Engenharia mecatrˆonica 2017/2
Projeto de Filtros Ativos
Filipe Andrade La-Gatta [email protected]
IF Sudeste MG/JF
Introdu¸c˜
ao
Assumindo que:
no
de capacitores ≈ ordem do filtro, (1) ent˜ao o n´umero de combina¸c˜oes poss´ıveis de circuitos com AmpOp que usem somente um capacitor, ´e bem restrito e pode ser analisado de maneira simpl´oria. Sabendo-se que filtro passa-faixa ou rejeita-faixa s˜ao constru´ıdos a partir do cascateamento de filtros passa-baixa e passa-alta, ´e direto perceber que n˜ao podem ser implementados com ordem igual a 1.
Defini¸c˜oes importantes:
Frequˆencia central (f0): f0=
√ f1f2;
Fator de seletividade (Q): Q = f0
BW (Q < 1 filtro banda larga; Q > 1 filtro
banda estreita).
Filtros Filtros ativos de primeira ordem
Filtros ativos de primeira ordem
Na constru¸c˜ao mais simples poss´ıvel, tratam-se de filtros passivos (circuitos RC) cascateados com um seguidor de tens˜ao ou buffer.
Figura : Passa-baixa, ordem 1, sem aumento de amplitude.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao:
Av = 1 (2) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR1C1 (3) Ressalta-se que neste caso, n˜ao ´e poss´ıvel que o filtro tenha ganho maior ou igual `a unidade para qualquer frequˆencia diferente de zero.
Outros circuitos ligeiramente mais complexos podem ser entendidos como
cascateamento de filtros passivos (circuitos RC) com um amplificador n˜ao-inversor ou inversor.
Figura : Passa-baixa, ordem 1, com aumento da amplitude e n˜ao invers˜ao de fase.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao: Av = R2 R1 + 1 (4) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR3C1 (5)
Filtros Filtros ativos de primeira ordem Ou
Figura : Passa-baixa, ordem 1, com possibilidade de ganho menor que 1, com invers˜ao de fase.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao:
Av = −R 2 R1 (6) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR2C1 (7) E at´e este ponto foram montados os poss´ıveis circuitos para filtros passa-baixa, somente.
Passa-se ent˜ao `a constru¸c˜ao dos est´agio passa-alta, ainda com ordem unit´aria, e que novamente, tratam-se de filtros passivos (circuitos RC com posi¸c˜oes invertidas) cascateados com um seguidor de tens˜ao ou buffer.
Figura : Passa-alta, ordem 1, sem aumento de amplitude.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao:
Av = 1 (8) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR1C1 (9) Ressalta-se que similar ao caso do passa-baixa, n˜ao ´e poss´ıvel que o filtro tenha ganho maior ou igual `a unidade para qualquer frequˆencia diferente de zero.
Filtros Filtros ativos de primeira ordem
Passa-alta com ganho maior que a unidade, entendidos como cascateamento de filtros passivos (circuitos RC) com um amplificador n˜ao-inversor ou inversor.
Figura : Passa-alta, ordem 1, com aumento da amplitude e n˜ao invers˜ao de fase.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao: Av = R2 R1 + 1 (10) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR3C1 (11)
Ou
Figura : Passa-alta, ordem 1, com possibilidade de ganho menor que 1, com invers˜ao de fase.
Neste caso tem-se ganho de tens˜ao:
Av = −C 1 C2 (12) e frequˆencia de corte fc = 1 2πR1C2 (13) E at´e este ponto foram montados poss´ıveis circuitos de primeira ordem.
Filtros Filtros ativos de segunda ordem
Filtros ativos de segunda ordem
Est´agios de segundo ordem s˜ao mais f´aceis de serem projetados, portanto mais comuns.
Maiores ordens podem ser obtidas simplesmente cascateando circuitos m´ultiplos de ordem 2 ou 1, caso seja necess´aria ordem ´ımpar.
Os circuitos mais simples recebem os nomes de seus pesquisadores, Sallem-Key, e s˜ao tamb´em chamados de filtros VCVS (voltage-controled voltage source). Grande vantagem dos filtros Sallem-Key: podem implementar Butterworth, Chebyshev e Bessel.
Qual aproxima¸c˜ao implementada depende dos fatores Q e Kc, que dependem por
sua vez dos valores dos resistores e capacitores somente. Sendo fc = Kcfp.
fp ´e a frequˆencia de polo do circuito.
Passa-baixa de segunda ordem
Ambos resistores tem o mesmo valor. Os capacitores tˆem valores diferentes.
Circuito de atraso na entrada n˜ao inversora (capacitor C1) e realimenta¸c˜ao
positiva (capacitor C2).
Figura : Filtro Sallem-Key, ordem 2, com buffer.
Filtros Filtros ativos de segunda ordem
Para este circuito as equa¸c˜oes s˜ao:
Av = 1 (14) Q= 0, 5r C2 C1 (15) fp= 1 2πR√C1C2 (16) Implementa¸c˜ao Butterworth: Q= 0, 707 Kc = 1 Implementa¸c˜ao Bessel: Q= 0, 577 Kc = 0, 786
Para filtros Buterworth e Bessel, a frequˆencia de corte sempre ser´a aquela em que a atenua¸c˜ao do sinal ´e de 3dB.
Passa-baixa de segunda ordem de componentes iguais
Outra implementa¸c˜ao poss´ıvel de um passa-baixa segundo Sallem-Key.
Os capacitores e resistores da entrada tˆem valores iguais, por isso este circuito ´e chamado filtro de Sallem-Key de componentes iguais.
Figura : Filtro Sallem-Key, ordem 2, componentes iguais.
Filtros Filtros ativos de segunda ordem
Para este circuito as equa¸c˜oes s˜ao: Av = R2 R1 + 1 (17) Q = 1 3 − Av (18) fp = 1 2πRC (19) Implementa¸c˜ao Butterworth: Q= 0, 707 Kc = 1 Implementa¸c˜ao Bessel: Q= 0, 577 Kc = 0, 786
Para filtros Buterworth e Bessel, a frequˆencia de corte sempre ser´a aquela em que a atenua¸c˜ao do sinal ´e de 3dB.
Passa-alta de segunda ordem ganho unit´
ario
Implementa¸c˜ao de um passa-alta segundo Sallem-Key, com ganho unit´ario, basicamente a implementa¸c˜ao do passa-baixa om capacitores e resistores invertidos de posi¸c˜ao.
Av = 1 em fun˜ao da realimenta¸c˜ao criar um buffer.
Neste caso fc = fp/Kc.
Figura : Filtro Sallem-Key, ordem 2, passa alta.
Filtros Filtros ativos de segunda ordem
Para este circuito as equa¸c˜oes s˜ao:
Av = 1 (20) Q= 0, 5r R1 R2 (21) fp= 1 2πC√R1R2 (22) Implementa¸c˜ao Butterworth: Q= 0, 707 Kc = 1 Implementa¸c˜ao Bessel: Q= 0, 577 Kc = 0, 786
Para filtros Buterworth e Bessel, a frequˆencia de corte sempre ser´a aquela em que a atenua¸c˜ao do sinal ´e de 3dB.
Passa-alta de segunda ordem de componentes iguais
Outra implementa¸c˜ao poss´ıvel de um passa-alta segundo Sallem-Key.
Os capacitores e resistores da entrada tˆem valores iguais, por isso este circuito ´e chamado filtro de Sallem-Key de componentes iguais.
Figura : Filtro Sallem-Key, ordem 2, passa-alta componentes iguais.
Filtros Filtros ativos de segunda ordem
Para este circuito as equa¸c˜oes s˜ao: Av = R2 R1 + 1 (23) Q = 1 3 − Av (24) fp = 1 2πRC (25) Implementa¸c˜ao Butterworth: Q= 0, 707 Kc = 1 Implementa¸c˜ao Bessel: Q= 0, 577 Kc = 0, 786
Para filtros Buterworth e Bessel, a frequˆencia de corte sempre ser´a aquela em que a atenua¸c˜ao do sinal ´e de 3dB.
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