EEL105 Analise Circuitos Engenharia Modulo 5

Universidade Federal de Itajubá

Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação Engenharia de Controle e Automação - ECA

EEL105 - Circuitos Elétricos I

Módulo 5

Teoremas:

Superposição, Máxima Transferência de Potência, Tellegen, Thèvenin, Norton, Millman e Miller

Consequências da Linearidade: Homogeneidade

Sabemos que todo circuito composto de fontes independentes, fontes controladas lineares e elementos passivos lineares é linear. Vimos que um sistema linear é aquele

que obedece aos princípios da homogeneidade e da superposição. De acordo com o primeiro, se o valor da fonte for multiplicado pela constante k, a resposta também

será multiplicada pelo mesmo valor k. Vamos ilustrar como o princípio da

homogeneidade pode ser aplicado, com vantagem, na solução de circuitos contendo uma única fonte independente.

Vejamos através de um exemplo: Determine v_x quando v_i =5[V] no circuito ilustrado a

seguir calculando primeiramente a tensão da fonte necessária para produzir uma tensão de saída v_x = 3[V].   4 6 10[V] 2i v v KVL): Kirchhoff( 3[A] 2 1 i i i KCL) Kirchhoff( 2[A] 2 4 i Ohm: de Lei 4[V] 1 3 1i v v KVL): Kirchhoff( 1[A] i 3i 3V v Ohm: de Lei Ohm de Lei 1 y i 2 0 1 2 Ohm de Lei 0 x y 0 0 x                      2 2 3 1

v

_i

_v

y

v

_x

+

_

+

_

i

1

i

0

i

2

3

Consequências da Linearidade: Homogeneidade

Mas o valor dado da fonte de tensão foi v

_i

=5[V]. Então, se a entrada v

_i

for

multiplicada por k=½, todas as outras tensões e correntes do circuito serão

multiplicadas pela mesma constante k=1/2. Logo, para v

_i

=5[V] (=10.½), v

_x

=

3.½=1,5[V]. Na prática, os cálculos apresentados no slide anterior são tão

simples que não precisam ser escritos e podem ser indicados sobre o circuito.

E o valor atribuído à v

_x

poderia ser qualquer outro diferente de 3[V], pois ele

é arbitrário.

Os circuitos ilustrados nos slides 2 e 3 são exemplos dos chamados circuitos em cascata, que são facilmente resolvidos pelo método da homogeneidade.

Determinar v

_x

e i

₁ 2 14 5 1

2V

_v

x

+

_ 2 3

i

₁

Teorema da Superposição

―

A resposta de um circuito linear a várias fontes independentes é a soma

das respostas a cada fonte independente com as fontes independentes

restantes em repouso

.”

A resposta total será a soma das respostas individuais

Na interpretação deste teorema temos que lembrar: uma fonte em repouso é

uma fonte de valor zero e que fontes de tensão e de corrente em repouso são

equivalentes, respectivamente, a curto-circuitos e a circuitos abertos. É

necessário observar também que o teorema trata somente de fontes

independentes e não de fontes controladas (dependentes). Ao contrário de

uma fonte independente, o valor de uma fonte controlada depende de outras

tensões e correntes no circuito e, portanto, não deve ser tratada como entrada

(fonte) externa. Em outras palavras,

fontes controladas não devem ser

10V R2 100 R1 510 10mA 5

v

_x

Teorema da Superposição: Exemplo

10V R2 100 R1 510 R2 100 R1 510 10mA

Determinar, usando o teorema da superposição, a tensão v_x.

Contribuição da fonte de tensão com a fonte de corrente em repouso (I=0[A])

Contribuição da fonte de corrente com a fonte de tensão em repouso (V=0[V])

v

_x

v

_x

1

2 Para o circuito 1 podemos

avaliar v_x usando o conceito de divisor de tensão e para o circuito 2 o conceito de divisor

Teorema da Superposição: Exemplo

10V R2 100 R1 510

v

_x

1 R2 100 R1 510 10mA

v

_x

2

Atenção: A corrente através do resistor R₂, imposta pela fonte de corrente de 10[mA], está no mesmo sentido da tensão v_x. Portanto, devemos considerar que, na

realidade, a contribuição desta fonte de corrente provoca uma tensão no sentido contrário, uma vez que o elemento de circuito em questão é passivo. Esta situação

é representada pelo sinal de menos ao se utilizar a lei de Ohm.

1,64[V] 10V 510 100 100 v(t) R R R v(t) R R (t) v 2 1 2 2 1 i i 2 x      



 0,836[V] 100 8,36mA (t)R i (t) v 8,36[mA] 10mA 100 1 510 1 100 1 i(t) G G (t) i x 2 2 x 2 1 i i 2 2          



 1

7

Teorema da Superposição: Exemplo

O circuito ao lado mostra o resultado de uma simulação com PSPICE que resulta em um valor de 0,8033[V] para v_x(t). Comprova-se que a análise esta

correta. Portanto, o valor da tensão v_x será:

(t) v(t) 1,64 ( 0,836) 0,804[V] v (t) v_x  _x1  _x2     (10mA) 1 I de ão contribuiç (10V) 1 V de ão contribuiç

Por se tratar de um circuito com excitações DC não é necessário utilizar a

representação de dependência com a variável tempo (t).

O teorema da superposição é de

fundamental importância na análise de

circuitos eletrônicos que contenham dispositivos semicondutores

.

Geralmente, para estes circuitos existirão fontes de alimentação DC

responsáveis pela polarização dos elementos semicondutores e fontes de

excitação AC.

10V R2 100 R1 510 10mA

Teorema da Superposição: Exemplo

Determine a tensão v_x no circuito abaixo que contém uma fonte de corrente ontrolada

por corrente (CCCS).

v

_x

_v

x

Contribuição da fonte de tensão (fonte de corrente em repouso)

Contribuição da fonte de corrente (fonte de tensão em repouso)

3A 2i₁ i₁ 2V _4Ω 3Ω + _

v

_x

Teorema da Superposição: Exemplo

v

_x

A

0

 v 3V v v 1[V] v 3Ω i 2V KVL 1[A] 2i i 0 2i i A) (nó KCL 0,5[A] 4Ω 2V i Ohm de Lei x x x 3 1 3 1 3 1              

_

+

v

v

_x

0

A

+

v

_

 v 0 v 9[V] v 3Ω i 0V KVL 3[A] i 3A 2i i A) (nó KCL 0[A] 2i 0[A] 4Ω 0V i Ohm de Lei x x 3 3 1 3 1 1               v_x=v_x1+v_x2=-10[V] 9

Seja f(x) = f(x +2π) uma função integrável sobre o intervalo [−π,π ], sendo n um número natural, a série de Fourier de f(x) é a série trigonométrica:

 







     1 n n n 0 sen(nx) b nx cos a 2 a f(x)

Teorema da Superposição: Exemplo

onde a₀, a_n e b_n são os coeficientes de Fourier de f (x) definidos por:

O símbolo ≈ foi usado aqui, pois nem sempre esta série de funções converge para

f(x), mas se a função for 2π-periódica e seccionalmente diferenciável, obteremos a

convergência da série trigonométrica, e dessa forma poderemos substituir o sinal de ―aproximadamente‖ pelo sinal de igualdade.







        π π n π π n 0 π π 0 )dx f(x)sen(nx π 1 b )dx f(x)cos(nx π 1 a médio valor 2 a f(x)dx π 1 a

11

 

 

 

 

 

x 0,697sen

 

x 0,212sen

 

3x 0,127sen

 

5x ... f ... 5x sen 5π 2 3x sen 3π 2 x sen π 2 x f          300[Hz] f f 2 ωt 1885t sen (t) v 180[Hz] f f 2 ωt 1131t sen (t) v 60[Hz] f f 2 ωt 377t sen (t) v ωt 1 ωt 2 ωt 1                        

Teorema da Superposição: Exemplo

Aplicando a definição da série de Fourier a uma onda quadrada (com valor médio zero e 1[v_PP]), tem-se a relação abaixo com um truncamento no terceiro termo:

Podemos usar um amplificador operacional em uma configuração somador inversor como ilustrado abaixo para verificar a ―recomposição‖

do sinal quadrado. Esta soma de tensões está sendo aplicada a um resistor de 1K. Pede-se

avaliar a sua potência média dissipada.

-+ AO 10K 15K 5K1 v1(t) 47K 75K v3(t) v2(t) Inversor

+

0, 667v1(t) 0, 133v₃(t) 0, 213v2(t) vo(t) 1K

Jean-Baptiste Joseph Fourier: Ficou órfão muito jovem, pois a sua mãe morreu quando ele

tinha nove anos e o seu pai no ano seguinte. Ele foi internado na escola militar de Auxerre, um colégio beneditino, onde inicialmente mostrou ter talento para a literatura, mas aos treze anos começou a interessar-se pela matemática e em 1783 recebeu o primeiro prémio pelo seu estudo da Mecânica Geral de Charles Bossut. Em 1787 decidiu seguir a carreira religiosa e entrou na abadia beneditina de St. Benoit-sur-Loire. Em 1789 visitou Paris onde apresentou um artigo à Academia Real de Ciências francesa sobre as suas pesquisas para a solução de equações numéricas, assunto que o interessou para o resto da vida. Em 1790 tornou-se professor de matemática na escola militar de Auxerre (onde já tinha estudado). No final de 1794 é nomeado para estudar na Ecole Normalize de Paris. Nesta escola, onde demonstrou ser um dos alunos mais brilhantes, Fourier tem como professores Joseph-Louis de Lagrange, Pierre Simon Laplace e Gaspard Monge, os maiores físicos-matemáticos da época. Ele começou então a ensinar primeiro no Collège de France e depois na École Polytechnique sob a direção de Lazare Carnot e Gaspard Monge, e iniciou uma atividade mais séria em investigação matemática, mantendo excelentes contatos com Lagrange, Laplace e Monge. Em 1795 ele voltou a ensinar na École Polytechnique e em 1797 sucedeu a Lagrange ao ser nomeado para a cátedra de Análise e Mecânica nesta escolaFoi em Grenoble que Fourier desenvolveu a maioria do seu trabalho experimental e teórico sobre a propagação do calor. Este permitiu-lhe modelar a evolução da temperatura através de séries trigonométricas. Em 1822 Fourier escreveu “Theorie analytique de la chaleur" (Teoria Analítica do Calor), um marco na física-matemática. Este trabalho contribui aos fundamentos da termodinâmica e constitui uma melhoria muito importante para a modelização matemática dos fenómenos físicos. Abre a área matemática de teoria de análise de Fourier. No entanto, uma simplificação excessiva e pouco rigorosa, geram muitas críticas de Laplace e Lagrange. Em particular, neste trabalho Fourier afirma que uma função de uma variável, contínua ou descontínua, pode ser expandida em uma série de senos de múltiplos da variável. Este resultado incorreto teve no entanto uma grande importância ao incluir a possibilidade de expandir deste modo também funções descontínuas. Lagrange, que já tinha estudado este problema anteriormente, foi particularmente crítico da demonstração apresentada por Fourier. Mais tarde esta demonstração foi melhorada por matemáticos como Johann Dirichlet, François Budan e Jacques Charles François Sturm, que apresentou a versão final ao chamado teorema de Fourier em 1829.

13

Teorema da Superposição: Exemplo

0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms -800mV -600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV 800mV 0s 4ms 8ms 12ms 16ms 20ms 24ms 28ms 32ms -800mV -600mV -400mV -200mV 0V 200mV 400mV 600mV

Teorema da Superposição: Exemplo

 





W] 222[ 1000 0,471 R (t) v (t) p 471[mVrms] 2 V (t) v sen377t 0,667 (t) v 2 2 1 1 P 1 VP 1



       ˆ ˆ    Contribuição de v1 (v2 e v3 em repouso)

 





W] 22,8[ 1000 0,151 R (t) v (t) p 151[mV] 2 V (t) v sen1131t 0,213 (t) v 2 2 2 2 P 2 VP 2



       ˆ ˆ    Contribuição de v2 (v1 e v3 em repouso)

 





W] 8,8[ 1000 0,094 R (t) v (t) p 94[mV] 2 V (t) v sen1885t 0,133 (t) v 2 2 3 3 P 2 VP 2



       ˆ ˆ    Contribuição de v3 (v1 e v2 em repouso)

 



     



_

_{ }

_{ }

_

W] 253,5[ 1000 0,094 0,151 0,471 R (t) v (t) v (t) v R (t) v p(t) W] 253,6[ 8,8 22,8 222 (t) p (t) p (t) p p(t) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1                  ˆ ˆ ˆ ˆ Observar a validade da superposição de potência média!

Importante: Superposição da Potência Média

15 Como vimos, na solução de circuitos elétricos com mais de uma fonte de corrente ou

tensão, independentes, podemos utilizar o teorema da superposição, somando as respostas a cada fonte. Isto é uma consequência da linearidade aplicada aos circuitos. Mas, no que diz respeito à potência média, nem sempre é possível aplicar o teorema.

Considere o exemplo a seguir.

Como o teorema da superposição é válido para tensões e correntes de circuitos lineares, i(t)=i1(t)+i2(t). A potência

instantânea fornecida à resistência R é:

Portanto, exceto para o caso trivial no qual o produto i₁(t).i₂(t) é identicamente nulo,

Importante: Superposição da Potência Média

Para formas de onda periódicas, a potência média é calculada como:

de maneira que P ≠ P1+P2, e a superposição não se aplica à potência média,

a menos que

O caso mais importante no qual a superposição é válida para a potência média é aquele em que a corrente i(t) consiste de componentes senoidais de freqüências

diferentes. O conceito pode ser estendido para tensões senoidais.

As correntes são ditas ―ortogonais‖

Teoremas de Thévenin e Norton

17

Qualquer combinação de resistores e de fontes controladas com

somente dois terminais externos pode ser reduzida a uma única

resistência equivalente como foi mostrado anteriormente.

Introduziremos, agora, dois circuitos equivalentes que substituem uma

combinação que, novamente, tem dois terminais externos somente, mas

que, agora, contém uma ou mais fontes independentes. Como poderia

ser esperado, uma tal combinação não pode, em geral, ser substituída

por um único elemento. Eles são os

circuitos equivalentes de

Thévenin e Norton

, e que podem ser demonstrados utilizando o

teorema da superposição;

consequentemente, eles somente podem ser

aplicados a circuitos lineares, ou somente à parte linear dos circuitos

com elementos não-lineares

. O teorema de Thévenin foi publicado em

1883 por L. C. Thévenin, um engenheiro francês que trabalhava em

telegrafia. O segundo pode ser considerado um corolário do primeiro e

Teoremas de Thévenin e Norton

Léon Charles Thévenin born in Paris, France, graduated from the École Polytechnique in Paris in 1876. In

1878, he joined the corps of telegraph Engineers (which subsequently became the French PTT). There, he initially worked on the development of long distance underground telegraph lines. Appointed as a teaching inspector at the École Supérieure de Télégraphie in 1882, he became increasingly interested in the problems of measurement in electrical circuits. As a result of studying Kirchhoff's circuit laws and Ohm's law, he developed

his famous theorem, Thévenin's theorem, which made it possible to calculate currents in more complex electrical circuits and allowing people to reduce complex circuits into simpler circuits called Thévenin's equivalent circuits. Also, after becoming head of the Bureau des Lignes, he found time for teaching other subjects outside the École Supérieure, including a course in mechanics at the Institut National Agronomique, Paris. In 1896, he was appointed Director of the Telegraph Engineering School, and then in 1901, Engineer in chief of the telegraph workshops. He died in Paris (1926). Thévenin consulted several scholars well known at that time, and controversy arose as to whether his law was consistent with the facts or not. Shortly before his

death he was visited by a friend of his, J. B. Pomey, and was surprised to hear that his theorem had been accepted all over the world. In 1926, he was taken to Paris for treatment. He left a formal request that no one

should accompany him to the cemetery except his family and that nothing be placed on his coffin but a rose from his garden. This is how he was buried at Meaux. Thévenin is remembered as a model engineer and

employee, hard-working, of scrupulous morality, strict in his principles but kind at heart.

Edward Lawry Norton (28 July 1898, Rockland, Maine–28 January 1983, Chatham, New Jersey) was

an accomplished Bell Labs engineer and scientist famous for developing the concept of the Norton equivalent circuit. He attended the University of Maine for two years before transferring to M.I.T. and

received a S.B. degree (electrical engineering) in 1922. He received an M.A. degree from Columbia University in 1925.Although interested primarily in a communications circuit theory and the transmission of data at high speeds over telephone lines, Edward L. Norton is best remembered for development of the dual of Thevenin's equivalent circuit, currently referred to as Norton's equivalent

Circuit. In fact, Norton and his associates at AT&T in the early 1920s are recognized as some of the first to perform pioneering work applying Thevenin's equivalent circuit and who referred to this concept simply as Thévenin's theorem. In 1926, he proposed the equivalent circuit using a current

source and parallel resistor to assist in the design of recording instrumentation that was primarily current driven. His areas of active research included network theory, acoustical systems,

electromagnetic apparatus, and data transmission. A graduate of MIT and Columbia University, he held nineteen patents on his work.Norton died on January 28, 1983 in Chatham, New Jersey.

Teoremas de Thévenin e Norton

19 Seja o circuito de dois terminais denominado A em que ―ativo‖ indica que o

circuito contém fontes independentes. Quando não houver ligações externas (carga), de maneira que não haja corrente saindo do circuito A, a tensão nos seus

terminais será denotada v_oc. O índice ―oc‖ pretende sugerir um par de terminais em circuito aberto (―open circuit‖). A corrente que sai do circuito em condições

de curto-circuito, ou seja, quando os terminais externos são diretamente conectados, de maneira que a tensão externa seja nula, é denotada i_sc . O índice

―sc‖ sugere terminais em curto-circuito (―short circuit‖). A notação “A (em

repouso)” significa que todas as fontes independentes (mas não as fontes

controladas) dentro do circuito A foram colocadas em repouso. Se A não contiver elementos que armazenam energia, o circuito ―A em repouso‖ pode ser

substituído por uma única resistência equivalente R_eq , também denotada por R_TH. A tensão v_oc, às vezes, também é chamada de tensão de Thévenin e denotada v_TH. Da mesma forma, i_sc pode ser denotada por i_N, conhecida como corrente de Norton. O teorema de Thévenin estabelece que o circuito A pode ser

substituído pelo seu circuito equivalente Thévenin para calcular correntes e tensões externas (ao circuito A), não importando o que esteja ligado aos terminais. O teorema de Norton estabelece que o circuito A pode ser substituído

por seu equivalente Norton com as mesmas considerações anteriores. Os teoremas de Thévenin e Norton são um exemplo de dualidade.

Teoremas de Thévenin e Norton

A

(ativo)

v(t)

i(t)

carga

A

(ativo)

+

_

0

i(t)

v

OC

(t)

carga

Como o saldo de corrente é zero, representa um circuito aberto!

O valor da tensão da fonte

que foi inserida para que o

saldo de corrente seja zero

é, obrigatoriamente, v

_OC

(t)

Inserimos uma fonte de tensão entre o

circuito A e a carga e ajustamos o seu

valor de tal modo que o saldo de corrente

entre estes dois circuito seja zero. Ou seja,

a fonte v(t) produz uma corrente no

sentido contrário da corrente do circuitoA.

Relembrando: Circuito ―A‖ linear com fontes

independentes podendo conter fontes

Teoremas de Thévenin e Norton

21

A

(repouso)

v(t)

i(t)

carga

+

_

v

_OC

(t)

Equivalente Thévenin

v(t)

i(t)

carga

v

_TH

(t)

R

_TH

Tem-se, portanto, uma avaliação

da tensão equivalente que causa a

corrente i(t). Resta, agora,

considerar a superposição dos

efeitos utilizando o circuito A

com suas fontes independentes

Teoremas de Thévenin e Norton

Utilizando o conceito de dualidade, tem-se para o equivalente Norton:

Conversão de Equivalentes: Thévenin-Norton e Norton-Thévenin

v(t) i(t) vTH(t) RTH v(t) i(t) iN(t) RN

v(t)

i(t)

i

_N

(t)

R

_N

Para que o desempenho seja idêntico nos dois casos, é necessário que o par de variáveis (v(t),i(t)) seja comum a ambos os circuitos, tornando irrelevante o tipo de fonte responsável

pelo seu estabelecimento. N

TH N N N TH N TH R t v t i R t i t v R R ) ( ) ( ) ( ) (    

Teoremas de Thévenin e Norton

23

Estes equivalentes podem ser vistos como

transformações de fontes

,

ou seja, converter uma fonte de tensão em série com um resistor para

uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor.

Transformações de fonte podem ser interessantes para reduzir a

complexidade de um circuito.

Exercício: Demonstrar as relações de conversão entre os equivalentes Thévenin e Norton

.

Consideração sobre Fontes Ideais e Reais

Ao descrevermos as fontes de tensão e corrente partimos do princípio

que os seus valores são constantes e independentes. Na prática, toda

fonte irá apresentar uma

Resistência Interna

. Novamente, os

equivalentes Thévenin e Norton são adequados para a representação

desta resistência.

Devemos, então, verificar a validade de ―idealização‖ de uma fonte em

função da carga que ela alimenta.

RL V1

10V

Rin

Teoremas de Thévenin e Norton

1K 2K 3K 4K 5K 6K 7K 8K 9K 10K 0V 1V 2V 3V 4V 5V 6V 7V 8V 9V 10V

V

_L L in L 1 L R R R V V   100Ω )@R f(R V_L  _{L in} 

Observar que para valores do resistor de carga superiores a 10R

_in

a tensão de

saída é superior a 90% de V

₁

.

Para ―idealizar‖ uma fonte de tensão, na prática, é aconselhável fazer a sua

resistência interna a mais baixa possível (idealmente zero).

Teoremas de Thévenin e Norton

R_E R_C R₂ VB

+

-+ - V CC R₁

A

B

O esquema elétrico ao lado representa uma

polarização universal para um transistor

bipolar. Considere R

₁

=10K e R

₂

=2K2.

Pede-se reduzir o circuito aplicando o

equivalente Thévenin entre os pontos A e B.

R_E R_C R₂ VB

+

-R₁ + - V CC + - V_CC

O circuito pode ser redesenhado

para evidenciar a sua parte que será

substituída pelo equivalente

Thévenin. Observar que, em termos

práticos, seria um contrassenso a

presença de duas fontes.

R₂ R₁

+ - V_CC

VOC

Teoremas de Thévenin e Norton

A

Primeiro Passo:

calcular a tensão entre os pontos A e B em circuito aberto. 1,8[V] 2K2 10K 2K2 10V R R R V V Tensão de Divisor do Lei x 2 1 2 CC OC      Segundo Passo:

calcular a resistência equivalente entre os pontos A e B com as fontes independentes em repouso.

R₂ R₁ VCC=0 Req

A

B

B

] 1,8[K 2K2 10K 2K2 10K R R R R R paralelo em estão R e R x 2 1 2 1 eq 2 1       26

+ - 1 2 2 CC TH R R R V V   2 1 2 1 TH R R R R R  

Teoremas de Thévenin e Norton

A Portanto, V_OC=V_TH e R_eq=R_TH B + -VB + -1,8[V] ] 1,8[K CC V E R C R

Atenção:

Caso o circuito a ser substituído pelos seus equivalentes Thévenin ou Norton

possua fontes dependentes existem duas formas para se determinar o valor do

resistor equivalente R

_th

.

) ( ) ( t i t v R O O th  Circuito Original com as suas fontes independentes em repouso Circuito Original com as suas fontes independentes em repouso vO(t) iO(t) + _ vO(t) i_O(t) + _

Teoremas de Thévenin e Norton: Circuito com Fontes Dependentes

Determinação de R_th: ) ( ) ( t i t v R SC OC th  Circuito Original Circuito Original vOC(t) + _ iSC(t) Exemplo

Avalie no circuito seguidor de emissor a resistência equivalente ―vista‖ do terminal

do emissor. Simplifique o resultado considerando que o parâmetro r_o do

transistor bipolar é muito maior

comparativamente às outras resistências e que o parâmetro β é muito maior que 1.

vb rb + _

emissor

r

_eq

Teoremas de Thévenin e Norton: Circuito com Fontes Dependentes

A resistência equivalente vista do emissor é avaliada colocando-se a fonte de sinal v_b em repouso_, ou seja, trata-se da avaliação de um resistência equivalente de Thévenin.

Para esta avaliação é necessário substituir o transistor bipolar (elemento geral de circuito) pelo seu modelo equivalente. Embora o transistor bipolar seja um elemento

não linear, estamos admitindo a sua operação em pequenos sinais, portanto, o seu modelo é considerado linear.

r

_eq

r

_eq

29 O transistor bipolar, assim como os seus modelos, será objeto de estudo na disciplina

de Eletrônica I. Entretanto, o que queremos ressaltar é o fato da importância de uma base sólida em análise de circuitos elétricos como um elemento facilitador para o

entendimento das topologias a ser apresentadas.

vb rb + _ ib vb =0 rb _r e ro βib ib

Teoremas de Thévenin e Norton: Circuito com Fontes Dependentes

r

_b

_r

e

r

o

βi

_b

v

+

_

i

i

_o

i

_b

x

+

_ +

-i

+

_ KVL(1) KVL(2) β r r r i v β r 1 , r 1 r 1 p 0 i β r r i β r v 0 i r r i r v r r i r v β r r i r v i 0 r i ir v KVL(2) r r i r v i 0 r i ir v KVL(1) i βi ou β 1 β 0 i i βi 0 i i βi i 0 i x ponto o para KCL b e eq b e o b e b o e o b e b o e o o o o e b e b b b b e b b o b o b b 4 1 k K                                                                      



 /

Portanto a resistência ―vista‖ do emissor é: r_e+r_b/β

Um resultado interessante para a análise deste dispositivo é que resistências no ramo

da base (r_b) aparecem ―refletidas‖ no ramo do emissor divididas por β.

Teoremas de Thévenin e Norton: Conceito da Reta de Carga

Uma forma tradicional de encontrar o ponto de operação de um circuito não-linear é através de retas de carga. O objetivo é dividir o circuito em um equivalente simples (Thévenin por exemplo) e uma carga que representa o elemento não linear. Resolver,

então, através de um método gráfico no intuito de encontrar as soluções necessárias. O mesmo objetivo pode ser atingido conhecendo-se a equação para operação do

elemento não-linear. Em algumas aplicações são bastante úteis e auxiliam na interpretação da operação do circuito como um todo.

Considere o esquema ao lado que representa um elemento não linear (diodo

semicondutor) sendo ―alimentado‖ por um equivalente Thévenin. A idéia é determinar os valores de V_D e I_D sem a necessidade da utilização do equacionamento do dispositivo não linear. Aplicando-se os conceitos das leis

de Kirchhoff, temos: b ax y R V R V I (KVL) V R I V TH TH TH D D D TH D TH        

A

B

31

Teoremas de Thévenin e Norton: Conceito da Reta de Carga

O equacionamento do slide anterior mostra que as variáveis I

_D

e V

_D

podem comporta-se linearmente caso uma carga resistiva seja colocada

entre os nós A e B. E não poderia ser de outra forma tendo em vista

que relacionam-se com um equivalente Thévenin. Entretanto, ao

colocarmos um elemento não linear a solução do sistema pode ser

encontrada graficamente pela sobreposição da curva característica do

componente (I

_D

=f(V

_D

)) e da reta de carga.

O coeficiente angular da reta é -1/R

_TH

e o ponto de intersecção com o

eixo y (I

_D

) é V

_TH

/R

_TH

. O ponto de intersecção com o eixo x (V

_D

) é

V

_TH

(basta fazer I

_D

=0). Observar que através destes dois pontos

podemos traçar a reta de carga e eles significam dois extremos para os

terminais A e B. Um deles e quando V

_D

é igual a zero, ou seja, um

circuito aberto. O outro é quando I

_D

é igual a zero, ou seja, um

Teoremas de Thévenin e Norton: Conceito da Reta de Carga

ID VD -1/RTH I_DQ V_DQ Q A B TH D D V V 0A I B ponto   TH TH D D R V I 0V V A ponto 

 _{Ponto de Operação ou Ponto Quiescente}

Curva característica do diodo

Uma desvantagem que poderia ser

associada a este método é a necessidade de ter em mãos a curva característica do

elemento não linear.

Teorema da Máxima Transferência de Potência

Considere a configuração de circuito a seguir em que a carga R_L é um resistor variável. O circuito A será substituído pelo seu equivalente Thevénin:

A

(ativo)

v(t)

i(t)

R

L + -RL Rth vth v(t) i(t)









th L 2 4 L th 2 L 2 th L 2 L th 2 L 2 L th th L L L th th 2 L L R R 0 R p(t) v uv' u'v v(x) u(x) dx d que: lembrando R R R R R p(t) R R vth R R R v R (t) p R R v i(t) e i(t) R (t) p                                    Se tomarmos a derivada da

potência em relação à carga R_L e igualarmos à zero, temos o ponto de inflexão que representa o maior valor

da função. Portanto, quando R_L é igual à R_th dizemos que a carga está casada e temos

Teorema da Máxima Transferência de Potência

Retornando a equação da potência podemos avaliar o maior valor desta:

th 2 2 th th th th L 4R vth R R v R (t)(MAX) p           

A potência fornecida pela fonte, nesta condição, e a eficiência são dadas por:

 

50% (MAX) p p % η 2R v 2R v v i(t) v (t) p L fonte th 2 th th th th th fonte       600 700 800 900 1K 0.2W 0.4W 0.6W 0.8W 1.0W 200 100 300 400 500

Exemplo para uma fonte com resistência interna de 100[Ω] ilustrando a potência

fornecida e a potência dissipada na carga. No eixo ―x‖, a variação de R_L

entre 1[Ω] e 1000[Ω].

Considere um circuito (parâmetros concentrados) que possua B ramos e N nós. Relembre que, em uma rede elétrica, ramo é um caminho único contendo um elemento de circuito que conecta un nó a outro nó qualquer. Suponha que para cada

ramo nós arbitremos uma diferença de potencial v_k e uma corrente i_k obedecendo a uma única conveção para os bipolos (normalmente: passivo), então:

Se as diferenças de potencial e correntes satisfazem as restrições impostas pelas leis de Kirchhoff (KVL, KCL), então o teorema de Tellegen é extremamente geral. É válido para circuitos de parâmetros concentrados que contenham elementos lineares

e não lineares, passivos ou ativos e variantes ou não no tempo.

Teorema de Tellegen







B 1 k k k

i

0

v

Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 June 1900 – Eindhoven, 30 August 1990) was a Dutch electrical engineer and

inventor of the penthode and the gyrator. He is also known for a theorem in circuit theory, Tellegen's theorem. He obtained a masters degree in electrical engineering from Delft University in 1923, and joined the Philips Natuurkundig Laboratorium (Philips Physics Laboratory) in Eindhoven. In 1926 he invented the penthode vacuum tube. The gyrator was invented by him

around 1948. The gyrator is useful to simulate the effect of an inductor without using a coil. For example, it is used in hi-fi graphic equalizers. He held 41 US patents.

In the period 1946–1966. The Australian Institute of Radio Engineers appointed Tellegen an honorary life member in 1953. He was Fellow of the IEEE, and he won the IEEE Edison Medal in 1973 "For a creative career of significant achievement in

electrical circuit theory, including the gyrator". Tellegen was elected a member of the Royal Netherlands Academy of Sciences in 1960. In 1970 the University of Delft conferred on an doctor honoris causa degree.

Uma conclusão alternativa do teorema de Tellegen é melhor explicada através de um exemplo. Considere o circuito a seguir onde o bloco A contenha apenas resistores:

Teorema de Tellegen: Inferência



  B 1 k k k t i t 0 v ( )' ( ) Convenção “passivo”



  B 1 k k k t i t 0 v ( ) ( )' Se v₁=6[V], v₂=2[V], R_L=2[Ω] e i₁=-2[A] encontre v₂’ se R_L=4[Ω], v₁’=10[V] e i₁’=-3[A]. 4[V] 0,5A 2W ' v ' 1Av 20W ' 0,5Av 18W 2Ω 2V ' v 2A) 10V( 4Ω ' v 2V 3A) 6V( 'i v 'i v ' i v ' i v (t) (t)'i v (t)' (t)i v 2 2 2 Ohm de lei 2 Ohm de lei 2 2 2 1 1 2 2 1 1 B 1 k k k B 1 k k k                            





        37

A

somente resistores + _ i2(t) v1(t) + _ RL v2(t) i1(t)

Um conjunto de N fontes de tensão (v₁, v₂...v_N) associadas em paralelo e

considerando que cada uma delas possui uma resistência interna R_N (R₁, R₂, ...R_N) pode ser representado por uma única fonte de tensão em série com um resistor

equivalente. Este teorema, e seu dual, constituem a utilização dos Teorema de Thévenin e Norton juntamente com a propriedade de transformação de fontes.

Teorema de Millman e seu Dual





    N k k eq eq N 1 k k k R R onde R R v v 1 1 1 1 + -R1 v1

...

+ -R2 v2 + -RN vN + -Req v A B A B





  _  N k k eq eq N 1 k k k R R onde R R i i 1 R1 i1

...

Req RN R2 iN i2 A B A B i

O Teorema de Miller estabelece uma forma de se retirar um elemento que faz uma ―realimentação‖ entre a saída e a entrada de um circuito linear para o qual se conhece a relação entre v₂ e v₁ (denominado ganho de tensão). A reflexão deste elemento ocorre tanto

para a entrada quanto para a saída e simplifica a análise.

Teorema de Miller e seu Dual

39 R v1 v2 + -+ -+ -iR Ativo (linear) KVL v1 + -Ativo (linear) v2 + -1 A R  iR _{ } i_R 1 A AR  v2=Av1 vR    Ohm de lei R R Ri v 







1 A



R v i 0 Ri 1 A v 0 Av Ri v 0 v Ri v KVL 1 R R 1 1 R 1 2 R 1             



A 1



AR v i 0 Ri A 1 1 v 0 v Ri A v 0 v Ri v KVL 2 R R 2 2 R 2 2 R 1                    

Atenção: Não está na convenção “passivo”

Desafio: Como ficaria o dual deste

Jacob Millman, who was an expert on radar, electronic circuits and pulse-circuit techniques, was born in Russia and came to the United States in 1913. He earned a Ph.D. from the Massachusetts Institute of Technology in 1935. Except

for three years during World War II, when he was a scientist with the Radiation Laboratory at M.I.T., he was a professor of engineering at City College of New York from 1936 to 1952. From 1952 until he retired in 1976, he taught at Columbia University. He was named chairman of the department of electrical engineering in 1965 and, at his retirement, became the Charles Bachelor Professor Emeritus of Electrical Engineering. He was the author or co-author

of eight textbooks on electronics and computer science. His most notable achievement was the formulation of Millman's Theorem (otherwise known as the Parallel generator theorem), which is named after him.

Millman e Miller

John Milton Miller (22 June 1882 - 17 May 1962) was a noted American electrical engineer, best known for discovering the Miller effect and inventing fundamental circuits for quartz crystal oscillators (Miller oscillators). Miller was born in Hanover, Pennsylvania. In 1904 he graduated from Yale University, in 1907 he received an M.A.

from Yale, and in 1915 he received his Ph.D. in physics from Yale. From 1907-1919 he was a physicist with the National Bureau of Standards, then a radio engineer at the United States Navy's Radio Laboratory (1919-1923) in Anacostia, District of Columbia, and subsequently at the Naval Research Laboratory (NRL). From 1925-1936 he led radio receiver research at the Atwater Kent Manufacturing Company, Philadelphia, and from 1936-1940 was assistant

head of the research laboratory for the RCA Radiotron Company. In 1940 he returned to NRL where he became superintendent of Radio I Division (1945), associate director of research (1951), and scientific research administrator

(1952). He married Frances Riley; the couple had seven children — two girls and five boys. Miller was awarded the Distinguished Civilian Service Award in 1945 for "initiation of the development of a new flexible radio-frequency cable urgently needed in radio and radar equipment which solved a desperate material shortage in the United States during World War II," and the IRE Medal of Honor in 1953 for "his pioneering contributions to our basic knowledge of

41

Conceito de Referência de Tensão

A energia elétrica chega até nós através de uma concessionária. Em nosso

estado temos a CEMIG (Companhia Energética de Minas Gerais) que

disponibiliza um sistema de distribuição baseado no consumo (demanda) da

unidade consumidora.

Por exemplo, a tabela a seguir classifica o sistema de distribuição para

consumidores residencias:

O sistema a dois fios disponibiliza uma fase e um neutro (127V – RMS), o

de tres fios, duas fases e um neutro (127V e 220V) e o de quatro fios, tres

Conceito de Referência de Tensão

Por uma questão de

segurança, a

concessionária coloca o

fio neutro (algumas

vezes denominado de

retorno) em contato

íntimo com a terra

(chão).

Por este motivo, as

fases também são

chamadas de ―vivo‖.

127[Vrms]

220[Vrms]

Neutro

Fase

Fase

FASE NEUTRO FASE FASE

FASE FASE NEUTRO FASE 0,577v v 3 v v      

43

Conceito de Referência de Tensão

O potencial de terra é assumido como sendo a ―referência‖ para

as diferenças de potencial que estão envolvidas no sistema e é

simbolizada por:

Por garantia, pode-se utilizar no local em que se está

utilizando as fases e neutro, uma haste de aterramento. Esta

será conectada ao fio neutro.

Entretanto, existe um outro tipo de referência denominado de

―massa‖ ou ―chassi‖ que consiste em alocar um referencial de

tensão a partir de um ponto conectado a uma estrutura

metálica ou carcaça isolada do terra.

Este tipo de referência é simpolizada por:

Em nosso curso

estaremos usando o símbolo de terra

indistintamente pois

consideramos que quaisquer ―chassi‖ estejam conectados, também, ao fio

neutro.

Importância do aterramento: Proteger o usuário do equipamento das descargas atmosféricas, através da viabilização de um caminho alternativo para a terra, de descargas atmosféricas. “ Descarregar” cargas estáticas acumuladas nas carcaças das máquinas ou equipamentos para a terra. Facilitar o funcionamento dos

-+ AO vout Rf Ri vin Ci Co R R C +vCC VCC/2

Conceito de Referência de Tensão

Exemplo para V

_CC

=15[V]:

Equipotencial de 7,5[V]

7.44V 7.46V 7.48V 7.50V 7.52V 7.54V 7.56V VDC = 7,5V VPP = 100mV

Em alguns circuitos existe o conceito de ―equipotencial‖ cujo

símbolo é ilustrado ao lado:

45

Conceito de Referência de Tensão

A utilização da referência em nossos circuitos é melhor representada

através do exemplo a seguir:

R1 R2 R3 V a b c d + _ + _+ _

Notação de duplo índice:

V=V

_ab

+V

_bc

+V

_cd

e

V

_ab

= -V

_ba

V

_bc

= -V

_cb

V

_cd

= -V

_dc R1 R2 R3 V a b c d

Ao estabelecer o ponto d como

referência, algumas notações de

diferença de potencial podem ser

simplificadas, por exemplo:

V

_cd

= V

_c

Conceito de Referência de Tensão

Uma tensão é sempre referida entre dois pontos. E uma tensão é uma

diferença de potencial entre dois pontos. Quando um desses pontos for o

referencial terra, não há necessidade de dizer, por exemplo, diferença de

potencial entre o ponto ―a‖ e o terra. Já que a terra é a referência, diz-se

apenas, potencial do ponto ―a‖.

Portanto, toda vez que o termo potencial for utilizado em nossos circuitos

elétricos, é porque se trata de uma diferença de potencial entre um

determinado ponto e a terra.

O uso do referencial terra também simplifica bastante a representação de

circuitos elétricos. Veja os exemplos:

R1 R2 R3 V a b c d R1 R2 R3 V a b c R1 R2 R3 +V b c

v

(+)

v

(-)

v

o

v

_d

+

_

r

id

r

o + _

Av

d 47

Teoremas: Exemplos

v

₍₊₎

v

_(-)

v

o

+

_

AO

Os amplificadores operacionais (AOs) são considerados um dos mais

versáteis dentre os circuitos integrados analógicos. Suas aplicações típicas

incluem os seguintes sistemas, dentre outros: controle e instrumentação

industrial, instrumentação nuclear, instrumentação médica, equipamentos de

telecomunicações e audio.

As figuras a seguir ilustram a sua representação esquemática e seu modelo

equivalente (em operação linear). Vamos utilizá-lo em alguns exemplos de

Teoremas: Exemplos

O circuito abaixo é um ―Buffer‖ que apresenta como característica uma

relação entre a tensão de saída e a tensão de entrada como sendo unitária,

além de uma alta resistência de entrada e uma baixa resistência de saída.

Sempre que o AO está em uma configuração com

realimentação negativa

(existe um elemento de circuito conectado entre a saída e o terminal -)

existe o que chama de curto-circuito virtual entre as entradas inversora (-) e

não inversora (+), ou seja, v

_d

tende para 0[V]. Demonstre a validade das

afirmações citadas e calcule a resistência de saída.

v

_d

v

o

+

_

AO

v

_i

Para efeito de cálculos númericos,

considere o AO LM741 que

apresenta:

r

_id

= 1[MΩ]

r

_o

= 75[Ω]

v

i

v

_d

+

_

r

_id

r

_o + _

Av

d

+

_

v

o

+

_

- +

i

49

Teoremas: Exemplos



























1 v v v v 0 v 0 v v , A p/ 1 A v v v v v 1 A v v v v 0 v 1 A v 1 r r r r r 0 Av r r r v v r v i 0 Av r r i v 0 Av ir ir v i o o i d o i i o i o i i o i d d i id o id o id d o id id d i id d d o id i d o id i                                        

O conceito do curto-circuito virtual é fundamental para a a análise de circuitos lineraes com AOs. O termo virtual representa algum fenômeno que existe como uma propriedade intrínseca, porém sem efeito

real. No curto circuito real temos uma ddp igual a zero porém com uma corrente diferente de zero. No

curto-circuito virtual a ddp é zero e a corrente também se aproxima de zero pelo alto valor

Teoremas: Exemplos

v

i

=0

_v

d

+

_

r

id

r

o + _

Av

d

v

+

_

+ -

i

i’

i”









] 0,75[m 10 75 // 10 r 1 A r // r r r 1 1 A r 1 i v r 1 r 1 A v i r v r v Av i v v 0 r v r v Av i 0 i" i' i 5 6 saída o id saída id o id o id o d id d o d                               

A relação entre v

_o

e v

_i

é denominada de

ganho de

tensão

e, normalmente representada por A

_V

.

A resistência de saída do buffer implementado

com o LM741 é menor que 1[mΩ].

Que teorema usamos para determiná-la?

A saída do buffer ―idealiza‖ que tipo de fonte?

51

Teoremas: Exemplos

vi vd + _ rid ro + _ Av d vo Ri Rf















A 1



R r p/ 1 A R //r 1 A R r R p/ Av r R R Av v A p/ R 1 A AR f id f id f o f d o f f d o f f             

Avalie o ganho de tensão para o circuito:

vo + _ LM741 vi Ri Rf Ri = 10K Rf = 33K vi vd + _ rid ro + _ Av d vo Ri vx



A 1



R_f 

_

_AAR_f₁

_

Teoremas: Exemplos

























] 3,3[ 10K 33K R R A os apresentad valores os p R R A v v r R A p/ R R v 1 A R R R v A v Av v 1 A R R R v R 1 A R 1 A R v v v i f V i f V i o o f i f i i f f i o d o i f f i i f f i d x                                : /

Interpretação do sinal

negativo:

Existe uma defasagem de

180° entre o sinal de saída e

o sinal de entrada

.

Em termos de ação do

circuito esta defasagem, a

princípio, não afeta o seu

comportamento.

O potencial v

_x

é,

normalmente, referido como

sendo um ―

terra virtual

‖

53

Exercícios

1. Determine a potência fornecida por cada uma das fontes do circuito ao lado usando o teorema da superposição. Verifique que a potência total fornecida pelas fontes iguala-se à potência dissipada pelas resistências.

V_(t)=14cos10t [V] 10 [V]

2. Considerando o circuito ao lado, determine a potência média dissipada no resistor de 2 [Ω].

3. Considerando o circuito ao lado, determine a diferença de potencial V _AB.

4. Refaça o exercício (1), porém antes de aplicar o teorema da superposição transforme a estrutura estrela em delta. Compare os resultados.

Exercícios

5. Determine a ddp entre os pontos A e B do circuito ao lado. Inicialmente substitua as fontes de tensão por fontes de corrente. Depois, resolva novamente usando o teorema de Millman e compare os resultados. Utilize um R_y de 1K e depois calcule o seu valor para que haja a maior transferência de potência.

6. Considerando o circuito ao lado, determine o seu equivalente Norton. Faça a transformação de fonte e indique o seu equivalente Thévenin.

7. Avalie as resistências equivalentes r_b e r_c utilizando o dual do Teorema de Miller:

1,5[V] 2,0[V] 2,5[V] 1K 2K2 3K3 re ro βib E B C ib R E B C rb rc

O modelo para o transistor bipolar é indicado ao lado.