨(𝑣)̂︀

∨ _{= 𝑢𝑣, onde o produto está bem definido}

por 𝑢 e 𝑣 serem funções.

Lembremos que, sendo 𝑆 uma transformação linear inversível em R𝑛 _{e 𝑢 uma distribuição, a}

distribuição 𝑢 ∘ 𝑆 é definida por

⟨𝑢 ∘ 𝑆, 𝜙⟩ = |det 𝑆|−1⟨𝑢, 𝜙 ∘ 𝑆−1⟩, _{∀𝜙 ∈ 𝒮(R}𝑛_{). (1.1.2)}

Definição 1.1.1. Dizemos que a distribuição 𝑢 é homogênea de grau 𝑘 ∈ R se 𝑢 ∘ 𝑆𝜆 = 𝜆𝑘𝑢, para

todo 𝜆 > 0, onde 𝑆𝜆(𝑥) = 𝜆𝑥. (Observe que 𝑆𝜆−1(𝑥) = 𝑆𝜆−1(𝑥)). E dizemos que 𝑢 é radial, se

𝑢 ∘ 𝑇 = 𝑢, para todo 𝑇 ∈ 𝑂(𝑛).

Observação 1.1.2. Um resultado que utilizamos no decorrer do trabalho é que dada uma

distri-buição temperada 𝑢, 𝑢 é homogênea de grau −(𝑛 − 𝜇) se, e somente se, 𝑢 é homogênea de graû︀

−𝜇. Com efeito, usando (1.1.1), (1.1.2) e a Definição 1.1.1, temos

⟨𝑢 ∘ 𝑆𝜆, 𝜙⟩ = 𝜆−𝑛⟨𝑢, 𝜙 ∘ 𝑆𝜆−1⟩ = 𝜆−𝑛⟨𝑢, (𝜙 ∘ 𝑆_{̂︀ 𝜆}−1)∨⟩.

Uma conta simples usando a definição de transformada inversa de Fourier para 𝜙 ∈ 𝒮(R𝑛) mostra que

(𝜙 ∘ 𝑆𝜆−1)∨ = 𝜆𝑛( ˇ𝜙 ∘ 𝑆_𝜆),

logo, supondo que 𝑢 é homogênea de grau −(𝑛 − 𝜇) temoŝ︀

⟨𝑢 ∘ 𝑆𝜆, 𝜙⟩ = ⟨𝑢, ˇ̂︀ 𝜙 ∘ 𝑆𝜆⟩ = 𝜆 −𝑛_⟨ ̂︀ 𝑢 ∘ 𝑆𝜆−1, ˇ𝜙⟩ = 𝜆−𝜇⟨𝑢, ˇ̂︀ 𝜙⟩ = ⟨𝜆 −𝜇 𝑢, 𝜙⟩,

dessa forma, 𝑢 ∘ 𝑆𝜆 = 𝜆−𝜇𝑢 como afirmado. A volta segue o mesmo raciocínio.

Também usaremos o fato que 𝑢 é radial se, e somente se,𝑢 é radial. Com efeito, sejam 𝑇 ∈ 𝑂(𝑛)̂︀

e 𝜙 ∈ 𝒮 arbitrárias, daí ⟨𝑢 ∘ 𝑇, 𝜙⟩ = ⟨̂︀ 𝑢, 𝜙 ∘ 𝑇̂︀ −1_{⟩ = ⟨𝑢, \} 𝜙 ∘ 𝑇−1_⟩ = ⟨𝑢,𝜙 ∘ 𝑇̂︀ −1_{⟩ = ⟨𝑢 ∘ 𝑇,} ̂︀ 𝜙⟩ = ⟨ [𝑢 ∘ 𝑇 , 𝜙⟩,

logo, 𝑢 ∘ 𝑇 = [̂︀ 𝑢 ∘ 𝑇 e o resultado segue.

Agora definimos os espaços 𝒫ℳ𝑎, (veja [7])

Definição 1.1.3. Para cada 0 ≤ 𝑎 < 𝑛 o espaço 𝒫ℳ𝑎 = 𝒫ℳ𝑎_(R𝑛_{) é definido por}

𝒫ℳ𝑎= {𝑢 ∈ 𝒮′_(R𝑛) : 𝑢 ∈ 𝐿̂︀ 1 𝑙𝑜𝑐(R𝑛) e ess sup 𝜉∈R𝑛 |𝜉|𝑎_| ̂︀ 𝑢(𝜉)|< +∞}. (1.1.3)

É conhecido que 𝒫ℳ𝑎 é um espaço de Banach com a norma ‖𝑢‖𝒫ℳ𝑎 = ess sup

𝜉∈R𝑛

|𝜉|𝑎_|

̂︀

Supondo que 𝑢𝑗 → 𝑢 em 𝒫ℳ𝑎 temos que dada 𝜙 ∈ 𝒮 vale |⟨𝑢𝑗− 𝑢, 𝜙⟩| = |⟨𝑢̂︁𝑗 −𝑢, ˇ̂︀ 𝜙⟩| ≤ ∫︁ R𝑛 |𝑢̂︁𝑗(𝜉) −𝑢(𝜉)|| ˇ̂︀ 𝜙(𝜉)|𝑑𝜉 ≤ ∫︁ R𝑛 | ˇ𝜙(𝜉)| |𝜉|𝑎 𝑑𝜉‖𝑢𝑗− 𝑢‖𝒫ℳ𝑎 ≤(︁ ∫︁ |𝜉|≤1 1 |𝜉|𝑎‖ ˇ𝜙‖𝐿∞+‖ ˇ𝜙‖𝐿1 )︁ ‖𝑢𝑗 − 𝑢‖𝒫ℳ𝑎,

onde a última integral é finita pois 𝑎 < 𝑛. Assim, 𝑢𝑗 → 𝑢 em 𝒫ℳ𝑎 implica que 𝑢𝑗 → 𝑢 em

𝒮′ _{e, portanto, a topologia de 𝒫ℳ}𝑎 _{com relação à norma ‖·‖}

𝒫ℳ𝑎 é mais forte que aquela como

subespaço de 𝒮′. No que segue nos referiremos a esse fato simplesmente dizendo que a convergência em 𝒫ℳ𝑎 implica na convergência no sentido distribucional.

Observação 1.1.4. A norma ‖·‖𝒫ℳ𝑎preserva simetrias radiais, isto é, dada 𝑇 ∈ 𝑂(𝑛) e 𝑢 ∈ 𝒫ℳ𝑎,

‖𝑢 ∘ 𝑇 ‖𝒫ℳ𝑎= ‖𝑢‖_𝒫ℳ𝑎. Com efeito, ‖𝑢 ∘ 𝑇 ‖𝒫ℳ𝑎 = ess sup 𝜉∈R𝑛 |𝜉|𝑎_{| [𝑢 ∘ 𝑇 (𝜉)|= ess sup} 𝜉∈R𝑛 |𝜉|𝑎_| ̂︀ 𝑢(𝑇 (𝜉))| = ess sup 𝜂∈R𝑛 |𝑇−1(𝜂)|𝑎|𝑢(𝜂)|= ess sup̂︀ 𝜂∈R𝑛 |𝜂|𝑎_| ̂︀ 𝑢(𝜂)|= ‖𝑢‖𝒫ℳ𝑎

1.2

Alguns resultados básicos

As Funções Gamma, Digamma e Beta

Definição 1.2.1. Para um número complexo 𝑧 com Re 𝑧 > 0, definimos a função Gamma por

Γ(𝑧) =

∫︁ +∞

0

𝑡𝑧−1𝑒−𝑡𝑑𝑡.

Segue da definição que Γ(𝑧) é analítica no semi-plano Re 𝑧 > 0. Decorre da definição que Γ(1) = 1 e Γ(1

2) = √

𝜋.

Além disso, a função Gamma satisfaz

Γ(𝑧 + 1) = 𝑧Γ(𝑧), ∀ Re 𝑧 > 0, daí, como Γ(1) = 1 temos que para 𝑛 ∈ N vale Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!.

Definição 1.2.2. A partir da função Gamma e para valores reais 𝑥 > 0, definimos a função

Digamma, que denotaremos por 𝜓, como segue

𝜓(𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥log Γ(𝑥) =

Γ′(𝑥) Γ(𝑥).

Em [22] é apresentada a seguinte fórmula integral para a função Digamma, 𝜓(𝑥) = ∫︁ 1 0 1 − 𝑡𝑥−1 1 − 𝑡 𝑑𝑡 − 𝛾, (1.2.1)

onde 𝛾 é a constante de Euler. Uma prova para essa identidade pode ser encontrada em [37].

Definição 1.2.3. Dados 𝑧, 𝑤 ∈ C com parte real positiva, definimos a função Beta por

𝛽(𝑧, 𝑤) =

∫︁ 1

0

𝑡𝑧−1(1 − 𝑡)𝑤−1𝑑𝑡.

As funções Gamma e Beta estão relacionadas da seguinte forma

𝛽(𝑧, 𝑤) = Γ(𝑧)Γ(𝑤)

Γ(𝑧 + 𝑤).

Lemas básicos

O seguinte lema é uma peça fundamental para o desenvolvimento de estimativas nos capítulos 2 e 4. (veja [34])

Lema 1.2.4 (de Convolução). Sejam 0 < 𝛼, 𝛽 < 𝑛 tais que 0 < 𝛼 + 𝛽 < 𝑛. Então

(︁ 1 |𝑥|𝑛−𝛼 * 1 |𝑥|𝑛−𝛽 )︁ (𝑦) = ∫︁ R𝑛 1 |𝑧|𝑛−𝛼 1 |𝑦 − 𝑧|𝑛−𝛽𝑑𝑧 = 𝐶(𝛼, 𝛽) 1 |𝑦|𝑛−(𝛼+𝛽), (1.2.2) onde, 𝐶(𝛼, 𝛽) = 𝑐𝛼𝑐𝛽𝑐𝑛−𝛼−𝛽 𝑐𝛼+𝛽𝑐𝑛−𝛼𝑐𝑛−𝛽 e 𝑐𝛼 = Γ(𝛼₂) 𝜋𝛼/2. (1.2.3)

Observação 1.2.5. Se 𝑛/2 < 𝑎 < 𝑛, o espaço 𝒫ℳ𝑎 está formado por funções. Com efeito, dada

𝑣 ∈ 𝒫ℳ𝑎_(R𝑛), existe 𝐶 > 0 tal que |𝑣|≤ 𝐶/|𝜉|̂︀

𝑎_{. Escrevendo}

̂︀

𝑣 =𝑣𝜒̂︀ {|𝜉|≤1}+𝑣𝜒̂︀ {|𝜉|>1},

para 𝑛/2 < 𝑎 < 𝑛, segue que 𝑣 ∈ 𝐿̂︀

1_(R𝑛_{) + 𝐿}2_(R𝑛_{) e portanto, 𝑣 ∈ 𝐿}∞

(R𝑛_{) + 𝐿}2_(R𝑛_{), isto é,}

𝒫ℳ𝑎

(R𝑛) ⊂ 𝐿∞_(R𝑛) + 𝐿2_(R𝑛) para 𝑛

2 < 𝑎 < 𝑛.

Finalmente encerramos a seção relembrando a seguinte propriedade para funções homogêneas

Lema 1.2.6. Para 0 < Re 𝛼 < 𝑛 temos que 1/|𝑥|𝑛−𝛼 _{define uma distribuição temperada em R}𝑛 _e

(︁ 1 |𝑥|𝑛−𝛼 )︁∧ (𝜉) = 𝑐𝛼 𝑐𝑛−𝛼 1 |𝜉|𝛼, (1.2.4)

1.3

Distribuições periódicas

Nesta seção fazemos uma breve exposição sobre distribuções periódicas. A seção está baseada em [27].

No R𝑛 _{definimos a relação de equivalência: 𝑥 ≡ 𝑦 se 𝑥 − 𝑦 ∈ Z}𝑛_{. O Toro 𝑛-dimensional T}𝑛 _é

definido como o espaço quociente R𝑛/Z𝑛. Uma função 𝑓 definida em T𝑛 é uma função definida no R𝑛 _{que satisfaz 𝑓 (𝑥 + 𝑚) = 𝑓 (𝑥), para todo 𝑥 ∈ R}𝑛 _{e todo 𝑚 ∈ Z}𝑛_{. Chamaremos as funções}

definidas em T𝑛 _{de periódicas de período 1. A restrição da medida de Lebesgue do R}𝑛 _para

T𝑛= [0, 1]𝑛 ainda será denotada por 𝑑𝑥, a qual permite, para uma função periódica 𝑓 , definir

∫︁ T𝑛 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫︁ [−1/2,1/2]𝑛𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫︁ [𝑎1,1+𝑎1]×...×[𝑎𝑛,1+𝑎𝑛] 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥

para quaisquer números reais 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛. De forma natural são definidos os espaços 𝐿𝑝(T𝑛), os

quais são encaixados, sendo que 𝐿1_(T𝑛_{) contém todos os espaços 𝐿}𝑝_(T𝑛_{) para todo 𝑝 ≥ 1.}

Agora estamos prontos para a seguinte

Definição 1.3.1. Dados 𝑓 ∈ 𝐿1_(T𝑛_{) e 𝑚 ∈ Z}𝑛 _definimos

̂︀ 𝑓 (𝑚) = ∫︁ T𝑛 𝑓 (𝑥)𝑒−2𝜋𝑚·𝑥𝑑𝑥, ̂︀

𝑓 (𝑚) é chamado de 𝑚-ésimo coeficiente de Fourier de 𝑓 . Veja que 𝑓 é uma sequência. É claro quê︀

a exigência de 𝑚 ∈ Z𝑛, é para garantir que o integrando seja uma função periódica e, dessa forma, a integral faça sentido. Também definimos a série de Fourier de 𝑓 em 𝑥 ∈ T𝑛 _{como a série}

∑︁

𝑚∈Z𝑛

̂︀

𝑓 (𝑚)𝑒2𝜋𝑚·𝑥.

Seja 𝒫 = 𝐶_𝑝𝑒𝑟∞_(T𝑛_{) o espaço de todas as funções periódicas definidas no R}𝑛 _{e que são}

infinita-mente diferenciáveis. Usamos este espaço para fazer a seguinte

Definição 1.3.2. Dizemos que 𝑢 : 𝒫 → C é uma distribuição periódica se existir uma sequência

{Ψ𝑗} ⊂ 𝒫 tal que

𝑢(𝑓 ) = ⟨𝑢, 𝑓 ⟩ = lim

𝑗→+∞

∫︁

[−1/2,1/2]𝑛Ψ𝑗(𝑥)𝑓 (𝑥)𝑑𝑥, ∀𝑓 ∈ 𝒫.

Denotaremos por 𝒟′_(T𝑛_{) o espaço das distribuições periódicas.}

Dada 𝑢 ∈ 𝒟′_(T𝑛_{) e 𝑚 ∈ Z}𝑛, definimos o 𝑚-ésimo coeficiente de Fourier de 𝑢 por

̂︀

𝑢(𝑚) = ⟨𝑢, 𝑒−2𝜋𝑖𝑥·𝑚⟩.

Definição 1.3.3. Uma sequência complexa {𝑎𝑚}𝑚∈Z𝑛 é dita ser de crescimento lento, se existem

𝑁 > 0 e 𝐶 > 0 tais que

|𝑎𝑚| ≤ (1 + |𝑚|2)𝑁/2 ∀𝑚 ∈ Z𝑛.

Denotaremos por 𝒮′_(Z𝑛_{) o espaço das sequências de crescimento lento.}

Temos todas as ferramentas para enunciar o seguinte teorema que caracteriza as distribuições periódicas a partir da sequência em Z𝑛 _{definida pelos seus coeficientes de Fourier.}

Teorema 1.3.4. Os coeficientes de Fourier de uma distribuição periódica formam uma sequência

de crescimento lento e, reciprocamente, dada uma sequência de crescimento lento, ela é a sequência de coeficientes de Fourier de alguma distribuição periódica. (Dessa forma∧é uma bijeção de 𝒟′_(T𝑛₎

sobre 𝒮′_(Z𝑛).) Qualquer 𝑢 ∈ 𝒟′_(T𝑛) pode ser escrita como a série de Fourier

𝑢 = ∑︁

𝑚∈Z𝑛

̂︀

𝑢(𝑚)𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥,

com a convergência no sentido das distribuições, isto é lim 𝑁 →∞ ⟨ ∑︁ |𝑚|≤𝑁 ̂︀ 𝑢(𝑚)𝑒2𝜋𝑖𝑚·𝑥, 𝑓⟩= ⟨𝑢, 𝑓 ⟩, ∀𝑓 ∈ 𝒫.

Para finalizar esta seção e devido à necesidade de lidar com sequências em Z𝑛_{, enunciamos o}

seguinte lema que será utilizado no Capítulo 3.

Lema 1.3.5 (Desigualdade de Young para sequências). Dadas 𝑔, ℎ ∈ 𝑙1_(Z𝑛) então 𝑔 * ℎ ∈ 𝑙1_(Z𝑛) e ‖𝑔 * ℎ‖𝑙1_(Z𝑛₎ ≤ ‖𝑔‖_𝑙1_(Z𝑛₎‖ℎ‖_𝑙1_(Z𝑛₎,

onde

(𝑔 * ℎ)(𝑚) = ∑︁

𝑘∈Z𝑛

Capítulo 2

Equações elípticas com não linearidades

envolvendo derivadas

Neste capítulo apresentamos resultados de existência e unicidade, decaimento, regularidade, invariância pelo scaling e simetrias radiais para as soluções de uma família de problemas elípticos com não linearidades envolvendo derivadas. O espaço onde abordaremos os problemas é 𝒫ℳ𝑎. Os resultados são generalizados para o caso das derivadas serem fracionárias.

O capítulo está dividido em três seções. Na primeira apresentamos a formulação funcional do problema e os respectivos espaços funcionais. Na segunda seção apresentamos os resultados obtidos, assim como, uma generalização dos resultados que permite trocar as derivadas da não linearidade por certos operadores multiplicadores. Na última seção apresentamos a demonstração dos resultados enunciados na seção anterior.

2.1

Formulação Funcional

Como mencionado na introdução, neste capítulo estudaremos o seguinte problema: ℒ𝑢 + [︃ _𝑘 ∑︁ 𝑗=1 𝑙 ∏︁ 𝑖=1 [︁ 𝜕𝛼𝑖𝑗_𝑢]︁𝑝𝑖𝑗 ]︃𝑞 + 𝑉 (𝑥)𝑢 + 𝑓 (𝑥) = 0 _{no R}𝑛, (2.1.1)

onde 𝛼𝑖𝑗 são multi-índices, 𝑝𝑖,𝑗, 𝑞 > 1 são inteiros e o operador multiplicador ℒ(·) é definido, via

transformada de Fourier, por

̂︂

ℒ𝑢 = 𝜎(𝜉)𝑢.̂︀

Assumiremos que para todo 𝑗 = 1, . . . , 𝑘

𝑞

𝑙

∑︁

𝑖=1

|𝛼𝑖𝑗|𝑝𝑖𝑗 < 𝑚 < 𝑛 (2.1.2)

e que o símbolo 𝜎 satisfaz 1 |𝜎(𝜉)| ≤

ℳ

|𝜉|𝑚, q.t.p. 𝜉 ∈ R

Nota-se que o Laplaciano e em geral os operadores poli-harmônicos são exemplos para ℒ. Além disso, como exemplos de não linearidades temos 𝑢𝑝 (se 𝛼𝑖𝑗 = 0, 𝑝𝑖𝑗 = 1, 𝑙 = 𝑝, 𝑘 = 1 e 𝑞 = 1) e

|∇𝑢|2𝑞 _{(se 𝑘 = 𝑛, 𝑝}

𝑖𝑗 = 0 para 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑙, 𝑝1𝑗 = 2 e 𝛼1𝑗 = 𝑒𝑗).

Na abordagem do problema (2.1.1) usaremos a transformada de Fourier. Assim, assumindo regularidade suficiente o problema pode ser reformulado através da seguinte equação funcional

𝑢 = 𝑁 (𝑢) + 𝑇𝑉(𝑢) + 𝐹 (𝑓 ), (2.1.4)

onde os operadores 𝑁 (𝑢), 𝑇𝑉(𝑢) e 𝐹 (𝑓 ) são definidos em variáveis de Fourier por

[ 𝑁 (𝑢) ≡ − 1 𝜎(𝜉)

*

*

*

Observação 2.1.1. Para 𝑢, 𝑢1, . . . , 𝑢𝑘, as operações de convolução acima são definidas por 𝑘

*

*

Com essas notações, acrescentando 𝑣, 𝑣1, . . . , 𝑣𝑘, frequentemente usaremos as seguintes identidades 𝑘

*

*

*

*

onde na última identidade temos 𝑞 termos e em cada um deles há 𝑞 funções a serem convoluidas. Definimos as quantidades ̃︀ 𝑎 = 𝑚 − 𝑞 𝑙 ∑︁ 𝑖=1 |𝛼𝑖𝑗|𝑝𝑖𝑗 𝑞 𝑙 ∑︁ 𝑖=1 𝑝𝑖𝑗 − 1 e 𝑐 =̃︀ 𝑎 + 𝑚 =̃︀ 𝑞[︁ 𝑙 ∑︁ 𝑖=1 (𝑚 − |𝛼𝑖𝑗|)𝑝𝑖𝑗 ]︁ 𝑞 𝑙 ∑︁ 𝑖=1 𝑝𝑖𝑗 − 1 , (2.1.7)

onde impomos que𝑎 (e portantõ︀ 𝑐) seja invariante por 𝑗.̃︀

Assumindo 𝜎 homogênea de grau 𝑚 e 𝑢 solução suave do problema (2.1.1) então, usando as notações 𝑉𝜆(𝑥) = 𝜆𝑚𝑉 (𝜆𝑥) e 𝑓𝜆(𝑥) = 𝜆̃︀𝑐𝑓 (𝜆𝑥), verifica-se que, para todo 𝜆 > 0, 𝑢_𝜆(𝑥) = 𝜆̃︀𝑎𝑢(𝜆𝑥)

também é solução de (2.1.1) se substituirmos 𝑉 e 𝑓 por 𝑉𝜆 e 𝑓𝜆 respectivamente.

Consideramos o scaling

𝑢 → 𝑢𝜆 = 𝜆̃︀𝑎𝑢(𝜆𝑥). (2.1.8)

É claro que as soluções são invariantes por (2.1.8) quando homogêneas de grau −𝑎. Em termos̃︀

mais precisos enunciamos a seguinte

Definição 2.1.2. Dizemos que uma solução 𝑢 do problema (2.1.4) é invariante pelo scaling (2.1.8)

se

𝑢 = 𝑢𝜆 = 𝜆̃︀𝑎(𝑢 ∘ 𝑆_𝜆), (2.1.9)

onde 𝑆𝜆(𝑥) = 𝜆𝑥 e 𝑢 ∘ 𝑆𝜆 foi definida em (1.1.2).

Estudaremos o problema (2.1.4) no espaço 𝒫ℳ𝑎, introduzido em (1.1.3), sendo que 𝑎 = 𝑛 −̃︀𝑎

é o único valor tal que ‖𝑢‖𝒫ℳ𝑎= ‖𝑢_𝜆‖_𝒫ℳ𝑎, para todo 𝜆 > 0, isto é, o único valor para o qual

‖·‖𝒫ℳ𝑎 é invariante pelo scaling (2.1.8).

No estudo da regularidade da solução de (2.1.4) usaremos o espaço

𝐻1,𝑠_(R𝑛) = {𝑢 ∈ 𝒮′ : (1 + |𝜉|𝑠)𝑢 ∈ 𝐿̂︀

1

(R𝑛)}, (2.1.10)

que é um espaço de Banach com a norma ‖𝑢‖1,𝑠= ‖(1 + |𝜉|𝑠)𝑢‖̂︀ 𝐿1(R𝑛). É claro que se 𝑢 ∈ 𝐻

1,𝑠 _então

̂︀

𝑢 ∈ 𝐿1 _{e portanto 𝐻}1,𝑠_{⊂ 𝐶} 0(R𝑛).

Usaremos a notação ⟨𝜉⟩𝑠= (1 + |𝜉|𝑠), para a qual valem as seguintes propriedades

1. Dado 𝑠 ≥ 0 existe 𝐶 > 0 tal que

⟨𝜉⟩𝑠 ≤ 𝐶⟨𝜉 − 𝜂⟩𝑠⟨𝜂⟩𝑠, ∀𝜉, 𝜂 ∈ R𝑛. (2.1.11)

2. Dados 𝑠, 𝑡 ≥ 0, com 𝑠 ≥ 𝑡, existe 𝐶 > 0 tal que ⟨𝜉⟩𝑡≤ 𝐶⟨𝜉⟩𝑠.

3. Dados 𝑠, 𝑡 ≥ 0, existe 𝐶 > 0 tal que

⟨𝜉⟩𝑠⟨𝜉⟩𝑡 ≤ 𝐶⟨𝜉⟩𝑠+𝑡, ∀𝜉 ∈ R𝑛. (2.1.12)

A desigualdade de Young e (2.1.11) permitem provar que dados 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻1,𝑠 _{então ‖⟨𝜉⟩}

𝑠(𝑓 *̂︀ ̂︀

𝑔)‖𝐿1≤ ‖(⟨𝜉⟩_𝑠𝑓 ) * (⟨𝜉⟩̂︀ _𝑠 ̂︀

𝑔)‖𝐿1≤ ‖𝑓 ‖_1,𝑠‖𝑔‖_1,𝑠. Em geral, para 𝑢, 𝑢₁, . . . , 𝑢_𝑘∈ 𝐻1,𝑠 valem

‖⟨𝜉⟩𝑠

*

*

*

*

Já a partir de (2.1.12) podemos concluir que

2.2

Resultados

Nesta seção enunciaremos os resultados obtidos para o problema (2.1.4). Dividiremos esta em duas subseções. Na primeira enunciaremos, em um único teorema, os resultados de existência e unicidade, maior decaimento, regularidade e invariância pelo scaling da solução. Na segunda observaremos que os resultados permanecem válidos (exceto a invariância pelo scaling) no caso do termo não linear envolver "derivações" mais gerais e, enunciaremos resultados de simetria radial. Finalmente faremos algumas observações no caso da "derivação" ser o Laplaciano fracionário.

2.2.1

Existência, Unicidade, Regularidade e Invariância pelo scaling

multi-índices, 𝑛 >̃︀𝑐, 𝑎 = 𝑛 −𝑎, ondẽ︀ 𝑎 ẽ︀ ̃︀𝑐 foram definidos em (2.1.7), 𝑉 ∈ 𝒫ℳ

𝑛−𝑚 _{e 𝑓 ∈ 𝒫ℳ}𝑎−𝑚_.

(i) (Existência e Unicidade) Considere

𝜏𝑎 = 𝐿𝑎‖𝑉 ‖𝒫ℳ𝑛−𝑚 e 𝜖_𝑎= min {︁1 − 𝜏_𝑎 2 , (1 − 𝜏𝑎)𝜔/(𝜔−1) 2𝜔/(𝜔−1)_𝐾1/(𝜔−1) }︁ , (2.2.1)

onde 𝐾 = 𝑘𝐾𝑎, 𝜔 = min1≤𝑗≤𝑘{𝑞∑︀𝑙𝑖=1𝑝𝑖𝑗} e, 𝐾𝑎 e 𝐿𝑎 são as constantes do Lema 2.3.1

considerando 𝑑 = 𝑎.

Se escolhermos 𝑉 e 𝑓 de forma que 𝜏𝑎 < 1 e ‖𝑓 ‖𝒫ℳ𝑎−𝑚< 𝜖/ℳ, com 0 < 𝜖 < 𝜖_𝑎 e ℳ como

em (2.1.3), então a equação funcional (2.1.4) possui uma única solução 𝑢 ∈ 𝒫ℳ𝑎 tal que ‖𝑢‖𝒫ℳ𝑎≤ 2𝜖/(1 − 𝜏_𝑎). Mais ainda, 𝑢 ∈ 𝐿∞(R𝑛) + 𝐿2(R𝑛).

(ii) (Maior decaimento) Suponha que 𝑓 ∈ 𝒫ℳ𝑎−𝑚∩ 𝒫ℳ𝑏−𝑚 com 𝑚 < 𝑏 < 𝑛 e que ‖𝑉 ‖𝒫ℳ𝑛−𝑚≤

1/𝐿𝑏. Existe 0 < 𝛿𝑏 ≤ 𝜖 tal que se ‖𝑓 ‖𝒫ℳ𝑎−𝑚≤ 𝛿_𝑏/ℳ então a solução 𝑢 do item anterior

pertence a 𝒫ℳ𝑎∩ 𝒫ℳ𝑏_{. Mais ainda, se 𝑏 > 𝑎 então 𝑢 ∈ 𝐿}𝑞 _{para todo 𝑛/(𝑛 − 𝑎) < 𝑞 <}

𝑛/(𝑛 − 𝑏). Se 𝑛/2 ≤ 𝑏 < 𝑎 temos 𝑢 ∈ 𝐿𝑞 para todos 𝑛/(𝑛 − 𝑏) < 𝑞 < 𝑛/(𝑛 − 𝑎).

(iii) (Regularidade) Sejam 𝜃 = max𝑖,𝑗{|𝛼𝑖𝑗|}, 𝑠 ∈ R tal que 𝑠 ≥ 𝜃 e as constantes 𝐿1,𝑎,𝐿̃︀_𝑎,𝑠 como

no Lema 2.3.2. Considere 𝑓, 𝑉 ∈ 𝐻1,𝑠 tais que

̃︀

𝜏 = max{𝐿1,𝑠‖𝑉 ‖1,𝑠,𝐿̃︀_𝑎,𝑠‖𝑉 ‖_𝒫ℳ𝑛−𝑚+𝐿_𝑎‖𝑉 ‖_𝒫ℳ𝑛−𝑚} < 1.

Então existe 0 < ̃︀𝜖 ≤ 𝜖 tal que se (︁ (1 + 𝑅𝑠) ∫︁ |𝜉|≤𝑅 1 |𝜉|𝑎𝑑𝜉 + 1 )︁ ‖𝑓 ‖𝒫ℳ𝑎−𝑚+ 1 𝑅𝑚‖𝑓 ‖1,𝑠≤ ̃︀ 𝜖 ℳ,

para algum 𝑅 > 0, então a solução 𝑢 ∈ 𝐶₀[𝑚+𝑠−𝜃]_(R𝑛) e satisfaz (2.1.1) no sentido clássico. [𝑠] denota o maior inteiro menor ou igual a 𝑠.

(iv) (Invariância pelo scaling) Seja 𝜎(𝜉) uma função homogênea de grau 𝑚. Suponha que 𝑓 e 𝑉 são distribuições homogêneas de graus −𝑐 e −𝑚 respectivamente. Então a solução 𝑢, dadã︀

pelo item (i), é uma função homogênea de grau −̃︀𝑎, isto é, 𝑢 é invariante pelo scaling (2.1.8).