NotasDeAulaCalculoIII

(1)

C´

alculo Diferencial e Integral III:

M´

etodos para Solu¸

c˜

ao de Equa¸

c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

Jos´e Ricardo Ferreira de Almeida 7 de novembro de 2010

(2)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Desenhe gr´aficos com Winplot . . . 2

1.2 Defini¸c˜ao de ED . . . 3 1.3 Classifica¸c˜ao de ED’s . . . 3 1.3.1 Pelo tipo . . . 3 1.3.2 Pela ordem . . . 4 1.3.3 Quanto a linearidade . . . 4 1.4 Exerc´ıcios . . . 4

2 Métodos para solu¸cão de Equa¸cões Diferenciais de 1a ordem 5 2.1 Problema de Valor Inicial . . . 5

2.2 Equa¸c˜ao Separ´avel . . . 5

2.2.1 Solu¸c˜ao . . . 6

2.2.2 Exemplo . . . 6

2.2.3 Exerc´ıcios . . . 6

2.3 Equa¸c˜oes Exatas . . . 6

2.3.1 Solu¸c˜ao . . . 6

2.3.2 Exemplo . . . 7

2.3.3 Exerc´ıcios . . . 7

2.4 M´etodos de substitui¸c˜ao . . . 7

2.4.1 EDO na forma y0 = f (ax + by + c) . . . 7

2.4.2 EDO na forma y0 = fy x . . . 7 2.4.3 Exemplos . . . 8 2.4.4 Exerc´ıcios . . . 8 2.5 Fator de Integra¸cão . . . 8 2.5.1 EDO linear . . . 8 2.5.2 EDO não linear . . . 9 2.6 Equa¸cão de Bernoulli . . . 11 2.7 Equa¸cão de Ricatti . . . 12 2.8 Exemplos de aplica¸cão . . . 12 2.8.1 Exerc´ıcios . . . 12

3 Equa¸cões lineares de Segunda ordem 13 3.1 A Equa¸cão Homogênea . . . 13

3.2 Independˆencia Linear . . . 13

3.3 Exerc´ıcios . . . 14

3.4 Conjunto Fundamental de Solu¸c˜oes . . . 14

3.5 M´etodo de Redu¸c˜ao de Ordem . . . 14

3.5.1 Demonstra¸c˜ao . . . 14

3.5.2 Exemplos . . . 15

3.5.3 Exerc´ıcios . . . 15

3.6 Equa¸c˜ao com coeficientes constantes . . . 15

3.6.1 Exemplo . . . 16 i

(3)

SUM ´ARIO ii

3.6.2 Exerc´ıcios . . . 16

3.7 Coeficientes indeterminados . . . 17

3.7.1 Exemplos . . . 17

3.7.2 Equa¸c˜oes de ordem superior . . . 17

3.7.3 Exemplos . . . 18

3.7.4 Exerc´ıcios . . . 18

3.8 Método da varia¸cão dos parâmetros . . . 18

3.8.1 Exemplos . . . 19

(4)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Com y = f (x) uma fun¸c˜ao definida IR → IR. Sabemos que a derivada f0(x) = dy

dx, que também é uma fun¸cão de x, ou seja, dy

dx : IR → IR, pode ser obtida a partir da defini¸c˜ao f

0

(x) = dy

dx = lim∆x→0

f (x + ∆x) − f (x) ∆x

ou simplesmente utilizando as regras de deriva¸c˜ao.

O estudo de equa¸cões diferenciais (ED) se dedicada a resolver problemas que envolve fun¸cões e suas derivadas de forma a obter uma expressão para a fun¸cão y = f (x), no caso de equa¸cões diferenciais ordinárias (EDO) y = f (x).

Por exemplo para a equa¸c˜ao

dy dx = 6x

2_y _(1.1)

é fácil verificar que fun¸cões do tipo

y = ce2x3, (1.2)

onde c é uma constante de integra¸cão são solu¸cões da ED 1.1. Veremos que ao resolver uma ED obteremos como resposta um conjunto de fun¸cões, os gráficos, figura 1.1 e 1.2, ilustram o campo de dire¸cões 1 da ED 1.1 e sua solu¸cão.

Figura 1.1: Campo de dire¸c˜oes da equa¸c˜ao 1.1

Figura 1.2: Gr´afico da solu¸c˜ao da ED 1.1 para diversos valores de c.

1

Campos de dire¸cões são ferramentas valiosas no estudo de solu¸cões de ED da forma dy

dx = f (x, y). Um campo de dire¸cões pode ser constru´ıdo calculando-se f em cada ponto de uma malha retangular consistindo em, pelo menos, algumas centenas de pontos. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da fun¸cão f no ponto. Cada segmento de reta é tangente ao gráfico de uma solu¸cão contendo o ponto.

(5)

CAP´ITULO 1. INTRODU ¸C ˜AO 2

1.1 Desenhe gr´

aficos com Winplot

Para desenhar os graficos das figuras 1.1 e 1.2 podemos utilizar o software WINPLOT [4]. Veja os passos a seguir:

1. Ap´os a abrir a janela principal do software clique na op¸c˜ao 2-dim do menu janela, veja figura 1.3;

Figura 1.3: Janela inicial do software Winplot 2. Para desenhar o campo de dire¸c˜oes

(a) clique no menu equa¸cão, op¸cão Diferencial, subop¸cão dy/dx que surgirá uma caixa de diálogo, figura 1.4, para que possa entrar com a ED.

Figura 1.4: Caixa de diálogo para cria¸cão de campo de dire¸cões

3. Para desenhar o conjunto de fun¸c˜oes solu¸c˜oes da ED 1.1

(a) clique no menu equa¸cão, op¸cão Expl´ıcita, informe a solu¸cão da ED, figura 1.5, por exemplo para ED 1.1 iserimos

ce^(2x^3)

(b) clique no menu equa¸cão, op¸cão Inventário, selecione a equa¸cão que contém a fam´ılia de curvas dependente de c, clique no botão fam´ılia e defina a varia¸cão da constante de c, figura 1.6.

Figura 1.5: Janela de edi¸c˜ao de equa¸c˜oes expl´ıcitas.

Figura 1.6: Caixa de di´alogo para edi¸c˜ao de fam´ılia de curvas.

(6)

1.2 Defini¸

c˜

ao de ED

Portanto podemos ent˜ao definir equa¸c˜ao diferencial da seguinte forma:

Defini¸cão 1.2.1 Equa¸cão Diferencial - é uma equa¸cão que contém as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes, em rela¸cão a uma ou mais variáveis independentes.

1.3 Classifica¸

c˜

ao de ED’s

1.3.1 Pelo tipo

As equa¸c˜oes diferenciais, quanto ao tipo, se classificam em duas classes:

1. EDO - Equa¸cão Diferencial Ordinária: contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes com rela¸cão a uma única variável independente.

Defini¸cão 1.3.1 Seja x ∈ IR a variável independente e y ∈ IR a variável dependente, chamamos de EDO - equa¸cão diferencial ordinária a equa¸cão que relaciona x com y e suas derivadas, ou seja,

F x, y, y0, y0, . . . , yn = 0. (1.3) Exemplos de EDO’s: • x2dy dx+ 2 sin xy = ln x • 2xdy − ydx = 0 • Ld 2 dt2Q(t) + R d dtQ(t) + 1 CQ(t) = E(t) • d 3_y dt3 + t dy dt + cos 2_{t y = t}3 • du dt + dv dt = 1

2. EDP - Equa¸cão Diferencial Parcial: contém derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes com rela¸cão a uma ou mais variáveis independentes.

Defini¸cão 1.3.2 Seja x1, x2, . . . , xn ∈ IR variáveis independentes e y ∈ IR a variável dependente,

com y = (x1, x2, . . . , xn), chamamos de EDP - equa¸c˜ao diferencial parcial a equa¸c˜ao que relaciona

x1, x2, . . . , xn com y e suas derivadas parciais, ou seja,

F x1, x2, . . . , xn, y, ∂y ∂x1 , ∂y ∂x2 , . . . , ∂y ∂xn , . . . ,∂ m_y ∂xm n = 0. (1.4) Exemplos de EDP’s: • ∂P ∂t = α ∂2_P ∂x2 + ∂2P ∂y2 − v₀ 1 −y 2 h2 ∂P ∂x − δP + f • ∂u ∂x = ∂u y • ∂ 2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0

(7)

1.3.2 Pela ordem

A ordem da derivada de maior ordem em uma equa¸cão diferencial é, por defini¸cão, a ordem da ED. Por exemplo: • d 3_y dt3 + t dy dt + cos

2_{t y = t}3 _´_{e uma EDO de 3a ordem.}

• ∂P ∂t = α ∂2_P ∂x2 + ∂2_P ∂y2 − v0 1 −y 2 h2 ∂P

∂x − δP + f ´e uma EDP de 2a ordem. • x2 dy

dx 3

+ 2 sin xy = ln x ´e uma EDO de 1a ordem.

1.3.3 Quanto a linearidade

Uma EDO é chamada de linear quando pode ser escrita na forma: an(x) dny dxn + an−1(x) dn−1y dxn−1 + . . . + a1(x) dy dx+ a0(x) y = h (x) . (1.5) Observe que a variável dependente y e todas as suas derivadas são primeiro grau e cada coeficiente depende apenas da variável independente x.

Uma equa¸cão que não é linear é chamada de não-linear.

1.4 Exerc´ıcios

1. Livro, BOYCE [2], páginas 5 e 6, número 1 ao 33. 2. Livro, BOYCE [2], páginas 14, número 1 ao 18.

(8)

Cap´ıtulo 2

M´

etodos para solu¸

c˜

ao de Equa¸

c˜

oes

Diferenciais de 1a ordem

Dedicaremos este cap´ıtulo para descrever métodos matemáticos para solucionar equa¸cões diferenciais or-dinárias de 1a ordem e problemas de valor inicial (PVI).

2.1 Problema de Valor Inicial

Seja

F (x, y, y0) = 0 (2.1)

uma EDO de primeira ordem e uma condi¸c˜ao inicial

y (x0) = y0. (2.2)

O problema de encontrar a solu¸cão da equa¸cão 2.1 satisfazendo a condi¸cão 2.2 é chamado de PVI - Problema de Valor Inicial1_.

Teorema 2.1.1 Se as fun¸cões p e f são cont´ınuas em um intervalo aberto I = [a, b] ⊂ IR com a < x < b contendo o ponto x = x0, então existe uma fun¸cão y = φ (x) que satisfaz a equa¸cão diferencial

dy

dx+ p (x) y = f (x) (2.3) para cada x ∈ I e que tamb´em satisfaz a condi¸c˜ao inicial

y (x0) = y0 (2.4)

onde y0 ´e um valor inicial arbit´ario.

Teorema 2.1.2 Suponha que as fun¸c˜oes g = g(x, y) e ∂g

∂y são cont´ınuas em um retângulo a < x < b, c < y < d contendo o ponto (x0, y0) 2. Então em algum intervalo x0− h < x < x0+ h contido em a < x < b,

existe uma ´unica solu¸c˜ao y = φ (x) do problema de valor inicial:

dy

dx = g(x, y)

y (x0) = y0.

(2.5)

2.2 Equa¸

c˜

ao Separ´

avel

Defini¸c˜ao 2.2.1 Uma equa¸c˜ao diferencial da forma dy dx =

g(x)

h(y) é chamada separável ou tem variáveis separáveis.

1

PVI tamb´em conhecido pelo nome de problema de Cauchy

2

Nesse caso temos g(x, y) = −p (x) y + f (x) e ∂g

∂y = −p (x), de modo que a continuidade de g = g(x, y) e ∂g

∂y ´e equivalente `a continuidade de p e f .

(9)

CAPÍTULO 2. M ÉTODOS PARA SOLU ¸C ÃO DE EQUA ¸C ÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 6

2.2.1 Solu¸c˜ao

Seja a EDO dy dx =

g(x)

h(y) separ´avel, podemos escrevˆe-la como h(y)dy = g(x)dx da´ı segue que: h(y)dy = g(x)dx ⇒

Z y

h(η)dη = Z x

g(ξ)dξ ⇒ G(y) = F (x) + c, onde C é uma constante arbitária e G(y) e F (x) são primitivas de g(y) e f (x) respectivamente.

2.2.2 Exemplo

Dada equa¸c˜ao: ydy = 4xpy2_{+ 1dx obtenha a solu¸}_c˜_{ao da EDO sujeita a condi¸}_c˜_{ao inicial y(0) = 1.}

Solu¸c˜ao:

Separando as vari´aveis obtemos: p y

y2_{+ 1}dy = 4xdx, integrando, Z y η p η2_{+ 1}dη = Z x 4ξdξ temos: p

y2_{+ 1 = 2x}2_{+ C, onde C ´}_{e uma constante de integra¸}_c˜_ao.

Aplicando a condi¸cão inicial y(0) = 1 segue que c =√2, portanto a solu¸cão do PVI (Problema do valor inicial) é dada por:

p

y2_{+ 1 = 2x}2₊√₂

2.2.3 Exerc´ıcios

1. Livro, BOYCE [2], p´aginas 27 e 28. 2. Livro, ZILL [1], p´aginas 50, 51 e 52.

2.3 Equa¸

c˜

oes Exatas

Defini¸cão 2.3.1 Consideremos M (x, y) e N (x, y) fun¸cões cont´ınuas e com derivadas parciais cont´ınuas num retângulo R = {(x, y) ∈ R|a < x < b, c < y < d}. A equa¸cão

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.6) ´

e uma EDO exata em R quando vale a condi¸c˜ao: ∂M (x, y)

∂y =

∂N (x, y)

∂x (2.7)

em cada ponto do dom´ınio.

2.3.1 Solu¸c˜ao

Como ∂M (x, y) ∂y =

∂N (x, y)

∂x podemos dizer que existe uma fun¸c˜ao F (x, y) tal que ∂F

∂x = M (x, y) e ∂F

∂y = N (x, y). Dessa forma, utilizando a regra da cadeia, segue, M (x, y) + N (x, y)dy

dx = ∂F ∂x dx dx + ∂F ∂y dy dx = d

dxF (x, y(x)) = 0, ou seja a EDO torna-se: d

dxF (x, y(x)) = 0, (2.8)

ou ainda,

(10)

2.3.2 Exemplo

Seja a equa¸cão: 6xy − y3 dx + 4y + 3x2− 3xy2 dy = 0, verifique se a EDO é exata, se for encontre sua solu¸cão geral.

Calculando as derivadas de segunda ordem temos: ∂M

∂y = 6x − 3y 2 _e ∂N ∂x = 6x − 3y 2_{, portanto segue} que ∂M ∂y = ∂N

∂x logo a EDO ´e exata e como ∂F ∂x (x, y) = M , temos: dF = M dx ⇒ dF = 6xy − y3 dx ⇒ Z dF = Z 6xy − y3dx (2.10) ⇒ F = 3x2y − xy3+ g(y) Como dF dy (x, y) = N segue que 3x

2_−3xy2_{+ g}0_{(y) = 4y + 3x}2_−3xy2 _{⇒ g}0_{(y) = 4y, logo g(y) =}

Z

4ydy = 2y2.

Portanto a solu¸cão geral dessa equa¸cão é: 3x2y − xy3+ 2y2= C

2.3.3 Exerc´ıcios

Exerc´ıcios p´aginas 67, 68 da referˆencia [1].

1. Livro, BOYCE [2], páginas 54, números 1 ao 18. 2. Livro, ZILL [1], páginas 67, 68.

2.4 M´

etodos de substitui¸

c˜

ao

Em muitos casos é conveniente introduzir uma mudan¸ca de variável com a finalidade de reduzir a EDO a uma outra EDO conhecida e mais fácil de ser solucionada. Esse recurso pode ser utilizado para converter equa¸cões de Bernoulli, Ricatti e Clairaut.

2.4.1 EDO na forma y0 = f (ax + by + c)

Se a EDO estiver na forma dy

dx = f (ax + by + c) com b 6= 0. Nesse caso, introduzindo a mudan¸ca de vari´avel v = ax + by + c temos dv = adx + bdy ⇒ dy = dv − adx

b substituindo na EDO dy

dx = f (ax + by + c) segue que dv − adx

bdx = f (v), que nos conduzir´a `a seguinte EDO: dv

dx = bf (v) + a (2.11)

que ´e uma EDO separ´avel.

2.4.2 EDO na forma y0 = f y

x

Se a EDO estiver na forma dy dx = f

y x

, à vezes chamada do tipo homogêneo. Introduzindo a substitui¸cão v = y

x temos y = vx ⇒ dy = vdx + xdv que nos conduzir´a `a seguinte EDO: xdv

dx = f (v) − v (2.12)

(11)

2.4.3 Exemplos

Resolva o problema de valor inicial

(2x − y + 4)dy + (x − 2y + 5)dx = 0

y(0) = 2 . Sugestão faća, inicialmente, x = z + a e y = t + b, determine o valores de a e b de forma a eleminar o termo independente e fa¸ca a substitui¸cão u = t

z

2.4.4 Exerc´ıcios

Exerc´ıcios p´aginas 58, 59 e 60 da referˆencia [1].

2.5 Fator de Integra¸

c˜

ao

2.5.1 EDO linear

Defini¸c˜ao 2.5.1 Uma equa¸c˜ao diferencial da forma a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (2.13) ´e chamada de equa¸c˜ao linear.

Dividindo a EDO (2.13) por a1(x), obtemos uma forma mais ´util de uma equa¸c˜ao linear:

dy

dx+ P (x)y = f (x) (2.14) Temos como objetivo encontrar para (2.14) num intervalo I no qual as fun¸cões P (x) e f (x) são cont´ınuas. Usando diferenciais, podemos escrever a equa¸cão (2.14) como:

dy + [P (x)y − f (x)] dx = 0 (2.15) Equa¸cões lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma fun¸cão µ(x) em que:

µ(x)dy + µ(x) [P (x)y − f (x)] dx = 0 (2.16) ´

e uma equa¸c˜ao diferencial exata e pela defini¸c˜ao (2.3.1) temos: ∂N ∂x = ∂M ∂y ⇒ ∂ ∂xµ(x) = ∂

∂y(µ(x) [P (x)y − f (x)]) ou ainda, ⇒ ∂

∂xµ(x) = µ(x)P (x) que ´e uma EDO separ´avel e que podemos determinar µ(x).

Determinando µ(x): dµ µ = P (x)dx ⇒ ln (µ) = Z P (x)dx Logo µ(x) = eR P (x)dx Resumo do M´etodo

1. Para resolver uma equa¸c˜ao linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma 2.14; isto ´e, fa¸ca o coeficiente de dy

dx

2. Identifique P (x) e encontre o fator de integra¸cão eR P (x)dx 3. Multiplique a equa¸cão obtida pelo fator de integra¸cão:

eR P (x)dxdy

dx+ P (x)e

R P (x)dx

y = eR P (x)dxf (x) (2.17) 4. O lado esquerdo da equa¸cão (2.17) é a derivada do produto do fator de integra¸cão e a variável

depen-dente y, isto ´e, d dx h eR P (x)dxy i = eR P (x)dxf (x) 5. Integre ambos os lados da equa¸c˜ao.

(12)

CAPÍTULO 2. M ÉTODOS PARA SOLU ¸C ÃO DE EQUA ¸C ÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 9 Exemplos Resolva a equa¸cão xdy dx− 4y = x 6_ex_. Solu¸cão:

Escrevendo a equa¸c˜ao como dy dx − 4 xy = x 5_ex_{, como P (x) = −}4 x, o fator integrante ´e µ(x) = e −4R _dx x =

e−4 ln|x| = x−4. Multiplicando a equa¸c˜ao pelo fator integrante temos: x−4dy dx− 4x −5 y = xex e obtemos d dxx −4_{y = xe}x

integrando ambos os lados obtemos:

x−4y = xex− ex+ c y = x5ex− x4_ex_{+ cx}4

Exerc´ıcios

1. Exerc´ıcios p´aginas 77 da referˆencia [1].

2. Exerc´ıcios 24 ao 37, p´agina 23 da referˆencia [2].

2.5.2 EDO n˜ao linear

Defini¸c˜ao 2.5.2 Uma equa¸c˜ao diferencial da forma

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (2.18) ´e chamada de equa¸c˜ao linear.

Vimos anteriormente o método para resolver a EDO 2.18 se ela for exata. Porém se ela não for exata podemos propor a multiplica¸cão dessa EDO por uma fun¸cão µ(x, y) a fim de transformá-la numa EDO exata, mas a dificuldade de encontrar a fun¸cão µ(x, y) pode ser tão grande quanto a de resolver a EDO 2.18. Para minimizar as dificuldades proporemos a fun¸cão µ = µ(x) ou µ = µ(y). Portanto a EDO 2.18 passa a ser:

µ(x)M (x, y)dx + µ(x)N (x, y)dy = 0, (2.19) uma EDO, n˜ao linear, homogˆenea, exata. Portanto segue que:

∂

∂y(µ(x)M (x, y)) = ∂

∂x(µ(x)N (x, y)) . (2.20) Derivando ambos os lados obteremos:

µ(x)My(x, y) = µ

0

(x)N (x, y) + µ(x)Nx(x, y), (2.21)

resolvendo a EDO 2.21, separ´avel, obteremos:

µ(x) = e

Rx My (η,y)−Nη (η,y)

(13)

CAPÍTULO 2. M ÉTODOS PARA SOLU ¸C ÃO DE EQUA ¸C ÕES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 10 Exemplo

Para a EDO

3x2y + 2xy + y3 dx + x2_{+ y}2_{dy = 0} _(2.23)

obtemos o campo de dire¸cões com o software WinPlot (menu Janela, op¸cão 2 dim, menu equa¸cão, op¸cão diferencial, dy/dx), veja figura 2.1.

Figura 2.1: Janela para edi¸cão do campo de dire¸cões Multiplicando a equa¸cão 2.23 por µ = µ(x) obtemos

µ(x) 3x2y + 2xy + y3 dx + µ(x) x2_{+ y}2_{dy = 0} _(2.24)

como a EDO ´e exata temos que ∂

∂y µ(x) 3x

2_{y + 2xy + y}3₌ ∂

∂x µ(x) x

2_{+ y}2_, _(2.25)

derivando ambos os lados, resolvendo a EDO separ´avel, obtemos o fator integrante

µ(x) 3x2+ 2x + 3y2 = µ0(x) x2+ y2 + µ(x) (2x) (2.26) ⇒ µ0(x) = 3µ(x) (2.27) ⇒ µ(x) = e3x. (2.28) Pelo m´etodo das equa¸c˜oes exatas segue que:

F (x, y(x)) = Z y e3x x2+ η2 dη (2.29) ⇒ F (x, y(x)) = e 3x _3x2_{y + y}3 3 + g(x). (2.30)

Sabemos ainda que

∂F ∂x = 3e3x 3x2y + y3 + e3x(6xy) 3 + g 0_(x) _(2.31) ⇒ ∂F ∂x = e 3x _3x2_{y + 2xy + y}3_{+ g}0 (x) (2.32)

Comparando a derivada 2.32 com a EDO 2.24 determinamos

g0(x) = 0 ⇒ g(x) = C1, (2.33)

onde C1 é uma constante de integra¸cão, portanto, de acordo com o método das equa¸cões exatas, segue

(14)

e3x 3x2y + y3

3 + C1= C (2.34)

e3x 3x2y + y3 = C (2.35) Com o software WinPlot podemos obter o gráficos das fun¸cões solu¸cões da EDO 2.23, figura 2.5.2.

Figura 2.2: Conjunto de solu¸c˜oes da EDO 2.23 com −0.5 ≤ c ≤ 1.

Exerc´ıcios

1. Exerc´ıcios 19 ao 32, p´agina 54 e 55 da referˆencia [2].

2.6 Equa¸

c˜

ao de Bernoulli

Defini¸cão 2.6.1 Equa¸cões diferenciais ordinárias que podem ser escrita na forma dy

dx + P (x)y = f (x)y

n _(2.36)

são conhecidas por EDO de Bernoulli, ou simplesmente, equa¸cão de Bernoulli. Resolvendo uma Equa¸cão de Bernoulli

Observe que se n = 0 ou n = 1 temos uma EDO, linear, homogênea. Porém para n 6= 0 e n 6= 1, podemos utilizar o método de solu¸cão proposto por Leibniz em 1696.

Inicialmente divideremos a equa¸c˜ao 2.36 por yn dessa forma obtemos y−ndy

dx+ y

−n+1

P (x) = f (x) (2.37)

fazendo v = y−n+1 temos que

dv dx = (−n + 1) y −ndy dx (2.38) ⇒ dy dx = 1 (1 − n) y−n dv dx (2.39)

substituindo na EDO 2.37 teremos dv

dx+ (1 − n) P (x)v = (1 − n)f (x), (2.40) que uma EDO de 1a _{ordem, linear.}

(15)

2.7 Equa¸

c˜

ao de Ricatti

Defini¸cão 2.7.1 Equa¸cões diferenciais ordinárias que podem ser escrita na forma dy

dx = P (x) + Q(x)y + R(x)y

2 _(2.41)

são conhecidas por EDO de Ricatti, ou simplesmente, equa¸cão de Ricatti. Resolvendo uma Equa¸cão de Ricatti

Conhencendo y1 = y1(x) uma solu¸cão particular da EDO 2.41 podemos dizer que a solu¸cão geral da EDO é

y(x) = y1(x) + µ(x) onde µ = µ(x) é uma fun¸cão qualquer de classe C1. Segue então que:

dy dx = dy1 dx + dµ dx, (2.42)

substituindo na equa¸c˜ao 2.41 obteremos dy1 dx + dµ dx = P (x) + Q(x) (y1+ µ) + R(x) (y1+ µ) 2_, _(2.43) expandindo dy1 dx + dµ dx = P (x) + y1Q(x) + y 2 1R(x) | {z } observe edo 2.41 +µQ(X) + 2y1µR(x) + µ2R(x), (2.44) substituindo P (x) + y1Q(x) + y21R(x) por dy1 dx dy1 dx + dµ dx = dy1 dx + µQ(X) + 2y1µR(x) + µ 2_R(x), _(2.45)

simplificando obteremos a equa¸c˜ao 2.46 que uma equa¸c˜ao de Bernoulli. dµ

dx− (Q(X) + 2y1R(x)) µ = µ

2_R(x) _(2.46)

2.8 Exemplos de aplica¸

c˜

ao

1. O n´ıvel y(t) de um reservatório de água em escoamento vertical sob a a¸cão da gravidade em fun¸cão do tempo, pode muitas vezes ser modelado pela chamada lei de Torricelli

dy dt = −h

√

y, (2.47)

onde h é uma constante. Resolva a EDO de Torricelli, sujeita à condi¸cão inicial y(0) = 1 2. A chamada lei do resfriamento de Newton é expressa pela EDO

dT

dt = −k (T − Ta) , (2.48) onde T (t) representa a temperatura de um corpo no tempo t, Ta a temperatura do meio ambiente

(su-postamente constante) e k > 0 a condutividade térmica do material que constitui o corpo. Determine a evolu¸cão da temperatura no tempo, supondo que a temperatura inicial do corpo é T (0) = T0.

2.8.1 Exerc´ıcios

(16)

Cap´ıtulo 3

Equa¸

c˜

oes lineares de Segunda ordem

Nesse cap´ıtulo iremos considerar equa¸c˜oes diferencias ordin´arias lineares de segunda ordem da forma d2y

dx2 + p(x)

dy

dx+ q(x)y = f (x) para x ∈ I (3.1) onde as fun¸cões p(x), q(x) e f (x), consideradas de valores reais, são cont´ınuas no intervalo I = (a, b). O respectivo problema de valor inicial, isto é, a EDO de 2aordem com, agora, duas condi¸cões de iniciais, uma na fun¸cão e outra na derivada primeira.

3.1 A Equa¸

c˜

ao Homogˆ

enea

A EDO linear de 2a ordem é dita homogênea quando o segundo membro é zero, isto é, em rela¸cão a nossa EDO deveremos ter f (x) = 0, ou seja, a seguinte EDO:

d2y

dx2 + p(x)

dy

dx+ q(x)y = 0 (3.2)

A propriedade principal dessa equa¸cão é que o conjunto de suas solu¸cões constitui um espa¸co vetorial real. Isto é, se y1= y1(x) e y2 = y2(x) são solu¸cões da EDO homogênea então a combina¸cão linear

y(x) = C1y1(x) + C2y2 (3.3)

é também solu¸cão da equa¸cão homogênea, para quaisquer números reais, C1 e C2. Essa propriedade é

conhecida como princ´ıpio da superposi¸c˜ao.

Teorema 3.1.1 Princ´ıpio da Superposi¸cão: Se y1 e y2 são solu¸cões da equa¸cão diferencial

d2y

dx2 + p(x)

dy

dx+ q(x)y = 0 (3.4)

então a combina¸cão linear c1y1(x) + c2y2 também é solu¸cão, quaisquer que sejam os valores das constantes

c1 e c2.

3.2 Independˆ

encia Linear

Dizemos que duas solu¸cões y1 = y1(x) e y2 = y2(x) da equa¸cão (3.2) no intervalo I são linearmente

depen-dentes (LD) se existirem constantes C1 e C2, n˜ao simultaneamente nulas, tais que:

y(x) = C1y1(x) + C2y2= 0, para x ∈ I

Caso contr´ario dizemos que y1 = y1(x) e y2 = y2(x) s˜ao linearmente independentes (LI).

(17)

CAPÍTULO 3. EQUA ¸C ÕES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 14 Defini¸cão 3.2.1 Wronskiano Uma condi¸cão necessária e suficiente para que duas solu¸cões y1 = y1(x) e

y2= y2(x) da equa¸c˜ao (3.2) sejam linearmente dependentes ´e que o Wronskiano ou determinante de Wronski

destas solu¸c˜oes, definido por

W [y1(x), y2(x)] = y1(x) y2(x) y₁0(x) y₂0(x) (3.5) se anula em algum x0∈ I. Observa¸c˜oes: W = 0 ⇔ LD W 6= 0 ⇔ LI

3.3 Exerc´ıcios

1. Livro texto [1], p´agina 163, 164 e 165, exer´ıcios de 1 a 45.

3.4 Conjunto Fundamental de Solu¸

c˜

oes

Se y1 = y1(x) e y2 = y2(x) formam um conjunto fundamental de solu¸cões da equa¸cão (3.2), é natural

denominar a expressão y(x) = C1y1(x) + C2y2 com C1 e C2 constantes arbirtrárias, de solućão geral da

equa¸c˜ao homogˆenea.

3.5 M´

etodo de Redu¸

c˜

ao de Ordem

Um procedimenton geral para a obten¸cão de uma segunda solu¸cão para equa¸cão homogênea a partir de uma solu¸cão conhecida y1 = y1(x), é conhecido pelo nome de redućão de ordem. Esse método parte do princ´ıpio

que uma segunda solu¸c˜ao linearmente independente pode ser procurada na forma y2(x) = u(x)y1(x) onde

u(x) deve ser determinada. Seja y1(x) 6= 0. Substituindo y2(x), como acima, na equa¸c˜ao (3.2) e usando o

fato que y1(x) ´e solu¸c˜ao obtemos:

u(x) = Z x e− Rξ 2y0_{1(η)+y1(η)p(η)} y1(η) dη_dξ _(3.6) 3.5.1 Demonstra¸c˜ao

Seja a EDO, homogˆenea, de segunda ordem d2y dx2 + P (x) dy dx + Q(x)y = 0 (3.7) e y1 = y1(x) (3.8)

uma solu¸cão da equa¸cão 3.7. Procuraremos y2 = y2(x) de tal forma que y2 seja solu¸cão da EDO 3.7,

lin-earmente dependente de 3.8. Portanto segue que:

y2(x) = µ (x) y1(x) ⇒ dy2(x) dx = dµ (x) dx y1(x) + µ (x) dy1(x) dx ⇒ d 2_y 2(x) dx2 = d2µ (x) dx2 y1(x) + 2 dµ (x) dx dy1(x) dx + µ (x) d2y1(x) dx2 (3.9)

Utilizando as nota¸c˜oes reduzidas de derivadas, dµ(x) dx = µ

0

(18)

CAP´ITULO 3. EQUA ¸C ˜OES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 15 µ00y1+ 2µ 0 y₁0 + µy₁00+ µ0y1P (x) + µy 0 1P (x) + µy1Q(x) = 0 (3.10) Rearrajando os termos: µ00y1+ 2y₁0 + y1P (x) µ0 + y₁00+ y₁0P (x) + y1Q(x) µ | {z }

observe que y1 ´e solu¸c˜ao da EDO

= 0 (3.11)

Portanto a equa¸c˜ao se reduz a:

µ00y1+

2y0₁+ y1P (x)

µ0 = 0, (3.12)

fazendo µ0 = v ⇒ µ00 = v0 temos uma EDO, homgˆenea, de 1o ordem, separ´avel: v0y1+

2y₁0 + y1P (x)

v = 0, (3.13)

que pode ser reescrita na forma:

v = e

− Rx 2y 0 1+y1P (η) y1 dη

_,

_(3.14)

como µ0 = v obtemos: u(x) = Z x e− Rξ 2y0_{1(η)+y1(η)p(η)} y1(η) dη_dξ _(3.15) 3.5.2 Exemplos

1. Sabendo que y1(x) = e−x ´e solu¸c˜ao da EDO:

d2y dx2 + 2

dy

dx+ y = 0 determine y2(x). Verifique que y1(x) e y2(x) s˜ao linearmente independentes.

2. Sabendo que y1(x) = x3 ´e uma solu¸c˜ao para x2y

00

− 6y = 0, use redu¸c˜ao de ordem para encontrar uma segunda solu¸c˜ao.

3. A fun¸cão y1(x) = x2 é uma solu¸cão para x2y

00

− 3xy0 + 4y = 0, encontre a solu¸c˜ao geral.

3.5.3 Exerc´ıcios

1. Livro texto [1], p´agina 172, exer´ıcios de 1 a 30.

3.6 Equa¸

c˜

ao com coeficientes constantes

Uma EDO linear de segunda ordem, homogˆenea, com coeficientes constantes, ´e da forma d2y

dx2 + a

dy

dx + by = 0 (3.16)

com a e b constantes e y = y(x).

Visto que a derivada da fun¸cão exponencial y(x) = eλx é, quando muito, um múltiplo dela mesma, podemos conduzir a equa¸cão diferencial ordinária a uma equa¸cão algébrica, isto é, λ2+ aλ + b = 0, chamada equa¸cão caracter´ıstica.

1. Ra´ızes reais e distintas

Nesse caso a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial é

y(x) = C1eλ1x+ C2eλ2x (3.17)

(19)

CAP´ITULO 3. EQUA ¸C ˜OES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 16 2. Ra´ızes reais e iguais

Aqui as ra´ızes são tais que λ1 = λ2 = λ. Utilizando o método de redu¸cão de ordem temos

y(x) = (C1+ C2x) eλx (3.18)

com C1 e C2 constantes arbitr´arias.

3. Ra´ızes complexas conjugadas

Neste caso as ra´ızes s˜ao complexas conjugadas, isto ´e, λ1 = α + iβ e λ2 = α − iβ com α e β reais, de

onde segue-se a solu¸c˜ao geral da EDO:

y(x) = C1e(α+iβ)x+ C2e(α−iβ)x (3.19)

com C1 e C2 constantes arbitr´arias.

Tomando a rela¸c˜ao de Euler:

eiθ = cos θ + i sin θ (3.20) podemos escrever

y1(x) = e(α+iβ)x= eαeβxi= eα[cos βx + i sin βx] (3.21)

e

y2(x) = e(α−iβ)x= eαe−βxi= eα[cos βx − i sin βx] (3.22)

.

Efetuando as combina¸c˜oes

y1(x) + y2(x) = 2eαcos βx (3.23)

e

y1(x) − y2(x) = 2ieαsin βx (3.24)

deprezando os valores constantes 2 e 2i, podemos obter duas solu¸c˜oes reais lienarmente independentes

1_:

u(x) = eαcos βx (3.25)

v(x) = eαsin βx (3.26)

Então com base no teorema 3.1.1 temos que a solu¸cão geral pode ser a expressão (3.19) pode ser colocado na forma

y(x) = [A sin(βx) + B cos(βx)] eαx (3.27) onde A e B s˜ao constantes. 3.6.1 Exemplo 1. Resolva o PVI: y00− 6y0+ 13 = 0, y(0) = 2 e y0(0) = 4 3.6.2 Exerc´ıcios

1. Livro texto [1], p´agina 180, exer´ıcios de 1 a 52.

(20)

CAP´ITULO 3. EQUA ¸C ˜OES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 17

3.7 Coeficientes indeterminados

Considere a equa¸cão diferencial ordinária, linear e não homogênea d2_y

dx2 + p(x)

dy

dx+ q(x)y = f (x), para x ∈ I ⊂ IR (3.28) onde as fun¸c˜oes p(x), q(x) e f (x) s˜ao cont´ınuas em I.

Para obter solu¸cão geral para da equa¸cão (3.28) temos que fazer duas tarefas: 1. Encontrar a fun¸cão complementar yc(solu¸cão da EDO homogênea).

2. Encontrar qualquer solu¸cão particular yp da equa¸cão não-homogênea.

A solućão geral para uma equa¸cão não-homogênea em I é então y = yc+ yp

Tomando a equa¸cão não homogênea da forma ay00 + by0 + cy = g(x), em que a, b e c são constantes. Embora o método dos coeficientes indeterminados não se limitar a equa¸cões de segunda ordem, ele se limita a equa¸cões lineares não-homogêneas que têm coeficientes constantes e em que g(x) é uma constante k, uma fun¸cão polinomial, fun¸cão exponencial eαx, sin βx, cos βx, ou somas e produtos dessas fun¸cões.

Ou seja, g(x) é uma combina¸cão linear de fun¸cões do tipo:

k (constante), xn, xneαx, xneαxcos βx e xneαxsin βx (3.29) em que n é um inteiro não negativo e α e β são números reais.

3.7.1 Exemplos 1. Resolva d 2_y dx2 + 4 dy dx− 2y = 2x 2_{− 3x + 6. (Obs.: fa¸ca: y} p = Ax2+ Bx + C)

2. Encontre uma solu¸c˜ao particular para y00− y0 + y = 2 sin 3x.(Obs.: fa¸ca: yp = A cos 3x + B sin 3x)

3. Resolva y00− 2y0− 3y = 4x − 5 + 6xe2x.(Obs.: fa¸ca: yp = Ax + B + Cxe2x+ De2x)

4. Encontre uma solu¸c˜ao particular para y00− y0 + 4y = 8ex. (Obs.: fa¸ca, primeiramente, yp = Aex e

depois yp = Axex)

5. Determine a forma de uma solu¸c˜ao particular para:

(a) y00− 8y0 + 25y = 5x3e−x− 7e−x (Obs.: yp= (Ax3+ Bx2+ Cx + D)e−x)

(b) y00+ 4y = x cos(x) (Obs.: (Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x) (c) y00− 9y0 + 14y = 3x2− 5 sin 2x + 7xe6x

6. Resolva o problema de valor inicial    y00+ y = 4x + 10 sin x y(π) = 0 y0(π) = 2 .

3.7.2 Equa¸c˜oes de ordem superior

O Método dos coeficientes indeterminados dado aqui não é restrito a equa¸cões de segunda ordem, pode também ser usado com equa¸cões de ordem superior:

any(n)+ an−1y(n−1)+ . . . + a1y

0

+ a0y = g(x) (3.30)

com coeficientes constantes. Só é necessário que g(x) consista nos tipos próprios de fun¸cões discutidas anteriormente.

(21)

CAP´ITULO 3. EQUA ¸C ˜OES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 18

3.7.3 Exemplos

1. Resolva y000+ y00 = excos x.(Obs.: Ache a solu¸cão da homogênea e depois busque a solu¸cão particular na forma yp = Aexcos x + Bexsin x)

3.7.4 Exerc´ıcios

1. Livro texto [1], p´agina 193 e 194, exer´ıcios de 1 a 40.

3.8 M´

etodo da varia¸

c˜

ao dos parˆ

ametros

A grande vantagem do método da varia¸cão dos parâmetros é a sua aplicabilidade. Em princ´ıpio, ele pode ser utilizado em qualquer equa¸cão, e não exige nenhum conhecimento prévio sobre a forma da solu¸cão. A idéia básica deste método consiste em substituir as constantes (ou parâmetros) C1 e C2 que aparecem na solu¸cão

geral da equa¸cão diferencial ordinária homogênea associada, por fun¸cões u(x) e v(x), respectivamente, e determinar estas fun¸cões de modo a garantir que a expressão

yp(x) = u(x)y1(x) + vxy2(x) (3.31)

seja solu¸cão da equa¸cão diferencial não-homogênea, sendo y1(x) e y2(x) as duas solu¸cões linearmente

inde-pendentes da respectiva equa¸cão homogênea. Introduzindo yp, como acima, na equa¸cão

d2_y

dx2 + p(x)

dy

dx+ q(x)y = f (x), para x ∈ I ⊂ IR (3.32) Como yp(x) = uy1+ vy2 temos que y

0 p(x) = u 0 y1+ uy 0 1+ v 0 y2+ vy 0 2 impondo a condi¸c˜ao u0y1+ v 0 y2 = 0 (3.33) obtemos: y_p0 = uy₁0 + vy₂0 (3.34) da´ı segue que:

y00_p = u0y₁0 + uy₁00+ v0y0₂+ vy00₂ (3.35) Substituindo na equa¸c˜ao (3.32) obtemos:

u0y₁0 + uy00₁ + v0y0₂+ vy₂00+ puy₁0 + vy0₂+ q (uy1+ vy2) = f (x) (3.36)

Rearrajando:

uy00₁ + puy0₁+ quy1

| {z }

=0,y1 é solu¸cão da EDO homogêna

+ vy₂00+ pvy0₂+ qvy2

| {z }

=0,y2 é solu¸cão da EDO homogêna

+u0y0₁+ +v0y0₂= f (x) (3.37)

Logo:

u0y0₁+ +v0y0₂= f (x) (3.38) Portanto se observarmos, com a condi¸cão (3.33) e a equa¸cão (3.38) temos um sistema linear nas variáveis u0 e v0: u0y1+ v 0 y2 = 0 u0y0₁+ +v0y₂0 = f (x) (3.39) Resolvendo esse sistema pela Regra de Crammer obtemos:

u0 = 0 y2 f (x) y₂0 y1 y2 y0₁ y₂0 (3.40)

(22)

CAP´ITULO 3. EQUA ¸C ˜OES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 19 e v0 = y1 0 y₁0 f (x) y1 y2 y₁0 y0₂ (3.41) Observe que y1 y2 y₁0 y₂0

´e o Wronskiano portanto poderemos escrever

u0 = −y2f (x) W (3.42) e v0 = y1f (x) W (3.43) Integrando: u = − Z y2f (x) W dx (3.44) e v = Z _y 1f (x) W dx (3.45)

Portanto segue que a solu¸c˜ao particular ´e dada por: yp = −y1(x) Z _y 2(x)f (x) W dx + y2(x) Z _y 1(x)f (x) W dx (3.46) 3.8.1 Exemplos

1. Resolva a EDO y00− 4y0 + 4y = (x + 1)e2x.

3.8.2 Exerc´ıcios

(23)

Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[1] ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Equa¸cões Diferenciais, Volume 1; 3a edi¸cão (2001) ed. Pearson Makron Books. (São Paulo)

[2] BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C. Equa¸cões Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno; 8a edi¸cão (2006) ed. Livros Técnicos e Cient´ıficos Editora S.A. (Rio de Janeiro)

[3] OLIVEIRA, Edmundo Capelas, TYGEL, Martin. Métodos Matemáticos para Engenharia; 1a edi¸cão (2005) ed. Sociedade Brasileira de Matemática. (Rio de Janeiro).

[4] WINPLOT. vers˜ao 27 de maio de 2009: Richard Parris, Phillips Exeter Academy, 2009. 1. http://math.exeter.edu/rparris/