DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO E TÉCNICAS FUNDAMENTAIS
RODOLFO LUIS CARMANHAN
Análise dinâmica de uma mini turbina Francis através do método dos elementos finitos
OURO PRETO - MG 2017
Análise dinâmica de uma mini turbina Francis através do método dos elementos finitos.
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Ouro Preto como requisito para a obtenção do título de Engenheiro Mecânico.
Professor orientador: DSc. GUSTAVO PAULINELLI GUIMARAES
OURO PRETO – MG 2017
Catalogação: ficha@sisbin.ufop.br 85f.: il.: grafs; tabs.
Orientador: Prof. Dr. Gustavo Paulinelli Guimarães.
Monografia (Graduação). Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia de Controle e Automação e Técnicas Fundamentais.
1. Maquinas de gravar - Rotativas. 2. Rotores - Dinamica. 3. Scilab (Programa de computador). I. Guimarães, Gustavo Paulinelli. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo.
CDU: 681.5
A Deus dedico mais esta etapa vencida, e agradeço a Ele pelos meus pais.
muita dedicação.
À minha família que me deu forças para a realização deste empreendimento.
E ao professor Gustavo Paulinelli pela orientação para este trabalho.
E a Universidade Federal de Ouro Preto pela disponibilização da estrutura e do material para este trabalho.
“Então Jesus afirmou de novo: "Digo a verdade: Eu sou a porta das ovelhas. Todos os que vieram antes de mim eram ladrões e assaltantes, mas as ovelhas não os ouviram. Eu sou a porta; quem entra por mim será salvo. Entrará e sairá, e encontrará pastagem. O ladrão vem apenas para roubar, matar e destruir; eu vim para que tenham vida e a tenham plenamente. "Eu sou o bom
pastor. O bom pastor dá a sua vida pelas ovelhas.”.
João 10:7-11.
R E S U M O
Este trabalho apresenta a construção de um algoritmo em linguagem SCILAB, baseado no método de elementos finitos para gerar a resposta dinâmica de uma mini turbina Francis com mancal de deslizamento. Máquinas rotativas estão presentes em abundância no parque industrial mundial. É fundamental, portanto, compreender as vibrações causadas pela operação de equipamentos como ventiladores, turbinas, compressores, entre outros. O estudo da resposta dinâmica é de extrema importância para evitar possível colapso caso a operação atinja frequências indesejáveis. Este trabalho teve como objetivo entender os princípios da dinâmica de rotores e aplicá-los para o desenvolvimento de um código em software livre, utilizando o Método de Elementos Finitos. Para tal foi necessário calcular a resposta dinâmica temporal e no domínio da frequência, bem como determinar suas frequências naturais e formas modais para uma estrutura utilizada como estudo de caso: sistema composto por uma mini turbina Francis com mancal de deslizamento e eixo. Os resultados foram semelhantes os observados na literatura. Foi necessário, portanto, desenvolver habilidades em modelagem por elementos finitos, e na programação do algoritmo de elementos finitos em linguagem SCILAB. Os resultados demonstram uma boa aproximação com os resultados presentes na literatura para mancais anisotrópicos. Para estes, o sistema responde em duas frequências diferentes como avaliado pelo algoritmo. Pelas formas da resposta dinâmica no domínio da frequência e do tempo foi possível concluir que o algoritmo apresentou resultados coerentes, com outras pesquisas semelhantes.
Palavras-chave: máquinas rotativas, dinâmica de rotores, método dos elementos finitos, SCILAB, mancais de deslizamento.
ABSTRACT
The current work presents the construction of an algorithm in SCILAB language, based on the Finite Element Method to generate the dynamic response of a Francis mini-turbine with sliding bearing. Electrical rotating machineries are constantly presented in the world industrial park. Therefore, they are essential to understand the vibrations caused by the operation of equipment such as fans, turbines, compressors, among others. The study of the dynamic response is extremely important to avoid possible collapse if the operation reaches undesirable frequencies. This work aimed to understand the principles of rotor dynamics and how to apply them to the development of a code in free software, using the Finite Element Method. In order to do so, it has been necessary to calculate the temporal and frequency response as well as determine its natural frequencies and modal forms for a structure used as a case study: a system composed of a Francis mini-turbine with sliding bearing and shaft. The results were similar to those observed in the literature. It was necessary, therefore, to develop finite element modeling skills and SCILAB finite element algorithm programming. The results have demonstrated a good approximation with the results presented in the literature for anisotropic bearings. For these, the system responds at two different frequencies as evaluated by the algorithm. According to the dynamic response in frequency and time domain it has been possible to conclude that the algorithm has presented coherent results, with other similar researches.
Keywords: Electrical rotating machinery, rotor dynamics, finite element method, SCILAB, sliding bearings.
LISTA DE SIMBOLOS
Letras latinas
𝐴 Área [𝑚2]
𝑐, 𝐶𝑟 Folga do mancal [𝑚]
𝑐𝑥𝑥, 𝑐𝑥𝑧, 𝑐𝑧𝑥, 𝑐𝑧𝑧 Coeficientes estáticos de amortecimento
𝐶𝑥𝑥, 𝐶𝑥𝑧, 𝐶𝑧𝑥, 𝐶𝑧𝑧 Coeficientes dinâmicos de amortecimento [𝑁. 𝑠/𝑚]
𝑑𝑚 Diferencial de massa [𝑐] Matriz de amortecimento
𝑒 Excentricidade do rotor que varia com a rotação [𝑚]
𝐸 Módulo de Young [𝐺𝑃𝑎]
𝑓(𝑥, 𝑡) Torque externo por unidade de comprimento
𝐹 Força [N]
𝑓 Coeficiente de fricção
𝐹𝑟 Força radial no mancal [N]
𝐹𝑡 Força tangencial no mancal [N]
𝐺 Módulo de Cisalhamento [𝐺𝑃𝑎]
ℎ0 Espessura mínima de filme de lubrificante [𝑚]
𝐼𝑜 Momento de inércia polar por unidade do eixo
𝐽(𝑥) Momento de inércia polar ao longo do eixo [𝑚4] 𝑘𝑥𝑥, 𝑘𝑥𝑧, 𝑘𝑧𝑥, 𝑘𝑧𝑧 Coeficientes estáticos de rigidez
𝐾𝑥𝑥, 𝐾𝑥𝑧, 𝐾𝑧𝑥, 𝐾𝑧𝑧 Coeficientes dinâmicos de rigidez [𝑁/𝑚 ] [𝑘] Matriz de rigidez
𝑙, 𝐿 Comprimento do mancal, comprimento do elemento finito [𝑚]
𝑀(𝑥, 𝑡) Momento de torção ao longo do eixo [𝑁. 𝑚]
𝑁 Velocidade de rotação [𝑟𝑒𝑣/𝑠]
𝑃 Pressão no mancal [𝑃𝑎]
𝑄(𝑡) Vetor de forças generalizadas 𝑞(𝑡) Vetor de coordenadas generalizadas
𝑟 Raio do eixo, deflexão do eixo [𝑚]
𝑆 Número de Sommerfeld
𝑇 Torque [𝑁. 𝑚]
𝑢, 𝑤 Graus de liberdade de translação em relação aos eixos X e Z
𝑈 Velocidade [𝑝𝑜𝑙/𝑠]
𝑊 Força atuando no mancal [N]
𝑋 Resposta do modelo de Jeffcott em relação ao eixo X [𝑚]
𝑥(𝑡) Vetor deslocamento [𝑚]
𝑍 Resposta do modelo de Jeffcott em relação ao eixo Z [𝑚]
[𝑚] Matriz de massa Letras gregas
𝛽 Ângulo de fase
𝛾 Ângulo entre a direção da excentricidade e a direção da força externa sobre o rotor 𝜀 Excentricidade normalizada, taxa de excentricidade
𝜃(𝑥, 𝑡) Ângulo de torção da seção transversal
𝜃, 𝛹 Graus de liberdade de rotação em relação aos eixos X e Z
μ Viscosidade absoluta [𝑃𝑎. 𝑠]
𝜔𝑛 Frequência natural [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
𝜔, 𝛺 Frequência de rotação do rotor [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Rotor de uma turbina Francis.. ... 2
Figura 2- Mancal de deslizamento. ... 6
Figura 3- Campo de velocidade entre placa e fluido. ... 9
Figura 4- Variação da viscosidade de alguns fluidos pela temperatura.. ... 11
Figura 5- Mancal seco e mancal lubrificado.. ... 13
Figura 6- Desenho de mancal.. ... 14
Figura 7- Variação da viscosidade com a temperatura em óleos SAE.. ... 15
Figura 8- Espessura mínima do filme de lubrificação e excentricidade em função do número característico do mancal.. ... 17
Figura 9- Variação do coeficiente de atrito pelo numero característico do mancal.. ... 18
Figura 10- Rigidez e amortecimento em um mancal de deslizamento. ... 19
Figura 11- Matriz de rigidez de um mancal. ... 22
Figura 12- Matriz de amortecimento de um mancal... 23
Figura 13- Variação do formato das formas modais de acordo com a rigidez dos mancais. ... 23
Figura 14- Eixo de seção variável, e diferencial de eixo com solicitações.. ... 25
Figura 15- Graus de liberdade de um elemento de eixo.. ... 27
Figura 16- Matriz de massa relativa ao elemento de eixo.. ... 28
Figura 17- Matriz de rigidez do elemento de eixo... 28
Figura 18- Matriz de massa do elemento de disco.. ... 29
Figura 19- Convergência no método dos elementos finitos.. ... 30
Figura 20- Eficiência das turbinas hidráulicas pela velocidade especifica.. ... 31
Figura 21- Domínio de cada turbina hidráulica levando se em consideração a queda de água e a vazão de operação.. ... 32
Figura 22- Turbina Francis.. ... 33
Figura 23- Modelo do rotor de Rankine.. ... 34
Figura 24- Modelo de viga bi apoiada para eixos rotativos de Dunkerley.. ... 34
Figura 25- Modelo de De Laval.. ... 36
Figura 26- Modelo de Jeffcott para um rotor.. ... 37
Figura 27- Amplitude de giro do rotor e ângulo beta, na frequência natural.. ... 39
Figura 28- Bancada de testes . ... 41
Figura 29- Resposta dinâmica em um sistema de bancada com rotor e mancais de deslizamento.. ... 42
Figura 30- FFT da estrutura em uma nova rotação.. ... 43
Figura 31– Bancada contendo a mini turbina Francis, onde é realizada a coleta de dados.. .... 45
Figura 32- Esquematização da Montagem das Matrizes de Elementos Finitos. ... 47
Figura 33– Exemplo de construção de malha de um modelo simples de elementos finitos.. .. 49
Figura 34- Modelo equivalente do rotor em balanço analisado.. ... 51
Figura 35– Convergência testada no algoritmo.. ... 54
Figura 36– Variação da rigidez com a velocidade do rotor.. ... 56
Figura 37– Variação do amortecimento com a temperatura do óleo. ... 57
Figura 38– Resposta dinâmica do primeiro grau de liberdade, no domínio do tempo.. ... 58
Figura 39– Resposta dinâmica do primeiro grau de liberdade situado no rotor, no domínio do tempo, amplificada.. ... 59
Figura 40– Resposta dinâmica do primeiro grau de liberdade, domínio da frequência.. ... 60
Figura 41 - Resposta dinâmica do segundo grau de liberdade situado no rotor, eixo Z no domínio do tempo. ... 60
Figura 42– Resposta dinâmica do segundo grau de liberdade situado no rotor, no domínio do tempo, amplificada.. ... 61
Figura 43– Resposta dinâmica do segundo grau de liberdade, domínio da frequência.. ... 62
Figura 44– Resposta dinâmica do primeiro grau de liberdade situado no mancal, no domínio do tempo, eixo X.. ... 62
Figura 45– Resposta dinâmica do primeiro grau de liberdade situado no mancal, no domínio do tempo, eixo Z.. ... 63
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Participação da fonte hidráulica na geração de energia elétrica de alguns países ... 3
Tabela 2- Variáveis e indicadores da turbina ... 49
Tabela 3- Variáveis e indicadores do mancal e do eixo ... 50
Tabela 4- Variáveis e indicadores do algoritmo ... 50
Tabela 5- Condições iniciais inseridas no algoritmo ... 52
Tabela 6- Graus de liberdade influenciados pelo mancal com a variação dos elementos da malha ... 53
Tabela 7- Variação dos elementos da malha e variação da frequência natural ... 54
Tabela 8- Variação da rigidez do mancal ... 55
Tabela 9- Variação do amortecimento no mancal ... 57
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 1
1.1 Formulação do Problema ... 1
1.2 Justificativa ... 2
1.3 Objetivos ... 4
1.3.1 Geral ... 4
1.3.2 Específicos ... 4
1.4 Estrutura do Trabalho ... 4
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 6
2.1 Mancais de deslizamento ... 6
2.1.1 Tipos de lubrificação ... 7
2.1.2 Viscosidade ... 9
2.1.3 Equação de Petroff... 10
2.1.4 Lubrificação de película espessa ... 13
2.1.5 Considerações de Projeto... 14
2.1.6 Influência da temperatura na viscosidade ... 14
2.1.7 Coeficiente de atrito... 16
2.1.8 Rigidez e amortecimento nos mancais de deslizamento ... 18
2.1.9 Modelagem matricial dos mancais ... 22
2.2 Momento de inércia de massa ... 24
2.3 Vibração Torcional ... 24
2.4 Introdução à Elementos Finitos ... 26
2.5 Introdução à turbinas hidráulicas ... 30
2.5.1 Turbina Francis ... 31
2.6 Introdução aos modelos analíticos de dinâmica de rotores ... 33
2.6.1 O Modelo de Rankine ou modelo massa mola – (1869) ... 33
2.6.2 O Modelo de Dunkerley – (1894) ... 34
2.6.3 O Modelo de De Laval – (1895) ... 35
2.6.4 O Modelo de Jeffcott – (1919) ... 36
2.7 Introdução à análise modal para sistemas não amortecidos ... 39
2.8 Resposta dinâmica na dinâmica de rotores ... 41
3 METODOLOGIA ... 44
3.1 Tipos de pesquisa... 44
3.2 Materiais e Métodos ... 44
3.2.1 Modelo tridimensional completo em software comercial ... 46
3.2.2 Algoritmo em SCILAB e equações ... 46
3.3 Variáveis e indicadores ... 49
3.4 Instrumentos de coleta de dados ... 50
3.5 Tabulação dos dados ... 50
3.6 Considerações finais do capitulo ... 51
4 RESULTADOS ... 52
4.1 Condições iniciais e limitações do algoritmo ... 52
4.2 Teste de convergência da primeira frequência real ... 53
4.3 Comportamento da rigidez direta dos eixos X e Z pela velocidade do rotor ... 55
4.4 Comportamento do amortecimento dos eixos X e Z pela temperatura ... 56
4.5 Resposta dinâmica na turbina no domínio do tempo e da frequência ... 58
4.5.1 Resposta no eixo X. ... 58
4.5.2 Resposta no eixo Z ... 60
4.5.3 Efeito da rigidez do mancal na resposta dinâmica ... 62
5 CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÕES ... 64
5.1 Conclusão ... 64
5.2 Recomendações ... 64
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ... 65
ANEXO A – ROTOR TURBINA FRANCIS ... 70
1 INTRODUÇÃO
1.1 Formulação do Problema
O método dos elementos finitos aparece primeiramente, para se efetuar a solução de problemas de análise estática das estruturas, tendo o seu primeiro uso no ramo da Engenharia Civil. O ramo da metodologia da análise por elementos finitos tem um vasto horizonte, que se inicia da análise estática e de vibrações em uma estrutura, chegando à transferência de calor, fluidos e eletromagnetismo (LOGAN, 2007).
Vibração mecânica, que é um dos ramos abrangidos pela metodologia de elementos finitos, pode ser de modo simplificado, definido segundo Rao (2008) como: “Qualquer movimento que se repita após um intervalo de tempo é denominado vibração ou oscilação. O balançar de um pendulo e o movimento de uma corda dedilhada são exemplos típicos de vibração”.
Turbinas hidráulicas têm a sua principal função em gerar energia elétrica, através de um acoplamento com o gerador que converte potência mecânica, fornecida pelo fluido à turbina, em potência elétrica que será repassado para residências e indústrias, na região em que a hidroelétrica for responsável pelo abastecimento.
Mais especificamente, a dinâmica dos rotores estuda um amplo aspecto da vibração torcional e de translação e sua relação com as máquinas rotativas. A análise da vibração em uma turbina hidráulica pode evitar que ocasione ressonância, quando a turbina entra em operação, podendo levar a grandes prejuízos nas centrais elétricas. No pior cenário, pode ocorrer queda de fornecimento de energia aos lares de milhares de pessoas e indústrias.
A turbina Francis, ilustrada na Figura 1, é o objeto em análise neste trabalho e apresenta uma ampla gama de vazões e altura de queda em que pode ser empregada. Um modelo simplificado da turbina considera apenas o conjunto mancal – eixo e rotor (turbina), para análise de vibração.
Figura 1- Rotor de uma turbina Francis.
Fonte: Dixon (2010).
Máquina rotativa pode ser definida como todos os tipos de máquinas que possuam um eixo sobre o qual o mesmo executa movimento de rotação sobre si a fim de se converter ou gerar energia, como um gerador elétrico que executa a rotação em seu próprio eixo convertendo potência mecânica em elétrica. Enquadram-se nesta definição as turbinas hidráulicas, ventiladores, geradores, turbinas a gás, volantes de massa, etc.(CHAPMAN, 2013)
Para este estudo relacionam-se três grandes áreas do conhecimento para a análise dinâmica em rotores, sendo estas áreas: elementos finitos, vibrações mecânicas e dinâmicas dos rotores, através da inter-relação destas áreas podemos chegar a pergunta-problema:
Como realizar a análise dinâmica de uma mini turbina hidráulica Francis (bancada didática) através do método de elementos finitos?
1.2 Justificativa
Para o caso do Brasil, grande parte da energia elétrica vem de usinas hidroelétricas.
Segundo a Agência Nacional de Energia Elétrica – ANAEEL (2008) 83,2% da energia elétrica produzida no país têm origem na fonte hidroelétrica. Criando meios de se aumentar o
tempo de vida de mancais de turbinas hidráulicas, beneficiaria o sistema em relação às paradas.
A Tabela 1 ilustra a participação da energia hidráulica em relação à quantidade total de energia gerada em alguns países, com grande destaque ao Brasil e Noruega com mais de 80%
da energia gerada provendo da fonte hidráulica.
Tabela 1- Participação da fonte hidráulica na geração de energia elétrica de alguns países
Fonte: Aneel (2008).
A importância do método de elementos finitos consiste na sua facilidade em realizar uma análise em estruturas de geometria complexa, e também a sua profunda importância quando se aplica este método conhecendo as condições iniciais que estão caracterizadas na estrutura em estudo. Avaliar as condições iniciais é de profunda importância para a exatidão deste método.
Atualmente o método dos elementos finitos é de grande importância nas engenharias civil e mecânica devido à relativa facilidade de aplicação e por ter bons resultados em estruturas complexas, evitando-se a dificuldade de procurar um modelo analítico complexo que sirva a estrutura.
O método dos elementos finitos tem contribuído para a engenharia na análise de estruturas com uma grande complexidade geométrica, para materiais que têm as suas propriedades variando dependendo do processo empregado em sua fabricação, e para modelar o efeito do tempo e intemperes sobre um sistema estrutural.
1.3 Objetivos 1.3.1 Geral
Desenvolver um modelo de elementos finitos, com a finalidade de se obter a resposta dinâmica de uma turbina Francis.
1.3.2 Específicos
Fazer um estudo teórico sobre dinâmica dos rotores, elementos finitos e programação em SCILAB.
Construir um modelo da mini turbina Francis no software solidworks.
Efetuar o cálculo dos momentos de inércia de massa da mini turbina utilizando os softwares solidworks e Autosdesk Inventor 2016.
Desenvolver um código através do software livre SCILAB, utilizando a metodologia de elementos finitos a fim de se obter as respostas dinâmicas no domínio do tempo e da frequência da estrutura em estudo.
Analisar as respostas dinâmicas no domínio do tempo e da frequência da estrutura da mini turbina Francis.
1.4 Estrutura do Trabalho
A monografia em questão apresenta cinco capítulos em que cada um contém:
No Capitulo um, é feita a apresentação da formulação do problema com a pergunta a qual será respondida ao longo do texto, a justificativa para o “seguinte” problema, os objetivos gerais e específicos da monografia.
No Capitulo dois, é feita a apresentação da fundamentação teórica do trabalho, ou seja, a revisão teórica (bibliográfica) dos principais conceitos envolvendo o problema abordado.
No capitulo três, é feita apresentação da metodologia, incluindo Materiais e Métodos, como foram desenvolvidos os modelos, quais análises foram desenvolvidas, quais são as principais variáveis do método de elementos finitos.
No capitulo quatro, é feita a apresentação dos resultados das simulações, as respectivas discussões e as justificativas das possíveis discrepâncias que possam haver na resposta.
No capitulo cinco, é feita a apresentação da conclusão, em que é discutida a efetividade da resposta calculada pelo método dos elementos finitos, e a proposta de futuros trabalhos sobre o tema.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Mancais de deslizamento
Silva (2004) define mancais como elementos de máquinas que têm como funções principais restringir determinados graus de liberdades da estrutura, permitir o movimento de rotação do eixo e atuar como absorvedores de energia.
Castro (2007) define mancais como elementos que têm por finalidade fazer uma interface entre as partes móveis e fixas de um sistema rotativo. Esses elementos de máquinas teriam surgido por volta da Revolução industrial e até os dias atuais estão presentes em máquinas no mundo inteiro, um modelo de mancal de deslizamento pode ser observado na figura 2.
Figura 2- Mancal de deslizamento
Fonte: Telecurso-Curso profissionalizante (2000).
A figura 2 apresenta um modelo simples de mancal de deslizamento que pode ser encontrado em máquinas rotativas, pois permitem operações a altas rotações (desde que possua um sistema de resfriamento para o fluido lubrificante, devido ao desprendimento de calor) e cargas, nesta figura são apresentados alguns de seus elementos como: a tampa (parte superior do mancal), base (parte onde o mancal é fixo a uma superfície), furo do eixo, bucha (material entre mancal e o eixo) e copo de lubrificação.
2.1.1 Tipos de lubrificação
Há cinco maneiras de se efetuar a lubrificação: hidrodinâmica, hidrostática, elasto- hidrodinâmica, contorno e película sólida. Abaixo será explicado cada um destes tipos de lubrificação de maneira individual.
Lubrificação hidrodinâmica: para este tipo de lubrificação, a superfície do eixo e da bucha é separada por uma película de lubrificante com espessura “considerável”, de modo a evitar o contato entre as superfícies metálicas. A pressão de película depende da velocidade do elemento que efetua a rotação, no caso especifico o eixo. A pressão de película determinada pelo movimento do eixo a altas velocidades puxa o lubrificante para a zona de cunha, com a finalidade de se criar uma pressão mínima a qual tende a separar as superfícies do eixo e da bucha sob a carga que é imposta ao eixo (SHIGLEY, 2011).
Para a lubrificação hidrodinâmica ser eficiente é necessário que na interface de deslizamento forme-se um filme de lubrificante de modo que quando o sistema iniciar o seu giro não ocorra desprendimento de material de uma superfície em relação á outra. Com a finalidade de manter a lubrificação, é necessário manter o sistema com determinada quantidade de óleo que pode ser fornecida ao sistema por método gravitacional, em que o lubrificante se estende pela superfície pelo giro do sistema e ação da gravidade, ou por bombeamento (NORTON, 2013).
Na lubrificação hidrodinâmica existe uma camada fina de fluido que separa as superfícies em movimento, para ocorrer este tipo de lubrificação é necessário existir entre as superfícies um movimento relativo e uma pressão deve ser desenvolvida, a pressão é criada internamente devido à velocidade relativa entre as superfícies em movimento, a viscosidade do fluido e a ação de uma cunha que resulta quando as superfícies não são paralelas. A espessura mínima de filme denotada por ℎ0 pode variar de 0.008 á 0.02mm e o coeficiente de fricção entre 0.002 á 0.01 (UGURAL, 2015).
Lubrificação hidrostática: neste tipo de lubrificação não há necessidade de movimento entre o eixo e a bucha, a velocidade pode ser zero ou praticamente nula. Em relação à lubrificação hidrodinâmica, na hidrostática há a necessidade de se introduzir o lubrificante a determinadas pressões de modo a formar a película de lubrificação entre o eixo e a bucha (SHIGLEY, 2011).
Na lubrificação hidrostática não é necessário o movimento relativo entre as superfícies do mancal, somente é necessário a injeção do lubrificante pressurizado no mancal, as vantagens deste tipo de lubrificação incluem: baixa fricção e elevada capacidade de carga em baixas velocidades, já as desvantagens incluem o custo em pressurizar o lubrificante para o seu uso no mancal. (UGURAL, 2015).
A lubrificação elasto-hidrodinâmica pode ser causada quando as duas superfícies não são confortantes. Um exemplo pode ser o acoplamento entre dentes de engrenagens.
Nesta situação a formação de um filme de lubrificação é dificultada pelo formato da geometria da peça (NORTON, 2013).
Na lubrificação elasto-hidrodinâmica ocorre a presença de dois fatores importantes, a ação hidrodinâmica do filme de lubrificante e a deformação elástica do material de suporte. Ocorre geralmente quando lubrificante é introduzido em superfícies como o contato entre dentes de engrenagens e em rolamentos de esferas (UGURAL, 2015).
Lubrificação de contorno: quando a película de lubrificação no caso da lubrificação Elasto-hidrodinâmica, assume uma espessura da grandeza do tamanho de moléculas, neste tipo de lubrificação não há grande importância na viscosidade ou composição do lubrificante quanto nos demais tipos de lubrificação (SHIGLEY, 2011).
Na lubrificação de contorno a película de filme lubrificante pode ficar muito fina ocasionando o contato de metal com metal no mancal. Ocorre em máquinas rotativas com grandes cargas e baixa velocidade de operação, geralmente ocorre no arranque e desligamento de máquinas pesadas, pode ser evitada introduzindo-se o lubrificante a alta pressão no inicio e desligamento do maquinário (UGURAL, 2015).
Lubrificação de película sólida: quando os mancais necessitam de efetuar a sua operação a elevadas temperaturas surge a necessidade de lubrificantes sólidos como:
grafite ou dissulfeto de molibdênio , em que estes irão formar a película de lubrificação (SHIGLEY, 2011).
A lubrificação de película sólida é utilizada em mancais que desprendem muito calor em suas operações, como em altas velocidades, para este tipo de condição é necessário usar lubrificantes sólidos nos mancais (HAMROCK, 1994).
Não só a lubrificação pode interferir na vida de um mancal, como também o material que esse pode ser fabricado. As principais propriedades buscadas em materiais para a fabricação de mancais de deslizamento são: a suavidade relativa (para absorver partículas que
podem ser impurezas do lubrificante), resistência adequada, usinabilidade, lubricidade, resistência à temperatura, resistência à corrosão e para certas situações, a porosidade ( para absorver o lubrificante) (NORTON, 2013).
De acordo com Vance (2010) é necessário os mancais possuírem uma adequada lubrificação ao modo que se possa evitar instabilidades no sistema, estas afetam os coeficientes de amortecimento, contribuindo para o aumento da amplitude de vibração a altas frequências.
2.1.2 Viscosidade
A viscosidade pode ser definida segundo White (2011) como: uma medida quantitativa da resistência de um fluido ao escoamento, para o projeto de mancais de deslizamento. Para Ugural (2015) a viscosidade pode ser definida como a capacidade de um fluido de resistir ao esforço de cisalhamento. É importante na escolha do lubrificante se considerar a viscosidade, devido à relação desta com a temperatura de fluido. A figura 3 mostra a interação entre um fluido viscoso e uma placa.
Figura 3- Campo de velocidade entre placa e fluido Fonte: White (2011).
Segundo White (2011) considere-se uma placa, com uma dada velocidade U em uma película de lubrificante de uma dada altura h. Dividindo-se esta película de lubrificante em várias camadas e sujeitando a placa a uma força F, a camada de lubrificante muito próximo a placa com a velocidade U, as camadas de lubrificante em contato com a placa fixa têm velocidade nula, as camadas que estão ente a placa em movimento e a placa fixa terão suas velocidades variando de acordo com a altura y. De acordo com a teoria da viscosidade de
Newton a tensão de cisalhamento no fluido lubrificante varia de acordo com a velocidade na camada de lubrificante em relação a altura y, e pode ser descrita matematicamente como a equação abaixo segundo White (2011):
𝜏 =𝐹
𝐴= 𝜇𝑑𝑢
𝑑𝑦 (
(1)
Onde τ é a tensão de cisalhamento dado em Pascal, 𝐹 é a força dada em Newtons, 𝐴 é a área dada em 𝑚2e μ é a viscosidade absoluta dada em 𝑃𝑎. 𝑠 e a derivada é o quociente de alteração na velocidade e também pode ser denominado como gradiente de velocidade.
Para a maioria dos lubrificantes em forma de fluidos, o gradiente de velocidade pode ser igualado a seguinte razão segundo Shigley (2011):
𝑑𝑢 𝑑𝑦=𝑈
ℎ (
(2)
A figura 4 mostra como a temperatura interfere na viscosidade de certas substâncias, incluindo substâncias em estado líquido e sólido.
Como a viscosidade varia com a temperatura para certas substâncias como é observado na figura 4, com respeito aos óleos que são usados como lubrificantes, o aumento de temperatura pode praticamente anular a sua viscosidade Por isso em projetos de mancais de alta velocidade e carga são importantes o acoplamento de sistemas de refrigeração para a manutenção da temperatura do fluido.
2.1.3 Equação de Petroff
Esta equação pode ser utilizada para eixos concêntricos a fim de se determinar o coeficiente de atrito, pode ser utilizado para eixos não concêntricos também, pois têm uma boa aproximação do coeficiente calculado por outros métodos.
Considera-se que um eixo vertical mantido por um mancal guia, onde o mancal recebe uma baixa solicitação e o espaço entre o eixo e a bucha esteja completamente preenchida com lubrificante e este não vaze da cavidade do mancal (SHIGLEY, 2011).
Figura 4- Variação da viscosidade de alguns fluidos pela temperatura.
Fonte: Shigley (2011).
Dado o raio do eixo por r, a folga radial por c e o comprimento do mancal por l, com o eixo girando a N revoluções por segundo, então a velocidade superficial é dada pela relação apresentada a seguir (SHIGLEY, 2011).
𝑈 = 2𝜋𝑟𝑁 (
(3) Onde U é dado em 𝑚𝑠 , 𝑁 é dado em 𝑟𝑒𝑣𝑠 e 𝑟 é dado em metro.
Pode se escrever a igualdade seguinte:
𝜏 =𝐹
𝐴= 𝜇𝑑𝑢
𝑑𝑦=2𝜋𝑟𝜇𝑁 𝑐
( (4) Onde 𝑐 é a folga do mancal dado em metro.
A folga pode ser trocada pela distância h, a força para cisalhar a película de lubrificante é dado pelo produto de tensão pela área, o torque é calculado pela força e o braço de alavanca que é o raio do eixo r.
O torque pode ser calculado pela seguinte expressão:
𝑇 = 𝜏𝐴𝑟 = (2𝜋𝑟𝜇𝑁
𝑐 ) (2𝜋𝑟𝑙)(𝑟) =4𝜋2𝑟3𝑙𝜇𝑁 𝑐
( (5)
Onde 𝑙 é o comprimento do mancal dado em metro, e 𝑇 é o torque dado em 𝑁. 𝑚.
Considerando W como uma força de baixa intensidade no mancal, esta causando uma pequena pressão P, então tem se a igualdade:
𝑃 = 𝑊 2𝑟𝑙
Onde 𝑃 é a pressão dada em Pascal e 𝑊 é uma força dada em Newtons.
( (6)
E o torque pode ser reescrito como:
𝑇 = 𝑓𝑊𝑟 = (𝑓)(2𝑟𝑙𝑃)(𝑟) = 2𝑟2𝑓𝑙𝑃 ( (7) Onde 𝑓 é o coeficiente de fricção.
Rearranjando-se a equação o coeficiente de fricção entre o eixo e o mancal pode ser relacionado como:
𝑓 = 2𝜋2𝜇𝑁 𝑃
𝑟 𝑐
( (8) A equação acima é a equação de Petroff e descreve o coeficiente de atrito no mancal.
O número de Sommerfeld é relacionado pela equação a seguir, e serve como um parâmetro para caracterizar o mancal.
𝑆 = (𝑟 𝑐)2𝜇𝑁
𝑃
( (9)
Onde S é adimensional e usado como parâmetro de projeto e na análise de lubrificação, conhecido como número característico do mancal.
2.1.4 Lubrificação de película espessa
A figura 5 representa dois mancais, sendo um seco e o outro com lubrificação, executando movimento no sentido horário.
Figura 5- Mancal seco e mancal lubrificado.
Fonte: Shigley (2011).
Ao se introduzir o lubrificante, o eixo tende a distribuir o lubrificante no sentido de seu movimento. Este é distribuído no espaço em forma de cunha, e força o eixo a se deslocar para o outro lado, devido ao movimento de uma espessura mínima de lubrificante que se forma na base do mancal primeiramente, sendo depois deslocado no mesmo sentido de rotação do eixo. Devido à lubrificação hidrodinâmica, o eixo pode estar localizado excentricamente do lado direito ou esquerdo do mancal (SHIGLEY, 2011).
Segundo a figura 6, o centro do eixo está em O e o do mancal está em O’, a distância entre os eixos é denominado excentricidade e. A espessura mínima da película é dada por h0, a espessura em outro ponto é dada por h. O parâmetro c é a folga radial que é a diferença entre os raios da bucha e do eixo (SHIGLEY, 2011).
Taxa de excentricidade é definida pela expressão a seguir segundo Silva (2004) adaptada:
𝜀 =𝑒
𝑐 (
(10)
Onde 𝜀 é a taxa de excentricidade e é adimensional, 𝑒 é a excentricidade do rotor que varia com a rotação dada em metro.
Figura 6- Desenho de mancal.
Fonte: Shigley (2011).
2.1.5 Considerações de Projeto
No projeto de mancais de deslizamento têm-se dois grandes grupos de variáveis:
As variáveis que podem ser controladas pelo engenheiro de projeto como: viscosidade, pressão no mancal, velocidade de rotação, dimensões do mancal.
Variáveis dependentes ou controladas de modo indireto: coeficiente de atrito, aumento de temperatura, fluxo de óleo e espessura mínima da película de lubrificação.
2.1.6 Influência da temperatura na viscosidade
Pela hipótese de Raimondi-Boyd a viscosidade do lubrificante é constante, à medida que este passa pelo mancal. A análise de temperatura ajuda para se observar como irá variar a viscosidade do óleo lubrificante quanto na entrada quanto na saída do mancal e também quanto calor pode ser depreendido pelo vazamento de óleo nas laterais do mancal. Na figura 7 pode se observar como a viscosidade pode variar com a temperatura, para um óleo SAE.
Figura 7- Variação da viscosidade com a temperatura em óleos SAE.
Fonte: Shigley (2011).
A figura 7 mostra alguns óleos da SAE e como a sua viscosidade varia com a temperatura, como pode ser observado, para os óleos da série 10 até a 70, o aumento da temperatura causa uma queda da viscosidade, fator de grande relevância em projeto de mancais, e que pode modificar a rigidez dos mancais e o seu amortecimento.
A espessura mínima do filme de lubrificação pode ser dada pela equação apresentada a seguir segundo (UGURAL, 2015):
ℎ0
𝑐 = 1 − 𝜀 (
(11) Onde ℎ0 é a espessura mínima de filme de óleo dado em metro.
A figura 8 demonstra a espessura mínima de lubrificação de mancais para diferentes razões L/D, denominada razão de esbeltez do mancal.
Pela figura 8 se verifica que dependendo do número característico do mancal, este necessita de certa espessura de lubrificante, para atingir um bom ponto de operação, de modo a não causar danos no maquinário pelo desgaste e para este ponto apresenta determinada razão de excentricidade.
2.1.7 Coeficiente de atrito
O coeficiente de atrito pode ser obtido pela equação de Petroff como demonstrada anteriormente ou por métodos gráficos. Como verificado na equação de Petroff, o aumento da velocidade de operação da máquina contribui para o aumento do coeficiente de atrito, conforme a figura 9.
Como verificado pela equação de Petroff e pela figura 9, o coeficiente de atrito, aumenta com o número característico do mancal.
Figura 8- Espessura mínima do filme de lubrificação e excentricidade em função do número característico do mancal.
Fonte: Shigley (2011).
Figura 9- Variação do coeficiente de atrito pelo numero característico do mancal.
Fonte: Shigley (2011).
2.1.8 Rigidez e amortecimento nos mancais de deslizamento
Segundo Silva (2004) os mancais são representados por coeficientes Kxx, Kzz, Kxz, Kzx, que são de rigidez e Cxx, Czz, Cxz e Czx que correspondem a coeficientes de amortecimento, conforme figura 10.
Caso o mancal seja isotrópico, ou seja, a suas propriedades mecânicas não variam durante o curso é apresentada a igualdade por (PEREIRA, 2005):
𝐾𝑥𝑥 = 𝐾𝑥𝑧 = 𝐾𝑧𝑥 = 𝐾𝑧𝑧 (
(12) Essa igualdade irá causar a Órbita (movimento) ser circular.
Figura 10- Rigidez e amortecimento em um mancal de deslizamento Fonte: Silva (2004).
Caso o mancal seja anisotrópico, ou seja, as suas propriedades mecânicas variam durante o curso, assim têm se a desigualdade:
𝐾𝑥𝑥 ≠ 𝐾𝑥𝑧 ≠ 𝐾𝑧𝑥 ≠ 𝐾𝑧𝑧 (
(13)
E para o amortecimento de mancais isotrópicos e anisotrópicos, a igualdade é semelhante para o caso da rigidez, conforme as seguintes expressões:
𝐶𝑥𝑥 = 𝐶𝑥𝑧 = 𝐶𝑧𝑥 = 𝐶𝑧𝑧 (
(14)
𝐶𝑥𝑥 ≠ 𝐶𝑥𝑧 ≠ 𝐶𝑧𝑥 ≠ 𝐶𝑧𝑧 (
(15)
Para o cálculo dos coeficientes de rigidez e amortecimento dos mancais abaixo será apresentado o método de VANCE.
2.1.8.1 Modelo de VANCE para cálculo de rigidez e amortecimento de mancais
O modelo de Vance é valido para a análise que: “Para análise de dinâmica de rotores a posição de equilíbrio é importante como o ponto de partida, mas as forças dinâmicas mostram que deve ser avaliado para os movimentos longe da posição de equilíbrio” (SILVA , 2004).
Primeiramente os componentes de força podem ser calculados através das seguintes integrações por (SILVA, 2004):
𝐹𝑟 = 𝐹 cos 𝛾 = ∫ 𝑅 ∫ 𝑝(𝜃, 𝑧)
2𝜋 0 1 0
cos(𝜃)𝑑𝜃𝑑𝑧 (
(16) 𝐹𝑡 = 𝐹 sin 𝛾 = ∫ 𝑅 ∫ 𝑝(𝜃, 𝑧)2𝜋
0 1 0
sin(𝜃)𝑑𝜃𝑑𝑧 (
(17)
Onde 𝛾 é o ângulo entre a direção da excentricidade e a direção da força externa sobre o rotor.
Esse método permite o cálculo dos coeficientes de amortecimento e rigidez, porém necessita do uso de um gráfico da excentricidade normalizada pelo número característico do mancal. Utilizando o gráfico de Raimondi e Boyd em Shigley (2011) encontra-se através da excentricidade normalizada, os coeficientes estáticos de rigidez e amortecimento, possibilitando a obtenção dos coeficientes dinâmicos.
Dadas as expressões segundo Silva (2004):
𝐾𝑖𝑗 =𝜇𝜔𝑅 2 (𝐿
𝐶𝑟)
3
𝑘𝑖𝑗̅̅̅̅ 𝑒 𝐶𝑖𝑗 =𝜇𝑅 2 (𝐿
𝐶𝑟)
3
𝑐𝑖𝑗
̅̅̅̅ (
(18)
Onde i=1 e j=2 (1 refere-se a X e 2 refere-se a Z), (kij) e (cij) barrados são os coeficientes estáticos de amortecimento e rigidez para esta metodologia abordada.
Para calcular os coeficientes dinâmicos, antes é necessário calcular os coeficientes estáticos a partir da seguinte função segundo Silva (2004), em que 𝜀 é a excentricidade normalizada.
𝑄(𝜀) = 1
{𝜋2 + (16 − 𝜋2)𝜀2}(3/2)
( (19)
Assim podem-se obter os coeficientes estáticos de rigidez necessários ao calculo segundo (SILVA , 2004):
𝑘𝑥𝑥 = 4{2𝜋2+ (16 − 𝜋2)𝜀2}𝑄(𝜀) ( (20)
𝑘𝑥𝑧 =𝜋{−𝜋2 + 2𝜋2𝜀2+ (16 − 𝜋2)𝜀4}𝑄(𝜀) 𝜀(1 − 𝜀2)1/2
( (21)
𝑘𝑧𝑥 =𝜋{𝜋2+ (32 + 𝜋2)𝜀2+ 2(16 − 𝜋2)𝜀4}𝑄(𝜀) 𝜀(1 − 𝜀2)1/2
( (22)
𝑘𝑧𝑧 =4{𝜋2+ (32 + 𝜋2)𝜀2+ 2(16 − 𝜋2)𝜀4}𝑄(𝜀) 𝜀(1 − 𝜀2)1/2
( (23)
A seguir são apresentados os coeficientes estáticos de amortecimento segundo (SILVA, 2004):
𝑐𝑥𝑥 =2𝜋(1 − 𝜀2)1/2{𝜋2+ 2(𝜋2− 8)𝜀2}𝑄(𝜀) 𝜀
( (24)
𝑐𝑥𝑧 = 8{𝜋2 + 2(𝜋2− 8)𝜀2}𝑄(𝜀) ( (25)
𝑐𝑧𝑥 = 𝑐𝑥𝑧 (
(26) 𝑐𝑧𝑧 =2𝜋{𝜋2+ 2(24 − 𝜋2)𝜀2+ 𝜋2𝜀4}
𝜀(1 − 𝜀2)1/2
( (27)
Para as equações de 28 à 35 são apresentados os coeficientes dinâmicos de rigidez e amortecimento seguindo a modelação de Vance, a qual é utilizada no algoritmo para o cálculo da resposta dinâmica da estrutura abordada no estudo.
𝐾𝑥𝑥 =𝜇𝜔𝑅𝐿3𝑘𝑥𝑥 2𝐶𝑟3
( (28) 𝐾𝑥𝑧 =𝜇𝜔𝑅𝐿3𝑘𝑥𝑧
2𝐶𝑟3
( (29)
𝐾𝑧𝑥 =𝜇𝜔𝑅𝐿3𝑘𝑧𝑥 2𝐶𝑟3
( (30) 𝐾𝑧𝑧 =𝜇𝜔𝑅𝐿3𝑘𝑧𝑧
2𝐶𝑟3
( (31) 𝐶𝑥𝑥 =𝜇𝑅𝐿3𝑐𝑥𝑥
2𝐶𝑟3
( (32) 𝐶𝑥𝑧 =𝜇𝑅𝐿3𝑐𝑥𝑧
2𝐶𝑟3
( (33) 𝐶𝑧𝑥 =𝜇𝑅𝐿3𝑐𝑧𝑥
2𝐶𝑟3
( (34) 𝐶𝑧𝑧 =𝜇𝑅𝐿3𝑐𝑧𝑧
2𝐶𝑟3 (
(35)
Onde 𝐶𝑟 é a folga do mancal, 𝜇 é a viscosidade do fluido, 𝑅 é o raio do mancal em metro e 𝐿 é o comprimento do mancal dado em metro e ω é a velocidade de operação do sistema rotativo dado em 𝑟𝑎𝑑/𝑠.
O método de Vance para o cálculo de coeficientes de rigidez e amortecimento para mancais pode ser calculado segundo as equações acima, ou ele pode ser obtido segundo tabelas, em que se variam a razão comprimento do mancal pelo diâmetro do eixo que gira neste, e o número de Sommerfeld. Nestas tabelas é apresentado o valor dos coeficientes dinâmicos do mancal que está na diagonal principal da sua matriz característica os quais são diferentes de zero (SILVA, 2004).
2.1.9 Modelagem matricial dos mancais
As matrizes que descrevem o amortecimento e a rigidez dos mancais são apresentadas nas figuras 11 e 12 seguindo o modelo de Pereira (2005), para a dinâmica de rotores.
Figura 11- Matriz de rigidez de um mancal.
Fonte: Pereira (2005).
Figura 12- Matriz de amortecimento de um mancal Fonte: Pereira (2005).
As duas matrizes se referem à rigidez e amortecimento dos mancais e seu modelo para a inclusão na malha de elementos finitos.
As duas matrizes da figura 11 e 12 são utilizadas na construção do algoritmo de elementos finitos e servem para programar os efeitos dos mancais na estrutura.
Dependendo da grandeza da rigidez dos mancais as formas modais da estrutura podem variar conforme a figura 13.
Figura 13- Variação do formato das formas modais de acordo com a rigidez dos mancais Fonte: Sternlich (1968).
Fazendo uma análise relativa ao primeiro modo de vibração da figura 13 pode–se observar quando a rigidez dos mancais tende a zero o primeiro modo se resume a uma reta(modo de corpo rígido, com frequências próximas de zero, ou frequências complexas), com amplitude constante em todo o curso, com mancais com uma rigidez não tão alta de forma a manter certa flexibilidade ao mancal ; o modo têm uma forma mais abaulada com
amplitudes iguais no inicio e no seu fim, para mancais com rigidez infinita a amplitude no fim e no inicio do curso são nulas e modo têm uma figura característica do inicio de uma senoidal, comportamento que é semelhante para os outros modos. A medida que a rigidez dos suportes aumentam a deformação tende a aumentar nos eixos e diminuir nos apoios.
2.2 Momento de inércia de massa
Momento de inercia de massa é a resistência oposta por um corpo em rotação a uma mudança em sua velocidade de giro. Às vezes, recebe a denominação de inércia rotacional. O momento de inércia desempenha na rotação um papel equivalente ao da massa no movimento linear. De modo similar, se é aplicado um mesmo par de forças a uma roda com um momento de inércia pequeno e a outra com um momento de inércia grande, a velocidade de angular da primeira roda aumentará muito mais rapidamente que a da segunda (SEARS, 2003).
O momento de inércia de um objeto depende de sua massa e da distância da massa ao seu eixo de rotação.
Para um corpo rígido pode se obter o momento de inércia de massa através da seguinte relação matemática por Sears (2003):
𝐼 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 (
(36) Onde o momento de inércia é dado em 𝐾𝑔. 𝑚2.
2.3 Vibração Torcional
A vibração torcional ocorre de forma semelhante à vibração lateral em máquinas rotativas, sendo diferenciada pelo fato do movimento vibratório ocorrer pela rotação em volta de um eixo (VANCE, 2010).
Segundo Vance (2010) as vibrações torcionais são de difícil identificação por não transmitir seus efeitos às máquinas como as vibrações laterais, que transmitem seu movimento à carcaça ou base da máquina, e a aparelhagem para a sua identificação tende a ser cara. Um dos sintomas que podem provar a sua existência seria se o comboio de máquinas rotativas tivessem engrenagens em seus eixos, este tipo de vibração poderia causar quebra prematura de dentes de engrenagens.
A seguir consta a formulação para a vibração torcional que é desenvolvida segundo Rao (2008), para um eixo de seção variável conforme a figura 14.
Figura 14- Eixo de seção variável, e diferencial de eixo com solicitações.
Fonte:Rao(2008).
Dado a função θ(x,t) a qual esta descreve o ângulo de torção ao longo da seção do eixo, M(x,t) o momento de torção ao longo do eixo e f(x,t) é o torque específico ao longo da seção de um eixo podemos chegar a seguinte relação segundo (RAO, 2008):
𝑀(𝑥, 𝑡) = 𝐺𝐽(𝑥)𝜕𝜃
𝜕𝑥(𝑥, 𝑡)
( (37)
Dado que G é o módulo de elasticidade transversal dado em GPa, 𝐺𝐽(𝑥)é a rigidez a torção ao longo do eixo e 𝐽(𝑥) é o momento de inércia polar de acordo com a seção do eixo.
Dado o momento de inércia polar de massa por unidade de comprimento por 𝐼𝑜, o torque de inércia que age em um elemento infinitesimal de comprimento é dado por:
𝐼𝑜𝑑𝑥𝜕2𝜃
𝜕𝑡2
( (38) Aplicando-se a segunda lei de Newton a um torque externo:
(𝑀 + 𝑑𝑀) + 𝑓𝑑𝑥 − 𝑀 = 𝐼𝑜𝑑𝑥𝜕2𝜃
𝜕𝑡2
( (39) Representando dM por:
𝜕𝑀
𝜕𝑥 𝑑𝑥 (
(40) Obtém se a equação torcional de vibração forçada para um eixo.
𝜕
𝜕𝑥(𝐺𝐽(𝑥)𝜕𝜃
𝜕𝑥(𝑥, 𝑡)) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐼𝑜(𝑥)𝜕2𝜃
𝜕𝑡2 (𝑥, 𝑡) (
(41) Considerando que o eixo tenha seção uniforme
𝐺𝐽𝜕2𝜃
𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡) = 𝐼𝑜(𝑥)𝜕2𝜃
𝜕𝑡2 (𝑥, 𝑡) (
(42) Para a vibração livre:
𝑐𝜕2𝜃
𝜕𝑥2(𝑥, 𝑡) =𝜕2𝜃
𝜕𝑡2(𝑥, 𝑡) (
(43) Onde 𝑐 é a velocidade da propagação da vibração ao longo do eixo:
𝑐 = √𝐺𝐽 𝐼𝑜
( (44)
2.4 Introdução à Elementos Finitos
O método de elementos finitos foi desenvolvido para se efetuar a análise de meios que são contínuos.
A modelagem por elementos finitos em problemas de engenharia vem como um recurso para obtenção de informações relativas a uma estrutura. Por exemplo, pode ser calculada a fim de se medir vibrações em um prédio que ainda não foi construído, de modo a evitar possíveis desabamentos, utilizada para se chegar ao máximo possível de informações sob determinada estrutura, primeiramente feita para problemas e projetos de estruturas hoje é
largamente usada nas áreas de vibrações, transmissão de calor, mecânica dos fluidos, aerodinâmica e eletromagnetismo (HUMBERTO, 2003).
Neste estudo é considerado dois elementos para caracterizar a estrutura o elemento de viga para o eixo e o elemento de disco para o rotor.
Para a construção da malha neste estudo, onde é feita a análise dinâmica de uma turbina, o eixo desta é discretizado em um dado número de elementos de eixo de seção circular, à medida que a quantidade destes elementos aumentam na malha, estes tendem a tomar um formato de elemento de eixo; o rotor da turbina é discretizado através de elementos de disco equivalente, usando se os momentos de inércia da turbina e a sua massa.
Os graus de liberdade adotados por nó na estrutura são quatro e podem ser visualizados na figura 15.
Figura 15- Graus de liberdade de um elemento de eixo.
Fonte: Pereira (2005).
No caso adotado neste estudo, o elemento de eixo conta com dois nós, conforme figura 15, sendo as matrizes que o caracterizam quadradas de ordem oito. Em um nó do elemento de eixo apresenta-se quatro graus de liberdade: 𝑊1 e 𝑢1, que representam a translação referente aos eixos Z e X; 𝛹1 e 𝜃1 que representam a rotação referentes aos eixos Z e X, respectivamente. O elemento de disco é caracterizado com matrizes de ordem quatro em apenas um nó. A seguir são apresentadas as matrizes características de cada elemento. A figura 16 mostra a matriz de massa segundo Pereira (2005):
Figura 16- Matriz de massa relativa ao elemento de eixo.
Fonte: Pereira (2005).
A figura 17 representa a quantificação da rigidez de cada elemento de eixo que participa da malha de elementos finitos segundo Pereira (2005):
Figura 17- Matriz de rigidez do elemento de eixo.
Fonte: Pereira (2005).
Na matriz de rigidez do elemento de eixo o coeficiente (a) pode ser representado segundo Pereira (2005):
𝑎 =12𝐸𝐼 𝐺𝐴𝑙
( (44)
Em toda matriz, l é o tamanho do elemento de eixo a ser utilizado dado em metros; ρ é a densidade do material do eixo dada em quilograma por metro cúbico, S é a área de seção do elemento de eixo dada em metros quadrados, momento de inércia de área do eixo em função do seu diâmetro e é dado em metro elevado a quarta potência, Ω é a velocidade de operação do sistema dado em radianos por segundo, E é o módulo de Young do Material dado em giga Pascal , G é o módulo de cisalhamento do material dado em giga Pascal.
O fator a é o fator de cisalhamento, fator que corrige o cisalhamento transverso, eixos com a mesma ordem de diâmetro e comprimento.
Na figura 18 é apresentada a matriz referente ao elemento de disco segundo Silva (2004), a matriz se refere ao efeito do rotor em relação à massa.
Figura 18- Matriz de massa do elemento de disco.
Fonte: Pereira (2005).
Simbologia da matriz do elemento de disco:
Md é a massa do disco em quilograma, a qual é calculada pelo software Autodesk Inventor.
Os momentos de inércia de massa dados em 𝐾𝑔. 𝑚2, segundo Norton (2013) tem-se a seguinte relação:
𝐼𝑑𝑥 =𝑚(3𝑟2+ 𝑒2) 12
( (45)
Para a malha gerada em um modelo de elementos finitos, quanto maior a quantidade de elementos presentes na malha, maior é o número de equações que têm que ser solucionadas a fim de se satisfazer o problema. Para a análise dinâmica por elementos finitos, este problema de autovalor fornece as frequências naturais do sistema, e a matriz modal que é calculada pelo algoritmo. À medida que se aumenta o número de equações no problema de
autovalor estas frequências tendem a convergirem para um valor calculado pelo método analítico, para se controlar quantos elementos a malha deve ter é necessário estipular o erro admissível do problema (HUMBERTO, 2003).
Através deste erro admissível o problema têm N equações que são resolvidas de forma a controlar o erro no cálculo das frequências naturais. O gráfico da convergência tem um formato semelhante à figura 19.
Figura 19- Convergência no método dos elementos finitos.
Fonte: Soriano (2003).
Para o caso de programas como o Inventor da Autodesk, a calibração dos elementos da malha pode ser feito através do tamanho médio dos elementos, os quais são usados para gerar toda a malha; para softwares mais detalhados em locais em que há mudança de geometria na peça pode- se trabalhar com outro tipo de elementos, gerando uma malha muito mais detalhada.
2.5 Introdução à turbinas hidráulicas
As turbinas hidráulicas se dividem em dois grandes grupos turbinas de ação e turbinas de reação.
As Turbinas de reação são caracterizadas por baixas quedas de água e grandes vazões de água, o escoamento neste tipo de turbina ocorre de modo oposto àquele que ocorre em uma bomba, entra pela secção de maior diâmetro e sai pela de menor, após efetuar a transferência de energia do fluido para o rotor, são deste tipo a turbina Francis e a Kaplan (WHITE, 2011).
As Turbinas de ação são aquelas para alturas muito elevadas e baixas vazões (geralmente centrais hidroelétricas sazonais). As turbinas de reação exigem alta velocidade de rotação, como uma grande pressão no interior de sua carcaça, exigindo uma estrutura muito mais robusta que a habitual, elevando o custo de projeto para gerar potências inferiores às potências que geralmente são entregue, para isso são necessárias turbinas que suportem altas pressões como a Pelton ( WHITE, 2011).
A figura 20 mostra a eficiência de algumas turbinas pela sua velocidade especifica.
Figura 20- Eficiência das turbinas hidráulicas pela velocidade especifica.
Fonte: Dixon (2010).
As turbinas hidráulicas podem ser escolhidas segundo o regime de operação, que leva em conta, a altura de queda d’agua e a vazão. Com esses dois fatores faz-se a escolha do melhor tipo de turbina para operar em determina da central energética de acordo com a figura 21, em que é apresentado um “mapa” do domínio de funcionamento de cada turbina levando em consideração a vazão e a altura de queda do jato de água.
2.5.1 Turbina Francis
As turbinas Francis são turbinas de reação, porque o escoamento na zona da roda se processa a uma pressão menor do que a pressão atmosférica. Esta turbina é caracterizada por ter uma roda formada por uma coroa de aletas fixas, que constituem uma série de canais hidráulicos que recebem a água radialmente e a orientam para a saída do rotor numa direção axial (WHITE, 2011).
Os outros componentes desta turbina são: a câmara de entrada (que pode ser aberta ou fechada com uma forma espiral); o distribuidor constituído por uma roda de aletas fixas, ou móveis, que regulam o caudal; e o tubo de saída da água ( WHITE, 2011).
Figura 21- Domínio de cada turbina hidráulica levando se em consideração a queda de água e a vazão de operação.
Fonte: Dixon (2010).
Na figura 22 consta uma ilustração de uma turbina hidráulica tipo Francis, a qual é utilizada em grandes centrais hidroelétricas.
Figura 22- Turbina Francis.
Fonte: Dixon (2010).
2.6 Introdução aos modelos analíticos de dinâmica de rotores 2.6.1 O Modelo de Rankine ou modelo massa mola – (1869)
O modelo de Rankine para o estudo da dinâmica de rotores leva em consideração que os mancais têm uma rigidez elevada e o eixo é flexível, em que a massa do sistema se concentra no centro de acordo com a figura 23.
No modelo r representa a deflexão que o eixo sofre, m representa a massa do elemento de disco, K é a rigidez do eixo e ω é a velocidade de giro do eixo.
No modelo proposto por Rankine, a força elástica têm a função de força restauradora, a qual mantém a órbita do disco. Neste modelo é desconsiderado o amortecimento e o efeito giroscópio.
O modelo pode ser resumido pelas seguintes equações que se calcula a velocidade máxima em que a orbita do rotor se mantêm estabilizada:
𝐾𝑟 = 𝑀𝜔2𝑟 (
(46)
Em que a velocidade critica pode ser obtida de acordo com a equação acima isolando se ω.
Segundo Rankine a velocidade obtida pela equação acima seria a velocidade máxima do sistema, devido a grandes amplitudes de vibração nesta velocidade, o que se prova não totalmente verdadeiro, pois saindo desta velocidade de rotação o sistema afasta-se da condição de ressonância e diminui a amplitude de vibração (COTA, 2008).
Figura 23- Modelo do rotor de Rankine.
Fonte: Cota (2008).
2.6.2 O Modelo de Dunkerley – (1894)
Dunkerley utiliza um modelo de viga com carregamento localizado no centro, para se estudar o fenômeno da dinâmica dos rotores, de acordo com a figura 24.
Figura 24- Modelo de viga bi apoiada para eixos rotativos de Dunkerley.
Fonte: Cota (2008).
Através deste modelo pode-se deduzir a seguinte equação por (COTA, 2008):
𝐸𝐼𝜕4𝑦
𝜕𝑥4 = 𝜌𝐴𝜕2𝑦
𝜕𝑡2
( (47)
Onde EI é a rigidez à flexão, ρ é a massa especifica e A área de seção transversal do elemento de viga.
O modelo de Dunkerley ajuda a entender porque em alguns eixos ocorre vibração excessiva, e como estas vibrações contribuem para a falha do sistema por fadiga, e falha na contenção dos selos de mancais (COTA, 2008).
Esse modelo contribuiu para a construção de rotores maiores, e utilizando de sistemas com elevada rigidez de modo à elevar a primeira frequência natural do sistema, evitando que o maquinário opere na faixa de ressonância (COTA, 2008).
2.6.3 O Modelo de De Laval – (1895)
Este modelo consiste de um eixo flexível, com um rotor no seu centro, e com apoios rígidos, o qual o sistema gira com uma dada velocidade ω. Uma representação deste pode ser observado na figura 25.
Devido ao desbalanceamento, o centro de massa não coincide com o centro geométrico, com isso as coordenadas do centro de massa é variável no tempo de acordo com a velocidade de operação do sistema, considerando o eixo y passando por dentro do eixo, o sistema vai ter movimento de translação em x e z e rotação nos três eixos.
As Coordenadas do centro de massa podem ser representadas pelas seguintes equações:
𝑋′= (𝑥 + 𝑒𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)) 𝑍′= (𝑧 + 𝑒𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡))
( (48)
Onde 𝑋′e 𝑍′ são as novas coordenadas, x e z são as coordenadas do sistema em repouso, 𝑒 é a distância entre o centro geométrico e o centro de massa e ω é a velocidade de rotação do rotor.
Figura 25- Modelo de De Laval.
Fonte: Cota (2008).
2.6.4 O Modelo de Jeffcott – (1919)
Este modelo conta com a presença do amortecimento, fato que difere dos outros modelos, os quais não contam com a participação do amortecimento (COTA, 2008). O modelo de Jeffcott pode ser representado pela figura 26.
Na figura 26 é apresentado o modelo de Jeffctott que propôs um modelo de sistema rotativo composto por um eixo elástico e um disco rígido desbalanceado, suportado em dois apoios rígidos.
Abaixo consta a formulação para a resposta prevista pela metodologia de Jeffcott, onde o eixo é considerado com rigidez K, o sistema têm um dado amortecimento c, e a velocidade de rotação do rotor é denominada por Ω.
As equações do movimento são apresentadas a seguir (COTA, 2008):
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝐾𝑥 = 𝑚𝛺2𝑑 sin 𝛺𝑡 ( (49)
𝑚𝑧̈ + 𝑐𝑧̇ + 𝐾𝑧 = 𝑚𝛺2𝑑 cos 𝛺𝑡 (
(50)
Figura 26- Modelo de Jeffcott para um rotor.
Fonte: Pereira (2005).
As soluções para as equações acima são semelhantes e obedecem as equações do movimento para os eixos x e z, e podem ser designadas a seguir. Onde as equações apresentam uma resposta dependente do tempo e de parâmetros do sistema, como a rigidez e o amortecimento, como também a velocidade em que o sistema está girando. Está analise permite uma solução um pouco mais completa se comparada aos modelos apresentados antes (COTA, 2008).
As formulações do modelo de Jeffcott podem ser observadas a seguir.
𝑋 = 𝛺2𝑑
√(𝐾𝑚 − 𝛺2)2+ (𝑐𝛺 𝑚 )
2sin(𝛺𝑡 − 𝛽) (
(51)
