Sistemas Digitais
Ao tratar de sistemas eletrônicos, comumente dividimos esses sistemas em dois tipos principais, sistemas analógicos e digitais.
Sistemas analógicos contém dispositivos que manipulam quantidades físicas que podem variar ao longo de um domínio contínuo, possuindo uma faixa contínua de valores (imagem da função). Em sistemas digitais, por sua vez, são uma combinação de dispositivos projetados para manipular informação lógica ou quantidades físicas representadas no formato digital, ou seja, quantidades que podem assumir apenas valores discretos.
A forma mais simples, e também a mais eficiente, de representar informação de uma maneira discreta, é usar valores binários, ou seja, que podem assumir apenas dois valores distintos. Essa representação tem a vantagem de utilizar a ferramenta matemática conhecida como álgebra de Boole, ou booleana, em homenagem ao matemático inglês do século XIX Boole.
A praticidade dessa representação numérica se deve ao fato da simplicidade da eletrônica necessária para implementá-la. Como só existem dois valores possíveis, a lógica para implementação dessa representação exige apenas um chaveamento, resultando nos estados ligado e desligado.
Matematicamente, esses estados são representados pelos algarismos 0 (zero) e 1 (um). Como consequência, temos a criação de uma base binária de numeração.
Sistema de numeração binária
O sistema numérico utilizado pelo homem, desde sua invenção, é um sistema de base decimal, simplesmente pelo fato de possuirmos 10 dedos. Nesse sistema, utiliza-se 10 símbolos numéricos distintos, chamados de algarismos, que são multiplicados por potências de 10 para representar quaisquer quantidades desejadas.
Exemplo: Para representar a quantidade de uma dúzia, representamos, na base decimal, pelo número 12. Como temos 2 algarismos, na base decimal isso corresponde à 1 x 10¹ + 2 x 10 . Caso a⁰ quantidade seja maior, precisaremos de mais algarismos, mas sempre seguindo a mesma base (decimal).
Exemplo: o número 358 é equivalente à 3 x 10² + 5 x 10¹ + 8 x 10⁰
o número 4729 é equivalente à 4 x 10³ + 7 x 10² + 2 x 10¹ + 9 x 10⁰
Note que o primeiro algarismo a direita, sempre multiplica a base (nesse caso 10) elevado ao expoente zero. Esse algarismo é chamado de algarismo menos significativo. Os algarismos seguintes multiplicam a mesma base, com uma ordem crescente do expoente. Assim, um número na base decimal, que possui 13 algarismos, terá como maior potência 10¹².
Na base binária, a mesma lógica é implementada, a grande diferença é que teremos somente dois símbolos numéricos (0 e 1) e a base multiplicativa será o 2.
Exemplo: o número binário 110010 equivale à 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁵ ⁴ ⁰ o número binário 10101 equivale á 1 x 2 + 0 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁴ ⁰
É fácil perceber que se uma mesma quantidade for representada em ambos sistemas, decimal e binário, serão necessários menos algarismos para representar na base decimal que na base binária. Como falado anteriormente, a base binária é de fácil implementação eletronicamente, sendo a base da eletrônica digital e a computação. Essas duas áreas dão um nome especial para os algarismos binários, que são chamados de bit.
Assim, em um número binário como os mostrados nos exemplos acima, o algarismo mais a direita, é chamado de bit menos significativo (least significant bit – LSB) e o algarismo mais a esquerda de bit mais significativo (most significant bit – MSB).
Conversão binário pra decimal
Como foi visto, quantidades numéricas podem ser representadas em bases diferentes. A compreensão humana dos números é na base decimal, enquanto que a implementação eletrônica é simplificada se colocada na base binária. Assim, é conveniente estabelecer formas de conversão de uma base para outra.
A conversão da base binária para a decimal é simples se executada a lógica explicada anteriormente. Utilizando os dois exemplos anteriores:
110010 = 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2³ + 0 x 2² + 1 x 2¹ + 0 x 2⁵ ⁴ ⁰ 110010 = 32 + 16 + 2 1100102 = 5010 10101 = 1 x 2 + 0 x 2³ + 1 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁴ ⁰ 10101 = 16 + 4 + 1 101012 = 2110
Um outro método para fazer essa conversão é seguir o seguinte algoritmo: 1- multiplique o MSB por 2
2- some o resultado ao algarismo seguinte a direita
3- se o algarismo à direita não for o MSB, multiplique o resultado por 2 4- repita os passos 2 e 3 até chegar ao LSB
Exemplo: 110010 1 x 2 = 2 (passo 1) 2 + 1 = 3 (passo 2) 3 x 2 = 6 (passo 3) 6 + 0 = 6 (passo 2) 6 x 2 = 12 (passo 3) 12 + 0 = 12 (passo 2) 12 x 2 = 24 (passo 3) 24 + 1 = 25 (passo 2) 24 x 2 = 50 (passo 3) 50 + 0 = 50 (passo 2)
Exemplo: refaça o segundo exemplo utilizando o método acima. Conversão de decimal para binário
Da mesma forma, é conveniente fazer a conversão contrária, de um número na base decimal para a mesma quantidade na base binária. Para isso, basta subtrair do número decimal, a maior potência de 2 possível, repetindo o procedimento até o resultado da subtração ser zero. Faça a conversão dos números em potência de 2.
Exemplo: 45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2 + 2³ + 2² + 2⁵ ⁰
1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2³ + 1x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁵ ⁴ ⁰ 1011012
Outro métrodo para fazer a conversão utiliza divisões sucessivas por 2. O número é divido por 2 e o resto representará o LSB, o quociente é então divido novamente por 2, e o resto representará o algarismo seguinte, em ordem crescente de potência.
Exemplo:
Como na base decimal, o número de algarismos em um número determina a faixa de possíveis valores a serem representados. Por exemplo, na base decimal, considerando um número com 3 algarismos, é possível representar 10³ valores diferentes, de 000 a 999.
Na base binária a relação é a mesma, mudando apenas a base. Um número com 3 algarismos representa 2³ diferentes valores. De forma genérica, um número com N bits (algarismos) pode representar 2N diferentes valores, de 0 a 2N-1.
Sistema de numeração hexadecimal
Assim como podemos criar uma base binária de representação numérica, podemos utilizar outras bases, por exemplo, 16. Essa representação tem utilidade prática para aplicações computacionais. (Pesquise na internet informações sobre programação de computadores utilizando cartão perfurado)
Para representação de valores nessa base numérica, são necessários, como esperado, 16 símbolos diferentes para um único algarismo, representando os valores de 0 a 15. Como os símbolos numéricos criados pelo homem vão de 0 a 9, usa-se letras (de A a F) para representar as quantidades restantes.
A lógica para representação numérica continua a mesma, o algarismo menos significativo multiplica a base elevada a potência zero, e os algarismo seguintes, da direita para esquerda, multiplicam a base elevada a potências inteiras em ordem crescente.
Exemplo: o número 3D816 equivale à 3 x 16² + 13 x 16¹ + 8 x 16⁰
(D)
Fazendo, portanto, a equivalência dos valores de 0 a 15 nas três bases, temos a tabela abaixo:
Hexadecimal Decimal Binário
0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 A 10 1010 B 11 1011 C 12 1100 D 13 1101 E 14 1110 F 15 1111
Conversão de hexadecima para decimal
Utilizando o mesmo método aplicado para a conversão de binário para decimal, podemos fazer a conversão a partir de números hexadecimais
Exemplo: 35616 = 3 x 16² + 5 x 16¹ + 6 x 16⁰ 35616 = 768 + 80 + 6 35616 = 85410 2AF16 = 2 x 16² + 10 x 16¹ + 15 x 16⁰ 2AF16 = 512 + 160 + 15 2AF16 = 68710
Conversão de decimal para hexadecimal
Para esse tipo de conversão, o método também é semelhante ao usado na conversão de decimal para binário, entretanto, a base para divisão será 16.
Exemplo:
Conversão de hexadecimal para binário
O sistema de numeração hexadecimal é usado, principalmente, para uma representação reduzida de números binários, pois cada algarismo de um número hexadecimal representa a mesma quantidade de possíveis valores que números binário de 4 bits.
Conversão de binário para hexadecimal
De forma semelhante, a conversão para hexadecimal, a partir de números binários, é feita fazendo o agrupamento de 4 em 4 bits, convertendo diretamente esses algarismos.
Exemplo:
Byte e Nibble
Uma das formas mais populares de aplicação dos sistemas binário e hexadecimal é a computação. E a história e evolução da computação, tanto em hardware quanto em software, criaram vários padrões que são usados ainda hoje.
Por questão de arquitetura de computadores (não abordada nessa disciplina), os números digitais representados em hardware, tinham sempre 8 bits de tamanho, por exemplo, para representar endereços de memória, para realizar cálculos matemáticos no processador ou para transmitir informação no barramento de dados.
Com a evolução da eletrônica, circutos mais avançados aumentavam as possibilidades de representação numérica, e consequentemente, de processamento. Essa evolução se deu, sempre, com o aumento de 8 bits nas representações numéricas.
Por esse motivo, um número binário de 8 bits de tamanho, podendo representar 256 diferentes valores, recebeu um nome especial, o byte. Até hoje, byte significa um número binário de 8 bits (algarismos).
A palavra byte, em inglês, tem a mesma pronúncia da palavra bite, que significa mordida. Assim, a palavra nibble, que em inglês significa mordiscada, se transformou em um apelido para números binários de 4 bits (metade do tamanho de um byte).
A partir dessas definições, é fácil perceber que um byte pode ser representado por um número hexadecimal de 2 dígitos, enquanto são necessários 8 para representar o mesmo número em binário.
