HT- OiO/ IMA NOVA TÉCNICA PARA A GERAÇÃO DE MATRIZES DE TRANSFERENCIA PARA ESPALHAMENTO ELÁSTICO E INELASTICO DISCRETO. R. D. K.

H T - OiO/84

08.10.1984

IMA NOVA TÉCNICA PARA A GERAÇÃO DE MATRIZES DE TRANSFERENCIA PARA ESPALHAMENTO ELÁSTICO E INELASTICO DISCRETO

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R. D . K. Garcia

Contro To'cnlco AeroMpocial Instituto do Estudos Avonçodos

Rodovlo dos Tomolos, Km 5,9 12.200-Soo Jos« d99 Compôs -SP

Brooíl

UMA NOVA TÉCNICA PARA A GERAÇÃO DE MATRIZES DE TRANSFERENCIA PARA ESPALHAMENTO ELÁSTICO E INELÃSTICO DISCRETO

R. D. M. Garcia

- • RESUMO

Neste trabalho, uma nova técnica para a geração dos componentes isotrô pico e linearmente anisotrõpico das matrizes de transferência para espalhameti to elástico e inelãstico discreto é proposta. A técnica permite que certas ín tegr&is angulares sejam expressas em termos de funções que podeirf ser calcul£

das por relações de recorrência ou expansões em séries alternativamente ã ut£

lização de quadratures numéricas.

ABSTRACT

In this work, a new technique for generating the isotropic and linearly anisotropic components of elastic and discrete inelastic transfer matrices is proposed. The technique allows certain angular integrals to be expressed in terms of functions that can be computed by recursion relations or series ex pensions alternatively to the use of numerical quadtatures.

01 1. INTRODUÇÃO

A geração eficiente de matrizes de transferência para utilização ea câl^

culos de reatores tea sido extensivamente estudada nos últimos vinte anos. Orna revisão das técnicas utilizadas para a geração de matrizes de transferência em códigos computacionais foi completada recentemente . E m geral, sendo os meca nismos de espalhamento elástico e inelâstico discreto os mais importantes na geração de matrizes de transferência, esforços tem sido concentrados na busca de novas técnicas que permitam tratar esse» mecanismos com precisão, sea compro meter irremediavelmente a eficiência computacional. Assim, por exemplo, o tra

* • . " (2T

tamento do espalhamento inelâstico discreto evoluiu do modelo simplificado adotado no código MC »em que o espalhamento é considerado isotrôpico no siste ma de laboratório»para o modelo do ângulo fixo utilizado no código MC -?..

Na maioria dos códigos computacionais existentes são empregadas técnicas dis_

tintas para o tratamento do espalhamento elástico e inelâstico discreto. Isto decorre fundamentalmente de que certas simplificações possíveis no tratamento do espalh?mento tlástico não se verificam no caso do espalhamento inelâstico discreto. Pode -1 citar, entre outras,.as simplificações decorrentes da ut.ilj^

zaçao de uma -s yutura de grupos com largura constante em letargia exploradas pelos código; l « e MC -2 ou dificuldades inerentes ao espalhac.cnto inelâstico2 2 discreto, COIIC a região de dupla energia . Uma exceção a esta regra é o tra_

tamento unif i< *>Jo provido pelo sistena NJOY em que uma representação no si£

tema de cent * de massa evita as dificuldades originadas pela região de dupla energia no rsttamento do espalhasento inelâstico discreto. A flexibilidade per_

mitida pelo PJOY na escolha da estrutura de grupos elimina qualquer vantagem de se utilizer um tratamento específico para espalhamento elástico, como no M C2.

m

Neste trabalho, uma nova técnica para a geração dos componentes isotró pico e linearmente anisotrópico das matrizes de transferência para espalhazusn to.elástico e inelâstico discreto é proposta. A formulação utilizada é siailar ao tratamento unificado provido pelo NJOY, com a distinção que as integrais angulares são expressas em termos de funções que podem ser calculadas por rela_

ções de recorrência ou expansões em séries, ao invés de serem calculadas por integração numérica conto no NJOY. Espera-se que o tratamento aqui desenvolvi do, após implementado, seja útil na geração de matrizes de transferência apr£

priadas para reatores rápidos.

2. ANALISE

• A seção de choque de transferência, de neutrons do grupo g', com energia

E1 c (B ,, _ | energia Ee (E .P*ra ° grupo g, C lhamento elástico ou inelâsticò discreto, ê dada por

w ,

E

V

dE»

Eg-1

» •traves de

dE (1)

Eg

onde o (E*) i m seção de choque para o mecanismo x â energia E1, f (E*-»E,u) des creve a probabilidade, de um nêutron com energia E* originar, através do meca nismo x» um nêutron com energia E e ângulo entre as direções de movimento ini ciai e final no sistema de laboratório dado por cos u e W(E*) ê a função de ponderação, com W . dado pela integral de W(E*) sobre o grupo g*. Se x«nt o me canismo considerado ê o de espalhamento elástico, enquanto que x«n*i denota es_

palhamento inelástico discreto envolvendo o nível de excitação i do núcleo e£

palhador. A distribuição f (E*-*-E,u) ê normalizada tal que integrada sobre t£

das as energias finais possíveis e sobre ye[-1,1] fornece a unidade. Conside - (4) "~

rando a conhecida relação entre u e u, o cosseno do angulo de espalhameii to no sistema de centro de massa, •

(2)

com

(3) onde A í a razlo entre a massa do núcleo espalhador e a do nêutron e Q. i 0,

i * 0,1,.,.I, ê a energia de excitação do nível i do núcleo espalhador (í - 0 é um nível fictício com Q * 0, representando espalhamento elástico), pode-se escrever formalmente

- £ 6 [ u - S(u,E') J onde

1 • Y ( E ' ) M

l 1 • 2 Y ( Ef) « * Y2(Ef) J1 7 2

(5)

03

Utilizando a transformação

' ^ I (6)

e representando fx(E',u) por uma expansão em polinômios de Legendre truricada apôs (L+l) termos, a eq.(4) pode ser escrita como

L *

* l <2Ú1) £ (E»,t) P.(M) , (7)

1.0 x *

onde f (E*,l) são coeficientes da expansão de f (E',u). Note que o valor ab soluto-empregado na eq.(6) foi removido da eq.(7) pois da relação

B - K l 1 • 2 y ( El) u • YZ(E») J (8)

<A+ir

i fácil verificar que, para E* fixo, E cresce monotonicamente com <•>. A fig. 1 mostra a variação da energia final E cbm a energia inicial E* para vários valo res de o» e[-1*1] no caso de espalhamento inelástico envolvendo o primeiro n£

vel do Li (Q- • -0,478 MeV). A energia limiar para espalhamento inelástico E. • -(A+l) Q./A, ê,neste exemplo,igual a aproximadamente 0,546 MeV. A energia limiar de retroespalhamento, E • - A Q./(A-1), corresponde,no gráfico,ao pon to B. No caso de espalhamento elástico, os pontos .A e B coincidem e se movem para a origem do plano (E',E) e a família de curvas representadas no gráfico degenera numa família de segmentos de retas.

Utilizando a expressão para f (E'-*E,u) fornecida pela eq.(7) ha eq.

(1) e considerando o sub-intervalo de integração em E' para o qual o integraii do não se anula, obtém-se

1-1 dE1 W(Ef) o (Ef) I (2U1) f (E1,*)

X U 0 x

V

d w P ^ w ) «[ P-S(w,Ef) J , (9)

onde E , - max (E ,, E , ) , E . . • max (E . .,, E.) e os limites da integra_

cão em M sio determinados com auxilio da eq.(8). Ma prática, ao invés de* se utilizar ox(g*-»g,|i) diretamente, costuma-se expandir o ^ g ^ g . u ) en poling mios de Legendre e utilisar os componentes da expansão,

f ¹

A substituição da eq.(9) na eq.(10) resulta

o

(g

-g,k) - V"}

onde

dB*.H(Bt) ox(E») Pk(E',g) (11)

Fk(E\g) - \ l) f (E\i) X. ,(E' (12)

Na equação (12), as funções X. B(E',g) são definidas como

S(u»,Ef) (13)

once tí (Ef) - max { -1, niin [ b>(E ,E'), 1 ] ) e u ^(Z*) - min { 1, max (j>(E l fEf) , -1 ] } . 0 caso especial da eq.(13) em que ««(£') " -1 « w ' .(Ef) » 1 tem sido extensivamente estudado * . Na prática, em cálculos de reatores, só os componentes isotrópico (k-0) e linearmente ani«otrópico (k«l) de o(g'+$,\i) são importantes* Por esta razão, este trabalho se restrin ge mo estudo destes componentes. 0 problema se resume em calcular as funções XA ,(E',g) c X. .(E*,g) pois o(E') e f (E',£) são fornecidas ou calcu

vt* 1,Z X X /g\ ""

ladas a partir de dados básicos armazenados em bibliotecas como a ENDF/B e a função de ponderação W(Ef) é escolhida entre formas simples tais como En, n«-l,0fl ou então pré-calculada e fornecida em fôrma tabular. Para k-0, é possível mostrar,com auxílio da» propriedades dos polinômios de Legendre ,que as funções

OS

s.«o ^{S.M 4.60 5.70}

CNCRCIR IWICIW.IHE»)

/ IO>>SS.M> S.IO

t O . M

(FIG.-l) : Relação entre a energia final E e a energia inicial E* para espalha_

mento inelástico discreto envolvendo o primeiro nível de excitação do L i7.

dui (14)

•ão dadas por

V i

(15)

com P «(«) - 0 . A eq.(15) pode ser utilizada para calcular as funções

(E*,g) requeridas na eq.(12) com k»0. Para k«l, ê conveniente definir

do

de

* modo que

rVl

Wg(E

(E«)

f)

1 • Y ( E ' ) M

(16)

• 2Y(E')u • y2(E»)

P.(«) (17)

podem ser expressas por Y£(E',g)

(18)

Utilizando as propriedades dos polinomios de Legendre, é possível mostrar que as funções Y.(E'(g) satisfazem à relação de recorrência, para I i 0,

( 2 Ú 3 ) Yu l( E \ g ) - (1 - 6Ql) (1 - 21) Y^jiE'.g) - ( 2 U 1 )

') J

X { íl • 2Y(E») « + Y2(Ef) ]1 / 2 I PU 1( « ) -Pt_i(u)J>

tóg(E') (19)

a qual pode ser utilizada juntamente com o valor inicial . Y0(E',g) - ^

i. • !

W • Y2(Ef) J1 / 2

V i

W g(E')

(20)

07

para calcular as funções Y (E',g) requeridas na eq.(18) para estabelecer as funções X. (E*,g). Ê aparente que a relação de recorrência expressa pela eq.

(19) não é adequada nos limites Y C E1) » 1 e y(E%) « 1. Nesses casos, tojr na-se então necessário um tratamento alternativo. Para y(E*) > > 1* pode-se utilizar a representação(9)

2Y(Et> b> + Y 2( Ef) .m+1

válida para Y(E') > 1, na eq.(17), obtendo-se á série

m=0

.(E'.g)

nu-2 1 ,m+l

onde

Sot<E',8) du P (u) P.(u)

m x. (23)

Claramente, S (E',g) = S (E',g). Além disso, podn-se mostrar, com auxí

m, Jt &,m - ^~

lio das propriedades dos polinômios de Legendre, que, para m 4 í.,

L O

V i

(24)

e, para m «• £,

•• • »•

( 2 £ + 3 )

pl+l^{( ü 5 )} - (25)

W g(E«)

com

- ü)g(Ef) . ' (26)

Para Y ( E ' ) « 1 , a representação(9)

[ 1 + ^{2Y(E')U) + Y2}(E') ] "^{1 / 2} - I (-1)™ Y^m(E') P (w) , (27)( m=0

válida para 0 & Y ( E ' ) < 1, substituída na eq.(17), fornece a série

M)S

m«0

(28)

As equações (22) e (28) podem,portanto, ser utilizadas para calcular ef_i cientemente as funções X. .(E',g) nas situações em que a estabilidade da rela ção de recorrência, eq.(19), é comprometida.

3. CONSIDERAÇÕES FINAIS

- As expressões fornecidas na seção anterior permitem que as integrais an_

gulares encontradas na geração dos componentes ísotrópíco e linearmente aniso

09

trópico das matrizes de transferência para espalhamento elástico e inelástico discreto sejam avaliadas sem recorrer a integração numérica. Considerando que as representações de f^iE'.u) em polinomios de Legendre fornecidas pela bi blioteca ENDF/B podem incluir até 21 termos na expansão, dependendo do elemen to e do valor da energia inicial, a técnica de integração numérica, requer qua draturas de ordem > 10 na execução da integração angular, exigindo a avalia ção dos polinomios de Legendre para cada um dos nos da quadratura seleciona da, enquanto que a técnica aqui proposta requer a avaliação dos polinomios de Legendre apenas nos limites de integração. Além disso, obviamente, na técnica de integração numérica,os resultados dependem da quadratura selecionada.

Após a integração angular tratada detalhadamente neste trabalho, a gera_

ção dos componentes isotrópico e linearmente anisotrópico das matrizes de transferencia para espalhamento elástico e inelástico discreto, envolve a inte gração sobre energia indicada.na eq.(ll). Existem, em princípio, várias

ras de executar essa integração, variando desde aproximações lineares como as . - 2 2

utilizadas pelos códigos MC e MC -2 em estruturas ultra e hiperfinas respecti vãmente, até quadraturas gaussianas cono as empregadas no sistema NJOY. Nossa intenção ao implementar o método, é empregar a regra trapezoidal na malha obti da ao se adicionar a estrutura discreta utilizada na biblioteca ENDF/B para armazenar o^CE1) (no caso de ressonâncias resolvidas será utilizada a malha ob_

tida no processo de reconstrução) e f (E',£) com os limites de integração da eq.(ll), o que minimizará, no nosso entender, o número de interpolações neces sárias, sem comprometer a precisão do resultado final.

A técnica descrita neste trabalho será brevemente implementada, o que permitirá uma avaliação concreta do seu desempenho frente ãs outras técnicas presentemente utilizadas na geração de matrizes de transferência para espalh£

mento elástico e inelástico discreto.

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