FLEXÃO DE PLACAS FINAS SEMI-ESPESSAS

(1)

FLEXÃO DE PLACAS

FINAS

(Kirchhoff) e

SEMI-ESPESSAS

(Mindlin/Reissner)

Flexão de placas

n

Serão analisados problemas de geometria plana (curvatura nula).

n

Os carregamentos levam em conta momentos e cargas transversais, apenas.

n

O problema referente a cargas longitudinais (membrana) podem ser resolvidos

separadamente e superpostos aos resultados

de placa (regime linear elástico).

(2)

n

A teoria de placas é uma das mais importantes teorias estruturais:

Barras

Vigas

Placas

Cascas Membranas

u

Teoria de Kirchhoff-Love.

u

Contrapartida 2D da teoria de vigas de Euler- Bernoulli (hipótese das seções planas).

u

Despreza o efeito das deformações cisalhantes transversais.

u

Bons resultados para espessura < 10 vezes as dimensões laterais da placa.

n

Teoria de placas finas:

(3)

n

Aspectos indispensáveis para compreensão das teorias de placas:

u

As placas podem ser consideradas finas ou não (influência do cisalhamento).

u

“All you need is love...” (Beatles, 1968).

u

Kirchhoff se escreve com dois h’s.

u

Flambagem não tem apenas significado culinário.

n

Definições geométricas - placa plana:

x

y z

2 h

Superfície de referência

Premissa:

O comportamento de qualquer ponto (x,y,z) da placa pode ser

completamente descrito pelo comportamento da superfície de referência (x,y).

(4)

Campo de deslocamentos:

u

Hipótese das seções planas:

F

“As linhas inicialmente retas e perpendiculares à superfície de referência da placa permanecem retas e perpendiculares à esta após a flexão ocorrer”.

F

“Quaisquer linhas originalmente paralelas ao eixo z pemanecem inextensíveis”. Ou seja, a espessura h permanece constante.

' A

θy

x

dx y z

A

) , (x y w ) , (x y u B

'

B A'

θx

y

dy z z

A

) , (x y w ) , (x y v B

' B

h

u

Graficamente:

(5)

) , ( ) , , (

y x w z y x w

z y x z

y x v

z y x z

y x u

x y

= θ

−

= θ

−

=

u

Campo de deslocamentos:

0

2 2

= ε

∂

− ∂

= ε

∂

− ∂

= ε

zz yy xx

y z w

x z w

0 2

2

= γ

∂

∂ ∂

−

= γ

yz xz

xy

x y

z w

u

Campo de deformações:

x y w x

y y w x

y x

∂

= ∂ θ

∂

= ∂ θ

) , (

y z w v

x z w u

∂

− ∂

=

∂

− ∂

=

u

Campo de tensões:

y x, z

z

y x,

yy xx σ σ ,

yz xz τ τ , τxy

{ } σ = [ ] C { } ε

0 0

2 1 1

2

2 2 2 2 2

≅ σ

= τ

∂

= ∂ τ

 

 

∂ υ ∂

∂ −

∂ υ

−

= − σ

 

 

∂ υ ∂

∂ −

∂ υ

−

= − σ

zz yz

xz xy yy xx

xy Gz w

x w y

z w E

y w x

z w

E

(6)

u

Esforços internos (tensões resultantes):

dz Q

h

h yz y

h

h xz x

∫

+

− +

−

τ

= τ

=

2 /

dz z M

h

h xy xy

h

h yy yy

h

h xx xx

∫

+

− +

−

τ

= σ

=

2 /

Membrana Esforço cortante Flexão

dz N

h

h xy xy

h

h yy yy

h

h xx xx

∫

+

− +

−

τ

= σ

=

2 /

x z y

u

Equações diferenciais de equilíbrio:

Q

x

Q

y

M

yy

M

xx

M

xy

N

xy

N

xx

N

yy

M

xy

N

xy

q

z

F

z

dx dy

h

(7)

= 0

∂ + + ∂

∂

z

x y

q

y Q x Q

0 0

=

∂ + + ∂

∂

=

∂ + + ∂

∂

y xy yy

x xx xy

x Q M y M

y Q M x M

Substituindo-se as duas últimas na primeira:

0 2

2 2

2

+ =

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

z yy

xx xy

q

y M y x M x

M

Equação diferencial de placas finas em termos dos esforços internos.

Substituindo-se as definições de esforços internos:

 

 

∂ υ ∂

∂ +

= ∂

 

 

∂ υ ∂

∂ +

= ∂

2 2 2 2

x w y

D w M

y w x

D w M

yy

xx

( )

y x D w

M

_xy

∂

∂ υ ∂

−

= 1

²

 

 

∂ + ∂

∂

= ∂

²₂ ²₂

y

w x

w D x

Q

_x

 

 

∂ + ∂

∂

= ∂

²₂ ²₂

y

w x

w D y

Q

_y

Onde:

( ) ¹

³ ²

12 − υ

= Eh D

Módulo de rigidez à

flexão da placa

(8)

D q y

w y x

w x

w = −

_z

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

4 4 2 2

4 4

4

2 Equação diferencial de placas finas em termos dos deslocamentos.

- Equação de Navier -

Substituindo as últimas equações na equação diferencial do problema:

Ou:

D w = − q

^z

∇

⁴

u

Problemas:

F

Ao se verificar o equilíbrio de um elemento diferencial da placa contendo um canto vivo, conclui-se que o equilíbrio não é verificado na direção z . Isto é, somente o esforço cortante não é suficiente para equilibrar q

_z

.

F

Então define-se o esforço cortante efetivo:

•

Levam ao aparecimento de cargas concentradas nos cantos.

 

 

∂

− ∂

= x

Q M

V

_x _x ^xy

 

 

∂

− ∂

= y

Q M

V

_y _y ^xy

(9)

u

Por que precisamos desta nova variável ?

F

Está se impondo um estado plano de deformações (EPD) a um estado plano de tensões (EPT), o que é incoerente do ponto de vista da elasticidade.

F

Causa: o efeito das deformações cisalhantes está sendo desprezado.

F

Consequência: Ficam sobrando condições de contorno para serem impostas. A solução então é condensar duas condições de contorno em uma (momento torçor e esforço cortante) - o esforço cortante efetivo.

u

Condições de contorno clássicas:

t n

= 0

=

_n

n

V

M

= 0

= M

_n

w

= 0

∂

= ∂ n w w

Aresta livre

Aresta apoiada

Aresta engastada

(10)

u

Tensões:

2 3 3

6 12 12

max

h

M h N

h z M h N

xy xy xy

yy xx yy

xx yy xx

+

= τ

+

= σ

−

= σ

y

x, z

yy xx σ σ ,

y x, z

yy xx σ σ ,

Flexão

Membrana

u

Soluções típicas:

F

Placas circulares: Permitem solução analítica fechada para muitos casos (coordenadas polares).

F

Placas retangulares: Normalmente utilizam

soluções baseadas em séries infinitas (Navier, Levy, Marguerre etc.).

F

Outras geometrias:

•

Existem soluções para algumas (placas elípticas, triangulares, trapezoidais, rômbicas...).

•

Técnicas de mapeamento conforme.

•

Outros métodos aproximadados (Rayleigh-Ritz)

(11)

Apêndice

ALGUMAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS PARA

PLACAS

A.1 Placas retangulares apoiadas

n

Carregamento senoidal:

n

E.D.:

b πy a

q πx

q =

₀

sin sin

x

y

a

b

b πy a

πx D

w q

⁰

sin sin

2

=

∇

(12)

n

Condições de contorno:

n

Solução geral:

b , M

w

a , x M

w

yy xx

0 y em 0

0 0 em 0

0 =

=

0

₂

2 2

2

=

∂

= ∂

∂

y w x

w

b y a

C x

w = sin π sin π

n

Deslocamento transversal:

n

Momentos fletores:

b y a

x D

w q π π

α

= π

₄ ⁰

sin sin

( )

b y a

x ab

M q

b y a

x b

a M q

b y a

x b

a M q

xy yy xx

π π

α π

υ

= −

π

 π



 



 υ + α

= π

π

 π



 



 + υ α

= π

cos 1 cos

sin 1 sin

4 0

2 2 4

0

2 2 4

0

2 2 2

1 1 



 



 +

=

α a b

(13)

n

Esforços cortantes:

n

Reações vinculares:

b y a

x b

Q q

b y a

x a

Q q

y x

π π

= πα

π π

= πα

sin sin

cos cos

0 0

a x b

b a V q

b y b

a a V q

y x

 π



 



 − υ + πα

= −

 π



 



 + − υ πα

= −

1 sin 2

2 sin 1

2 2

0

2 2

0

a x xy x

x

y

Q M V

∂

=

− ∂

=

b y xy y

y

x

Q M V

∂

=

− ∂

=

V

x

V

y

n

Soma das reações:

( )

ab q ab

dy q V dx

V ds

V

^a _y ^b _x

α π

υ

−

− −

− π

= +

= ∫ ∫

∫ ²

⁰

²

⁰

⁴

⁰²

⁸

²⁰

¹

2 0 0 0 0

sin 4

sin = π

= ∫ ∫

∫∫ ^q ^dA

^{a b}

^q ^πx _a ^πy _b ^dxdy ^q ^ab

?

(14)

ε

n

Reações nos cantos:

t Q M

V

_t _t ^nt

∂

− ∂

= ₍ ⁽ ₎ ⁾

( ) ^a ^b

M

ds V R

xy b a

b

a t

, 2

lim

^,

0 ,

−

=

ε→

∫

⁻^ε−ε

( )

ab R q

α π

υ

= 2 1

₂

−

⁰

R R

R

No mesmo sentido do carregamento

Solução de Navier ⁽¹⁸²⁰⁾

( ) ^x ^y

f q = ,

( ) ∑∑

^∞

=

∞

=

π

= π

1 1

cos sin

,

m n

mn

b

y n a

x a m

y x f

n

Carregamento genérico:

n

Expansão - série dupla:

x

y

a

b

(15)

n

Coeficientes de Fourier:

n

Deslocamento transversal:

∫ ∫ ( )

=

^{a b}

n

m

dxdy

b nππ a

y mππ x ab f

a 4

0 0

, sin sin

b y n a

x m a

w D

m n

mn

π π

π α

= ∑ ∑

^∞

=

∞

=

sin 1 sin

,...

3 ,

1 1,3,...

4

2 2 2 2

2

 

  +

=

α b

n a m

y

n

Caso particular: q = q

₀

∑ ∑

^∞

=

∞

=

π π

α

= π

,...

3 ,

1 1,3,...

4

0

1 sin sin

16

m n

b

y n a

x m mn

D w q

Série converge rapidamente

ímpar)

, ( 16

1 1

2 2 2 2 6 2

0

n m

b n a mn m

b y senn a

x senm

D w q

m n

∑∑

^∞₌ ^∞₌



 + π π

=π

(16)

x y

w M

_xx

M

yy

M

xy

x

y

^x

Q

x y

Q

y

n

Esforços:

(17)

n

Caso particular - placa quadrada sob carregamento uniforme:

u

Usando apenas o primeiro termo da série:

u

Erro 2,5%.

n

Caso particular - placa retangular com carga distribuída sobre uma área retangular.

3 4 0 max

0 , 0454

Eh a w = q

Solução de Lévy ⁽¹⁸⁹⁹⁾

x

y

a

b

( ) ^x ^y

f q = ,

( ) ^y

Y a Y

x Y m

w

_m _m

m

π =

= ∑

^∞

=1

sin

n

Carregamento genérico:

n

Expansão - série simples:

(18)

n

Coeficientes de Fourier:

n

Deslocamento transversal:

0

2

₄

4 4 2

2

π ′′ + π =

−

_m

IV

m

Y

a Y m a Y m

a x m b

y b

y

b y m

D w qa

m m

 π α  α

+ α

 

α + α

+ α

− α

= π ∑

^∞

=

2 sin cosh sinh

2 2

cosh 2 cosh

2 2 1 tanh

1 4

,...

3 , 1

5 5

4

a b m

m

2 = π α

x y

n

Caso particular: q = q

₀

Série converge rapidamente

(19)

x y

w M

_xx

M

yy

M

xy

n

Esforços:

x

y

^x

Q

y

Q

y

n

Esforços:

(20)

n

Soluções tabulares:

u

Placa quadrada sob carga uniforme:

u

Cuidado com parametrizações diferentes:

u

Placas retangulares:

D a w q

4 0 max

= 0 , 00406

Navier 3 max

4 Lévy 0

max

0 , 0443 0 , 98 w

Eh a

w = q =

D a w q

4 0 max

= α

Tabelas -

f(a/b)

Navier

100

Lévy Navier

− × w

w w

x

n

Comparação - w:

(21)

Navier

100

Lévy Navier

− ×

x x x

Q Q Q

Navier

100

Lévy Navier

− ×

xx xx xx

M M M

x

n

Comparação - Q

_x

:

A.2 Placas retangulares com

condições de contorno diversas

(22)

A.3 Placas finas circulares

n

Coordenadas polares

n

Axissimetria

n

E.D.:

D q dr

r dw dr

d r dr r d dr

d

r =

 



 

  

 



 



 



 1 1

r

a

 

 

+ υ

−

 =

 

 + υ

−

= dr

dw dr r

w D d

dr M dw dr r

w D d

M

_nn _tt

1

2 2 2

2

n

Momentos:

n

Esforço cortante:

 

 



 



 



= 

dr r dw dr

d D r

Q 1

(23)

n

Caso particular:

n

Solução geral:

0

2 π r Q = π r

2

q q

0

q =

3 2

2 1 4

0

log

4 64 C

a C r

r C D r

w = q + + +

2

0

r Q = q

r

a

Placas fina circular engastada

n

Carregamento uniforme

n

Solução:

2 2 4

0

1 64  





 



 



 



− 

= a

r D

a w q

( ) ( )

[ ⁺ ^υ ⁻ ⁺ ^υ ] ⁼ [ ⁽ ⁺ ^υ ⁾ ⁻ ⁽ ⁺ ^υ ⁾ ]

= 1 1 3

3 16 16 1

2 0 2

2

0 2

q a r

M r

q a

M

_nn _tt

(24)

r

a

Placas fina circular apoiada

n

Carregamento uniforme

n

Solução:

( ) _



 



 −

υ +

=

⁰ ²

−

² ² ²

1 5

64 a r

D r a w q

( ⁺ ^υ ) ( ⁻ ) ⁼ [ ⁽ ⁺ ^υ ⁾ ⁻ ⁽ ⁺ ^υ ⁾ ]

= 3 1 3

3 16 16

2 0 2

2

0 2

q a r

M r

q a

M

_nn _tt

r

a

Placas semi-espessa circular engastada

n

Carregamento uniforme

n

Solução (Dym pp.339):

( ) _ ^ _



 



 



 



−  υ

− + κ

 





 



 



 



− 

=

2 2

2 2 0 2 2

4

0

1 1 1 24

64 a

r D

h a q a

r D

a w q

Kirchhoff parcela devido ao cisalhamento

(25)

Solução unificada para placas circulares engastadas:



 





 

 



 



− 

 +

 



 



 



 



− 

=

2 2 4 2

0

1 1 2

64 a

C r a

r D

a w q

0 16 1

3 2 0

= φ

 





 



 



 



− 

= φ

t

n a

r a r D

a q

n

Deslocamento transversal:

n

Rotações:

( ) ( )



 





 

 



 

 υ  +

′ − + υ +

=

 =

 





 

 



 

 υ  +

′ − + υ +

=

2 2 0

3 1 1

16 1

0 3

1 16 1

a C r

a M q

a M C r

a M q

tt

nt nn

n

Momentos:

n

Esforços cortantes:

0 2

0

=

 

 



− 

=

t n

Q

a

r

a

Q q

(26)

n

Constantes:

u

Modelo de Kirchhoff:

u

Modelo de Mindlin:

u

Modelo de Reissner:

( )

C C

a C h

′ =

 

 



 υ

−

= κ

2 2

1 3 4

( )

0 1 3

4

²

2

′ =

 

 



 υ

−

= κ C

a C h

= 0

= C ′ C

= 100 h a

r w

n

Deslocamentos:

Reissner

Mindlin

Kirhhoff

(27)

r

=10 h a

=5 h a

w

Mindlin Kirhhoff

Reissner Mindlin

Kirhhoff

r

=100 h a

=5 h a

M

nn

M

nn

Reissner Mindlin Kirhhoff

Mindlin

Kirhhoff

Reissner

n

Momentos: