Detecção de imperfeições estruturais via método dos elementos espectrais usando wavelets

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Engenharia Mecânica

HÉLIO VÍTOR CANTANHÊDE DA SILVA

Detecção de Imperfeições Estruturais via

Método dos Elementos Espectrais usando

Wavelets

CAMPINAS 2016

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Dedicatória

Aos meus queridos pais, Hélio Ferreira da Silva e Maria Dalva Cantanhêde Silva e aos meus dois irmãos , Gleydiane e Gleydson por todo amor, carinho e apoio em todos os momentos da minha vida.

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Agradecimentos

A Deus, o centro e o fundamento de tudo em minha vida, por renovar a cada momento a minha força e disposição e pelo discernimento concedido ao longo dessa jornada.

Ao meu orientador, Prof. Dr. José Maria Campos dos Santos, pelo apoio, incentivo, amizade e experiência que foram fundamentais para a realização deste trabalho.

Aos membros das bancas de qualificação e defesa. A toda minha família.

Aos amigos, Edilson Dantas e Raimundo Lucena pela ajuda nos programas desenvolvidos.

Aos amigos da casa onde morei durante esses dois anos de mestrado, Dênis Bender, Paulo Gramacho-"Paul", Daniel Ferreira, Pedro Henrique-"Bourbon", Leonardo Berenguer-"Leo", Mar-cos Paz-"filósofo", pelo grande companheirismo e pela amizade.

À CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, pelo indispensável apoio financeiro.

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"A tarefa não é tanto ver aquilo que ninguém viu, mas pensar o que ninguém ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vê."

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Resumo

CANTANHÊDE, Hélio Vítor. Detecção de Imperfeições Estruturais via Método dos Elementos Espectrais usando Wavelets. 2016. 78p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecâ-nica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

No presente trabalho, um estudo de propagação de ondas e detecção de imperfeições estruturais em uma barra elementar é feito usando o Método dos Elementos Espectrais usando Wavelets (Wavelet Spectral Finite Element Method - WSFEM). Primeiramente foram calculados os valores exatos dos coeficientes de conexões para as wavelets do tipo Daubechies, usando para isso a propriedade de suporte compacto que elas possuem. A equação de onda foi transformada do domínio do tempo para o domínio wavelet. Foi feita a desacoplagem das equações diferenciais ordinárias através de uma análise de autovalores e autovetores. O método WSFEM é muito semelhante ao método do elementos finitos espectrais (Spectral Element Method - SEM), que usa como base a transformada de Fourier, exceto que ele usa wavelets do tipo Daubechies com suporte compacto. As equações de onda são reduzidas a equações diferenciais ordinárias usando as wavelets de Daubechies, que são ortonormais. Ao contrário da formulação SEM com suposição de periodicidade, o método baseado em wavelets permite imposição de valores iniciais e, portanto, está livre de problemas do tipo "wrap around". Experimentos numéricos são realizados para extrair as características das ondas, isto é, a relação de dispersão e os espectros para o guia de onda unidimensional analisado. Foi feita a deteção das imperfeições estruturais para os dois métodos SEM e WSFEM, onde foi feita a modelagem do elemento estrutural junto com um elemento semi-infinito. Os resultados são comparados com os da literatura.

Palavras-chave: Wavelets, Elementos Espectrais, imperfeições estruturais, guias de onda unidi-mensionais.

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Abstract

CANTANHÊDE, Hélio Vítor. Detection of Structural Imperfections through Wavelet Spectral Finite Element Method. 2016. 78p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

In the present work, a study of wave propagation and detection of structural imperfections in elementary rods is done using the method (Wavelet Spectral Finite Element Method- WSFEM) based on wavelets. First the exact values of the coefficients of connections to the wavelets of Daubechies type were calculated, using for this the compact support property they possess.The wave equation was transformed from the time domain to the wavelet domain.It was made the decoupling of ordinary differential equations through an analysis of eigenvalues and eigenvectors. The WSFEM method is very similar to the method of spectral finite element ( textit Spectral Element Method - SEM), which uses based on the Fourier transform, except that it uses wavelets of Daubechies type with compact support.The wave equations are reduced to ordinary differential equations using wavelet Daubechies, which are orthonormal.Unlike SEM formulation basis of supposition, the wavelet-based method allows imposition of initial values, and therefore is free of problems such as "wrap around". Numerical experiments are performed to extract the characteristics of waves, that is, the dispersion ratio and the spectra for one-dimensional waveguide analyzed. The detection of structural imperfections was taken for both SEM and WSFEM methods, which carried out the modeling of the structural element along with a semi-infinite element. The results are compared with the literature.

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Lista de Ilustrações

1.1 Aproximação de uma função através das wavelets e da transformada de Fourier. . . 20

1.2 Detecção de uma descontinuidade em uma onda senoidal usando wavelets. . . 21

3.1 Representação dos sinais. a) Senóide b) Wavelet de Daubechies . . . 27

3.2 Funções de escalas e Wavelets de Daubechies para várias ordens. . . 33

4.1 Barra elementar com elemento infinitesimal, Doyle (1989). . . 40

4.2 Elemento espectral de barra elementar . . . 46

4.3 Fluxograma para os cálculos realizados . . . 47

4.4 Modelo Elemento espectral de barra semi-infinito . . . 48

4.5 Elemento espectral de barra com trinca. . . 49

4.6 Detalhe da trinca e seção transversal do local da trinca. . . 51

4.7 Modos fundamentais de deslocamento na superfícies da trinca (Pereira, 2009). . . . 54

5.1 Número de onda adimensional para amostragem de 1µs, (Mitra, 2006a). . . 57

5.2 Número de onda adimensional para amostragem de 1µs . . . 57

5.7 Número de onda adimensional para amostragem de 8µs, (MITRA, 2006a). . . 60

5.9 Comparação entre ωj e λj, (MITRA, 2006a). . . 61

5.10 Comparação entre ωj e λj . . . 61

5.11 Modelo das estruturas simuladas: (a) Barra saudável ; (b) Barra trincada. . . 62

5.12 Ilustração da aplicação da Força de excitação no guia de onda. . . 62

5.13 Onda senoidal com frequência de 40 kHz e a janela hanning aplicada. . . 63

5.14 Sinal de excitação tone burst de 40 kHz e sua representação na frequência. . . 63

5.15 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra a) Aceleração para o nó 1 barra saudável b) Zoom feito na reflexão. . . 64

5.16 Respostas obtidas no nó 2 para a força de excitação descrita. a) estrutura saudável b) estrutura trincada. . . 65

5.17 Respostas em aceleração com desdobramento de parte do sinal para o inicio. a) SEM b) WSFEM com N = 6 c) WSFEM com N = 22. . . 66

(11)

5.18 Respostas em aceleração obtidas através da excitação Tone Busrt aplicada. a) Es-trutura saudável, b) EsEs-trutura com trinca de 30%, c) EsEs-trutura com trinca de 40%. . 67 5.19 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b)

Estru-tura com trinca em 0,75m . . . 68 5.20 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b)

Estru-tura com trinca em 1,5m . . . 69 5.21 Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b)

Estru-tura com trinca em 2,1m . . . 70 5.22 FRFs para os dois métodos . . . 71

(12)

Lista de Tabelas

3.1 Coeficientes de filtro ak para função de escala Daubechies com N=4, 6 e 12. . . 37

(13)

Lista de Abreviaturas e Siglas

Matrizes e Vetores

- Vetores e Matrizes estão representados por letras e símbolos em negrito A - Matriz dos coeficientes de filtro

ˆ

Fe - Matriz de forças nodais (WSFEM) K - Matriz de rigidez elementar(SEM)

ˆ

Ke _{- Matriz de rigidez elementar(WSFEM)}

ˆ

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Letras Latinas

A - Área da seção transversal ak - Coeficientes de filtro cj,k - Coeficientes de aproximação D - Daubechies dj,k - Coeficientes de detalhe E - Módulo de elasticidade F - Força axial h - Altura da barra i - Número complexo

[ ˆKe] - Matriz de rigidez dinâmica elementar

k - Número de onda

l - Comprimento do elemento

L - Comprimento da barra

N - Ordem da wavelet Daubechies

n - Pontos de amostragem

t - Tempo

u(x,t) - Deslocamento axial

u - Deslocamento

˙u - velocidade ¨

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Letras Gregas

ωn - Frequência circular

∆t - Discretização no tempo ψ(t) - Wavelet mãe

ϕ(t) - Função de escala

ϕ0_(t) - Primeira derivada da função de escala

ϕ00

(t) - Segunda derivada da função de escala Ω1j,k - Coeficientes de conexão de primeira ordem

Ω2

j,k - Coeficientes de conexão de segunda ordem

Γ1 _{- Matriz dos coeficientes de conexão de primeira ordem}

Γ2 _{- Matriz dos coeficientes de conexão de segunda ordem}

Φ - Autovetor para a matriz Γ1

Π - Matriz diagonal contendo os autovalores λj

Π2 _{- Matriz diagonal contendo os autovalores λ}2 j

ρ - Densidade do material δ - Delta de Dirac

- Velocidade de deformação axial t - Velocidade de deformação transversal

η - Fator de amortecimento histerético λj - Autovalores

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Siglas

M EF - Método de Elementos Finitos SEM - Método de Elemento Espectral

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SUMÁRIO

Lista de Ilustrações x

Lista de Tabelas xii

Lista de Abreviaturas e Siglas

SUMÁRIO i 1 INTRODUÇÃO 19 1.1 Objetivo . . . 21 1.2 Organização do trabalho . . . 22 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 24 3 ANÁLISE EM WAVELETS 27 3.1 Considerações iniciais . . . 27 3.2 Análise Multiresolução . . . 28

3.3 Definição das Wavelets de Daubechies . . . 31

3.4 Obtenção do valor dos coeficientes de filtro . . . 33

3.5 Avaliação dos Coeficientes de Conexões . . . 37

4 MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO WAVELETS-WSFEM 40 4.1 Modelo de Barra Elementar . . . 40

4.2 Formulação do Elemento Espectral . . . 45

4.3 Modelo do Elemento Espectral Semi-Infinito para Barra . . . 48

4.4 Elemento Espectral de Barra com Trinca . . . 49

4.4.1 Flexibilidade da Trinca . . . 54

5 RESULTADOS SIMULADOS 56 5.1 Barra Elementar . . . 56

6 CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 72

(18)

REFERÊNCIAS 75

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19

1 INTRODUÇÃO

Ao longo das duas últimas décadas, as wavelets têm sido utilizadas de forma eficaz para problemas de processamento de sinais e para a solução de equações diferenciais. Existem vários livros didáticos e artigos nestas áreas, (Mitra, 2010). O uso de wavelets em engenharia pode ser visto sob duas perspectivas. Primeiramente, na análise das respostas mecânicas para a extração de parâmetros modais, detecção de danos, etc. Em segundo lugar, na solução de equações diferenciais que regem o sistema físico. Embora a transformada wavelet seja muito eficaz em todos os casos citados, existem poucos trabalhos detalhados sobre o uso da transformada wavelet para solução de problemas mecânicos. Os livros existentes tratam sobre os aspectos matemáticos das wavelets, a sua utilização como base de aproximação para solução de equações diferenciais e sobre a utilização de wavelets para processamento de sinais.

A avaliação da integridade estrutural tem sido motivo de interesse por parte da comunidade cientifica há algumas décadas devido às possíveis implicações econômicas e sociais que se originam pela presença do dano em uma estrutura. O processo de deterioração resulta em regiões danifica-das cuja principal característica é a perda localizada de rigidez. Por isso, uma grande quantidade de linhas de pesquisa têm sido desenvolvidas para poder avaliar o estado dos diferentes tipos de estruturas (mecânicas, civis e aeronáuticas) através de diversos métodos computacionais, (Villalba, 2012).

Muitos métodos numéricos estão disponíveis para a modelagem do fenômeno de propagação de ondas em guias de onda do tipo barra, viga e placa. Pode-se citar, por exemplo, alguns como o método das diferenças finitas - MDF, Strikwerda (1989), o método dos elementos de contorno - MEC, Brebbia (1996) e o método dos elementos finitos - MEF, Zienkiewicz (1989). Contudo, esses métodos para problemas em médias e altas frequências têm um elevado custo computacional, pois, quando as frequências aumentam, o comprimento característico do elemento finito, que deve ser aproximadamente igual a um sexto do comprimento de onda, (Petyt, 2010), diminui, deixando o tamanho do modelo numérico da estrutura muito grande, mesmo para o caso de propagação de onda em uma dimensão. Uma forma de definir se uma faixa de frequências é baixa, média ou alta, seria através da densidade modal (o número de modos por faixa de frequência). As frequências baixas incluem geralmente os primeiros dez ou vinte modos naturais, as médias e altas frequências incluem os modos de ordem mais elevada.

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(Spec-20 tral Element Method - SEM) que é a solução exata da equação de um sistema elástico escrito na forma de propagação de ondas no domínio da frequência. Este método consiste na construção da matriz de rigidez dinâmica que relaciona as forças aplicadas a uma estrutura com os deslocamentos resultantes. Um único elemento espectral é suficiente para modelar a uma estrutura desde que esta não apresente descontinuidades. Assim, um elemento espectral poderia substituir infinitos elemen-tos finielemen-tos. Desta forma, o sistema matricial é reduzido significantemente quando comparado com outros métodos numéricos. Entretanto, existem algumas dificuldades em modelar elementos não uniformes, bem como, na aplicação de condições de contorno em elementos 2D e 3D.

A técnica do SEM faz uso da transformada de Fourier para a transformação da equação no domínio do tempo para o domínio da frequência. A transformada de Fourier apresenta alguns problemas, como por exemplo, a representação de fenômenos com singularidade, sinais transientes, fenômeno de Gibbs e erro de wrap around. Tais problemas podem ser minimizados ou mesmo eliminados com a aplicação das wavelets em vez da transformada de Fourier. A Figura 1.1 mostra uma onda quadrada aproximada através das somas de Fourier e através da aplicação das wavelets de Daubechies, nota-se que quando o sinal é aproximado através da transformada de Fourier ele apresenta o fenômeno de Gibbs, já quando a função é aproximada usando wavelets de Daubechies esse fenômeno não é notado, na Figura 1.2 é ilustrada como uma análise via wavelets pode localizar uma descontinuidade em um sinal senoidal. É representado um sinal com duração de, t = 1,0s, e com uma descontinuidade localizada no tempo igual a t = 0,5s.

Figura 1.1: Aproximação de uma função através das wavelets e da transformada de Fourier.

Neste contexto, foi proposto por Mitra (2010) o método dos elementos espectrais usando wavelet (Wavelet Spectral Finite Element Method - WSFEM). Eles aplicaram esse método para

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1.1. OBJETIVO 21

Figura 1.2: Detecção de uma descontinuidade em uma onda senoidal usando wavelets. diversos casos. Um deles é o estudo de problemas de propagação de ondas em guias de onda de uma dimensão, tema que é abordado nessa dissertação.

Pode-se imaginar que o WSFEM consiste em transformar as equações do sistema elástico escritas no domínio do tempo para o domínio da frequência aplicando-se a transformada wavelet em vez da transformada de Fourier, usando para análise as propriedades das wavelets e suas vantagens em relação à transformada de Fourier, se tornando uma alternativa para o estudo de detecção de danos em estruturas unidimensionais.

A partir do sucesso que as wavelets tiveram para a resolução de equações diferenciais parci-ais, como por exemplo no método nomeado de Wavelet Galerkin, Burgos (2009), novas pesquisas estão surgindo na tentativa de encontrar novas famílias de wavelets para a solução de problemas específicos. Nesse contexto, destacam-se as pesquisas de Deslauriers (1989), que conseguiu ob-ter outra família de wavelets a partir das wavelets de Daubechies, as quais foram denominadas de Interpolets, essas Interpolets ainda possuem características de funções interpoladoras.

1.1 Objetivo

Este trabalho pretende estudar o método do elemento espectral usando wavelet (WSFEM) em guias de ondas unidimensionais, implementá-lo computacionalmente e aplicar como ferramenta de engenharia na detecção de danos estruturais.

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1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 22 Os objetivos específicos são:

Validar os resultados da implementação do WSFEM através das curvas de dispersão (número de onda versus frequência) na comparação com o SEM.

Detectar imperfeições estruturais em uma barra elementar através dos métodos SEM e WS-FEM.

Analisar a influência da mudança da ordem da wavelet do tipo Daubechies no cálculo do número de onda para uma barra elementar.

Obter os deslocamentos, velocidades e acelerações nodais através dos métodos WSFEM e SEM e comparar os resultados obtidos para a validação dos programas elaborados.

1.2 Organização do trabalho

A dissertação está organizada da seguinte maneira:

Capítulo 1: Neste capítulo apresenta-se uma introdução sobre o tema a ser analisado e de-monstrando a necessidade de desenvolver esta pesquisa.

Capítulo 2: Neste capítulo mostra-se uma revisão bibliográfica dos trabalhos analisados que serviram como base para a elaboração desta dissertação.

Capítulo 3: Neste capítulo é descrita toda a teoria sobre as wavelets e é explicada a aná-lise multi-resolução e como são são obtidos os valores dos coeficientes de filtro e coeficientes de conexões implementados através dos programas elaborados em MATLAB®.

Capítulo 4: Neste capítulo foi feito todo o equacionamento para a aplicação do método WS-FEM em um guia de onda do tipo barra elementar saudável e com trinca, foi feita a aproximação da equação da onda através do uso de wavelets do tipo Daubechies, em seguida foram calculados os valores dos coeficientes de conexões. Com isso foi possível desacoplar as equações obtidas atra-vés da análise de autovetores e autovalores da matriz dos coeficientes de conexões e também foi mostrado como transformar a força de entrada do domínio do tempo para a frequência via wavelet de Daubechies.

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1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 23 Capítulo 5: Neste capítulo são apresentados os resultados numéricos obtidos (números de onda e Funções de Resposta em Frequência). Também foram calculados os deslocamentos e por consequência, as acelerações nodais para uma barra com condição de contorno livre livre sujeita a uma força de excitação. Foi feita a implementação para uma barra elementar saudável e uma outra barra com trinca. Foi possível fazer a detecção da imperfeição estrutural através da observação das reflexões da onda na trinca. Os resultados foram comparados e discutidos para os dois métodos;

Os Capítulos 6 e 7 apresentam as conclusões e sugestões para trabalhos futuros e as publica-ções geradas pelo trabalho, respectivamente.

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24

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo apresenta-se uma rápida e breve revisão bibliográfica dos trabalhos encontra-dos na literatura que explicam a teoria, metodologia e aplicação do método WSFEM em diversas áreas de pesquisa, trabalhos estes que foram fundamentais para o desenvolvimento desta disserta-ção.

Há poucos anos foram definidos os primeiros sistemas de Wavelelets, ou Ondelettes, como lhes chamaram alguns dos pesquisadores franceses que primeiro trabalharam com este tipo de funções, (Grossmann, 1984). Entretanto, foi apenas na segunda metade da década de oitenta que foram definidos com rigor os conceitos que permitem entender de forma clara a natureza deste tipo de funções. Vários pesquisadores destacaram-se como Grossmann (1984), Mallat (1989) e Daubechies (1988).

Latto (1991) apresentou um método exato para o cálculo dos coeficientes de conexões. Isto é essencial para a aplicação das wavelets para a solução numérica das equações diferenciais, uma vez que as aproximações numéricas dos coeficientes de conexões são em geral instáveis devido à natureza oscilatória dos integrandos.

Graps (1995) faz uma breve introdução às wavelets e inicia a aplicação delas na área de processamento de sinais digitais. Ele faz comparações entre a transformada wavelet e a transfor-mada de Fourier mostrando alguns aspectos interessantes nessa análise, no final ele faz algumas aplicações de wavelets nas áreas de compressão de imagens, tons musicais e remoção de ruído de sinais.

Mitra (2005) apresentou o método Wavelet Spectral Finite element (WSFEM), para o estudo da propagação de ondas elásticas em guias de onda de uma dimensão. A equação diferencial par-cial da onda foi convertida em equações diferenciais ordinárias simultâneas através das wavelets de Daubechies para aproximação no domínio wavelet. Neste caso, o tamanho do sistema a ser re-solvido é também muito menor do que o gerado pelo método dos elementos finitos convencionais. Eles ainda estenderam o WSFEM para propagação de ondas em duas dimensões Mitra (2006c), para modelagem de delaminação em viga compósita Mitra (2006d), para modelagem de cilindro assimétrico isotrópico Mitra (2007) e para placa compósita laminada Mitra (2008).

(25)

25 guias de onda de uma dimensão, mas também para extrair as características da onda, tais como o espectro e relação de dispersão. Experimentos numéricos foram realizados para estudar as caracte-rísticas da onda no domínio da frequência em uma barra elementar, viga de Euler-Bernoulli e vigas de Timoshenko.

Mitra (2006b) aplicou o método WSFEM em vigas compósitas de alta ordem, onde foram encontrados os gráficos de dispersão e os espectros para a viga, através da aplicação de uma força de entrada, modelada como um impulso unitário e aplicada em um dos nós da viga.

Lotfollahi (2008) fez uma aplicação da Transformada wavelet para Monitorameno da Integri-dade Estrutural em uma barragem, onde o dano foi modelado através da mudança local de rigidez da estrutura foi também feita análise via método dos elementos finitos através do software ABAQUS e modelado também em ambiente MATLAB®.

Widana (2011) utilizou o método WSFEM para a detecção de delaminações em placas com-pósitas junto com o método Damage Force Indicator (DFI). A matriz de rigidez dinâmica global para a barra saudável foi obtida via WSFEM e o vetor de deslocamento para a estrutura danificada já medida através de um vibrômetro a laser os resultados mostraram boa aproximação.

Pahlavan (2012) aplica o método dos elementos espectrais baseado em wavelets (WSFEM) para o estudo da propagação de ondas elásticas em estruturas bidimensionais (2D). A abordagem é caracterizada por uma transformação temporal das equações que governam a o domínio wavelet usando uma abordagem wavelet-Galerkin, e, posteriormente, realizando a discretização espacial no domínio wavelet. A solução final é obtida pela transformação dos deslocamentos nodais calculados no domínio wavelet de volta ao domínio do tempo .

Jha (2012) em seu trabalho desenvolve o WSFEM para a deteção de danos em uma placa compósita. As respostas simuladas foram comparadas com medidas experimentais. Também foi implementado o método do tempo reverso para o diagnóstico de imperfeições estruturais.

Jones (2012) desenvolveu o método de wavelet-Galerkin para a solução das equações diferen-ciais, onde também é mostrado ser um método conveniente e eficiente. Esta eficiência é apresentado através da realização de uma análise estocástica da variação do módulo de elasticidade para deter-minar o efeito sobre a função de resposta em frequência. Os resultados são comparados com o método dos elementos finitos.

(26)

26 Mallikarjun (2012) aplicou o método WSFEM em um pórtico. As respostas foram calculadas através da aplicação de uma força impulsiva aplicada em uma extremidade da viga. Foi também analisado o comportamento das equações quando o valor da ordem da wavelet era modificado, assim como a interferência da discretização nas respostas obtidas.

Samaratunga (2014) formulou o método WSFEM para análise do problema de propagação de ondas em guias de onda de duas dimensões, mas precisamente em placas compósitas laminadas com uma pequena falha estrutural, os resultados foram simulados e comparados com a técnica dos elementos espectrais e elementos finitos.

Na Unicamp, mas precisamente na Faculdade de Engenharia Mecânica encontra-se o Labo-ratório de Vibrações e Acústica do Departamento de Mecânica Computacional, (LVA-DMC-FEM-UNICAMP), onde são desenvolvidos trabalhos na área de detecção de danos em estruturas através de vários métodos entre eles o método do elemento espectral-SEM, pode-se citar alguns trabalhos como, (Pereira, 2009) e (Lucena, 2015). Esta dissertação é o primeiro trabalho desenvolvido no LVA-DMC-FEM-UNICAMP abordando o método WSFEM, ou seja, é um trabalho que servirá como apoio para futuras pesquisas na área.

(27)

CAPÍTULO 3. ANÁLISE EM WAVELETS 27

3 ANÁLISE EM WAVELETS

Neste capítulo é apresentada a teoria sobre wavelets necessária para o entendimento do mé-todo WSFEM, toda a teoria descrita neste capítulo pode ser encontrada em (Castro, 1996) e (Bur-gos, 2009).

3.1 Considerações iniciais

Uma wavelet é uma forma de onda de duração limitada que tem um valor médio igual a zero. Na Figura 3.1 é comparada uma wavelet de Daubechies com uma onda senoidal, que é a base da análise de Fourier. Senóides não têm duração limitada, elas se estendem de menos a mais infinito como mostra a Figura 3.1a. As senóides são suaves e previsíveis, as wavelets tendem a ser irregulares e assimétricas como pode-se notar na Figura 3.1b.

(a)

(b)

Figura 3.1: Representação dos sinais. a) Senóide b) Wavelet de Daubechies

A análise de Fourier consiste em decompor um sinal em ondas senoidais de diferentes frequências, amplitudes e fases. Similarmente, a análise wavelet é a quebra de um sinal em versões deslocadas e escalonadas da wavelet original (wavelet mãe). Basta olhar para a Figura 3.1. Pode-se ver

(28)

intuitiva-3.2. ANÁLISE MULTIRESOLUÇÃO 28 mente que sinais com mudanças bruscas podem ser melhor analisados com uma wavelet irregular do que com um senóide suave.

3.2 Análise Multiresolução

As propriedades das bases de wavelets podem ser entendidas mais facilmente se conhecermos os conceitos introduzidos pela análise multiresolução.

A análise multiresolução foi introduzida por Mallat (1989) e Meyer (1990). Esta análise con-siste em representar uma dada função (ou sinal) em diferentes níveis de resolução. Neste trabalho, introduziremos apenas, sem grande aprofundamento matemático, alguns conceitos que serão fun-damentais na compreensão das famílias de bases wavelets propostas por Daubechies.

Para se efetuar a representação multiresolução de uma função em L2_{(R) , tem-se que obter}

primeiro uma sequência de sub-espaços verificando:

{0}, . . . , ⊂ V−₁, ⊂ V₀, ⊂ V₁, . . . , ⊂ L2(R) (3.1)

Os subespaços Vj(j ∈ Z) devem ter uma interseção trivial e uma união que é densa em

L2_{(R). Isto quer dizer,}

\ n Vn = 0 (3.2) [ n Vn = L2(R) (3.3)

Os diferentes sub-espaços devem estar relacionados através da seguinte lei;

(29)

3.2. ANÁLISE MULTIRESOLUÇÃO 29 Cada sub-espaço Vj deve ser gerado a partir de todas as translações inteiras de uma única

função h(t) , verificando-se:

h(t) ∈ V0 ⇔ h(t + k) ∈ V0 k ∈ Z (3.5)

Então, é necessário definir, em V0, uma função que desempenha um papel fundamental na

análise multiresolução e na geração dos sistemas de wavelets. É a chamada função de escala, usu-almente representada na literatura por ϕ(t) . A função de escala ϕ(t) e suas translações inteiras ϕ(t − k) , com k ∈ Z, formam uma base do sub-espaço V0 . Consequentemente, as funções

ϕ(2t − m) , com m ∈ Z , formam uma base para o sub-espaço V1 . Como V0 está contido em

V1, qualquer função definida em V0 pode ser expressa como combinação linear das funções que

constituem a base do sub-espaço V1. Em particular, é possível escrever para a função de escala:

ϕ(t) =X

k

akϕ(2t − k) (3.6)

A Equação (3.6) é muito importante, já que é a base para a geração dos diferentes sistemas de wavelets. É conhecida geralmente como equação de dilatação.

Para um dado valor do inteiro j, as funções

ϕj,k(t) = 2j/2ϕ(2jt − k), j, k ∈ Z (3.7)

obtidas a partir da função de escala ϕ(t) através de uma operação de dilatação e uma transla-ção formam uma base do sub-espaço Vj. O inteiro j é chamado parâmetro de dilatação (ou escala),

enquanto que o inteiro k define a translação efetuada.

A análise multiresolução leva a uma decomposição do espaço L2_{(R) . Defina-se agora o}

sub-espaço Wj−1como sendo completamente ortogonal de Vj−1 em Vj. Tem-se então que,

(30)

3.2. ANÁLISE MULTIRESOLUÇÃO 30 com Vj−1 ⊥ Wj−1e ondeL representa uma soma direta. Resulta que os sub-espaços Wj são

ortogonais e que a sua soma direta é L2_{(R). Verifica-se então que}

[

j

Vj =

M

Wj = L2(R), j ∈ Z (3.9)

Além da função de escala ϕ(t) , há outra função, definida agora em W0 , cuja definição é

essencial para a geração do sistema completo de wavelets. Trata-se da wavelet primária, usualmente representada por ψ(t) . Esta wavelet, em conjunto com todas as translações inteiras,ψ(t − k) com k ∈ Z, deverá constituir uma base do sub-espaço W0.

Como o sub-espaço W0 está contido no sub-espaço V1 , a wavelet primária ψ(t) pode ser

expressa como combinação linear das funções que constituem a base de V1. Pode então

escrever-se:

ψ(t) = X

k∈Z

bkϕ(2t − k) (3.10)

Os coeficientes bk da Equação (3.10) devem estar relacionados com os coeficientes ak da

Equação (3.6), de modo a garantir a desejada ortogonalidade entre sub-espaços, V0⊥ W0.

Qualquer função f(t) ∈ L2_{(R) pode então ser expressa como combinação linear de todas as}

dilatações e translações da wavelet primária. Um maneira de aproximar a função f(t) consiste em efetuar a sua projeção no sub-espaço Vj :

Pjf (t) =

X

k∈Z

cj,kϕj,k(t) (3.11)

Chui (2014) demonstra que as projeções Pjf (t) tendem a representar de uma forma cada

vez mais exata a função f(t) à medida que o valor do parâmetro de escala j aumenta. No limite, verifica-se que:

(31)

3.3. DEFINIÇÃO DAS WAVELETS DE DAUBECHIES 31

lim

m→∞Pmf (t) = f (t) (3.12)

Considerando agora as projeções da mesma função f(t) em dois sub-espaços, Vj e Vj+1, a

partir da Equação (3.8) pode escrecer,

Pj+1f (t) = Pjf (t) + Qjf (t) (3.13)

onde Qjf (t) denota a projeção de f (t) no sub-espaço Wj. Tal projeção é obtida através de:

Qjf (t) =

X

k∈Z

dj,kψj,k(t) (3.14)

A Equação (3.13) indica que Qjf (t) representa o detalhe que é necessário adicionar à

apro-ximação referente à projeção na escala j para se obter a aproapro-ximação na escala de refinamento seguinte, j + 1.

3.3 Definição das Wavelets de Daubechies

As wavelets de Daubechies, (Daubechies, 1988), formam sistemas completos de funções ortonormais. A geração de tais sistemas passam pela obtenção da respectiva função de escala dada pela Equação (3.6)

Os parâmetros ak são chamados de coeficientes de filtro. É através da imposição de

algu-mas condições sobre os valores que estes coeficientes podem assumir que se obtêm determinadas propriedades para um sistema de wavelets, como por exemplo a ortonormalidade.

Para que as wavelets possuam a propriedade de suporte compacto, ou seja, que sejam defi-nidas sobre um intervalo limitado, é preciso que apenas um número finito de coeficientes de filtro seja diferente de zero. Os sistemas de wavelets de Daubechies são organizados em diferentes fa-mílias, cada uma das quais caracterizada por um número diferente de coeficientes ak não-nulos.

(32)

3.3. DEFINIÇÃO DAS WAVELETS DE DAUBECHIES 32 Cada família é identificada pelo seu número de família, denotado aqui por N, e cujo valor é igual a metade do número de coeficientes de filtro utilizados na Equação (3.6).

A função de escala para cada uma das famílias de Wavelets é então dada por:

ϕ(t) =

2N −1

X

k=0

akϕ(2t − k) (3.15)

As funções de escala assim definidas tomam valores diferentes de zero apenas no intervalo [0, 2N − 1]. A este intervalo constuma-se chamar suporte da função de escala ϕ(t) . Pode-se escre-ver:

supϕ(t) = [0, 2N − 1] (3.16)

Daubechies (1988) definiu as famílias de wavelets para valores de N compreendidos entre 2 e 10. Além da ortonormalidade, existe outra propriedade que caracteriza estes sistemas de funções. Dada uma família com um determinado N, qualquer polinômio de grau igual ou inferior a N − 1 pode ser representado de uma forma exata pela combinação linear da função de escala ϕ(t) e de todas as suas translações inteiras.

A wavelet primária de cada uma das famílias pode ser definida por :

ψ(t) =

2N −1

X

k=0

(−1)ka2N −1−kϕ(2t − k) (3.17)

Na Figura 3.2 é ilustrada a função de escala e a wavelet de Daubechies para diversas ordens. Nota-se o comportamento em relação ao suporte de cada wavelet. A função de escala de Daubechies tem suporte de [0, N − 1], nota-se que quanto maior a ordem, mais suave é a função.

(33)

3.4. OBTENÇÃO DO VALOR DOS COEFICIENTES DE FILTRO 33

(a) Wavelets Db4 (b) Wavelets Db8

(c) Wavelets Db12 (d) Wavelets Db16

(e) Wavelets Db20 (f) Wavelets Db24

Figura 3.2: Funções de escalas e Wavelets de Daubechies para várias ordens.

3.4 Obtenção do valor dos coeficientes de filtro

A função de escala de cada uma das famílias de wavelets de Daubechies é determinada a partir da resolução da Equação (3.15). Para se definir de uma forma única cada uma das funções de escala, é usual impor que a área definida por ϕ(t) seja unitária. Tem-se então que:

Z +∞ −∞

ϕ(t)dt = 1 (3.18)

(34)

3.4. OBTENÇÃO DO VALOR DOS COEFICIENTES DE FILTRO 34

2N −1

X

k=0

ak = 2 (3.19)

A segunda condição que os coeficientes de filtro têm que respeitar é a condição de ortonor-malidade dada por:

Z +∞ −∞ ϕ(t)ϕ(t + k)dt = δ0,k (3.20) onde, δ0,k = ( 1 k = 0 0 ∀k 6= 0 (3.21)

Esta segunda condição ainda pode ser escrita de outra forma como:

2N −1

X

n=0

anan+2k = 2δ0,k k ∈ Z (3.22)

A Equação (3.22) permite escrever N equações independentes envolvendo os valores dos coeficientes de filtro, ak.

As condições mostradas na Equação (3.19) e na Equação (3.22) permitem escrever N + 1 equações relacionando os 2N coeficientes ak , presentes na definição de ϕ(t) e ψ(t). Para que

estes coeficientes possam ser determinados de forma única, é necessário estabelecer uma terceira condição que permita obter as N − 1 equações em falta. Esta condição surge naturalmente quando se impõe que qualquer polinômio de grau igual ou inferior a N − 1 possa ser representado de uma forma exata pela combinação linear da função de escala ϕ(t) e de todas as suas translações inteiras ϕ(t − k), com k ∈ Z. Qualquer polinômio do tipo,

(35)

3.4. OBTENÇÃO DO VALOR DOS COEFICIENTES DE FILTRO 35 pode ser representado, de uma forma exata, por uma expansão do tipo:

f (t) =

+∞

X

k=−∞

ckϕ(t − k) (3.24)

Pré-multiplicando ambos os membros da Equação (3.24) por ψ(t) e integrando, obtém-se:

Z ψ(t)f (t)dt = +∞ X k=−∞ ck Z ϕ(t − k)ψ(t)dt = 0 (3.25)

Substituindo na Equação (3.25) a Equação (3.23) temos,

Z

ψ(t)(a0+ a1t + a2t2+ ... + aN −1tN −1)dt = 0 (3.26)

Esta igualdade tem que ser válida para todos os valores aj, j = 0,1,...,N − 1. Escolhendo

al= 1 e aj = 0 para j 6= l, obtém se a seguinte condição:

Z +∞ −∞

ψ(t)tldt = 0, _{l = 0,1,..,N − 1} (3.27)

Através de manipulações matemáticas, (Castro, 1996), é obtida a Equação (3.28), que é ne-cessária para encontrar as N − 1 equações que faltavam para o sistema ficar completo,

2N −1

X

k=0

(−1)kakkl = 0 l = 1,2,..,N − 1 (3.28)

Como foi dito anteriormente, as funções de escala são obtidas resolvendo a Equação (3.15) que pode ser expandida como,

(36)

3.4. OBTENÇÃO DO VALOR DOS COEFICIENTES DE FILTRO 36 Utilizando os critérios de compactividade para as funções de escala Daubechies entre [0, N − 1], onde N é da ordem da função de escala Daubechies, a relação dada na Equação (3.29) pode ser escrita como as seguintes equações,

           ϕ(0) = a0ϕ(0) ϕ(1) = a0ϕ(2) + a1ϕ(1) + a2ϕ(0) ϕ(2) = a0ϕ(4) + a1ϕ(3) + a2ϕ(2) + a3ϕ(1) + a4ϕ(0) ... ϕ(N − 2) = aN −3ϕ(N − 1) + aN −2ϕ(N − 2) + aN −1ϕ(N − 3) ϕ(N − 1) = aN −1ϕ(N − 1)            (3.30)

Que pode também ser escrita na forma de matriz,

             ϕ0 ϕ1 ϕ2 · · · ϕN −3 ϕN −2 ϕN −1              =               a0 0 0 · · · 0 0 0 a2 a1 a0 · · · 0 0 0 a4 a3 a2 · · · 0 0 0 · · · ... · · · ... 0 0 0 _{· · · a}N −3 aN −4 aN −5 0 0 0 _{· · · a}N −1 aN −2 aN −3 0 0 0 _{· · ·} 0 0 aN −1                            ϕ0 ϕ1 ϕ2 · · · ϕN −3 ϕN −2 ϕN −1              (3.31)

Assim, a Equação (3.31) cai em um problema de autovalores e pode ser resolvida para obter ϕ como os autovetores. A matriz [A] contém os coeficientes de filtro ak e podem ser encontrados a

partir da Equação (3.19), Equação (3.22) e Equação (3.28). Os coeficientes de filtro para as wavelets de Daubechies de ordem N=4, N=6 e N=8 são apresentados na Tabela 3.1. Estes coeficientes de filtro foram obtidos através do software MATLAB usando a função dbwavf que é encontrada no toolbox de wavelets, os valores encontrados para os coeficientes de filtro são normalizados para obter-se um somátorio de todos os valores igual a dois, isto é, para respeitar as condições impostas para as wavelets de Daubechies.

(37)

3.5. AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CONEXÕES 37 Tabela 3.1: Coeficientes de filtro akpara função de escala Daubechies com N=4, 6 e 12.

k D4 D6 D12 0 0,6830 0,4704 0,0788 1 1,1830 1,1411 0,3497 2 0,3169 0,6503 0,5311 3 -0,1830 -0,1909 0,2229 4 -0,1208 -0,1599 5 0,0498 -0,0917 6 0,0689 7 0,0194 8 -0,0223 9 0,0003 10 0,0033 11 -0,0007

3.5 Avaliação dos Coeficientes de Conexões

A solução das equações diferenciais depende fundamentalmente da correta avaliação dos produtos internos entre as funções de escala, suas translações e suas derivadas, conhecidos como coeficientes de conexão (Burgos, 2009). Este trabalho baseia-se nas pesquisas desenvolvidas por (Beylkin, 1992) e (Zhou, 1998) que formularam os coeficientes de conexões definidos no intervalo [0,1], ou seja, no nível zero, já que a partir deste nível pode-se obter os demais. De acordo com (Beylkin, 1992) tem-se que;

Ωn_l = Z +∞ −∞ ϕ(x − l)d n_ϕ(x) dxn dx (3.32)

os coeficientes podem ser avaliados através das seguintes proposições.

I- Se a integral dada pela Equação (3.32) existir, os coeficientes respeitam as seguintes equa-ções, com l ∈ Z; Ωn_l = 2n " Ωn_2l+ 1 2 N −1 X k=1 a2k−1(Ωn2l−2k+1+ Ωn2l+2k+1) # (3.33) e

(38)

3.5. AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CONEXÕES 38

X

lnΩn_l _{= (−1}n)n! (3.34)

II- Se p > (n+1)/2 , onde p é o número de momentos nulos, as Equações (3.33) e (3.34) têm uma solução única, com um número finito de coeficientes com valores não nulos Ωn

l, normalmente,

Ωn

l 6= 0 para 2 − N 6 l 6 N − 2, de tal modo que para n par;

Ωn_l = Ωn−_l (3.35) X l2mΩn_l = 0, _{m = 1,2...n/2 − 1} (3.36) e X Ωn l = 0 (3.37)

já para n ímpar tem-se;

Ωn_l _{= −Ω}n−_l (3.38)

X

l2m−1Ωn_l = 0, _{m = 1,2...n/2 − 1} (3.39)

Os detalhes para o cálculo desses coeficientes para diferentes ordens de wavelets podem ser en-contrados em Beylkin (1992). A Tabela 3.2 mostra os valores dos coeficientes de conexões de primeira e segunda ordem das wavelets Daubechies, calculados neste trabalho através de um có-digo computacional implementado em ambiente MATLAB®, este cócó-digo computacional se baseia nos programas desenvolvidos por (Mitra, 2010), onde foram feitos testes para validar com outros trabalhos da área.

(39)

3.5. AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CONEXÕES 39

Tabela 3.2: Coeficientes de conexões de 1ª e 2ª ordem com N = 22.

n Ω(1)n Ω(2)n 1 0 -3,47337 2 -0,91320 2,16026 3 0,34718 -0,60265 4 -0,14580 0,25998 5 0,05657 -0,11399 6 -0,01896 0,04444 7 0,00525 -0,01448 8 -0,00115 0,00377 9 0,00018 -0,00075 10 -2,14714e-05 0,00010 11 1,56173e-06 -1,03988e-05 12 -8,57426e-08 5,55791e-07 13 5,88963e-09 3,72688e-09 14 3,91513e-10 -5,40977e-09 15 -1,13407e-10 4,73721e-10 16 -3,25542e-12 3,16562e-11 17 -1,61095e-14 2,31447e-13 18 6,88828e-17 -2,18564e-15 19 -7,98269e-17 -5,75168e-17 20 -6,18014e-17 2,30067e-16 21 4,12009e-17 -1,00654e-16

(40)

CAPÍTULO 4. MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO WAVELETS-WSFEM40

4 MÉTODO DOS ELEMENTOS ESPECTRAIS USANDO

WAVELETS-WSFEM

Neste capítulo é apresentado o desenvolvimento do método do elemento espectral baseado em wavelets para a simulação da propagação de ondas em guias de onda de uma dimensão. O método é baseado na transformada wavelet e no método dos elementos espectrais. As wavelets de Daubechies usadas neste trabalho obedecem algumas propriedades como, por exemplo, ortogonali-dade e suporte compacto. Estas formam sistemas de funções, os quais são obtidos através das suas funções de escala. A formulação aqui apresentada é baseada no trabalho de (Mitra, 2010), mas, ela foi aperfeiçoada para um melhor entendimento do problema, sendo assim, pode-se considerar que foi desenvolvida para este trabalho uma nova formulação para o método WSFEM, que é mais completa do que a encontrada na literatura atual.

4.1 Modelo de Barra Elementar

Aqui consideraremos o guia de onda como uma estrutura que está sujeita somente a carre-gamentos axiais. Doyle (1989) assume que o efeito de Poison pode ser desprezado e ainda que as tensões e deformações possuem somente uma dimensão ao longo do eixo da barra. A Figura 4.1 mostra um modelo de barra elementar destacando-se um elemento infinitesimal da mesma.

Figura 4.1: Barra elementar com elemento infinitesimal, Doyle (1989).

Das hipóteses impostas, a deformação axial da barra pode ser escrita como: εxx =

∂u(x,t)

(41)

4.1. MODELO DE BARRA ELEMENTAR 41 onde u é o deslocamento axial da barra. A tensão axial é obtida através da Lei de Hooke como:

σxx= Eεxx= E

∂u(x,t)

∂x , (4.2)

em que E é o módulo de elasticidade. A força axial interna pode ser obtida a partir da tensão encontrada na Equação (4.2) através de:

F = Z

σxxdA = AE

∂u(x,t)

∂x , (4.3)

em que A é a área da seção transversal da barra. Considerando que q(x,t) , seja a força externa aplicada por unidade de comprimento. O equilíbrio das forças será:

− F + [F + ∆F ] + q(x,t)∆x = ρA∆x∂

2_u(x,t)

∂t2 , (4.4)

onde ρ é a densidade. Dividindo a Equação (4.4) por ∆x, a equação de movimento torna-se: ∂F

∂x = ρA

∂2_u(x,t)

∂t2 − q(x,t). (4.5)

Substituindo a Equação (4.3) na Equação (4.5) obtém-se a equação diferencial de movimento de uma barra não amortecida como:

AE∂

2_u(x,t)

∂x2 − ρA

∂2_u(x,t)

∂t2 = −q(x,t). (4.6)

Seja u(x,t) discretizada por n pontos com uma janela de tempo [0 tf], tem-se então a

se-guinte relação entre o tempo e o número de pontos amostrados dado por:

t = ∆tτ, _{τ = 0,1, . . . ,n − 1} (4.7)

Em que ∆t é o intervalo de tempo entre dois pontos amostrados no tempo. Aplicando esta dis-cretização no tempo (Eq. 4.7) na Equação (4.6) as variáveis u(x,t) e q(x,t) podem ser aproximadas pela função de escala ϕ(τ) através de:

u(x,t) ≈ u(x,τ) =X

k

(42)

4.1. MODELO DE BARRA ELEMENTAR 42 e

q(x,t) ≈ q(x,τ) =X

k

qk(x)ϕ(τ − k), k ∈ Z, (4.9)

onde, uké o coeficiente de aproximação a uma dada dimensão espacial x. Substituindo as Equações

(4.7), (4.8) e (4.9) na Equação (4.6) obtém-se, AEX k d2_u k dx2 ϕ(τ − k) − ρA ∆t2 X k ukϕ 00 (τ − k) =X k qk(x)ϕ(τ − k). (4.10)

Fazendo o produto interno em ambos os lados da Equação (4.10) por ϕ(τ − j), onde j = 0,1,...,n − 1 obtém-se, AEX k d2_u k dx2 Z ϕ(τ −k)ϕ(τ−j)dτ−_∆tρA₂ X k uk Z ϕ00 (τ −k)ϕ(τ−j)dτ =X k qk(x)ϕ(τ −k)ϕ(τ−j)dτ. (4.11) As translações da função de escala são ortogonais, logo,

Z

ϕ(τ − k)ϕ(τ − j)dτ = 0 para j 6= k. (4.12)

Usando a Equação (4.12), a Equação (4.11) pode ser escrita na forma de n equações diferen-cias ordinárias simultâneas como:

AEd 2_u j dx2 − ρA ∆t2 j+N −2 X k=j−N +2 Ω(2)_j−kuk = qj j = 0,1,...,n − 1 (4.13)

em que, N é a ordem da wavelet de Daubechies e Ω(2)

j−k é o coeficiente de conexão de segunda

ordem (Seção 3.5) definido pela Equação (4.14), onde ϕ00representa a derivada de segunda ordem

de ϕ.

Ω(2)_j−k = Z

ϕ00

(τ − k)ϕ(τ − j)dτ. (4.14)

Para wavelets de suporte compacto, o coeficiente de conexão Ω(2)_j−k é diferente de zero no intervalo de k = j − N + 2 até k = j + N − 2.

(43)

4.1. MODELO DE BARRA ELEMENTAR 43 Reescrevendo a Equação (4.13) na forma matricial obtém-se:

AEd 2_u dx2 − ρAΓ (2)_u_{= q} _(4.15) onde, Γ(2)= 1 ∆t2       Ω2 0 Ω2−₁ · · · Ω 2 −_{N +2} · · · Ω 2 N −2 · · · Ω21 Ω2 1 Ω20 · · · Ω2−_{N +3} · · · 0 · · · Ω2₂ ... _{... ···} ... _{· · ·} ... _{· · ·} ... Ω2 −₁ Ω2−₂ · · · 0 · · · Ω2_{N −3} · · · Ω2₀       (4.16)

Deve notar-se que embora a formulação seja feita com referência à equação diferencial go-vernante de uma barra, a matriz dos coeficientes de conexão de 2ª ordem Γ(2) _{é independente do}

problema e depende apenas da ordem da wavelet de Daubechies, isto é, N. Contudo, pode ser visto que existe uma relação entre o coeficiente de conexão da wavelet e a 2ª derivada do deslocamento, ou seja,

¨

u= Γ(2)u. (4.17)

Pode-se mostrar também que,

˙u = Γ(1)u, (4.18)

onde Γ(1)_{é a matriz dos coeficientes de conexão de 1ª ordem. Assim, a segunda derivada temporal}

pode ser escrita como:

¨

u= Γ(1)_˙u. _(4.19)

Substituindo a Equação (4.18) na Equação (4.19) chegamos na relação (Beylkin, 1992), ¨

u= [Γ(1)]2 | {z }

Γ(2)

u. (4.20)

A matriz dos coeficientes de conexões de segunda ordem Γ(2)_{, pode também ser avaliada de}

forma independente (Reginska, 1997).

No método WSFEM, as equações diferenciais ordinárias estão acopladas, porém, o sistema de equações pode ser desacoplado pela diagonalização das matrizes dos coeficientes de conexões

(44)

4.1. MODELO DE BARRA ELEMENTAR 44 Γ(1) e Γ(2). Estas podem ser feitas através do cálculo dos autovalores/vetores destas matrizes, ou seja,

Γ(1)= ΦΠΦ−1 _(4.21)

onde Π é a matriz diagonal dos autovalores λj e Φ é a matriz dos correspondentes autovetores.

Para Γ(2)_teremos,

Γ(2)= ΦΠ2_Φ−₁ _(4.22)

onde Π2 _{é a matriz diagonal dos autovalores (λ}2

j) e Φ é a matriz dos correspondente autovetores.

Embora o custo computacional seja elevado para a solução deste problema de autovalor/vetor, este precisa ser calculado apenas uma vez e pode ser armazenado, uma vez que é completamente independente do problema. Isso faz com que o tempo de cálculo seja comparável àqueles dos métodos baseados na transformada de Fourier (Burgos, 2009).

Para a matriz Γ(1)_{os autovalores podem ser calculados através de (Davis, 1975),}

αj = N −2 X k=−N +2 Ω1 ke −_2πijk/n j = 0,1,...,n − 1 (4.23) Para, Γ(1)_{, Ω}1 p = −Ω1−_ppara p = 1,2,..., N − 2 e como Ω 1

0 = 0 pode-se escrever que αj = iλj

onde, λj = − 2 ∆t N −2 X k=1 Ω1_ksin 2πkj n j = 0,1,...,n − 1, (4.24)

e os correspondentes autovetores ortonormais vj, j = 0,1,...,n − 1 são,

(vj)k =

1

√_ne−_2πijk/n

, _{k = 0,1,...,n − 1} (4.25)

Substituindo-se a Equação (4.22) na (4.15) obtém-se: AEd

2_u

dx2 − ρAΦΠ

2_Φ−₁

u= q (4.26)

Pré-multiplicando a Equação (4.26) por Φ−₁, obtém-se:

AEd 2_(Φ−₁ u) dx2 − ρAΠ 2_(Φ−1 u) = Φ−1 q. (4.27)

(45)

4.2. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO ESPECTRAL 45 Desta forma podemos reescrever a Equação (4.27) como,

AEd 2_u_ˆ dx2 − ρAΠ 2_u_ˆ_{= ˆ}_q. _(4.28) onde, ˆu= Φ−₁ ue ˆq = Φ−₁ q.

Assim, pode-se reescrever a Equação (4.28) da seguinte forma, AEd

2_u_ˆ

dx2 + ρAλj

2_u_ˆ_{= ˆ}_q _(4.29)

Comparando-se a equação diferencial governante do WSFEM (Equação 4.29) com a corres-pondente do SEM, dada por (Pereira, 2009):

AEd

2_u_ˆ

dx2 + ρAωj

2_u_ˆ_{= ˆ}_q, _(4.30)

observa-se que a única diferença nas formulações são os números de onda k, onde para o método WSFEM é dado por,

k = λj

ρ E

1/2

, (4.31)

enquanto para o método SEM o número de onda é dado por, ks = ωj

ρ E

1/2

. (4.32)

4.2 Formulação do Elemento Espectral

Para a solução do sistema de equações diferenciais ordinárias desacopladas dada pela Equa-ção (4.29), uma abordagem via elementos espectrais é adotada. Estas equações são necessárias para a solução de ˆuj e a real solução u(x,t) é obtida usando a transformada wavelet inversa. Na Figura

4.2 é mostrado um elemento espectral para uma barra isotrópica que possui dois nós e somente um grau de liberdade longitudinal que é igual ao deslocamento ˆuj, são ilustrados os deslocamentos

nodais u1e u2com suas respectivas forças nodais F1e F2.

(46)

4.2. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO ESPECTRAL 46

Figura 4.2: Elemento espectral de barra elementar Equação (4.29), dada por,

ˆ u(x) = C1e −_ikx + C2e −_ik(L−x) , (4.33)

onde k é o número de onda correspondente ao modo axial, L é o comprimento da barra, C1 e C2

são constantes determinadas a partir das condições de contorno da barra. Inserindo as condições de contorno em cada nó do elemento, ou seja, para o nó 1, x = 0, e para o nó 2, x = L, obtém-se,

ˆ

u(0) = ˆu1 = C1+ C2e−ikL, (4.34)

ˆ

u(L) = ˆu2 = C1e−ikL+ C2, (4.35)

Em que ˆu1 e ˆu2 são os deslocamentos nos nós 1 e 2, respectivamente. O deslocamento em

qualquer ponto da barra é obtido multiplicando-os pelas funções de forma ˆg1e ˆg2

ˆ

u(x) = ˆg1(x)ˆu1(x) + ˆg2(x)ˆu2(x) (4.36)

onde, ˆg1(x) e ˆg2(x) são as funções de forma do elemento espectral de barra dadas por,

ˆ g1(x) = e−_ikx − e−_ik(2L−x) 1 − e−_i2kL , (4.37) ˆ g2(x) = −e −_ik(L+x) + e−_ik(L−x) 1 − e−_i2kL . (4.38)

As forças nodais são obtidas substituindo-se a Equação (4.36) na Equação (4.3), temos então, ˆ

F (x) = AE[ˆg0

1(x)ˆu1+ ˆg 0

(47)

4.2. FORMULAÇÃO DO ELEMENTO ESPECTRAL 47 as forças em cada nó do elemento espectral de barra estão relacionadas com o deslocamento da seguinte forma: ˆ F1 = − ˆF (0) = −AE[ˆg10(0)û1+ ˆg02(0)û2], (4.40) ˆ F2 = ˆF (L) = AE[ˆg 0 1(L)û1+ ˆg 0 2(L)û2]. (4.41)

Usando as Equações (4.34), (4.35), (4.40) e (4.41), obtém-se a Matriz de Rigidez Dinâmica de um elemento espectral de barra elementar com dois nós que é igual a [K]:

( ˆ_F₁ ˆ F2 ) = EA L ikL (1 − e−_i2kL₎ " 1 + e−i2kL −2e−ikL

−2e−ikL _{1 + e}−i2kL

# | {z } K ( ˆ u1 ˆ u2 ) (4.42)

Na Figura 4.3 é ilustrado o fluxograma dos cálculos necessários para a análise do fenômeno de propagação de ondas em uma estrutura unidimensional através do método WSFEM, pode no-tar a semelhança entre o WSFEM e o método dos elementos finitos- MEF no que diz respeito a montagem do sistema de equações. As respostas no domínio do tempo para o método WSFEM são obtidas através da aplicação da transformada wavelet inversa.

m n o p qr s t u p v w u p txv y s u o z {u p t o tp w u v p | y v } {~ p q x v p y p t u p t p s s w v s ~ | v m t y s u o z {u p t tx v p v | p u p t s tp v | p~ sw v s {v p y p t u p s p o v s v y s t m t u s tp v | p u p t tx v y s tv {u pt v w p s ~ u p p y {z u s { {u s z {w ~ { p v o q xv u v t{ts ~ p t{~ {p y p v m s t| v tp t w v u v ~ w {v u v s ~ | v tx v v {u p t u s | v {t u p p | { p q xv u p y pw t v y ~ p u p p s s {w s y tp w ¡ ~ s y v t u s v w u p

(48)

4.3. MODELO DO ELEMENTO ESPECTRAL SEMI-INFINITO PARA BARRA 48

4.3 Modelo do Elemento Espectral Semi-Infinito para Barra

A rigidez dinâmica para um elemento espectral do tipo barra semi-infinito é conhecida como elemento “throwoff”, este modelo pode ser obtido a partir da consideração de que não existem reflexões na extremidade infinita do elemento espectral elementar, (Pereira, 2009). Na Figura 4.4 é exemplificado um modelo para o elemento espectral semi-infinito.

Figura 4.4: Modelo Elemento espectral de barra semi-infinito

De acordo com a teoria, para esse elemento não existem reflexões em uma das extremidades do elemento, aqui nesse caso não haverá reflexão no nó 2 do elemento, desta forma o termo C2na

Equação (4.33) torna-se igual a zero, C2= 0, logo:

ˆ

u(x) = C1e −_ikx

(4.43)

A constante C1pode ser obtida a partir da condição de contorno do deslocamento nodal:

ˆ

u(0) = ˆu1= C1 (4.44)

A partir da Equação (4.44), o deslocamento em qualquer ponto na barra semi-infinita pode ser obtido através de:

ˆ

u(x) = ˆg1(x)ˆu1(x) (4.45)

(49)

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 49

ˆ

g1(x) = e −_ikx

(4.46)

Assim a relação entre a força e o deslocamento nodal é representada por:

ˆ

F1 = ikEcAˆu1 (4.47)

em que o termo ikEcA representa a rigidez dinâmica do elemento espectral semi-infinito,

tendo como base o modelo elementar.

4.4 Elemento Espectral de Barra com Trinca

O modelo do elemento espectral de barra com uma trinca transversal não propagante em uma determinada posição ao longo do elemento que será usado neste trabalho foi apresentado por (Palacz, 2002). O elemento contém dois nós com um grau de liberdade de deslocamento por nó, comprimento L, área da secção transversal A, a posição da trinca em relação ao nó 1 é igual a L1e

a profundidade da trinca é expressa por a, como pode ser observado na Figura 4.5.

ොݑଵ ෠ܨଵ ොݑଶ ෠ܨଶ ܮଵ ܮ ܽ ݔ ݕ ͳ ʹ

Figura 4.5: Elemento espectral de barra com trinca.

A solucão homogênea da Equação (4.33) pode ser re-escrita em duas partes, uma à esquerda da trinca, ˆu(x)E _{e outra à direita da trinca, ˆu(x)}D_.

(50)

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 50 ˆ u(x)E = C1e −_ikx + C2e −_ik(L₁−_x) para [0 6 x 6 L1] (4.48) ˆ

u(x)D = C3e−ik(x+L1)+ C4e−ik(L−(L1+x)) para 0 6 x 6 (L − L1) (4.49)

em que, C1, C2, C3 e C4 são constantes determinadas a partir das condições de contorno e

de compatibilidade dos deslocamentos e forças no elemento. As condições de contorno podem ser escritas como:

Para o nó 1, coloca-se, x = 0 na Equação (4.48) e obtém-se o deslocamento:

ˆ

u(0)E = ˆu1 (4.50)

Para o nó 2, coloca-se, x = L − L1 na Equação (4.49) e obtém-se o deslocamento:

ˆ

u(L − L1)D = ˆu2 (4.51)

As condições de compatibilidade na posição da trinca podem ser determinadas em função do comportamento dos deslocamentos na região trincada. A Figura 4.6 mostra um detalhe da secção transversal da barra na região trincada onde observa-se que existem duas áreas bem definidas, uma onde a trinca foi propagada e outra que permanece saudável. Considerando-se que a largura da barra, b, é constante, a variacão destas áreas será função da variação da profundidade da trinca, a, na direção y. Como pode-se notar os deslocamentos na região da trinca são diferentes quando comparados com os deslocamentos da barra saudável.

Da Figura 4.6 pode-se notar que para a área da secção transversal da barra saudável os des-locamentos nos lados esquerdo e direito da posição da trinca são iguais em módulo, a partir disso as correspondentes deformações são obtidas através de:

∂ ˆu(x = L1)E

∂x =

∂ ˆu(x = 0)D

(51)

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 51 ܾ ݄ ݀ܽ ܽ ݖ ݕ ðሺݔሻா _ðሺݔሻ஽ ݕ ݔ ܽ

Figura 4.6: Detalhe da trinca e seção transversal do local da trinca.

Entretando, na área da secção transversal da barra trincada os deslocamentos nos lados es-querdo e direito na posicão da trinca são diferentes. Então, essa diferença pode ser expressa como:

∆û = û(x = L1)E− û(x = 0)D (4.53)

Sabendo-se que:

∆ˆu = c ˆF (4.54)

onde, c é a flexibilidade local provocada pelo aparecimento da trinca. Substituindo-se a Equa-ção (4.3) na EquaEqua-ção (4.54), obtém-se:

∆ˆu = cEA∂ ˆu

∂x (4.55)

(52)

∆ˆu = θ∂ ˆu

∂x (4.56)

Substituindo-se a Equação (4.56) na Equação (4.53), encontra-se:

ˆ

u(L1)E− ˆu(0)D = θ

∂ ˆu

∂x (4.57)

Mas, é preciso definir ainda a variável θ em função da flexibilidade local c. O detalhamento dessa definição será abordado na secção Flexibilidade da Trinca.

Portanto, substituindo-se as Equações (4.50), (4.51), (4.52) e (4.57) nas Equações (4.48) e (4.49) e escrevendo as constantes em função dos deslocamentos na forma matricial tem-se que:

      1 e−_ikL₁ 0 0

(ikθ − 1)e−_ikL₁

(−1 − ikθ) e−_ikL₁ e−_ik(L−L₁₎ −ike−_ikL₁ ik ike−_ikL₁ −ike−_ik(L−L₁₎ 0 0 e−_ikL 1       | {z } D            C1 C2 C3 C4            =            ˆ u1 0 0 ˆ u2            (4.58)

A partir da obtenção da inversa da matriz D, podemos obter as constantes C1, C2, C3 e C4

em função dos deslocamentos nodais:

           C1 = D −₁ 11uˆ1+ D −₁ 14uˆ2 C2 = D −₁ 21uˆ1+ D −₁ 24uˆ2 C3 = D −₁ 31uˆ1+ D −₁ 34uˆ2 C4 = D41−1uˆ1+ D−441uˆ2 (4.59) em que D−₁

ij são os elementos da matriz D −₁_.

As forças nodais do elemento espectral de barra trincado são ˆF1 = ˆF (x = 0) e ˆF2 = ˆF (x =

(53)

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 53 ( ˆ_F₁ ˆ F2 ) = EcA " ik −ike−_ikL₁ 0 0 0 0 _−ike−_ikL ik # | {z } M            C1 C2 C3 C4            (4.60)

Substituindo as constantes C1, C2, C3e C4na Equação (4.60), temos:

( ˆ_F₁ ˆ F2 ) = ˆKT ( ˆ u1 ˆ u2 ) (4.61)

em que, ˆKT é nomeada como a Matriz de Rigidez Dinâmica para o elemento espectral de

barra trincado com dois nós. Podemos obter essa matriz a partir da Equação (4.58) e (4.60) ela é expressa como:

ˆ KT =

 

e−ik(L+2L1)_k(_e2ikL_(−i)kθ+e4ikL1_ikθ+e2ik(L+L1)_(ikθ+2)+e2ikL1_(2−ikθ))

2(kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL)) −kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L2k 1)))+2 sin(kL) − 2k kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL) −k(kθ(sin(kL)+sin(k(L−2L1)))−2 cos(kL)) kθ(cos(kL)+cos(k(L−2L1)))+2 sin(kL) # (4.62) O deslocamento em um ponto qualquer do elemento de barra pode ser obtido através da relação da Equação (4.59) com as Equações (4.48) e (4.49) e pode ser escrita como:

ˆ u(x)E = (D−₁ 11uˆ1+ D −₁ 14uˆ2)e −_ikx + (D−₁ 21uˆ1+ D −₁ 24uˆ2)e −_ik(L₁−_x) _(4.63) ˆ u(x)D = (D−₁ 31uˆ1+ D −₁ 34uˆ2)e −_ik(x+L₁₎ + (D−₁ 41uˆ1+ D −₁ 44uˆ2)e −_ik(L−(L₁_+x)) _(4.64)

sendo que ˆu(x)E_{vale para o intervalo x 6 L}

(54)

4.4.1 Flexibilidade da Trinca

A flexibilidade c na posição da trinca, para um elemento espectral de barra pode ser encon-trado aplicando o teorema de Castigliano (Tada, 2000):

cij =

∂2_U

∂Si∂Sj

(4.65)

em que U descreve a energia de deformação elástica do elemento, proporcionado pela pre-sença da trinca e S descreve as independentes forças nodais que atuam no elemento.

Um trinca pode ser submetida a três modos básicos de carregamento como mostra a Figura 4.7, denominados por modo I, II e III. O modo I é denominado trinca de tração normal, o modo II é denominado trinca de cisalhamento plano e o modo III trinca de cisalhamento antiplano. A superposição destes três modos básicos de abertura de trinca é suficiente para caracterizar qualquer caso de deslocamento de superfície de trinca

Figura 4.7: Modos fundamentais de deslocamento na superfícies da trinca (Pereira, 2009). A energia de deformação elástica devido à presença da trinca pode ser escrita da seguinte maneira: U = 1 E Z Ac K_I2dAc (4.66)

onde Ac representa a área da trinca e KI denota o valor do fator de intensidade de tensão,

(55)

4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 55 O fator de intensidade de tensão é definido como:

KI = F bh p πAcf a h (4.67)

em que b e h são a base e altura da secção transversal da barra, respectivamente, e f!a h é

uma função de correção definida no trabalho do (Tada, 2000). Essa função pode ser expressa da seguinte maneira: f a h = s tan(πa/2h) πa/2h 0,725 + 2,02(a/h) + 0,37[1 − sin(πa/2h)]3 cos(πa/2h) (4.68)

Das Equações (4.65), (4.66) e (4.67) é obtida a flexibilidade do elemento que pode ser escrita como: c = 2π Eb Z a 0 αf (α)2dα (4.69)

onde α é a profundidade da trinca relativa definida como α = a/h. Com isso, a partir do valor de θ = cEcA, podemos obter o valor de θ para a teoria elementar de barra que fica definido

como:

θ = 2πh Z a

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