MAT 0143 Aula 14/ 30/04/2014

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MAT 0143

Aula 14/ 30/04/2014

Sylvain Bonnot (IME-USP)

2014

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Resumo:

1 Site:http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html

2 Derivada desen,cos

3 Regra da cadeia

4 Fun¸c ˜oes inversas

5 Derivada da fun¸c˜ao inversa

6 Logaritmos

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Derivada de g = f

⁻¹

Teorema

Seja f uma fun¸cão invers´ıvel, com fun¸cão inversa g. Se f e g forem diferenciáveis, temos que

g⁰(x) = ¹

f⁰(f⁻¹(x)) = ¹

f⁰(g(x)) para todosx∈D_g

for derivável em q=g(p), com f⁰(q)6=0, e se g for continua em p, então g será derivável em p.

Prova:temos que

f(g(x) =x.

Podemos tomar a derivada:

f⁰(g(x).g⁰(x) =1⇒g⁰(x) = ¹ f⁰(g(x))

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Fun¸c˜ oes Logar´ıtmicas

Observa¸cão: paraa>1,x7→a^x é continua e crescente (ou decrescente), então existe uma função inversa chamadafun¸cão logaritm´ıca com base a, denotada por log_a

log_ax=y⇔a^y=x Propriedades I:

log_a(a^x) =xpara todox∈_R a^log^a^x=xpara todox>0 Propriedades II:

Teorema (Leis dos logaritmos) Se x e y forem>0, ent˜ao:

1 log_a(xy) =log_ax+log_ay

2 log_a(x/y) =log_ax−log_ay

3 log_a(x^r) =r. log_ax onde r ´e qualquer n ´umero real.

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Fun¸c˜ oes Logar´ıtmicas II

Gráfico em rela¸cão àa^x:

Log e limites:

xlim→0⁺log_ax=−_∞e tamb´em lim

xto+_∞log_ax= +_∞

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Logaritmos naturais

Defini¸c˜ao:log_ex=lnx Propriedades I:

lnx=y⇔e^y=x ln(e^x) =xparax∈_R

e^ln^x=xparax>0 Propriedades II:”Mudanc¸a de base”

log_ax= ^ln^x

lna para todoa>_0,a6=₁ Teorema (Logaritmos e derivadas)

1 d

dx(e^x) =e^x,

2 Para todo x∈ (0,∞) _dx^d lnx= ¹_x

3 d

dx(a^x) =a^x. lna

4 d

dx(log_ax) = _x_ln¹_a

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Exemplos

Exerc´ıcio

Determine a derivada:

1 y=e^3x.arcsen(2x)

2 y=x².e^arctg⁽^2x⁾.

3 y=e⁻^3x+ln(arctgx)

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Equa¸c˜ oes diferenciais

Defini¸c˜ao

Uma equa¸cão diferencial é uma equa¸cão cuja incógnita é uma fun¸cão y que aparece na equa¸cão também com as derivadas de y.

Exemplos:y⁰ =3y+1,y⁰⁰ =−y,y.y⁰ =2y⁰⁰. O primeiro teorema ´e muito intuitivo:

Teorema

As solu¸cões da equa¸cão y⁰ =0num intervalo(a,b)são exatamente as fun¸cões constantes.

Teorema

As solu¸cões da equa¸cão y⁰ =k.y num intervalo(a,b)são exatamente as fun¸cões

y(t) =C.e^kt, onde C ´e uma constante.

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Solu¸c˜ ao de y

⁰

= ky

Prova:E facil de ver quey(t) =C.e^ktsão soluç ões.

Agora sejag(t)uma solução. Vamos definir uma nova função h(t) =g(t).e⁻^kt

Ent˜aoh⁰(t) =g⁰(t).e⁻^kt+g(t)(−k.e⁻^kt) =kg(t)e⁻^kt−kg(t).e⁻^kt=0.

Isso implica queh(t) =Constante=C, e depois queg(t) =C.e^kt. Exerc´ıcio (Equa¸c˜ao y⁰ =ky+b)

1 dar um exemplo de solu¸c˜ao.

2 Mudar de variavel: escolher uma fun¸c˜ao simples do tipo u=α.y+β para obter uma nova equa¸c˜ao do tipo u⁰ =K.u

3 resolver a equa¸c˜ao original.

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Aplica¸c˜ ao: decaimento radioativo

Radioatividade:Um n ´ucleo de um ´atomo vai se desintegrar de

maneira espontânea, emitindo radiaç ões (exemplo: emissão alfa, isto é, de uma particula alfa= 2 pr ótons e 2 nêutrons).

Fato experimental: a taxa de transformação de n úcleos radioativos é proporcional ao n úmero de átomos dos n úcleos. AquiN(t)é o n úmero de particulas (função do tempo):

dN(t)

dt = −λ.N(t) Resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao:

N(t) =C.e⁻^λ.t =N₀.e⁻^λ.t

”Vida m´edia” de um elemento: ´e definida comoτ= ^{ln 2}

λ . E o tempo depois do qual a quantidadeNde particulas se reduziu ´a metade. Isto

´e:

N(τ) = ^N⁰ 2

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Decaimento II

Mas ja sabemos que: N(τ) =N₀.e⁻^λ.τent˜ao

N0/2=_N₀_.e⁻^λ.τ ⇒ ¹₂ =_e⁻^λ.τ. Podemos tomar o logaritmo natural:

ln(1/2) =−ln 2=−λ.τ⇒τ= ^{ln 2} λ Exemplos:para CarbonoC¹⁴,τ=5730 anos.

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Aplica¸c˜ ao:Data¸c˜ ao por radiocarbono

Fato 1: A atmosfera contem uma proporc¸˜ao constante de 14−C.

Fato 2: plantas vivas contem uma proporc¸˜ao constante de 14−C radioativo.

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Aplica¸c˜ ao:Data¸c˜ ao por radiocarbono 2

A planta vai morrer:a fotoss´ıntese para, e a quantidade de 14−C dentro da planta vai diminuir (decaimento radioativo)

Consequˆencia:sejaN₁a quantidade que a planta deveria conter, eN_r a quantidade real.

Nr=N₁.e⁻^λ.t ⇒t =11 λln

Nr

N₁

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Estudo da varia¸c˜ ao das fun¸c˜ oes

Objetivo: dadaf :R→R, queremos cortarRem intervalos(a,b) ondef ´e crescente ou decrescente.

Teorema (Teorema do valor m´edio)

Se f for cont´ınua em[a,b]e derivável em(a,b), então existirá pelo menos um c∈(a,b)tal que

f(b)−f(a)

b−a =f⁰(c), ou f(b)−f(a) =f⁰(c).(b−a)

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Intervalos de crescimento e de decrescimento

Teorema

Seja f cont´ınua no intervalo I

1 Se f⁰(x)>0para todo x interior a I, ent˜ao f ser´a estritamente crescente em I,

2 Se f⁰(x)<₀para todo x interior a I, ent˜ao f ser´a estritamente decrescente em I.

Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar o primeiro caso: sejams<t. Ent˜ao existec∈(s,t)tal quef(t)−f(s) =f⁰(c).(t−s)>0.

Exerc´ıcio

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gr´afico:

1 f(x) =x³−3x²+1

2 f(x) =x+ ¹_x

3 x= ^t

1+t²

4 f(x) = (lnx)/x

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Dois teoremas sem demonstra¸c˜ oes

Teorema (do valor intermedi´ario)

Se f for cont´ınua em[a,b]e seγfor um real compreendido entre f(a)e f(b), ent˜ao existir´a pelo menos um cin]a,b[tal que f(c) =γ.

Consequˆencia importante: sef(a)<0,f(b)>0 ef cont´ınua em[a,b] ent˜ao existeγ∈]a,b[tal quef(γ) =0.

Teorema

Se f for cont´ınua em[a,b]ent˜ao exisir˜ao x₁e x2em[a,b]tais que

f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)para todo x∈[a,b]. (Isto é f(x₁)é o valor m´ınimo de f em[a,b], e f(x₂)é o valor máximo)

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Mais consequˆ encias do teorema do valor medio

Exerc´ıcio (e^x →_∞ mais rapidamente que x)

1 Mostrar e^x >x para todo x≥0

2 Mostre que e^x>(x²)_/2para todo x≥0

3 Mostre quelim_x→_∞ ^e

x

x = +_∞

Exerc´ıcio

Prove que a equa¸c˜ao x³−3x²+6=0admite uma ´unica raiz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz.

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M´ aximo, m´ınimo local

Defini¸c˜ao

1 Uma fun¸c˜ao f tem um m´aximo local em c se f(_c)≥ f(_x)para todo x em algum intervalo aberto contendo c.

2 Uma fun¸c˜ao f tem um m´ınimo local em c se f(c)≤f(x)para todo x em algum intervalo aberto contendo c.

Como reconhecer um m´aximo ou m´ınimo local paraf derivavel:

Teorema

Se f tiver um m´aximo ou m´ınimo local em c e f⁰(c)existir, ent˜ao f⁰(c) =0.

Demonstra¸c˜ao:

Defini¸c˜ao

Um n úmero cr´ıtico de uma fun¸cão f é um n úmero c no dom´ınio de f tal que f⁰(c) =0ou f⁰(c)não existe.

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Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

Encontre os n ´umeros cr´ıticos:

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M´ aximo absoluto (ou global)

Defini¸c˜ao

Uma fun¸cão f tem máximo absoluto (ou máximo global) em c se f(c)≥f(x) para todo x∈D_f. O n úmero f(c)é chamado valor máximo de f em D_f. Também f tem um m´ınimo absoluto em c se f(c)≤f(x)para todo x∈D_f, e o n úmero f(c)é chamado valor m´ınimo de f em D_f. Os valores máximo e m´ınimo de f são chamados valores extremos de f .

Como determinar os valores extremos defcont´ınua em[a,b] fechado:

1 Encontre os valores def nos n ´umeros cr´ıticos defem(a,b);

2 Encontre os valores def nos extremos do intervalo (isto ´e, emae b);

3 O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, e o menor desses valores é o valor m´ınimo absoluto.

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Encontre os valores m´ aximo e m´ınimo locais e absolutos de f

Exerc´ıcio