Proposta para novos cursos de Geometria Diferencial na gradua¸c˜ ao do MAT-IME USP
Marcos M. Alexandrino
Rudimentos de geometria Riemanniana
1 Geometria Diferencial I
Este curso ´e uma disciplina obrigat´oria oferecida no 4o per´ıodo sub- stituindo o curso de Geometria Linear na grade curricular. O curso de Geometria Linear (Mat 0232) deixa de ser obrigat´orio e passa a ser eletivo.
Neste curso dar-se-a grande ˆenfase ao estudo das superf´ıcies parametrizadas emR3. O conte´udo do curso ´e semelhante ao conte´udo do atual curso de Ge- ometria Diferencial (Mat 0326), o qual deixar´a de existir. A maior diferen¸ca
´e que a disciplina proposta tem menos pr´e-requisitos (apenas C´alculo III - Mat0205), abrindo m˜ao de alguns t´opicos, os quais ser˜ao vistos na disciplina de Geometria Diferencial II. Por exemplo, o aluno n˜ao ver´a neste curso o enunciado ou demonstra¸c˜ao do teorema de Gauss-Bonnet.
Objetivo: Estudo de curvas e superf´ıcies em R3 Conte´udo:
1. Curvas em R3, equa¸c˜oes de Frenet, curvatura, tors˜ao. Teorema fun- damental das curvas.
2. Superf´ıcies parametrizadas, plano tangente e campos de vetores.
3. Formas fundamentais, curvatura normal, curvaturas e dire¸c˜oes princi- pais, curvatura de Gauss e curvatura m´edia.
4. Teorema Egregium.
5. Derivada covariante, paralelismo e geod´esica.
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6. Enunciado do teorema da fun¸c˜ao inversa e aplica¸c˜oes. Superf´ıcies mer- gulhadas emR3, cartas e aplica¸c˜oes diferenciaveis entre superf´ıcies.
7. T´opico Livre.
Pr´e-requisitos: Calculo III, Algebra Linear.
Bibliografia b´asica:
M.P. Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice-Hall, 1976.
O’Neil Elementary Differential Geometry Academic Pres 1966.
Gray Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces CRC Press Inc, 2000.
W. Kuhnel Differential Geometry: Curves - Surfaces - ManifoldsAmerican Math- ematical Society ,Second Edition, 2005.
2 Geometria Diferencial II
Este curso ´e uma disciplinaobrigat´oria oferecida no 6o per´ıodosubsti- tuindo o atual curso de Geometria Diferencial (Mat0326) na grade curricular.
Assim, o curso de Geometria Diferencial (Mat0326) ser´a desativado.
Neste curso, o aluno aprofundar´a seu conhecimento em Geometria Difer- encial travando contato com rudimentos de Geometria Riemanniana. Alguns conceitos e resultados ser˜ao apresentados, varios deles sem demonstra¸c˜ao.
Um tratamento mais completo e sistem´atico sobre o assunto ser´a deixado para cursos mais avan¸cados.
Objetivo: Apresentar alguns conceitos, exemplos e resultados da Ge- ometria Riemanniana dando uma vis˜ao mais abrangente de alguns objetos introduzidos no curso de Geometria Diferencial I.
Conte´udo:
1. Variedades e M´etricas: Defini¸c˜ao e exemplos de variedades (pr´e ima- gens de valores regulares, fibrado tangente, espa¸co projetivo). Defini¸c˜ao de aplica¸c˜oes diferenciaveis e campos vetorias. Defini¸c˜ao de m´etrica e exemplos (subvariedades mergulhadas em Rn, espa¸co hiperb´olico, m´etrica invariante a esquerda em um grupo de Lie).
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2. Conex˜ao Riemanniana e Transporte Paralelo: Defini¸c˜ao de Conex˜ao Riemanniana, demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao que garante que dado uma m´etrica existe apenas uma conex˜ao Riemanniana. Transporte paralelo.
3. Geod´esicas e o Teorema de Hopf-Rinow: Defini¸c˜ao de geod´esica e fluxo geod´esico. Demonstra¸c˜ao das propriedades minimizantes de geod´esicas.
Demonstra¸c˜ao da existˆencia de vizinhan¸cas normais. Defini¸c˜ao de var- iedades completas. Demonstra¸c˜ao do teorema de Hopf-Rinow
4. Campos de Jacobi e Tensor Curvatura: Defini¸c˜ao do tensor curvatura e enunciado de algumas propriedades. Defini¸c˜ao da equa¸c˜ao de Ja- cobi. Demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao que relaciona campo de Jacobi e varia¸c˜oes por geod´esicas. C´alculo de campos de Jacobi em superf´ıcies de curvatura constante.
5. Equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi: Apresenta¸c˜ao e demonstra¸c˜ao da equa¸c˜ao de Gauss. Coment´arios sobre a equa¸c˜ao de Codazzi para hipersu- perf´ıcies imersas em espa¸cos de curvatura constante.
6. Teorema de Gauss-Bonnet: Enunciado e aplica¸c˜oes (demonstra¸c˜ao op- cional).
7. T´opico Livre.
Pr´e-requisitos: Geometria Diferencial I, Topologia, C´alculo V.
Sugest˜ao de Cronograma:
1. Semana 1-4: Variedades e M´etricas. Conex˜ao Riemanniana e Trans- porte Paralelo.
2. Semana 5-8: Geod´esicas e o Teorema de Hopf-Rinow.
3. Semana 9-12: Campos de Jacobi e Tensor Curvatura. Equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi. Teorema de Gauss-Bonnet.
Bibliografia b´asica:
M.P. Carmo Geometria Riemanniana Prentice-Hall, 1976.
M.P. Carmo Differential Geometry of Curves and Surfaces Prentice-Hall, 1976.
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O’Neil Elementary Differential Geometry Academic Pres 1966.
W. Kuhnel Differential Geometry: Curves - Surfaces - ManifoldsAmerican Math- ematical Society ,Second Edition, 2005.
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