Sumário
• O plano
– Sistema de coordenadas – Distância entre dois pontos – Vetores no plano
– Operações com vetores
O Plano
Sistema de Coordenadas
A A’
O
1 1
x y
Py
Px P
x’
y’
Considere o plano definido pelo par de retas
perpendiculares x e y;
OA = OA’ = unidade;
P = ponto qualquer do plano;
Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis.
x’ e y’ interceptam x e y nos
O Plano
Sistema de Coordenadas
A A’
O
1 1
x y
Py
Px P
x’
y’
Se a e b são os valores nominais de Px e Py em x e y, então eles determinam o ponto P. Ou seja, conhecendo a e b, podemos determinar Px e Py e deles P.
a e b são chamados, respectivamente, de abscissa e ordenada do ponto P e constituem as coordenadas de P:
P(a, b)
O Plano
Sistema de Coordenadas
O x
y b
a
P(a, b) Simplificando....
O Plano
Distância entre dois Pontos
• Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos do plano
• Podemos calcular a distância entre P e Q usando...
– triângulos de forma simples....
y
x y1
y2
x1 x2
P(x1, y1)
Q(x2, y2) Plano XY
O Plano
Distância entre dois Pontos
• Na Figura, montamos o triângulo PSQ
• A distância entre P e Q nada mais é do que a hipotenusa desse triângulo:
y
x y1
y2
x2 x1
P
Q Plano XY
|x1 – x2|
|y1 – y2|
Distância entre P e Q
S
O Plano
Vetores no Plano
• Cada par ordenado (x, y) corresponde a um ponto no plano
• Se (x, y) (0, 0), além do ponto, podemos também fazer corresponder ao par (x, y) uma seta:
P(x, y)
O Plano
Vetores no Plano
• Quando usamos uma seta para representar o par (x, y), podemos associar a este par ordenado direção, sentido e módulo
– A direção e o sentido do par (x, y) são, respectivamente, a direção e o sentido da seta que o representa
– O módulo é o tamanho dessa seta
– Um objeto com direção, sentido e módulo é chamado de vetor.
O Plano
Vetores no Plano
• O módulo do par (x, y) é o número
• que é a distância da origem ao ponto (x, y)
Considere x2 = y2 = 0 na equação da distância dada anteriormente
O Plano
Vetores no Plano
• Exemplo: Considere o ponto v = (3, 4)
A direção é a direção da reta definida pelos pontos O(0, 0) e P(3, 4)
O sentido de v é de O para P
O módulo de v é o comprimento da seta OP:
• OBS: O = (0, 0), ou 0, é chamado de vetor nulo, não
sendo possível associar-lhe os conceitos de direção e
sentido
O Plano
Vetores no Plano
• Podemos ter um vetor que comece de qualquer posição, não necessariamente, da origem
y
x A
B
Vetor AB
C
O
Vetor OC
Vetor AB = Vetor OC
x2 - x1 y2 - y1
= (x2, y2)-(x1, y1) = (x2-x1, y2-y1)
O Plano
Operações com Vetores
• Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e k R:
Adição de vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
• Multiplicação de um vetor por um escalar:
• k.u = (k.x1, k.y1)
O Plano
Operações com Vetores
• Propriedades da Adição de Vetores
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
u + 0 = u
• 0 = Vetor Nulo
Considerando u, v e w como vetores quaisquer
O Plano
Operações com Vetores
• Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar
k.(u + v) = k.u + k.v
(k1 + k2).u = k1.u + k2.u
k1.(k2.u) = (k1.k2).u
1.u = u e 0.u = 0
número zero
vetor nulo
O Plano
Operações com Vetores
• O vetor (-1).u é indicado por –u e é chamado o oposto de u
y
x -u
u
O Plano
Operações com Vetores
• O vetor k.u tem a mesma direção de u
u e k.u são retas paralelas
Os sentidos dependem do sinal de k
• Se k < 0, o sentido se inverte e k.u é o oposto de u
Os módulos de u e k.u são relacionados
• ||k.u|| = |k|.||u||
|| || = módulo do vetor
| | = módulo do escalar
O Plano
Operações com Vetores
• Representação gráfica da soma de dois vetores
y
x u
v 0
A
C
B
u+v
A seta que representa u + v é uma das diagonais do paralelo- gramo cujos lados são as setas que representam u e v.
Dados os vetores A(2,1) e B(3,2), faça o gráfico da soma deles.
O Plano
Operações com Vetores
• Sejam u e v vetores e k um escalar:
k.u = 0 k = 0 ou u = 0
||u|| 0
||u|| = 0 u = 0
||u + v|| ||u|| + ||v||
• Desigualdade triangular
u
v u+v
O Plano
Operações com Vetores
• Exemplo 1: Vetor unitário
Vetor cujo módulo é igual a 1
Exs: (
√2/2, √2/2), (1, 0), (0, 1), etc
Para obter um vetor unitário, basta tomar um vetor qualquer não nulo e multiplicá-lo pelo inverso de seu módulo
Observe que isso não afeta o sentido e a direção
do vetor! Apenas seu módulo!
• Exemplo 2 (2.4): Determine x para que se tenha AB = CD, sendo
A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) e D(2x, x + 6)
• Solução:
AB = (4 – x, x + 3 – 1) = (4 – x, x + 2) CD = (2x – x, x + 6 – (x + 2)) = (x, 4) Logo: (4 – x, x + 2) = (x, 4)
4 – x = x x = 2 x + 2 = 4 x = 2
As duas soluções têm que ser iguais ou não há solução possível
O Plano
Operações com Vetores
• Exemplo 3 (2.5): Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3, -7), sabendo que sua origem é o ponto A(2, 1)
• Solução:
Sem considerar direção e sentido, o que temos é:
Logo:
x – 2 = 3 x = 5 y – 1 = -7 y = -6
A(2, 1)
B(x, y) v(3, -7)
O Plano
Operações com Vetores
O Plano
Operações com Vetores
• Exemplo 4 (2.11(a)): Dado dois vetores u = (2, -1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que
3(u + w) – 2(v – w) = 0
• Solução:
3(u + w) – 2(v – w) = 0 6 + 3x – 2 + 2x = 0
3((2, -1) + (x, y)) – 2((1, 3) – (x, y)) = 0 3y – 3 – 6 + 2y = 0 3(2 + x, y – 1) – 2(1 – x, 3 – y) = 0
(6 + 3x, 3y – 3) – (2 – 2x, 6 – 2y) = 0 Logo: x = -4/5, y = 9/5
w = (-4/5, 9/5)
• Exemplo 5 (2.15): Encontre k1 e k2, escalares, tais que: v = k1.u + k2.w, sendo
v = (2, 3), u = (-1, 2), w = (1, 2)
• Solução:
(2, 3) = k1.(-1, 2) + k2.(1, 2) (2, 3) = (-k1 + k2, 2.k1 + 2.k2)
-k1 + k2 = 2 2.k1 + 2.k2 = 3
Logo: k1 = -1/4 e k2 = 7/4
O Plano
Operações com Vetores
O Plano
Operações com Vetores
• Exemplo 6 (2.22): Dados A(1, 3) e B(2, 2), determine x para
que a reta definida pelo ponto médio AB e o ponto X(x, 0) seja paralela ao vetor v = (1, 2)
• Solução:
Pmédio = AB/2 = ((1+2)/2,(3+2)/2) = (3/2, 5/2) XP = (xp, yp)-(xx, yx) = (3/2, 5/2) – (x, 0)
XP = ((3/2)-x, 5/2)
Se XP é paralelo ao vetor v = (1, 2), então
(1, 2) = k((3/2)-x, 5/2) 5k/2 = 2 => k = 4/5
(1, 2) = (k((3/2)-x), 5k/2), logo k((3/2)-x = 1 => x = 1/4
y
x 0
A
B v
X(x, 0)
Pm(a, b)
