Prof. Edgard P. M. Amorim Disciplina: FEE º sem/2011.

Radia

Radia ç ç ão T ão T é é rmica rmica

Prof. Edgard P. M. Amorim Prof. Edgard P. M. Amorim Disciplina: FEE 0001

Disciplina: FEE 0001 –– 11ºº sem/2011.sem/2011.

Introdução

Tempo e espaço são relativos.

A energia assume valores discretos.

Max Planck (1858 – 1947)

Albert Einstein (1879 – 1955)

Matéria x Radiação

Matéria:

1) Localizável: está concentrada em uma dada região do

espaço.

2) Ponderável: está associada a uma massa.

3) Corpuscular: pode ser compreendida como um conjunto de partículas.

Dinâmica: Leis de Newton

Radiação:

1) Não-localizável (distribuída):

não pode ser localizada, está distribuída por todo o espaço.

2) Imponderável: não é possível associar uma massa a ela.

3) Ondulatória: pode ser compreendida como sendo transportada por uma onda.

Equações de Maxwell

Radiação Térmica

• É a radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura: todo corpo emite este tipo de radiação para o meio e dele a absorve.

• Em baixas temperaturas a maior taxa de emissão está na faixa do infravermelho. Aumentando-a gradativamente, ele começa a emitir luz visível, de início a luz vermelha, passando a seguir para a

amarela, a verde, a azul e, em altas temperaturas, a luz branca, chegando à região do ultravioleta do espectro eletromagnético.

Radiação Térmica

• Se um corpo está mais quente que o meio:

Emissão > Absorção ele esfria até atingir o equilíbrio térmico.

onde a Emissão = Absorção.

• A matéria em estado condensado (sólido ou líquido) emite um espectro contínuo de radiação. A relação entre temperatura e espectro de radiação emitida é utilizada no pirômetro ótico de filamento: focaliza-se a luz da fonte sob o filamento da lâmpada e varia-se a corrente na lâmpada até que o filamento pareça sumir na imagem da fonte.

A calibração cuidadosa + potenciômetros de

precisão = medida

precisa da temperatura!

Corpo Negro

Um corpo aquecido emite radiação eletromagnética em um espectro contínuo, com maior intensidade na região do infravermelho (IR).

Matéria e radiação interagem e atingem o equilíbrio termodinâmico através de trocas de energia.

Intensidade emissiva (e): energia emitida por unidade de área e por unidade de tempo. Absorvidade ou absorbância (a) como sendo

a fração da energia incidente sobre a superfície de um corpo que é absorvida por ele.

Corpo Negro

• De uma maneira geral, a forma detalhada do espectro de

radiação térmica depende da composição do corpo. No entanto, a experiência nos mostra que há um tipo de corpo quente que emite espectros de caráter universal. Esses corpos são chamados de

corpos negros, isto é, corpos cujas superfícies absorvem toda a radiação térmica incidente sobre eles.

• O modelo prático mais simples de um corpo negro é o de uma pequena abertura num

objeto oco: qualquer radiação que entra vai sendo refletida e absorvida nas paredes e acaba por ser completamente absorvida.

• Se o objeto oco for aquecido por uma fonte de calor no seu interior, há emissão de

radiação pelo orifício (corpo negro).

Corpo Negro

•O corpo negro absorve toda radiação que nele incide, isto é, sua absorvidade é igual a 1 (a = 1) e sua refletividade é nula (r = 0),

decorrendo deste último fato seu nome (negro). O corpo negro não tem cor à reflexão mas pode ter cor à emissão. Todo absorvente é bom emissor. Logo, o corpo negro, além de absorvedor ideal, é também um emissor ideal. Sua emissividade é igual a 1 (e = 1).

•Um corpo negro, independentemente do material com que é confeccionado, emite radiações térmicas com a mesma intensidade, a uma dada temperatura e para cada comprimento de onda. Daí decorre o uso do corpo negro para o estudo das radiações emitidas. Através do orifício tem-se a emissão de radiação por aquecimento.

Intensidade da radiação pelo comprimento de onda.

...Exemplo 1-2 do Eisberg

• Radiância: energia total emitida por unidade de tempo, por unidade de área, pelo corpo aquecido a uma temperatura T.

• Radiância espectral R_νννν e R_λλλλ (em termos da freqüência e

comprimento de onda) tal que a quantidade R_ν·dν e R_λ·dλ seja a

taxa temporal com que a energia de um corpo aquecido é irradiada, por unidade de área, nas freqüências entre ν e ν+dν e nos

comprimentos de onda λ e λ+dλ:

2

2

/

] 1 [

m s W

m R J

t e U

R

S

= =

∆

= ∆

3 2

2 2

/ ]

[

/ ]

[

m m W

m R W

d e R dR

m Hz Ws

m R W

d e R dR

=

=

=

=

=

=

λ λ

ν ν

λ ν

Radiação de Corpo Negro

• A radiância R_T e as radiâncias espectrais R_λ e R_ν estão relacionados da seguinte maneira:

• A densidade de energia espectral u_λ e u_ν são dadas por:

E finalmente, as densidades de energia espectrais u_λ e u_ν estão relacionadas com as radiâncias espectrais R_λ e R_ν através de:

ν λ

λ

ν

ν λ λ c R

R e

d R d

R

R

0 0

=

=

= ∫

∫

∫

⇒ =

=

0 ,

,

( , ) ,

, λ ν λ ν

ν

λ

ν

λ

u u d

d u du

Radiação de Corpo Negro

c u

R .

4 1

,

,ν λ ν

λ

=

Resultados experimentais

Repetindo-se a experiência para diferentes temperaturas:

Intensidade da radiação pela freqüência para 3 temperaturas distintas.

1) Aumentando-se a temperatura, para uma dada freqüência, a intensidade da radiação aumenta. A lei de Stefan-

Boltzmann, aplicada ao corpo negro fornece a radiação total emitida:

2) Aumentando-se a temperatura, o pico da distribuição se desloca para

frequências maiores ou comprimentos de ondas menores. De acordo com a lei de deslocamento de Wien:

) /(

10 . 67 , 5

;

4

W m K

T

R

= σ σ =

mK

áx

T

3 Im

= 2 , 898 . 10

...Exemplo 1-1 do Eisberg

λ

Teoria clássica da radiação de cavidade

• A hipótese fundamental do modelo Rayleigh-Jeans é que o campo de radiação está em equilíbrio termodinâmico com o corpo negro que o emite.

• Com esta hipótese, Sir Rayleigh considerou a troca de energia entre o corpo aquecido a uma temperatura T e os modos de oscilação do campo eletromagnético existentes dentro da cavidade (corpo negro), podendo aplicar o Teorema da Eqüipartição da Energia ao problema da radiação de corpo negro.

• Teorema da Eqüipartição de Energia: em um sistema

termodinâmico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, com N graus de liberdade, cada um deles contribui para o sistema com a mesma quantidade de energia elementar k_BxT (k_B = 1,38.10^-23 J/K).

Teoria clássica da radiação de cavidade

Desta forma, a energia total contida no campo de radiação com freqüência entre ν e ν + ∆ν é então, .

Nesta equação ∆n é o número de modos normais de oscilação (graus de liberdade) do campo de radiação com freqüência entre ν e ν + ∆ν. Aqui é importante lembrar que ν é uma variável contínua, ao passo que n expressa uma quantidade discreta!

n T k

U =

∆

∆

O problema então passa a ser construir um modelo para o cálculo de ∆n. Para este

cálculo, Sir Rayleigh considerou a radiação de corpo negro como sendo o campo

eletromagnético dentro de uma cavidade cúbica de aresta a feita de material condutor (campo elétrico na superfície é nulo) a uma dada temperatura T.

Teoria clássica da radiação de cavidade

O campo eletromagnético dentro da cavidade, além da equação de onda, deve obedecer também condições de contorno adequadas. A equação de onda para o campo eletromagnético na cavidade é

1 0 1 0

2 2 2 2

2 2 2

2

=

∂

− ∂

∇

∂ =

− ∂

∇ t

B B c

t e E E c

r r r r

Para esta geometria, as condições de contornos que o campo de radiação deve obedecer são:







=

=

=

=







=

=

=

=







=

=

=

=

0 )

, 0 , , ( )

, 0 , , (

0 )

, 0 , , ( )

, 0 , , (

0 )

, , , ( )

, , 0 , (

0 )

, , , ( )

, , 0 , (

0 )

, , , ( )

, , , 0 (

0 )

, , , ( )

, , , 0 (

t y a B t

y x B

t y a E t

y x E

t z a x B t

z x

B

t z a x E t

z x

E

t z y a B t

z y B

t z y a E t

z y E

r r

r r

r r

r r

r r

r r

Teoria clássica da radiação de cavidade

Considerando que a onda eletromagnética seja composta de ondas harmônicas no tempo de freqüência ν, temos que:

t i t

i

e B x y z t B x y z e

e z y x E t

z y x

E ( , , , ) = ( , , )

( , , , ) = ( , , )

r

r r

r

Substituindo esta proposta de solução na equação de onda, encontramos a chamada Equação de Helmholtz:

cuja solução para o campo elétrico no caso de geometria cúbica, é dado por:

πν ω = ² B

E

r r

⊥ k = ω / c



 



= +

∇

= +

∇

0 )

, , ( ) (

0 )

, , ( ) (

2 2

2 2

z y x B k

z y x E k r r

πν ω = ² B

E

r r

⊥

Teoria clássica da radiação de cavidade

 

 



 





 

 



 



= 

 

 



 





 

 



 



= 

 

 



 





 

 



 



= 

a z sen n

a y x n

a E n

z y x E

a z y n

a sen n

a x E n

z y x E

a z y n

a x n

a sen n

E z

y x E

y z x

z z

y z x

y y

y z x

x x

π π π

π π π

π π π

cos cos

) , , (

cos cos

) , , (

cos cos

) , , (

0 0 0

Onde n_x, n_y e n_z são inteiros positivos e não nulos! Assim podemos expressar as componentes do vetor de onda k na forma:

2 2

2 , 2

, ,

,

. ˆ . ˆ

. ˆ

x

k k k k

a k n

e k

k j

k i

k

k ^r = + + = π ⇒ = + +

Teoria clássica da radiação de cavidade

Portanto, temos que:

Logo, encontramos que:

c k 2 /

2

πν πν ω

=

= ⇒

2 2 2 2

2

2

.

π

a n k

n

n

+

+

=

2 2

2 2

2

2

4

c ν

n a n

n

+

+

=

Trata-se de uma “esfera” nas variáveis

discretas n_x, n_y e n_z. Além disso, esta “esfera”

esta centrada na origem n_x=n_y=n_z=0, e tem

“raio” igual a r_ν = 2aν/c.

A espessura da “casca esférica” ∆r_ν = 2a∆ν/c.

O número de modos ∆n é numericamente igual ao volume desta “casca esférica”

contida no octante positivo.

Teoria clássica da radiação de cavidade

Sabemos que o volume desta “casca esférica” é E sua espessura: e raio:

No octante positivo:

n n

n

r r

V = ∆

∆ 4 π

ν ν

π

ν π ν

π

∆

=

∆ =

 

 



= 

∆

=

∆

2 3

3

2 2

4

2 4 2

8 4 1

8 ' 1

c a

c a c

r a r

n

c a

r

= 2 ∆ ν /

∆ r

= 2 a ν / c

A contribuição dado por Jeans em 1905 foi considerar que o campo eletromagnético em 2 estados de polarização possíveis. Logo,

ν ν

π ∆

=

⇒ ∆

∆

=

∆

3

8 '

2 c

n a n

n

Teoria clássica da radiação de cavidade

Tendo então calculado o número total de modos de oscilação do

campo eletromagnético, Sir Rayleigh pôde então determinar a energia do campo de radiação ∆U:

Com este resultado Sir Rayleigh determinou então a densidade de energia do campo de radiação du na cavidade cúbica:

Integrando e comparando com a radiância espectral:

 



 

 ∆

=

∆

=

∆ π

ν

ν

3

8 c T a

k n

T k

U

πν ν

c d T

V k

du dU







 

= 

=

8

2 2

) 2

4 ( π ν

ν

ν

ν

ν





 



= 

= ⇒

T c k R

c u

R

Problema da Teoria Clássica

Ao explicar por meio da teoria clássica os resultados experimentais obtidos, observou-se que, para grandes comprimentos de onda (ou baixas frequências), existia certa concordância com os resultados experimentais. Entretanto, para comprimentos de onda menores (ou frequências maiores) havia grande discordância entre a teoria e a experiência: catástrofe do ultravioleta.

T c k

T







 

= 

8

)

( πν

ν ρ

Não condiz com a experiência!

Solução: modelo de Planck.

FIM-Aula 3