Lista4deCálculoII Arquivos de Matemática Professor.Rodrigo.Neves Lista4deCálculoII

FIC/ Cu rs o d e Ma te m á tica 2 0 0 9 – 1º

P ro fe s s o r: Ro d rigo N e ve s Figu e ire d o d o s S a n to s

Lis ta 4 d e Exe rcício s d e Cá lcu lo II

1. _{Determine a integral indefinida das funções abaixo:}

a)

∫

5x2dx

b)

∫

2dx

c)

∫

x5dx

d)

∫

2t3dt

e)

∫

−3y7dy

f)

∫

2x−3dx

g)

∫

7dx

h) dx

x 2 x 5

2

∫

⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

i) )dx

x 4

x 9 x 2

( +

∫

j)

∫

(3x5 +4x32 +2x−12)dx

l)

∫

(2ey −y2)dy

k)

(

x 4x 4

)

2dx

3 2

∫

− +

m) dx

x 4 x 3 x

2 ₂

∫

⎜_⎝⎛ + + ⎟_⎠⎞

n) )dx

x 3 x

( +

∫

o)

∫

x x2−6x+9dx

p)

∫

x

( )

x2+2 dx

q)

∫

x2

( )

x3−12dx

r)

∫

sec2xdx

s) dx

e e 10

x x

∫

−

t) dx

e e 1

x x 2

∫

+

u) dx

x 4 x 7 x

∫

⎜_⎝⎛ + − ⎟_⎠⎞

2. _{No exercício anterior, dos itens a) ao q), use a condição inicial f(1) = 4 para determinar as soluções}

parti-culares das integrais.

3. _{Calcule as áreas determinadas, esboçando antes os gráficos, pelas seguintes integrais definidas:}

a) dx34

0

∫

R: 12

b) dx4x

0

∫

R: 8

c)

∫

4

0₂dx

x

R: 4

d)

∫

2 +

0(2x 5)dx R: 14

e)

∫

5 −

0(5 x)dx R: 25/2

f)

∫

3 − + −

1 2

dx ) 3 x 4 x

( R: 4/3

g)

∫

− + 0

3(x 2)dx R: 3/2

h) 2 x dx

0 3

∫

R:

5 2 8

i)

∫

4 −

0

2

dx ) x x 4

( R: 32/3

j) dx

x 1

3

2

∫

R: ln(3) – ln(2)

k) 34dx

1

∫

R: 8

l)

∫

3 +

0(x 2)dx R: 21/2

m)

∫

2

0 2

dx

x R: 8/3

n)

∫

2 −

0(4 2x)dx R: 4

3. _{Encontre a área da região limitada, esboçando a região:}

a) pelo gráfico de y=2x2−3x+2, o eixo dos x e as retas verticais x=0 e x=2. R: _10/3

b) abaixo da parábola y=4−x2, abaixo da reta y=−x+2, acima do eixo x.

c) entre o gráfico de y = x2 _{-6x + 8, o eixo x e no intervalo [0, 3].}

d) pelo primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1/x2 _{e o eixo x.}

e) pory=x3−4x,y=0,x=2.

f) por 2y=senx, y=0, x=π/2, x=3π/

5. _{Determine a área através integral definida das funções abaixo, esboçando o gráfico da região. Dica: Tente}

observar se a região de integração não possui partes negativas, necessitando de algum tipo de manipulação ou secção da integral.

a) dx

x 1

3

e

e

∫

b)

∫

(

)(

)

− − +

2

1 x 1 2x 3 dx

c)

(

sen x cosx 1

)

dx

0

∫

π

+ +

d)

∫

3

(

− +

)

0 2

dx 1 x 4 x 3

e)

∫

π 2

0 sen xdx

f) dx

x 1 x

6

3 2

2

∫

+

g) dx10x 1

1

∫

−

h) 2t t2 2t 1 dt

1

2 _{− +}

∫

i)

∫

π 2 4

0 senxdx

6. _{Calcule a área sobre o eixo x e a curva}

( )

(

_{x 2x 8}

)

8 1 x

f = 2− + entre

[

−2,4

]

. O gráfico da curva é:

7. _{Resolva a integral definida da função}

( )

_x3

3 1 x

f = entre

[

−1,2

]

.

8. _{Dada a funçãoy}=_{xcalcular a área sob o gráfico dex}=_0ax=_{3por geometria e por cálculo.}

Y

X

2

−

−

1

0

1

2

3

4

1

−

( )

x f

1

0

₂

Y

9. _{Calcular a área da região limitada inferiormente pela curva y}=_x2−_3x+_{2 e o eixo x que éy}=_0.

10. _{A circulação atual da revista ABC é de 3000 exemplares por semana. O editor chefe da revista projeta}

uma taxa de crescimento de 4+5t23_{exemplares por semana, daqui a t semanas pelos próximos 3 anos. Com}

base em sua projeção, qual será a circulação da revista daqui a 125 semanas?

11. _{Num videogame, os aviões voam de noroeste a sudeste, segundo trajetórias dadas pelos gráficos das}

funções f, tais que

dx x 1 ) x (

f =−

∫

⋅ .

Em cada ponto de sua trajetória, um avião pode disparar, na direção da reta tangente. As balas são disparadas contra os alvos que estão localizados no eixo x, nas posições : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 ou x = 6. No instante em que um avião passa pelo ponto de coordenadas P = (1,3) efetua um disparo.

Determine:

a) a trajetória desse avião b) se algum dos alvos é atingido.

12. _{Resolva a equação diferencial f(x) = f `(x), ou y` = y.}

13. _{Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital C investido de}

acordo com a equação dC/dt = 0,08C. Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja de R$ 1000, determine o valor do capital no instante t.

Y

( )

x

f  

X