Cristina Cruchinho, Graziela Fonseca, Ilda Lopes, Ars´elio Martins, Jaime Carvalho e Silva (coord.)
Dezembro de 2002
1 Introdu¸ c˜ ao
Esta ´e uma disciplina de op¸c˜ao do 12o¯ ano, podendo ser escolhida livremente por estudantes de qualquer um dos cursos gerais. A sua carga hor´aria, tal como a das outras op¸c˜oes dos cursos gerais, ´e de 4,5h por semana.
A ideia base desta disciplina ´e a de fornecer uma forma¸c˜ao cultural a qualquer estudante do ensino secund´ario, que o habilite a encarar a Matem´atica como uma ´area cient´ıfica viva, em plena efervescˆencia, sempre a tentar contribuir para resolver alguns dos problemas, enigmas e preocupa¸c˜oes do nosso tempo. ´E por isso que foram escolhidos apenas temas contemporˆaneos de Matem´atica, embora a hist´oria de alguns dos temas seja por vezes bastante longa.
Como podem frequentar esta disciplina estudantes que n˜ao frequentaram, no ensino se- cund´ario, disciplinas de Matem´atica ou afins (como ´e o caso dos estudantes do curso geral de ”Artes do Espect´aculo” e de ”L´ınguas e Literaturas”), n˜ao se pressup˜oe o conhecimento de nenhum dos temas tratados em qualquer das disciplinas de Matem´atica e afins do 10o¯, 11o¯ ou 12o¯ anos. Assim, os conhecimentos de base que ser˜ao utilizados, ser˜ao apenas aqueles que s˜ao habitualmente leccionados at´e ao 9o¯ ano.
2 Temas propostos
S˜ao propostos, nesta fase de discuss˜ao p´ublica do programa, os seguintes temas:
• Teoria matem´atica das Elei¸c˜oes
• N´umeros inteiros e C´odigos
1
• Teoria matem´atica dos N´os
• Fractais e Caos
• Teoria de Grafos
• O Hotel Infinito
• Geometrias n˜ao euclidianas
V´arias pessoas sugeriram outros temas. A lista de temas proposta n˜ao est´a de modo nen- hum fechada, nem as sugest˜oes de trabalho para cada tema ter˜ao de ter a orienta¸c˜ao pro- posta neste documento. Referem-se temas como: ”Transforma¸c˜oes geom´etricas (transla¸c˜oes, rota¸c˜oes, simetrias e reflex˜oes deslizantes; frisos, padr˜oes; pavimenta¸c˜oes, etc”, ”Matrizes;
visualiza¸c˜oes e anima¸c˜oes geom´etricas, cinema de anima¸c˜ao”, ”Grafos, rigidez e flexibili- dade nas estruturas das constru¸c˜oes”, etc.
Atendendo a que n˜ao h´a qualquer liga¸c˜ao entre estes temas, este programa n˜ao ter´a bib- liografia geral; cada tema vir´a acompanhado da respectiva bibliografia.
3 Gest˜ ao do Programa
A extens˜ao dos temas foi pensada de modo a que cada professor pudesse escolher dois ou trˆes temas num ano, de acordo com os recursos dispon´ıveis, com as preferˆencias dos estu- dantes e com as suas pr´oprias preferˆencias. Em particular, h´a temas que j´a aparecem na disciplina ”Matem´atica Aplicada `as Cieˆencias Sociais”; se estudantes desses frequentarem a disciplina, os respectivos temas n˜ao dever˜ao ser abordados (uma possibilidade alterna- tiva ´e a de alguns estudantes explorarem algum tema, individualmente ou sob a forma de grupo de trabalho, supervisionados pelo professor).
4 Avalia¸ c˜ ao
A natureza da disciplina e, em particular, o tipo de trabalho que se pretende desenvolver com os estudantes implica decisivamente uma altera¸c˜ao nos instrumentos de avalia¸c˜ao. As provas escritas (ou testes) tradicionais de questionamento sobre os conceitos matem´aticos em si mesmos ou com exigˆencia de prova do manejo de t´ecnicas matem´aticas ou de ma- nipula¸c˜ao da simbologia matem´atica perdem sentido e oportunidade como instrumentos privilegiados para as tarefas de avalia¸c˜ao. A actividade dos estudantes e o aproveitamento que se pretende verificar s˜ao mais cabalmente medidos com a aprecia¸c˜ao dos trabalhos de grupo e individuais realizados, sendo importante que assumam diversos formatos: com- posi¸c˜oes e notas de leitura, relat´orios de actividades desenvolvidas, prepara¸c˜ao de apre- senta¸c˜oes e participa¸c˜ao em debates com temas seleccionados adequadamente ligados aos assuntos de ensino.
5 Indica¸ c˜ oes sobre cada Tema
5.1 Teoria Matem´atica das Elei¸c˜oes
As raz˜oes para a escolha deste tema de estudo s˜ao ´obvias j´a que se trata da abordagem de um assunto muito discutido no nosso regime pol´ıtico democr´atico, interessante do ponto de vista da matem´atica b´asica e interessante do ponto de vista da constru¸c˜ao de uma cidadania activa. Para al´em da mobiliza¸c˜ao da matem´atica b´asica que pode ganhar sentido, esta abordagem inicia os estudantes em modelos matem´aticos fora das ciˆencias e da engenharia, ao mesmo tempo que mostra as limita¸c˜oes de um modelo matem´atico. A abordagem deste tema permite uma forma de trabalho em que o investigar situa¸c˜oes, o recolher dados, o analisar situa¸c˜oes e o escrever de pequenos relat´orios desempenham um papel preponderante.
5.1.1
Para uma abordagem do tema das elei¸c˜oes, prop˜oe-se que, por interven¸c˜ao do professor ou utilizando dados reais e leituras aconselhadas, os estudantes realizem actividades e/ou tarefas sobre os seguintes t´opicos:
• compara¸c˜oes de algumas elei¸c˜oes;
• compara¸c˜ao com outros m´etodos de vota¸c˜ao (por exemplo, por ordem de preferˆencia, majorit´ario com duas voltas, proporcional, de aprova¸c˜ao)
• referˆencia ao paradoxo de Condorcet
• referˆencia breve ao teorema de Arrow
5.1.2
Todo o trabalho deve ser feito a partir de exemplos concretos que tanto podem vir de vota¸c˜oes feitas entre os pr´oprios alunos (cores, sabores, clubes, pa´ıses, etc.), como de- vem ser usados dados de elei¸c˜oes j´a realizadas, com particular relevˆancia para as elei¸c˜oes nacionais, regionais e locais portuguesas. Devem tamb´em ser usados alguns exemplos hist´oricos significativos.
O professor deve usar a metodologia que achar mais adequada de modo a que os alunos participem activamente no estudo dos exemplos e modelos propostos.
Os alunos devem recorrer `a tecnologia (calculadoras gr´aficas ou computadores) para sim- ular varia¸c˜oes das situa¸c˜oes estudadas e tentar retirar conclus˜oes, elaborando pequenos relat´orios.
N˜ao se pretende desenvolver uma teoria matem´atica completa das elei¸c˜oes, mas t˜ao s´o alertar os alunos para uma ´area de importˆancia fundamental na sociedade actual e como a matem´atica ´e uma ferramenta incontorn´avel (embora de modo nenhum seja a ´unica ferramenta relevante).
5.1.3 Referˆencias
Steen, L.A.(coord). For all practical purposes – introduction to contemporary mathematics COMAP(1999). New York: W.H.Freeman and co.
Malkevitch, J. (1999). The mathematical theory of elections. COMAP, Lexington: COMAP Brams, Conrad, Lucas & Taylor; Social Choide and Decision Making – Apportionment,For all pratical Purposes – Introduction to Contemporary Mathematics. pp 427-460. COMAP.
Freeman and Company. New York: 1994
5.2 N´umeros inteiros e c´odigos
Na vida moderna utilizamos c´odigos nos mais diversos campos da actividade social e econ´omica. A abordagem deve permitir o contacto com as diversas actividades que de- pendem da codifica¸c˜ao e estabelecer as bases de confian¸ca nos diversos sistemas, ao mesmo tempo que se prova a potˆenca da matem´atica, valores ´eticos da cidadania moderna s˜ao sugeridos e justificados.
Este tema pode ser abordado de diversas formas. Tanto pode ser abordado por uma pe- quena introdu¸c˜ao seguida de actividades complexas de auto-estudo e metodologia de pro- jecto, como por uma sucess˜ao de pequenos exerc´ıcios ou actividades recheadas de desafios e problemas a resolver. Qualquer que seja a metodologia, os alunos devem ter actividades aut´onomas, devem ler e consultar textos significativos (desafiadores) e hist´oricos sobre o tema.
S´o depois de terem sido feitos experiˆencias com diversos n´ıveis de dificuldade ´e que devem ser introduzidos processos pesados de criptografia.
5.2.1
A motiva¸c˜ao inicial e o desenvolvimento do projecto de trabalho consistir´a sempre na procura da codifica¸c˜ao f´acil de mensagens que sejam f´aceis de descodificar para quem con- hecer o c´odigo utilizado, mas dif´ıceis (se n˜ao imposs´ıveis) para quem tiver de descobrir o c´odigo. No fundo estes s˜ao os crit´erios fundamentais para a escolha de c´odigos secretos, tanto os usados para codificar uma mensagem entre amigos ou espi˜oes, que possa sem perigo cair em poder de estranhos ou inimigos, como para os c´odigos das contas dos ban-
cos, por exemplo.
Inicialmente, os estudantes devem fazer experiˆencias criando os seus pr´oprios c´odigos, e fazendo com que o grupo experimente exercitar as competˆencias de codificar, descodificar e descobrir os c´odigos utilizados para codificar as mensagens. Devem ser apresentadas men- sagens cifradas para introduzir alguns processos de cria¸c˜ao de c´odigos usando matem´atica, com graus crescentes de dificuldade. Pˆor em evidˆencia, os valores da paciˆencia, perse- veran¸ca, m´etodo, an´alise meticulosa, intui¸c˜ao, dedu¸c˜ao, etc, e sorte.
Os estudantes devem procurar exemplos de c´odigos usados correntemente na vida de todos os dias (c´odigos de barras — dos correios, das mercadorias; dos cart˜oes magn´eticos — dos cart˜oes multibanco, dos parques de estacionamento, etc; sequˆencias de n´umeros — cheques, n´umeros dos cart˜oes, etc; c´odigo de morse e braille, das comunica¸c˜oes electr´onicas; outros) e determinar quais s˜ao c´odigos secretos, e classific´a-los quanto `a dificuldade de codifica¸c˜ao, descodifica¸c˜ao e descoberta dos c´odigos a partir das mensagens codificadas. Estabelecer para cada um dos exemplos a principal utilidade do c´odigo: rapidez na circula¸c˜ao da informa¸c˜ao, secretismo, rapidez de c´alculo autom´atico, correc¸c˜ao de erros de leitura, etc.
Utiliza¸c˜ao de correspondˆencias e fun¸c˜oes de vari´avel natural para codificar mensagens, tendo em aten¸c˜ao o universo de sinais que podem aparecer numa mensagem escrita em portuguˆes e as suas posi¸c˜oes relativas. Uso de diagramas, gr´aficos, matrizes e gr´aficos na calculadora, etc para construir e comunicar c´odigos.
Utilizar os conhecimentos relativos a fun¸c˜oes e equa¸c˜oes para descodificar rapidamente as mensagens ´e o que ´e necess´ario experimentar a seguir. Inversas de fun¸c˜oes e opera¸c˜oes e suas representa¸c˜oes gr´aficas s˜ao agora utilizadas.
5.2.2
Depois das primeiras experiˆencias simples, devem realizar-se codifica¸c˜oes que exijam a congruˆencia aritm´etica (aritm´etica modular), o que pode acontecer para casos muitos simples de deslocamentos.
Aborde-se depois a criptografia de chave p´ublica, por exemplo, o m´etodo RSA (Rivest, Shamir e Adelman) que se baseia no facto de n˜ao se conhecer um algoritmo eficiente para factorizar n´umeros muito grandes, ao mesmo tempo que se conhecem algoritmos eficientes para encontrar n´umeros primos grandes e para os multiplicar. Utiliza-se tamb´em aritm´etica modular e propriedades da congruˆencia aritm´etica.
Diz-se que os n´umeros naturais a e b s˜ao congruentes de m´odulo n quando s˜ao iguais os restos das suas divis˜oes inteiras porn, que ´e o mesmo que dizer que|a−b| ´e divis´ıvel por n. Escreve-sea≡b(modn).
As propriedades da congruˆencia aritm´etica que devem ser referidas (e demonstradas) s˜ao:
1. Se a≡b (modn) ent˜aoak≡bk (modn)
2. Se a≡b (modn) ec≡d (modn) ent˜ao ac≡bd (modn) 3. Se a≡b (modn) ent˜aoak ≡bk (modn)
Para al´em da abordagem da congruˆencia aritm´etica deve ser necess´ario abordar os algo- ritmos da multiplica¸c˜ao e da divis˜ao inteira, o conceito de n´umero primo e a factoriza¸c˜ao de n´umeros naturais.
5.2.3
Merece referˆencia destacada, de importˆancia hist´orica, a participa¸c˜ao de matem´aticos no esfor¸co dos governos, desde Vi`ete a Turing e Nash, a c´elebre m´aquina Enigma da Segunda Grande Guerra, etc. As referˆencias hist´oricas podem e devem enquadrar os diversos desenvolvimentos da abordagem que for sendo feita.
5.2.4
Podem ainda ser abordados os c´odigos bin´arios, particularmente ´uteis para a transmiss˜ao e tratamento de informa¸c˜ao electr´onica, com correc¸c˜ao de erros, que ´e vital para os com- putadores, modems, faxes, discos compactos, video e televis˜ao, etc.
Merece referˆencia hist´orica o c´odigo de Morse,e todos os c´odigos modernos desde o c´odigo ASCII. Para essas referˆencias e trabalhos com esses c´odigos, ser´a preciso introduzir as sequˆencias bin´arias e as opera¸c˜oes com elas.
A ordem a ser dada `as abordagens dos diversos c´odigos deve ser decidida de acordo com o desenvolvimento do projecto de trabalho escolhido.
5.2.5 Referˆencias
Saraiva, M. J. e Farias, C.I. (1999) Os n´umeros e as mensagens secretas. Lisboa: APM Steen, L.A.(coord). For all practical purposes – introduction to contemporary mathematics COMAP(1999). New York: W.H.Freeman and co.
Stewart, Ian (1996). Os Problemas da Matem´atica. Ciˆencia Aberta, Vol. 72, 2a¯ ed.
Lisboa: Gradiva
Garfunkel, S.(coord)(1998). COMAP’s Matehematics: Modeling our world, COMAP. New York: W. H. Freeman and Cy
Codes and Ciphers in the Second World War http://www.codesandciphers.org.uk/
The Alan Turing Home Page Maintained by Andrew Hodges http://www.turing.org.uk/turing/
A Cryptographic Compendium - John Savard http://fn2.freenet.edmonton.ab.ca/ jsavard/crypto.htm
RSA Laboratories’ Frequently Asked Questions About Today’s Cryptography http://www.rsasecurity.com/rsalabs/faq/
The Numeroscope - An Interactive Laboratory of Numbers and Cryptography by Paul Burchard http://www.woodrow.org/teachers/math/numeroscope/
5.3 Teoria dos N´os
5.3.1 Base de conceitos
A Teoria dos N´os ´e uma ´area da matem´atica relativamente nova, iniciada apenas no fim do s´eculo passado. Apesar de muitos progressos se terem feito, permanecem quest˜oes fasci- nantes ainda sem resposta. Embora algumas destas quest˜oes sejam demasiado complexas, outras h´a suficientemente simples para serem exploradas pelos estudantes, que est˜ao a terminar o ensino secund´ario, e pelos seus professores.
Um n´o ´e definido como sendo uma curva fechada no espa¸co tridimensional que n˜ao se intersecta a si pr´opria. Imagine que o n´o ´e feito de um fio de borracha infinitamente fino.
N˜ao podemos pensar num n´o como sendo uma estrutura r´ıgida no espa¸co! Um n´o tem de ser imaginado “deform´avel”, isto ´e que se pode mover e colocar em novas configura¸c˜oes de tal forma que nunca se permita que ele passe atrav´es de si mesmo. Ele pode ser manipulado como se fosse um n´o de uma corda na qual as suas duas extremidades foram coladas. Alterar a posi¸c˜ao dos n´os n˜ao os altera!
Formalmente, diz-se que se um n´o pode ser deformado noutro, ent˜ao os n´os s˜ao equiv- alentes. Uma das quest˜oes essenciais na Teoria dos N´os ´e determinar se dois n´os s˜ao equivalentes. Se se n˜ao conseguir deformar um n´o de maneira a tomar a forma de um outro, estes n˜ao s˜ao equivalentes.
Aos desenhos bidimensionais dos n´os chamamos projec¸c˜oes.
Pelo facto dos n´os serem deform´aveis e devido ao facto de podermos olhar para um n´o a partir de pontos de vista diferentes, um n´o simples tem uma infinidade de projec¸c˜oes diferentes.
Numa projec¸c˜ao de um n´o, h´a zonas que surgem na representa¸c˜ao como cruzamentos por cima e por baixo de si pr´oprio. A essas zonas designamos por cruzamentos. Uma propriedade do n´o que dependa apenas dele pr´oprio e n˜ao da forma como ele est´a pou- sado designa-se uma invariante do n´o. Dois n´os que sejam equivalentes tˆem os mesmos invariantes; estes podem ser usados para distinguir os diferentes tipos de n´os. Um dos invariantes mais importantes ´e o n´umero de cruzamentos m´ınimo, isto ´e, o menos n´umero de cruzamentos que surge em qualquer projec¸c˜ao de um determinado n´o. O n´o desfeito, ou n´o trivial, ´e o ´unico n´o com n´umero de cruzamentos m´ınimo zero. Outro invariante associado a cada n´o particular ´e o seu stick number. Ostick numberde um n´o ´e o n´umero m´ınimo de colagens de cordas ininterruptas, extremo a extremo, necess´ario para obter um
n´o equivalente a um dado.
Um terceiro invariante dos n´os ´e o n´umero de desenlaces – unknotting number -, isto ´e o menor n´umero necess´ario de altera¸c˜oes de cruzamentos para transformar um n´o num n´o trivial em qualquer das suas projec¸c˜oes.
5.3.2 Algumas sugest˜oes metodol´ogicas
Contactar com a Teoria dos N´os ´e uma forma dos estudantes sentirem agrado enquanto aprendem novos conceitos matem´aticos e as suas aplica¸c˜oes `a ciˆencia. A Teoria dos N´os ´e um tema pertencente `a topologia, um ramo da matem´atica que algumas vezes ´e informal- mente designado de “geometria de rubber sheet”. Assim como estamos interessados nas propriedades dos n´os que se mantˆem `a medida que o n´o ´e deformado, a topologia estuda as propriedades dos objectos mais gerais que permanecem inalter´aveis quando o objecto ´e deformado. Por exemplo, um plano feito de borracha perde a sua “flacidez” `a medida que
´e deformado, mas permanece ligado e mant´em a bidimensionalidade.
Os estudantes podem tamb´em ser confrontados com as aplica¸c˜oes da teoria dos n´os na biologia e na qu´ımica. Por exemplo, as cadeias de DNA s˜ao muito compridas e podem emaranhar-se e amarrar-se umas `as outras. Dentro das c´elulas existem enzimas que as acompanham e ligam, ou n˜ao, as cadeias de DNA. Desta forma, os bi´ologos usam a Teo- ria dos N´os para perceber este fen´omeno e o impacto que ele tem nos processos b´asicos necess´arios para a ocorrˆencia da vida.
Os qu´ımicos que analisam as liga¸c˜oes moleculares, descobriram que osstick knotss˜ao bons modelos para as liga¸c˜oes moleculares que gostariam de estabelecer. Imagine-se um stick knot no qual os v´ertices s˜ao ´atomos e os sticks s˜ao as liga¸c˜oes r´ıgidas entre os ´atomos.
Ostick n´umero m´ınimo informar´a sobre quantos ´atomos ser˜ao necess´arios para obter um determinado n´o num n´ıvel molecular.
Os estudantes dever˜ao ser encorajados a usar diferentes materiais para construir alguns n´os, com o objectivo de se familiarizarem com o tema; dever˜ao ser introduzidos nas no¸c˜oes b´asicas da teoria dos n´os e aprender a distinguir entre os v´arios tipos de n´os. Aperceber- se-˜ao de algumas das aplica¸c˜oes desta teoria nas outras ciˆencias e confrontar-se-˜ao com quest˜oes por resolver.
5.3.3 Referˆencias
Adams, Colin(1994), The Knot Book. New YOrk; W.H Freeman.
Adam, Colins(1997). Exploring KnotsMathematics Teachers, No¯ 8ol 90, NCTM. . Reston Atractor: http://www.atractor.pt
Mathematics of Knots: http://www.c3.lant.gov/mega-math/workok/knot/knot.html
Knot Arithmetic:
http://www.cs.uidah.edu/ casey93/image-math/workbk/Knoth.html#materials The KnotPlot Site:
http://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html Knot Theory:
http://www,cs.ubc.ca/nest/imager/contributions//sharein/knot-theory/knot-theory.html
5.4 Fractais e Caos
As tarefas a propor devem ter como pr´e-requisitos os conceitos e competˆencias trabalhadas e desenvolvidas no Ensino B´asico. Pretende-se que os estudantes da disciplina de Temas Actuais da Matem´atica contactem com os Fractais e Caos assim como com um conjunto de princ´ıpios e propriedades matem´aticas que est˜ao subjacentes a esta tem´atica atrav´es de um conjunto de tarefas experimentais com recurso sistem´atico `a representa¸c˜ao gr´afica fazendo uso das novas tecnologias informa¸c˜ao e comunica¸c˜ao, em especial dos computadores e de calculadoras gr´aficas. Por outro lado deve-se investir sempre para tirar partido das conex˜oes matem´aticas dos fractais e caos com outras tem´aticas. Uma terceira raz˜ao para que este tema seja estudado tem a ver com a beleza da sua estrutura e forma atrav´es daquilo que os olhos vˆeem e do que a mente permite visualizar.
5.4.1 Fractais
Para o professor de Matem´atica, os fractais oferecem uma oportunidade ´unica e nova para ilustrar o dinamismo da matem´atica e as suas diversas conex˜oes. As estruturas fractais podem, na generalidade, ser separadas em duas categorias b´asicas, determin´ısticas e n˜ao determin´ısticas:
1. Muitos dos fractais determin´ısticos s˜ao formados repetindo estruturalmente um princ´ıpio geom´etrico que perpassa todas as escalas. Os objectos estritamente auto-semelhantes est˜ao dentro desta categoriza¸c˜ao. Exemplos deste tipo de fractais incluem a curva de Koch e a curva de Peano
2. Os fractais n˜ao determin´ısticos envolvem no processo da sua constru¸c˜ao alguma varia¸c˜ao aleat´oria mas n˜ao s´o, o modo como alguns detalhes aparecem sob deter- minada amplia¸c˜ao parecem ser invariantes. Este tipo de fractais podem ser usados para modelar as linhas de costa e as montanhas.
E desej´avel que as tarefas experimentais propostas permitam que o estudante contacte com´ as no¸c˜oes e conceitos subjacentes aos fractais, caos e respectiva dinˆamica. A abordagem pode ser feita envolvendo directamente o estudante na constru¸c˜ao, no c´alculo, no uso das NTI, na visualiza¸c˜ao e na medida dos diferentes elementos na evolu¸c˜ao dinˆamica de
um fractal. Devem ser sublinhadas e desenvolvidas as conex˜oes matem´aticas existentes entre os fractais e o curr´ıculo matem´atico contemporˆaneo e os curr´ıculos de outras ´areas cient´ıficas. Aos fractais est˜ao associados conceitos fundamentais de matem´atica que s˜ao acess´ıveis `a maioria dos estudantes. Devem ser propostas um conjunto estrat´egico de tarefas que captem a curiosidade, mobilizem a imagina¸c˜ao e espicacem o interesse dos estudantes nas experiˆencias realizadas no fascinante e desafiador tema dos fractais.
Nesta ordem de ideias podem ser abordados os seguintes fractais
• Triˆangulo de Sierpinski, carpete de Sierpinski e tetraedro de Sierpinski.
• Conjunto de Cantor.
• Curva de Koch.
• Curva de Peano.
• Arvores Pitag´oricas e o conjunto de Cantor.´
• Arvores Pitag´oricas e suas rela¸c˜oes com o triˆangulo de Sierpinski.´
• Triˆangulo de Pascal e suas rela¸c˜oes com o triˆangulo de Sierpinski.
E interessante estudar os fractais juntamente com os processos dinˆamicos que lhes d˜ao´ origem. As tarefas em que sejam trabalhados os fractais devem evidenciar a dinˆamica existente entre as regularidades num´ericas e as regularidades geom´etricas. Os pormenores espec´ıficos introduzidos sob esta tem´atica devem desenvolver a no¸c˜ao de auto-semelhan¸ca que ´e uma caracter´ıstica de muitos fractais, a dimens˜ao fractal como uma forma de medir o grau de irregularidade dos fractais e analisar a respectiva complexidade. O pressuposto de que uma estrutura complexa ´e o resultado de processos internos complicados ´e um paradigma que est´a longe de ser verdadeiro e geral; mais, parece - e este ´e um dos maiores impactos da geometria fractal e da teoria do caos - que em presen¸ca de uma estrutura complexa, h´a boas hip´oteses que um processo simples seja respons´avel por essa complex- idade. Por outras palavras, no estudo dos fractais a simplicidade de um processo n˜ao nos deve levar a concluir que ser´a f´acil compreender as respectivas consequˆencias. Al- guns dos fractais s˜ao gerados de procedimentos totalmente aleat´orios: nestas situa¸c˜oes os computadores e as calculadoras gr´aficas s˜ao um instrumento imprescind´ıvel. Ainda, esses procedimentos aleat´orios podem produzir resultados surpreendentes sob formas al- tamente estruturadas exibindo os aspectos bonitos da auto-semelhan¸ca nos fractais. As
´arvores Pitag´oricas podem ser usadas para ligar sequˆencias finitas de jogadas no jogo do Caos levando `a localiza¸c˜ao de triˆangulos nas diferentes fases iterativas do triˆangulo de Sierpinski.
5.4.2 CAOS
As tarefas neste tema devem ser escolhidas para desenvolver e compreender os trˆes con- ceitos caracter´ısticos e inerentes aos sistemas dinˆamicos do caos. Esses conceitos s˜ao im- previsibilidade, aperiodicidade e dependˆencia sens´ıvel das condi¸c˜oes iniciais. Os sistemas
ca´oticos tˆem todos estas trˆes propriedades. Esta ´e a raz˜ao por que a itera¸c˜ao gr´afica de diferentes pontos num sistema ca´otico produz resultados que se comportam de diferentes e imprevis´ıveis modos. ´E conveniente referir e apresentar v´arios exemplos de atractores Os matem´aticos geralmente concordam com trˆes caracter´ısticas comuns do caos que emergem da itera¸c˜ao de transforma¸c˜oes tais como x ,→ax(1−x).
Nesta ordem de ideias podem ser abordados e trabalhados:
• as trˆes propriedades de um processo ca´otico: imprevisibilidade, aperiodicidade e a dependˆencia sens´ıvel das condi¸c˜oes iniciais;
• a azenha de Lorenz e a representa¸c˜ao gr´afica atractor de Lorenz;
• o movimento de um pˆendulo simples para diferentes valores do ˆangulo formado pela direc¸c˜ao do fio com a vertical do lugar.
• estudo da fun¸c˜ao quadr´aticax ,→ax(1−x) para diferentes valores do parˆametroa.
Um problema interessante que pode ser trabalhado neste tema ´e o do crescimento popu- lacional:
qualquer regi˜ao do nosso planeta pode suportar um valor populacional m´aximo. Sob este condicionalismo, o modo como cada popula¸c˜ao cresce at´e esse m´aximo varia ao longo do tempo dependendo n˜ao s´o do seu tamanho num dado tempo como tamb´em do espa¸co, das condi¸c˜oes ambientais e da capacidade dos recursos necess´arios para a sustentar.
O professor deve propor tarefas que envolvam processos de modela¸c˜ao de situa¸c˜oes de dinˆamica populacional. Estas tarefas devem ser usadas para ilustrar o caracter dinˆamico da itera¸c˜ao no fen´omeno perturbador e familiar do crescimento e mudan¸ca populacional.
Pode ser um excelente exemplo hist´orico de como matem´aticos como Verhulst procuraram modelos matem´aticos que podem ser usados para descrever fen´omenos naturais. As tabelas com os valores relacionados com o tempo devem ser usadas ilustram de uma forma nova o comportamento iterativo de longo prazo.
Trabalhar a fun¸c˜ao quadr´atica que pode modelar a dinˆamica populacional no que ela tem de est´avel e previs´ıvel mas tamb´em no que ela tem de comportamento ca´otico e impre- vis´ıvel. Levar os estudantes a perceber os pontos de transi¸c˜ao entre estes dois comporta- mentos t˜ao distintos. Levar os estudantes a detectar as propriedades do comportamento ca´otico: dependˆencia sens´ıvel das condi¸c˜oes iniciais, imprevisibilidade e aperiodicidade.
5.4.3 Referˆencias
Steen, L.A.(coord). For all practical purposes – introduction to contemporary mathematics COMAP(1999). New York: W.H.Freeman and co.
Bohm, D.; Peat, F. (1989). Ciˆencia, ordem e criatividade. Lisboa: Gradiva Canavarro, A. et al . Fractais no ensino secund´ario. Lisboa: APM
Gleick, J. (1989). Caos, a constru¸c˜ao de uma nova ciˆencia. Lisboa: Gradiva
Peitgen, H. et al (1992). Fractals for the classroom – introduction to fractals and chaos.
New York: Springer-Verlag
Peitgen, H. et al (1991). Fractals for the classroom – strategic activities. New York:
Springer-Verlag
5.5 Teoria de Grafos
Com a abordagem do tema, pretende-se que os estudantes interpretem situa¸c˜oes que pos- sam ser modeladas por grafos, ao mesmo tempo que desenvolvem competˆencias sociais de interven¸c˜ao, em particular, tomando conhecimento de m´etodos matem´aticos pr´oprios para encontrar solu¸c˜oes para problemas de gest˜ao. Os estudantes ter˜ao oportunidade para criar e desenvolver competˆencias algor´ıtmicas simples, encontrando estrat´egias passo a passo para encontrar solu¸c˜oes poss´ıveis. As competˆencias para determinar o essencial de uma determinada situa¸c˜ao e desenhar esquemas apropriados a uma boa descri¸c˜ao. Final- mente, aos estudantes este tema constitui uma oportunidade para discutir problemas de optimiza¸c˜ao e viabilidade econ´omica.
5.5.1 Grafos de arestas
O professor pode apresentar situa¸c˜oes que sejam modeladas por grafos de arestas (sis- temas de distribui¸c˜ao - carteiros, etc; patrulhamento e controle de equipamentos sociais - parc´ometros, etc; sistemas de limpeza de ruas e de recolha de lixo, etc), introduzindo circuitos de Euler; procura de algoritmo para euleriza¸c˜ao simples de circuitos; etc.
5.5.2 Grafos de V´ertices
Tamb´em deve apresentar algumas situa¸c˜oes que sejam modeladas por grafos de v´ertices, uma abordagem dos circuitos hamiltonianos e exemplo para introdu¸c˜ao do Problemas do Caixeiro Viajante, trabalho com ´arvores para facilitar a contagem com vista a encon- trar v´arias solu¸c˜oes compar´aveis e procura de algoritmos pr´oprios para obter solu¸c˜oes aceit´aveis.
Est´a fora de quest˜ao uma introdu¸c˜ao te´orica sistematizada da teoria de Grafos, mas alguns dos racioc´ınios comuns aos teoremas e problemas dos circuitos de Euler e Hamilton n˜ao devem ser evitados.
5.5.3 Referˆencias
COMAP.(1999)Geometry and its applications-Graph Models. COMAP, Lexington: COMAP Steen, L.A.(coord). For all practical purposes – introduction to contemporary mathematics COMAP(1999). New York: W.H.Freeman and co.
5.6 O Hotel Infinito
Ser Poeta (. . . ) ´E ter fome, ´e ter sede de Infinito! Florbela Espanca Duas linhas paralelas muito paralelamente iam passando entre as estrelas fazendo o que estava escrito: caminhando eternamente de infinito a infinito. ”Romance ing´enuo de duas linhas paralelas”, Jos´e Fanha Vida ´e o infinito do meu cora¸c˜ao Vida”, Cl´audia, 9o¯ B, Esc. Sec. Penacova
5.6.1 Introdu¸c˜ao
O tema do infinito ´e um tema sempre actual mas tem uma hist´oria longa e muito rica. ´E um tema que apela `a imagina¸c˜ao mas que ao mesmo tempo apresenta tantos paradoxos e dificuldades que se torna um desafio para qualquer estudante.
Neste tema n˜ao se pretende um grande aprofundamento te´orico nem a apresenta¸c˜ao de alguma teoria formal, mas t˜ao somente apresentar temas que mostrem a riqueza da Matem´atica actual, aproveitando tamb´em as suas liga¸c˜oes `a F´ısica e `a Filosofia.
5.7 Sugest˜oes de Trabalho
Alguns dos t´opicos a abordar neste tema poder˜ao ser:
• o infinito na antiguidade
• o infinito na poesia
• paradoxos do infinito
• a vida e a obra de Cantor
• cardinais infinitos
• o infinito na actualidade: hip´otese do cont´ınuo de Cantor, contribui¸c˜ao da an´alise n˜ao standard
Todos estes t´opicos ter˜ao de ser abordados a um n´ıvel suficientemente elementar de modo a serem acess´ıveis aos alunos, mas o seu n´ıvel de tratamento depender´a do tipo e interesse manifestado pelos alunos (e tamb´em do interesse e curiosidade que o professor lhes conseguir despertar).
5.7.1 Sugest˜ao de algumas actividades 1. N´umeros grandes e Infinito
Olhando `a nossa volta, onde podemos ver o infinito? E n´umeros grandes? Mesmo grandes? Arquimedes discute o problema no seu livro Contador de Areias (referido por T. Dantzig) e inventou um sistema para contar o n´umero de areias de uma praia. Steinhaus propˆos um sistema onde se usam triˆangulos, quadrados e c´ırculos para representar n´umeros grandes. Aparecem referenciados em muitos lados o gugol e o gugolplex.
E tamb´em interessante comparar a nomenclatura portuguesa para os grandes´ n´umeros com a de outros pa´ıses.
2. O Hotel Infinito de Hilbert
A primeira actividade sugerida ´e aquela que d´a o t´ıtulo a este tema.
Ser´a poss´ıvel que, estando um hotel cheio, chegue um novo h´ospede e lhe seja dado alojamento, sem que nenhum dos outros h´ospedes fique sem alojamento? ´E, se o hotel tiver uma infinidade de quartos.
3. Paradoxo de Galileu
H´a mais n´umeros inteiros ou mais quadrados perfeitos? Esta quest˜ao j´a foi discutida por Galileu:
Salviati: “Se te perguntar quantos s˜ao os quadrados perfeitos, podes responder-me, sem mentir, que s˜ao tantos quantas as suas ra´ızes quadradas; visto que todo o quadrado tem a sua raiz e que toda a raiz o seu quadrado, n˜ao h´a nenhum quadrado que tenha mais de uma raiz nem uma raiz que tenha mais de um quadrado.”
Simpl´ıcio: “O que h´a a decidir nesta situa¸c˜ao?”
Salviati: “N˜ao vejo outra solu¸c˜ao que n˜ao seja a de que todos os n´umeros s˜ao infinitos; que os quadrados s˜ao infinitos; e que a imensid˜ao dos quadrados n˜ao ´e menor que a de todos os n´umeros, nem maior, e, em conclus˜ao, que os atributos de igualdade, maior que e menor que, n˜ao tˆem lugar no infinito, mas s´o nas
quantidades finitas.
Como resolver ent˜ao a quest˜ao? Reconhecendo que o infinito n˜ao pode ser tratado da mesma maneira que o finito. Encontrando uma defini¸c˜ao satisfat´oria de
conjunto infinito. E atrav´es da utiliza¸c˜ao de fun¸c˜oes bijectivas para comparar a
”potˆencia” dos conjuntos infinitos (ver as sugest˜oes contidas no 1o¯ volume, 1o¯ tomo do ”Compˆendio de Matem´atica” de J. Sebasti˜ao e Silva, cap´ıtulo 3, par´agrafo 11).
4. O numer´avel e o cont´ınuo
O espectacular processo diagonal de Cantor prova que h´a mais n´umeros reais do que racionais. Este processo ´e um dos mais belos da Matem´atica.
5. O para´ıso de Cantor
Cantor construiu um espectacular mundo onde podemos encontrar um infinidade de n´umeros infinitos.
6. Os infinitos da an´alise n˜ao-standard
Para a an´alise n˜ao-standard h´a uma infinidade de infinit´esimos e os seus inversos s˜ao os n´umeros infinitos (no conjunto dos hiper-reais). Podem ser referidas ou exploradas algumas aplica¸c˜oes da an´alise n˜ao-standard como os fascinantes padr˜oes Moir´e e os ”patos”.
7. A hip´otese do cont´ınuo
A estrutura axiom´atica da teoria de conjuntos teve de ser modificada para acomodar um tema novo. Tanto podemos adicionar a hip´otese do cont´ınuo como um novo axioma como o seu contr´ario. Qual dos dois sistemas escolher? Afinal o que ´e a matem´atica?
8. Existem afinal conjuntos infinitos?
Uma excelente pergunta para iniciar uma reflex˜ao. Um bom gui˜ao ´e o contido no 2o¯ volume do Compˆendio de Matem´aticade J. Sebasti˜ao e Silva (cap´ıtulo 3, par´agrafo 12).
5.7.2 Referˆencias
Sebasti˜ao e Silva, J.(1975-78). Compˆendio de Matem´atica(5 vols) Lisboa: MEC – GEP.
Radice, Lucio Lombardo(1981) O Infinito, Lisboa: Ed. Not´ıcias.
Stewart , Ian(1996)Os problemas da Materm´atica, Lisboa: Gradiva.
Hoffman, Paul (2000) O homen que s´o gostava de n´umeros, Lisboa: Gradiva.
Hughes, P. e Brecht, G. (1993)C´ırculos viciosos e infinito. Lisboa: Gradiva, Lisboa.
Sousa Pinto, J. (1992) Introdu¸c˜ao `a An´alise Elementar N˜ao-Standard, Boletim da SPM, no¯ 22, Mar¸co 1992, pg. 11-26.
J. Harthong - Comment j’ai connu et compris Georges Reeb http://moire4.u-strasbg.fr/souv/Reeb.htm
I. Amidror - A didactic downloadable moir´e demonstration kit http://diwww.epfl.ch/w3lsp/books/moire/kit.html
Moir´e
http://www.daube.ch/docu/glossary/moiree.html
Hotel de Hilbert - 1a¯ parte
http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/curiosidades/hotel/main1.html Jliat - Hilbert’s Hotel (Self-Released)
http://www.inmusicwetrust.com/articles/16e12.html
Rudy Rucker, Infinity and the Mind Princeton U. Press, 1995. Cap´ıtulo
”TRANSFINITE NUMBERS” em
http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/infin.htm Welcome to the Hotel Infinity!
http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Large Numbers and Infinity
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.large.numbers.html big numbers
http://public.logica.com/ stepneys/cyc/b/big.htm
5.8 Geometrias N˜ao Euclideanas
5.8.1 Aparecimento de outras Geometrias
Aparecimento de outras Geometrias [ a Geometria Hiperb´olica de Lobachevsky -Bolyai, as Geometrias El´ıpticas de Riemann e Geometria do Taxista )
Ceca de 300 AC Eucl´ıdes escreveu osElementos. Os primeiros quatro postulados que l´a figuravam eram aceites sem hesita¸c˜oes mas o quinto, n˜ao! Este parecia mais um teorema do que um postulado. S´o mais de dois mil´enios depois de Eucl´ıdes ´e que alguns
matem´aticos demonstraram que o 5o¯ postulado era realmente um postulado, construindo novas Geometrias em que consideravam como postulados os quatro primeiros de Euclides e um outro contradit´orio com o quinto.
A descoberta da primeira geometria n˜ao euclidiana, mais tarde designada por geometria hiperb´olica por Felix Klein (1849-1925), deve-se aos trˆes matem´aticos: o alem˜ao Carl Gauss ( 1777-1855), o h´ungaro Johann Bolyai (1802-1860) e o russo Nicolai
Lobatchewski- (1793-1856).
. Sobre as investiga¸c˜oes de novas geometrias n˜ao-euclidianas realizadas por Gauss ele n˜ao publicou os seus resultados. Sabem-se delas atrav´es de cartas que escreveu a amigos.
Quando mais tarde elogia o trabalho de Lobatchewski vai contribuir para chamar a aten¸c˜ao dos matem´aticos para a existˆencia desta nova geometria.
Apareciam, ent˜ao, as primeiras Geometrias n˜ao Euclidianas. Bolyai e o Lobatchewski- levam a cabo, independentemente um do outro, a constru¸c˜ao de uma Geometria em que n˜ao se aplica o 5o¯ postulado ou postulado das paralelas mas sim: ” por um ponto exterior a uma recta passam uma infinidade de rectas paralelas `a dada”. Nascia assim a geometria hiperb´olica que Einstein, mais tarde, utilizou para interpretar o Universo. S˜ao
utilizados frequentemente para auxiliar a visualiza¸c˜ao da geometria hiperb´olica do plano o modelo de Poincar´e e o modelo de Klein. Ambos estes modelos permitem
interpreta¸c˜oes dos termos desta geometria dentro do contexto da geometria euclidiana.
Anos depois do nascimento da geometria hiperb´olica Riemann (1826-1866) substitu´ıa o 5o¯ postulado pelo axioma de Riemann - ” por um ponto exterior a uma recta n˜ao passa nenhuma recta paralela `a dada” segundo o qual duas rectas no plano tˆem sempre um ponto comum. Estava criada a geometria esf´erica que tem como modelo a Terra. Os trabalhos de Riemann permitiram a concep¸c˜ao de uma infinidade de geometrias, cada uma associada a uma superf´ıcie e a uma m´etrica determinada pela curvatura da superf´ıcie. A Geometria Euclidiana passava a ser definitivamente uma entre v´arias. A geometria el´ıptica utiliza modelos esf´ericos.
A aceita¸c˜ao das geometrias n˜ao euclidianas causou um forte impacto na Matem´atica e teve repercuss˜oes em v´arias ´areas.
Na geometria de Euclides a mais curta distˆancia entre dois pontos ´e-nos dada pela medida de um segmento de recta que os una. Contudo se estiver a medir a distˆancia entre dois pontos situados na Terra o arco que os una n˜ao pertencer´a a um plano bem como a distˆancia na geometria hiperb´olica.
Mas se definirmos a distˆancia d(A, B) =|xA−xB|+|yA−yB| surge-nos uma nova geometria. Muitas figuras como c´ırculos, elipses, par´abolas s˜ao definidos em termos de distˆancia podendo os alunos vir a procurar as suas diferentes formas nesta geometria a que se chama Geometria do Taxista.
5.8.2 Algumas sugest˜oes de assuntos a tratar
O trabalho pedag´ogico deve ser realizado em trˆes vertentes tendo em conta chamar a aten¸c˜ao dos alunos para:
• a grandiosidade e os defeitos do sistema euclidiano.
• a inven¸c˜ao de geometrias n˜ao euclidianas e o nascimento da axiom´atica,
• a utiliza¸c˜ao de modelos matem´aticos n˜ao euclidianos em ciˆencias como por exemplo a Fisica.
Dever˜ao ser lan¸cadas aos alunos propostas de trabalho que envolvam:
• Hist´oria do aparecimento das novas Geometrias;
• Investiga¸c˜ao de novos conceitos e propriedades;
Sugere-se que os alunos procedam ao estudar cada uma das Geometrias a investiga¸c˜oes utilizando software de Geometria dinˆamica sempre que for aconselh´avel. Dever˜ao estudar algumas propriedades ( relacionadas com soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo, com a ´area de triˆangulos, ...) bem como procurar novas formas de triˆangulos, de quadril´ateros e de outras figuras geom´etricas nas diferentes Geometrias.
• Construir e utilizar modelos para auxiliar a visualiza¸c˜ao nas diferentes geometrias;
• Importˆancia da descoberta das geometrias n˜ao euclidianas.
5.8.3 Referˆencias
Veloso, Eduardo(1998). Geometria - Temas actuais – Materiais para professores Col.
”Desenvolvimento curricular no Ensino Secund´ario”, vol. 11. Lisboa: Instituto de Inova¸c˜ao Educacional
Anderson, J.W.(1999): Hyperbolic Geometry. London: Springer,
Coxeter, H.M.S.(1957). Non Euclidean Geometry Toronto: University of Toronto Press Greenberg, M.J (1972) Euclidean and non Euclidean Geometries - Development and History University of California, Santa Cruz: W.H. Freeman and Cy
Cedeberg, J.N. (1989) A Course in a Modern GeometriesNewYork: Springer - Verlag.
Estrada, M.F. e outros (2000)Hist´oria da Matem´atica Lisboa: Universidade Aberta Stewart, Ian (1996). Os Problemas da Matem´atica. Ciˆencia Aberta, Vol. 72, 2a¯ ed.
Lisboa: Gradiva
Garfunkel, S.(coord)(1998). COMAP’s Matehematics: Modeling our world, COMAP.
New York: W. H. Freeman and Co.
