Prof. Edgard P. M. Amorim Disciplina: FEE º sem/2011.

Texto

(1)

Radia

Radia ç ç ão T ão T é é rmica rmica

Prof. Edgard P. M. Amorim Prof. Edgard P. M. Amorim Disciplina: FEE 0001

Disciplina: FEE 0001 –– 11ºº sem/2011.sem/2011.

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Introdução

Tempo e espaço são relativos.

A energia assume valores discretos.

Max Planck (1858 – 1947)

Albert Einstein (1879 – 1955)

(3)

Matéria x Radiação

Matéria:

1) Localizável: está concentrada em uma dada região do

espaço.

2) Ponderável: está associada a uma massa.

3) Corpuscular: pode ser compreendida como um conjunto de partículas.

Dinâmica: Leis de Newton

Radiação:

1) Não-localizável (distribuída):

não pode ser localizada, está distribuída por todo o espaço.

2) Imponderável: não é possível associar uma massa a ela.

3) Ondulatória: pode ser compreendida como sendo transportada por uma onda.

Equações de Maxwell

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Radiação Térmica

• É a radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura: todo corpo emite este tipo de radiação para o meio e dele a absorve.

• Em baixas temperaturas a maior taxa de emissão está na faixa do infravermelho. Aumentando-a gradativamente, ele começa a emitir luz visível, de início a luz vermelha, passando a seguir para a

amarela, a verde, a azul e, em altas temperaturas, a luz branca, chegando à região do ultravioleta do espectro eletromagnético.

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Radiação Térmica

• Se um corpo está mais quente que o meio:

Emissão > Absorção ele esfria até atingir o equilíbrio térmico.

onde a Emissão = Absorção.

• A matéria em estado condensado (sólido ou líquido) emite um espectro contínuo de radiação. A relação entre temperatura e espectro de radiação emitida é utilizada no pirômetro ótico de filamento: focaliza-se a luz da fonte sob o filamento da lâmpada e varia-se a corrente na lâmpada até que o filamento pareça sumir na imagem da fonte.

A calibração cuidadosa + potenciômetros de

precisão = medida

precisa da temperatura!

(6)

Corpo Negro

Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em um espectro contínuo, com maior intensidade na região do infravermelho (IR).

Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio termodinâmico através de trocas de energia.

Intensidade emissiva (e): energia emitida por unidade de área e por unidade de tempo. Absorvidade ou absorbância (a) como sendo

a fração da energia incidente sobre a superfície de um corpo que é absorvida por ele.

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Corpo Negro

• De uma maneira geral, a forma detalhada do espectro de

radiação térmica depende da composição do corpo. No entanto, a experiência nos mostra que há um tipo de corpo quente que emite espectros de caráter universal. Esses corpos são chamados de

corpos negros, isto é, corpos cujas superfícies absorvem toda a radiação térmica incidente sobre eles.

• O modelo prático mais simples de um corpo negro é o de uma pequena abertura num

objeto oco: qualquer radiação que entra vai sendo refletida e absorvida nas paredes e acaba por ser completamente absorvida.

• Se o objeto oco for aquecido por uma fonte de calor no seu interior, há emissão de

radiação pelo orifício (corpo negro).

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Corpo Negro

•O corpo negro absorve toda radiação que nele incide, isto é, sua absorvidade é igual a 1 (a = 1) e sua refletividade é nula (r = 0),

decorrendo deste último fato seu nome (negro). O corpo negro não tem cor à reflexão mas pode ter cor à emissão. Todo absorvente é bom emissor. Logo, o corpo negro, além de absorvedor ideal, é também um emissor ideal. Sua emissividade é igual a 1 (e = 1).

•Um corpo negro, independentemente do material com que é confeccionado, emite radiações térmicas com a mesma intensidade, a uma dada temperatura e para cada comprimento de onda. Daí decorre o uso do corpo negro para o estudo das radiações emitidas. Através do orifício tem-se a emissão de radiação por aquecimento.

Intensidade da radiação pelo comprimento de onda.

...Exemplo 1-2 do Eisberg

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• Radiância: energia total emitida por unidade de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma temperatura T.

• Radiância espectral Rνννν e Rλλλλ (em termos da freqüência e

comprimento de onda) tal que a quantidade Rν·dν e Rλ·dλ seja a

taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nas freqüências entre ν e ν+dν e nos

comprimentos de onda λ e λ+dλ:

2

2

/

] 1 [

m s W

m R J

t e U

R

T

S

T

= =

= ∆

3 2

2 2

/ ]

[

/ ]

[

m m W

m R W

d e R dR

m Hz Ws

m R W

d e R dR

=

=

=

=

=

=

λ λ

ν ν

λ ν

Radiação de Corpo Negro

(10)

• A radiância RT e as radiâncias espectrais Rλ e Rν estão relacionados da seguinte maneira:

• A densidade de energia espectral uλ e uν são dadas por:

E finalmente, as densidades de energia espectrais uλ e uν estão relacionadas com as radiâncias espectrais Rλ e Rν através de:

ν λ

λ

ν

ν λ λ c R

R e

d R d

R

R

T 2

0 0

=

=

= ∫

⇒ =

=

0 ,

,

( , ) ,

, λ ν λ ν

ν

λ

λν

ν

λ

u u d

d u du

Radiação de Corpo Negro

c u

R .

4 1

,

,ν λ ν

λ

=

(11)

Resultados experimentais

Repetindo-se a experiência para diferentes temperaturas:

Intensidade da radiação pela freqüência para 3 temperaturas distintas.

1) Aumentando-se a temperatura, para uma dada freqüência, a intensidade da radiação aumenta. A lei de Stefan-

Boltzmann, aplicada ao corpo negro fornece a radiação total emitida:

2) Aumentando-se a temperatura, o pico da distribuição se desloca para

frequências maiores ou comprimentos de ondas menores. De acordo com a lei de deslocamento de Wien:

) /(

10 . 67 , 5

;

8 2 4

4

W m K

T

R

T

= σ σ =

mK

áx

T

3 Im

= 2 , 898 . 10

...Exemplo 1-1 do Eisberg

λ

(12)

Teoria clássica da radiação de cavidade

• A hipótese fundamental do modelo Rayleigh-Jeans é que o campo de radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo negro que o emite.

• Com esta hipótese, Sir Rayleigh considerou a troca de energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os modos de oscilação do campo eletromagnético existentes dentro da cavidade (corpo negro), podendo aplicar o Teorema da Eqüipartição da Energia ao problema da radiação de corpo negro.

• Teorema da Eqüipartição de Energia: em um sistema

termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia elementar kBxT (kB = 1,38.10-23 J/K).

(13)

Teoria clássica da radiação de cavidade

Desta forma, a energia total contida no campo de radiação com freqüência entre ν e ν + ∆ν é então, .

Nesta equação ∆n é o número de modos normais de oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com freqüência entre ν e ν + ∆ν. Aqui é importante lembrar que ν é uma variável contínua, ao passo que n expressa uma quantidade discreta!

n T k

U =

B

O problema então passa a ser construir um modelo para o cálculo de ∆n. Para este

cálculo, Sir Rayleigh considerou a radiação de corpo negro como sendo o campo

eletromagnético dentro de uma cavidade cúbica de aresta a feita de material condutor (campo elétrico na superfície é nulo) a uma dada temperatura T.

(14)

Teoria clássica da radiação de cavidade

O campo eletromagnético dentro da cavidade, além da equação de onda, deve obedecer também condições de contorno adequadas. A equação de onda para o campo eletromagnético na cavidade é

1 0 1 0

2 2 2 2

2 2 2

2

=

− ∂

∂ =

− ∂

t

B B c

t e E E c

r r r r

Para esta geometria, as condições de contornos que o campo de radiação deve obedecer são:





=

=

=

=





=

=

=

=





=

=

=

=

0 )

, 0 , , ( )

, 0 , , (

0 )

, 0 , , ( )

, 0 , , (

0 )

, , , ( )

, , 0 , (

0 )

, , , ( )

, , 0 , (

0 )

, , , ( )

, , , 0 (

0 )

, , , ( )

, , , 0 (

t y a B t

y x B

t y a E t

y x E

t z a x B t

z x

B

t z a x E t

z x

E

t z y a B t

z y B

t z y a E t

z y E

r r

r r

r r

r r

r r

r r

(15)

Teoria clássica da radiação de cavidade

Considerando que a onda eletromagnética seja composta de ondas harmônicas no tempo de freqüência ν, temos que:

t i t

i

e B x y z t B x y z e

e z y x E t

z y x

E ( , , , ) = ( , , )

ω

( , , , ) = ( , , )

ω

r

r r

r

Substituindo esta proposta de solução na equação de onda, encontramos a chamada Equação de Helmholtz:

cuja solução para o campo elétrico no caso de geometria cúbica, é dado por:

πν ω = 2 B

E

r r

k = ω / c



 

= +

= +

0 )

, , ( ) (

0 )

, , ( ) (

2 2

2 2

z y x B k

z y x E k r r

πν ω = 2 B

E

r r

(16)

Teoria clássica da radiação de cavidade

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

 

= 

a z sen n

a y x n

a E n

z y x E

a z y n

a sen n

a x E n

z y x E

a z y n

a x n

a sen n

E z

y x E

y z x

z z

y z x

y y

y z x

x x

π π π

π π π

π π π

cos cos

) , , (

cos cos

) , , (

cos cos

) , , (

0 0 0

Onde nx, ny e nz são inteiros positivos e não nulos! Assim podemos expressar as componentes do vetor de onda k na forma:

2 2

2 , 2

, ,

,

. ˆ . ˆ

. ˆ

y z x y z x y z x y z

x

k k k k

a k n

e k

k j

k i

k

k r = + + = π ⇒ = + +

(17)

Teoria clássica da radiação de cavidade

Portanto, temos que:

Logo, encontramos que:

c k 2 /

2

πν πν ω

=

= ⇒

2 2 2 2

2

2

.

π

a n k

n

n

x

+

y

+

z

=

2 2

2 2

2

2

4

c ν

n a n

n

x

+

y

+

z

=

Trata-se de uma “esfera” nas variáveis

discretas nx, ny e nz. Além disso, esta “esfera”

esta centrada na origem nx=ny=nz=0, e tem

“raio” igual a rν = 2aν/c.

A espessura da “casca esférica” ∆rν = 2a∆ν/c.

O número de modos ∆n é numericamente igual ao volume desta “casca esférica”

contida no octante positivo.

(18)

Teoria clássica da radiação de cavidade

Sabemos que o volume desta “casca esférica” é E sua espessura: e raio:

No octante positivo:

n n

n

r r

V = ∆

∆ 4 π

2

ν ν

π

ν π ν

π

=

∆ =

 

 

= 

=

2 3

3

2 2

4

2 4 2

8 4 1

8 ' 1

c a

c a c

r a r

n

n n

c a

r

n

= 2 ∆ ν /

r

n

= 2 a ν / c

A contribuição dado por Jeans em 1905 foi considerar que o campo eletromagnético em 2 estados de polarização possíveis. Logo,

ν ν

π ∆

=

⇒ ∆

=

3 2

3

8 '

2 c

n a n

n

(19)

Teoria clássica da radiação de cavidade

Tendo então calculado o número total de modos de oscilação do

campo eletromagnético, Sir Rayleigh pôde então determinar a energia do campo de radiação ∆U:

Com este resultado Sir Rayleigh determinou então a densidade de energia do campo de radiação du na cavidade cúbica:

Integrando e comparando com a radiância espectral:

 

 

 ∆

=

=

∆ π

3

ν

2

ν

3

8 c T a

k n

T k

U

B B

πν ν

c d T

V k

du dU

B



 

= 

=

3

8

2

2 2

) 2

4 ( π ν

ν

ν

ν

ν

 

= 

= ⇒

T c k R

c u

R

B

(20)

Problema da Teoria Clássica

Ao explicar por meio da teoria clássica os resultados experimentais obtidos, observou-se que, para grandes comprimentos de onda (ou baixas frequências), existia certa concordância com os resultados experimentais. Entretanto, para comprimentos de onda menores (ou frequências maiores) havia grande discordância entre a teoria e a experiência: catástrofe do ultravioleta.

T c k

B

T



 

= 

3

8

2

)

( πν

ν ρ

Não condiz com a experiência!

Solução: modelo de Planck.

FIM-Aula 3

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Referências

temas relacionados :