Lógica para Computação Dedução Natural

(1)

Prof. Dr. Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto

(2)

Estrutura

1

Definições;

2

Sistemas de Dedução Natural;

3

Lista.

(3)

Um dos objetivos principais da lógica é o estudo de estruturas que possam ser utilizadas na representação e dedução do co- nhecimento.

Se, por um lado, a Lógica estabelece uma linguagem útil, ela

também analisa como o conhecimento é deduzido, formalmente,

a partir do conhecimento dado a priori.

(4)

Estrutura Definições Sistemas Dedutivos Lista

Argumentos Grupos Argumento Válido

Esse conhecimento, fornecido de antemão, é representado por

um conjunto de fórmulas denominados axiomas. Os axiomas

são, portanto, fórmulas às quais atribuímos um status especial

de verdade básica ou a priori.

(5)

Argumentos dedutivos X

Argumentos indutivos

(6)

Argumento

Definição: Sequência de premissas seguidas por uma conclu-

são.

(7)

Divisão

Os argumentos são divididos em dois grupos:

fornecerem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Argumentos indutivos:

O argumento será indutivo quando suas premissas não

fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.

(8)

Divisão

Os argumentos são divididos em dois grupos:

Argumentos dedutivos:

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

Argumentos indutivos:

O argumento será indutivo quando suas premissas não

fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.

(9)

Divisão

Os argumentos são divididos em dois grupos:

Argumentos dedutivos:

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão.

O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

Argumentos indutivos:

O argumento será indutivo quando suas premissas não

fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões.

(10)

Exemplo de Argumento Dedutivo

A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 4 apartamentos

Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são bran-

cas.

(11)

Exemplo de Argumento Dedutivo

A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 4 apartamentos

Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são bran-

cas.

(12)

Exemplo de Argumento Indutivo

A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 6 apartamentos

Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são bran-

cas.

(13)

Exemplo de Argumento Indutivo

A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 6 apartamentos

Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são bran-

cas.

(14)

Definição

Um argumento é válido quando sua conclusão é uma conseqüên-

cia lógica de suas premissas.

(15)

Consequência Lógica

Definição informal:

Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fór- mulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira.

Definição informal:

Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses β, H é con-

seqüência lógica de β num sistema de dedução, se existir uma

prova de H a partir de β

(16)

Prova Sintática

Sejam:

H uma fórmula e;

β um conjunto de fórmulas denominadas por hipóteses.

Uma prova sintática de H a partir de β é uma sequência de fórmulas H1, H2, . . . , Hn,

onde temos:

H = Hn.

(17)

Dedução Natural Regras Exemplos

Regras da Lóg. Prop. Clássica

Definição

Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axio- mas) que permite obter (deduzir) conclusões (sentenças) a par- tir de hipóteses (sentenças).

são realizadas através de uma árvore de dedução utilizando re-

gras de introdução e eliminação.

(18)

Definição

Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axio- mas) que permite obter (deduzir) conclusões (sentenças) a par- tir de hipóteses (sentenças).

Dedução natural é um dos sistemas dedutivos utilizados para

construir demonstrações formais na Lógica, tais demonstrações

são realizadas através de uma árvore de dedução utilizando re-

gras de introdução e eliminação.

(19)

Regras de Introdução

Introdução da CONJUNÇÃO

Introdução da DISJUNÇÃO

Introdução da IMPLICAÇÃO

Introdução da NEGAÇÃO

Regras de Eliminação

Eliminação da CONJUNÇÃO

Eliminação da DISJUNÇÃO

Eliminação da IMPLICAÇÃO

Eliminação da NEGAÇÃO

(20)

Introdução da CONJUNÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se A é verdade e B também é verdade, então podemos deduzir que A ∧ B também é verdade.

Representação:

A B

A ∧ B

(21)

Introdução da DISJUNÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se A é verdade, então podemos deduzir que A ∨ B também é verdade.

Representação:

A

A ∨ B

(22)

Introdução da IMPLICAÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP e, suponhamos que A é verdade e por meio de derivações descobrimos que B também é verdade, en- tão podemos deduzir que A → B também é verdade.

Representação:

[A]

5 B

A → B

(23)

Introdução da NEGAÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP e, suponhamos que A é verdade e por meio de derivações chegarmos ao absurdo, então podemos de- duzir que ¬A é verdade.

Representação:

[A]

5 ⊥

¬A

(24)

Eliminação da CONJUNÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se A ∧ B é verdade então A e B também são verdades.

Representação:

A ∧ B A A ∧ B

B

(25)

Eliminação da DISJUNÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se A ∨ B é verdade, então A ou B podem ser verdades (pelo menos um deles). Sendo assim, somos obri- gados a supor A e B, e das duas suposições chegamos a uma proposição C ∈ PROP que seja comum às duas suposições.

Representação:

A ∨ B

[A] [A]

5 5

C C

C

(26)

Eliminação da IMPLICAÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se A → B é verdade, se A for verdade, B também é. Então, podemos supor que A é verdade a fim de eliminar a implicação. Se soubermos que A é verdade, então não precisaremos supor.

Representação:

[A] A → B

B

(27)

Eliminação da NEGAÇÃO

Sejam A e B ∈ PROP. Se ¬A é verdade, então podemos realizar uma troca a fim de forçar um absurdo e eliminar a negação.

Representação:

¬A

A →⊥

(28)

Exemplos de prova de consequência lógica por

dedução natural.

(29)

Exemplo 1

P, P → Q ` P ∧ Q

P ∧ Q

Está provado que P, P → Q ` P ∧ Q

(30)

Exemplo 1

P, P → Q ` P ∧ Q

P P → Q

P Q

P ∧ Q

Está provado que P, P → Q ` P ∧ Q

(31)

Exemplo 2

(P ∧ Q) → R, Q → P, Q ` R

verdade. Se P e Q são verdades, então ∧Q é verdade. Se ∧Q é verdade, R também é.

Q Q → P

Q P

P ∧ Q (P ∧ Q) → R R

Está provado que (P ∧ Q) → R, Q → P, Q ` R

(32)

Exemplo 2

(P ∧ Q) → R, Q → P, Q ` R

Temos duas implicações para eliminar, o Q → P parece ser o caminho, pois temos que Q é verdade, então P também é verdade. Se P e Q são verdades, então ∧Q é verdade. Se ∧Q é verdade, R também é.

Q Q → P

Q P

P ∧ Q (P ∧ Q) → R

R

(33)

Exemplo 3

P ∨ (Q ∧ R) ` P ∨ Q

algo em comum às duas árvores.

P ∨ (Q ∧ R)

[P] [Q ∧ R]

P ∨ Q Q

P ∨ Q P ∨ Q

Está provado que P ∨ (Q ∧ R) ` P ∨ Q

(34)

Exemplo 3

P ∨ (Q ∧ R) ` P ∨ Q

Temos agora uma disjunção para eliminar a mais difícil delas, porque somos obrigados a supor duas expressões, e encontrar algo em comum às duas árvores.

P ∨ (Q ∧ R)

[P] [Q ∧ R]

P ∨ Q Q

P ∨ Q

(35)

Exemplo 4

P ∨ Q, ¬P ⊥ Q

gerar um absurdo e concluir qualquer coisa dele. Concluímos então que Q é verdade. Do outro lado da árvore, também temos a suposição de Q, o que nos faz concluir que Q é verdade.

P ∨ Q

¬P [P] [Q]

⊥ Q

Q

Está provado que P ∨ Q, ¬P ⊥ Q

(36)

Exemplo 4

P ∨ Q, ¬P ⊥ Q

Temos que eliminar a disjunção, e somos obrigados a supor que P é verdade. Mas sabemos que ¬P é verdade. Então, podemos gerar um absurdo e concluir qualquer coisa dele. Concluímos então que Q é verdade. Do outro lado da árvore, também temos a suposição de Q, o que nos faz concluir que Q é verdade.

P ∨ Q

¬P [P] [Q]

⊥

Q

(37)

Algumas das principais regras da lógica proposicional clássica são

as seguintes:

(38)

Regras

(39)

Exemplo 1

(40)

Exemplo 1

(41)

Exemplo 2

(42)

Exemplo 2

(43)

Prove, utilizando o sistema de dedução natural:

1

A ∧ (B ∧ C) → (A ∧ B) ∧ C;

2

A → D ∨ ((B ∨ A) ∨ C).

(44)

Exercício 1

Solução 1

1: A ∧ (B ∧ C) → (A ∧ B) ∧ C

(45)

Solução 2

2: A → D ∨ ((B ∨ A) ∨ C)

(46)

Exercício 1

Exercícios

Nestes exercícios, utilizar a dedução natural.

(47)