COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br Conceito de funções – 2013 - GABARITO
1. Dados os diagramas:
Podemos afirmar que:
a) I, II e IV representam funções de A em B; b) I, III e IV representam funções de A em B;
c) I e IV representam funções de A em B; d) IV não representa função de A em B;
e) todos representam funções de A em B.
Solução. Analisando as figuras, temos:
I: Representa função de A em B, pois todos os elementos de A possuem imagem em B. E essa imagem é única.
II: Representa função pela mesma razão exposta em (I).
III: Não representa função, pois um elemento de A possui duas imagens em B.
IV: Não representa função, pois além de um elemento de A não possuir imagens em B, há outro elemento em A com duas imagens em B.
2. Dados os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {0,1,2,3,4,5}, determine as relações de A em B que são funções.
a) R1 = {(0,2),(1,3),(2,4),(3,5)} – é função. b) R2 = {(0,3),(1,3),(2,3),(3,3)} – é função.
c) R3 = {(0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} d) R4 = {(0,4),(1,5),(2,0)}
Solução. Analisando as opções, temos:
a) R1 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B.
b) R2 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A possuem uma única imagem em B. O fato do elemento 3 em B ser imagem de todos os elementos de A não caracteriza ambiguidade.
c) R3 não é uma função de A em B, pois há elementos de A que possuem mais de uma imagem em B.
Repare que, por exemplo, R(1) = 1 e R(1) = 2. O mesmo ocorre com os elementos 0, 2 e 3 de A.
d) R4 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 de A não possui imagem em B. Isso caracteriza a exceção.
3. Determinar o domínio máximo das seguintes funções f:AIRBIR. a) f(x)x2 2x b)
7 x 2 ) x x (
f c)
3 4 x
2 ) x
x (
f
d)
9 x
1 x ) 2 x (
f 2
e) f(x)7 x29 f) f(x) x1 x2 g)
3 x
1 2 x
x ) x (
f
h)
4 x
1 ) x
x (
f 2
Solução. Analisando as possíveis restrições em cada caso, temos:
a) Não há restrições. Logo, D(f) = IR.
b) O denominador não pode ser nulo. Logo,
2 x 7 0 7 x
2 . Então,
2
IR 7 ) f (
D .
c) Há duas restrições:
- O radicando do numerador não pode ser negativo: x20x2.
- O radicando no denominador não pode ser nulo. Pode ser negativo (raiz cúbica):
4 x 0 x
4 . Unindo as duas condições, temos: D(f)2,4 4, .
d) O denominador não pode ser nulo. Logo, x2 90x3. Então, D(f)IR3,3.
e) Não há restrições, pois o índice da raiz é ímpar. Logo, D(f) = IR.
f) Os radicais não podem ser negativos. Logo, unido as condições temos:
D )f( ,2 2
x 1 x
.
g) O radical não pode ser negativo e o denominador não pode ser nulo. Unido as condições temos:
D )f( 2 3, ,3 3
x 2 x
.
h) O radical no denominador não pode ser nulo, nem positivo. Observa-se que g(x) = x2 – 4 possui como gráfico uma parábola de concavidade para cima. As raízes são x = - 2 e x = 2. Os valores negativos estão entre essas raízes. Logo, D(f),2 2, .
4. Considere as funções e definidas por e .
a) Determine o ponto onde o gráfico de corta o eixo das abscissas (x).
b) Determine o ponto onde o gráfico de corta o eixo das ordenadas (y).
Solução.
a) O gráfico de f(x) corta o eixo das abscissas no ponto de ordenada nulo. Isto é f(x) = 0. Temos:
1 x 0 1 x 0 ) x (
f . Logo, o ponto é (– 1,0).
b) O gráfico de g(x) corta o eixo das ordenadas no ponto de abscissa nula. Isto é x = 0. Temos:
4 ) 0 ( g ) 0 .(
2 4 ) 0 ( g x 2 4 ) x (
g . Logo, o ponto é (0,4).
5. São dadas as funções f, g : R → R definidas por f(x)x2 2x3 e x m 2 ) 3 x (
g . Determine o
valor da expressão f(m) - 2g(m) se f(0) + g(0) = - 5.
Solução. Utilizando as informações, temos:
2m5m 5)0(g)0(f 3
m3)0(g)0(
f mm)0(
2 )0(g 3
33)0(2)0 ()0(f 2 mx )x(g 3
3x2x)x(f 2
2
.
Logo, .( 2) ( 2) 4 4 3 2. 3 2 5 10 15
2 . 3 2 3 ) 2 ( 2 2 ) m ( g . 2 ) m (
f 2
.
6. Considere a função f, dada por:
7 x 6 se 28 x4
6 x 1 se 10 x7 x
1 x 0 se ,x 4 )x
(f
2 . Calcule:a)
4
f 9 b) f 1 f(6) c)
3 f 2 f
Solução. Calculando os valores de acordo com o intervalo na qual o valor de x pertence, temos:
a) 16
11 16
160 252 10 81
4 63 16 10 81 4 . 9 4 7
9 4 f 9 4 6
1 9 25 , 4 2
9 2
.
b)
)1(f )4(f 4 )4( 0
4 42 46 10 42 36 10 )6.(
7 )6(
)6(f 4 )1.(
4 )1(f
2
.
c)
9 14 9
168 154 9
90 168 10 64
3 56 9 10 64 3 . 8 3 7
8 3 f 8 3 f 2 f ) ii
3 8 3 . 2 3 4 f 2 ) i
2
.
7. Uma empresa de telefonia tem dois planos distintos para seus clientes: A e B. No plano A, o cliente paga R$54,00 de mensalidade, com direito a uma franquia de 50 minutos de ligações no mês, e mais R$ 1,35 por minuto de ligação que exceder os 50 minutos da franquia. No plano B, a cliente não paga mensalidade e paga R$ 1,95 por minuto de ligação.
a) Um cliente tem o plano A e efetuou 63 minutos de ligações em um mês. Determine o valor da conta a ser paga por esse cliente.
Solução. O cliente ultrapassou em 63 – 50 = 13 minutos a franquia de 50 minutos. Logo, pagará em sua conta R$54,00 + 13.(R$1,35) = R$54,00 + R$17,55 = R$71,55.
b) Determine uma lei que expresse o valor , em reais, a ser pago por um cliente que tem o plano A, em função do número de minutos utilizados em um mês.
(Não se esqueça de que são duas situações diferentes: o caso em que e o caso em que ).
Solução. A lei que expressa o valor é formada por duas sentenças de acordo com gasto em minutos:
50 x se 50 x 35 ,1 00 , 54
$ R
50 x 0 se 00 , 54
$
y R
.Observe o gráfico representando os dois planos.
