4.4 Segunda Formulação Funcional
4.6.2 Constante de Kato
Aplicaremos os resultados de existência e unicidade ao seguinte problema:
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −Δ𝑢 = 0, em R𝑛 + 𝜕𝑢 𝜕𝜈 = 𝑔 + 𝜆 |𝑥′|𝑢, em 𝜕R 𝑛 + = R 𝑛−1, (4.6.2) onde 𝜆 é real.
Este problema se encaixa nas hipóteses do Teorema B.4, mostrado no Apêndice B, considerando
𝑉1 ≡ 0, 𝑉2(𝑥′) = 𝜆/|𝑥′|. Em primeiro lugar verifiquemos que 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2. De fato, por (1.2.4)
temos 𝑉̂︁2(𝜉′) = 𝜆𝑐𝑛−2/|𝜉′|𝑛−2, dessa forma, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2 e ‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2= |𝜆|𝑐𝑛−2. Neste caso a
existência e unicidade da solução da equação (4.1.8) é garantida se
onde 𝐿2(𝑘) = 𝐶(𝑛 − 1 − 𝑘, 1)/(2𝜋) foi definida no Lema 4.6.4. Logo, 𝜏𝑘 = 𝐿2(𝑘)‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2 = |𝜆|𝑐𝑛−2 2𝜋 𝑐𝑛−1−𝑘𝑐1𝑐𝑘−1 𝑐𝑛−𝑘𝑐𝑘𝑐𝑛−2 = |𝜆| 2𝜋 Γ(𝑛−1−𝑘2 )Γ(𝑘−12 ) Γ(𝑛−𝑘2 )Γ(𝑘2) × 𝜋𝑛−𝑘2 + 𝑘 2 𝜋𝑛−1−𝑘2 + 𝑘−1 2 = |𝜆| 2 Γ(𝑛−1−𝑘2 )Γ(𝑘−12 ) Γ(𝑛−𝑘2 )Γ(𝑘2) , dessa forma, 𝜏𝑘< 1 se, e somente se,
|𝜆| < 2Γ( 𝑛−𝑘 2 )Γ( 𝑘 2) Γ(𝑛−1−𝑘2 )Γ(𝑘−12 ). (4.6.3)
Estamos interessados em encontrar o maior valor do lado direito de (4.6.3), para 1 ≤ 𝑘 < 𝑛 − 1, que garanta a existência e unicidade da solução de (4.1.8).
A partir da função 𝑓 (𝑘) = 2Γ( 𝑛−𝑘 2 )Γ( 𝑘 2) Γ(𝑛−1−𝑘 2 )Γ( 𝑘−1 2 ) , definimos
𝑔(𝑘) = log(𝑓 (𝑘)) = log(2) + log(Γ(𝑛 − 𝑘
2 )) + log(Γ( 𝑘 2)) − log(Γ( 𝑛 − 𝑘 − 1 2 )) − log(Γ( 𝑘 − 1 2 )). Usando a função Digamma, apresentada na Definição 1.2.2, e a identidade (1.2.1), temos
𝑔′(𝑘) = −1 2𝜓( 𝑛 − 𝑘 2 ) + 1 2𝜓( 𝑘 2) + 1 2𝜓( 𝑛 − 𝑘 − 1 2 ) − 1 2𝜓( 𝑘 − 1 2 ) = 1 2 ∫︁ 1 0 𝑡−1/2− 1 𝑡(1 − 𝑡) (︁ 𝑡𝑘2 − 𝑡 𝑛−𝑘 2 )︁ 𝑑𝑡.
Verifica-se facilmente que 𝑔′(𝑘) = 0, se, e somente se, 𝑘 = 𝑛/2. Além disso, 𝑔′(𝑘) > 0 se 𝑘 < 𝑛/2 e, 𝑔′(𝑘) < 0 se 𝑘 > 𝑛/2. Portanto, 𝑔, e dessa forma 𝑓 , tem como ponto de máximo global 𝑘 = 𝑛/2. Veja que, 𝜆* = 𝑓 ( 𝑘 2) = 2 Γ2(𝑛 4) Γ2(𝑛−2 4 ) .
Assim, o Teorema B.4 garante a existência de uma solução de (4.1.8) para todo 𝑔 ∈ 𝒫ℳ(𝑛−2)/2 e 0 ≤ 𝜆 < 𝜆*. A constante 𝜆* é a melhor constante para a desigualdade de Kato no semi-espaço, a
Referências
[1] S. Alarcón, J. García Melián e A. Quaas. “Keller-Osserman type conditions for some elliptic problems with gradient terms”. Em: J. Differential Equations 255.2 (2012), pp. 886–914. [2] Angelo Alvino, Roberta Volpicelli e Adele Ferone. “Sharp Hardy inequalities in the half space
with trace remainder term”. Em: Nonlinear Anal. 75.14 (2012), pp. 5466–5472.
[3] Jaime Angulo Pava e Lucas C. F. Ferreira. “On the Schrödinger equation with singular potentials”. Em: Differential Integral Equations 27.7–8 (2014), pp. 767–800.
[4] P. Baras e J. Goldstein. “The heat equation with a singular potential”. Em: Trans. Amer.
Math. Soc. 284 (1984), pp. 121–139.
[5] Cyril Joel Batkam e Fabrice Colin. “On multiple solutions of a semilinear Schrödinger equa- tion with periodic potential”. Em: Nonlinear Anal. 84 (2013), pp. 39–49.
[6] P. Biler, M. Cannone e G. Karch I. A. Guerra. “Global regular and singular solutions for a model of gravitating particles”. Em: Math. Ann. 330.4 (2004), pp. 693–708.
[7] M. Cannone e G. Karch. “Smooth or singular solutions to the Navier-Stokes system”. Em:
Journal of Differential Equations 197.2 (2004), pp. 247–274.
[8] J. A. Carrillo e L.C.F. Ferreira. “Self-similar solutions and large time asymptotics for the dissipative quasi-geostrophic equation”. Em: Monatsh. Math. 151.2 (2007), pp. 111–142. [9] M. Chipot, I. Shafrir e M. Fila. “On the solution to some elliptic equation with nonlinear
Neumann boundary condition”. Em: Advances in Differential Equations 1.1 (1996), pp. 91– 110.
[10] M. Chlebík, M. Fila e I. Shafrir. “Existence of positive solutions of a Semilinear Elliptic Equa- tion in R𝑛 with a Nonlinear Boundary Condition”. Em: Journal of Mathematical Analysis
and Applications 223 (1998), pp. 429–471.
[11] Mathieu Colin e Masahito Ohta. “Stability of solitary waves for derivative nonlinear Schrö- dinger equation”. Em: Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23.5 (2006), pp. 753–764. [12] Juan Dávila, Louis Dupaigne e Marcelo Montenegro. “The extremal solution of a boundary
reaction problem”. Em: Commun. Pure Appl. Anal. 7.4 (2008), pp. 795–817.
[13] M. Escobedo, J. L. Vásquez e E. Zuazua. “A diffusion-convection equation in several space dimensions”. Em: Indiana Univ. Math. J. 42.4 (1993), pp. 1413–1440.
[14] M. Escobedo e E. Zuazua. “Self-similar solutions for a convection-diffusion equation with absorption in R𝑛”. Em: Israel Journal of Mathematics 74.1 (1991), pp. 47–64.
[15] Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations. AMS, Providence - Rhode Island, 1998. [16] L. C. F. FERREIRA e CLAUDIA A.A.S. MESQUITA. “Hardy inequality for the linear
heat equation with singular potential”. Em: to appear in Communications in Contemporary
Mathematics (2015).
[17] L. C. F. Ferreira e M. Montenegro. “A Fourier approach for nonlinear equations with singular data”. Em: Israel Journal of Mathematics 193 (2013), pp. 83–107.
[18] Lucas C. F. Ferreira, Everaldo S. Medeiros e Marcelo Montenegro. “On the Laplace equation with a supercritical nonlinear Robin boundary condition in the half-space”. Em: Calc. Var.
Partial Differential Equations 47.3-4 (2013), pp. 667–682.
[19] Lucas C. F. Ferreira e Elder J. Villamizar-Roa. “A semilinear heat equation with a locali- zed nonlinear source and non-continuous initial data”. Em: Math. Methods Appl. Sci. 34.15 (2011), pp. 1910–1919.
[20] M. Fila e P. Quittner. “Radial positive solutions for a semilinear elliptic equation with a gradient term”. Em: Adv. Math. Sci. Appl. 2.1 (1993), pp. 39–45.
[21] G. B. Folland. Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, Second edition. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken–New Jersey, 1999.
[22] I. S. Gradshteyn e I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Academic Press, New York, 7th edition, 2007.
[23] L. Grafakos. Classical Fourier Analysis. Springer–Verlag, New York, 2008.
[24] Ira W. Herbst e Alan D. Sloan. “Perturbation of Translation Invariant Positivity Preserving Semigroup on 𝐿2(R𝑁)”. Em: Transactions of the American Mathematical Society 236 (1978),
pp. 325–360.
[25] Shuibo Huang, Wan-Tong Li, Qiaoyu Tian e Chunlai Mu. “Large solution to nonlinear elliptic equation with nonlinear gradient terms”. Em: Journal of Differential Equations 251 (2011), pp. 3297–3328.
[26] Ya. Sh. Il’yasov. “On the existence of periodic solutions of semilinear elliptic equations”. Em:
translation in Russian Acad. Sci. Sb. Math. 79.1 (1994), pp. 167–178.
[27] R. J. Iorio e V. M. Iorio. Fourier Analysis and Partial Differential Equations. Cambridge Studies in Adavanced Mathematics 70, Cambridge University Press, 2001.
[28] Kazuhiro Ishige e Michinori Ishiwata. “Heat equation with a singular potential on the boun- dary and the Kato inequality”. Em: J. Anal. Math. 118.1 (2012), pp. 161–176.
[29] Y. Le Jan e A. S. Sznitman. “Stochastic cascades and 3-dimensional Navier–Stokes equati- ons”. Em: Probab. Theory Related Fields 109 (1997), pp. 343–366.
[30] Grzegorz Karch e Maria Elena Schonbek. “On zero mass solutions of viscous conservation law”. Em: Communications in Partial Differential Equations 27.9–10 (2002), pp. 2071–2100. [31] V.A. Kondrat’ev e V.A. Nikishkin. “Asymptotics, near the boundary, of a solution of a sin- gular boundary value problem for a semilinear elliptic equation”. Em: Differential Equations 26 (1990), pp. 345–348.
[32] J.M. Lasry e P.L. Lions. “Nonlinear elliptic equations with singular boundary conditions and stochastic control with state constraints. I. The model problem”. Em: Math. Ann. 283 (1989), pp. 583–630.
[33] Y. Li, Z.-Q. Wang e J. Zeng. “Ground states of nonlinear Schrödinger equations with poten- tials”. Em: Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23 (2006), pp. 829–837.
[34] E. H. Lieb e Loss M. Analysis, Second Edition. American Mathematical Society, Providence– Rhode Island, 2001.
[35] Shibo Liu. “On superlinear Schrödinger equations with periodic potential”. Em: Calc. Var. 45 (2012), pp. 1–9.
[36] C. Loewner e L. Nirenberg. “Partial differential equations invariant under conformal of pro- jective transformations”. Em: Contributions to Analysis. Academic Press, New York, 245– 272, a collection of papers dedicated to Lipman Bers.
[37] L. Medina e V. Moll. “The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: The digamma function”. Em: Sci. Ser. A Math. Sci. (N.S.) 17 (2009), pp. 45–66.
[38] C. Miao e B. Yuan. “Solutions to some nonlinear parabolic equations in pseudomeasure spaces”. Em: Math. Nachr. 280.1–2 ().
[39] Masahito Ohta. “Instability of solitary waves for nonlinear Schrödinger equations of deriva- tive”. Em: Preprint (2014).
[40] A. Pankov. “Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals”. Em: Milan J. Math. 73 (2005), pp. 259–287.
[41] A. Pankov. “Semilinear elliptic equations on R𝑛 with nonstabilizing coefficients”. Em: transl.
from Ukr. Math. Zh. 41 (1989), pp. 1247–1251.
[42] A. A. Pankov e K. Pflüger. “On a semilinear Schrödinger equation with periodic potential”. Em: Nonlinear Anal. 33 (1998), pp. 593–609.
[43] S.I. Pohozaev. “The Dirichlet problem for the equation Δ𝑢 = 𝑢2”. Em: Dokl. Akad. Nauk
SSSR 134 (1960), pp. 769–772.
[44] Giovanni Porru e Antonio Vitolo. “Problems for elliptic singular equations with a quadratic gradient term”. Em: J. Math. Anal. Appl. 334 (2007), pp. 467–486.
[45] P. Quittner e W. Reichel. “Very weak solutions to elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions”. Em: Calc. Var. Partial Differential Equations 32.4 (2008), pp. 429– 452.
[46] P. H. Rabinowitz. “A note on semilinear elliptic equation on R𝑛”. Em: Nonlinear Analysis:
A Tribute in Honour of G. Prodi, Quad. Scu. Norm. Super. Pisa (1991), pp. 307–318.
[47] Ivar Stakgold e Michael Holst. Green’s Functions and Boundary Value Problems, 3rd Edition. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken–New Jersey, 2011.
[48] A. Szulkin e T. Weth. “Ground state solutions for some indefinite variational problems”. Em: J. Funct. Anal. 257 (2009), pp. 3802–3822.
[49] Roger Temam. Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis. CBMS-NSF Re- gional Conference Series in Applied Mathematics, 66. Society for Industrial e Applied Mathe- matics, Philadelphia, PA, 1995.
[50] Roger Temam. Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis. With an appendix by
F. Thomasset. Third edition. Studies in Mathematics and its Applications, 2. North-Holland
Publishing Co., Amsterdam, 1984.
[51] Claudia Valls. “Existence of quasi-periodic solutions for elliptic equations on a cilindrical domain”. Em: Comment. Math. Helv. 81 (2006), pp. 783–800.
[52] Hongtao Xue e Xigao Shao. “Existence of positive entire solutions of a semilinear elliptic problem with a gradient term”. Em: Nonlinear Anal. 71.7–8 (2009), pp. 3113–3118.
[53] Masao Yamazaki. “The Navier-Stokes equations in the weak-𝐿𝑛 space with time-dependent external force”. Em: Math. Ann. 317 (2000), pp. 635–675.
[54] Zhijun Zhang. “Boundary blow-up elliptic problems with nonlinear gradient terms and sin- gular weights”. Em: Proceedings of the Royal Society of Edinburgh 138A (2008), pp. 1403– 1424.
[55] Zhijun Zhang. “The asymptotic behaviour of solutions with boundary blow-up for semili- near elliptic equations with nonlinear gradient terms”. Em: Nonlinear Analysis 62 (2005), pp. 1137–1148.
Apêndice A
Teoremas Complementares [Caso 𝑏 > 0]
Neste apêndice enunciaremos os teoremas de existência e unicidade que preenchem os casos não considerados pelo Teorema 4.2.1 para o problema (4.1.8). As demonstrações seguem o roteiro da demonstração do Teorema 4.2.1 e por esse motivo serão omitidas. No que segue, cada vez que a equação funcional (4.1.8) for mencionada devem ser identificados os termos que nela se anulam. Além disso, a Observação 4.2.2 é válida para os Teoremas A.1 e A.2, assim como o Teorema 4.2.3 é válido para cada um dos teoremas enunciados a seguir.
Teorema A.1 (Caso 𝐴1, 𝐵1 ̸= 0, 𝐴2 = 0). Sejam 𝑛 ≥ 4, 𝑝 inteiro, 𝑝 ≥ (𝑛 − 1)/(𝑛 − 3) e
𝑎, 𝑏, 𝛾, 𝛿, 𝑘 ∈ R tais que: (i) 𝑘 = 𝑎 − 𝑏 = 𝑛 − 1 − 𝑝−12 , 𝛾 − 𝛿 = 𝑛 − 3, (ii) 𝑛 − 1 − 2 𝑝−1 < 𝑎 < 𝑛 − 1 − (︁ 2 𝑝−1− 1 𝑝 )︁ , (iii) 𝑛 − 3 < 𝛾 < 2𝑛 − 3 − 𝑝−12 − 𝑎. Também, considere 𝑉1 ∈ 𝐻𝛿,𝛾, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1, 𝜏 = 𝐿1‖𝑉1‖𝐻𝛿,𝛾+𝐿2‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2 e 𝜖 =̃︀ (1 − 𝜏 )𝑝/(𝑝−1) 2𝑝/(𝑝−1)𝐾1/(𝑝−1) 1 ,
onde, 𝐾1, 𝐿1 e 𝐿2 são as constantes dos Lemas 4.3.1, 4.3.4 e 4.3.9 respectivamente. Se escolhermos
𝑉1, 𝑉2 e 𝑔 de forma que 𝜏 < 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘−1< 𝜖/ℳ, com 0 < 𝜖 < 𝜖 e ℳ como no Lema 4.3.7,̃︀
então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ∈ ℋ𝑏,𝑎,𝑘 tal que ‖𝑢‖ℋ𝑏,𝑎,𝑘≤
2𝜖/(1 − 𝜏 ). Mais ainda, 𝑢1(·, 𝑥𝑛), 𝑢2 ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛> 0.
Teorema A.2 (Caso 𝐴1, 𝐵2 ̸= 0, 𝐴2, 𝐵1 = 0, 𝑉2 ≡ 0 ). Sejam 𝑛 ≥ 4, 𝑝 inteiro, 𝑝 ≥ (𝑛 − 1)/(𝑛 − 3)
e 𝑎, 𝑏, 𝛾, 𝛿, 𝑘 ∈ R tais que: (i) 𝑘 = 𝑎 − 𝑏 = 𝑛 − 1 − 2 𝑝−1, 𝛾 − 𝛿 = 𝑛 − 3, (ii) 𝑛 − 1 − 𝑝−12 < 𝑎 < 𝑛 − 1 −(︁𝑝−12 − 1 𝑝 )︁ ,
(iii) 𝑛 − 3 < 𝛾 < 2𝑛 − 3 − 𝑝−12 − 𝑎. Também, considere 𝑉1 ∈ 𝐻𝛿,𝛾, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘, 𝜏 = 𝐿1‖𝑉1‖𝐻𝛿,𝛾 e 𝜖 =̃︀ (1 − 𝜏 )𝑝/(𝑝−1) 2𝑝/(𝑝−1)𝐾1/(𝑝−1) 1 ,
onde, 𝐾1 e 𝐿1 são as constantes dos Lemas 4.3.1 e 4.3.4 respectivamente. Se escolhermos 𝑉1 e 𝑔
de forma que 𝜏 < 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘< 𝜖/ℳ′, com 0 < 𝜖 <̃︀𝜖 e ℳ′ como no Lema 4.3.7, então a equação
funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ∈ ℋ𝑏,𝑎,𝑘 tal que ‖𝑢‖ℋ𝑏,𝑎,𝑘≤ 2𝜖/(1 − 𝜏 ). Mais
ainda, 𝑢1(·, 𝑥𝑛), 𝑢2 ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛> 0.
Teorema A.3 (Caso 𝐴1 = 0, 𝐴2, 𝐵1 ̸= 0). Sejam 𝑛 ≥ 3, 𝑞 inteiro, 𝑞 > (𝑛 − 1)/(𝑛 − 2) e
𝑎, 𝑏, 𝛾, 𝛿, 𝑘 ∈ R tais que: (i) 𝑘 = 𝑎 − 𝑏 = 𝑛 − 1 − 1 𝑞−1, 𝛾 − 𝛿 = 𝑛 − 3, (ii) 𝑛 − 1 − 𝑞−11 < 𝑎 < 𝑛 − 1, (iii) 𝑛 − 3 < 𝛾 < 2𝑛 − 3 − 𝑞−11 − 𝑎 (se 𝑛 = 3, 2 − 𝑎 < 𝛾 < 3 − 1 𝑞−1 − 𝑎). Também, considere 𝑉1 ∈ 𝐻𝛿,𝛾, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1 e 𝜏 = 𝐿1‖𝑉1‖𝐻𝛿,𝛾+𝐿2‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2 e ̃︀𝜖 = (1 − 𝜏 )𝑞/(𝑞−1) 2𝑞/(𝑞−1)𝐾1/(𝑞−1) 2 ,
onde 𝐾2, 𝐿1 e 𝐿2 são as constantes dos Lemas 4.3.11, 4.3.4 e 4.3.9 respectivamente. Se escolhermos
𝑉1, 𝑉2 e 𝑔 de forma que 𝜏 < 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘−1< 𝜖/ℳ, com 0 < 𝜖 < 𝜖 e ℳ como no Lema 4.3.7,̃︀
então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ∈ ℋ𝑏,𝑎,𝑘 tal que ‖𝑢‖ℋ𝑏,𝑎,𝑘≤
2𝜖/(1 − 𝜏 ). Mais ainda, 𝑢1(·, 𝑥𝑛), 𝑢2 ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛> 0.
Teorema A.4 (Caso 𝐴1, 𝐴2 = 0, 𝐵1 ̸= 0). Sejam 𝑛 ≥ 3, 𝑎, 𝑏, 𝛾, 𝛿, 𝑘 ∈ R tais que:
(i) 𝑘 = 𝑎 − 𝑏,
(ii) 𝛾 − 𝛿 = 𝑛 − 3, 𝑛 − 3 < 𝛾 ≤ 𝑛 − 2 (ou 0 < 𝛿 ≤ 1), (iii) 𝑏 > 0, 𝑛 − 1 − 𝛾 < 𝑎 < 𝑛 − 1,
(iv) 𝑎 + 𝛾 < 𝑛 − 2 + 𝑘 (ou 𝑏 + 𝛿 < 1).
Também, considere 𝑉1 ∈ 𝐻𝛿,𝛾, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1 e 𝜏 = 𝐿1‖𝑉1‖𝐻𝛿,𝛾+𝐿2‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2, onde
𝐿1 e 𝐿2 são as constantes dos Lemas 4.3.4 e 4.3.9 respectivamente. Se escolhermos 𝑉1, 𝑉2 de forma
que 𝜏 < 1 então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 = (𝑢1, 𝑢2) ∈ ℋ𝑏,𝑎,𝑘. Mais
ainda, se impormos 𝑘 > (𝑛 − 1)/2 então 𝑢1(·, 𝑥𝑛), 𝑢2 ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛> 0.
(i) 𝑘 = 𝑎 − 𝑏,
(ii) 𝛾 − 𝛿 = 𝑛 − 3, 𝑛 − 3 < 𝛾 ≤ 𝑛 − 2 (ou 0 < 𝛿 ≤ 1), (iii) 𝑏 > 0, 𝑛 − 1 − 𝛾 < 𝑎 < 𝑛 − 1,
(iv) 𝑎 + 𝛾 < 𝑛 − 2 + 𝑘 (ou 𝑏 + 𝛿 < 1).
Também, considere 𝑉1 ∈ 𝐻𝛿,𝛾, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘e 𝜏 = 𝐿1‖𝑉1‖𝐻𝛿,𝛾, onde 𝐿1 é a constante do Lema 4.3.4. Se
escolhermos 𝑉1 de forma que 𝜏 < 1 então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 =
(𝑢1, 𝑢2) ∈ ℋ𝑏,𝑎,𝑘. Mais ainda, se impormos 𝑘 > (𝑛−1)/2 então 𝑢1(·, 𝑥𝑛), 𝑢2 ∈ 𝐿∞(R𝑛−1)+𝐿2(R𝑛−1),
Apêndice B
Teoremas Complementares [Caso 𝑏 = 0]
Neste apêndice enunciaremos os teoremas de existência e unicidade que preenchem os casos não considerados pelo Teorema 4.5.1 para o problema (4.1.8). As demonstrações seguem o roteiro da demonstração do Teorema 4.5.1 e por esse motivo serão omitidas. No que segue, cada vez que a equação funcional (4.1.8) for mencionada devem ser identificados os termos que nela se anulam.
Teorema B.1 (Caso 𝐴1, 𝐵1 ̸= 0, 𝐴2 = 0). Sejam 𝑛 > 3, 𝑝 > (𝑛 − 1)/(𝑛 − 3) inteiro, 𝑘 ∈ R tal
que 𝑘 = 𝑛 − 1 − 2/(𝑝 − 1). Considere também 𝑉1 ∈ 𝑋𝑛−3, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1,
𝜏𝑘= 𝐿1(𝑘)‖𝑉1‖𝑋𝑛−3+𝐿2(𝑘)‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2 e 𝜖𝑘 =
(1 − 𝜏𝑘)𝑝/(𝑝−1)
2𝑝/(𝑝−1)(𝐾
1(𝑘))1/(𝑝−1)
,
onde 𝐾1(𝑘), 𝐿1(𝑘) e 𝐿2(𝑘) são as constantes dos Lemas 4.6.1, 4.6.2 e 4.6.4 respectivamente, consi-
derando 𝑑 = 𝑘. Se escolhermos 𝑉1, 𝑉2 e 𝑔 de forma que 𝜏𝑘 < 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘−1< 𝜖/ℳ, com 0 < 𝜖 < 𝜖𝑘
e ℳ como no Lema 4.6.3, então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 ∈ 𝑋𝑘 tal
que ‖𝑢‖𝑋𝑘≤ 2𝜖/(1 − 𝜏𝑘). Mais ainda, 𝑢(·, 𝑥𝑛) ∈ 𝐿 ∞
(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛≥ 0.
Teorema B.2 (Caso 𝐴1, 𝐵2 ̸= 0, 𝐴2, 𝐵1 = 0, 𝑉2 ≡ 0 ). Sejam 𝑛 > 3, 𝑝 > (𝑛 − 1)/(𝑛 − 3) inteiro,
𝑘 ∈ R tal que 𝑘 = 𝑛 − 1 − 2/(𝑝 − 1). Considere também 𝑉1 ∈ 𝑋𝑛−3, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘,
𝜏𝑘 = 𝐿1(𝑘)‖𝑉1‖𝑋𝑛−3 e 𝜖𝑘 =
(1 − 𝜏𝑘)𝑝/(𝑝−1)
2𝑝/(𝑝−1)(𝐾
1(𝑘))1/(𝑝−1)
,
onde 𝐾1(𝑘) e 𝐿1(𝑘) são as constantes dos Lemas 4.6.1 e 4.6.4 respectivamente, considerando 𝑑 = 𝑘.
Se escolhermos 𝑉1 e 𝑔 de forma que 𝜏𝑘< 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘< 𝜖/ℳ′, com 0 < 𝜖 < 𝜖𝑘 e ℳ′ como no Lema
4.6.3, então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 ∈ 𝑋𝑘tal que ‖𝑢‖𝑋𝑘≤ 2𝜖/(1−𝜏𝑘).
Mais ainda, 𝑢(·, 𝑥𝑛) ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥𝑛 ≥ 0.
Teorema B.3 (Caso 𝐴1 = 0, 𝐴2, 𝐵1 ̸= 0). Sejam 𝑛 > 3, 𝑞 > (𝑛 − 1)/(𝑛 − 2) inteiro, 𝑘 ∈ R tal
que 𝑘 = 𝑛 − 1 − 1/(𝑞 − 1) > 2. Considere também 𝑉1 ∈ 𝑋𝑛−3, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1,
𝜏𝑘 = 𝐿1(𝑘)‖𝑉1‖𝑋𝑛−3+𝐿2(𝑘)‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2 e 𝜖𝑘 =
(1 − 𝜏𝑘)𝑞/(𝑞−1)
2𝑞/(𝑞−1)(𝐾
2(𝑘))1/(𝑞−1)
onde 𝐾2(𝑘), 𝐿1(𝑘) e 𝐿2(𝑘) são as constantes dos Lemas 4.6.5, 4.6.2 e 4.6.4 respectivamente, consi-
derando 𝑑 = 𝑘. Se escolhermos 𝑉1, 𝑉2 e 𝑔 de forma que 𝜏𝑘 < 1 e ‖𝑔‖𝒫ℳ𝑘−1< 𝜖/ℳ, com 0 < 𝜖 < 𝜖𝑘
e ℳ como no Lema 4.6.3, então a equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 ∈ 𝑋𝑘 tal
que ‖𝑢‖𝑋𝑘≤ 2𝜖/(1 − 𝜏𝑘). Mais ainda, 𝑢(·, 𝑥𝑛) ∈ 𝐿 ∞
(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada 𝑥 𝑛≥ 0.
Teorema B.4 (Caso 𝐴1, 𝐴2 = 0, 𝐵1 ̸= 0). Sejam 𝑛 > 3 e 𝑘 ∈ R tal que 2 < 𝑘 < 𝑛 − 1. Considere
também 𝑉1 ∈ 𝑋𝑛−3, 𝑉2 ∈ 𝒫ℳ𝑛−2, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘−1,
𝜏𝑘 = 𝐿1(𝑘)‖𝑉1‖𝑋𝑛−3+𝐿2(𝑘)‖𝑉2‖𝒫ℳ𝑛−2,
onde 𝐿1(𝑘) e 𝐿2(𝑘) são as constantes dos Lemas 4.6.2 e 4.6.4 respectivamente, considerando 𝑑 = 𝑘.
Se escolhermos 𝑉1 e 𝑉2 de forma que 𝜏𝑘 < 1, então a equação funcional (4.1.8) possui uma única
solução 𝑢 ∈ 𝑋𝑘. Além disso, se 𝑘 > (𝑛 − 1)/2 então 𝑢(·, 𝑥𝑛) ∈ 𝐿∞(R𝑛−1) + 𝐿2(R𝑛−1), para cada
𝑥𝑛≥ 0.
Teorema B.5 (Caso 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1 = 0, 𝑉2 ≡ 0, 𝐵2 ̸= 0). Sejam 𝑛 > 3 e 𝑘 ∈ R tal que 2 <
𝑘 < 𝑛 − 1. Considere também 𝑉1 ∈ 𝑋𝑛−3, 𝑔 ∈ 𝒫ℳ𝑘 e 𝜏𝑘 = 𝐿1(𝑘)‖𝑉1‖𝑋𝑛−3, onde 𝐿1(𝑘) é a
constante do Lema 4.6.2 considerando 𝑑 = 𝑘. Se escolhermos 𝑉1 de forma que 𝜏𝑘 < 1, então a
equação funcional (4.1.8) possui uma única solução 𝑢 ∈ 𝑋𝑘. Além disso, se 𝑘 > (𝑛 − 1)/2 então