4.4 Elemento Espectral de Barra com Trinca
4.4.1 Flexibilidade da Trinca
A flexibilidade c na posição da trinca, para um elemento espectral de barra pode ser encon- trado aplicando o teorema de Castigliano (Tada, 2000):
cij =
∂2U
∂Si∂Sj
(4.65)
em que U descreve a energia de deformação elástica do elemento, proporcionado pela pre- sença da trinca e S descreve as independentes forças nodais que atuam no elemento.
Um trinca pode ser submetida a três modos básicos de carregamento como mostra a Figura 4.7, denominados por modo I, II e III. O modo I é denominado trinca de tração normal, o modo II é denominado trinca de cisalhamento plano e o modo III trinca de cisalhamento antiplano. A superposição destes três modos básicos de abertura de trinca é suficiente para caracterizar qualquer caso de deslocamento de superfície de trinca
Figura 4.7: Modos fundamentais de deslocamento na superfícies da trinca (Pereira, 2009). A energia de deformação elástica devido à presença da trinca pode ser escrita da seguinte maneira: U = 1 E Z Ac KI2dAc (4.66)
onde Ac representa a área da trinca e KI denota o valor do fator de intensidade de tensão,
4.4. ELEMENTO ESPECTRAL DE BARRA COM TRINCA 55 O fator de intensidade de tensão é definido como:
KI = F bh p πAcf a h (4.67)
em que b e h são a base e altura da secção transversal da barra, respectivamente, e f!a h é
uma função de correção definida no trabalho do (Tada, 2000). Essa função pode ser expressa da seguinte maneira: f a h = s tan(πa/2h) πa/2h 0,725 + 2,02(a/h) + 0,37[1 − sin(πa/2h)]3 cos(πa/2h) (4.68)
Das Equações (4.65), (4.66) e (4.67) é obtida a flexibilidade do elemento que pode ser escrita como: c = 2π Eb Z a 0 αf (α)2dα (4.69)
onde α é a profundidade da trinca relativa definida como α = a/h. Com isso, a partir do valor de θ = cEcA, podemos obter o valor de θ para a teoria elementar de barra que fica definido
como:
θ = 2πh Z a
0
CAPÍTULO 5. RESULTADOS SIMULADOS 56
5 RESULTADOS SIMULADOS
Para as simulações numéricas foi considerada uma barra saudável com comprimento de L = 3 m, altura h = 0,02 m e largura b = 0,02 m e uma barra com uma trinca na posição L1 =
1,5 m com as mesmas propriedades da barra saudável. As propriedades do material da barra são: módulo de elasticidade, E = 210 GPa; densidade, ρ = 7850 kg/m3; e fator de amortecimento
histerético, η = 0,01. Neste trabalho é introduzido um termo de amortecimento através da aplicação de um módulo de elasticidade complexo, Ec = E(1 + iη), onde η é o fator de perda para um
amortecimento estrutural interno histerético. As respostas foram analisadas na faixa de frequências de [0,fnyq], levando em consideração a discretização temporal. Todos os códigos computacionais
foram desenvolvidos em Matlab.
5.1 Barra Elementar
Para a validação dos programas elaborados, foi primeiramente feita uma análise para o nú- mero de onda para a barra saudável. Os métodos SEM e WSFEM foram implementados para uma barra elementar, foi usada a wavelet de Daubechies com ordens iguais a N = 6 e N = 22 para o método WSFEM, os resultados foram comparados para quatro diferentes discretizações no tempo, as discretizações usadas foram iguais a ∆t = 1µs, ∆t = 2µs, ∆t = 4µs e ∆t = 8µs. Para cada discretização a frequência de Nyquist é igual a (fnyq = 500 kHz), (fnyq = 250 kHz), (fnyq = 125
kHz) e (fnyq = 62,5 kHz). A banda de frequência usada foi [0 : fnyq = 1/2∆t]. O comportamento
do número de onda adimensional para cada discretização temporal é ilustrado nas Figuras 5.2, 5.4, 5.6 e 5.8. Em cada Figura é feita uma comparação entre os resultados obtidos através dos métodos SEM e WSFEM, também é comparado os resultados com o valores obtidos no artigo de (Mitra, 2006a), nota-se em cada caso que existe uma porcentagem pN em que os dois métodos têm os
mesmos valores, essa porcentagem pN muda assim que aumentamos a ordem da wavelet usada,
ou seja, pN varia apenas com a ordem da wavelet aplicada N. Verifica-se para o primeiro caso
que, para ordem da wavelet N = 6 a correspondência entre os métodos é igual a pN = 36% já
para a ordem da wavelet N = 22 essa porcentagem aumenta significamente para pN = 60%, isso
significa que para N = 6 os métodos WSFEM e SEM calculam resultados praticamente iguais até a frequência de 180kHz, já para N = 22 os resultados convergem até a frequência de 300kHz. Esta limitação resulta da perda da resolução em frequência devido à melhoria na resolução do tempo em análise wavelet, onde as funções de base são limitadas no tempo e frequência. Na Figura 5.10 é feita uma comparação entre os valores da frequência circular ωj, que é a base para aplicação do método
5.1. BARRA ELEMENTAR 57 que usa a trasformada de Fourier, SEM, e as frequências calculadas pelo método WSFEM, cujo valores são encontrados através da Equação (4.24), este estudo também ajuda a determinar a taxa de amostragem exigida, dependendo do conteúdo da força de excitação e da ordem da wavelet base.
Figura 5.1: Número de onda adimensional para amostragem de 1µs, (Mitra, 2006a).
5.1. BARRA ELEMENTAR 58
Figura 5.3: Número de onda adimensional para amostragem de 2µs, (Mitra, 2006a).
5.1. BARRA ELEMENTAR 59
Figura 5.5: Número de onda adimensional para amostragem de 4µs, (Mitra, 2006a).
5.1. BARRA ELEMENTAR 60
Figura 5.7: Número de onda adimensional para amostragem de 8µs, (MITRA, 2006a).
5.1. BARRA ELEMENTAR 61
Figura 5.9: Comparação entre ωje λj, (MITRA, 2006a).
5.1. BARRA ELEMENTAR 62 Após a análise feita para o número de onda comparando os dois métodos estudados neste trabalho, foi feita a análise da propagação de ondas em uma barra isotrópica saudável e outra barra com trinca, visando a detecção da trinca através dos métodos propostos. A barra saudável é modelada com um elemento espectral de barra elementar de dois nós conectada a um elemento de barra semi-infinito Figura 5.11a e a barra trincada é modelada com um elemento espectral com trinca de dois nós conectada a um elemento espectral semi-infinito Figura 5.11b.
ܮ ݔ ݕ ܮ ොݑଵ ොݑଶ ܮଵ ܽ ͳ ʹ ොݑଵ ܨ ොݑଶ ͳ ʹ ܨ
Figura 5.11: Modelo das estruturas simuladas: (a) Barra saudável ; (b) Barra trincada. Os dois modelos foram excitados no nó 2, os deslocamentos, velocidades e acelerações foram obtidos para os dois nós, a Figura 5.12 ilustra a aplicação da força de excitação.Ambas estruturas são simuladas para condição de contorno livre-livre.
Figura 5.12: Ilustração da aplicação da Força de excitação no guia de onda.
A força de excitação é uma onda senoidal com frequência igual a 40 kHz que foi modulada por uma janela do tipo Hanning, na literatura esse tipo de sinal se denomeia como um sinal tone burst. Na Figura 5.13 é mostrada uma senóide e a janela do tipo Hanning que é aplicada no sinal.
5.1. BARRA ELEMENTAR 63
(a) Sinal senoidal (b) Janela de hanning aplicada
Figura 5.13: Onda senoidal com frequência de 40 kHz e a janela hanning aplicada.
Na Figura 5.14 é ilustrado o sinal tone burst obtido, esse é o sinal que irá ser aplicado ao guia de onda, também é apresentada a transformada de fourier do sinal, sinal esse que é usado na formu- lação dos elementos espectrais (SEM), para a o método WSFEM o sinal janelado é transformado através da transformada wavelet. A transformada wavelet pode ser uma alternativa em relação à transformada de Fourier para a transformação dos sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência .
(a) Sinal janelado (b) Sinal no domínio da frequência
Figura 5.14: Sinal de excitação tone burst de 40 kHz e sua representação na frequência. Na Figura 5.15a é ilustrada a aceleração obtida para o nó 1 da barra saudável, obtida através da excitação no nó 2, aqui não foi considerado o elemento semi infinito conectado no nó 2, nota-se fazendo um zoom na reflexão, observado na Figura 5.15b, que para o método WSFEM com N = 22 os resultados são mais precisos que quando calculados para a ordem N = 6, ou seja, quanto maior a ordem da wavelet mais os resultados convergem para os resultados encontrados através do método SEM, a partir dessa análise vão ser considerados para os posteriores cálculos somente os resultados calculados fazendo-se a ordem da wavelet de Daubechies igual a N = 22. A escolha da ordem N das wavelets de Daubechies para uso neste trabalho foi baseada nas pesquisas de (Mitra, 2010)
5.1. BARRA ELEMENTAR 64 onde o autor desenvolveu o método -WSFEM, através da aplicação das waveletes de Daubechies com ordens iguais a N = 6 e N = 22, com isso, pode-se comparar os resultados deste trabalho com as pesquisas já implementadas. A formulação para o SEM periódico desenvolvida neste trabalho pode ser encontrada em (Doyle, 1989), ela é bastante semelhante a formulação do WSFEM, a semelhança entre os dois métodos pode ser notada nos resultados encontrados.
(a)
(b)
Figura 5.15: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra a) Aceleração para o nó 1 barra saudável b) Zoom feito na reflexão.
Na Figura 5.16 é feita a comparação para as acelerações obtidas no nó 2 para os dois métodos, aqui já com o elemento semi-infinito conectado ao nó 2, através da aplicação da força de excitação do tipo tone burst no nó 2, observa-se que os resultados são bem semelhantes. A Figura 5.16a mostra a resposta para o modelo de estrutura saudável, o primeiro pulso se refere à força de excitação e o segundo pulso é devido à reflexão da onda na extremidade esquerda da barra, ou seja, no nó 1. A
5.1. BARRA ELEMENTAR 65 Figura 5.16b mostra a resposta para o modelo de estrutura com trinca de 40% da altura h. Nota-se claramente um primeiro pulso que é devido a força de excitação, em seguida surge um segundo pulso, este devido à presença da trinca na estrutura, o terceiro pulso é devido à reflexão no nó 1 e o quarto pulso é também devido à presença da trinca que está localizada no centro da barra, a diminuição da amplitude se deve ao amortecimento do material que neste trabalho é, η = 0,01.
(a) Acelerações para o nó 2 para barra saudável.
(b) Acelerações para o nó 2 para barra com trinca.
Figura 5.16: Respostas obtidas no nó 2 para a força de excitação descrita. a) estrutura saudável b) estrutura trincada.
Foi observado que mesmo com a implementação do método- WSFEM para o estudo do fenômeno de propagação de ondas em uma barra, as respostas encontradas apresentavam algumas características das respostas obtidas através da aplicação do método SEM que usa a transformada de Fourier e que possui como uma de suas características a periodicidade, pode-se notar na Figura 5.17 que as respostas obtidas para as acelerações apresentam o fenômeno de "desdobramento", ou seja, uma parte do final do sinal onde está o terceiro pulso que está representado pela cor azul é deslocada para o inicio do sinal e junta-se ao primeiro pulso, este resultado mostra que ainda existe algumas características do método WSFEM que não foram encontradas neste trabalho, sendo esse
5.1. BARRA ELEMENTAR 66 uma característica relevante para a elaboração de pesquisas futuras na área. Esse fenômeno não deveria acontecer quando se usa o método WSFEM, pois, as wavelets possuem propriedades como a não periodicidade que eliminariam o problema de periodicidade que a transformada de Fourier apresenta.
(a) Acelerações para barra SEM.
(b) Acelerações para barra WSFEM N = 6.
(c) Acelerações para barra WSFEM N = 22.
Figura 5.17: Respostas em aceleração com desdobramento de parte do sinal para o inicio. a) SEM b) WSFEM com N = 6 c) WSFEM com N = 22.
5.1. BARRA ELEMENTAR 67 Foi feita uma comparação entre as respostas das estruturas saudáveis e com trinca, para trin- cas com 30% e 40% da altura h da secção tranversal da barra, com a finalidade de analisar a in- fluência do crescimento do dano na estrutura analisada por meio da propagação de ondas elásticas, notou-se que quando menor a trinca menores serão os movimentos de reflexão representados em suas amplitudes. A Figura 5.18 ilustra as acelerações obtidas no nós 1 e 2 da estrutura saudável através do WSFEM, o primeiro pulso em azul, refere-se ao sinal de excitação aplicado na estrutura, o segundo pulso em vermelho representa a resposta no nó 1, percebe-se que este sinal não sofre reflexão devido à presença do elemento semi-infinito conectado ao nó 2.
(a)
(b)
(c)
Figura 5.18: Respostas em aceleração obtidas através da excitação Tone Busrt aplicada. a) Estrutura saudável, b) Estrutura com trinca de 30%, c) Estrutura com trinca de 40%.
5.1. BARRA ELEMENTAR 68 É possível, conhecendo-se a velocidade de propagação da onda e as possíveis mudan- ças na sua forma de propagação, determinar a posição da trinca na barra. Uma possibilidade é interpolando-se a resposta ao longo do comprimento da estrutura para diferentes instantes de tempo. Nas Figuras 5.19, 5.20 e 5.21 são ilustradas as respostas para as acelerações da estrutura saudável e da estrutura com trinca, para as trincas localizadas nas posições 0,75m, 1,5m e 2,1m, respecti- vamente, onde as respostas foram calculadas nos nós 1 e 2 do elemento e em seguida interpoladas ao longo do comprimento do mesmo, é possível observar que o sinal refletido da trinca é absorvido pelo elemento semi-infinito evitando posteriores reflexões, foi usanda uma discretização espacial de 0,01m, quando a onda se propaga pela estrutura e passa pelo localização da trinca a mesma é refletida, foram implementadas as animações gráficas para localizar a trinca na estrutura, onde fica mais fácil a visualização exata do momento da reflexão na trinca.
(a)
(b)
Figura 5.19: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b) Estrutura com trinca em 0,75m
5.1. BARRA ELEMENTAR 69
(a)
(b)
Figura 5.20: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b) Estrutura com trinca em 1,5m
Para medir o tempo exato em que ocorre a identificação da presença da trinca basta utilizar a velocidade de propagação da onda elástica na barra. Lucena (2015) faz um estudo para detecção de danos em barras usando o método do tempo reverso, onde ele aplica o método dos elementos espectrais para propagação de ondas e encontra resultados similares a este trabalho, sendo que neste trabalho o fenômeno de propagação de ondas foi modelado através do método WSFEM.
5.1. BARRA ELEMENTAR 70
(a)
(b)
Figura 5.21: Respostas em aceleração obtidas ao longo da barra. a) Estrutura saudável, b) Estrutura com trinca em 2,1m
Na Figura 5.22 são plotadas as FRFs de receptância para o método (SEM) e o método (WS- FEM), foi usada uma discretização igual a ∆f = 10, as ordens da função wavelet analisadas foram
iguais a N = 6 e N = 22, percebe-se que existe uma certa porcentagem pNem que os dois métodos
têm os mesmos valores, essa porcentagem pN muda assim que aumentamos a ordem da wavelet
usada, ou seja, pN varia apenas com a ordem da wavelet aplicada N. Verifica-se para o primeiro
caso que, para ordem da wavelet N = 6 a correspondência entre os métodos é igual a pN = 36%
já para a ordem da wavelet N = 22 essa porcentagem aumenta significamente para pN = 60%,
5.1. BARRA ELEMENTAR 71 até a frequência de 1800Hz, já para N = 22 os resultados convergem até a frequência de 3000Hz, essas porcentagens são semelhantes aquelas encontradas para os números de onda.
CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 72
6 CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS
Neste trabalho foi formulado e avaliado o Método dos Elementos Espectrais usando a Trans- formada Wavelet (WSFEM) para o estudo do fenômeno de propagação de ondas em uma barra elementar saudável e em uma barra com trinca, foi feita a detecção da imperfeição estrutural atra- vés das observações das reflexões devido à presença da trinca nas respostas das acelerações obtidas. A trinca foi modelada no centro da barra.
Tanto a barra saudável como a barra com trinca foram modeladas com um elemento semi- infinito acoplado ao nó 2 da estrutura.
Uma das diferenças entre o método SEM e o método WSFEM é que o método WSFEM faz uso da transformada wavelet para reduzir as equações diferenciais parciais para as equações diferenciais ordinárias.
O método dos elementos finitos envolve um grande número de elementos para a solução de propagação de ondas em médias e altas frequências ao passo que o métodos WSFEM e SEM envolvem apenas um único elemento espectral para a solução do mesmo problema.
Foram obtidos os deslocamentos e as acelerações para uma barra elementar saudável e para uma barra com trinca em que foi aplicada uma força de excitação do tipo tone burst, os resultados foram calculados no dominio do tempo e no dominio da frequência, para o método do elemento espectral(SEM) foi usada a transformada de Fourier para a transformação de domínio, já para o mé- todo (WSFEM) foi usada a transformada wavelet, com as wavelets de Daubechies sendo escolhidas devido as suas propriedades, notou-se que os resultados são semelhantes.
Os procedimentos propostos e verificados neste trabalho foram desenvolvidos e simulados em um código numérico implementados em ambiente Matlab.
A validação dos programas elaborados foi realizada através da comparação dos resultatos com a literatura encontrada.
Como sugestão para continuidade deste trabalho sugerem-se:
CAPÍTULO 6. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS 73 mais complexos;
◦ Modelar estruturas com características compósitas, com diversas imperfeições estruturais para a aplicação no estudo da integridade estrutural das estruturas;
◦ Avaliar a aplicação dos métodos WSFEM em guias de onda com características de metama- teriais fotônicos, fonônicos e em nanomateriais.
CAPÍTULO 7. PUBLICAÇÕES GERADAS NESTE TRABALHO 74
7 PUBLICAÇÕES GERADAS NESTE TRABALHO
Artigo aceito para publicação em anais de congresso:
Cantanhêde, H. V., Dos Santos, J. M. C., "Wave propagation in a one-dimensional struc- ture using wavelet spectral finite element", 23rd ABCM International Congress of Mechanical Engineering - COBEM, 06-11 december, Rio de Janeiro - Brazil, 2015.
Referências 75
Referências
BEYLKIN, G. On the representation of operators in bases of compactly supported wavelets. SIAM Journal on Numerical Analysis, v. 29, n. 6, 1716–1740, 1992.
BREBBIA, C. E DOMINGUEZ, J. Boundary elements: an introductory course. WIT press, 1996.
BURGOS, R. Análise de Estruturas Utilizando Wavelets de Daubechies e Interpolets de Deslauriers-Dubuc. 2009. Tese (Doutorado). PUC-Rio.
CASTRO, L. Wavelets e séries de walsh em elementos finitos. Doutoramento em Engenharia Civil, Universidade Técnica de Lisboa, Instituto Superior Técnico, Lisboa, 1996.
CHUI, C. An introduction to wavelets, v. 1. Academic press, 2014.
DAUBECHIES, I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Communications on pure and applied mathematics, v. 41, n. 7, 909–996, 1988.
DAVIS, P. Interpolation and approximation. Courier Corporation, 1975.
DESLAURIERS, D. Symmetric iterative interpolation processes. In Constructive approximation, pp. 49–68. Springer, 1989.
DOYLE, J. Wave propagation in structures. Springer, 1989.
GRAPS, A. An introduction to wavelets. Computational Science & Engineering, IEEE, v. 2, n. 2, 50–61, 1995.
Referências 76 GROSSMANN, A. E MORLET, J. Decomposition of hardy functions into square integrable wa- velets of constant shape. SIAM journal on mathematical analysis, v. 15, n. 4, 723–736, 1984. JHA, R. Wavelet Spectral Finite Elements for Wave Propagation in Composite Plates. 2012. JONES, S. E LEGRAND, M. The wavelet-galerkin method for solving pde’s with spatially depen- dent variables. In 19th International Congress on Sound and Vibration (ICSV19), pp. R33– numerical. 2012.
LATTO, R. E TENENBAUM, E. The evaluation of connection coefficients of compactly supported wavelets. In Proceedings of the French-USA Workshop on Wavelets and Turbulence, pp. 76– 89. NY: Springer-Verlag, 1991.
LOTFOLLAHI, Y. E HESARI, M. Using wavelet analysis in crack detection at the arch concrete dam under frequency analysis with fem. World Applied Sciences Journal, v. 3, n. 4, 691–704, 2008.
LUCENA, R. Detecção de Danos em Barras Usando Propagação de Ondas e Tempo Reverso. Dissertação (Mestrado). Universidade Estadual de Campinas, Campinas., 2015.
MALLIKARJUN, B. Response of extended Euler-Bernoulli beam under impulse load using Wavelet Spectral Finite Element Method. 2012. Tese (Doutorado). NATIONAL INSTITUTE OF TECHNOLOGY, ROURKELA.
MALTTAT, G. A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation. Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on, v. 11, n. 7, 674–693, 1989. MEYER, Y. Opérateurs de Calderón-Zygmund, v. 11. Hermann Paris, 1990.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Spectrally formulated wavelet finite element for wave propagation and impact force identification in connected 1-d waveguides. International journal of solids and structures, v. 42, n. 16, 4695–4721, 2005.
Referências 77 MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Extraction of wave characteristics from wavelet-based spectral finite element formulation. Mechanical Systems and Signal Processing, v. 20, n. 8, 2046–2079, 2006a.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wavelet based spectral finite element for analysis of coupled wave propagation in higher order composite beams. Composite structures, v. 73, n. 3, 263–277, 2006b.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wavelet based 2-d spectral finite element formulation for wave propagation analysis in isotropic plates. Computer Modeling in Engineering and Sciences, v. 15, n. 1, 49, 2006c.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wavelet based spectral finite element modelling and de- tection of de-lamination in composite beams. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science, v. 462, n. 2070, 1721–1740, 2006d.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wavelet spectral element for wave propagation studies in pressure loaded axisymmetric cylinders. Journal of Mechanics of Materials and Structures, v. 2, n. 4, 753–772, 2007.
MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wave propagation analysis in anisotropic plate using wavelet spectral element approach. Journal of Applied Mechanics, v. 75, n. 1, 14504, 2008. MITRA, M. E GOPALAKRISHNAN, S. Wavelet methods for dynamical problems. 2010.
PAHLAVAN, L. A 2d wavelet-based spectral finite element method for elastic wave propagation. Philosophical Magazine, v. 92, n. 28-30, 3699–3722, 2012.
PALACZ, M. E KRAWCZUK, M. Analysis of longitudinal wave propagation in a cracked rod by the spectral element method. Computers & structures, v. 80, n. 24, 1809–1816, 2002.
PEREIRA, F. Propagação de ondas e detecção de danos com modelos de barra de alta ordem pelo método do elemento espectral. Dissertação (Mestrado). Universidade Estadual de Campinas,
Referências 78 Campinas., 2009.
PETYT, M. Introduction to finite element vibration analysis. Cambridge university press, 2010. REGINSKA, T. E ELD, L. Solving the sideways heat equation by a wavelet-galerkin method. Inverse Problems, v. 13, n. 4, 1093, 1997.
SAMARATUNGA, D. E JHA, R. Wave propagation analysis in laminated composite plates with transverse cracks using the wavelet spectral finite element method. Finite Elements in Analysis and Design, v. 89, 19–32, 2014.
STRIKWERDA, J. Finite difference schemes and partial differential equations. Siam, 1989. TADA, H. E PARIS, P. The analysis of cracks handbook. New York: ASME Press, 2000.