R
esolução das atividades complementares
M
atemática
M5 — Função Polinomial
p. 63
1
(UFRJ) Uma operadora de celular oferece dois planos no sistema pós-pago.No plano A, paga-se uma assinatura de R$ 50,00 e cada minuto em ligações locais custa R$ 0,25. No plano B, paga-se um valor fixo de R$ 40,00 para até 50 minutos em ligações locais e, a partir de 50 minutos, o custo de cada minuto em ligações locais é R$ 1,50.
a) Calcule o valor da conta em cada plano para um consumo mensal de 30 minutos em ligações locais. b) Determine a partir de quantos minutos, em ligações locais, o plano B deixa de ser mais vantajoso do que
o plano A.
A: R$ 57,50 e B: R$ 40,00
a partir de 68 min
Resolução:
a) Sejam A(t) e B(t) os valores das contas nos planos A e B, em função do tempo (em minutos) em ligações locais. A t B t se t t se t ( ) ( ) ( ) 5 1 5 1 2 50 40 0 50 40 50 0,25t 1,5 50
Sendo t 5 30 min, temos:
A(30) 5 50 1 0,25 30 ⇒ A(30) 5 R$ 57,50 B(30) 5 R$ 40,00
b) A(t) B(t) ⇒ t 50 ou 50 1 0,25t 40 1 1,5(t 2 50)
t 68 min
2
(Vunesp-SP) Um laboratório farmacêutico tem dois depósitos, D1 e D2.Para atender a uma encomenda, deve enviar 30 caixas iguais contendo determinado medicamento à drogaria
A e 40 caixas do mesmo tipo e do mesmo medicamento à drogaria B. Os gastos com transporte, por caixa de
medicamento, de cada depósito para cada uma das drogarias, estão indicados na tabela.
R$ 10,00 R$ 14,00 R$ 12,00 R$ 15,00
A B
D1
D2
Seja x a quantidade de caixas do medicamento do depósito D1 que deverá ser enviada à drogaria A e y a quantidade de caixas do mesmo depósito que deverá ser enviada à drogaria B.
a) Expressar:
• em função de x, o gasto GA com transporte para enviar os medicamentos à drogaria A; • em função de y, o gasto GB com transporte para enviar os medicamentos à drogaria B; • em função de x e y, o gasto total G para atender às duas drogarias.
b) Sabe-se que no depósito D1 existem exatamente 40 caixas do medicamento solicitado e que o gasto total
G para atender à encomenda deverá ser de R$ 890,00, que é o gasto mínimo nas condições dadas. Com
base nisso, determine, separadamente, as quantidades de caixas de medicamentos que sairão de cada depósito, D1 e D2, para cada drogaria, A e B, e os gastos GA e GB.
GA 5 360 2 2x; GB 5 600 2 y e G 5 960 2 2x 2 y
Resolução:
a) Para a drogaria A vão x caixas do depósito D1, a R$ 10,00 cada uma, e 30 2 x caixas do depósito
D2, a R$ 12,00.
Logo, GA 5 10x 1 12(30 2 x) ⇒ GA 5 360 2 2x.
Para a drogaria B vão y caixas do depósito D1, a R$ 14,00 cada uma, e 40 2 y caixas do depósito D2, a R$ 15,00.
Logo, GB 5 14y 1 15(40 2 y) ⇒ GB 5 600 2 y. Daí, vem:
G 5 GA 1 GB ⇒ G 5 960 2 2x 2 y
b) Como, para as duas drogarias, os gastos com o depósito D1 são menores que os gastos com o depósito D2, temos x 1 y 5 40, ou seja, y 5 40 2 x.
De G 5 890, temos: 960 2 2x 2 y 5 890 ⇒ 960 2 2x 2 (40 2 x) 5 890 ⇒ x 5 30 Logo, y 5 40 2 30 ⇒ y 5 10. Assim, temos: 30 2 x 5 0 (caixas de D2 para A) 40 2 y 5 30 (caixas de D2 para B) GA 5 10 30 1 12 0 ⇒ GA 5 300 GB 5 14 10 1 15 30 ⇒ GB 5 590
Do depósito D1 sairão 30 caixas para a drogaria A e 10 caixas para a drogaria B. Do depósito D2 sairão 30 caixas para a drogaria B e nenhuma para a drogaria A. GA 5 300 e GB 5 590
3
(Fameca-SP) Os sistemas de cobrança de dois particulares pesque-pague combinam uma taxa de ingresso, fixa e individual, com o preço do quilo de peixe que o pescador leva para casa. Num deles, o pescador paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 8,00 mais R$ 6,00 por quilo de peixe que levar. No outro, paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 2,00 mais R$ 8,00 por quilo de peixe que levar. Nessas condições:a) dê as leis que descrevem os dois sistemas de cobrança e faça os respectivos gráficos, num mesmo sistema de coordenadas, tomando o “peso” no eixo das abscissas e o valor total a ser pago pelo pescador no eixo das ordenadas;
b) com base nos gráficos, faça uma discussão quanto aos intervalos de “peso” em que um pesque-pague é mais vantajoso que o outro.
4
(Unicamp-SP – adaptado) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86:a) expresse o valor P a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida; b) calcule o preço de uma corrida de 11 km;
c) calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.
Resolução: a) 1o) P 1(x) 5 8 1 6 x 2o) P 2(x) 5 2 1 8 x preço (R$) peso (kg) 3 0 2 8 10 20 30 26 40 P2(x) P1(x)
b) O 2o pesque-pague é mais vantajoso para quantidades de peixe de 0 a 3 kg. Já o 1o pesque-pague
passa a ser mais vantajoso para quantidades de peixe superiores a 3 kg.
Resolução: a) P(x) 5 3,44 1 0,86x b) P(11) 5 3,44 1 9,46 P(11) 5 R$ 12,90 c) P(x) 5 21,50 0,86x 5 21,50 2 3,44 x 5 21 km P(x) 5 3,44 1 0,86x R$ 12,90 21 km
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(UFOP-MG) Um grupo de 100 pessoas fez um contrato com uma empresa aérea para viajar nas férias. A empresa cobrará R$ 2 000,00 por passageiro que embarcar e R$ 400,00 por passageiro que desistir da viagem.a) Qual a relação entre a quantia de dinheiro que a empresa receberá do grupo e o número de passageiros que irão embarcar?
b) Quantos passageiros deverão embarcar para que a empresa receba R$ 136 000,00?
7
Dadas as funções f e g, cujas leis são f(x) 5 ax 1 4 e g(x) 5 bx 1 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções interceptem-se no ponto (1, 6).5
Construa, usando o sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das funções dadas por: a) f(x) 5 x 1 3 b) f(x) 5 2x 1 1 c) f(x) 5 2x 1 4 d) f(x) 5 3xp. 64
y 5 1 600x 1 40 000
60
Resolução:
a) 100 pessoas 2 000 por passageiro que viajar
{
4000 por passageiro que desistiry 5 quantidade de dinheiro x 5 número de passageiros y 5 2 000x 1 (100 2 x) 400 ⇒ y 5 1 600x 1 40 000 b) 136 000 5 1 600x 1 40 000 1 600x 5 136 000 2 40 000 x 5 96 000 x 5 passageiros 1 600 ⇒ 60 Resolução: f(x) 5 ax 1 4 6 5 a 1 1 4 a 5 2 g(x) 5 bx 1 1 6 5 b 1 1 1 b 5 5 a 5 2 e b 5 5 Resolução: a) f(x) 5 x 1 3 b) f(x) 5 2x 1 1 c) f(x) 5 2x 1 4 d) f(x) 5 3x x y 0 3 23 0 x y 0 1 1 3 x y 0 4 1 3 x y 0 0 1 3 y 3 x 0 �3 y 3 1 1 0 x y 3 4 1 0 x y 3 1 0 x
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Construa, usando um sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico da função f: IR ⇒ IR dado por f x x se x x se x ( ) , , 5 2 1 2 2 1 3 1 A seguir, dê o conjunto imagem dessa função.
9
(Vunesp-SP) Apresentamos ao lado o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0 °C. Baseado nos dados do gráfico, determine:a) a lei da função apresentada no gráfico;
b) qual é a massa (em grama) de 30 cm3 de álcool.
10
Identifique como crescente ou decrescente as seguintes funções do 1o grau:a) y 5 5x 1 1 c) f x( ) 5 x 2 2 1 b) y 5 22x 1 3 d) f(x) 5 8 2 x volume (cm3) 50 (0, 0) (40, 50) 40 massa (g) Resolução: a) y volume (cm ) 3 x massa g x( ); 0 y 5 ax 1 b ponto (0, 0): 0 5 a 0 1 b ⇒ b 5 0 ponto (40, 50): 50 5 a 40 1 b Como b50 temos 50 540a a 5 5 4 , : ⇒ .
Logo, a lei da função é y 5 54 x x, 0.
b) y x x A 530 305 5 5 4 24 ⇒ ⇒ massa é 24 g. Resolução: � 2 � 1 y x, se x x y y x se x x y � � � � � � � � � � � 1 2 2 4 3 1 1 2 0 Im y � IIR y � �2 ou y � 2 , 3 x y 0 0 40 50 y 5 5 x x 4 , 0 Resolução: a) y 5 5x 1 1 c) f x x crescente ( ) , 5 2 5 2 1 1 2 0 pois a crescente, pois a 5 5 0 b) y 5 22x 1 3 d) f(x) 5 8 2 x
decrescente, pois a 5 22 , 0 decrescente, pois a 5 21 , 0 crescente 24 g decrescente crescente decrescente y x 3 2 �2 �4 �1 0 �2
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(UFRJ) Um videoclube propõe a seus clientes três opções de pagamento: Opção I: R$ 40,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 1,20 por DVD alugado. Opção II: R$ 20,00 de taxa de adesão anual, mais R$ 2,00 por DVD alugado. Opção III: R$ 3,00 por DVD alugado, sem taxa de adesão.Um cliente escolheu a opção II e gastou R$ 56,00 no ano.
Esse cliente escolheu a melhor opção de pagamento para o seu caso? Justifique sua resposta.
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Considere a função f(x) 5 (m 2 2) x 1 1, com m [ IR. a) Calcule m de modo que f seja crescente.b) Ache m para que f seja decrescente.
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Escreva a lei da função correspondente ao gráfico.4 y x 3 2 1 �10 1 2
Não. A melhor opção seria a III.
Resolução:
Seja x o número de DVDs alugados e y o valor pago pelo aluguel. Logo: opção I: y 5 40 1 1,2x
opção II: y 5 20 1 2x opção III: y 5 3x
Como o cliente escolheu a opção II, temos: 20 1 2x 5 56 ⇒ 2x 5 36
x 5 18 DVDs
Se o cliente tivesse escolhido a opção I, teria gasto: y 5 40 1 1,2 18 ⇒ y 5 40 1 21,60
y 5 61,60
Se o cliente tivesse escolhido a opção III, teria gasto: y 5 3 18 ⇒ y 5 54,00
Portanto, o cliente não escolheu a melhor opção. A melhor opção seria a III.
m 2 m , 2 Resolução: a) m 2 2 0 ⇒ m 2 b) m 2 2 , 0 ⇒ m , 2 Resolução: 1 4 2 1 4 2 1 5 2 1 5 1 2 5 2 5 1 5 2 a b a b a b a b f x se x ⇒ ( ) , 11 2 1 2 4 2 3 3 1 2 2 x se x se x a a b y x 1 , , 5 5 5 5 1 , , ⇒ e (I) 1, se x < 21 (II) (21, 1) e (2, 4) pertencem ao gráfico y 5 ax 1 b (III) 4, se x > 2 4 y x 1 (I) (II) (III) �1 2
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(UFES) É um fato conhecido que, qualquer que seja a substância, a sua temperatura permanece constante durante a fusão. No processo de aquecimento de uma certa substância, sua temperatura T (em °C) variou com o tempo (em minutos) de acordo com a seguinte lei:T(t) 5t, se 0 170, se 30 3t, se 50 5 1 1 20 30 50 20 t t tt a) Esboce o gráfico de T como função de t.
b) Qual a temperatura da substância no início do processo, isto é, quando t 5 0? c) Qual a temperatura da substância decorridas 3 horas do início do processo?
d) Sabendo-se que houve fusão da substância, em qual intervalo de tempo ela ocorreu?
e) Em que intervalo de tempo houve a maior variação da temperatura por minuto? Explique sua resposta.
p. 67
15
(Esam-RN) Os valores de x que satisfazem a inequação 5(x 1 2) 2 7 < 3x 2 2 correspondem à alternativa: a) S x x 2 5 5{
[ IR }
d) S x x 5 3 5{
[ IR }
b) S x x 5 2 5{
[ IR 2}
e) S x x 7 5 5{
[ IR }
c) S x x 5 2 5{
[ IR }
Resolução: a) b) t 5 0 ⇒ T 5 20 °C c) 3 horas 5 3 60 5 180 min T 5 20 1 3t T 5 20 1 540 5 560 °C d) de 30 a 50 min e) (I) (II) 170 20 30 0 5 200 170 60 50 3 2 2 5 2 2 5A maior variação ocorre nos primeiros 30 minutos.
T t 10 0 20 20 170 200 100 20 30 40 50 60 Resolução: 5 2 7 3 2 5 10 7 3 2 2 5 5 2 (x 1 ) 2 x 2 x 1 2 x 2 x 2 x 2 5 ⇒ ⇒ ⇒ S x [ IRR x 5 2 2
{
}
16
Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1o grau: a) f(x) 5 x 1 5 c) f(x) 5 2 2 3xb) y 5 23x 1 9 d) y 5 x 2
3 1
17
Determine o ponto (x, y) em que cada gráfico das seguintes funções do 1o grau corta o eixo x, sem construir o gráfico. a) f(x) 5 23x 1 2 c) y5 1x 2 2 15 b) y 5 2x 2 3 d) y512 x 2 Resolução: a) a 5 1 0 zero da função: x 1 5 5 0 ⇒ x 5 25 b) a 5 23 , 0 zero da função: 23x 1 9 5 0 ⇒ x 5 3 c) a zero da função: 2 5 2 , 2 5 5 3 0 3 0 2 3 x ⇒ x d) a x 5 2 5 5 1 3 0 3 1 0 3 zero da função: ⇒ x �5 � x � f x f x f x ( ) ( ) ( ) 5 5 2 2 , 0 5 0 5 0 para x para x para x , 25 3 � x � f x f x f x ( ) ( ) ( ) 5 5 , , 0 3 0 3 0 para x para x para x 3 x 2 3 � � y y y 5 5 , , 0 2 3 0 2 3 0 2 3 para x para x para x � x � 3 y y y 5 5 , , 0 3 0 3 0 3 para x para x para x (2, 0) 2 3, 0( )
3 2, 0( )
2 5, 0( )
Resolução: a x x b x x c ) , ) , ) 2 1 5 5 2 5 5 3 2 0 2 3 23 0 2 3 0 3 2 32 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒( )
( )
11 x 1 0 ⇒ x 2 ⇒( )
2, 018
(FGV-SP) Seja a função f, de IR em IR, dada por f(x) 5 kx 1 t, onde k e t são constantes reais. Se os pontos (21, 3) e (0, 21) pertencem ao gráfico de f, então:a) f é crescente, ; x [ IR d) f(x) , 0 , 1 4 se x b) 3
4 é raiz da equação f(x) 50 e) f(x) 0se x 214 c) o ponto (210, 41) pertence ao gráfico de f
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(UFPE) Um feirante comprou maçãs por R$ 0,20 a unidade e as revendeu por R$ 0,30 a unidade, ficando com uma sobra de 30 maçãs, que foram descartadas. Indique quantas dezenas de maçãs o feirante comprou, sabendo que seu lucro foi de R$ 30,00.p. 68
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(UEL-PR) O custo C, em reais, da produção de x exemplares de um livro é dado porC(x) 5 2 000 1 3,5x. Se cada exemplar é vendido por 8 reais, quantos exemplares, no mínimo, devem ser vendidos para que a editora não tenha prejuízo?
a) 438 c) 445 e) 455 b) 442 d) 450 Resolução: f x kx t Como f k t t ( ) ( ) 5 1 2 5 5 2 2 1 5 5 f( 1) 3 e 0 1, temos: 3 2 2 5 2 5 2 5 2 2 1 1 1 Logo, k 4 e 4x é uma função t f x . ( ) decrescente. Raiz:24x 2 5 5 2 2 1 0 1 4 0 ⇒ x f x( ) se x 11 4 � x � �1 4 Resolução:
Seja n o número de maçãs. Logo: 0,3(n 2 30) 2 0,2n 5 30 ⇒ 0,3n 2 9 2 0,2n 5 30 ⇒ n 5 390 O número de dezenas é: 390 10 539dezenas. Resolução: 8x > 2 000 1 3,5x 4,5x > 2 000 ⇒ x > 444,44 Logo, 445 livros. 39 dezenas
21
Mário é proprietário de um terreno de forma retangular na cidade de Iapé, cujas dimensões estão especificadas na figura. De acordo com a legislação da Prefeitura Municipal da referida cidade, as edificações devem ocupar o mínimo de 45% e o máximo de 60% da área total do terreno. Para que o prédio que Mário deseja construir (área azul na figura) se enquadre nas exigências legais, determine todos os valores possíveis de x.12 m 10 m 20 m x
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Resolva as inequações: a) 5x 2 2(x 1 2) > 1 2 (3 2 4x) b) 3 1 2 4 1 12 (x 1 ) x 2 2 23
(FEI-SP) Resolva o sistema de inequações:x x x 3 5 2 2 3 6 4 0 2 2 , 2 ( ) 17 < x < 26 Resolução: A m A f x x f T 5 5 P 5 5 1 30 12 360 10 2 12 45 360 100 2; ( ) (xx f x I x ) ( ) ( ) 1 60 360 100 162 216 162 10 2 12 ⇒1622 6 60 17 10 2 12 216 6 60 216 2 1 1 1 x x II x x x ⇒ ⇒ ⇒ ( ) 66 S 5 {x [ IR | 17 < x < 26} (I) 17 17 26 26 (II) (I) � (II) {x [ IR | x < 22} {x [ IR | x < 21} Resolução: a) 5x 2 2(x 1 2) > 1 2 (3 2 4x) 5x 2 2x 2 4 > 1 2 3 1 4x x < 22 S 5 {x [ IR | x < 22} b) 6 1 4 1 4 2 4 1 1 ( ) ( ) { | } x 1 x x 2 2 2 5 2 ⇒ S x [ IR x {x [ IR | 6 , x , 12} Resolução: x x x x I x II 3 5 2 2 3 4 6 0 12 6 2 2 , 2 , ( ) ( ) ( ) (I) 6 12 12 6 (II) (I) � (II)
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(Fumec-MG) Um esquálido vira-lata percebe um feroz e robusto pitbull a 30 metros de distância e, imediatamente, enceta, em trajetória retilínea, uma fuga desesperada! Exatamente no mesmo instante, o atento predador parte-lhe atrás... Ocorre que a saúde do primeiro só lhe permite percorrer 50 metros por minuto; já o excelente condicionamento do segundo possibilita-lhe uma velocidade de 60 m/min. Passados quantos minutos iniciar-se-á a agonia do pobre cão de rua?a) 2 c) 3
b) 4 d) 5
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(UFG) Para organizar uma competição esportiva tem-se um custo de R$ 2 000,00. Se a taxa de inscrição por participante para essa competição é de R$ 30,00, determine a quantidade mínima de inscritos nessa competição, para que o valor arrecadado com a taxa de inscrição cubra o custo do evento.Resolução:
Do enunciado, temos:
As funções horárias do movimento são: • pitbull ⇒ sp 5 60t
• vira-lata ⇒ sv 5 30 1 50t
A agonia começa no instante do encontro. Assim: sp 5 sv ⇒ 60t 5 30 1 50t 10t 5 30 t 5 3 min 0 30 x (metros) 67 participantes Resolução:
Devemos ter n 30 > 2 000, em que n é o número de inscritos. Logo:
n 30 > 2 000 ⇒ n > 66,66
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(Unicamp-SP) Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-las ao porto de Santos, que fica a 300 km de distância. O transporte pode ser feito por caminhões ou por trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$ 125,00 de custo fixo, além de R$ 0,50 por quilômetro rodado. Cada caminhão tem capacidade para transportar 20 toneladas de grãos. Para cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por quilômetro rodado. Com base nesses dados, pergunta-se: a) Qual o custo de transporte das 500 toneladas de grãos por caminhões e por trem?b) Para as mesmas 500 toneladas de grãos, qual a distância mínima do armazém ao porto de Santos para que o transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhões?
Resolução:
a) Custo com 1 caminhão: 125 1 0,5 300 5 275,00
Número de caminhões: 500 20 525
Custo com 25 caminhões: 25 275 5 6 875,00
Custo por trem: o enunciado permite duas interpretações distintas – o custo pode ser dado por 500(8 1 0,015 300) 5 6 250,00
ou 500 8 1 0,015 300 5 4 004,50 b) Seja d a distância, em km, a ser percorrida.
O custo, em R$, por caminhão é 125 1 0,5d e, com 25 caminhões, é dado por 25(125 1 0,5d) 5 3 125 1 12,5 d.
Com o transporte por trem, temos o custo, em R$: • pela 1a interpretação: 500(8 1 0,015d) 5 4 000 1 7,5d
• pela 2a interpretação: 500 8 1 0,015d 5 4 000 1 0,015d
Vejamos, nos dois casos, em que condições o custo por trem é menor. 1o caso: 4 000 1 7,5d , 3 125 1 12,5d 25d , 2875 d 175 2o caso: 4 000 1 0,015d , 3 125 1 12,5d 212,485d , 2875 d 875 12,485 d 175 000 2 497 70,084) ( Resposta:
a) O custo de transporte por caminhões é R$ 6 875,00 e por trem, dependendo da interpretação do enunciado, é R$ 6 250,00 ou R$ 4 004,50.
b) O transporte por trem será mais vantajoso para qualquer distância maior que 175 km, pela 1a interpretação, ou maior que 175 000
2 497 km ( 70,084 km) , pela 2a interpretação. Note que, em nenhum caso, podemos falar em distância mínima.
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(Acafe-SC) O gráfico ao lado representa o gasto mensal que uma empreiteira tem com os encargos sociais de seus funcionários, em milhares de reais.Sabendo que o número x de funcionários oscila de 10 a 30, o gasto y que a empreiteira terá num mês, em reais, com 23 funcionários, será:
a) 10 600 c) 9 600 e) 11 400 b) 9 400 d) 1 200 x 6 0 10 30 12 y p. 71
28
Resolva as seguintes inequações-produto:a) (2x 1 1) (2x 1 2) > 0 c) (x 2 1) (x 2 2) (x 1 4) 0 b) (x 1 2) (2x 2 2) < 0 Resolução: A função é do 1o grau. Logo, y 5 ax 1 b. x y b x y a a 5 5 5 5 5 5 1 5 0 6 6 30 12 12 30 6 1 5 ⇒ ⇒ ⇒ Portaanto, y x Se x vem: 6 10,6 ou 5 1 5 5 1 5 1 5 6 23 1 5 23 . , y ⇒ y yy 5 10 600 reais IR {x [ IR | 24 , x , 1 ou x 2} x 1 2 2 [IR2 x
{
}
Resolução: a) (2x 1 1) (2x 1 2) > 0 f(x) 5 2x 1 1 2x 1 1 5 0 ⇒ x 5 2 1 2 �1 2 � � x g(x) 5 2x 1 2 2x 1 2 5 0 ⇒ x 5 2 � � x 2 f(x) g(x) f(x) � g(x) � � � � � � � � � � 1 2 �1 2 2 2 S5 x 21 x 2 2 [ IR{
}
b) (x 1 2) (2x 2 2) < 0 f(x) 5 x 1 2 x 1 2 5 0 ⇒ x 5 22 � � x �2 g(x) 5 2x 2 2 2x 2 2 5 0 ⇒ x 5 22 � � x �2 f(x) g(x) f(x) � g(x) � � � � � � �2 �2 �2 S 5 IR c) (x 2 1) (x 2 2) (x 1 4) 0 f(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 x 5 1 g(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 x 5 2 h(x) 5 x 1 4 x 1 4 5 0 x 5 24 � � 1 x � � 2 x � � �4 x f(x) g(x) h(x) f(x) � g(x) � h(x) � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 �4 1 2 �4 S 5 {x [ IR | 24 , x , 1 ou x 2}29
Resolva o sistema: x x x x x ( ) ( )( ) 4 0 5 5 3 0 2 1 2 1 , {x [ IR | 3 , x < 4} Resolução: x x x x x ( ) ( )( ) 4 0 5 5 3 0 2 2 2 1 , x(4 2 x) > 0 (I) f(x) 5 x x 5 0 g(x) 5 4 2 x 4 2 x 5 0 ⇒ x 5 4 � � 0 x � � 4 x f(x) g(x) f(x) � g(x) � � � � � � � � � 0 0 4 4 x(5x 1 5) (2x 1 3) , 0 (II) h(x) 5 x x 5 0 j(x) 5 5x 1 5 5x 1 5 5 0 ⇒ x 5 21 l(x) 5 2x 1 3 2x 1 3 5 0 x 5 3 � � 0 x � � �1 x � � 3 x h(x) j(x) l(x) h(x) � j(x) � l(x) � � � � � � � � � � � � � � � � 0 3 �1 0 3 �1 �1 0 3 3 4 4 0 (I) (II) (I) � (II) S 5 {x [ IR | 3 , x < 4}30
Determine o conjunto solução das inequações-quociente: a) xx 122 3 0 b) 3xx 11 2
2
1
31
Ache o conjunto verdade da inequação (x )(x ) x 2 1 2 1 3 5 0 {x [ IR | x , 23 ou x 2} {x [ IR | 21 , x < 3} Resolução: a) f(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2 g(x) 5 x 1 3x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23 S 5 {x [ IR | x , 23 ou x 2} � � 2 x � � �3 x f(x) g(x) � � � � � � � � � �3 �3 2 2 f(x) g(x) b) 3 1 1 2 0 13 0 1 x x xx x 2 1 2 2 1 2 ⇒ ( ) f(x) 5 x 2 3 x 2 3 5 0 ⇒ x 5 3 g(x) 5 x 1 1 x 1 1 5 0 ⇒ x 5 21 � � 3 x � � �1 x f(x) g(x) � � � � � � � � � �1 �1 3 3 f(x) g(x) S 5 {x [ IR | 21 , x < 3} {x [ IR | 23 , x , 1 ou x 5} Resolução: a) f(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 g(x) 5 x 1 3 x 1 3 5 0 ⇒ x 5 23 h(x) 5 x 2 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 � � 1 x � � x �3 � � x 5 S 5 {x [ IR | 23 , x , 1 ou x 5} � � � � � � � � � � � � � � � � �3 1 f(x) g(x) h(x) 5 �3 1 5 f(x) g(x) h(x) �32
Determine o conjunto solução da inequação m m m 1 2 2 2 3 2 3 2 .33
(UERN) O conjunto solução da inequação 3 22 1 2 2 x x é: a) {x [ IR | x < 1 ou x 2} c) {x [ IR | 1 < x , 2} e) {x [ IR | 1 , x , 2} b) {x [ IR | x < 1 ou x > 2} d) {x [ IR | 1 < x < 2}
34
(UEL-PR) A soma de todos os números inteiros e positivos que satisfazem a inequação xx2 x x 2
4 4 é:
a) 2 c) 5 e) impossível de ser calculada
b) 3 d) 9 S 5 {m [ IR | m , 2 ou m > 3} Resolução: m m m mm m 1 2 2 1 2 2 3 2 3 0 32 0 2 2 ⇒ ( ) f(x) 5 m 2 3 m 2 3 5 0 ⇒ m 5 3 g(x) 5 m 2 2 m 2 2 5 0 ⇒ m 5 2 � � 3 x � � 2 x f(x) g(x) � � � � � � � � � 2 2 3 3 f(x) g(x) S 5 {m [ IR | m , 2 ou m > 3} Resolução: 3 2 2 1 0 3 2 2 0 1 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 x x x x x x x ⇒ (2 ) ⇒ f(x) 5 2x 1 1 � � 1 x � � 2 x g(x) 5 2x 1 2 S 5 {x [ IR | x < 1 ou x 2} f(x) g(x) � � � � � � � � � 1 1 2 2 f(x) g(x) Resolução: x x 2 2 x x x x xx x xx 2 2 2 2 2 2 4 4 0 44 0 8 164 0 2 2 ⇒ ( ) ⇒ ( ) ( ) f(x) 5 8x 2 16 g(x) 5 x(x 2 4) � � 2 x � � � 0 4 x f(x) g(x) � � � � � � � � � � � � 2 2 0 0 4 4 f(x) g(x) Inteiros positivos: 2 e 3 Soma: 2 1 3 5 5
35
Determine o domínio das seguintes funções: a) y5 x x( 25 ) b) y x x 5 2 1 2 436
(FGV-SP) A solução da inequação x x 11 2 x 2x 1 0 é: a) x < 21 ou x > 1 c) 21 , x < 0 ou x 1 e) x 21 ou x 1 b) x , 21 ou 0 < x , 1 d) x < 0 {x [ IR | x < 0 ou x > 5} {x [ IR | x , 24 ou x > 2} Resolução: a) x(x 2 5) > 0 f(x) 5 x ⇒ x 5 0 g(x) 5 x 2 5x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 � � 0 x � � 5 x f(x) g(x) f(x) � g(x) � � � � � � � � � 0 0 5 5 S 5 {x [ IR | x < 0 ou x > 5} b) x x 2 1 1 2 4 0, com x 4 0 f(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 ⇒ x 5 2 g(x) 5 x 1 4 x 1 4 5 0 ⇒ x 5 24 � � 2 x � � �4 x f(x) g(x) � � � � � � � � � �4 �4 2 2 f(x) g(x) S 5 {x [ IR | x , 24 ou x > 2} Resolução: x x x x x x x x x x x x 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 2 ⇒ ⇒ ( ) ( ) ( )( ) ( 11 2 1 2 2 1 1 0 1 0 1 1 0 1 )(x ) x x C.E.: x x ⇒⇒{
f(x) 5 22x 22x 5 0 ⇒ x 5 0 � � 0 x g(x) 5 1 2 5 2 9 5 2 0 5 (x )(x ) x x x 1 1 1 1 1 2 x 1 �1 � � � f(x) g(x) � � � � � � � � � � � � 0 0 �1 �1 1 1 f(x) g(x) S 5 {x [ IR | x , 21 ou 0 < x , 1}37
(UFOP-MG) Resolva a inequação 1x 13 em IR.
38
(Esal-MG) Resolva a inequação 2 12 2 2 2 x x 2. S 5 {x [ IR | x , 0 ou x > 3} Resolução: C.E.: x 0 2 2 1 1 3 1 13 0 33 0 x ⇒ x ⇒ x x f(x) 5 3 2 x 3 2 x 5 0 x 5 3 g(x) 5 3x 3x 5 0 x 5 0 S 5 {x [ IR | x , 0 ou x > 3} � � 3 x � � 0 x f(x) g(x) � � � � � � � � � 0 3 0 3 f(x) g(x) S 5 x x 3 ou x [ IR 2 6
{
}
Resolução: 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x I x x II x x ( ) ( ) Estudo dee (I):x x com x x x x xx 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 3 2 , ⇒ 22 0 3 2 3 2 0 2 3 2 2 0 2 5 2 2 5 5 5 2 2 5 5 f x x x x g x x x x ( ) ( ) � � x 2 3 � � x 2 SI 5
{
x [ IRx 32 ou x 2}
Estudo de (II): x x com x x x x 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 , ⇒ ⇒ 2 1 2 5 2 1 2 1 5 5 x x x 6 2 0 6 6 0 6 x h x x ( ) 2 2 � � � f(x) g(x) f(x) g(x) � � � � � � 2 3 2 3 � � x 6 6 6 2 2 � � � h(x) g(x) h(x) g(x) � � � � � � (I) (II) (I) � (II) 2 2 6 6 2 3 2 3 SII 5 {x [ IR | x , 2 ou x > 6} Resumo: S 5 x x 3 ou x [ IR 2 6{
}
39
Determine o domínio, em IR, da função f x( )5 3(x 11)(x 23).40
Resolva as seguintes inequações:a) (4x 1 5)5 , 0 b) (23x 2 12)4 0 c) (x 1 6)6 , 0
41
Resolva a inequação (x 2 2)8 (3 2 x)5 (4x 1 1)7 0.D 5 IR
Resolução:
O domínio da função é IR, pois todo número real possui raiz cúbica real. Logo, D 5 IR.
Resolução: a) (4 5) 0 4 5 0 5 4 5 x x 1 , 1 , , 2 5 quando: , ou seja, x S x [ IIR x 4 , 2 5
{
}
b) (23x 2 12)4 positivo para: 23x 2 12 0, isto é, x 24 S 5 {x [ IR | x 24} c) (x 1 6)6 nunca será , 0. S 5 [ S x 4 x e 5{
[IR 12 , ,3 x 2}
Resolução: a) (x 2 2)8 (3 2 x)5 (4x 1 1)7 0Vamos estudar por partes: (I) (x 2 2)8
A expressão (ax 1 b)n, com n número par não-nulo, é sempre positiva ou nula.
x 2 2 5 0 x 5 2 (II) (3 2 x)5
A expressão (ax 1 b)n, com n número ímpar e a , 0, será positiva quando
x x , 2 2 5 5 b a x . 3 0 3 (III) (4x 1 1)7
A expressão (ax 1 b)n, com n número ímpar e a 0, será positiva quando
x 2ba. 4 1 0 1 4 x 1 5 5 2 x � � x 3 S x 4 x e 5
{
[ IR 12 , , 3 x 2}
� � x �1 4 (I) (II) (III) (I) � (II) � (III) �� � � � � � � � � � � � � � � 2 2 3 3 �1 4 �1 4 x [ IR | x , 2 5 4
{
}
{x [ IR | x 24} S 5 [p. 75
42
Observando as seguintes funções quadráticas, diga se a parábola que representa o gráfico da função tem a concavidade voltada para cima ou para baixo. Justifique.a) y 5 x2 2 5x 1 6 c) y 5 3x2 e) y 5 1 2 4x2 b) y 5 2x2 2 x 1 6 d) y 5 2x2 2 4x f) y 5 2x2 1 x 1 6
43
Determine os zeros das seguintes funções:a) y 5 x2 1 2x c) f(x) 5 4 2 x2 b) f(x) 5 x2 2 7x 1 10 d) y 5 2x2 2 3x 1 4
44
Determine o valor de m para que a parábola que representa graficamente a função y 5 3x2 2 x 1 m passe pelo ponto (1, 6).Resolução:
a) para cima, pois a 5 1 (a 0) b) para baixo, pois a 5 21 (a , 0) c) para cima, pois a 5 3 (a 0) d) para cima, pois a 5 2 (a 0) e) para baixo, pois a 5 24 (a , 0) f) para baixo, pois a 5 21 (a , 0)
{0, 22} {22, 2}
{2, 5} Não existe raiz real.
Resolução: a) x x x ou x x S 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 1 5 1 5 5 1 5 5 2 5 2 ⇒ x(x ) ⇒ ⇒ { , }
{
b) x x x x x S 2 7 10 0 9 7 3 2 5 2 2 5 2 1 5 D 5 5 1 6 9 5 0 5 5{ , } c) 4 2 x2 5 0 ⇒ x 5 62 S 5 {22, 2} d) 2x2 2 3x 1 4 5 0 D 5 223Não existe raiz real.
m 5 4 Resolução: y 5 3x2 2 x 1 m (1, 6) x y 6 5 3(1)2 2 1 1 m ⇒ 6 5 3 2 1 1 m ⇒ m 5 4
45
Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c seja (1, 216) e que 23 seja um zero da função.46
Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábola que representa o gráfico das seguintes funções: a) y 5 x2 2 6x 1 5 c) y 5 2x2 1 x 2 3 e) y 5 26x2 b) y 5 3x2 2 4x d) y 5 x2 2 4 f) y54x 2 x 1 3 5 2 a 5 1, b 5 22 e c 5 215 Resolução: V(1, 216) y 5 ax2 1 bx 1 cSubstituindo os valores na equação, temos: 216 5 a(1)2 1 b(1) 1 c ⇒ 216 5 a 1 b 1 c (I)
0 5 a(23)2 1 b(23) 1 c ⇒ 0 5 9a 2 3b 1 c (II)
Temos:
2a 2a
xv 5 2b ⇒ 15 2b ⇒ b 5 22 ( )a III Substituindo (III) em (I) e (II):
216 5 a 2 2a 1 c ⇒ 216 5 2a 1 c 0 5 9a 2 3(22a) 1 c ⇒ 0 5 9a 1 6a 1 c ⇒ 0 5 15a 1 c 2a 1 c 5 216 (21) 15a 1 c 5 0 a c a c a 2 5 1 5 5 16 15 0 16 1 Substituindo em (III): 66 1 15 2 2 1 2 15 ⇒ ⇒ a c b a b a b c 5 5 2 5 2 5 2 5 5 2 5 2 e , , (3, 24) 1 2, 2114
(
)
(0, 0) 2 3, 243( )
(0, 24) 1 8, 4380( )
Resolução: a) y x x x b a y a v v 5 2 1 5 2 5 5 5 2 D 5 2 5 2 2 2 6 5 2 62 3 4 164 4 3 4 ( , ) b) y x x x y v v 5 2 5 5 5 2 5 2 2 3 4 4 6 23 16 12 43 2 3 43 2 ,( )
c) y x x x y v v 5 2 1 2 5 5 2 2 2 3 1 2 11 4 1 2, 114(
)
d) y 5 x2 2 4 xv 5 0 yv 5 24 (0, 24) e) y 5 26x2 xv 5 0 yv 5 0 (0, 0) f) y x x x y v v 5 2 1 5 5 4 3 5 1 8 43 80 1 8 4380 2 ,( )
47
(PUC-RS) Em uma fábrica, o número total de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por f t t t tt t ( ) ( ), ( ), . 5 1 1 , 50 0 4 200 1 4 8 2
O número de peças produzidas durante a quinta hora de trabalho é:
a) 40 c) 1 000 e) 2 200
b) 200 d) 1 200
48
(UERJ) Três corredores — I, II e III — treinam sobre uma pista retilínea. As posições ocupadas por eles, medidas a partir de um mesmo referencial fixo, são descritas pelas funções SI 5 5t 1 3, SII 5 2t 1 9 e SIII 5 t2 22t 1 9.Nessas funções, a posição S é medida em metros e o tempo t é medido em segundos.
Durante a corrida, o número de vezes em que a distância entre os corredores I e II é igual à distância entre os corredores II e III corresponde a:
a) 1 c) 3
b) 2 d) 4
49
Determine o parâmetro real k, de modo que a função f(x) 5 x2 2 2x 1 k tenha:a) dois zeros reais diferentes b) um zero real duplo c) nenhum zero real
Resolução:
A quinta hora é da 4a hora para a 5a hora.
Logo: t 5 4h ⇒ f(4) 5 50(42 1 4) 5 1 000 peças t 5 5h ⇒ f(5) 5 200(5 1 1) 5 1 200 peças Logo: f(5) 2 f(4) 5 200 peças Resolução: Devemos ter: • SII 2 SI 5 SIII 2 SII ⇒ 2t 1 9 2 (5t 1 3) 5 t2 2 2t 1 9 2 (2t 1 9) 2t 1 9 2 5t 2 3 5 t2 2 2t 1 9 2 2t 2 9 t t t s t s ou 2 6 0 3 2 2 2 5 9 5 0 5 2 (não serve) • SI 2 SII 5 SII 2 SIII ⇒ 5t 1 3 2 (2t 1 9) 5 2t 1 9 2 (t2 2 2t 1 9) 5t 1 3 2 2t 2 9 5 2t 1 9 2 t2 1 2t 2 9 t t t s t s ou 2 6 0 3 2 2 2 5 9 5 0 5 2 (não serve) Logo, o número de vezes é igual a 1.
k , 1 k 5 1 k 1 Resolução: a) D 0 4 2 4k 0 ⇒ 24k 24 ⇒ k , 1 b) D 5 0 4 2 4k 5 0 ⇒ k 5 1
50
(Unifesp-SP) As figuras A e B representam dois retângulos de perímetros iguais a 100 cm, porém de áreas diferentes, iguais a 400 cm2 e 600 cm2, respectivamente.A figura C exibe um retângulo de dimensões (50 2 x) cm e x cm, de mesmo perímetro que os retângulos das figuras A e B.
a) Determine a lei, f(x), que expressa a área do retângulo da figura C e exiba os valores de x que fornecem a área do retângulo da figura A.
b) Determine a maior área possível para um retângulo nas condições da figura C.
400 cm2 600 cm 2 Figura B Figura A Figura C 50 � x x f(x) 5 (50 2 x)x e f(x) 5 400 ⇒ x 5 10 ou x 5 40 625 cm2 Resolução:
a) A área de um retângulo de base 50 2 x e altura x, com 0 , x , 50, é dada por f(x) 5 (50 2 x) x (x em cm).
Essa área é igual a 400 cm2 se, e somente se:
f(x) 5 400
(50 2 x) x 5 400 x2 2 50x 1 400 5 0
x 5 10 ou x 5 40 b)
f(x) 5 (50 2 x) x é máximo se, e somente se, x 5 25. f(25) 5 (50 2 25) 25
f(25) 5 625
625
0 25 50 x
52
Determine para que valores de x é decrescente a função:a) f(x) 5 3x2 2 4x 1 1 b) f(x) 5 2x2 2 1 c) f(x) 5 22x2 1 5x
51
Determine para que valores reais de x é crescente a função:a) f(x) 5 2x2 2 6x 2 1 b) f(x) 5 x2 2 4 c) f(x) 5 22x2 1 3x x x 2 3 [ IR
{
}
x x 5 4 [IR {
}
{x [ IR | x > 0} Resolução: a) a xv 5 5 5 3 0 4 6 23(admite um valor mínimo)
f(x) é decrescente para x x 2 3
[IR
{
}
.b) a 5 21 , 0 (admite um valor máximo) xv 5 0 f(x) é decrescente para {x [ IR | x > 0}. c) a xv 5 2 , 5 2 0 5 4
(admite um valor máximo)
f(x) é deecrescente para x x 5 4 [IR
{
}
. x x 3 2 [ IR {
}
{x [ IR | x > 0} x x 3 4 [IR {
}
Resolução: a) a xv 5 5 2 0 3 2(admite um valor mínimo)
f(x) é creescente para x x 3 2
[ IR
{
}
.b) a 5 1 0 (admite um valor mínimo) xv 5 0 f(x) é crescente para {x [ IR | x > 0}. c) a xv 5 2 , 5 2 0 3 4
(admite um valor máximo) f(x) é crrescente para x x 3
4
[ IR
53
(IBMEC-SP) Em um edifício há 100 condôminos. Dados passados indicam que, se o valor do condomínio é igual a R$ 100,00, todos pagam o condomínio. Mas, a cada R$ 10,00 que o condomínio ultrapassa esse valor, um morador deixa de pagar o condomínio.a) Determine o valor do condomínio para que sejam arrecadados R$ 28 000,00 em determinado mês. b) Determine o valor do condomínio para que a arrecadação em determinado mês seja a maior possível.
Qual a porcentagem de inadimplentes neste caso?
R$ 700,00 ou R$ 400,00 R$ 550,00 e 45%
Resolução:
a) Sendo x o valor mensal, em R$, do condomínio e p(x) o número de condôminos pagantes, temos: D
D 5
2 p
x 101 e, portanto, p(x) 5 10 b,
21 x 1 em que b é uma constante. De p(100) 100, temos: 10 5 2 1 5 2 1 5 1 100 100 10 10 b b 00 110 1 110 100 1100 [ b x x 5 5 2 1 Logo, p(x) 10 . ( )
Para uma arrecadação mensal de R$ 28 000,00, devemos ter: x p( ) 28 10 110x x2 5 2 1 5 2 1 x x x 000 1 28 000 1100 280 00 2 00 0 700 400 5 5 5 x ou x Resposta: R$ 700,00 ou R$ 400,00
b) Sendo y 5 x p(x), com 100 < x < 1 100, temos:
y x x y x 5 2 1 5 2 1 1 10 110 1 10 2
(
)
110xO gráfico de y em função de x é um conjunto de pontos do arco da parábola de equação y 5 21x 1
10
2 110x, com 100 < x < 1 100.
Sendo xv a abscissa do vértice da parábola, temos:
xv 5 2 2 5 5 2 1 110 2 1 550 1 550 11 10 Temos p(550) 10
( )
00 555.Portanto, com o valor do condomínio igual a R$ 550,00, a arrecadação mensal é máxima e haverá 55 condôminos pagantes.
A porcentagem de inadimplentes, neste caso, é 100 55
100 45 2 5 %. Resposta: R$ 550,00 e 45% x 1 100 550 100 0 y
54
(UFSC) As dimensões de um retângulo são dadas, em centímetros, pelas expressões: 2x e (10 2 2x), com 0 , x , 5. Determinar, nesse caso, o valor máximo da área, em centímetro quadrado, que esse retângulo pode assumir.p. 76
55
(IME-RJ) Seja f: IR → IR uma função quadrática, tal que f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a 0, ; x [ IR. Sabendo que x1 5 21 e x2 5 5 são as raízes e que f(1) 5 28, pede-se:a) determinar a, b, c. b) calcular f(0).
c) verificar se f(x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta. d) as coordenadas do ponto extremo.
25 cm2 Resolução: 2x e (10 2 2x) 0 , x , 5 Área 5 2x(10 2 2x) Área 5 20x 2 4x2 xv 5 22 2( )204 5 22208 52,5 Áreamáx 5 20 2,5 2 4(2,5)2 Áreamáx 5 50 2 4 6,25 Áreamáx 5 25 cm2 a 5 1; b 5 24; c 5 25 25 mínimo, pois a 0 (2, 29) Resolução: f(x) f(1) 5 1 1 9 5 2 0 5 5 2 ax bx c dados x x co 2 1 5 8 , , m m a 0 a) 2 5 1 1 5 2 1 5 1 1 5 5 2 5 2 8 0 0 1 4 5 a b c a b c c a b c 25a 5b b) f(0) 5 1 0 2 4 0 2 5 ⇒ f(0) 5 25 c) mínimo, pois a 0 d) xv 5 yv 22 5 5 2 1 5 2 2 ( )4 2 (16 20) 9 ( ,2 9) 2 4(1)
56
(IBMEC-SP) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de segundos em que ela fica exposta à radiação ultravioleta, segundo a relaçãop(t) 5 100 2 15t 1 0,5t2
a) Considerando que p deve ser uma função decrescente variando de 0 a 100, determine a variação correspondente do tempo t (domínio da função).
b) A cultura não será segura para ser usada se tiver mais de 28% de bactérias. Obtenha o tempo mínimo de exposição que resulta em uma cultura segura.
57
(Uniube-MG) A tabela abaixo fornece a profundidade de uma lagoa em relação à distância horizontal tomada a partir de um ponto de sua margem.0 1 2 0 8 12 distância (km)
profundidade (m)
Se usarmos um polinômio de grau 2 para representar a profundidade como função da distância horizontal, então: a) a profundidade será igual a 8 m quando a distância for 3 km.
b) a profundidade será igual a 14 m quando a distância for 3 km. c) a margem oposta do lago estará a 6 km do ponto de origem. d) o polinômio será p(x) 5 14x2 2 6x.
e) a profundidade máxima será 12,5 m.
Resolução:
a) p(t) 5 100 2 15t 1 0,5t2
p(t) 5 0,5(t2 2 30t 1 200)
De t2 2 30t 1 200 5 0, temos t 5 10 ou t 5 20.
Considerando que p é uma função decrescente e que 0 < p(t) < 100, podemos concluir que seu domínio é o intervalo fechado [0, 10]. Resposta: [0, 10]
b) De p(t) 5 28, temos:
0,5t2 2 15t 1 100 5 28 ⇒ t2 2 30t 1 144 5 0 ⇒ t 5 6 ou t 5 24
Da condição 0 < t < 10, temos t 5 6 s.
Como p é decrescente, temos p(t) < 28, para t > 6 (e t < 10).
Resolução:
Representando a profundidade p em função da distância x por p(x) 5 ax2 1 bx 1 c e usando os dados
da tabela, temos: p(0) 5 0 ⇒ p(0) 5 a 02 1 b 0 1 c ⇒ 0 5 c p(1) 5 8 ⇒ p(1) 5 a 12 1 b 1 1 0 ⇒ a 1 b 5 8 p(2) 5 12 ⇒ p(2) 5 a 22 1 b 2 1 0 ⇒ 4a 1 2b 5 12 De e , vem: a b a b b 1 5 1 5 2 1 5 2 2 5 2 1 2 5 8 12 2 8 6 2 4a 2b 2a a ( ) ⇒ ⇒ ⇒ a 5 2 b 5 5 2 1 2 e 10 Logo: p(x) 2x2 10x.
A profundidade máxima ocorrerá quando:
y 5 5 2 D 5 2 2 5 y 4a y 4 12,5 m vértice ⇒ vértice 100( )2 0 10 20 100 p(t) t [0, 10] 6 s
58
(UFES) Determine os possíveis valores reais que a e b podem assumir para que o gráfico da função f: IR → IR dada por f(x) 5 ax2 1 bx 1 1 encontre o eixo Ox em um único ponto P 5 (3, 0).59
(Fatec-SP) Sejam as funções f e g, de V em V, definidas, respectivamente, por f(x) = 2 2 x e g(x) = x2 2 1. Com relação à função g f, definida por (g f) (x) = g[f(x)], é verdade que: a) a soma dos quadrados de suas raízes é igual a 16.
b) o eixo de simetria de seu gráfico é y = 2. c) o seu valor mínimo é 2 1.
d) o seu conjunto imagem está contido em [0, 1[. e) (g f) (x) , 0 se, e somente se, 0 , x , 3.
a 5 1 b 5 2 9; 23 Resolução: f(x) ax bx f(3) 9a 9a 3b 3b 2 5 1 1 5 5 1 1 5 2 2 5 2 2 1 0 0 3 1 1 1 b a 99 0 0 4 1 9 1 0 4 9 0 2 2 D 5 2 5 2 2 2 5 1 1 5 [ b 4ac ( 3b 12b 9 2 b b ) bb 12b e 2 1 1 5 D 5 5 2 5 4 0 0 2 3 19 b ⇒ a Resolução: Se f(x) 5 2 2 x e g(x) 5 x2 2 1, então (g f)(x) 5 g[f(x)] 5 5 g[2 2 x] 5 (2 2 x)2 2 1 5 x2 2 4x 1 3.
Sejam x1 e x2 as raízes de g f no plano cartesiano.
Assim sendo, o gráfico de g f é:
Logo, o valor mínimo de g f é 21.
1 3 V x x � 2 y � (g � f) (x) 3 �1
60
(UFES) No tempo t = 0, o tanque de um automóvel está com 6 litros de combustível. A partir desse instante, ele é abastecido, e o volume de combustível no tanque aumenta a uma razão constante de 3 litros por minuto, durante 10 minutos. Logo em seguida, o automóvel entra em movimento e leva 3 horas para gastar todo o combustível e parar. Durante essas 3 horas, o volume de combustível no tanque, em litros, é descrito por uma função do 2o grau do tempo t, em minutos. O gráfico dessa função do 2o grau é uma parábola com vértice no ponto (190, 0).Designando por V(t) o volume de combustível no tanque, em litros, em função do tempo t, em minutos, para 0 < t < 190:
a) determine a expressão de V(t) e esboce o seu gráfico;
b) determine em quais instantes de tempo t, tem-se V(t) = 9. 1 min ou 100 min
Resolução:
a) Como V(0) 5 6 e, para 0 < t < 10, V(t) aumenta a uma taxa constante de 3 litros por minuto, então V(t) 5 3t 1 6, para 0 < t < 10.
Como, para 10 < t < 190, V(t) é descrito por uma função quadrática de t, cujo gráfico é uma parábola com vértice em (190, 0), então:
V(t) 5 a (t 2 190)2, sendo a um número real.
Como V(10) 5 3 10 1 6 5 36, então V(10) 5 a (10 2 190)2 5 36 e, portanto, a 5 1
900. Logo, para 10 < t < 190, V(t) 5 (t 2190) . 900 2 Assim, a expressão de V(t) é: V(t)5 3t 1 2 6 0 10 190 900 10 190 2 , ( ) , t t t
b) Para 0 < t < 10, V(t) 5 9 se, e somente se, 3t 1 6 5 9, isto é, t 5 1. Para 10 < t < 190, V(t) 5 9 se, e somente se, (t 2190) 5 ,
900 9
2
isto é, t 5 100. Logo, V(t) 5 9 se, e somente se, t 5 1 ou t 5 100. 6 36 10 0 190 V (�) t (min)
61
(UFV-MG) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por:C(x) 3 x(12 x) 2 5 1 2 2 1 , 5 0 10 40 10 20 se x x se x
a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção das 24 unidades.
b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo. R$ 49,50
6 unidades
Resolução:
a) O custo para produzir 9 unidades é:
C(x) 5 5 1 x(12 2 x) ⇒ C(9) 5 5 1 9(12 2 9) C(9) 5 5 1 27
C(9) 5 32 reais
O custo para produzir 15 unidades é:
C(x) C(15) C(15) 17,5 reais 5 2 1 5 2 1 5 3 2x 40 ⇒ 32 15 40
O custo total é de:
C(24) 5 C(9) 1 C(15) ⇒ C(24) 5 32 1 17,5 C(24) 5 49,5 reais
b) O custo máximo para C(x) 5 5 1 x(12 2 x) é: C(x) 5 5 1 12x 2 x2 ⇒ C(x) 5 2x2 1 12x 1 5 xv 5 xv 2 5 2 2 5 b 2a ⇒ 122 ⇒ xv 6 unidades O custo máximo é: C(6) 5 2(6)2 1 12 6 1 5 ⇒ C(6) 5 41 reais
O custo máximo para C(x) 5 23 1
2x 40, se x 5 0, é: C(x) 5 40 reais
62
(FGV-SP) Num parque de diversões A, quando o preço de ingresso é R$ 10,00, verifica-se que 200 freqüentadores comparecem por dia; quando o preço é R$ 15,00, comparecem 180 freqüentadores por dia. a) Admitindo que o preço (p) relaciona-se com o número de freqüentadores por dia (x) através de umafunção do 1o grau, obtenha essa função.
b) Num outro parque B, a relação entre p e x é dada por p 5 80 2 0,4x. Qual o preço que deverá ser cobrado para maximizar a receita diária?
63
(UECE) Sejam x1 e x2 as raízes da equação 2x2 2 6x 1 p2 250. Se (x1 1 x2)2 5 x1 x2, então p é igual a: a) 1 c) 5 b) 3 d) 7 p5 21 x 1 4 60 R$ 40,00 Resolução: a) p Par (200, 10): Par (180, 15): 5 1 5 1 5 ax b a b 10 200 15 aa b a b b 1 2 2 5 5 2 5 2 1 5 180 5 1 4 10 4 200
( )
1 20a ⇒ ⇒ 660 60 Logo, a função é: p 1 4x 5 2 1 . b) p 5 80 2 0,4xA receita diária é dada por: R 5 p x ⇒ R 5 80x 2 0,4x2 (I) Receita máxima: y 4a y 4 800,4) 4 000 v v 2 5 2 D 5 2 2 5 ⇒ ( Voltando a (I): 4 000 5 80x 2 0,4x2 x2 2 200x 1 10 000 5 0 x1 5 x2 5 100 p 5 80 2 0,4 100 ⇒ p 5 80 2 40 5 40 O preço deverá ser de R$ 40,00.
Resolução: x x x x p x x 1 2 1 2 2 1 2 6 2 2 1 5 5 2 1 5 ; , 2 Se (x x ) então: 6 1 2 22 2 2 2 64 2 2 5 5 p 2 ⇒ 5 p 2 ⇒ p5
64
(Mackenzie-SP) Dada a função f(x) 5 kx2 2 8x 1 3, o valor de k para que 21 seja raiz da função é:a) 25 c) 211 e) nenhuma das anteriores
b) 5 d) 22
p. 81
65
Estude os sinais das seguintes funções:a) f(x) 5 x2 2 3x 210 c) f(x) 5 x2 2 x 1 10 b) f(x) 5 2x2 1 2x d) f(x) 5 x2 1 6x 1 9 Resolução: Se 21 é raiz, f(21) 5 0. k(21)2 2 8(21) 1 3 5 0 ⇒ k 5 211 Resolução: a) f(x) 5 x2 2 3x 2 10 D 5 49 x9 5 22 e x0 5 5 a 5 1 0
Concavidade para cima:
f(x) 5 0 para {x [ IR | x 5 22 ou x 5 5} f(x) 0 para {x [ IR | x , 22 ou x 5} f(x) , 0 para {x [ IR | 22 , x , 5} b) f(x) 5 2x2 1 2x D 5 4 x9 5 0 e x0 5 2 a 5 21 , 0
Concavidade para baixo:
f(x) 5 0 para {x [ IR | x 5 0 ou x 5 2} f(x) 0 para {x [ IR | 0 , x , 2} f(x) , 0 para {x [ IR | x , 0 ou x 2} c) f(x) 5 x2 2 x 1 10 D 5 239 [ S 5 [ a 5 1 0
Concavidade para cima:
f(x) x f(x) x ; 0 0 ⇒ ⇒ ∃
/
[[ IR IR d) f(x) 5 x2 1 6x 1 9 D 50 x 5 23 a 5 1 0Concavidade para cima:
f(x) 0 para x x f(x) x f(x) par 5 5 2 , { [ } [ IR IR ⇒ ∃
/
3 0 0 aa x{ [ IR 23x } �2 5 x � � � 0 2 x � � � x � � � x �3 � �66
Determine m de modo que a função f(x) 5 x2 2 (2m 1 1)x 1 m2 tenha apenas valores positivos para todo x real.67
Resolva as seguintes inequações do 2o grau.a) x2 2 2x 2 8 , 0 c) 23x2 1 2x 2 1 0 b) x2 2 10x 1 25 0
68
Ache o conjunto verdade da inequação (2x 2 5) (x 2 4) 2 7 > (x 2 2) (x 2 3).m m 4 [IR , 2 1
{
}
Resolução: a m 5 D , 1 2 , , 2 , 2 5 1 0 0 1 0 (2m 1) 4(1)(m) 4m 1 4 S m 2 2 ⇒ ⇒ ⇒ [ IIR m 4 , 2 1{
}
{x [ IR | 22 , x , 4} {x [ IR | x 5} [ Resolução: a) a 5 1 0 x x x x 2 2 8 0 4 2 2 2 5 9 5 0 5 2 S 5 {x [ IR | 22 , x , 4} b) a 5 1 0 x2 2 10x 1 25 5 0 ⇒ x9 5 x0 5 5 S 5 {x [ IR | x 5} �2 4 x � � � 5 x � � c) a 5 23 , 0 23x2 1 2x 2 1 5 0 ⇒ D 5 28 S 5 [ x � � {x [ IR | x < 1 ou x > 7} Resolução: x2 2 8x 1 7 > 0 a 5 1 0 x x x x 2 8 7 0 7 1 2 1 5 9 5 0 5 1 7 x � � � S 5 {x [ IR | x < 1 ou x > 7}69
Resolva as seguintes inequações:a) 0 , x2 1 x 2 12 , 8 b) 24 , x2 1 2x < 3x
70
Dada a função f(x) 5 kx2 2 2kx 1 k 2 1, calcule os valores de k para que f(x) assuma valores negativos para todo x real.S 5 {x [ IR | 25 , x , 24 ou 3 , x , 4} S 5 {x [ IR | 0 < x < 1} Resolução: a) 0 x2 x 12 8 � � � � II ( ) (I) (I) 0 , x2 1 x 2 12 x2 1 x 2 12 0 x2 1 x 2 12 5 0 x9 5 24 e x0 5 3 (II) x2 1 x 2 12 , 8 x2 1 x 220 , 0 x2 1 x 220 5 0 x9 5 25 e x0 5 4 S 5 {x [ IR | 25 , x , 24 ou 3 , x , 4} b) � �4 x2 �2x � 3x II ( ) (I) (I) 24 , x2 1 2x 2x2 22x 2 4 , 0 2x2 2 2x 2 4 5 0 (II) x2 1 2x < 3x x2 2 x 5 0 x9 5 0 e x0 5 1 S 5 {x [ IR | 0 < x < 1} �4 3 x � � � �5 4 x � � � �4 �4 �5 �5 3 (I) (II) (I) � (II) 3 4 4 x � � 0 1 x (I) (II) (I) � (II) 1 1 0 0 {k [ IR | k , 0} Resolução: (I) a , 0 ⇒ k , 0 (II) D , 0 ⇒ 4k2 2 4(k)(k 2 1) , 0 ⇒ 4k , 0 [ k , 0 S 5 {k [ IR | k , 0}
71
(FGV-SP) A receita mensal (em reais) de uma empresa é R 5 20 000p 2 2 000p2, onde p é o preço de venda de cada unidade (0 < p < 10).a) Qual o preço p que deve ser cobrado para dar uma receita de R$ 50 000,00? b) Para que valores de p a receita é inferior a R$ 37 500,00?
72
Determine o conjunto solução de: x x x 2 2 2 0 2 2 112x 13 0 Resolução: R 5 20 000p 2 2 000p2 0 < p < 10 (I) a) R 5 50 000 50 000 5 20 000p 2 2 000p2 (: 2 000) p pv 2 0 5 2 1 5 5 2 5 10p 25 b 2a [ R$ 5,00 b) R , 37 500 20 000p 2 2 000p2 , 37 500 (: 2500) 4p2 2 40p 1 75 0 p9 5 2,5 e p0 5 7,5 p , 2,5 ou p 7,5 (II) S 5 {p [ IR | 0 < p , 2,5 ou 7,5 , p < 10} 2,5 7,5 x � � � (I) 0 2,5 7,5 10 10 7,5 2,5 0 (II) (I) � (II) {x [ IR | 21 , x < 0 ou 2 < x , 3} Resolução: x a x x 2 0 1 0 0 2 0 2 5 2 5 9 5 0 5 2x x2 2x 2 1 1 5 2 , 2 1 1 5 9 5 0 5 2 x a x x x 2 2 3 0 1 0 3 0 3 1 2x 2x S 5 {x [ IR | 21 , x < 0 ou 2 < x , 3} 0 2 x � � � �1 3 x � � � (I) �1 3 �1 0 0 2 2 3 (II) (I) � (II) R$ 5,00 {0 < p , 2,5 ou 7,5 , p < 10}73
(FGV-SP) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3, 24). Sabe-se que 2 é uma raiz da função.a) Obtenha a expressão da função f. b) Para quais valores de x tem-se f(x) 0?
74
(PUC-RS) A solução, em IR, da inequação x2 , 8 é:a) 22 2 2 2
{
;}
c) 22 2 2 2 ; e) 2; 2 2 b) 22 2 2 2 ; d) 2; 2 2 f(x) 5 4x2 2 24x 1 32 {x [ IR | x , 2 ou x 4} Resolução: a) vértice: (3, x : 2a 6a (I) 2 é raiz, v 2 2 5 5 2 4 3 ) b ⇒ b logo, f(2) 0. 0 4a 2b 4a 12a 8a 5 5 1 1c ⇒ 0 5 2 1c ⇒ c 5 ( ))II yv 5 2D 5 2 yv 5 2 2 5 2 2 5 4a (b 4a 4ac) 36a 4a 8a 16a 2 4 4 2 ⇒⇒ ⇒4a 16a (não serve)
24 e c 3 2 2 5 9 5 0 5 5 5 2 5 0 0 4 4 a a a b 22 [ f(x) 4x2 24x 5 2 132 b) f(x) 0 4x2 2 24x 1 32 0 4x2 2 24x 1 32 5 0 x9 5 4 e x0 5 2 {x [ IR | x , 2 ou x 4} � � � 2 4 x Resolução: x2 , 8 ⇒ x2 2 8 , 0 Raízes: x2 28 50 ⇒ x 5 62 2 S 5
{
x [IR 2 22 , x , 2 2}
x � � � �2 2 2 275
(Vunesp-SP) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos), por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por f(t) 3
4t 6t
5 2 2 1 29. Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.
altura (m) 1 0 �2 �4 tempo (s) f(t) = 2t 2 4 e t = 2 s
O golfinho ficou 4 segundos fora da água, e a altura máxima atingida foi 3 metros.
Resolução:
a) A parte negativa do gráfico de f pode ser representada pela função f(t) 5 at 1 b. Se f(0) 5 24 e f(1) 5 22, vem:
a 0 1 b 5 24 ⇒ b 5 24 a 1 1 b 5 22 ⇒ a 1 b 5 22 a 2 4 5 22
a 5 2
Portanto, nesse intervalo, a função é f(t) 5 2t 24.
O golfinho sai da água quando f(t) 5 0. Logo: 0 5 2t 24 ⇒ t 5 2 s. b) As raízes da equação 23 16t 2 5 são 2 e t
4 9 0
2
t 22.
O produto das raízes é c
a. Assim: 3 4 2 2 5 29 2 t ⇒⇒ 6t2 536 ⇒ t2 56s
O golfinho saiu da água no instante 2 s e voltou à água no instante 6 s e, portanto, ficou 4 segundos fora da água.
A abscissa do vértice da parábola é 4. A altura máxima atingida é dada por f(4):
f(4) 5 23 1 2 5 4 4 6 4 9 3 2 f (t) t A (1, �2) 0 t1 (0, �4) 0 2 f (t) t t2
76
(UFU-MG) Dadas as funções reais definidas por f(x) 5 2x 2 6 e g(x) 5 x2 1 5x 1 3, pode-se dizer que o domínio da função h(x)5 (f g x )( ) é:a) {x [ IR | x < 25 ou x > 0} c) x [ IR | x > 25} e) {x [ IR | 25 , x , 0} b) {x [ IR | x < 0} d) {x [ IR | 25 < x < 0}
77
(Osec-SP) O domínio da função y 5 12x2 1 x2 21 é:a) [21, 1] c) ]2, 21] [1, [ e) [ b) {21, 11} d) ]21, 1[ Resolução: (f g) x ) x x x x (x) 2(x 0x h(x) 2 5 1 1 2 5 1 5 1 5 3 6 2 1 2 10 2 2 2 22 0 2 0 0 5 1 1 5 9 5 0 5 2 10x ⇒ 2x 10x x x Dh 5 {x [ IR | x < 25 ou x > 0} x �5 0 � � � Resolução: 1 2 x2 > 0 x 5 61 e x2 2 1 > 0 x 5 61 D 5 {21, 1} x �1 1 � � � x �1 1 � � � �1 1 (I) (II) (I) � (II) �1 1
p. 84
78
Determine o conjunto solução das inequações:a) (2x2 1 x 1 12) (1 2 x2) , 0 c) (x2 29) (x 2 1) (x2 1 5x) < 0 b) (x 2 4) (2x2 1 5x 1 6) < 0 Resolução: a) (2x2 1 x 1 12) (1 2 x2) , 0 f(x) 5 2x2 1 x 1 12 2x2 1 x 1 12 5 0 x9 5 23 x0 5 4 g(x) 5 1 2 x2 1 2 x2 5 0 x9 5 1 x0 5 21 b) (x 2 4) (2x2 1 5x 1 6) < 0 f(x) 5 x 2 4 x 2 4 5 0 x 5 4 g(x) 5 2x2 1 5x 1 6 2x2 1 5x 1 6 5 0 x9 5 21 x0 5 6 c) (x2 2 9) (x 2 1) (x2 1 5x) < 0 f(x) 5 x2 2 9 x2 2 9 5 0 x 5 6 3 g(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 x 5 1 h(x) 5 x2 1 5x x2 1 5x 5 0 x9 5 0 x0 5 25 S 5 {x [ IR | 23 , x , 21 ou 1 , x , 4} S 5 {x [ IR | 21 < x < 4 ou x > 6} S 5 {x [ IR | x < 25 ou 23 < x < 0 ou 1 < x < 3} x 4 �3 � � � x 1 �1 � � � � � � � �3 �1 1 4 �3 �1 1 4 � � � � � � � � � � � f(x) g(x) f(x) � g(x) x 4 � � x 6 �1 � � � �1 4 f(x) g(x) f(x) � g(x) 6 �1 4 6 � � � � � � � � � � � � x �3 �3 � � � x 1 � � x 0 �5 � � � �5 �3 0 1 3 �5 �3 0 1 3 f(x) g(x) h(x) f(x) � g(x) � h(x) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
79
Resolva as seguintes inequações-quociente: a) x x x x 2 2 7 10 5 4 0 2 1 2 1 c) x 2 2 8 x 2 , b) 2 1 2 x 3x 2 0 2 x d) x 1x 2 2 1x 0 Resolução: a) f(x) 5 x2 2 7x 1 10 x9 5 5 e x0 5 2 (a 5 1 0) g(x) 5 x2 2 5x 1 4 x9 5 4 e x0 5 1 (a 5 1 0) S 5 {x [ IR | x , 1 ou 2 , x , 4 ou x 5} S 5 {x [ IR | 0 , x < 2 ou x 3} S 5 {x [ IR | x , 2} S 5 {x [ IR | x , 22 ou 21 , x , 0 ou x 2} x 5 2 � � � x 4 1 � � � x 2 � � x 3 0 � � � x 4 � � x 2 � � x 2 �1 � � � x 0 �2 � � � � � � � 1 2 4 5 1 2 4 5 � � � � � � � � � � � f(x) g(x) f(x) g(x) � � � � � � � � � � � � 0 2 3 0 2 3 f(x) g(x) f(x) g(x) � � � � � � � � � 2 4 2 4 f(x) g(x) f(x) g(x) � � � � �2 �1 0 2 �2 �1 0 2 � � � � � � � � � � � f(x) g(x) f(x) g(x) b) f(x) 5 2x 1 2 2x 1 2 5 0 x 5 2 g(x) 5 x2 23x x9 5 0 e x0 5 3 d) x x2 2x 2 2 0 2 2 1 x f(x) 5 x2 2 x 2 2 x2 2 x 2 2 50 x9 5 2 e x0 5 21 g(x) 5 x2 1 2x x2 1 2x 5 0 x9 5 0 e x0 5 22 c) x 2 x 2 2 2 8 0 8 16 0 2 x x x x 2 2 , 2 1 2 , ( ) f(x) 5 x2 2 8x 1 16 x2 2 8x 1 16 5 0 x9 5 x0 5 4 g(x) 5 x 2 2 x 2 2 5 0 x 5 280
Resolva as inequações:a) x3 2 x2 2 12x < 0 b) x3 2 3x2 2 5x 215
81
(Unitau-SP) Para quais valores de a tem-se a a 1 1 2? {x [ IR | x < 23 ou 0 < x < 4}{
x [IR2 5 , x , 5 ou x 3}
Resolução: a) x(x2 2 x 2 12) < 0 f(x) 5 x x 5 0 g(x) 5 2 2 2 2 5 D 5 9 5 0 5 2 x x x x x x 2 2 12 12 0 49 4 3 b) x2(x 2 3) 25(x 2 3) 0 (x2 2 5) (x 2 3) 0 f(x) e 5 2 2 5 9 5 0 5 2 x x x x 2 2 5 5 0 5 5 g(x) 5 x 2 3 x 2 3 5 0 x 5 3 S 5{
x [IR2 5 , x , 5 ou x 3}
S 5 {x [ IR | x < 23 ou 0 < x < 4} x 0 � � x 4 �3 � � � �3 0 f(x) g(x) f(x) � g(x) 4 �3 0 4 � � � � � � � � � � � � x 3 � � x � � � � 5 5 f(x) g(x) f(x) � g(x) 3 � � � � � � � � � � � � � 5 5 3 � 5 5 {a [ IR | a 0} Resolução: a a a a a a a a 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 0 1 0 2 2 2 ⇒ ⇒ 2a 2a f(a) 5 a2 2 2a 1 1 a2 2 2a 1 1 5 0 g(a) 5 a a 5 0 a 1 � � a 0 � � 1 0 1 0 � � � � � � � � � f(a) g(a) f(a) g(a) S 5 {a [ IR | a 0}82
(UFRN) Seja f: IR → IR uma função definida por f(x) 5 2 1 5 1 2 2 x x . O conjunto A 5 {x [ IR | f(x) < 2} é igual a: a) {x [ IR | | x | < 1} c) {x [ IR | x > 1} b) {x [ IR | | x | > 1} d) {x [ IR | x < 21}83
(UFV-MG) O conjunto solução da inequação x xx x x 2 26 5 1 7 10 0 2 1 1 2 1 ( )( ) é: a) {x [ IR | x , 21 ou 2 , x , 5 ou x 5} b) {x [ IR | 21 < x , 1 ou 2 , x , 5 ou x 5} c) {x [ IR | x < 1 ou x > 5} d) {x [ IR | 21 , x < 1 ou 2 , x , 5 ou x 5} e) {x [ IR | 21 < x < 1 ou 2 < x < 5 ou x > 5} Resolução: 5 1 2 5 1 2 0 3 3 1 0 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 , 5 2 x x x x x x x ⇒ f(x) 22 2 3 3 3 0 1 1 1 2 1 5 9 5 0 5 2 x x x
g(x) 5 1 1 x2 assume valores positivos para todo x real.
Resolução: f(x) 5 2 1 2 1 5 9 5 0 5 x x x x x x 2 2 6 5 6 5 0 5 1 g(x) 5 x 1 1 x 5 21 h(x) 5 2 1 2 1 5 9 5 0 5 x x x x x x 2 2 7 10 7 10 0 2 5 x < 21 ou x > 1, ou seja, |x| > 1 x 1 �1 � � � 1 �1 1 �1 � � � � � � � � � f(x) g(x) f(x) g(x) S 5 {x [ IR | 21 , x < 1 ou 2 , x , 5 ou x 5} x 5 1 � � � x �1 � � x � � 1 2 5 5 �1 1 2 5 �1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � f(x) g(x) h(x) f(x) g(x) h(x)�
85
(UERN) As inequações 4 2x2 0 4 1 xe são satisfeitas simultaneamente se, e somente se: a) 0 , x , 2 ou x 4 c) 0 , x , 4 e) 0 , x , 2
b) 22 , x , 2 d) 22 , x , 4
84
(Fuvest-SP) O conjunto das soluções, no conjunto IR dos números reais, da inequação xx 11 x é: a) vazio c) {x [ IR x , 0} e) {x [ IR x , 21} b) IR d) {x [ IR x 21} Resolução: x x 1 2 x x 2 1 1 0 x 1 0 2 ⇒ f(x) 5 2x2 x9 5 x0 5 0 g(x) 5 x 1 1 x 1 1 5 0 x 5 21 S 5 {x [ IR x , 21} x 0 � � x �1 � � 0 �1 0 �1 � � � � � � � � � f(x) g(x) f(x) g(x) Resolução: 4 0 4 0 2 2 2 2 2 2 5 9 5 0 5 2 x x x x ⇒ 4 1 0 4 0 4 0 4 0 x x x x x x 2 5 2 2 5 5 5 f(x) g(x) ⇒
{
0 , x , 2 (I) 2 �2 � � � 4 0 4 0 � � � � � � � � � f(x) (II) g(x) f(x) g(x) 0 0 2 2 4 �2 (II) (I) � (II) (I) x 4 � � � 0 x �86
(UFAL) No universo U 5 IR, o conjunto solução da inequação (x 2 1) (x2 2 6x 1 5) < 0 é: a) [1, 5] c) ]2, 1] [5, 1[ e) ]2, 5]b) [5, 1[ d) ]2, 1]
87
(Fuvest-SP) O conjunto solução de (2x2 1 7x 215) (x2 1 1) , 0 é:a) [ c) IR e) IR1 b) [3; 5] d) [21; 1] Resolução: (x 2 1) (x2 2 6x 1 5) < 0 f(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 g(x) 5 x2 2 6x 1 5 x x x x 2 6 5 0 1 5 2 1 5 9 5 0 5 Resolução: (2x2 1 7x 215) (x2 1 1) , 0 f(x) 5 2x2 1 7x 2 15 2x2 1 7x 2 15 5 0 D 5 49 2 60 , 0 g(x) 5 x2 1 1 x2 1 1 5 0 D 5 24 , 0 S 5 {x [ IR | x < 5} 5 ] 2, 5] x 1 � � x 5 1 � � � 5 1 1 5 � � � � � � � � � f(x) f(x) � g(x) g(x) ; x [ IR, f(x) g(x) , 0 Logo, S 5 IR. x � � x � � � � � � � � � � � � � � � � � f(x) f(x) � g(x) g(x)
88
(UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas estão representadas as funções f(x) 5 4x 2 4 e g(x) 5 2x2 2 12x 1 10.Com base nos dados, determine: a) as coordenadas do ponto P;
b) o conjunto solução da inequação g(x)
f(x) , 0, ( )f x 0. Resolução: f(x) 5 4x 2 4 g(x) 5 2x2 2 12x 1 10 a) 4x 2 4 5 2x2 2 12x 1 10 2x2 2 16x 1 14 5 0 x9 5 1 e x0 5 7 f(1) 5 4 1 2 4 5 0 ponto (1, 0) f(7) 5 4 7 2 4 5 24 ponto (7, 24)
De acordo com a figura, as coordenadas do ponto P são (7, 24). b) g(x) f(x) f(x) 2x 12x 10 4x 0, com x 1 2 , 2 1 2 , 0 0 4 g(x) 5 2x2 2 12x 1 10 2x2 2 12x 1 10 5 0 x9 5 1 e x0 5 5 f(x) 5 4x 2 4 4x 2 4 5 0 x 5 1 (7, 24) {x [ IR | x , 5 e x 1} y x f(x) g(x) unidades em cm P x 5 1 � � � x 1 � � � � � � � � � � � 1 1 5 1 5 f(x) g(x) g(x) f(x) S 5 {x [ IR | x , 5 e x 1}
89
Calcule o domínio das funções: a) y 5 (12x x)( 2 1 2x 28) b) f(x) 25 2x 5 2 2 x2 4 190
Ache o conjunto verdade da inequação xx3 x2 x 1 0 2 1 2 . Resolução: a) y x x x x x 5 2 1 2 2 1 2 5 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 1 8 1 8 0 1 1 2 2 2x 2x f(x) xx 50 ⇒ x 51 g(x) 5 x2 1 2x 2 8 x2 1 2x 2 8 5 0 x9 5 24 e x0 5 2 b) x 25 2x 2x sendo 1 2x 2 2 2 2 2 2 1 1 25 0 0 4 2 ⇒ x , f(x) 5 x2 2 25 x2 2 25 5 0 x 5 6 5 g(x) 5 1 2 2x 1 2 2x 5 0 x 5 12 Resolução: x x x x x x x 2( 21)1( 21) 0 ⇒ ( 21)( 2 11) 0, com x 1 f(x) 5 x x 5 0 g(x) 5 x 2 1 x 2 1 5 0 x 5 1 h(x) 5 x2 1 1 x2 1 1 5 0 x x ou 2 [IR 25 1 , x 5
{
}
{x [ IR x < 24 ou 1 < x < 2} {x [ IR | x < 0 ou x 1} x 1 � � x � � � �4 2 �4 1 f(x) g(x) f(x) � g(x) 2 �4 1 2 � � � � � � � � � � � � x � � � �5 5 x � � 1 2 1 2 1 2 �5 f(x) g(x) f(x) � g(x) 5 �5 5 � � � � � � � � � � � � D 5 {x [ IR | x < 24 ou 1 < x < 2} D x x ou 2 x 5{
[ IR 25 1 , 5}
x 0 � � x 1 � � f(x) g(x) h(x) 0 1 0 1 � � � � � � � � � � � � f(x) g(x) h(x)� S 5 {x [ IR | x < 0 ou x 1}91
(IBMEC-RJ) Seja: ( ) ( ) x x 2 2005 2004 4 1 0 21 .Determine, justificando, o conjunto solução da inequação dada.S 5 {x [ IR 22 < x < 2 e x 21}
Resolução: ( ) ( ) x x 2 2005 2004 4 1 0 2 1
numerador: expoente ímpar ⇒ sinal da base
base: x2 2 4
denominador: expoente par ⇒ sempre positivo denominador 0 ⇒ x 21 � 2 x y 0 �2 � � � � � � � � � � � � � � � �1 �2 �2 �1 2 2 S 5 {x [ IR |22 < x < 2, x 21}
92
(UDESC) Sejam f(x)5 2 1 e g(x)5 22 3
1
x x
x duas funções, determine: a) o domínio de cada uma dessas funções;
b) todos os valores de x para os quais a função f(x) é estritamente menor que g(x). D(f) 5 {x x [ IR} e D(g) 5 {x [ IR x 1} {x [ IR x 1} Resolução: a) D(f) 5 {x | x [ IR} e D(g) 5 {x [ IR x 1} b) f(x) g(x) 2x 2x 2x 3)(x 1 , 2 1 , 2 2 1 2 2 , 2 1 2 ⇒ 3 1 3 1 0 x x x x ( )) 2x 2x 3x x 2x 4x 2 2 2 2 2 , 2 1 1 2 2 2 , 2 1 2 2 , x x x x 1 0 3 1 0 3 1 0 xx2 4x 2 1 2 3 1 0 x Raízes: 2x2 2 4x 1 3 5 0 ⇒ raiz real x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 O quadro quociente é: S 5 {x [ IR x 1} � � � � � 1 1 � � � � � � 1
