Decomposição de Bony e um teorema de regularidade para soluções do sistema de Navier-Stokes

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Decomposição de Bony e um Teorema de Regularidade para Soluções do Sistema de Navier-Stokes

Rômel da Rosa da Silva

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Decomposição de Bony e um Teorema de

Regularidade para Soluções do Sistema de

Navier-Stokes

Rômel da Rosa da Silva

Orientador: José Ruidival dos Santos Filho.

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de São Carlos, como parte dos requisitos para a obten-ção do Título de Mestre em Matemática.

Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar

S586db

Silva, Rômel da Rosa da.

Decomposição de Bony e um teorema de regularidade para soluções do sistema de Navier-Stokes / Rômel da Rosa da Silva. -- São Carlos : UFSCar, 2008.

74 f.

Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 2008.

1. Equações diferenciais parciais. 2. Decomposição Bony. 3. Navier-Stokes, equação de. 4. Espaço de Besov. I. Título.

~

Prata. Dra. Gabriela Dei Valle Planas

ICMC - USP

1\

~

Prot. Dr. Cezar Issao Kondo

Agradecimentos

A Deus pelas oportunidades.

A meus pais, irmãos e a esposa pelo incentivo, pelo apoio e principalmente pelo amor.

Ao professor José Ruidival dos Santos Filho meus sinceros agradecimentos, pela orientação e dedicação a este trabalho, pela amizade e compreensão.

A todos os professores, colegas e amigos que de algum modo participaram da minha formação (prossional e humana).

As demais pessoas que colaboraram com a realização deste trabalho (membros da banca, colegas, amigos, ...).

Resumo

Nosso objetivo neste texto, é apresentar a decomposição J.-M. Bony para o produto de distribuições temperadas e um teorema de regularidade, devido a J.-Y. Chemin e N. Lerner, para soluções do sistema de Navier-Stokes.

Abstract

Our main goal is to present a dissertation about the J.-M. Bony's decom-position for the product of distributions and as application a regularity result, due to J.-Y. Chemin and N. Lerner, for solutions of the Navier-Stokes's system.

Sumário

0 Introdução 8

1 Preliminares 9

1.1 Notações . . . 9

1.2 EspaçosLp _{. . . 10}

1.2.1 Algumas Propriedades Básicas . . . 11

1.3 Distribuições . . . 12

1.3.1 Operações com Distribuições . . . 15

1.4 Convolução . . . 16

1.5 Transformada de Fourier . . . 17

1.5.1 A Transformada de Fourier de uma FunçãoL1 . . . 17

1.5.2 Espaço de Schwartz e Distribuições Temperadas . . . 18

1.5.3 A Transformada de Fourier emLp, 1< p ≤ ∞ . . . 21

1.5.4 Transformada Parcial de Fourier . . . 22

2 Teoria de Littlewood-Paley 24 2.1 Desigualdades de Bernstein . . . 24

2.2 Partição Diádica da Unidade . . . 26

2.3 Decomposição de Littlewood-Paley . . . 29

3 Espaços de Besov 35 3.1 Denição e Exemplos . . . 35

3.2 Propriedades Básicas . . . 37

3.3 O Espaço de Hölder . . . 42

3.4 Decomposição de Bony . . . 45

3.5 Ação de Funções Suaves emBs p,r . . . 49

4 Aplicações para o Sistema de Navier-Stokes 52

4.1 Preliminares . . . 53

4.2 Um Teorema de Regularidade . . . 55

4.3 Demonstração do Lema 4.2.1 . . . 60

4.4 Mais um Resultado . . . 69

4.4.1 O EspaçoCω(X;Y) . . . 69

Capítulo 0

Introdução

Um dos objetivos deste texto é apresentar a decomposição de Bony para o produto de distribuições temperadas pertencentes a um determinado subespaço das distribuições temperadas, tal decomposição foi apresentada em [1]. Como aplica-ção detalharemos um resultado, devido a J.-Y. Chemin e N. Lerner (ver[4]), sobre regularidade para soluções do sistema de Navier-Stokes de uidos incompressíveis

n-dimensionais.

Um dos pilares que permitirá alcançar os objetivos acima citados é a teoria de Littlewood-Paley apresentada no Capítulo 2. Em tal capítulo introduziremos a decomposição de Littlewood-Paley, que caracteriza uma classe grande de funções, e tem sido usada de modo ecaz, na forma da decomposição de Bony, em problemas não-lineares. No terceiro capítulo, utilizando a decomposição de Littlewood-Paley, apresentamos os espaços de Besov, suas propriedades e exemplos. Introduzidos originalmente por Oleg Besov, ganharam maior interesse após a caracterização de Littlewood-Paley feita por Jaak Peetre em 1967. Ainda neste capítulo, usando a Decomposição de Bony, determinamos condições para que subespaços de espaços de Besov sejam álgebra. Por m no quarto capítulo obtemos o resultado de regularidade para soluções do sistema de Navier-Stokes. Os principais textos utilizados para a atingir tais objetivos são [3] e [4].

Capítulo 1

Preliminares

Este capítulo tem por objetivo apresentar informações que serão úteis nos capítulos subseqüentes, por isso, a abordagem será feita de modo sucinto. Muitos dos resultados serão apenas citados, e sugerimos referências onde a demonstração pode ser encontrada, entretanto, alguns resultados virão acompanhados de sua respectiva demonstração ou de um esboço dela. Maiores informações podem ser encontradas nas referências citadas no decorrer do capítulo.

1.1 Notações

Aqui xaremos algumas notações. Indicaremos por| · |, a norma euclidiana

usual em Rn_{, sex∈R}n _{e r >0, então}

B(x, r) = {y∈Rn_{:|x−y|< r}}

é a bola de centroxe raio r,

C(x, r1, r2) ={y∈Rn :r1 <|x−y|< r2}

denotará a coroa de centrox, raio menor r1 e raio maiorr2. Se x, y ∈Rn, coloca-remos x·y =

n

X

j=1

xj ·yj. Se Ωé um aberto doRn, então denotaremos porC∞(Ω), o conjunto das funções denidas emΩ innitamente diferenciáveis com valores em

C. Am de obter uma notação mais compacta para as derivadas parciais, usare-mos multi-índices. Um multi-índice é uma n-upla de inteiros não negativos. Se

α = (α1,· · · , αn)é um multi-índice, então denotaremos

|α|=

n

X

j=1

αj, α! = n

Y

j=1

αj!, ∂α=

µ

∂ ∂x1

¶α1

· · ·

µ

∂ ∂xn

¶αn

.

Deste modo, por exemplo, a regra do produto para derivadas se escreve como

∂α(f g) = X

β+γ=α

α!

β!γ!(∂

β_f

)(∂γg).

Se x= (x1,· · · , xn)∈Rn, então

xα =

n

Y

j=1

xαj

j .

Denotando o conjunto dos inteiros não negativos porNtemos que seα ∈Nn_{, então}

α é uma multi-índice, por vezes, escreveremosα ∈ Nn _{no lugar de escrever, seja}

α um multi-índice. Aqui apresentamos apenas algumas notações que julgamos de

clara interpretação, no decorrer do texto estaremos apresentando novos conceitos e junto a estes outras notações, as quais buscaremos apresentar o mais perto do usual possível.

1.2 Espaços

L

Nesta seção assumiremos alguns conceitos básicos sobre Teoria da Medida, não vamos nos preocupar, por exemplo, em denir integral, mensurabilidade de funções, espaços de medida (tais conceitos podem ser encontrados em [7]). No que segue vamos xar um espaço de medida(X,M, µ), isto é, um conjunto X munido

de uma σ−álgebra Me de uma medidaµ. Se f é uma função mensurável emX

e 1≤p <∞ tomamos

kfkLp def=

µZ

|f|p_dµ

¶1

p

,

se p=∞, então

kfkL∞ = inf{a ≥0 :µ({x:|f(x)|> a}) = 0},

com a convenção de queinf∅=∞. Denimos

é usual denotarLp_{(X,M, µ) porL}p_(µ),Lp_{(X)ou simplesmente porL}p _{quando isto} não causar confusão. Se A é um conjunto não vazio enumerável, então colocamos lp_{(A), em vez de L}p_{(A,P(A), µ). Aqui}

P(A) ={E :E ⊂A}

e µé medida de contagem dada por

µ(E) = X

x∈E

g(x), ∀ E ∈ P(A),

com g :A → R e g(x) = 1, ∀ x ∈ A. Quando não causar confusão usa-se escrever

apenas lp no lugar de lp(A). Se considerarmos que duas funções iguais em quase

todo o ponto denem um mesmo elemento emLp_{, então L}p _{é um espaço vetorial} normado com a normak·kLp, de fato, temos mais do que isto, com tal norma,Lp é

um espaço de Banach, ver [7].

1.2.1 Algumas Propriedades Básicas

Aqui citamos alguns resultados que futuramente, neste texto, vamos fazer referências. Usaremos a convenção de que 1

∞ = 0.

Teorema 1.2.1 (Desigualdade de Hölder) Suponhamos que 1 ≤ p ≤ ∞ e

1

p +

1

q = 1. Se f e g são funções mensuráveis emX, então

kf gkL1 ≤ kfk_Lpkgk_Lq.

Teorema 1.2.2 SeA é um conjunto não vazio enumerável e1≤p≤q ≤ ∞, então

lp(A)⊂lq(A) e k·klq ≤ k·k_lp.

Antes de enunciar o próximo resultado lembremo-nos que se(X,M, µ) e (Y,N, ν)

são espaços de medida, entãoM ⊗ N indica aσ−álgebra produto emX ×Y. Em

tal σ−álgebra pode-se colocar uma medida que é, em um sentido óbvio, o produto

Teorema 1.2.3 (Desigualdade de Minkowski para Integrais)Sejam (X,M, µ)

e (Y,N, ν) espaços de medidaσ−nita, e sejaf ∈ M ⊗ N função mensurável em

X×Y

i) Se f ≥0 e 1≤p <∞, então

µZ µZ

f(x, y)dν(y)

¶p

dµ(x)

¶1

p

≤

Z µZ

(f(x, y))pdµ(x)

¶1

p

dν(y).

ii) Se 1 ≤ p ≤ ∞, f(·, y) ∈ Lp _{q.t.p y e a função}

y → kf(·, y)kLp ∈ L1(ν), então f(x,·) ∈ L1(ν) q.t.p x,

a função x→

Z

f(x, y)dν(y) ∈Lp e

k

Z

f(·, y)dν(y)kLp ≤

Z

kf(·, y)kLpdν(y).

a demonstração, destes resultados, pode ser encontrada em [7], respectivamente nas páginas 174, 178 e 187.

1.3 Distribuições

Antes de apresentarmos a denição de distribuição, vamos denir um im-portante espaço de funções, o espaço das funções testes.

Denição 1.3.1 Seja Ω um aberto do Rn_{. Denotaremos porC}∞

c (Ω), o espaço das funções teste, isto é, o conjunto das funções denidas emΩ à valores complexos

innitamente diferenciáveis com suporte compacto emΩ.

Lembremos que o suporte de uma função contínuaφ : Ω→C é o fecho do conjunto

{x∈Ω :φ(x)= 06 }, denotaremos o suporte deφ porS(φ).

Denição 1.3.2 Se f é uma função à valores complexos, Lebesgue mensurável,

denida emΩ , tal que para cada compactoK ⊂Ω

Z

K

|f|dx <∞

Teorema 1.3.1 Sejaφ∈Cc∞(Rn)satisfazendo

Z

φ(x)dx= 1, S(φ)⊆ {x:|x| ≤1}

e φ≥0, e seja f ∈L1_loc(Rn_{), denimos para ² >0}

f²(x) =

Z

f(x−²y)φ(y)dy=²−n

Z

f(y)φ(x−y

² )dy. (1.3.1)

Então as seguintes armações valem: i) f² ∈C∞(Rn).

ii) Se f(x) = 0 q.t.p fora de um conjunto fechado A, então S(f²)⊆A+{x:|x| ≤²}.

iii) Se f é contínua e S(f) é compacto, f² → f uniformemente quando

²→0.

A demonstração de tal resultado, bem como, dos dois corolários apresentados abaixo, podem ser encontradas, por exemplo, em [9], entretanto, apresentaremos aqui a demonstração do segundo corolário.

Corolário 1.3.1 Se f ∈ L1_(Rn_{) e f}

² é denida por (1.3.1) quando ² > 0 temos

kf²kL1 =

Z

|f²|dx≤ kfkL1 e kf_²−fk_L1 →0 quando²→0 .

Para K ⊂Ω diremos queU é uma vizinhança deK seU é um aberto deΩ tal que

K ⊂U. Temos o seguinte corolário.

Corolário 1.3.2 Seja K um subconjunto compacto de um abertoΩ ⊆ Rn_{. Então} existe ϕ ∈Cc∞(Ω) tal que 0≤ϕ≤1 e ϕ ≡1 numa vizinhança deK.

Demonstração: Como Ω é aberto seu complementar é fechado, assim

temos que δ = d(K,Ωc_{) > 0 ( d(K,Ω}c_{) é a distância de K ao complementar de}

Ω ) pois, a distância de um compacto a um fechado disjunto é sempre positiva.

Sejam²,²1 >0 tais que² < ²1 < ²1+² < δ e sejaχ a função dada por

χ(x) =

  

1, se x∈K1

0, se x6∈K1

onde K1 é denido como K1 = K +{x:|x| ≤²1}. Então ϕ = χ² denida por (1.3.1) satisfazS(χ²)⊆K1+{x:|x| ≤²} ⊆K+{x:|x| ≤²+²1} ⊆Ωdeste modo

|y| ≤1, que x−²y ∈K1.Conseqüentemente

χ²(x) =

Z

χ(x−²y)φ(y)dy

=

Z

|y|<1

χ(x−²y)φ(y)dy

=

Z

1·φ(y)dy

= 1

Denição 1.3.3 Uma sequência (φj)j∈N de funções ∈ C_c∞(Ω) converge a zero em

Cc∞(Ω) se

i) existe um compactoK ⊂Ωtal que S(φj)⊆K, j = 0,1,2, ...

ii) para todo inteiro positivom , as derivadas de ordemm deφj convergem uniformemente a zero quandoj → ∞.

Denição 1.3.4 Seja Ω⊆Rn _{um aberto. Uma aplicaçãou:C}∞

c (Ω)→C linear e sequencialmente contínua segundo a Denição 1.3.3 é chamada de distribuição em

Ω. O espaço das distribuições emΩ é denotado porD′_(Ω).

Por vezes, neste texto, parau∈ D′_{(Ω) e φ∈C}∞

c (Ω) escreveremoshu, φi em vez de

u(φ).

Exemplo 1.3.1 Seja f ∈L1

loc(Ω) dena a distribuiçãoTf por

hTf, φi=

Z

f(x)φ(x)dx,

a linearidade é clara e a continuidade segue da estimativa

|hTf, φi| ≤ kφkL∞ Z

S(φ)

|f(x)|dx.

É interessante notar que se hTf, φi = hTg, φi para toda φ ∈ Cc∞(Ω) e f, g ∈ L1_loc(Ω), então f = g q.t.p, para detalhes ver por exemplo [9], página 11.

Isto permite identicar qualquer função localmente integrávelf, com o funcional Tf e deste modo podemos considerar muitos espaços de funções como subespaços de

D′_{(Ω). É usual escrever simplesmentehf, φi em vez de hT}

f, φi.

Denição 1.3.5 Seu∈ D′_{(Ω)denimos o suporte deu, que denotaremos porS(u),}

como

S(u) ={x∈Ω : ∃Vxtal quehu, φi= 0, ∀φ∈Cc∞(Vx)}c. Agora podemos apresentar a:

Denição 1.3.6 Se Ω é um aberto doRn_{, denotaremos porE}′_{(Ω), o subespaço de}

D′_{(Ω) constituído das distribuições de suporte compacto.}

O próximo teorema, cuja demonstração pode ser encontrada em [9], página 41, garante que distribuições com suporte compacto podem ser estendidas conti-nuamente para C∞(Ω). Antes de apresentar tal teorema lembraremos a noção de

convergência emC∞_(Ω):

Denição 1.3.7 Dizemos que uma seqüência(φj)j∈Nde funçõesC∞converge a zero em C∞_{(Ω) se para todo compactoK e todo inteiro não negativom, as derivadas de}

ordem m de φj convergem uniformemente a zero emK quandoj → ∞. Assim temos:

Teorema 1.3.2 Seja u∈ D′_{(Ω). As seguintes condições são equivalentes:}

i) u∈ E′_(Ω).

ii) Existe um funcional linear contínuov em C∞(Ω) tal que a restrição

v|C∞

c (Ω) é igual a u.

1.3.1 Operações com Distribuições

A soma de distribuições e o produto por escalar, são denidas de maneira óbvia. Seu1, u2 ∈ D′(Ω), φ∈Cc∞(Ω) eλ∈C então,

hu1+u2, φi=hu1, φi+hu2, φie

hλu1, φi=λhu1, φi.

Am de denir outras operações com distribuições vamos introduzir a noção de transposto formal. Suponhamos que existam dois operadores lineares e contínuos,

L e L′ deC_c∞(Ω) emC_c∞(Ω) tais que

Z

Ω

(Lφ)(x)ψ(x)dx=

Z

Ω

Quando isto acontece dizemos queLé o transposto formal deL′ _{e vice-versa. Como}

por hipótese φ, Lφ, ψ, Lψ ∈ Cc∞(Ω) ⊂L1loc ⊂ D′(Ω) (ver Exemplo 1.3.1), (1.3.2) pode ser escrito da forma hLφ, ψi = hφ, L′ψi. Neste caso é possível estender o

operador L:C∞

c (Ω)→Cc∞(Ω) para um operadorL˜:D′(Ω)→ D′(Ω) dado por

hLu, ψ˜ i=hu, L′ψi, ∀u∈ D′_{(Ω), ψ∈C}∞

c (Ω).

Com isto em mente vamos denir outras operações com distribuições. Sef ∈C∞(Ω)

e L : C_c∞(Ω) → C_c∞(Ω) é dado por (Lφ)(x) = f(x)φ(x), temos que L é linear,

contínuo e seu transposto formal é L′ _{= L, assim, a operação multiplicação por}

f ∈C∞(Ω) ca denida para qualquer distribuiçãoupor meio de

hf u, φi=hu, f φi.

Seja {e1,· · · , en} a base canônica do Rn, denindo L : Cc∞(Ω) → Cc∞(Ω) por meio da expressão(Lφ)(x) = (∂ej_φ) (_x)_,vemos, utilizando integração por partes em

relação a xj, que seu transposto formal éL′ =−∂ej, isto é (L′φ)(x) = −(∂ejφ)(x), assim podemos denir para qualquer distribuiçãou a derivada em relação axj por meio da igualdade:

h∂ej_{u, φi=−hu, ∂}ej_{φi, ∀φ ∈C}∞

c (Ω).

1.4 Convolução

Se f e g são duas funções contínuas emRn _{e uma delas tem suporte} com-pacto, então a convolução def e g se dene como

f ⋆ g(x) =

Z

f(x−y)g(y)dy =

Z

g(x−y)f(y)dy.

Mais geralmente temos a denição.

Denição 1.4.1 Se u ∈ D′_(Rn_{) (u ∈ E}′_(Rn_{)) e φ ∈C}∞

c (Rn) (φ ∈C∞(Rn)) deno-taremos comu ⋆ φ a função denida por

u ⋆ φ(x) = hu, φ−_xi

Uma importante utilização deste conceito é obter a demonstração do próximo teo-rema. Antes de enunciá-lo vejamos a:

Denição 1.4.2 Dizemos que uma sequência uj ∈ D′(Ω) j = 1,2,· · · converge a

u∈ D′_{(Ω) se hu}

j, φi converge ahu, φi para todaφ ∈Cc∞(Ω). Neste caso escrevemos

uj →u em D′(Ω). Teorema 1.4.1 C∞

c (Ω) é denso emD′(Ω). Notemos ainda que parau∈ D′_(Rn_{) eφ ∈C}∞

c (Rn) valem as propriedades: i) u ⋆ φ∈C∞_(Rn_{) e suas derivadas são dadas por}

∂α(u ⋆ φ) = (∂αu)⋆ φ =u ⋆ ∂αφ.

ii)S(u ⋆ φ)⊂S(u) +S(φ).

1.5 Transformada de Fourier

1.5.1 A Transformada de Fourier de uma Função

L

Dada uma funçãof ∈L1 _{dene-se a transformada de Fourier def por}

F(f)(ξ) = ˆf(ξ) =

Z

e−ix·ξf(x)dx, ξ ∈Rn

.

Abaixo apresentamos algumas propriedades da transformada de Fourier: i) (αf +βg)ˆ = αfˆ+βgˆ (linearidade).

ii) kfˆk∞ ≤ kfkL1 e ˆf é contínua.

iii)lim|ξ|→∞fˆ(ξ) = 0 (Riemann−Lebesgue).

A propriedade i) e a primeira parte de ii) são claras, a continuidade segue apli-cando o Teorema da Convergência Dominada (ver [7]), a propriedade iii) pode ser obtida a partir do seguinte esquema. Primeiramente consideref ∈C_c∞(Rn_{), escolha}

j ∈ {1,· · · , n} e M > 0 tal que o S(f) ⊂ B(0, M) e 1

Mk∂

ej_fk

L1 < ² (para um ² > 0 dado). Desta forma, se|ξj| > M, obtemos integrando por partes em relação a xj, que

|fˆ(ξ)| ≤ 1 |ξj|

k∂ej_fk

L1

deste modo_fˆ_{(ξ)→0quando|ξ| → ∞, desde que, se|ξ| → ∞, então|ξj| → ∞para}

algum j. O caso geral, segue agora, da densidade deCc∞(Rn) em L1(Rn) a qual resulta do Exemplo 1.3.1 e do Teorema 1.4.1.

1.5.2

Espaço de Schwartz e Distribuições Temperadas

O espaço de Schwartz, que denotaremos porS(Rn_{), consiste de todas as} funções C∞, tais que juntamente com suas derivadas, decaem no innito mais

ra-pidamente que qualquer potência de|x|. Mais precisamente, para qualquer inteiro

não negativo N e para qualquer multi-índiceα denimos

kfkN,α = sup x∈Rn

©

(1 +|x|)N_|∂α_f(x)|ª

e

S ={f ∈C∞:kfkN,α <∞para todoN ∈N, α ∈Nn}. Claramente Cc∞ ⊂ S, mas, temos em S funções como e−|x|

2

, que não tem suporte compacto. A coleçãok·kN,α é uma família contável de semi-normas emS, e podemos usá-la para denir uma topologia emS.

Denição 1.5.1 Dizemos que uma sequência de funções(φk)k∈N converge a 0 em

S se para todoα∈Nn _{eN ∈N,}

lim

k→∞kφkkN,α = 0.

Denição 1.5.2 Um espaço de Fréchet é um espaço vetorial topológico localmente convexo, metrizável e completo.

Proposição 1.5.1 Com a topologia denida pelas semi-normask · kN,α, S é um

espaço de Fréchet.

Demonstração: Ver [7], página 228.

Proposição 1.5.2 Se f ∈C∞ _{então as seguintes armações são equivalentes:}

i) f ∈ S.

ii) xα_∂β_{f é limitada para todos multi-índicesα, β.} iii) ∂α_(xβ_{f) é limitada para todos multi-índicesα, β.}

Esboço da demonstração: Claramente para|β| ≤N temos que|xβ_{| ≤(1 +|x|)}N_. Agora, se d=infn

n

X

j=1

|xj|:|x|= 1

o

então

(1 +|x|)N _≤2N_{(1 +|x|}N₎

≤2N¡_{1 +} 1 d

n

X

j=1

|xN_j |¢,

o que implica na equivalência de i) e ii). A equivalência de ii) e iii) é obtida a partir do fato que cada∂α_(xβ_{f)é uma combinação linear de termos da formax}γ_∂σ_f e vice-versa.

Observação 1.5.1 Outra família de semi-normas, que pode ser usada para denir a topologia emS é:

kfkM = sup

|α|≤M x∈Rn

©

(1 +|x|)M|∂αf(x)|ª, ∀M ∈N. (1.5.1)

Como S ⊂ L1, faz sentido falarmos da transformada de Fourier de uma função f ∈ S, temos o seguinte resultado:

Teorema 1.5.1 A transformada de Fourier é uma aplicação contínua deS em S

tal que _Z

fg¯= 1 (2π)n

Z

ˆ

f¯ˆg

e

f(x) = 1 (2π)n

Z

eix·ξfˆ(ξ)dξ.

Ou seja, F−1_{g(x) = ˇg(x) = (2π)}−n

Z

eix·ξg(ξ)dξ é a inversa da transformada de

A demonstração de tal fato pode ser encontrada em [6]. Como consequência do teorema anterior, podemos utilizar para a denição de convergência emS a família

de semi-normas

kfk∧,k def= sup

|α|≤k ξ∈Rn

n

(1 +|ξ|)k|∂αfˆ(ξ)|o, (1.5.2)

onde k é um inteiro não negativo. Tomandof˜(x) = f(−x), podemos enunciar o

seguinte colorário:

Corolário 1.5.1 Para f ∈ S, fˆˆ= (2π)n_f˜_. Em S temos ainda as propriedades:

i) ϕ ⋆ ψ[(ξ) = ( ˆϕψˆ)(ξ).

ii) ϕψc(ξ) = (2π)−n_{( ˆϕ ⋆ψ}ˆ_)(ξ). iii)∂dα_{ϕ(ξ) = (iξ)}α_ϕˆ(ξ). iv) xdβ_{ϕ(ξ) = (i)}|β|_∂β_ϕˆ(ξ).

Alguns comentários: a propriedade i) pode ser obtida aplicando as denições de transformada de Fourier, convolução e agrupando os termos de modo conveniente. Para vericar ii) basta (graças à fórmula da transformada de Fourier inversa) ve-ricar que ϕψcc = (2π)−n_{ϕ ⋆}[_{ˆ ψ}ˆ _{o que segue de i) e do corolário acima, iii) segue} utilizando integração por partes e aplicando indução em|α|, iv) é obtida derivando

sob o sinal de integração.

Abaixo apresentamos o espaçoS′_.

Denição 1.5.3 O espaço dos funcionais lineares contínuos emS, que

denotare-mos por S′_{, é chamado espaço das distribuições temperadas. Assim temos que uma}

aplicação linearT :S →C está em S′ _se

lim

k→∞T(φk) = 0 sempre que klim→∞φk = 0 em S.

Denição 1.5.4 A transformada de Fourier deT ∈ S′ _{é a distribuição temperada} ˆ

T dada por

ˆ

Teorema 1.5.2 A transformada de Fourier é uma bijeção contínua deS′ _{em S}′ _e

sua inversa também é contínua.

Demonstração: Se TK →T emS′, então para cadaf ∈ S,

ˆ

Tk(f) = Tk( ˆf)→T( ˆf) = ˆT(f).

Além disso, temos que_Tˆ−1 _{= (2π)}−2n_Tˆˆˆ_{deste modo sua inversa também é contínua.}

1.5.3 A Transformada de Fourier em

L

_,

₁

_{< p}

≤ ∞

Sef ∈Lp_{, 1< p≤ ∞, entãof pode ser identicada com uma distribuição} temperada. De fato, paraφ∈ S dena

Tf(φ) =

Z

f φ,

que é convergente, pela Desigualdade de Hölder. Por outro lado, para ver queTf é contínua suponha queφk →0, observemos que por

|Tf(φk)| ≤ kfkLpkφ_kk_Lp′

e pelo fato de kφkk_Lp′ ser uniformemente dominada por uma semi-norma emS de

φk, temos que kfkLpkφ_kk_Lp′ tende a 0 quandok tende ao ∞. Nas páginas 16 e 17

de [6] encontram-se os seguintes resultados:

Teorema 1.5.3 (Desigualdade de Hausdor-Young) Se f ∈ LP_{,1 ≤ p ≤ 2,} então _fˆ_∈L p

p−1 e

kfˆk

L

p

p−1 ≤CkfkLp.

Teorema 1.5.4 ( Desigualdade de Young ) Se f ∈ Lp e g ∈ Lq, então f ⋆ g ∈Lr_{, com} 1

r + 1 =

1

p+

1

q, e

kf ⋆ gkLr ≤ kfk_Lpkgk_Lq.

Também temos o seguinte teorema:

Teorema 1.5.5 Se f ∈ E′_(Rn_{) então f}ˆ_{é uma funçãoC}∞_.

1.5.4 Transformada Parcial de Fourier

Dados um subconjuntoΩdeRn_{e uma funçãof : Ω×R}N _{→Rmensurável,} supondo que para cada compactoK ⊂Ωa

Z

K

dt

Z

RN

|f(t, x)|dx <∞,

o Teorema de Fubini (ver [7] página 65) garante quef é integrável emxpara quase

todo t e portanto podemos denir a transformada de Fourier def(t, x) na variável

x:

˜

f(t, x) =

Z

e−ix·ξf(t, x)dx.

Abaixo,π : Ω×RN _{denota a projeção(t, x)→t.}

Denição 1.5.5 Sejam Ω ⊂ Rn _{um aberto, n, N ≥ 1. Denotaremos como}

C∞

c (Ω;S(RN))o subconjunto deS(Rn×RN) das funçõesφ tais que π(S(φ)) é com-pacto em Ω. Dizemos que uma seqüência φj ∈ Cc∞(Ω;S(RN)) converge para zero em C_c∞(Ω;S(RN_{)), e escrevemosφ}

j →0 em Cc∞(Ω;S(RN)) se existe um compacto xo K ⊂Ω tal queS(φj)⊂K ×RN e φj →0 em S(Rn×RN).

Se∂t denota a derivada em relação a variávelte∂x a derivada em relação a variável x, podemos escrever o próximo teorema, o qual reune propriedades básicas

da transformada parcial de Fourier.

Teorema 1.5.6 Seja F : Cc∞(Ω;S(RN)) → Cc∞(Ω;S(RN)) o operador dado por

F(f) = ˜f. Então F é um operador contínuo inversível cujo a inversa é dada por

f(t, x) = 1 (2π)N

Z

eix·ξf˜(t, ξ)dξ.

Além disto, dados ϕ, ψ ∈ Cc∞(Ω;S(RN)) e multi-índices α e β, valem as seguintes relações:

i) ∂gα

xϕ(t, ξ) =ξαϕ˜(t, ξ). ii) xgβ_{ϕ(t, ξ) = (i)}|β|_∂β

ξϕ˜(t, ξ). iii) ∂gtβϕ(t, ξ) = ∂

β

tϕ˜(t, ξ). iv) Z Z ϕ˜(t, ξ)ψ(t, ξ)dtdξ =

Z Z

ϕ(t, ξ) ˜ψ(t, ξ)dtdξ.

(1.5.3)

Denição 1.5.6 Qualquer funcional linear contínuo sobre o espaço

C∞

Denição 1.5.7 Seja u∈ D′_(Ω;S′_(RN_{)). A transformada de Fourier parcial deu,} indicada por u˜, é denida por:

Capítulo 2

Teoria de Littlewood-Paley

Neste capítulo, apresentaremos uma teoria que tem por idéia básica um pro-cesso de localização. O interesse deste método é que as derivadas atuam de modo muito especial em distribuições cujo a transformada de Fourier tem suporte contido em uma bola ou uma coroa. A decomposição de Littlewood-Paley caracteriza uma classe grande de funções e tem sido usada, via decomposição de Bony, em proble-mas não-lineares. Deste ponto em diante,C indicará uma constante positiva que

pode mudar de linha para linha, porém será sempre independente dos parâmetros envolvidos em cada uma das desigualdades. A referência utilizada aqui é [3].

2.1 Desigualdades de Bernstein

Tais desigualdades são de fato elementos essenciais, via Análise Harmônica, no estudo de funções baseadas emLp_.

Lema 2.1.1 (Desigualdades de Bernstein) Sejam C uma coroa e B uma bola.

Existe uma constante C, tal que para qualquer par de números reais(p, q)

satisfa-zendo q≥p≥1 e qualqueru∈Lp_{, λ >0 temos:} i) S(ˆu)⊂λB⇒ sup

|α|=k

k∂αukLq ≤Ck+1λk+n(

1

p−

1

q)kuk

Lp.

ii) S(ˆu)⊂λC ⇒C−k−1_λk_kuk

Lp ≤ sup

|α|=k

k∂αukLp ≤Ck+1λkkuk_Lp.

Demonstração: Usandoλ−dilatação podemos assumir ao longo de toda a

demons-tração que λ = 1, pois, se S(ˆu) ⊂ λB tomando v(x) = u(λ−1_{x) temos, S(ˆv) ⊂ B,}

∂α_{v(x) = λ}−|α|_(∂α_u)(λ−1_{x), kvk}

Lp = λ n pkuk

Lp e k∂αv(x)k_Lq = λ(−|α|+ n

q)k∂αuk

Lq.

Assim, assumindo o lema válido paraλ = 1, podemos escrever, sup

|α|=k

λ(−|α|+nq)k∂αuk

Lq = sup

|α|=k

k∂αv(x)kLq

≤Ck+1_kvk Lp

=Ck+1λnpk_uk

Lp

o que demonstra i) para qualquer λ. Agora se ii) vale para λ = 1 um processo

análogo ao feito acima, mostra que a propriedade ii) é válida para todo λ. Para

demonstrar i) tomemos φ ∈ C∞

c (Rn) identicamente 1 em uma vizinhança de B, assim temos que uˆ(ξ) = φ(ξ)ˆu(ξ) e, deste modo, se g denota a transformada de

Fourier inversa deφ, podemos escrever,

∂αu=∂αg ⋆ u.

Pela Desigualdade de Young (ver Teorema 1.5.4), temos que

k∂αukLq ≤ k∂αgk_Lrkuk_Lp, com r ∈[0,∞] dado por

1

r + 1 =

1

p+

1

q,

e

k∂α_gk Lr =

µZ

|∂αg(x)|r_dx

¶1

r

=

µZ µ_|

∂αg(x)|r_{(1 +|x|}2₎rn

(1 +|x|2₎rn

¶

dx

¶1

r

(1)

≤ C1k(1 +| · |2)n∂αgkL∞

(2)

≤ C1k(Id−∆)n((·)αφ)kL1

(3)

≤ Ck+1_.

Aqui (1) segue do fato que g ∈ S, (2) da desigualdade kfˆkL∞ ≤ kfk_L1 e (3)

se-gue pois k(Id−∆)n_((·)φ)k

L1 é limitada por uma soma nita de integrais da forma

Z

C∂β((·)α)(x)∂γφ(x)dx, com|β|,|γ| ≤ 2n, e cada uma destas integrais é limitada

por

C sup |γ|≤2n

k∂γφkL∞ Z

S(φ)

A segunda desigualdade de ii) segue diretamente de i). Para provar a primeira desigualdade consideremos uma função_φ˜_{∈ C}∞

c (Rn\ {0}) a qual é identi-camente1 em uma vizinhança da coroaC. Usando a identidade algébrica,

|ξ|2k ₌ X 1≤j1,···,jk≤n

ξ_j2₁· · ·ξ_j2_k

= X |α|=k

(iξ)α(−iξ)α

e colocandogα =F−1((iξ)α|ξ|−2kφ˜(ξ)) temos

X

|α|=k

(−iξ)α_gˆ αuˆ =

X

|α|=k

(−iξ)α_(iξ)α_|ξ|−2k_φ˜(ξ)ˆu

= ˜φ(ξ)ˆu(ξ)

= ˆu(ξ),

e como F(X |α|=k

gα⋆ ∂αu) =

X

|α|=k

(−iξ)αgˆαuˆ segue que

u= X |α|=k

gα⋆ ∂αu. (2.1.1)

Deste modo, já quekgαkL1 ≤ Ck+1, utilizando a Desigualdade de Young (ver

Teo-rema 1.5.4), podemos escrever as seguintes desigualdades,

kukLp ≤

X

|α|=k

kgα⋆ ∂αukLp

≤ X

|α|=k

kgαkL1k∂αuk_Lp

≤Ck+1_k∂α_uk Lp

disto segue a primeira desigualdade de ii).

2.2 Partição Diádica da Unidade

Proposição 2.2.1 Sejam C = C(0,3₄,8₃), B = B(0,4₃). Então: Existem funções

χ∈Cc∞(B,[0,1]) e ϕ ∈Cc∞(C,[0,1]) satisfazendo:

∀ ξ ∈Rn

, χ(ξ) +X

j≥0

ϕ(2−jξ) = 1; (2.2.1)

∀ ξ∈Rn_{\ {}

0}, X

j∈Z

ϕ(2−jξ) = 1; (2.2.2)

|j−j′| ≥2⇒S(ϕ(2−j·))∩S(ϕ(2−j′·)) = ∅; (2.2.3)

j ≥1⇒S(χ)∩S(ϕ(2−j·)) =∅. (2.2.4)

Além disso, se _C˜_=B(0,2

3) +C temos que

|j−j′| ≥5⇒2j′C ∩˜ 2jC =∅; (2.2.5)

∀ ξ∈Rn_, 1

3 ≤χ

2_{(ξ) +}X j≥0

ϕ2¡2−j_ξ¢ _{≤1; (2.2.6)}

∀ ξ ∈Rn_{\ {0},} 1

2 ≤

X

j∈Z

ϕ2(2−j_{ξ)≤1. (2.2.7)}

Demonstração: Tomemosα ∈¡1,4₃¢ e denamos C′ _{=C(0, α}−1_{,2α), temos assim,}

C′ _{⊂ C e mais,}

[

j∈Z

2jC′ _=Rn_{\ {}

0},

pois, sex∈Rn _{e |x|=r >0, então existej ∈Ztal que2}j_α−1 _{< r e r≤2}j+1_α−1_, como α > 1 temos que2j+1_α−1 _<2j_{(2α) assim segue quex∈ 2}j_C′_{. Armamos que}

se j, j′ ∈Z satisfazem |j−j′| ≥2, então

2jC ∩2j′C =∅.

De fato, supondo que2j_{C ∩2}j′

C 6=∅e, sem perda de generalidade, quej′ _{> j temos,} 2j′_· 3

4 ≤2

j_·8

3 o que implica|j

′_{−j| ≤1. Agora, desde queC}′ _{⊂ C o Corolário 1.3.2}

permite tomarθ ∈ C_c∞(C,[0,1]) tal queθ é identicamente1 em uma vizinhança de

C′_{. Deste modo a armação acima garante que a função dada por,}

T(ξ) =X

j∈Z

θ(2jξ),

está bem denida e a soma é localmente nita no espaço Rn_{\ {0}, pois,}

função θ é positiva e vale1 em uma vizinhança deC′_{, segue da propriedade de}

co-bertura [ j∈Z

2jC′ =Rn

\ {0}que a funçãoT é estritamente positiva, de fato maior ou

igual a 1em Rn_{\{0}. Deste modo, é lícito denirϕ :C →[0,1]por}

ϕ = θ

T.

Vamos mostrar agora que denindo,

χ(ξ) = 1−X

j≥0

ϕ(2−j_ξ)

as propriedades (2.2.1)-(2.2.7) são satisfeitas. É claro queϕ ∈ Cc∞(C,[0,1]) e que para ξ 6= 0

X

j∈Z

ϕ(2−jξ) = 1,

assim temos que ϕ satisfaz (2.2.2). Temos também para j ≤ −1 que

S(ϕ(2−j_·))⊂2j_{C ⊂ B daí, paraξ ∈R}n _{tal que|ξ| ≥} 4

3, temos 1 = X

j∈Z

ϕ(2−jξ) =X

j≥0

ϕ(2−jξ)

deste modo segue que S(χ) ⊂ B, e mais, χ ∈ C∞

c (B,[0,1]), de modo que ϕ e χ satisfazem (2.2.1). A armação (2.2.3) segue do fato queS(ϕ(2−j_·))⊂2j_{C e de que}

|j−j′| ≥2⇒2jC ∩2j′C =∅,

(2.2.4) é válida pois paraj ≥1temos2j_·3

4 ≥ 4

3 e deste modoB∩2

j_{C =∅, ∀j ≥1.} Para ver (2.2.5) notemos que_C˜_=C¡_0, 1

12, 10

3

¢

, então se 2j′_{C ∩}˜ ₂j_{C 6=∅ devemos ter}

3 4·2

j _≤2j′

· 10

3 e 1 12·2

j′

≤2j_· 8

3,

o que implica que|j−j′_{| ≤4, de forma que2}j′_˜

C ∩2j_{C =∅sempre que|j−j}′_{| ≥5.}

Demonstraremos agora (2.2.6). Como χ eϕ tem seus valores em [0,1]é claro que

χ2(ξ) +X

j≥0

ϕ2(2−jξ)≤χ(ξ) +X

j≥0

ϕ(2−jξ) = 1,

e do fato que2j_{C ∩2}j′

C 6=∅ apenas quando|j−j′|<2, vemos que para cadaξ xo

a soma χ(ξ) +X

j≥0

ϕ(2−j_{ξ)reduz-se a no máximo três termos, que denotaremos por}

a, bec, os quais satisfazem0< a, b, c <1 e a+b+c= 1, desta forma temos 1 = (a+b+c)2

=a2+b2+c2+ 2ab+ 2ac+ 2bc

De tal desigualdade segue (2.2.6). Analogamente, notando que paraξ ∈ Rn_{\{0} a} soma X

j∈Z

ϕ2(2−jξ) tem no máximo dois termos não nulos, obtemos (2.2.7).

2.3 Decomposição de Littlewood-Paley

Deste ponto em diante,χ e ϕ denotarão duas funções xadas satisfazendo

(2.2.1)-(2.2.7). Com isto em mente, vamos colocar uma notação que será usada no decorrer deste texto.

Notação:

se j ≤ −2 então∆ju= 0, ∀u∈ S′,

∆−1u= (χuˆˇ), ∀u∈ S′,

se j ≥0, então ∆ju= (ϕ(2−j·)ˆu)ˇ, ∀u∈ S′, se j ∈Z entãoSju=

X

j′_≤j−1

∆j′u= (χ(2−j·)ˆu)ˇ, ∀u∈ S′.

A igualdade X j′_≤j−1

∆j′u = (χ(2−j·)ˆu)ˇserá vericada após a Observação 2.3.1. É

interessante notar que parau∈Lp_{, 1≤p≤ ∞,as convoluções}

2jnϕˇ(2j·)⋆ u e 2jnχˇ(2j·)⋆ u

cam bem denidas e são tais que

(2jn_ϕˇ(2j_{·)⋆ u)ˆ =ϕ(2}−j_{·)ˆu e (2}jn_χˇ(2j_{·)⋆ u)ˆ =χ(2}−j_·)ˆu. Deste modo seu∈Lp_{, 1≤p≤ ∞, temos}

∆−1u = 2−nχˇ(2−1·)⋆ u,

∆ju = 2jnϕˇ(2j·)⋆ u, ∀j ≥0,

Sju = 2jnχˇ(2j·)⋆ u, ∀j ≥ −1.

Assim, pelas propriedades da convolução temos

De fato, paraf ∈ S valem as igualdades, h∂α_∆

ju, fi = (−1)αh∆ju, ∂αfi

= (−1)α_hu,∆ j∂αfi

= (−1)α_{hu, ∂}α_∆ jfi

=h∂α_u,∆ jfi

=h∆j∂αu, fi.

A segunda igualdade é consequência da:

Observação 2.3.1 Para qualquer j ∈Z o operador ∆j é tal que

h∆ju, fi=hu,∆jfi, ∀u∈ S′, f ∈ S.

De fato, temos que

h∆ju, fi =h∆ju,fˆˇi

=h∆dju,fˇi

=hu,(ϕ(2−j_{·) ˇf}ˆ)_i e como

(ϕ(2−j_{·) ˇf}ˆ)(_{ξ) =}

Z

e−ix·ξϕ(2jx) ˇf(x)dx

=

Z Z

e−ix·ξϕ(2jx)eiy·xf(y)dxdy (2π)n

=

Z Z

e−ix·(ξ−y)ϕ(2j_x)f(y)dxdy

(2π)n (1)

= (∆jf),

segue a observação. Para ver (1) basta efetuar duas trocas de variáveis na expressão que dene (∆jf).

Na notação apresentada acima, a igualdade Sju =

X

j′_≤j−1

∆j′u dene o

operador Sj, no entanto, a igualdade X

j′_≤j−1

∆j′u = (χ(2−j·)ˆu)ˇ precisa ser

veri-cada. Para isto, graças a Observação 2.3.1 , é suciente mostrar que

¡ X

j′_≤j−1

o que decorre das igualdades

¡ X

j′_≤j−1

∆j′f¢ˆ(ξ) =¡ X

−1≤j′_≤j−1

∆j′f¢ˆ(ξ)

=χ(ξ) ˆf(ξ) + X

0≤j′_≤j−1

ϕ(2−j′_{ξ) ˆf(ξ)}

=¡χ(ξ) + X

0≤j′_≤j−1

ϕ(2−j′ξ)¢fˆ(ξ)

=¡1−X

j′_≥0

ϕ(2−j′ξ) + X

0≤j′_≤j−1

ϕ(2−j′ξ)¢fˆ(ξ)

=¡1−X

j′_≥j

ϕ(2−j′_ξ)¢_fˆ_(ξ)

=¡1−X

j′_≥0

ϕ(2−j′2−jξ)¢fˆ(ξ)

=χ(2−j_{ξ) ˆf(ξ).}

Notemos agora que os operadores∆j eSj mapeiam Lp emLp. Mais ainda, existem constantes positivasC1 e C2 independentes dej ∈Z eu∈Lp tais que

k∆jukLp ≤C₁kuk_Lp e

kSjukLp ≤C₂kuk_Lp.

(2.3.2)

De fato, para u ∈ Lp temos ∆−1u =

Z

ˇ

χ(y)u(· − y)dy e, para j ≥ 0, ∆ju= 2jn

Z

ˇ

ϕ(2j_{y)u(· −y)dy. Assim, sej ≥0temos,}

k∆jukpLp =k2jn

Z

ˇ

ϕ(2jy)u(· −y)dykp_Lp

=k2jn_ϕˇ(2j_{·)⋆ uk}p Lp

(1)

≤ k2jn_ϕˇ(2j_·)kp L1kuk

p Lp

(2)

= kϕˇkp_L1kuk

p Lp,

(para j = −1 contas análogas estimam k∆−1ukLp). Para u ∈ Lp, quando j ≥ −1

temos que Sju= 2jn

Z

ˇ

χ(2j_{y)u(· −y)dy, assim podemos escrever}

kSjukpLp =k2jn

Z

ˇ

χ(2j_{y)u(· −y)dyk}p Lp

=k2jn_χˇ(2j_{·)⋆ uk}p Lp

(3)

≤ k2jn_χˇ(2j_·)kp L1kuk

p Lp

(4)

= kχˇkp_L1kuk

Aqui em (1) e (3) usamos a Desigualdade de Young (ver Teorema1.5.4), (2) pode ser obtida do seguinte modo:

k2jn_ϕˇ(2j_·)k

L1 = 2jn

Z

|ϕˇ(2j_x)|dx

=

Z

|ϕˇ(x)|dx

=kϕˇkL1.

A desigualdade (4) segue analogamente.

Proposição 2.3.1 Seja u∈ S′_(Rn_{). Então u= lim}

j→∞Sju no espaço S ′_(Rn

).

Demonstração: Se f ∈ S(Rn_{) decorre da Observação 2.3.1 que}

hu − Sju, fi = hu, f − Sjfi. Deste modo é suciente demonstrar que

f = lim

j→∞Sjf no espaçoS(R

n_{). Para isto usaremos a família de semi-normask · k}

∧,k denida em (1.5.2). Pela Fórmula de Leibnitz, temos

kf −Sjfk∧,k ≤ sup

|α|≤k ξ∈Rn

n

(1 +|ξ|)k³_|1−χ(2−j_{ξ)| · |∂}α_fˆ(ξ)|´

+ X

0<β≤α

C_αβ2−j|β||(∂βχ)(2−jξ)| · |∂α−βfˆ(ξ)|

!)

,

aqui β, α ∈ Nn _{eβ ≤ α signica queβ}

j ≤ αj, j = 1, ..., n. Como χ é igual a1 em uma vizinhança da origem, usando a Fórmula de Taylor, obtemos que

kf −Sjfk∧,k ≤Cα2−jkfk∧,k+1.

Agora podemos apresentar a:

Denição 2.3.1 Se u∈ S′_(Rn_{) escrevemos}

u=X

j∈Z

∆ju,

Proposição 2.3.2 Seja (uj)j∈N uma sequência de funções limitadas satisfazendo

kujkL∞ ≤ C2N para algum C, N ∈ R e cuja transformada de Fourier de cadau_j

está suportada na coroa2j_C˜_{, aquiC}˜_=C(0, 1 12,

10

3). Então a série

X

j∈N

uj é convergente em S′_.

Demonstração: Seja _φ˜_∈C∞

c (Rn\{0}) identicamente 1 numa vizinhança deC˜ as-sim _φ˜₍₂−j_{·) é identicamente 1 em uma vizinhança de S(ˆu}

j). Tomando

gα =F−1((iξ)α|ξ|−2kφ˜(ξ)), para|α|=k temos

\

gα(2j·)(ξ) = 2−jngˆα(2−jξ)

= 2−jn₂jk_((iξ)α_|ξ|−2k_φ˜₍₂−j_ξ)) e deste modo

uj = 2−jk

X

|α|=k

2jngα(2j·)⋆ ∂αuj,

para ver tal fato, basta tomar a transformada de Fourier da expressão e proceder como na demonstração de (2.1.1). Desta forma para qualquer função testeφ ∈ S

temos

|huj, φi| = |2−jk

X

|α|=k

huj,2jngα(2j·)⋆ ∂αφi| (2.3.3)

= |2−jk X

|α|=k

Z

uj(x)(2jngα(2j·)⋆ ∂αφ)(x)dx|

≤ C2−j(k−N) X |α|=k

k∂αφkL1,

assim, para k > N, temos que X

j∈N

huj, φi é uma série convergente. Deste modo, a expressão

hu, φidef= lim

j→∞

X

l≤j

hul, φi

dene uma distribuição temperada.

Utilizaremos agora os operadores∆j para caracterizar um importante es-paço, o espaço de Sobolev que iremos denotar porHs_{. Aqui H}s _{consiste de todas as} distribuiçõesu∈ S′ _{tal queuˆ∈Ls, o espaço}2 _L2 _{com respeito a medida}(1 +|ξ|2)

s_dξ

(2π)n . Neste espaço podemos denir a norma

kukHs =

µZ

(1 +|ξ|2₎s_|

ˆ

u(ξ)|2_dξ

Nossa intenção é demonstrar o seguinte fato:

kuk2

Hs _∽

X

j≥−1

22jsk∆juk2L2

aqui ∽ indica que existem constantesC1 e C2 tais que

C1

X

j≥−1

22jsk∆juk2L2 ≤ kuk2_Hs ≤C₂

X

j≥−1

22jsk∆juk2L2.

De fato, parau∈ Hs _{utilizando (2.2.6) temos,}

kuk2

Hs =

Z

(1 +|ξ|2)s_|uˆ(ξ)|2_dξ

≤3

µZ

B

(1 +|ξ|2₎s_{|χ(ξ)ˆu(ξ)|}2_dξ

+X

j≥0

Z

2j_C

(1 +|ξ|2₎s_|

ϕ(2−jξ)ˆu(ξ)|2_dξ

!

≤3

µZ

B

(1 +|ξ|2₎s_|[

∆−1u(ξ)|2dξ

+X

j≥0

Z

2j_C

(1 +|ξ|2)s_|∆d

ju(ξ)|2dξ

!

(1)

≤ C

à X

j≥−1

22jsk∆djuk2L2

!

≤C2

à X

j≥−1

22jsk∆juk2L2

!

.

Para obter (1) basta notar quesup

B

(1 +|ξ|2₎s_{<∞ e que paraj ≥0 temos}

sup

2j_C

(1 +|ξ|2)s ₌ ¡_{1 + (2}j8

3)

2¢s

≤ ¡2(2j8

3)

2¢s

= 128 9 2

2js_.

Capítulo 3

Espaços de Besov

Tendo em vista a caracterização do espaço de Sobolev, apresentamos o espaço de Besov, introduzido por Oleg Besov, o qual ganhou maior interesse após a caracterização de Littlewood-Paley feita por Jaak Peetre em 1967. A referência utilizada aqui é [3].

3.1 Denição e Exemplos

Com a notação do parágrafo 2.3, consideraremos:

Denição 3.1.1 Sejam s um número real e (p, r) ∈ [1,∞]2_{. O espaço de Besov} denotado por Bs

p,r é o espaço de todas as distribuições temperadas tais que

kukBs

p,r =k(2

sj_k

∆jukLp)_j∈Zklr₍Z₎ <∞.

Lema 3.1.1 Se r é nito então para qualqueru∈ Bs

p,r temos

lim

j→∞kSju−ukB

s p,r = 0.

Demonstração: Inicialmente notemos que as propriedades deϕ garantem que

|j−j′| ≥2⇒∆j∆j′(u) = 0 (o operador nulo),

deste modo utilizando a Decomposição de Littlewood-Paley obtemos que

∆l(Sju−u) =

            

0 se l < j−1

∆l∆l+1(u) se l=j−1

∆l∆l(u) + ∆l∆l+1(u) se l =j

Assim por (2.3.2) temos k∆l(Sju−u)kLp ≤Ck∆_luk_Lp, desta forma

X

l≥−1

¡

2ls_k∆

l(Sju−u)kLp

¢r

≤Cr X

l≥j−1

¡

2ls_k∆ lukLp

¢r

e como u ∈ Bs

p,r temos que

X

l≥j−1

¡

2ls_k∆ lukLp

¢r

tende a zero quandoj → ∞. Logo

lim

j→∞kSju−ukB

s p,r = 0.

Um exemplo de espaço de Besov é o espaço de Sobolev, de fato: Teorema 3.1.1 Os espaços Hs _{e B}s

2,2 são iguais e suas normas satisfazem a:

1

C|s|+1kukB2s,2 ≤ kukHs ≤C

|s|+1_kuk

Bs

2,2.

Demonstração: Como para j ≥ 0 o suporte da transformada de Fourier de∆ju está contido na coroa2j_{C, limitando inferior e superiormente o valor de(1 +|ξ|}2₎s na integral Z

2j_C

(1 +|ξ|2₎s_|ϕ

(2−jξ)ˆu(ξ)|2_{dξ obtemos que existe uma constanteC tal} que para todos ∈Re uˆ∈L2_loc vale

1

C|s|+12 js_k∆

jukL2 ≤ k∆_juk_Hs ≤C|s|+12jsk∆_juk_L2. (3.1.1)

Usando agora a identidade (2.2.6) obtemos que

1 3kuk

2

Hs ≤

Z

χ2(ξ)(1 +|ξ|2₎s_|uˆ(ξ)|2_dξ+X j≥0

Z

ϕ2(2−j_{ξ)(1 +|ξ|}2₎s_|uˆ(ξ)|2_{dξ ≤ kuk}2

Hs,

isto é,

1 3kuk

2

Hs ≤

X

j≥−1

k∆juk2Hs ≤ kuk2_Hs.

A demonstração segue agora de (3.1.1) (alterando-se a constanteC).

Proposição 3.1.1 As inclusões B0

p,1 ⊂Lp e Lp ⊂ Bp,0∞ valem e são contínuas.

Demonstração: Para u ∈ B0

p,1 temos

X

j∈Z

k∆jukLp < ∞ deste modo obtemos da

Proposição 2.3.1 que u = X

j∈Z

∆ju ∈ Lp e kukLp ≤ kuk_B0

p,1. A segunda armação,

3.2 Propriedades Básicas

Muitas das propriedades dos espaços de Besov são baseadas no seguinte lema:

Lema 3.2.1 Sejam C′ _{uma coroa e B}′ _{uma bola tais que B}′_{∩ C}′ _{6= ∅ e C}′ _{* B}′_{, e}

sejam s ∈R e (p, r)∈[1,∞]2_{. Se (u} j)j≥−1

j∈Z é uma sequência de funções tais que

    

S(ˆuj)⊂2jC′ se j ≥0

S(ˆuj)⊂B′ se j =−1

e k(2js_ku

jkLp)_j≥−1k_lr₍Z₎<∞.

Então,

u= X

j≥−1

uj ∈ Bsp,r e kukBsp,r ≤Csk(2

js_ku

jkLp)_j≥−1k_lr₍Z₎ <∞.

Demonstração: Primeiro observemos que a série X j≥−1

uj é convergente emS′. De fato, utilizando o Lema 2.1.1 e a hipótese obtemos quekujkL∞ ≤C2j(

n

p−s) e como

S(ˆuj) é compacto temos, graças ao Teorema 1.5.5, que uj ∈ C∞. Deste modo pela Proposição 2.3.2 a série X

j≥−1

uj converge em S′. Vamos agora estudar∆j′u.

Denotando porC e B, respectivamente a coroa e a bola da Proposição 2.2.1, segue

que existeN0 ∈Z tal que

|j′_{−j| ≥N}

0 ⇒2jC ∩2j

′

C′ _{=∅ e}

j ≥(N0−1) ⇒

    

B ∩2j_C′ _=∅

B′∩2j_{C =∅.} Assim,

|j−j′| ≥N0 ⇒ F(∆j′u_j) = 0

⇒∆j′u_j = 0.

Agora podemos escrever

k∆j′uk_Lp =k∆_j′ X

j∈Z

ujkLp

=k X

|j−j′_|<N0

∆j′u_jk_Lp

≤C X

|j−j′_|<N0

disto obtemos que

2j′_s

k∆j′uk_Lp ≤C

X

j′≥−1

|j−j′|<N₀

2j′skujkLp

≤C X

j′≥−1

|j−j′|<N₀

2jskujkLp.

Colocando ck =1[−N0,N0](k) edl =1N(l)2

ls_ku

lkLp temos que

2j′sk∆j′uk_Lp ≤C(c_k)_k∈Z⋆(d_l)_l∈Z,

aqui 1X denota a função característica do conjuntoX.

Utilizando a Desigualdade de Young (ver Teorema 1.5.4) obtemos que

Bs

p,r ≤Cs

à X

j≥−1

2rjskujkrLp

!1

r

.

Segue imediatamente deste lema o seguinte corolário. Corolário 3.2.1 O espaço Bs

p,r não depende da escolha das funçõesχ e ϕ usadas na Denição 3.1.1.

Teorema 3.2.1 Sejam 1≤ p1 ≤ p2 ≤ ∞ e 1 ≤r1 ≤ r2 ≤ ∞. Então para qualquer número real s o espaçoBs

p1,r1 mergulha continuamente emB

s−n(_p1

1− 1

p₂)

p2,r2 .

Demonstração: Aplicando o Lema 2.1.1 obtemos

kS0ukLp₂ ≤Ck∆−₁uk_Lp₁ e

k∆jukLp₂ ≤C2jn(

1

p₁−

1

p₂)k∆

jukLp₁.

Assim como lr1₍Z_{) ⊂ l}r2₍Z₎ e para todo _(a

j)j∈Z ∈ lr1(Z) temos

à X

j∈Z

(2j

“

s−n(_p1

1− 1

p₂) ”

k∆jukLp₂)r2

!1

r₂

≤

à X

j∈Z

µ

2j

“

s−n(_p1

1− 1

p₂) ”

C2jn

“ 1

p₁−

1

p₂ ”

k∆jukLp₁

¶r2! 1

r₂

=C

à X

j∈Z

(2js_k∆

jukLp₁)r2

!1

r₂

≤C

à X

j∈Z

(2jsk∆jukLp₁)r1

!1

r₁

=CkukBs p₁,r₁.

Proposição 3.2.1 O espaço Bs

p,r é continuamente mergulhado emS′. Demonstração: Por deniçãoBs

p,r é um subespaço deS′. Deste modo é suciente provar que existe uma constante C e um inteiro positivo M, tal que, para toda

funçãoφ ∈ S tenhamos

|hu, φi| ≤CkukBs

p,rkφkM.

Usando o Teorema 3.2.1 e a igualdade (2.3.3), podemos escrever para N inteiro

sucientemente grande que

|h∆ju, φi| =|2−j(N+1)

X

|α|=N+1

h∆ju,2jngα(2j·)⋆ ∂αφi|

(1)

≤ C2−j_kuk

B−N

∞,∞ sup

|α|=N+1

k2jn_g

α(2j·)⋆ ∂αφkL1

(2)

≤ C2−j_kuk

Bs

p,r sup

|α|=N+1

k∂αφkL1

(3)

≤ C2−j_kuk

Bs

p,rkφkM.

Assim segue da Proposição 2.3.1 que |hu, φi| ≤CkukBs

p,rkφkM. Em (1) usamos que,

u ∈ B−N

∞,∞ ⇒ k∆jukL∞ ≤2jNkuk

B−N

∞,∞. Em (2) aplicamos a Desigualdade de Young

Teorema 3.2.2 Para 1< p, r < ∞ o espaço Bs

p,r equipado com a normak · kBs p,r é

um espaço de Banach e satisfaz as propriedades de Fatou, isto é, se(uq)q∈N é uma sequência limitada em B_{p,r, então existem}s _{u ∈ B}s

p,r e uma subsequência uψ(q) tais que

lim

q→∞uψ(q)=u ∈ S

′ _{e kuk} Bs

p,r ≤Cslim inf_q→∞ kuqkBsp,r.

Demonstração: Primeiro mostraremos as propriedades de Fatou. Usando o Lema 2.1.1 obtemos que a sequência (∆juq)q∈N é limitada em Lp ∩L∞. De fato, como

(uq)q∈N é uma sequência limitada emBp,r, existe uma constantes C >0 tal que

X

j∈Z

(2js_k∆

juqkLp)r ≤C.

Logo2js_k∆

juqkLp ≤C

1

r,∀j ∈Z, q∈N e assim temos

k∆juqkLp ≤C

1

r2−js,∀q∈N,

isto é, (∆juq)q é limitada em Lp. Por outro lado, pelo Lema 2.1.1 segue que

k∆juqkL∞ ≤ C_j2j

n

pk∆

juqkLp, portando (∆_ju_q)_q é limitada em L∞ por C_jC2j n p−s.

Pelo processo diagonal de Cantor existem uma subsequência(uψ(q))q∈N de(u_q)_q∈N e uma sequência(˜uj)j∈N tal que

lim

q→∞

Z

∆juψ(q)(x)φ(x)dx=

Z

˜

uj(x)φ(x)dx,

e

ku˜jkLp ≤ lim

q→∞k∆juqkL

p, ∀j ∈Z, φ ∈ S.

De fato, para j = 1, pelo Teorema de Banach-Alaoglou existe subsequência (∆1uψ1(q))q∈N de (∆1uq)q∈N tal que ∆1uψ1(q)

q→∞

→ u˜1 ∈ Lp. Partindo da sequência

(∆2uψ1(q))q∈N e aplicando o processo acima temos que existe subsequência

(∆2uψ2(q))q∈N de (∆2uψ1(q))q∈N tal que ∆2uψ2(q)

q→∞

→ u˜2 ∈ Lp. Escolhendo sucessivamente para j e usando o processo diagonal, tomando ψ˜(q) = ψq(q), temos que lim

q→∞

Z

∆juψ(q)(x)φ(x)dx =

Z

˜

uj(x)φ(x)dx. Agora, usando que

kvkLp = sup

kuk

Lp′=1

|hv, ui| e o processo diagonal de Cantor, obtemos(ψ(q))q∈N como subsequência de ( ˜ψ(q))q∈N. Como S((∆_ju_q)ˆ) ⊂ 2jC o mesmo segue paraS((˜u_j)ˆ), pois se φ∈ S é tal que S(φ)∩2j_{C =∅ temos que}

disto segue, fazendo q → ∞, que h(˜uj),φˆi = 0. Então, observando que a sequência (2js_k∆

juψ(q)kLp)_q∈N é limitada em lr, pois

k(2js_k∆

juqkLp)_q∈Nk_lr = kuk_Bs

p,r que é limitada por hipótese, parar < ∞ segue,

aplicando a técnica usada acima para obter a subsequência(uψ(q))q∈N, que existe sequência (˜cj)j ∈lr tal que para qualquer(dj)j ∈lr

′ vale que lim q→∞ X j

2js_k∆

juψ(q)kLpd_j =

X

j

˜

cjdj e k(˜cj)jklr ≤ lim

n→∞kuψ(n)klr.

Da igualdade acima obtemos que(2js_ku˜

jkLp)_j ∈lr. Agora o Lema 3.2.1 implica que

a série X j

˜

uj converge emS′ para algumu∈ Bsp,r tal que

kukBs

p,r ≤Csk(2

js_k

˜

ujkLp)_jk_lr.

Disto decorre a validade das propriedades de Fatou, pois N

X

j=1

∆juψ(q) q→∞ → N X j=1 ˜ uj

assim paraϕ ∈ S temos

à _∞ X

j=1

˜

uj− lim q→∞

N

X

j=1

∆juψ(q)

!

(ϕ) =

à _N X

j=1

˜

uj − lim q→∞

N

X

j=1

∆juψ(q)

!

(ϕ) +X

j≥N

˜

uj(ϕ)

e X

j≥N

˜

uj(ϕ) N→∞

→ 0. Agora, veriquemos que Bs

p,r é completo. Se (uq)q∈N é uma sequência de Cauchy em Bs

p,r temos que (uq)q∈N é limitada. Deste modo, pelo já provado acima existem uma subsequência(uψ(q))q∈N e um elementou∈ Bs_p,r tal que

X

j∈N

uψ(q) =u emS′. Usando a hipótese, temos para qualquerε >0umqε tal que

kum−uψ(q)kBs

p,r ≤ε, ∀q, m > qε.

Agora aplicando o método acima para sequência(vq)q∈N, com v_q = u_m − u_ψ(q), obtemos que

kum−ukBs

3.3 O Espaço de Hölder

Aqui apresentamos que outro importante exemplo de espaço de Besov é o espaço de Hölder, aqui denotado porCk,ρ_(Ω).

Denição 3.3.1 Para 0 < ρ < 1, k ∈ N denimos o espaço de Hölder, por meio da seguinte igualdade

Ck,ρ_{(Ω) = {v ∈C(Ω,C) :∂}α_{v ∈L}∞_{se|α| ≤k e} (Λρβv)(x, y) =

∂β_v(x)−∂β_v(y)

|x−y|ρ ∈L

∞_{(Ω×Ω) se |β|=k}

¾

.

Quando não existir risco de confusão denotaremosCk,ρ_{(Ω), apenas por C}k,ρ_{. A} aplicaçãok·kk,ρ :Ck,ρ →R dada por

kukk,ρ =kukL∞+ X

|β|=k

kΛρ_βukL∞

é uma norma em Ck,ρ_{. De fato, se kuk}

k,ρ = 0 temos que kukL∞ = 0 e deste modo

u = 0 q.t.p, mas como u ∈ C(Ω,C) concluímos que u ≡ 0. Do fato de k·kL∞ ser

uma norma segue quekλukk,ρ =|λ|kukk,ρeku+vkk,ρ ≤ kukk,ρ+kvkk,ρ. Além disso com esta normaCk,ρ _{é um espaço de Banach.}

Proposição 3.3.1 Dada u∈ Ck,ρ_{, temos que existe uma constanteC tal que}

sup

j

2j(k+ρ)k∆jukL∞ ≤C_kkuk_Ck,ρ.

Demonstração: Primeiramente observemos, que por (2.3.2) temos para j = −1

que

kS0ukL∞ ≤Ckuk_L∞.

Para todo multi-índiceα temos

∂α_{ϕ(x) = (2π)}−n

Z

eix·ξ(∂αϕ)ˆ(ξ)dξ

= (2π)−n

Z

eix·ξi|α|ξαϕˆ(ξ)dξ

=i|α|_(2π)−n

Z

eix·ξξαϕˇ(−ξ)dξ,

deste modo, como ϕ é identicamente nula em uma vizinhança da origem, segue

fazendox= 0 que _Z