Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computac~ao
Departamento de Sistemas de Energia Eletrica
Estrat
egias de Controle Corretivo em Situac ~
oes de
Infactibilidade da Operac ~ ao de Sistemas El etricos de Pot ^ encia Por
Andre Gustavo Campos da Conceic~ao
Dissertac~ao apresentadaa Faculdadede Engenharia Eletrica da UNICAMPcomoparte dosrequisitos
exigidosparaa obtenc~ao do ttulode Mestre emEngenhariaEletrica.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. CarlosAlberto de Castro Jr. (Orientador) - FEEC/UNICAMP
Prof. Dr. RobertoSalgado - UFSC
Prof. Dr. Ariovaldo V.Garcia - FEEC/UNICAMP
a minha amada Karla Regina,
Aspessoasquecontriburamdiretaouindiretamenteparaarealizac~aodesta dissertac~aode Mestrado.
Esperocarregar comigo parasempre o respeitode todos e quemsabe algumdia ser capazde retribuiro
apoiorecebido. Em especial, gostaria deagradecer:
{ ao professorCarlos Alberto de Castro Jr. n~ao apenaspelaexcelente orientac~ao, mas tambem pelo
seuirrestrito apoio, paci^encia e cordialidadenessesdois anos emeiode trabalho emconjunto;
{ aos companheirosdo DSEE com osquais compartilhei momentos saudaveis e, a Miriam,
adminis-tradora darede,pelapaci^encia e apoio;
{ aos colegas de trabalho da FIGENER S.A. Engenheiros Associados pela colaborac~ao e apoio nos
momentosqueprecisei mededicarexclusivamente apesquisa;
{ a minhaKarla,a companheirade todososmomentos, pelacon anca, lealdadee amor;
{ a Gilberto, meu pai heroi, que por um chamado de Deus n~ao p^ode estar presente nessa etapa
da minha vida, a Doraci, minha m~ae guerreira, e aos meus irm~aos, Rita e Ronald pelo apoio
incondicional;
{ aos meussogros, Carlose Dinalva,quesempre meapoiaramnos momentos difceis;
{ a CAPES(Coordenac~ao de Aperfeicoamento de Pessoal de NvelSuperior) pelosuporte nanceiro
Ummetodo quelida com situac~oes de operac~ao infactveis e proposto neste trabalho. Casoocorram
estassituac~oes, ac~oesde controleapropriadasdevemsere cientementeobtidas erapidamente
implemen-tadas. Parase conseguiristoe necessario (a) quanti car o grau de infactibilidade (GI) do sistema, e (b)
determinar uma estrategia de controle corretivo para colocar o sistema de volta a regi~ao de operac~ao
factvel. GIedeterminado atravesda menordist^ancia entreo ponto de operac~aoinfactvel(instavel)e a
fronteirade factibilidadeno espaco de par^ametros (de carga). Neste trabalho asestrategias de controle
podemserobtidaspordoismetodos,denominadosmetodo dasproporcionalidades(MP)emetodobaseado
emprogramac~aon~ao-linear(MPNL).Fontesdereativos(geralmentebancosdecapacitores),mudancaem
tapdetransformadoresecortedecargas~aooscontroles,emgeral,disponveis. Abuscadoscontrolesmais
apropriadose baseada na ideia da localizac~ao adaptativa. Foram realizadas simulac~oes parapequenos e
grandessistemas, sobconting^enciase situac~oesde cargapesada,coma nalidadede mostrara e ci^encia
do metodo proposto. Ele pode ser usado como uma ferramenta muito utilem estudos de planejamento
da operac~ao,particularmenteemanaliseda estabilidadede tens~ao.
Abstract
A method that deals with infeasible operating situations is proposed in this work. In case these
situations occur,appropriatecorrectiveactionsmustbe eÆcientlyobtainedandquicklyimplemented. In
order to accomplish this, it is necessary (a) to quantify the system's unsolvability degree (UD), and (b)
to determine a corrective controlstrategy to pullthe system back to the feasibleoperation region. UD
is determined through the smallest distance between the infeasible (unstable) operating point and the
feasibility boundary in parameter (load) space. In this work the control strategies can be obtained by
two methods, namely the proportionality method (PM) and the non linear programming based method
(NLPM). Reactive fonts(usually capacitor banks), tapchangingtransformers andload sheddingarethe
usualcontrols available. Thesearchforthemostappropriatecontrols isbasedon theideaoflocalization.
Simulationshavebeencarriedout,forsmalltolargesystems,undercontingencyandheavyloadsituations,
in order to show the eÆciency of the proposed method. It can be used as very useful tool inoperation
1 Introduc~ao 1
2 Soluc~ao do Fluxo de Carga Utilizando Multiplicador
Otimo 8
2.1 Descric~ao do Metodo de Newton com Otimizac~ao de Passo . . . 10
2.2 Considerac~oes sobre o Metodo Apresentado . . . 12
3 Determinac~ao do Grau de Infactibilidade daOperac~ao de Redes Eletricas 14 3.1 Fluxo de Carga com Ponto de Operac~ao Infactvel . . . 15
3.2 Calculo da Melhor Soluc~ao para o Fluxo de Carga Infactvel . . . 20
4 Determinac~ao das Ac~oes de Controle Corretivo paraRetornar a Factibilidade 28 4.1 Analise da Sensibilidade do GI em relac~ao as variaveis de controle . . . 28
4.1.1 Determinac~ao dos elementos do vetor [f(x m ) S] u . . . 29
4.1.2 Calculo dos componentes do vetor D u . . . 33
4.2 De nic~ao das Estrategias de Controle Corretivo . . . 36
4.2.1 Metodo das Proporcionalidades (MP) . . . 39
4.2.2 Metodo baseado em Programac~ao N~ao-Linear (MPNL) . . . 39
4.2.3 Caso Exemplo . . . 40
5 Testes e Resultados 43 5.1 Rede exemplo de 3 barras . . . 43
5.2 IEEE 14 barras. . . 46
5.2.1 Veri cac~ao da precis~ao dos controles . . . 46
5.2.2 Veri cac~ao da situac~ao (7.a) { jEC T jD . . . 47 5.2.3 Veri cac~ao da situac~ao (7.b) { DjEC T j<D . . . 48 5.2.4 Veri cac~ao da situac~ao (7.c) { jEC T j< D . . . 49
5.2.5 Comparac~ao entre as vers~oes A e B do programa . . . 49
5.3 IEEE 118 barras . . . 50
5.4 Rede de 904 barras . . . 51
6 Conclus~oes 53
1.1 Espaco multidimensionalde par^ametros. . . 4
1.2 Func~oes desupervis~ao econtrole derede. . . 5
2.1 Evoluc~ao doprocesso iterativoparaum casosem soluc~ao. . . 12
3.1 Ilustrac~aode uma situac~aode infactibilidade. . . 14
3.2 Efeito das ac~oesde controle. . . 15
3.3 Sistema exemplodeduas barras. . . 16
3.4 Regi~oesfactvel einfactvelno espacode par^ametros. . . 17
3.5 Melhorsoluc~ao possvelpara P 2 = 400 MW,Q 2 = 200 MVAr. . . 19
4.1 Fluxos depot^encia referentes a barrak. . . 31
4.2 Estado nal darede utilizandoMP.. . . 41
4.3 Estado nal darede utilizandoMPNL. . . 42
4.4 Efeito das ac~oesde controle narede de 2barras. . . 42
5.1 Sistema exemplodetr^esbarras. . . 44
1.1 Estados de operac~ao da rede. . . 3
3.1 Converg^encia do uxode carga paraP 2 =400 MW, Q 2 =200 MVAr. . . 22
5.1 Rede de3 barras: dadosde ramos. . . 43
5.2 Soluc~aodo caso basepara arede detr^es barras.. . . 44
5.3 Estado nal darede aposa realizac~aodos controles{ Metodo MP. . . 45
5.4 Estado nal darede aposa realizac~aodos controles{ Metodo MPNL. . . 46
5.5 Precis~aodos controles. . . 47
5.6 Capacitor shunt como umcontrole. . . 47
5.7 Situac~ao (7.a). . . 48
5.8 Primeira iterac~ao,D=0; 25. . . 48
5.9 Comparac~ao de MPe MPNL. . . 49
5.10 Valores relevantes utilizadospelometodo proposto. . . 50
5.11 Ajustes obtidoscom avers~ao A do programa. . . 50
5.12 Ajustes obtidoscom avers~ao B do programa. . . 50
5.13 Simulac~aopara arede de118 barras, situac~ao (7.a). . . 51
5.14 Simulac~aopara arede de118 barras, situac~ao (7.b). . . 51
5.15 Simulac~aopara arede de904 barras. . . 52
5.16 Simulac~aopara arede de904 barras {fator de seguranca de 10%. . . 52
Introduc~ao
O conceitode operac~ao de redeseletricas tem evoludo ao longo dotempo. A ideia basica, e queera
praticada pelascompanhiasconcessionariasde energia, e deque aoperac~ao deveria cumprirosseguintes
objetivos[1 ]:
garantir ofornecimento deenergia ascargas;
garantir odespacho econ^omicoda gerac~ao de energia;
garantirumareservagirante(spinningreserve)paracobrirpossveisaumentosdecargan~aoprevistos
e perdasde unidadesgeradoras;
veri car osefeitos potenciais daretiradade equipamentosde operac~ao para manutenc~ao.
Alguns fatores, no entanto, levaram a mudancas nessa ideia. Principalmente a partir dos anos 60,
notou-se que:
a demanda de energia sempre crescia, a despeito das variac~oes econ^omicas e desenvolvimentos
polticos;
a manutenc~ao deum sistemaeletrico robustoquepudesseatenderacarga crescentee aindaoperar
normalmente sobconting^encias tornou-se economicamenteinviavel;
amassivainterligac~aodesistemas,queporumladovinhaaaumentaracapacidadede despacho de
gerac~ao, tambem contribuia para um aumento dos nveis de inseguranca da rede em situac~oes de
conting^encias;
Umfatomarcantenaareadaoperac~aoderedeseletricasfoioblackoutdaregi~aoNordestedosEstados
Unidos da America em Novembro de 1965. Em uma regi~ao densamente povoada e com alto ndice de
industrializac~ao,osefeitosdo blackoutforam signi cativos. Este evento foio maioremareaatingida,em
numerode pessoasatingidas,sendoque algumasareas caramdesenergizadasporate 24 horas. Apartir
da, tomou forca o conceito de controle de seguranca, que ja vinha sendo discutido ha algum tempo na
epoca. Aampliac~aodoconceitodaoperac~aoderedesincluindoaanalisedesegurancafoiinevitavel[2,3].
A ideiada operac~ao automatizadade redesem temporeal tambemganhou forca,principalmentedevido
a:
o aumento dacomplexidade daoperac~ao dasredes, limitandoa ac~ao e cientedos operadores;
ofatodequeainclus~aodocontroledeseguranca aumentavamuitoovolumedeanalises(ecalculos)
a seremexecutados;
o rapido desenvolvimento da tecnologia de computac~ao digitale a queda acelerada dos precos dos
equipamentos, passando a permitir sua utilizac~ao na realizac~ao das tarefas exigidas na operac~ao
segurade redes.
De fato, a instalac~ao de Centros da Operac~ao do Sistema (COS) e uma tend^encia mundial. Como
exemplosdeCOSnoBrasil,pode-secitarosdaCompanhiaPaulistadeForcaeLuz(CPFL)edasCentrais
Eletricasde MinasGerais(CEMIG).Deseja-sequeosCOStenhamacapacidadedemonitorar,analisare
realizar controle supervisoriosobre a redeem temporeal. Istoe conseguido atraves da execuc~ao deuma
seriede ac~oes de controle. Como parteda incorporac~ao do controlede segurancana operac~ao emtempo
real de sistemas eletricos, foi introduzida a de nic~ao dos chamados estados de operac~ao da rede. Esses
estados de operac~ao s~ao apresentados natabela 1.1da forma como s~ao descritosem [4 ].
Naturalmente, deseja-seoperararedesemprenonvelseguro. No entanto,hojeemdiaissoe
pratica-menteimpossvel,devidoaosaltosndicesdecarregamento dosequipamentosdarede.
E comument~ao a
operac~ao nosnveiscorretivamente seguroe alerta,este ultimo ocorrendoemhorariosdepico de
deman-da (carga pesada). Nota-sena tabela1.1 que ha situac~oesem que a redeopera comviolac~oes de alguns
limites de operac~ao, como porexemplo sobrecargas em linhas de transmiss~ao e transformadores e sobre
ou subtens~oes em barramentos. Tais violac~oes podem ocorrer tanto em condic~oes normais de operac~ao
quanto emsituac~oes deconting^encias e horarios depico de demanda.
Ocasionalmente,a situac~ao pode setornarainda mais crtica, como sistema deixando de apresentar
um ponto de operac~ao factvel. Isto ocorre pois, atualmente, com o alto nvel de carregamento dos
sistemas eletricos, tende a aumentar o numero de situac~oes onde as equac~oes do uxo de carga n~ao
possuemsoluc~aoreal,particularmenteemanalisedeconting^enciaseaplicac~oesdeplanejamento. Apartir
do momento em que essas situac~oes comecem a ameacar a operac~ao do sistema e importante que uma
tecnicacomputacionale ciente sejadesenvolvida paraquanti caro grau de infactibilidade erecomendar
estrategiasde ac~oesde controlecorretivode forma a trazero sistemade volta a operac~ao factvel.
N
IVEL ESTADO DEOPERAC ~
AO DESCRIC ~
AO
1 Seguro A cargaeatendida. N~aohaviolac~oesde limites de
operac~ao. Possveis conting^encias n~ao causam
vio-lac~oes.
2 Corretivamenteseguro A carga e atendida. N~ao ha violac~oes de limites
de operac~ao. Violac~oes causadasporpossveis
con-ting^encias podem ser eliminadas por ac~oes de
con-trolesemperdadecarga.
3 Alerta A cargaeatendida. N~aohaviolac~oesde limites de
operac~ao. Algumasviolac~oescausadasporpossveis
conting^enciasn~aopodemsereliminadassemque
ha-ja perdadecarga.
4 Emerg^encia corrigvel A cargaeatendida. Haviolac~oesdelimites de
ope-rac~aoquepodemsereliminadasporac~oesdecontrole
semperdadecarga.
5 Emerg^encia n~ao corrigvel A cargaeatendida. Haviolac~oesdelimites de
ope-rac~ao que n~ao podem ser eliminadas sem que haja
perdadecarga.
6 Restaurativo N~ao ha violac~oes de limites de operac~ao. Ocorreu
perdadecarga.
Tabela1.1: Estadosde operac~ao darede.
de nidospara diferentesnveisde carregamento da rede. Paracadanvelde carregamento, deve-se obter
oestado deoperac~aocorrespondenteemtermosdastens~oesnasbarrasdarede. Istoeconseguidoatraves
do calculo de uxo de carga. O espaco de par^ametrose divididoem duasregi~oesbasicas: regi~ao factvel
e regi~ao infactvel. Aprimeira abrange pontosem que aoperac~ao da rede e possvel e o calculode uxo
de cargaexecutado aqui,deveapresentarsoluc~ao. Asegunda abrange pontosemque aoperac~ao darede
n~aoe possvele o calculo de uxo de carga n~ao tem soluc~ao. Essasregi~oes s~ao separadas pela fronteira
. Aregi~aofactvele subdivididaemduasoutrasregi~oes,de nidasem termosdo estado deoperac~ao da
rede. Esta pode operar na regi~ao segura (S), no caso em que a carga e atendida e todos osseus limites
operacionaiss~aorespeitados(nveis1,2e 3da tabela1.1),ouna regi~ao deemerg^encia(E), casoemque
a carga e atendida mas algunslimitesoperacionais s~ao violados (nveis 4 e 5 da tabela1.1, por exemplo
havendosobreousubtens~oes,sobrecargasemlinhasdetransmiss~ao,etc.). Naturalmente,deseja-seoperar
a rede naregi~aofactvelseguratodo o tempo.
Em muitos casos, e possvel que a rede opere na regi~ao factvel de emerg^encia por um certo tempo
ate que medidas corretivas sejam tomadas para leva-la de volta a regi~ao segura. A regi~ao infactvel se
caracteriza pelaimpossibilidadede atendimento a demandade carga especi cada. Em termos de pontos
de operac~aoda rede,pode-sedizerqueseo nveldecarregamento determinar umponto dentrodaregi~ao
espaco depar^ametros cujoestado de operac~ao resulteem umdeterminantenuloparaa matrizJacobiana
do sistema de equac~oes de uxo de carga. Estes pontos s~ao em geralassociados a pontos de bifurcac~ao
do tipono-sela(saddle-node) es~ao tambemassociadosapontosapartirdosquaisocorre instabilidadede
tens~aoe consequente colapsode tens~ao.
Regi~aoFactvel
Regi~ao Infactvel
S E
Figura1.1: Espaco multidimensionalde par^ametros.
Casona rede sejam detectadas situac~oes (conting^encias, aumento da demanda) tais que a rede
pos-sa ser levada a regi~ao infactvel, deve-se tomar provid^encias adequadas para que, apesar dessa situac~ao
indesejavel, a maxima qualidade de fornecimento seja mantida. Essas provid^encias consistem no
desen-volvimento de estrategias de ac~oesde controle. Essasac~oes de controlepodemserde dois tipos:
controle corretivo: apos detectada uma violac~ao, tanto em condic~oes normais de operac~ao como
sobconting^encias, ac~oesde controles~ao executadasparaelimina-la;
controle preventivo: ac~oes de controle s~ao executadas de forma a mudar o ponto de operac~ao
corrente da rede e evitaro surgimento de violac~oes casoconting^encias venham aocorrer.
Asac~oesdecontrolecorretivase/oupreventivast^emseulugarentreumaseriedefunc~oesdesupervis~ao
econtrolederedeques~aoexecutadasnosCOS.Atend^encia mundialequetaisfunc~oessejamexecutadas
em tempo real. A gura 1.2 mostra uma vis~ao geral das func~oes de supervis~ao e controle existentes em
umCOS [1 ].
Osblocossombreados na gura 1.2correspondemasac~oes de controlecorretivase preventivas
discu-tidasanteriormente. Aexecuc~aodasfunc~oesdesupervis~aoecontrolenaoperac~aoderedesemtemporeal
estasujeitaaumarestric~aoseveradetempo,ouseja,asfunc~oesdevemserexecutadasomaisrapidamente
possvel. Por exemplo, a analise de seguranca (area limitada pelo ret^angulo com linha tracejada) deve
ser executada ciclicamente a intervalos de 15 a 30 minutos. Ja o monitoramento do estado de operac~ao
da rede (con gurador, estimador de estado)e executado a cada15 segundos em media. Assim, torna-se
Medidas Filtragem Analisede Observabilidade Erros Grosseiros Estimador deEstado Con gurador Veri cac~ao deViolac~oes Selec~aode Conting^encias Conting^encias Avaliac~aode emerg^encia normal restaurativo inseguro seguro Controle Controle Preventivo/Corretivo Preventivo/Corretivo Previs~ao deCarga Equivalente Externo Fluxode CargaOn-line
duas delasem particular constituem desa osque requerem novasmetodologias para suas utilizac~oesem
tempo real:
avaliac~ao de seguranca din^amicaderedes(associada a estabilidadetransitoria);
obtenc~ao de estrategiasde controlecorretivo/preventivo.
A di culdade basica reside na complexidade dos modelos e metodos de soluc~ao disponveis, que os
tornam incompatveis com as severas restric~oes de tempo da operac~ao em tempo real. Por exemplo, a
obtenc~ao de estrategias de controle corretivo/preventivo em geral se baseia na resoluc~ao de problemas
de otimizac~ao, ou seja, de ne-se um objetivo a ser alcancadoe busca-se a melhor soluc~ao sujeita a uma
serie de restric~oes, que s~ao relacionadas com as caractersticas da rede, as limitac~oes dos equipamentos
de controle,etc. Problemasdeotimizac~aoenvolvemmodelosdealta complexidade,associadosa metodos
de soluc~ao que demandam umesforco computacionalmuito grande [1, 4 ]. Assim, tem-se di culdades de
implementac~ao de func~oes envolvendo otimizac~ao emtempo real. Alguns trabalhospodem ser
encontra-dos na literatura que procuram evitar a metodologia complexa de otimizac~ao. Em [6 , 7] metodologias
heursticas s~ao obtidas para eliminac~ao de violac~oes. Embora o desempenho delas seja muito bom em
termos de adequac~aoas restric~oes detempo,as ac~oesde controledeterminadas visamt~ao somenteobter
algum ponto de operac~ao tal que as violac~oes sejam eliminadas, sem dar prioridade a alguns aspectos
tambem importantes e abrindo m~ao de qualquer requisito de otimalidade de operac~ao. Por exemplo,
as ac~oes de controle podem resultar em pontos de operac~ao afastados do despacho otimo previamente
determinado,oupodemexigirumnumeroaltode ajustesdasvariaveisde controle,etc. Deve-se ressaltar
queosmetodosdesenvolvidosem[6 ,7]visamclassi carconting^enciascomocorrigveisoun~aocorrigveis,
no sentido da possibilidadede seeliminaroun~ao violac~oesdecorrentes de conting^encias.
Neste trabalhobusca-se obter metodologias a sereminseridas no conjunto defunc~oesde controleque
busquem dar um tratamento adequado a situac~oes em que a operac~ao da rede n~ao seja possvel. S~ao
encontradosna literaturaalgunstrabalhosque tratamdeste tema. Em[8 ] ummetodo foipropostopara
providenciaralternativasdecontrolequeatenueminfactibilidades. Basicamente,estetratamentopodeser
de nidocomoaobtenc~aodograudeinfactibilidadedaredeeposteriorde nic~aodeestrategiasdecontrole
corretivo para retornar a regi~ao factvel (baseando-se nas sensibilidades do grau de infactibilidade em
relac~aoaoscontroles disponveis). Em[9 ]ummetodo e propostoparaencontrar ocorte decarga mnimo
pararestaurar afactibilidade. Ummetodo de otimizac~ao depontosinteriorese utilizadoparaminimizar
o corte de carga enquanto permite que outros controles atuem (tais como taps de transformadores e
nveis de tens~ao nos terminaisdos geradores). Em [10 ] um metodo e proposto para restaurar a soluc~ao
das equac~oes do uxo de carga na forma polar, utilizando-se dos componentes do autovetor a esquerda
que se relacionam apenas aos desbalancos de pot^encia. Este tratamento possibilita a identi cac~ao dos
mismatches com maiorin u^encia na restaurac~ao da factibilidade.
Este trabalho se baseia na refer^encia [8 ]. Como contribuic~oes espec cas procurou-se: (a) de nir
e analisar metodologias espec cas de utilizac~ao dos controles; e (b) acrescentar a ideia de localizac~ao
no captulo2 sera apresentadauma abordagempara aresoluc~ao do uxode carga pelometodo de
Newton utilizando-seda otimizac~ao de passo, jaque este sera umaferramenta fundamental parao
desenvolvimento detoda a estrategia proposta;
a situac~ao naqualo uxode carga n~ao temsoluc~aoe examinadaemdetalhes no captulo3;
no captulo4 umalgoritmo e apresentadopara quanti caro grau de infactibilidade da rede e
pro-videnciar oretorno aregi~ao factvelde acordo com criteriosprede nidos;
Soluc~ao do Fluxo de Carga Utilizando
Multiplicador
Otimo
O calculo de uxo de carga e uma ferramenta basica na analise de sistemas de pot^encia, tanto no
planejamento como na operac~ao de sistemas eletricos. Foram observadas di culdades na utilizac~ao dos
metodos tradicionais de resoluc~ao do problema de uxo de carga para: (a) redes mal-condicionadas {
possuemumpontodeoperac~aofactvelmasosmetodosexistentesn~aoconseguemobt^e-lo,ouoobtemcom
di culdadesnumericas;(b)redesque,devidoaoseucrescentecarregamento,tornam-semal-condicionadas;
(c)redesquen~aopossuemdefatoumpontodeoperac~aofactvel;(d)redesqueadmitemmultiplassoluc~oes.
S~aonecessariasferramentas que:
melhoremascaractersticasdeconverg^enciadaredecasoelasejamal-condicionadaehajaumponto
de operac~ao factvel;
obtenham umestado darede mesmoque n~aohajaumponto deoperac~ao factvel e quanti quema
dist^anciadoestado obtidoafronteira,identi candoo grau deinfactibilidadeeospar^ametrosque
otimizema volta dosistema paraa regi~ao factvel.
Desdeadecadapassadaestudosv^emsendofeitosvisandoquanti caradist^anciadopontodeoperac~ao
da rede ao colapso de tens~ao (fronteira ). Ha basicamente dois metodos propostos na literatura que
procuramresolver asequac~oes do uxode carga para ostiposde redes citados anteriormente { onde os
metodosclassicosde uxodecargan~aoconvergemoumesmodivergem,n~aofornecendoinformac~oesuteis
ao usuario. Uma alternativae o metodo da continuac~ao [11 , 12], emque resolve-se as equac~oes de uxo
de carga parametrizadas. Uma segunda alternativa foi originalmente proposta em [13 , 14 , 15 ], onde o
calculode uma soluc~ao para as equac~oes de uxo de carga pode ser considerado como umproblema de
programac~ao n~ao-linear. S~ao determinadas a direc~ao e a magnitude da correc~ao do estado da rede em
Captulo2. Soluc~ao do Fluxode CargaUtilizando MultiplicadorOtimo 9
Modi cando o caminho de converg^encia e/ou o passo de cada iterac~ao, pode-se conseguir uma melhor
caracterstica de converg^encia para oproblemade uxode carga.
Seguindo a ideia de se considerar o uxo de carga como um problema de programac~ao n~ao-linear,
foi proposto em [16 , 17 ] a introduc~ao de um fator multiplicador escalar otimo que otimize cada passo
de iterac~ao do uxo de carga. Esse fator ()e calculado de forma a minimizar uma func~ao quadratica
baseada nos mismatches de pot^encia e e multiplicado pelo vetor de correc~ao de estado para melhorar
o caminho de converg^encia do uxo de carga. Nesta formulac~ao as tens~oes aparecem em coordenadas
retangulares. Em[18 ,19 ]foipropostaumaadaptac~ao deste metodopara aformulac~ao do uxode carga
emqueastens~oesaparecememcoordenadaspolares,queeocasomaiscomumencontradonapratica. Tal
metodo utilizatransformac~oesde coordenadas polar-retangulare vice-versa duranteo processo iterativo,
alemde envolver algumasaproximac~oesemrelac~aoao metodooriginal. Em[20 ] foipropostoummetodo
originalmente desenvolvido para o caso em que as tens~oes s~ao dadas em coordenadas polares. A ideia
basicado metodo e similar ao metodo proposto em [17], onde e obtidoum fator de amortecimento ()
que e multiplicado pelo vetor de correc~ao de estado. A func~ao a ser minimizada no entanto e diferente
da utilizada em [17 ]. Este metodo apresenta algumas di culdades basicas com relac~ao ao calculo de :
(a) a func~ao a serminimizada assume queda quadratica da norma do vetor de mismatches de pot^encia,
o que pode n~ao ser verdadeiro e resultar em valores de n~ao utilizaveis, especialmentepara redes bem
condicionadas;(b)eledependedeumfatorde ajustequee obtidoempiricamente;(c)estefatorde ajuste
funciona bem para casos em que n~ao ha soluc~ao das equac~oes de uxo de carga, mas pode resultar
em desempenhofraco para redesbem condicionadas; e (d) seu calculo apresenta problemas na primeira
iterac~ao, sendoeventualmente necessario mudar oponto de operac~ao inicialparavalores n~ao usuais.
Aformulac~aopropostaem[21 ,22 ,23 ],equeserautilizadanestetrabalho,baseia-senaobtenc~aodeum
fatordeotimizac~aodepassosimilaraopropostoem[17 ],masoriginalmenteaplicadoao uxodecargacom
as tens~oes em coordenadas polares, n~ao exigindotransformac~oes trigonometricas ou de nic~ao de fatores
empricos. Autilizac~ao do metodo propostogarante aobtenc~ao da soluc~ao otima 1
,mesmopara oscasos
do uxodecargasemsoluc~aooucomsoluc~oesmultiplas. Outrasvantagensdessemetodos~aoumpequeno
esforcocomputacionalepoucamemoriadearmazenamentoadicionais,podendoserfacilmenteincorporado
a um programa de uxode carga (emcoordenadas polares) compoucas e simples modi cac~oes, ques~ao
apenas acrescentadas ao programa para o calculo de , sem alterar o algoritmo originalde resoluc~ao do
uxodecarga. Estaformulac~aoserautilizadaparaaobtenc~ao dasoluc~aootimaparaasequac~oesdo uxo
decarga. Partindodeumpontonointeriordaregi~aofactvel,ocaminhopercorridoporum uxodecarga
convencionalseriatotalmenteimprevisvel(pararedesmal-condicionadase/ouquen~aopossuemumponto
de operac~ao factvel),chegandoa resultados inuteisemtermos de analise. Ja utilizandoa otimizac~ao de
passo, sabe-se que, seo problema n~ao tiver soluc~ao, pode-se chegar a algum ponto na fronteira . Em
func~aodosresultadosobtidos (emespecialdosmismatches depot^encia)pode-seavaliaradist^anciaentre
um ponto qualquer da fronteira e S (demanda de pot^encia da rede emcerta situac~ao e que de neum
ponto naregi~ao infactvel),permitindoent~ao a desejada quanti cac~ao do grau de infactibilidade.
Captulo2. Soluc~ao do Fluxode CargaUtilizando MultiplicadorOtimo 10
2.1 Descric~ao do Metodo de Newton com Otimizac~ao de Passo
Asinjec~oes nodaislquidasde pot^encia ativa e reativa comastens~oesemcoordenadas polares s~ao:
P k =V k n X m=1 V m (G km cos km +B km sen km ) (2.1) Q k =V k n X m=1 V m (G km sen km B km cos km )
ondeneonumerodebarrasdarede,(V
k 6 k )eatens~aodabarrak, km = k m e(G km +jB km )=Y km
e umelemento da matriz admit^ancia nodal. As equac~oes basicas do uxo de carga para uma rede de n
barraspodemser colocadas na forma matricial:
s(x) = s esp s(x) (2.2) = " P(x) Q(x) # = " P esp P(x) Q esp Q(x) # =0
onde s tem dimens~ao (2n 1) e representa o vetor dos mismatches de pot^encia, constitudo pelas
partes ativa P (n1) e reativa Q(n1). Osmismatches s~aodados peladiferenca entre asinjec~oes
especi cadas para as barras e as injec~oes calculadas atraves das equac~oes (2.1). O vetor de estado x
(2n1)edadopor: x= h 1 2 ::: n V 1 V 2 ::: V n i T (2.3)
Considera-se o vetor x como tendo dimens~ao (2n1) para tornar mais simples a apresentac~ao dos
aspectosgeraisdo metodo. Evidentemente,algunselementosdex n~ao s~aoincognitase constituemdados
iniciaisdo problema. Porexemplo, a barra de refer^encia (tipo slack) tem V
k e
k
previamentede nidos.
Para barrasde gerac~ao (tipo PV) V
k
tambem e previamente de nido. Essas particularidades alterama
forma dasequac~oes de uxo de carga, porem n~ao s~ao relevantes para o entendimento do princpiogeral
do metodo descrito. As mesmas considerac~oes s~ao validas para os vetores das pot^encias. A expans~ao
em seriede Taylordas equac~oes do uxo de cargaem tornode um ponto de operac~aox considerando os
termos de ordemigualou inferiora2,resulta em:
s(x+x)=s(x) Jx+T(x)=0 (2.4)
ondeJ ea matrizJacobiana eovetor T(x)(2n1) correspondeaostermos desegunda ordem. Existem
duas entradasem T(x) para cadabarra do sistema; umacorrespondente ao mismatch de pot^encia ativa
e a outracorrespondenteao mismatch depot^encia reativa. Destaforma, tem-se:
h
P Q
i
Captulo2. Soluc~ao do Fluxode CargaUtilizando MultiplicadorOtimo 11
Os elementos parauma barrais~ao:
T P i = 1 2 2 4 X j2K i j @ @ j ! + X j2K i V j @ @V j ! 3 5 2 P i (2.5) T Q i = 1 2 2 4 X j2Ki j @ @ j ! + X j2Ki V j @ @V j ! 3 5 2 Q i ondeo conjunto K i
e formadoportodasasbarrasqueest~ao conectadas aelainclusiveapropriabarra i.
No casoemqueabarraieumabarradegerac~ao (PV),T Q
i
=0. Casoelasejaslack(V),T P i =T Q i =0.
Em cada iterac~ao o vetor de correc~ao de estado e multiplicado porum fator multiplicador escalar
otimo que otimizacada passo de iterac~ao. Esse fator () e calculado de forma a minimizar umafunc~ao
quadratica baseada nosmismatches depot^encia quee dadapor:
F(x )= 1 2 [s(x )] T [s(x )] (2.6) ondex =x 1 +x 1 . De(2.4) e (2.5): s(x+x) = s esp s(x) Jx+ 2 T(x) = a+b+ 2 c=0 (2.7)
Note quea = beo vetor de mismatches depot^encia do metodo convencional ec e dadopor:
c=T(x) (2.8)
Osvetoresaebs~aode nidosdamesmaformacomoem[17 ]. Substituindo(2.7)em(2.6)eaplicandoa
condic~aodeotimalidade(mnimolocal)@F/@=0,obtem-seovalorqueedadopelaseguinteequac~ao
cubicaem : g 0 +g 1 +g 2 2 +g 3 3 =0 (2.9) ondeoscoe cientes g i s~ao: g 0 = 2n X i=1 (a i b i ) g 1 = 2n X i=1 (b 2 i +2a i c i ) g 2 = 3 2n X i=1 (b i c i ) g 3 = 2 2n X i=1 (c 2 i )
No caso em que o sistema e bem-condicionado, assume valores proximos de 1 (e a performance
do metodo aproxima-se do metodo convencional). Para sistemas sem um ponto de operac~ao factvel
assume valores muito baixos (teoricamente tende a zero), indicando que a soluc~ao atual n~ao pode ser
Captulo2. Soluc~ao do Fluxode CargaUtilizando MultiplicadorOtimo 12
(1) Inicializarcontador de iterac~oes = 0. Escolher estimativainicialde estado x
;
(2) Calcular mismatches depot^encia s(x
) e vetoresa e b;
(3) Calcular correc~ao no estado x =(J ) 1 s(x ); (4) Calcular ovetor c;
(5) Calcular coe cientesda equac~ao cubica g
0 ,g 1 ,g 2 e g 3 ; (6) Calcular fator;
(7) Obter novo estado x +1 =x +x ;
(8) Incrementarcontador de iterac~oes = +1 e voltarao passo (2).
A inserc~ao dospassos (4), (5) e (6) e as modi cac~oes dos passos (2)e (7)representam um esforco
com-putacionaladicionalmuito pequenoao problema. Vale salientarque aintroduc~aodo fatorde otimizac~ao
de passo n~ao altera osprocedimentos convencionais de considerac~ao de controles e limitesno problema
de uxo de carga, taiscomo controle de tap de transformadores e limitesde gerac~ao de pot^encia reativa
em geradores.
2.2 Considerac~oes sobre o Metodo Apresentado
A gura2.1mostraaevoluc~aotpicanoespacodepar^ametros(carga)doprocessoiterativodecalculo
de uxo de carga para um caso sem soluc~ao. O ponto S, que representa basicamente a demanda de
pot^enciadarede,estaforadaregi~aodefactibilidade. Partindo-sedeumestado(tens~oes)inicialassociado
ao ponto S 0
, oprocesso de calculode uxo decarga evoluiate a fronteira, situac~ao emque setorna
iguala zero (ponto S 3 ). S 0 S 1 S 2 S 3 S
Captulo2. Soluc~ao do Fluxode CargaUtilizando MultiplicadorOtimo 13
Pode-se concluirque a utilizac~ao de otimizac~ao de passo permite a obtenc~ao de soluc~oes para redes
mal-condicionadas,mesmoquandoometodoconvencionalfalha. Cason~aohajasoluc~aonaregi~aofactvel,
o metodo apresentado(e quesera adotado neste trabalho) fornece resultados importantes paraa analise
dasituac~ao darede,fornecendoumpontodeoperac~aoomaisproximopossveldaregi~aodefactibilidade.
Isso permitea de nic~ao de estrategias de retorno da rede a regi~ao de factibilidade atraves de analise de
sensibilidadee rejeic~ao de carga, porexemplo. Ocitado metodo mostrou-se preciso,robustoe n~aoexige
umesforcocomputacionaladicionalsigni cativocomparando-seao metodode Newtonconvencional. Ele
podeser utilizadocomo umaferramenta util de suporte aosestudosde instabilidadede tens~ao ecolapso
Determinac~ao do Grau de Infactibilidade
da Operac~ao de Redes Eletricas
Como foivisto nocaptulo2, ometodo de Newton comotimizac~ao de passo permiteobter asoluc~ao
otima para as equac~oes de uxo de carga para situac~oes em que o ponto de operac~ao pertence a regi~ao
infactvel. Apartirdosresultadosobtidos(principalmentedosmismatchesde pot^encianasoluc~aootima)
pode-sequanti carograudeinfactibilidade. Considerarqueascondic~oesdeoperac~aodeumaredeeletrica
s~ao representadas pelo ponto S no espaco de par^ametros, como mostra a gura 3.1. De acordo com a
gura os pontos S 0 , S 1 , S 2 e S 3
correspondem ao caminho iterativo do metodo de Newton otimizado,
sendo S 3
a melhorsoluc~ao possvel parao problema. A menordist^anciaentre o ponto S e a fronteira
e dadapeladist^ancia(S S m
).
.
.
.
.
. .
Regi~ao Factvel
Regi~aoInfactvel S 0 S 1 S 2 S 3 S m S D
Figura3.1: Ilustrac~ao de umasituac~ao de infactibilidade.
de nirasac~oesdecontrolenecessariasparaquearedepercorraocaminhoS !S m
,quee ocaminhoque
intuitivamenterequerasac~oesdecontrolemaisbrandas. Nesteultimo caso,estrategiasdecontroledevem
serobtidascoma nalidadedecolocarosistemade voltaaumacondic~aodefactibilidade. Geralmenteos
controles disponveiss~ao fontesde reativos(em geral,bancos de capacitores),taps de transformadorese,
emsituac~oesdeemerg^encia,corte decarga. Basicamenteoscontrolesagemdeduasmaneiras: deslocando
opontoSnadirec~aodaregi~aofactvel{atravesdecortedecarga{ouaumentandoaregi~aodefactibilidade
{ atraves do chaveamento de bancos de capacitores ou por mudanca dos taps de transformadores. A
gura 3.2 mostra o efeito das ac~oes de controle geralmente utilizadas. O novo ponto de operac~ao S'
resulta do corte de carga e a nova fronteira ' resulta do chaveamento de bancos de capacitores ou
mudanca dos taps de transformadores. Obviamente, uma vez restaurada a factibilidade outras medidas
devem ser tomadas de modo a levar em conta os custos operacionais (como redespacho de gerac~ao) e
violac~oesde algunslimites(como ramossobrecarregados).
Neste captulo o item (a) sera abordado. Em [5 ] e proposto um metodo para a obtenc~ao de S m
que consiste em um processo iterativo baseado na analise do autovetor esquerdo da matriz Jacobiana.
Este metodo sera apresentadonestecaptulo. Conhecendo ovalorde S m
,pode-se determinara dist^ancia
(S S m
)e, ent~ao,o grau de infactibilidade (GIou D).
S
S'
'
Figura 3.2: Efeito dasac~oesde controle.
3.1 Fluxo de Carga com Ponto de Operac~ao Infactvel
Atualmente, devido ao crescimento acentuado da demanda de energia eletrica, varios estudos v^em
focalizando o problemaem que as equac~oes do uxo de carga n~ao t^em soluc~ao real. Este problemasera
apresentado atraves de um exemplo simples de duas barras [5 ]. Considere um sistema com uma unica
linhade transmiss~aoconectando duasbarras, conformemostra a gura3.3.
A barra 1 e adotada como refer^encia e possui tens~ao constante de (1
6
0 Æ
)pu. A barra 2 e de carga
(1) (2) V 1 6 1 V 2 6 2 P 2 +jQ 2 P 1 +jQ 1 G
Figura 3.3: Sistemaexemplode duasbarras.
nem carregamento shunt, e possui reat^ancia iguala 0,1 pu (nabase de 100 MVA). Asequac~oes de uxo
de carga paraeste sistema, comastens~oesemcoordenadas polares,s~ao:
P 2 = V 2 V 1 (G 21 cos 21 +B 21 sen 21 )+V 2 2 G 22 (3.1) Q 2 = V 2 V 1 (G 21 sen 21 B 21 cos 21 ) V 2 2 B 22
Parao exemploemquest~ao temosque:
r 12 =0 ; V 1 =1;0pu ; 1 =0 Æ Logo, P 2 = V 2 B 21 sen 2 (3.2) Q 2 = V 2 B 21 cos 2 V 2 2 B 22 (3.3) onde(V 2 6 2
)eo fasor de tens~aona barra 2,P
2 +jQ
2
a demandana barrade carga eB
12
=10 = B
22
oselementosda matriz admit^ancia nodal. A matrizJacobiana de (3.2) e:
J = 2 4 @P2 @ 2 @P2 @V 2 @Q2 @2 @Q2 @V2 3 5 (3.4)
e seus elementos s~ao iguais a:
@P 2 @ 2 = V 2 B 21 cos 2 @P 2 @V 2 = B 21 sen 2 (3.5) @Q 2 @ 2 = V 2 B 21 sen 2 @Q 2 @V 2 = B 21 cos 2 2V 2 B 22
A gura3.4mostraasregi~oesnoespacodepar^ametrosdecargaparaosquais,dependendodosvalores
de P
2 e Q
2
,(3.2) pode tersoluc~aoou n~ao [24 ]. Ospontosa eb correspondema demandasparaasquais
mostrado na gura 1.1, estas duas regi~oes s~ao separadas pela fronteira , quee o lugar geometrico em
queasequac~oesdo uxodecargat^emumaunica soluc~ao. ParaoconjuntodepontossobreoJacobiano
de (3.2) e singular. Destemodo, o ponto acom uma demanda S
2
=(200+j100) MVA esta no interior
da regi~ao factvel;o ponto b comuma demandaS
2
=(300+j150)MVA esta proximo afronteiramas
aindae factvel; enquanto oponto c,com umademandaS
2 =(400+j200)MVA,e infactvel.
.
.
.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
1
2
3
4
5
6
Regi~aoFactvel
Regi~ao Infactvel
P 2 (pu) Q 2 (pu) a b c
Figura 3.4: Regi~oesfactvel e infactvelno espaco depar^ametros.
Para este exemplo simples, e possvel obter analiticamente a equac~ao que de ne a fronteira pois,
sabe-seque odeterminantede J,em ,ezero. Ent~ao, tem-se:
det(J) = [(V 2 B 21 cos 2 )( B 21 cos 2 2V 2 B 22 ) (B 21 sen 2 )(V 2 B 21 sen 2 )]=0 = V 2 B 2 21 cos 2 2 2V 2 2 B 22 B 21 cos 2 V 2 B 2 21 sen 2 2 =0 Como sen 2 2 + cos 2 2 =1,tem-se: det (J) = V 2 B 2 21 2V 2 2 B 22 B 21 cos 2 =0 2V 2 B 22 cos 2 = B 21 V 2 cos 2 = B 21 2B 22 =0; 5 (3.6)
Elevandoambososmembros ao quadrado,
V 2 2 cos 2 2 =V 2 2 V 2 2 sen 2 2 =0; 25 ! V 2 2 sen 2 2 =V 2 2 0; 25 (3.7)
Elevandoa equac~ao (3.2) ao quadradoe utilizando(3.7), tem-se:
P 2 =V 2 B 2 sen 2 2 =B 2 (V 2 0;25) (3.8)
Das equac~oes (3.2) e(3.5), tem-se: Q 2 = B 21 2 V 2 2 B 22 ! V 2 2 = B 21 2B 22 Q 2 B 22 (3.9)
Substituindo(3.9) em(3.8), chega-se a express~ao que de neafronteira:
P 2 2 = B 3 21 2B 22 B 2 21 B 22 Q 2 B 2 21 4 ! (3.10)
Comojafoimencionadoanteriormente,variosestudost^emsidopropostosparaidenti carumamedida
quequanti queadist^anciadeumasoluc~aodo uxodecarga(i.e.,umpontonaregi~aofactvel)afronteira
[27 ]. Uma medida que sera particularmente util neste trabalho, para o desenvolvimento de medidas
similaresemcasosondeasequac~oesdo uxodecargan~aot^emsoluc~ao(i.e.,umpontonaregi~aoinfactvel),
e adist^ancia(norma Euclideana) entrealgumpontoinfactveleo ponto maisproximode de nidosno
espacodepar^ametros[25 ,26 ]. Em[27 ]ummetodoiterativoeusadoparacalcularopontomaisproximode
apartirdopontofactvel. Logo,adist^anciaentreelespodesercalculada eutilizadacomoumamedida
de segurancado sistema. Ometodo propostoneste trabalhoparaquanti carograu de infactibilidadede
umpontonaregi~aoinfactveldoespacodepar^ametros,tambemutiliza-sedadist^anciaentreumpontode
operac~aoinfactveleopontomaisproximodafronteira. Entretanto,oproblemaediferentedoprimeiro
quando existe soluc~ao para as equac~oes do uxo de carga. As diferencas aparecem primeiramente na
de nic~aode umafunc~ao quesebaseiana metadedoquadradodasequac~oesdosmismatches depot^encia:
F(x)= 1 2 [f(x) S] T [f(x) S] (3.11)
DestemodoF(x)emaiorouigualazeroparatodox,esomenteigualazeronasoluc~aodo uxodecarga.
Parao sistemade duasbarrasa equac~ao ca:
F(x)= 1 2 [(V 2 B 21 sen 2 P 2 ) 2 +( V 2 B 21 cos 2 V 2 2 B 22 Q 2 ) 2 ] (3.12)
Para os casos onde n~ao existe soluc~ao, de ne-se x m
como sendo o valor de x correspondente ao
mnimo da func~ao custo F(x). Desta maneira, x m
pode ser encarado como a melhor soluc~ao possvel
paraasequac~oesdo uxode carga. Oobjetivodoalgoritmoapresentadoneste captuloedeterminarx m . De ne-se S m =f(x m
) como sendo o ponto de operac~ao no espaco de par^ametros correspondentea x m . Conhecendo-se x m e S m
,pode-se de niruma medida que quanti que a infactibilidadeda soluc~ao. Esta
medida pode serdesenvolvida apartir dasseguintes observac~oes arespeito de x m
[8 ]:
1. O Jacobiano das equac~oes do uxo de carga em x m
, J(x m
), e singular. Isso pode ser veri cado
recorrendoascondic~oesnecessariasde Karush-Kuhn-Tuckerparax m
serumpontodemnimolocal
de (3.11): rF(x m )=[f(x m ) S] T J(x m )=0 (3.13) m m
2. O ponto mais proximo entre a fronteira (utilizandoumanorma Euclideana)e S e S m =f(x m ). OfatodequeS m
e umelemento deprovemdaprimeiraobservac~ao. S m
eo ponto maisproximo
deS,segundoade nic~aodex m
comopontoqueminimiza(3.11),queequivaleaminimizaranorma
Euclideana.
3. A direc~ao\otima" paraomovimento no espaco depar^ametros pararetornar afactibilidadee dada
por[S S m
]. Nota-se,intuitivamente,quenopontox m
,[S S m
]equivaleaosmismatchesdepot^encia
ativaereativaparacadabarra. Pode-sepercebertambem,queparatrazerosistemadevoltaaregi~ao
factvelbasta mudarasinjec~oesdepot^encianasbarrase,emconsequ^enciadesseprocedimento,
faz-se com que os mismatches nas respectivas barras tornem-se iguais a zero. Observando a equac~ao
(3.13), nota-seque[S S m ]eo autovetor esquerdo,w m ,do autovalorzero deJ(x m ). Em[26 , 28 ]e mostrado quew m
e paraleloao vetor normalaemS m
. Comoosentidodovetor normale deS m
para S, adirec~ao \otima"para retornara e dadapeladirec~aooposta anormal, quee [S S m
].
Adist^ancia entrea melhorsoluc~ao possvelparaas equac~oes do uxo decarga, S m ,eS,e dadapor: D= q [S m S] T [S m S] (3.14)
e pode ent~ao ser usada como uma medida do grau de infactibilidade de uma soluc~ao do uxo de carga,
sendo a direc~ao otima de retorno a factibilidade dada por [S S m
]. Para o exemplo da gura 3.3,
considerando que no ponto c a demanda de pot^encia e de 400+j200 MVA, a melhor soluc~ao possvel
para o estado nal da rede (de acordo com [5],pois neste trabalho x m
so sera determinadopormeio de
um algoritmo apresentado mais adiante) e x m = V 2 = (0; 6100 6 34;95 Æ
) pu. Com esse valor, pode-se
calcularanaliticamenteo valor de f(x m ). De (3.2) tem-se: P 2 = 0; 610010sen ( 34; 95 Æ )= 3; 495pu Q 2 = 0; 610010cos( 34; 95 Æ ) (0; 6100) 2 ( 10)= 1; 279pu Logo, f(x m ) = S m
= ( 3; 495 j1;279) pu. A gura 3.5 ilustra essa situac~ao, onde os mismatches de
pot^encia nabarra2s~aoP
2
=50; 5MWeQ
2
=72; 1MVAr. Ovalordadist^anciaempu(basede 100
(1) (2) (1; 0 6 0 Æ ) (0;610 6 34;95 Æ ) 400+j200MVA 349,5MW 127,9MVAr ! !
Figura3.5: Melhorsoluc~aopossvelparaP
2 =400 MW, Q 2 =200 MVAr. MVA)da equac~ao (3.14) e: D= v u u t h 0; 505 0; 721 i " 0;505 # = p 0; 7749 ! D=0;8803
Destemodo, avariac~ao mnimade carga paraconseguirfactibilidadeseria diminuir ademandaativa
de 50;5 MWea demandareativa de 72; 1MVAr. Recorrendo asequac~oes (3.4) e(3.5), calcula-se ovalor
do Jacobiano nesseponto (carga de 349;5 MW,127;9MVAr):
J(x m )= " 5; 00000 5; 72861 3;49445 4;00347 #
O determinanteda matriz Jacobianateoricamenteserianulomas, coma precis~ao adotada,sera iguala:
det[J(x m
)]= 0;00099
OautovetoresquerdoassociadoaoautovalorzerodeJ(x m )ew m =[0; 572 0; 820],[5]. Notequew m J(x m ) = 0e quew m
e paraleloao vetor de mismatches.
Comparandoometodopropostonestetrabalhoparaquanti carainfactibilidadede umcasodo uxo
decargacomopiorcasodeaumentodecargade[27 ],quequanti caasegurancadeumcasofactvel,varias
semelhancase diferencaspodem serobservadas. Ambososmetodos seutilizamda normaEuclideanaou
dadist^ancianoespacodepar^ametrosentreademandaatualSeopontomaisproximodafronteiracomo
uma medidadamargem deseguranca dosistema. Em[27 ] essa medidapodeser usadaparaindicarqual
a dist^anciado sistemaaocolapsodetens~ao,oquesigni caumabifurcac~aodotipono-sela(saddle-node),
tipicamentecom umvalor grandeindicando umponto de operac~ao dosistema maisseguro. No entanto,
a grandezapropostaaquiindicaquanto ademandaatualesta longeda fronteiradefactibilidadecomum
valor grande indicando umasituac~ao mais severa. Destemodo, osdois metodos podem ser vistos como
complementares. Seademandadosistemaestadentrodaregi~ao factvel, ent~ao[27 ]poderiaserutilizado;
se um estudo de conting^encia ou planejamento resultar em um ponto fora da regi~ao factvel, ent~ao a
medida apresentada aquipoderiaser usada. A menor dist^ancia no espaco de par^ametros para retornar
a factibilidade e D. Geralmente o mais interessante e realizar esse retorno a regi~ao factvel, deixando
a margem de seguranca para segundo plano. A determinac~ao da melhor soluc~ao possvel para o caso
infactveldo uxode carga, x m
,n~aoe trivial. Porem, uma vez que x m
tenhasido determinado, oponto
mais proximo da fronteira e simplesmente S m
= f(x m
). Um algoritmo e ciente paraa determinac~ao
de x m
sera apresentadoa seguir.
3.2 Calculo da Melhor Soluc~ao para o Fluxo de Carga Infactvel
Oproblemade determinara melhorsoluc~aopossvelparaumcaso infactveldo uxode cargae
dife-rentedasoluc~aodeum uxodecargaconvencionalemvariosaspectos. Parao uxodecargaconvencional
ametaeobterumvetordetens~oesx talqueosbalancosdepot^enciaemtodasasbarrassejamsatisfeitos
(leidas correntesde Kirchho ):
f(x) S=0 (3.15)
proximadasuasoluc~ao. Porem,sabe-sequeoproblemadainfactibilidadedo uxodecargaocorrequando
(3.15) n~ao tem soluc~ao. Ent~ao, o problema pode ser reformulado como um problema de minimizac~ao
irrestrita dafunc~ao quadratica de nidaem(3.11):
minF(x)= 1 2 [f(x) S] T [f(x) S] (3.16)
Para esse problema de minimizac~ao existem numerosas tecnicas de soluc~ao taiscomo o metodo do
gra-dientede maior descida e o metodo dasdirec~oesconjugadas [35 ]. No entanto essesmetodos apresentam
converg^encia lentaparaafunc~aodoproblemado uxodecarga. Ummetodo iterativoserautilizadopara
resolver (3.15) baseado no algoritmo de uxo de carga N-R, com a tens~ao das barras em coordenadas
polares,e utilizando-sedo multiplicadorotimo descritoanteriormente.
O algoritmo de obtenc~ao da melhor soluc~ao para o uxo de carga infactvel pode ser desenvolvido
partindo-sedeobservac~oesrelativasaconverg^enciadometodoN-Rquandoomultiplicadorotimoeusado:
1. Se (3.15) n~ao tem soluc~ao real, ent~ao o uxo de carga converge em direc~ao a um ponto x
onde
o Jacobiano de f(x
) e singular. Isso pode ser visto, lembrando-se que no algoritmo do metodo
Newton-Raphson convencional o vetor de correc~ao de estado (x k
), em cadaiterac~ao, e dadopor
x k = J(x k ) 1 [f(x k
) S]; ent~ao, o multiplicador otimo e escolhido de modo a minimizar a
func~aocustona direc~ao x k
. Aunica maneira deafunc~aocuston~aopoderserminimizadaseriase
x k
apontasse no plano tangente de F(x) =constante ou,de maneira equivalente, seo gradiente
de F(x k ), rF(x k )=[f(x k ) S] T J(x k ) (3.17) fosseperpendicularax k
. Istososeriaverdadeiroseoprodutointernoentreelesfosseigualazero.
Porem, como J(x k ) n~aoe singular, rF(x k )x k kx k k = [f(x k ) S] T J(x k )J(x k ) 1 [f(x k ) S] kx k k (3.18) = [f(x k ) S] T [f(x k ) S] kx k k 6=0 pois,[f(x k
) S]6=0(queporde nic~aosoeverdadeironasoluc~aodo uxodecarga). QuandoJ(x k
)
aproxima-se da singularidade,pode-se veri car que (3.18) aproxima-se de zero e, como o ponto de
singularidadedo Jacobianoeaproximado,kx k
k tendea 1.
2. Da primeira observac~ao segue que f(x
) esta sobre a fronteira no espaco de par^ametros. Uma
vez que o mismatch do uxo de carga e [f(x) S], emx
o valor de f(x
) e justamenteS mais o
mismatch nal. Porem, n~aoenecessariamenteverdadeiroque x =x m ;emgeral, f(x ) 6=S m . Em
(2.7) edeterminado paraminimizarF(x) somenteno espacounidimensionaldadopor[x+x].
3. O autovetor esquerdo w i
associado com o autovalor zero de J(x
) e perpendicular a em f(x
)
[26 ].
Estasobservac~oes podem ser ilustradasutilizando-se do sistema de duas barrasanterior para o caso
em que P
2
= 400 MW e Q
2
= 200 MVAr. Iniciando da condic~ao de at start (V
2 = 1;0 pu, 2 = 0 Æ ),
a tabela 3.1 mostra a converg^encia do uxo de carga com otimizac~ao de passo. Nota-se que o processo
iterativo converge para um ponto de singularidade do Jacobiano na fronteira (veri cavel com (3.4)),
enquanto o multiplicador otimo aproxima-se de zero. O valor em pu de f(x
) = (3; 4895 + j1; 2824) e
obtidodosomatorio deS =(4; 00 +j2; 00) comomismatch nal. Porem, ovalor def(x
)n~aoeigualao
de S m
(mostradona gura3.5)comosendoiguala( 3; 4950 j1; 2790) en~aoeunico, sendodependente
do valor inicialarbitradoparaa barra2.
Iterac~ao Tens~ao na barra2 (pu) Mismatch da barra2 Multiplicador
V 2 2 MW MVAr Otimo 0 1; 0000 0;00 Æ 400; 00 200; 00 1;1512 1 0; 7697 26; 38 Æ 57; 92 102; 95 0;4762 2 0; 6216 34; 15 Æ 51; 09 71; 95 0;0038 3 0; 6099 34; 90 Æ 51; 05 71; 76 0;0000
Tabela 3.1: Converg^encia do uxode cargapara P
2
=400 MW, Q
2
=200 MVAr.
Se a superfcie fosse plana, o valor desconhecido de S m
poderiaser determinado diretamente dos
valores conhecidos de S e f(x
), notando que a direc~ao do autovetor esquerdo de J(x ), w, e paralelo a w m . O valor de (S { S m
) e, ent~ao, a projec~ao do vetor (f(x
) { S) sobre a direc~ao normalizada do
autovetoresquerdo w m , ou: S m =S+[(f(x ) S) T w]w (3.19)
Para umsistema real, onde n~ao e plana, a equac~ao (3.19) e, portanto, somente uma aproximac~ao. O
quanto elaseaproximadoverdadeirovalorde S m
dependedacurvaturade. Asobservac~oesanteriores
sugerem o seguinte algoritmo iterativo para encontrar osvaloresde x m e,consequentemente, S m : (1) AjustarS 0 =S ei= 0;
(2) Resolveroproblemade uxodecargausandoometododeNewtoncomotimizac~aodepasso(FCOP).
Considerarque a soluc~ao sejax i
. Se o maiorcomponentedo mismatch kf(x i ) S i k 1 for menor
do queuma toler^ancia ,ent~ao pare, sendo S m
=f(x i
). Casocontrario, prosseguir;
(3) Inicializara variavelque guardao valor domaior mismatch(mismax = kf(x i ) S i k 1 );
(4) Inicializara variavel =1;0;
(5) Calcular oautovetor esquerdonormalizado w i
associado como autovalor zerode J(x i
);
(7) Executar o FCOP.Uma dasseguintes situac~oespodem ocorrer:
(7.a) se o processo iterativo convergir (S i+1
na regi~ao factvel), atualizar = 0;9 e corrigir a
demandadepot^encia,fazendoS i+1 =S i+1 +(1;0 ) w i ,onde =[(f(x i ) S i ) T w i ]. Repetiro passo (7);
(7.b) seoprocessoiterativon~aoconvergir(S i+1
naregi~aoinfactvel)ekf(x i+1 ) S i+1 k 1 formenor
doqueumatoler^ancia,calcularoautovetoresquerdonormalizadow i . Sekf(x i+1 ) S i+1 k 1
for menor do que mismax, atualizar mismax = kf(x i
) S i
k
1
e ir para o passo (9). Caso
contrario,prosseguir.
(8) Fazer S i+1 = S i + w i , onde = [(f(x i ) S i ) T w i
]. Executar o FCOP e considerar
S m
=f(x i+1
);
(9) Fazer i=i+1 eretornar ao passo (2).
Comrelac~ao ao algoritmoapresentadoseguemalgunscomentarios gerais.
{ A toler^ancia pode ser maiorque a toler^ancia de converg^encia do uxode carga ("), por exemplo
=10".
{ A atualizac~ao e veri cac~ao da variavel mismax teve porobjetivo evitar que seja considerada uma
soluc~ao depior qualidadeque asoluc~ao daiterac~ao anterior.
{ O algoritmo faz com que S
se aproxime de S m
pela regi~ao infactvel. Sempre que a atualizac~ao
de S resulteemconverg^encia, volta-se umpoucoateque aregi~aode infactibilidadesejanovamente
atingida. Porisso e atualizadono passo(7.a).
{ O autovetor esquerdo normalizado w i
e obtido utilizando-se do metodo da pot^encia inversa que
sera apresentado aseguir.
Amotivac~ao paraestealgoritmoe derivadadometodoapresentadoem[27 ],ondeumamedidasimilar
paraoproblemade uxodecargafactvelfoideterminada. Opasso(2)doalgoritmocorrespondeasoluc~ao
do uxodecarga. Seosistemapossuirumpontodeoperac~aofactvelatoler^anciadeconverg^enciado uxo
decargaseriaimediatamentesatisfeitaeoalgoritmoterminariacomumesforcocomputacionalequivalente
a uma unica soluc~ao do uxo de carga. Para os casos infactveis o algoritmo funciona iterativamente,
obtendo de forma sequencial as melhores aproximac~oes para o ponto mais proximo S m
em com a
nalidade de resolver o uxo de carga. Finalmente, um ponto S i
que satisfaz uma certa toler^ancia de
converg^enciaeencontrado,poisestaproximoobastantedafronteira. Oautovetoresquerdoassociadoao
autovalor zerodeJ(x i
)podeser calculadoutilizando-sedometododapot^enciainversa. Acomplexidade
computacional e equivalente a fatorac~ao, uma unica vez, da matriz Jacobiana e algumas substituic~oes
forward/backward. A di culdade de usar o metodo da pot^encia inversa com J(x i
) singular pode ser
superada adicionando-se um valor constante pequeno aos elementos da diagonal de J(x i
); com estas
(1) Calcular J(x i ) 0 =J(x i
)+rI,onder e umnumeropequeno,I e a matriz identidade;
(2) Inicializari=1;
(3) Escolher estimativa inicialparao autovetor esquerdo w i ; (4) Calcular u i =[J(x i ) 0 ] 1 w i ; (5) Atualizarw i+1 =u i /ku i k 2 ; (6) Se kw i+1 w i k 2
<, parar. Casocontrario,siga;
(7) Incrementarcontador de iterac~oesi=i+1 e voltarao passo (4).
As seguintesobservac~oespodemserfeitas:
OautovetoraesquerdadeJ(x i
)eigualaoautovetor adireitade[J(x i
)] T
paraomesmoautovalor
.
O valor de ku i
k deve ser grande. Se for muito pequenoinicialmente, assumirque a escolhainicial
de w i
foiruim.
Utilizando-se da demandade nidapara o ponto c da gura3.4 (rede de duasbarras e umramo, da
gura3.5), segueodesenvolvimento completoque permiteencontrar ovalor dex m e,consequentemente, S m . Iterac~ao 0: (1) S 0 =(4,0 +j2,0) pu(nabase de 100 MVA)e i=0;
(2) Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 0 = " 0;5105 0;7176 #
(melhorsoluc~ao)
Comokf(x 0 ) S 0 k 1 >,prosseguir; (3) mismax =kf(x 0 ) S 0 k 1 =0;7176; (4) =1,0;
(5) Autovetoresquerdo normalizado obtidopelometodo dapot^encia inversa:
w 0 = " 0;5724 #
(6) =[S 0 w 0 ]=0; 8807. Correc~ao da demanda! S 1 =S 0 w 0 : S 1 = " 3; 4959 1; 2778 #
(7) Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 1 = " 2; 2810 6 6; 0510 6 # (convergiu) Comokf(x 1 ) S 1 k 1
<",oprocessoiterativoconvergiu(S 1
naregi~aofactvel). Atualizar = 0;9
e corrigira demandade pot^encia ! S 1 =S 1 +(1; 0 ) w 0 : S 1 = " 3; 5463 1; 3501 #
Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 1 = " 0;0504 0;0722 #
(melhorsoluc~ao)
Como kf(x 1 ) S 1 k 1
> ,prosseguir. Porem, deve-se veri car se a soluc~ao encontrada e melhor
ou piorquea soluc~ao anterior )kf(x 1
) S 1
k
1
<mismax )0; 0722 <0; 7176. Atualizarmismax
e irpara opasso (9) )mismax =kf(x 1 ) S 1 k 1 =0;0722; (9) i=1 e retornar aopasso (4); Iterac~ao 1: (4) =1,0;
(5) Autovetoresquerdo normalizado obtidopelometodo dapot^encia inversa:
w 1 = " 0; 5731 0; 8195 # (6) =[S 1 w 1 ]= 0; 0881. Correc~ao da demanda! S 2 =S 1 w 1 : S 2 = " 3; 4959 1; 2779 #
(7) Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 2 = " 7; 0910 5 5 # (convergiu)
Comokf(x 2 ) S 2 k 1
<",oprocessoiterativoconvergiu(S 2
naregi~aofactvel). Atualizar = 0;9
e corrigira demandade pot^encia ! S 2 =S 2 +(1; 0 ) w 1 : S 2 = " 3; 5009 1; 2851 #
Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 2 = " 0;0049 0;0073 #
(melhorsoluc~ao)
Como kf(x 2 ) S 2 k 1
> ,prosseguir. Porem, deve-se veri car se a soluc~ao encontrada e melhor
ou piorquea soluc~ao anterior )kf(x 2
) S 2
k
1
<mismax )0; 0073 <0; 0722. Atualizarmismax
e irpara opasso (9) )mismax =kf(x 2 ) S 2 k 1 =0;0073; (9) i=2 e retornar aopasso (4); Iterac~ao 2: (4) =1,0;
(5) Autovetoresquerdo normalizado obtidopelometodo dapot^encia inversa:
w 2 = " 0;5730 0;8195 # (6) =[S 2 w 2 ]=0; 0089. Correc~ao da demanda! S 3 =S 2 w 2 : S 3 = " 3; 4959 1; 2779 #
(7) Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 3 = " 6; 9710 5 4; 8710 5 # (convergiu) Comokf(x 3 ) S 3 k 1
<",oprocessoiterativoconvergiu(S 3
naregi~aofactvel). Atualizar = 0;9
e corrigira demandade pot^encia ! S 3 =S 3 +(1; 0 ) w 2 : S 3 = " 3; 4964 1; 2786 #
Executar o FCOP(com "=10 4 e =10 3 ): S 3 = " 0;0004 #
Como" <kf(x 3 ) S 3 k 1
< , calcularo autovetor esquerdo normalizado.
w 2 = " 0;5730 0;8195 # (8) Fazer S 3 =S 2 + w 2 : S 3 = " 3; 5009 1; 2851 # +0; 90;0089 " 0;5730 0;8195 # = " 3; 4963 1; 2785 #
Executar o FCOPe considerarS m =f(x 3 ). S m = " 3; 4959 1; 2779 #
Logo, a melhor soluc~aopossvel para asequac~oes do uxo de cargae:
x m =(0; 6101 6 34; 96 Æ )pu ; S m = " 349; 59 127; 79 # MVA
O grau de infactibilidadepara estasituac~aoe calculado utilizandoa equac~ao (3.14):
q
Determinac~ao das Ac~oes de Controle
Corretivo para Retornar a Factibilidade
Foiapresentadonocaptuloanteriorummetodoquepermitequanti carograudeinfactibilidade(GI)
parauma determinadasituac~ao decarregamento quelevaa redeparaa regi~ao infactvel. Nestecaptulo,
ser~aoapresentados dois metodos que permitir~aoa de nic~ao dasac~oesde controle a serem tomadaspara
que o sistema volte a operar na regi~ao factvel. S~ao eles: (a) o metodo das Proporcionalidades (MP) e
(b) o metodo baseado em Programac~ao N~ao-Linear (MPNL). No primeiro metodo a determinac~ao das
ac~oes de controle e baseada em uma grandeza chamada coe ciente de e ci^encia (EC) que depende da
disponibilidadedoscontrolese desuassensibilidadesemrelac~ao aGI.No segundometodo,umproblema
de PNLeresolvidobaseando-senaminimizac~aodasvariac~oesdoscontrolesqueparticipar~aodo processo
de retornoa regi~ao factvel, tendocomo restric~oes asdisponibilidadesdos controles. A identi cac~ao dos
controlesseraobtidadeduasformasasaber: (a)navers~aoAdoprogramatodososcontrolesdisponveis
no sistemas~ao identi cados e (b) na vers~ao B oscontroles maise cientes s~ao determinados
baseando-se na ideiada localizac~ao adaptativa dos controles que consisteem buscarpelos controles disponveis no
sistemarespeitandocriteriospre-estabelecidos,quedependeradecaractersticasparticularesdoproblema.
Neste caso, oscontroles maisproximosdasbarrasquecontribuemmaisparaasituac~ao deinfactibilidade
ser~aoanalisados primeiro.
4.1 Analise da Sensibilidade do GI em relac~ao as variaveis de controle
Umavez determinadooGIquecaracterizademaneiraquantitativaainfactibilidadedeumproblema,
o proximo passo e determinar a melhor maneira de de nir os controles que factibilizem o problema.
Primeiramente, sera mostrado como calcularas sensibilidades do GIem relac~ao as variaveis de controle
disponveis. Como ja foi mencionado, o autovetor esquerdo associado com o autovalor zero de J(x m
dist^ancia entre o ponto de operac~ao infactvel e ocorre nesta direc~ao. No entanto, do ponto de vista
pratico,estadirec~aon~aofazmuitosentidopois,comumente,est~aoenvolvidasinjec~oesde pot^encia emum
grande numerode barrasdosistema e,quandofoideterminada,n~aofoilevadoem considerac~aocusto ou
disponibilidadedessescontroles.
De nindoucomosendo ovetor dasvariaveisdecontrolee Drepresentandoograudeinfactibilidade,
utilizando-se oresultado de[28 ], assensibilidadesde Dem relac~ao a u s~ao dadaspor:
D u = @ @u D= w m [f(x m ) S] u (4.1) onde [f(x m ) S] u
e o vetor das derivadasdas equac~oes de uxo de carga com relac~ao aos elementos do
vetor u, e w m
e o autovetor esquerdo normalizado associado com o autovalor zero de J(x m ). Devido a forma como w m
e calculado, deve-se usar w m
ou w m
na equac~ao (4.1) de forma que a variac~ao do
controle leve efetivamente a uma diminuic~ao de D, isto e, o sinal de w m
e escolhido de tal forma que
(S S m )w m >0. Os valores de D u
s~ao uma aproximac~ao linear do efeito que oscontroles t^em sobre
D. Desconsiderando as n~ao-linearidades, as mudancas necessarias em um controle u
i
para que ele seja
utilizado no retorno a factibilidade,e dado por D
D
u
i
. Para o caso de controle por injec~oes de pot^encia
(i.e., elementos de S), para o qual [f(x m
) S]
u
i
(a coluna da matriz Jacobiana correspondente a u
i ) e
constante, aexatid~aodalinearizac~aodependetanto dadist^anciaD(deS a),quantoda curvaturade
nas vizinhancasde S m
. Oerro estana diferenca entree a aproximac~ao do seuplano tangenteem S m
.
Paraoutroscontrolesaexatid~aodalinearizac~aotambemdependedequanto [f(x m
) S]esta aproximado
pelalinearizac~aodo Jacobiano.
A seguir sera apresentado o procedimento adotado neste trabalho para calcularas sensibilidades do
GI (ou D) em relac~ao as variaveis de controle disponveis, consideradas aqui como sendo: banco de
capacitores,tap de transformadores e rejeic~ao de carga.
4.1.1 Determinac~ao dos elementos do vetor [f(x m
) S]
u
Antesdedeterminar aderivada dasequac~oesde uxodecarga emrelac~ao asvariaveisde controleha
a necessidade de se recordar alguns conceitos fundamentais. Os elementos da matriz admit^ancia nodal
Y =(G+jB) s~ao [29 ]: Y km = a 1 km e j' k m y km Y mk = a 1 km e j' k m y km (4.2) Y kk = jb sh k + X m2 k (jb sh km +a 2 km y km ) em que: y km
{ admit^ancia seriedo ramo km.
b sh
b sh
k
{ elemento shunt conectadoa barra k.
a
km
{ posic~ao do tap fora do nominal de transformador em fase. Se o ramo km for uma linha de
transmiss~ao,a
km =1.
'
km
{ ^angulo correspondente a posic~ao do tap fora do nominal de transformador defasador. Se o ramo
km foruma linhadetransmiss~ao,'
km =0.
k
{ conjunto dasbarrasdiretamenteconectadas a barra k.
No conjunto de equac~oes (4.2) considera-seque os transformadores sejam modelados como um
transfor-mador ideal de relac~ao de transformac~ao a
km
: 1 (ou e j'
k m
: 1, no caso de transformador defasador)
conectado a barra k, em serie com a admit^ancia y
km
, conectada a barra m (modelo recomendado pelo
IEEE [30 ]).
Os uxosde pot^encia ativa e reativa emlinhas detransmiss~ao,transformadores em fase, defasadores
puros e defasadores,obedecemasexpress~oesgerais:
P km = (a 1 km V k ) 2 g km (a 1 km V k )V m g km cos ( km +' km ) (a 1 km V k )V m b km sen( km +' km ) Q km = (a 1 km V k ) 2 (b km +b sh km )+(a 1 km V k )V m b km cos ( km +' km ) (a 1 km V k )V m g km sen( km +' km ) P mk = g km V 2 m (a 1 km V k )V m [g km cos ( km +' km ) b km sen( km +' km )] Q mk = (b km +b sh km )V 2 m +(a 1 km V k )V m [g km sen( km +' km )+b km cos( km +' km )]
No caso de linhas de transmiss~ao, a
km
= 1 e '
km
= 0. Para transformadores em fase, b sh
km
= 0 e '
km
= 0. Para os defasadorespuros, b sh
km
= 0 e a
km
= 1. Finalmente, para os defasadores, b sh
km
= 0. Neste
trabalho sera utilizadoo modelo de transformadorem fase, com tapt =1=a
km
. As equac~oes de balanco
de pot^encia parauma dadabarrak do sistemas~ao dadas por:
p k (x) = P cal c k P esp k =0 = [V 2 k G kk +V k X m2 V m (G km cos km +B km sen km )] P esp k =0 (4.3) q k (x) = Q cal c k Q esp k =0 = [ V 2 k B kk +V k X m2 V m (G km sen km B km cos km )] P esp k =0 em que B kk = b sh k + X m2 k (b sh km +a 2 km b km ) b sh k = !C k = 2fC k sendo C k
ovalor do capacitor. Comauxlioda gura4.1, nota-se que:
P k = X m2 k P km =) P k =P km + X j2 k P kj
(raciocnio analogo vale para a pot^encia reativa Q
k
). Portanto, as equac~oes (4.3) tambem podem ser
dadas por: p k (x) = P cal c k P esp k =(P km + X j2 k j6=m P kj ) P esp k q k (x) = Q cal c k Q esp k =(Q km + X j2 k j6=m Q kj ) Q esp k (4.4) P k P k i P k j P km a k m : 1 k m
Figura4.1: Fluxosde pot^encia referentes abarra k.
Arepresentac~ao do vetor[f(x m
) S]
u
parauma redede nbarrase m controlese dadapor:
[f(x m ) S] u = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 @ @u1 p 1 (x) ::: @ @um p 1 (x) . . . . . . @ @u1 p n (x) ::: @ @um p n (x) @ @u 1 q 1 (x) ::: @ @u m q 1 (x) . . . . . . @ @u 1 q n (x) ::: @ @um q n (x) 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 (4.5)
Parao casodo controleser umbanco decapacitores b sh k : @ @b sh k q k (x) = V 2 k @ @b sh k q j (x) = 0 j =1;:::;n ;j 6=k @ @b sh p j (x) = 0 j =1;:::;n
Parao casodo controleser o corte depot^encia ativa P esp k : @ @P esp k p k (x) = 1 @ @P esp k p j (x) = 0 j=1;:::;n ;j 6=k @ @P esp k q j (x) = 0 j=1;:::;n
Parao casodo controleser o corte depot^encia reativaQ esp k : @ @Q esp k q k (x) = 1 @ @Q esp k q j (x) = 0 j=1;:::;n ;j6=k @ @Q esp k p j (x) = 0 j=1;:::;n
Paraocasodocontroleser otapdeumtransformadora
km
,aobtenc~ao doselementosda derivadaemais
complexa e, portanto, sera apresentada com maioresdetalhes. Considerandoque o transformador n~ao e
defasador, tem-se: @ @a km p k (x) = @ @a km P km = 1 a km " 2 V k a km 2 g km + 1 a km V k V m g km cos km + 1 a km V k V m b km sen km # = 1 a km (" V k a km 2 + V k a km 2 # g km 1 a km V k V m g km cos km 1 a km V k V m b km sen km ) Portanto, @ @a km p k (x)= 1 a km " V k a km 2 g km +P km # @ @a km q k (x) = @ @a km Q km = 1 a km " 2 V k a km 2 b km 1 a km V k V m b km cos km + 1 a km V k V m g km sen km # = 1 a km ( " V k a km 2 V k a km 2 # b km + 1 a km V k V m b km cos km 1 a km V k V m g km sen km ) Portanto, @ @a q k (x)= 1 a " V k a 2 b km +Q km #
@ @a km p m (x) = @ @a km P mk = 1 a km V k a km V m g km cos km V k a km V m b km sen km Inserindo a parcela(g km V 2 m g km V 2 m ),tem-se: @ @a km p m (x)= 1 a km 2 6 6 6 4 g km V 2 m g km V 2 m + V k a km V m g km cos km V k a km V m b km sen km | {z } P mk 3 7 7 7 5 Portanto, @ @a km p m (x)= 1 a km h g km V 2 m P mk i @ @a km q m (x) = @ @a km Q mk = 1 a km V k a km V m g km sen km V k a km V m b km cos km Inserindo a parcela( b km V 2 m +b km V 2 m ),tem-se: @ @a km q m (x)= 1 a km 2 6 6 6 4 b km V 2 m +b km V 2 m V k a km V m g km sen km V k a km V m b km cos km | {z } Q mk 3 7 7 7 5 Portanto, @ @a km q m (x)= 1 a km h b km V 2 m +Q mk i Alemdisso: @ @a km p j (x) = 0 j =1;:::;n; j6=k ; j 6=m @ @a km q j (x) = 0 j =1;:::;n; j6=k ; j 6=m
4.1.2 Calculo dos componentes do vetor D
u
Uma representac~ao maisadequadada equac~ao (4.1) e mostrada abaixo:
D u = h w m P w m Q i " P u Q # (4.6)
O vetor D
u
tem dimens~ao [1nc], em que nc e o numero de controles disponveis. O autovetor tem
dimens~ao[12nb],emquenbeonumerodebarrasdarede. Elepodeserdivididoemelementosrelativos
a pot^encia ativa w m
P
e reativa w m
Q
. O vetor de mismatches tem dimens~ao [2nb1] e tambem pode ser
dividido segundooselementosrelativosa pot^encia ativae reativa.
Combase naequac~ao (4.6) sera mostrado o procedimento adotado neste trabalhopara o calculo das
sensibilidades de D em relac~ao as variaveis de controle ja mencionadas (banco de capacitores, tap de
transformadores e rejeic~ao de carga). Daequac~ao (4.6) e considerando como controles o corte de carga
na barra k,tem-se: @ @u D= h ::: w P k w Q k ::: i 2 6 6 6 6 6 6 4 . . . . . . ::: @ @P k p k (x) @ @Q k p k (x) ::: ::: @ @P k q k (x) @ @Q k q k (x) ::: . . . . . . 3 7 7 7 7 7 7 5 Logo, @ @P k D = w P k @ @P k p k (x)+w Q k @ @P k q k (x) = w P k ( 1) w Q k 0 ! @ @P k D=w P k (4.7) @ @Q k D = w P k @ @Q k p k (x)+w Q k @ @Q k q k (x) = w P k 0 w Q k ( 1) ! @ @Q k D=w Q k
Como a variac~ao de carga depende tanto da pot^encia ativa P quanto da pot^encia reativa Q (fator de
pot^encia mantido constante), pode-se combinar as express~oes acima com a nalidade de explicitar a
sensibilidadede Demfunc~ao davariac~ao dasinjec~oesde pot^enciaativa. Ent~ao, paraumadadabarra k,
tem-se: tg k = Q esp k P esp k em que k
eo ^angulo do fatorde pot^encia. Linearizando aequac~ao acima,tem-se:
tg k = Q esp k P esp k ! Q k =P k tg k (4.8)
Das equac~oes (4.7),t^em-se:
D=w P k P k e D=w Q k Q k (4.9) Substituindoconvenientemente (4.8) em (4.9), D=w Q tg k P k
