Descrição do campo do escoamento
• Metodologia Euleriana
- Análise do escoamento num volume fixo no espaço
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
- Derivada temporal inclui duas parcelas 1. Variação com o tempo num ponto fixo
do espaço
2. Variação de ponto para ponto no espaço, num determinado instante de tempo
Aerodinâmica
Conceitos Básicos
• Derivada Material
Propriedade genérica
→
= q ( x , y , z , t ) q
z q y q x q q
Dq ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
z w q y v q x u q t q Dt
Dq
t z z q t y y q t x x q t q Dt
Dq
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Conceitos Básicos
• Teorema da divergência de Gauss
S
V
r Q r dV Q r n r dS
⋅
=
⋅
∇ ∫
∫
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Balanço do campo vectorial para um volume infinitesimal
zy
x
e
e z e y
x
r r
r r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇
→
⋅
∇ Q r r
Q r
Aerodinâmica
Conceitos Básicos
• Transformação da derivada temporal de um volume variável (V) no tempo para um volume fixo (V o )
∂
D r r
Propriedade genérica por unidade de massa
( ) ∫ ( )
∫
∫ = ∂ ∂ + ⋅
o
o S
V
V
dV v n dS
dV t Dt
D r r
ρξ ρξ
ρξ
ξ →
Balanço de uma propriedade genérica (“Equação de conservação”)
• Volume variável no tempo
∫
∫ dV = f dV
D ρξ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
fontes/poços da propriedade
∫
∫
VdV =
Vf dV
Dt D
ρξ
ξξ
→
f ξ
Aerodinâmica
Balanço de uma propriedade genérica (“Equação de conservação”)
• Volume fixo
( ) + ( ⋅ ) =
∂
∂ ∫
∫ ρξ dV ∫ ρξ v n dS f
ξdV
t
oo o V
V V
r r
• Como V o é arbitrário
( ) ( )
( ) ( ) 0
0
=
−
⋅
∇
∂ +
∂
=
+ ∇ ⋅ −
∂
∂
∂
∫
∫
∫ ∫
ξ ξ
ρξ ρξ
ρξ ρξ
f t v
dV f t v
t
o
o
o o
V
V
V V
r r
r r
Balanço de uma propriedade genérica (“Equação de conservação”)
Propriedade ξ f ξ
Massa 1 —
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Massa 1 —
Quantidade de
movimento Forças
Energia Calor
Trabalho v r
v gz u
e = + + 2
2
Aerodinâmica
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Forma integral
• Forma diferencial
( ⋅ ) = 0
∂ +
∫ ∂ ∫
o o
V
dV
Vv n dS
t
r ρ r ρ
• Forma diferencial
( )
( ) 0
0 0
=
⋅
∇ +
=
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
=
⋅
∇
∂ +
∂
Dt v D
z w y v x u w z
v y u x
t t v
r r r r
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Conservação da Massa (equação da continuidade)
• Fluido incompressível ( ρ =constante)
• Forma integral
( ⋅ ) = 0
∫ v r n r dS
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Forma diferencial
( ⋅ ) = 0
∫
Vov n dS
0 0
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂
∂
=
⋅
∇
z w y
v x u
v r r
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma integral
Soma da forças aplicadas ao fluido no
( v n ) dS F
v t dV
v
o o
V V
r r r r r
=
⋅
∂ +
∫ ∂ ρ ∫ ρ
→ F
r Soma da forças aplicadas ao fluido no volume de controle V o
→ F
r
• Forças de pressão + tensões normais
• Tensões de corte
• Forças mássicas (força da gravidade)
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação das forças com as variáveis que caracterizam o escoamento
( )
∫
∂
+
⋅
∇ +
∇
−
=
Vo
p
ijg
F
τ ρ τ r r r
r r
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∫
∫
∫
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
=
−
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
=
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
=
o o o
V
yz zz xz
z V
zy yy
xy y
V
yx zx xx
x
z y
x z
F p
z g y
x y
F p
z y
x x
F p
τ τ τ
τ ρ τ
τ
τ τ τ
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Forma diferencial
p u
u u
u
g z p
w v y v v x u v t
v
ij
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⋅
∇ +
∇
−
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
τ τ τ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ τ
ρ ρ
ρ r r r r r r r r
(Navier-Stokes)
z y
x z
p z
w w y v w x u w t
w
z g y
x y
p z
w v y v v x u v t
v
z y
x x
p z
w u y v u x u u t
u
yz zz xz
zy yy
xy
yx zx xx
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ − + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
τ τ τ
ρ ρ
ρ ρ
τ ρ τ
ρ τ ρ
ρ ρ
τ τ τ
ρ ρ
ρ
ρ
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
• As tensões são linearmente proporcionais às derivadas das componentes da velocidade
(Navier-Stokes)
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
às derivadas das componentes da velocidade
• As constantes de proporcionalidade são independentes da direcção. Fluido isotrópico
• As tensões não dependem explicitamente da posição no espaço e da velocidade do fluido
• O tensor é simétrico, τ xy = τ yx , τ xz = τ zx , τ yz = τ zy
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido (modelo de Newton)
x v y A u
x u
yx xy
xx
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
= λ µ µ τ τ µ
σ 2
3 2
(Navier-Stokes)
z w y
v x u
y w z
A v z w
x w z
A u y v
x y x
zy yz zz
zx xz yy
yx xy xx
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Θ
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
=
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
=
∂ ∂
∂
µ τ
τ µ
µ λ
σ
µ τ
τ µ
µ λ
σ
3 2
2
3 2
2
3
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
w u v
x v y A u
x u
yx xy xx
∂ ∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
= λ µ µ τ τ µ
σ
2 3 2 2
(Navier-Stokes)
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• µ , λ e A são parâmetros independentes dos
gradientes das componentes do vector velocidade
z w y v x u
y w z A v
z w
x w z A u
y v
zy yz zz
zx xz yy
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Θ
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
=
∂ + ∂
∂
= ∂
=
∂ + + ∂
Θ
−
=
µ τ τ µ
µ λ σ
µ τ τ µ
µ λ σ
3 2 2 3 2 2
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
- Escoamento Uniforme
zz yy
xx
= σ = σ = A
σ
(Navier-Stokes)
- Pressão média (average pressure),
th zz yy xx
p A
A
−
≡
=
=
= σ σ σ
( )
th
zz yy xx
p p
p
+ Θ
−
=
+ +
−
= λ
σ σ
3 σ
1
Balanço de Quantidade de Movimento
• Relação entre tensões e movimento do fluido
(modelo de Newton)
w u v
x v y u x
p u
xy yxxx
∂ ∂
∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ = + ∂ Θ
−
−
= µ µ τ τ µ
σ
2 3 2 2
(Navier-Stokes)
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• As constantes λ e A desaparecem das relações entre tensões e gradientes das componentes do vector velocidade
z w y v x u
y w z v z
p w
x w z u y
p v
zy yz zz
zx xz yy
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ Θ
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ = + ∂ Θ
−
−
=
∂ + ∂
∂
= ∂
∂ = + ∂ Θ
−
−
=
µ τ τ µ
µ σ
µ τ τ µ
µ σ
3 2 2 3 2 2
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes ( )
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ Θ
− ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
x w z u z x v y u y x u x
x x p z
w u y v u x u u t
u
µ µ
µ ρ µ
ρ ρ
ρ
2 3 2
( )
( )
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ Θ
− ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
−
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ Θ
− ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
z w z y
w z v y x
w z u x
z z p z
w w y v w x u w t
w
y g w z v z y v y x
v y u x
y y p z
w v y v v x u v t
v
x z z x y y x x
µ µ
µ ρ µ
ρ ρ
ρ
ρ µ
µ µ
ρ µ ρ
ρ ρ
2 3
2
2 3
2
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ =constante
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
−
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z w z y
w z v y x
w z u x z p z
w w y v w x u w t w
y g w z v z y v y x
v y u x y p z
w v y v v x u v t v
x w z u z x v y u y x u x x p z
w u y v u x u u t u
ν ν
ρ ν
ν ν
ρ ν
ν ν
ρ ν
1 2 1 2
1 2
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
Fluido incompressível, ρ =constante Viscosidade constante, ν =constante
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
−
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ = + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1
1
z w y
w x
w z
p z
w w y v w x u w t w
z g v y
v x
v y
p z
w v y v v x u v t v
z u y
u x
u x
p z
w u y v u x u u t u
ρ ν ρ ν
ρ ν
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
• Variação de quantidade de movimento, - Derivada temporal, ∂ v
r ρ
Dt v D r ρ
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
- Derivada temporal,
Escoamento permanente (estacionário) se - Termo convectivo,
= 0
∂
∂ t v r
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z w v y v v x u v
r r r ρ
∂ t ρ
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Equações de Navier-Stokes
• Força de pressão
- Gradiente de pressão, ∇ r p
• Forças viscosas - Termo difusivo,
• Força mássica,
( u u u v u w )
u
i= = =
∇
⋅
∇
1,
2,
3r µ r
g r
ρ
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira 1. Superfície Sólida
→ +
=
→ +
=
t v n v v
t v n v
v
s sn str r r
r r r
Velocidade da superfície Velocidade do fluido
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
→ +
= v n v t
v
n tVelocidade do fluido
• v t =v st – Condição de não escorregamento (no-slip condition)
• v n =v ns – Condição de impermeabilidade (impermeability condition)
Referencial solidário com a superfície ⇒ v r = 0
Aerodinâmica
Balanço de Quantidade de Movimento
• Condições de fronteira
2. Interface de dois fluidos não mísciveis
Velocidade do fluido 1 Velocidade do fluido 2
→ +
=
→ +
=
t v n v v
t v n v v
t n
t
n
r r
r
r r r
2 2
2
1 1
1
• – Continuidade do vector velocidade
• – Igualdade da tensão de corte
• – Discontinuidade da tensão normal dada pela tensão superficial
2
1
v
v r r
=
2
1
τ
τ =
p
ts∆
=
−
21
σ
σ
→
→
−
=
∆
2 1 2
1
1 1
r r r
p
tsσ r σ Tensão superficial
Raios principais de
curvatura da superfície
Balanço de Quantidade de Movimento
• Inclusão das forças mássicas no termo de pressão
• Fluido em repouso
( u ) g
Dt p v D
i
r r r r r
+
∇
⋅
∇ +
∇
−
= ν
ρ 1
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Pressão hidrostática
• pressão relativa à pressão hidrostática
h
h
g g p
p + ⇔ = ∇
∇
−
= r r r r
ρ ρ
1 0 1
h
≡ p
( p p
h) ( u
i)
Dt v
D = − ∇ − + ∇ ⋅ ∇ r r r r
ρ ν 1
( p p
h)
p = −
Aerodinâmica
Balanço de Energia
• Forma integral
( )
∫
∫ ⋅ = +
+ +
+
+ +
∂
∂
o
o S
V
v gz v n dS Q W
h dV
v gz t u
&
&
r r 2
2
2 2
v gz u
e = + +
= 2
2
ξ
• Forma diferencial
Dissipação viscosa
( )
( ⋅ ) ≡ ⋅ ( ∇ ⋅ ) + Φ
⋅
∇
⋅
⋅
∇ +
∇
⋅
∇
=
∇
⋅ +
ij ij
ij
